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Espacios vectoriales para ADE y Económicas ejercicios resueltos paso a paso
Espacios vectoriales para ADE: teoría y ejercicios resueltos paso a paso
Los espacios vectoriales son uno de los primeros saltos serios dentro del Álgebra universitaria. Aquí ya no basta con resolver ecuaciones sueltas: hay que entender combinaciones lineales, dependencia e independencia, subespacios, bases, dimensión y coordenadas respecto de una base.
Este recurso está pensado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios. No vamos a desarrollar aquí matrices avanzadas, diagonalización, aplicaciones lineales ni formas cuadráticas. Eso viene después. Primero hay que entender qué significa trabajar dentro de un espacio vectorial y cómo se organiza una familia de vectores.
Un bloque clave para entender el Álgebra Lineal
Si el alumno no entiende qué es una combinación lineal o por qué unos vectores forman base y otros no, después matrices, rango, aplicaciones lineales y diagonalización se vuelven mucho más difíciles. Este tema es una bisagra: une el álgebra básica con la parte más universitaria de la asignatura.
En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas universitarias online con una idea sencilla: no memorizar definiciones sueltas, sino aprender a reconocer qué pide cada ejercicio y qué condición hay que comprobar.
1. Qué es un espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de vectores donde podemos sumar vectores y multiplicarlos por números, cumpliendo unas propiedades. En primero de ADE, muchas veces se trabaja sobre espacios como \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\) o \(\mathbb{R}^n\).
\(\mathbb{R}^2\)
Vectores con dos coordenadas.
\((x,y)\)
\(\mathbb{R}^3\)
Vectores con tres coordenadas.
\((x,y,z)\)
\(\mathbb{R}^n\)
Vectores con \(n\) coordenadas.
\((x_1,x_2,\ldots,x_n)\)
2. Vectores en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\)
En este tema, un vector suele escribirse como una lista ordenada de coordenadas.
\[ \vec{u}=(2,3) \]En \(\mathbb{R}^2\), el vector tiene dos coordenadas. En \(\mathbb{R}^3\), tiene tres.
Ejemplo
\[ \vec{u}=(1,-2,4) \]3. Combinaciones lineales
Un vector es combinación lineal de otros si se puede escribir como suma de esos vectores multiplicados por números.
Si tenemos \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_k}\), una combinación lineal es:
\[ a_1\vec{v_1}+a_2\vec{v_2}+\cdots+a_k\vec{v_k} \]Ejemplo
Comprueba si \((5,7)\) es combinación lineal de \((1,1)\) y \((2,3)\).
4. Sistema generador
Una familia de vectores genera un espacio si cualquier vector de ese espacio puede escribirse como combinación lineal de ellos.
Ejemplo sencillo en \(\mathbb{R}^2\)
\[ \vec{e_1}=(1,0),\quad \vec{e_2}=(0,1) \]Cualquier vector \((x,y)\) puede escribirse como:
\[ (x,y)=x(1,0)+y(0,1) \]5. Dependencia e independencia lineal
Una familia de vectores es linealmente independiente si ninguno de sus vectores sobra. Dicho de otra manera: ningún vector de la familia puede obtenerse como combinación lineal de los demás.
Formalmente, los vectores \(\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_k}\) son linealmente independientes si la única solución de:
\[ a_1\vec{v_1}+a_2\vec{v_2}+\cdots+a_k\vec{v_k}=\vec{0} \]es:
\[ a_1=a_2=\cdots=a_k=0 \]Independientes
Ningún vector depende de los otros.
No hay vectores repetidos en dirección.
Dependientes
Algún vector puede construirse con los demás.
Hay información repetida o sobrante.
Ejemplo
\[ \vec{u}=(1,2),\quad \vec{v}=(2,4) \]Otro ejemplo
\[ \vec{u}=(1,0),\quad \vec{v}=(0,1) \]6. Subespacios vectoriales
Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que también funciona como espacio vectorial. Para comprobarlo, normalmente se revisan tres condiciones.
| Condición | Qué significa |
|---|---|
| Contiene al vector cero | El vector \(\vec{0}\) debe pertenecer al conjunto. |
| Cerrado para la suma | Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) están dentro, entonces \(\vec{u}+\vec{v}\) también. |
| Cerrado para el producto por escalar | Si \(\vec{u}\) está dentro, entonces \(k\vec{u}\) también para cualquier número \(k\). |
Ejemplo
Comprueba si \(W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=2x\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\).
7. Base de un espacio vectorial
Una base es una familia de vectores que cumple dos condiciones:
1. Genera el espacio
Con esos vectores podemos construir todos los vectores del espacio.
2. Es independiente
No sobra ningún vector.
Ejemplo
Comprueba si \(\{(1,0),(0,1)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\).
8. Dimensión
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que tiene cualquiera de sus bases.
| Espacio | Base habitual | Dimensión |
|---|---|---|
| \(\mathbb{R}^2\) | \(\{(1,0),(0,1)\}\) | 2 |
| \(\mathbb{R}^3\) | \(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\) | 3 |
| \(\mathbb{R}^n\) | Base canónica | \(n\) |
9. Coordenadas respecto de una base
Las coordenadas de un vector respecto de una base indican cómo se escribe ese vector como combinación lineal de los vectores de la base.
Si \(B=\{\vec{v_1},\vec{v_2}\}\), buscamos:
\[ \vec{u}=a\vec{v_1}+b\vec{v_2} \]Entonces las coordenadas de \(\vec{u}\) respecto de \(B\) son:
\[ [\vec{u}]_B=(a,b) \]Ejemplo
Sea \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\). Calcula las coordenadas de \(\vec{u}=(4,2)\) respecto de \(B\).
10. Cómo reconocer el tipo de ejercicio
En espacios vectoriales, muchos ejercicios parecen parecidos, pero no piden lo mismo. Antes de hacer cuentas, hay que leer bien el verbo del enunciado.
| Si el enunciado dice... | Normalmente debes... | Herramienta clave |
|---|---|---|
| “¿Es combinación lineal?” | Intentar escribir un vector usando otros. | Sistema de ecuaciones. |
| “¿Son independientes?” | Igualar combinación lineal a cero. | Solución trivial. |
| “¿Es subespacio?” | Comprobar cero, suma y producto por escalar. | Cierre de operaciones. |
| “¿Es base?” | Comprobar generación e independencia. | Dos condiciones. |
| “Calcula coordenadas en una base” | Escribir el vector como combinación de la base. | Sistema de ecuaciones. |
11. Errores frecuentes en espacios vectoriales
1. Confundir generar con ser independiente
Una familia puede generar y no ser independiente si tiene vectores de sobra.
2. Pensar que muchos vectores siempre es mejor
Una base no lleva vectores de más. Si sobra alguno, no es base.
3. Comprobar mal un subespacio
No basta con ver si contiene al cero. Hay que comprobar suma y producto por escalar.
4. No igualar coordenadas
En combinaciones lineales y coordenadas respecto de una base, el sistema sale de igualar componente a componente.
5. Confundir dimensión con número de vectores dados
La dimensión depende de una base, no de la cantidad de vectores que aparezcan en el enunciado.
6. No justificar
En Universidad, no basta con poner “sí” o “no”. Hay que decir por qué.
12. 25 ejercicios resueltos paso a paso
1. Indica si \((2,3)\) pertenece a \(\mathbb{R}^2\)
2. Indica si \((1,0,-4)\) pertenece a \(\mathbb{R}^3\)
3. Calcula \(2(1,3)+3(2,-1)\)
4. Comprueba si \((5,1)\) es combinación lineal de \((1,0)\) y \((0,1)\)
5. Comprueba si \((4,6)\) es combinación lineal de \((1,2)\)
6. Comprueba si \((7,10)\) es combinación lineal de \((1,1)\) y \((2,3)\)
7. Comprueba si \((1,2)\) y \((2,4)\) son linealmente independientes
8. Comprueba si \((1,0)\) y \((0,1)\) son linealmente independientes
9. Comprueba si \((1,2,0)\), \((0,1,3)\) y \((1,3,3)\) son dependientes
10. Comprueba si \(W=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\)
11. Comprueba si \(W=\{(x,y):y=x+1\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\)
12. Comprueba si \(\{(1,0),(0,1)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\)
13. Comprueba si \(\{(1,1),(2,2)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\)
14. Calcula la dimensión de \(\mathbb{R}^3\)
15. Calcula la dimensión de \(W=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\)
16. Halla una base de \(W=\{(x,y,z):z=0\}\)
17. Halla una base de \(W=\{(x,y,z):x=y,\ z=0\}\)
18. Calcula las coordenadas de \((3,5)\) en la base canónica de \(\mathbb{R}^2\)
19. Calcula las coordenadas de \((5,1)\) en la base \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\)
20. Decide si \(\{(1,2),(3,6)\}\) genera \(\mathbb{R}^2\)
21. Decide si \(\{(1,0),(0,1),(1,1)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\)
22. Expresa \((2,4,6)\) como combinación de \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,0,1)\)
23. Comprueba si \((1,1,1)\), \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) son independientes
24. Comprueba si \(W=\{(x,y):x+y=0\}\) es subespacio
25. Comprueba si \(W=\{(x,y):xy=0\}\) es subespacio
13. 35 ejercicios para practicar
A. Combinaciones lineales
- Comprueba si \((3,4)\) es combinación lineal de \((1,0)\) y \((0,1)\).
- Comprueba si \((6,9)\) es combinación lineal de \((2,3)\).
- Comprueba si \((5,8)\) es combinación lineal de \((1,2)\) y \((2,3)\).
- Expresa \((4,0,7)\) con la base canónica de \(\mathbb{R}^3\).
- Comprueba si \((1,1,2)\) es combinación lineal de \((1,0,1)\) y \((0,1,1)\).
B. Dependencia e independencia
- Decide si \((1,2)\) y \((3,6)\) son independientes.
- Decide si \((1,0)\) y \((2,1)\) son independientes.
- Decide si \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,0,1)\) son independientes.
- Decide si \((1,2,3)\), \((2,4,6)\), \((0,1,0)\) son independientes.
- Decide si \((1,1,0)\), \((0,1,1)\), \((1,2,1)\) son independientes.
C. Subespacios
- Comprueba si \(W=\{(x,y):y=3x\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\).
- Comprueba si \(W=\{(x,y):y=x+2\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\).
- Comprueba si \(W=\{(x,y,z):z=0\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^3\).
- Comprueba si \(W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^3\).
- Comprueba si \(W=\{(x,y):x^2+y^2=0\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\).
- Comprueba si \(W=\{(x,y):x\geq0\}\) es subespacio de \(\mathbb{R}^2\).
D. Bases y dimensión
- Decide si \(\{(1,0),(0,1)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\).
- Decide si \(\{(1,1),(2,2)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\).
- Decide si \(\{(1,0),(0,1),(1,1)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\).
- Halla una base de \(W=\{(x,y):y=4x\}\).
- Halla una base de \(W=\{(x,y,z):x=0\}\).
- Halla una base de \(W=\{(x,y,z):x=y,\ z=0\}\).
- Calcula la dimensión de \(W=\{(x,y,z):z=0\}\).
- Calcula la dimensión de \(W=\{(x,y,z):x=y=z\}\).
E. Coordenadas respecto de una base
- Calcula las coordenadas de \((3,5)\) en la base canónica de \(\mathbb{R}^2\).
- Calcula las coordenadas de \((4,2)\) en la base \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
- Calcula las coordenadas de \((7,1)\) en la base \(B=\{(1,2),(3,1)\}\).
- Calcula las coordenadas de \((2,3,4)\) en la base canónica de \(\mathbb{R}^3\).
- Calcula las coordenadas de \((5,5)\) en la base \(B=\{(1,0),(1,1)\}\).
F. Para nota
- Determina si \((1,2,3)\) pertenece al subespacio generado por \((1,0,1)\) y \((0,1,1)\).
- Halla una base del subespacio generado por \((1,2)\), \((2,4)\), \((3,6)\).
- Halla una base del subespacio generado por \((1,0,1)\), \((0,1,1)\), \((1,1,2)\).
- Determina si \(\{(1,1),(1,-1)\}\) es base de \(\mathbb{R}^2\).
- Determina si \(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\) es base de \(\mathbb{R}^3\).
- Explica por qué tres vectores en \(\mathbb{R}^2\) nunca pueden ser linealmente independientes.
14. Soluciones para corregir
| Nº | Resultado | Comentario |
|---|---|---|
| 1 | Sí | \((3,4)=3(1,0)+4(0,1)\) |
| 2 | Sí | \((6,9)=3(2,3)\) |
| 3 | Sí | \((5,8)=1(1,2)+2(2,3)\) |
| 4 | \((4,0,7)=4e_1+0e_2+7e_3\) | Base canónica. |
| 5 | Sí | \((1,1,2)=(1,0,1)+(0,1,1)\) |
| 6 | No | Son dependientes. |
| 7 | Sí | No son múltiplos. |
| 8 | Sí | Base canónica de \(\mathbb{R}^3\). |
| 9 | No | Los dos primeros son dependientes. |
| 10 | No | El tercero es suma de los dos primeros. |
| 11 | Sí | Recta que pasa por el origen. |
| 12 | No | No contiene al vector cero. |
| 13 | Sí | Plano \(z=0\). |
| 14 | Sí | Ecuación lineal homogénea. |
| 15 | Sí | Solo contiene \((0,0)\). |
| 16 | No | No es cerrado por producto por escalares negativos. |
| 17 | Sí | Base canónica de \(\mathbb{R}^2\). |
| 18 | No | Vectores dependientes. |
| 19 | No | Tres vectores en \(\mathbb{R}^2\), familia dependiente. |
| 20 | \(\{(1,4)\}\) | Dimensión 1. |
| 21 | \(\{(0,1,0),(0,0,1)\}\) | Plano \(x=0\). |
| 22 | \(\{(1,1,0)\}\) | Recta vectorial. |
| 23 | 2 | Subespacio \(z=0\). |
| 24 | 1 | Generado por \((1,1,1)\). |
| 25 | \((3,5)\) | Base canónica. |
| 26 | \((3,1)\) | \((4,2)=3(1,1)+1(1,-1)\) |
| 27 | \((-4/5,13/5)\) | Resolver sistema. |
| 28 | \((2,3,4)\) | Base canónica. |
| 29 | \((0,5)\) | \((5,5)=0(1,0)+5(1,1)\) |
| 30 | No | El sistema no tiene solución. |
| 31 | \(\{(1,2)\}\) | Todos son múltiplos. |
| 32 | \(\{(1,0,1),(0,1,1)\}\) | El tercero es suma de los dos primeros. |
| 33 | Sí | Independientes y generan \(\mathbb{R}^2\). |
| 34 | No | No generan \(\mathbb{R}^3\), tercera coordenada siempre 0. |
| 35 | Porque \(\dim(\mathbb{R}^2)=2\) | Como máximo 2 independientes. |
15. Simulacro final de espacios vectoriales
Tiempo recomendado: 45 minutos. Hazlo sin mirar soluciones. Escribe siempre qué estás comprobando: combinación lineal, independencia, subespacio, base, dimensión o coordenadas.
Enunciados
- Comprueba si \((6,8)\) es combinación lineal de \((1,2)\) y \((2,2)\).
- Decide si \((1,3)\) y \((2,6)\) son linealmente independientes.
- Decide si \((1,0)\) y \((1,1)\) forman una base de \(\mathbb{R}^2\).
- Comprueba si \(W=\{(x,y):y=-x\}\) es subespacio.
- Halla una base de \(W=\{(x,y,z):z=0\}\).
- Calcula la dimensión del subespacio anterior.
- Calcula las coordenadas de \((6,2)\) respecto de \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
- Comprueba si \((1,2,3)\), \((0,1,1)\), \((1,3,4)\) son dependientes.
- Comprueba si \(W=\{(x,y):x+y=1\}\) es subespacio.
- Explica por qué una base no puede tener vectores de sobra.
Soluciones
1. Buscamos \(a,b\): \(a(1,2)+b(2,2)=(6,8)\). Sale \(a=2\), \(b=2\). Sí es combinación lineal.
2. No son independientes, porque \((2,6)=2(1,3)\).
3. Sí forman base, porque no son múltiplos y hay dos vectores en \(\mathbb{R}^2\).
4. Sí es subespacio. Sus vectores tienen forma \((x,-x)=x(1,-1)\).
5. Una base es \(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\).
6. La dimensión es 2.
7. \((6,2)=a(1,1)+b(1,-1)\). Entonces \(a+b=6\), \(a-b=2\). Sale \(a=4\), \(b=2\). Coordenadas: \((4,2)\).
8. Son dependientes porque \((1,3,4)=(1,2,3)+(0,1,1)\).
9. No es subespacio porque no contiene al vector cero.
10. Porque una base debe ser generadora e independiente. Si sobra un vector, la familia es dependiente.
16. Cómo suele aparecer este tema en un examen de ADE
Este bloque suele aparecer en examen con ejercicios donde el alumno tiene que decidir, no solo calcular. Esa es la diferencia: no basta con hacer cuentas; hay que saber qué propiedad se está comprobando.
Combinaciones lineales
Preguntas del tipo: ¿pertenece este vector al subespacio generado por otros?
Independencia lineal
Ejercicios donde hay que decidir si una familia tiene vectores sobrantes.
Subespacios
Conjuntos definidos por ecuaciones o condiciones que hay que comprobar.
Bases y dimensión
Preguntas para encontrar una base, eliminar vectores dependientes o calcular dimensión.
17. Diagnóstico rápido: qué falla cuando el alumno se pierde
| Lo que ocurre | Qué suele haber detrás | Cómo corregirlo |
|---|---|---|
| No sabe empezar | No identifica el tipo de ejercicio | Leer el verbo: combinación, independencia, subespacio, base o coordenadas |
| Confunde generar con ser independiente | Memoriza definiciones sin entenderlas | Separar las dos condiciones: llegar a todo y no llevar de sobra |
| No sabe comprobar subespacios | Solo mira si está el vector cero | Comprobar cero, suma y producto por escalar |
| Plantea mal coordenadas en una base | No ve que debe igualar coordenadas | Escribir \(u=a v_1+b v_2\) y resolver el sistema |
| Calcula dimensión al azar | No entiende qué es una base | Buscar primero una base y contar sus vectores |
18. Qué estudiar antes y después de espacios vectoriales
Este recurso debe colocarse dentro de una ruta universitaria ordenada. No conviene mezclar todo el Álgebra Lineal en una sola página. Primero lenguaje y polinomios; después espacios vectoriales; luego matrices, aplicaciones lineales y diagonalización.
Álgebra para ADE: lógica, conjuntos, números y polinomios
Antes de entrar en espacios vectoriales conviene dominar notación, conjuntos, intervalos, polinomios y lenguaje matemático básico.
Vectores en el plano y en el espacio
Si el alumno no distingue vector, módulo, dirección, producto escalar o coordenadas, es mejor reforzar antes la parte visual y geométrica.
Regla de Cramer y método de Gauss
Muchas comprobaciones de combinaciones lineales y coordenadas acaban en sistemas. Cramer y Gauss ayudan a resolverlos con método.
Matrices para ADE y Economía
El siguiente paso natural es trabajar matrices, operaciones, rango, matriz inversa y sistemas aplicados. Mejor como recurso independiente para no mezclar contenidos.
Matemáticas universitarias online
Para estudiantes de ADE, Economía, Empresa, Ingeniería o grados con Álgebra, Cálculo, Análisis y métodos cuantitativos.
Clases online de Matemáticas
Para trabajar ejercicios de clase, dudas de examen, prácticas universitarias y explicación paso a paso con pizarra compartida.
¿Necesitas preparar espacios vectoriales para ADE?
En Marlu Educativa trabajamos espacios vectoriales con una idea muy concreta: entender qué se está comprobando en cada ejercicio. No es lo mismo probar que una familia genera, que estudiar independencia, que hallar una base o que calcular coordenadas respecto de otra base.
Si el alumno se bloquea con las definiciones, no hace falta repetirlas veinte veces. Hay que convertir cada definición en un procedimiento claro. Ahí suele cambiar el tema.
Preguntas frecuentes sobre espacios vectoriales para ADE
¿Qué es un espacio vectorial?
Es un conjunto de vectores donde se pueden sumar vectores y multiplicarlos por escalares cumpliendo ciertas propiedades.
¿Qué es una combinación lineal?
Es una suma de vectores multiplicados por números. Por ejemplo, \(a\vec{u}+b\vec{v}\).
¿Cuándo una familia de vectores es linealmente independiente?
Cuando la única forma de obtener el vector cero como combinación lineal de ellos es usando todos los coeficientes iguales a cero.
¿Qué es una base?
Es una familia de vectores que genera el espacio y además es linealmente independiente.
¿Qué significa dimensión?
La dimensión es el número de vectores de una base del espacio o subespacio.