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Ortogonalidad y método de Gram-Schmidt con 55 ejercicios resueltos
Ortogonalidad y método de Gram-Schmidt con 55 ejercicios resueltos
La ortogonalidad ordena buena parte del álgebra lineal: permite medir ángulos y distancias, construir bases cómodas, proyectar vectores y resolver sistemas incompatibles mediante mínimos cuadrados. El problema no suele ser recordar una fórmula, sino saber qué espacio se está usando y sobre qué dirección hay que proyectar.
El recorrido va desde el producto interior hasta Gram-Schmidt, proyecciones, distancias y ajuste por mínimos cuadrados. Las soluciones mantienen las cuentas visibles y explican por qué cada paso es válido. Los últimos quince problemas tienen el nivel habitual de un examen universitario y reúnen varias ideas en una misma resolución.
Índice
1. Antes de empezar
Conviene dominar combinaciones lineales, independencia, bases y dimensión. Si esa parte todavía no está firme, el recurso de bases y dimensión de espacios vectoriales es el paso previo natural.
Una idea que evita muchos fallos. Dos vectores pueden ser perpendiculares en el producto interior habitual y dejar de serlo si cambia el producto interior. Antes de calcular, hay que leer qué definición se está usando.
2. Producto interior, norma, distancia y ángulo
En \(\mathbb R^n\), el producto interior habitual es el producto escalar. A partir de él aparecen la norma, la distancia y el ángulo.
También pueden definirse productos interiores ponderados, sobre polinomios o sobre matrices. Lo esencial es que sean simétricos, lineales y positivos.
| Espacio | Producto interior frecuente | Norma asociada |
|---|---|---|
| \(\mathbb R^n\) | \(x^Ty\) | \(\sqrt{x^Tx}\) |
| \(\mathbb R^n\) ponderado | \(x^TWy\), con \(W\) definida positiva | \(\sqrt{x^TWx}\) |
| Matrices | \(\operatorname{tr}(A^TB)\) | Norma de Frobenius |
| Polinomios | Por coeficientes o mediante una integral | Depende del producto elegido |
3. Ortogonalidad y bases ortonormales
Dos vectores son ortogonales cuando su producto interior vale cero. Una familia es ortogonal si cada pareja distinta es ortogonal. Es ortonormal cuando, además, todos los vectores tienen norma uno.
Con una base ortonormal \(\{q_1,\ldots,q_k\}\), las coordenadas se obtienen sin resolver sistemas:
El complemento ortogonal de un subespacio \(W\) reúne todos los vectores perpendiculares a cada vector de \(W\):
4. Proceso de Gram-Schmidt
Gram-Schmidt transforma una base cualquiera en una base ortogonal que genera el mismo subespacio. Después se normaliza si se necesita una base ortonormal.
Cuando aparece \(u_k=0\), el vector \(v_k\) dependía de los anteriores. No es un error de cálculo: es información sobre la familia original.
5. Proyecciones ortogonales y distancias
La proyección de \(x\) sobre la dirección de un vector no nulo \(u\) es:
Si \(\{q_1,\ldots,q_k\}\) es una base ortonormal de \(W\), la proyección sobre todo el subespacio es:
La distancia de \(x\) a \(W\) es la norma del residuo \(r=x-\operatorname{proy}_W(x)\).
6. Mínimos cuadrados y factorización QR
Cuando \(Ax=b\) no tiene solución exacta, buscamos el vector \(\hat x\) que hace mínima la distancia entre \(A\hat x\) y \(b\). El residuo debe ser ortogonal al espacio columna de \(A\).
Si \(A=QR\), con columnas ortonormales en \(Q\), el problema se reduce a:
Las ecuaciones normales son útiles para el cálculo manual. En cálculo numérico suele preferirse QR porque evita amplificar tanto los problemas de condicionamiento.
7. Método general de resolución
No des por supuesto que es el habitual. Revisa pesos, integrales o trazas.
Una recta, un plano, un subespacio columna o una base completa no se tratan igual.
Si la base ya es ortogonal, aprovecha la fórmula directa. Si no lo es, usa Gram-Schmidt o resuelve el sistema normal.
El residuo debe ser perpendicular al subespacio de aproximación. Esa es la comprobación decisiva.
8. 55 ejercicios resueltos
Los primeros cuarenta ejercicios construyen el método desde la base. Los quince últimos reúnen preguntas más largas, con varios apartados y comprobaciones propias de un examen universitario.
Producto escalar en R³
Calcula \(\langle u,v\rangle\) para \(u=(2,-1,3)\) y \(v=(1,4,-2)\).
Planteamiento. Usamos el producto interior habitual y multiplicamos componente a componente.
Resultado. \(\boxed{-8}\).
Norma y distancia entre dos vectores
Sean \(u=(3,-4,12)\) y \(v=(1,-1,4)\). Calcula \(\|u\|\) y \(d(u,v)\).
Norma de u.
Distancia. Primero calculamos \(u-v=(2,-3,8)\).
Resultado. \(\|u\|=13\) y \(d(u,v)=\sqrt{77}\).
Ángulo entre dos vectores
Calcula el ángulo entre \(u=(1,1,0)\) y \(v=(1,0,1)\).
Producto y normas.
Resultado. \(\theta=60^{\circ}\).
Parámetro para que dos vectores sean ortogonales
Determina \(a\) para que \(u=(2,a,-1)\) y \(v=(1,3,2)\) sean ortogonales.
Condición. El producto escalar debe ser cero.
Resultado. \(\boxed{a=0}\).
Comprobación de Cauchy-Schwarz
Comprueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz para \(u=(1,2,2)\) y \(v=(2,1,-2)\).
Producto interior.
Normas. \(\|u\|=3\) y \(\|v\|=3\).
Resultado. La desigualdad se cumple, y los vectores son ortogonales.
Producto interior ponderado
En \(\mathbb R^3\), considera \(\langle x,y\rangle=2x_1y_1+x_2y_2+3x_3y_3\). Para \(u=(1,-1,2)\) y \(v=(2,3,-1)\), calcula \(\langle u,v\rangle\) y \(\|u\|\).
Resultado. \(\langle u,v\rangle=-5\) y \(\|u\|=\sqrt{15}\).
Producto interior de polinomios por coeficientes
En \(P_2\), define \(\langle p,q\rangle=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2\). Calcula el producto y las normas para \(p=1+2x-x^2\) y \(q=2-x+3x^2\).
Vectores de coeficientes. \(p\leftrightarrow(1,2,-1)\) y \(q\leftrightarrow(2,-1,3)\).
Resultado. Producto \(-3\), normas \(\sqrt6\) y \(\sqrt{14}\).
Producto de Frobenius para matrices
Sean \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}\). Calcula \(\langle A,B\rangle_F\) y \(\|A\|_F\).
Producto de Frobenius. Sumamos los productos de entradas correspondientes.
Resultado. \(\langle A,B\rangle_F=-4\) y \(\|A\|_F=\sqrt6\).
Vector perpendicular a dos vectores
Encuentra un vector no nulo ortogonal a \(u=(1,2,-1)\) y \(v=(2,-1,0)\).
Idea. En \(\mathbb R^3\), el producto vectorial da una dirección perpendicular a ambos.
Comprobación.
Resultado. Sirve, por ejemplo, \((-1,-2,-5)\).
Complemento ortogonal de un plano
Sea \(W=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}\). Calcula \(W^{\perp}\).
Vector genérico. Sea \(x=(a,b,c)\). Debe ser perpendicular a los dos generadores.
Resolución. Tomando \(b=t\), se obtiene \(a=-t\) y \(c=-t\).
Resultado. \(W^{\perp}=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\}\).
Familia ortogonal en R³
Decide si \(u_1=(1,1,0)\), \(u_2=(1,-1,0)\) y \(u_3=(0,0,2)\) forman una familia ortogonal.
Resultado. Sí. Cada pareja distinta tiene producto escalar cero.
Normalización de una base ortogonal
Ortonormaliza la familia del ejercicio anterior.
Normas. \(\|u_1\|=\sqrt2\), \(\|u_2\|=\sqrt2\) y \(\|u_3\|=2\).
Resultado. \(\{q_1,q_2,q_3\}\) es una base ortonormal de \(\mathbb R^3\).
Coordenadas en una base ortonormal
En la base ortonormal del ejercicio anterior, calcula las coordenadas de \(x=(3,1,2)\).
Coordenadas. Son los productos interiores con cada vector de la base.
Resultado. \([x]_{\mathcal B}=(2\sqrt2,\sqrt2,2)\).
Descomposición ortogonal respecto de un subespacio
Sea \(W=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}\). Descompón \(x=(2,0,3)\) como \(x=w+z\), con \(w\in W\) y \(z\in W^{\perp}\).
Base ortogonal de W. Los dos generadores ya son ortogonales.
Resultado. \(x=(1,1,3)+(1,-1,0)\).
Matriz ortogonal en R²
Comprueba que \(Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\) es ortogonal.
Criterio. Una matriz cuadrada es ortogonal si \(Q^TQ=I\).
Resultado. \(Q\) es ortogonal y sus columnas forman una base ortonormal.
Gram-Schmidt en R²
Aplica Gram-Schmidt a \(v_1=(1,1)\), \(v_2=(1,0)\).
Normalización.
Resultado. Se obtiene la base ortonormal indicada.
Gram-Schmidt con dos vectores de R³
Ortonormaliza \(v_1=(1,1,0)\) y \(v_2=(1,0,1)\).
Simplificación. Podemos usar el múltiplo \((1,-1,2)\).
Resultado. \(\{q_1,q_2\}\) es una base ortonormal del mismo plano.
Gram-Schmidt con tres vectores de R³
Ortonormaliza \(v_1=(1,1,0)\), \(v_2=(1,0,1)\), \(v_3=(0,1,1)\).
Dos primeras direcciones. Del ejercicio anterior tomamos \(u_1=(1,1,0)\) y \(u_2=(1,-1,2)\).
Normalización.
Resultado. Los tres vectores forman una base ortonormal de \(\mathbb R^3\).
Gram-Schmidt detecta dependencia lineal
Aplica Gram-Schmidt a \(v_1=(1,0,1)\) y \(v_2=(2,0,2)\).
Resultado. La segunda dirección desaparece porque \(v_2=2v_1\). La familia era linealmente dependiente.
Gram-Schmidt en el espacio de polinomios
En \(P_2\) con producto por coeficientes, ortogonaliza \(p_1=1\), \(p_2=1+x\), \(p_3=1+x+x^2\).
Representación por coeficientes. Los polinomios corresponden a \((1,0,0)\), \((1,1,0)\) y \((1,1,1)\).
Resultado. La base ortonormal es \(\{1,x,x^2\}\).
Gram-Schmidt con producto ponderado
En \(\mathbb R^2\), usa \(\langle x,y\rangle=2x_1y_1+x_2y_2\) para ortonormalizar \(v_1=(1,1)\), \(v_2=(1,-1)\).
Normas ponderadas. \(\|(1,1)\|=\sqrt3\) y \(\|(1,-2)\|=\sqrt6\).
Resultado. Esa es la base ortonormal para el producto ponderado.
Base ortonormal del plano x+y+z=0
Construye una base ortonormal del plano \(x+y+z=0\).
Base inicial. Tomamos \(v_1=(1,-1,0)\) y \(v_2=(1,0,-1)\).
Resultado. \(\{q_1,q_2\}\) es una base ortonormal del plano.
Factorización QR de una matriz 3 por 2
Calcula una factorización QR de \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
Columnas. Son los vectores del ejercicio 17.
Coeficientes de R.
Resultado. \(A=QR\) con las matrices anteriores.
Gram-Schmidt en R⁴
Ortonormaliza \(v_1=(1,1,0,0)\), \(v_2=(1,0,1,0)\), \(v_3=(1,0,0,1)\).
Direcciones ortogonales.
Normalización.
Resultado. Los tres vectores son ortonormales y generan el mismo subespacio que la familia inicial.
Proyección sobre una recta en R²
Proyecta \(x=(3,1)\) sobre la recta generada por \(u=(1,2)\) y calcula la distancia.
Resultado. Proyección \((1,2)\) y distancia \(\sqrt5\).
Proyección sobre un subespacio con base ortogonal
Sea \(W=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}\). Proyecta \(x=(2,-1,3)\) sobre \(W\).
La base ya es ortogonal.
Resultado. Proyección \((1/2,1/2,3)\) y distancia \(3/\sqrt2\).
Distancia de un punto a una recta vectorial
Calcula la distancia de \(x=(2,3,1)\) a la recta \(L=\operatorname{span}\{(1,-1,2)\}\).
Proyección.
Distancia. Podemos usar Pitágoras.
Resultado. \(d=\sqrt{83/6}\).
Proyección sobre un plano mediante su normal
Proyecta \(x=(1,2,3)\) sobre el plano \(W:2x-y+2z=0\).
Normal. \(n=(2,-1,2)\), con \(n\cdot n=9\).
Distancia. \(|x\cdot n|/\|n\|=6/3=2\).
Resultado. Proyección \((-1/3,8/3,5/3)\) y distancia \(2\).
Punto de una recta afín más cercano a otro punto
Halla el punto de la recta \(r=(1,0,1)+t(2,1,-1)\) más cercano a \(x=(4,2,0)\).
Vector desde el punto base. \(d=x-(1,0,1)=(3,2,-1)\).
Resultado. Punto más cercano \((4,3/2,-1/2)\).
Proyección usando una base ortonormal
Sean \(q_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)\), \(q_2=(0,0,1)\) y \(W=\operatorname{span}\{q_1,q_2\}\). Proyecta \(x=(4,0,2)\).
Resultado. Proyección \((2,2,2)\) y distancia \(2\sqrt2\).
Matriz de proyección sobre una recta
Calcula la matriz de proyección sobre \(L=\operatorname{span}\{(1,1)\}\) y aplícala a \(x=(4,2)\).
Resultado. \(P=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\) y \(Px=(3,3)\).
Descomposición en W y su complemento ortogonal
Sea \(W=\operatorname{span}\{(1,0,1)\}\). Descompón \(x=(2,1,0)\) en una parte de \(W\) y otra de \(W^{\perp}\).
Comprobación. \((1,1,-1)\cdot(1,0,1)=0\).
Resultado. \(x=(1,0,1)+(1,1,-1)\).
Mejor ajuste constante por mínimos cuadrados
Aproxima los datos \(y=(2,4,5)\) por una constante \(c\).
Modelo. \(A=(1,1,1)^T\) y buscamos minimizar \(\|Ac-y\|\).
Resultado. \(\hat c=11/3\), que coincide con la media de los datos.
Recta de ajuste para tres puntos
Ajusta por mínimos cuadrados una recta \(y=a+bx\) a los puntos \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\).
Matriz del modelo.
Resultado. \(\hat y=\frac76+\frac12x\).
Sistema incompatible resuelto por mínimos cuadrados
Resuelve en mínimos cuadrados \(Ax\approx b\), con \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\end{pmatrix}\) y \(b=(1,0,2)^T\).
Residuo.
Comprobación. \(A^Tr=0\).
Resultado. \(\hat x=(1,1/2)^T\).
Proyección sobre el espacio columna
Con los datos del ejercicio anterior, calcula la proyección de \(b\) sobre \(\operatorname{Col}(A)\).
La proyección es el vector ajustado.
Resultado. La proyección es \((3/2,1/2,1)^T\).
Mínimos cuadrados mediante QR
Usa la factorización QR del ejercicio 23 para resolver \(Ax\approx b\), con \(b=(1,2,0)^T\).
Calculamos Qᵀb.
Resolvemos R x=Qᵀb.
Resultado. \(\hat x=(5/3,-1/3)^T\).
Mínimos cuadrados ponderados
Ajusta una constante a los datos \(y=(1,2,4)\) con pesos \(w=(1,2,1)\).
Media ponderada. Minimizar \(\sum w_i(c-y_i)^2\) conduce a:
Resultado. \(\hat c=9/4\).
Ajuste cuadrático exacto
Busca \(y=a+bx+cx^2\) que ajuste los puntos \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,5)\).
Sistema.
Resolución. De las dos últimas ecuaciones, \(b+c=1\) y \(2b+4c=4\). Por tanto, \(c=1\) y \(b=0\).
Resultado. \(y=1+x^2\). El residuo es cero.
Ajuste lineal y norma del residuo
Ajusta una recta a los puntos \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,4)\), \((3,5)\) y calcula la norma del residuo.
Ecuaciones normales.
Valores ajustados y residuo.
Resultado. \(\hat y=\frac9{10}+\frac75x\) y \(\|r\|=1/\sqrt5\).
9. Quince ejercicios tipo examen universitario
Este bloque reúne problemas más largos, con varios apartados y comprobaciones. Son ejercicios pensados para practicar el tipo de razonamiento que suele pedirse en Álgebra Lineal: elegir el producto interior correcto, construir una base ortonormal, proyectar y justificar el resultado.
Ortogonalidad con un producto interior matricial
En \(\mathbb R^2\) se define \(\langle x,y\rangle_A=x^TAy\), con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\). Sean \(u=(1,\lambda)\) y \(v=(2,-1)\). Determina \(\lambda\) para que sean ortogonales y calcula sus normas.
Producto interior. Primero calculamos \(Av\).
Condición de ortogonalidad. Se impone \(3-\lambda=0\), luego \(\lambda=3\).
Normas.
Resultado. \(\lambda=3\), \(\|u\|_A=\sqrt{35}\) y \(\|v\|_A=\sqrt7\).
Complemento ortogonal en R⁴
Sea \(W=\operatorname{span}\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)\}\). Calcula una base de \(W^\perp\) y normalízala.
Condiciones de ortogonalidad. Para \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\), imponemos:
Resolución. Tomando \(x_2=t\), queda \(x_1=-t\), \(x_3=-t\) y \(x_4=t\).
Normalización. La norma del generador es \(2\).
Resultado. Una base ortonormal de \(W^\perp\) es \(\left\{\frac12(-1,1,-1,1)\right\}\).
Base ortonormal de un plano
Obtén mediante Gram-Schmidt una base ortonormal del plano \(x+y+z=0\).
Base inicial. Dos vectores del plano son \(v_1=(1,-1,0)\) y \(v_2=(1,0,-1)\).
Segunda dirección.
Resultado. \(\left\{\frac1{\sqrt2}(1,-1,0),\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)\right\}\) es una base ortonormal del plano.
Gram-Schmidt en P₂ con producto integral
En \(P_2\) se define \(\langle p,q\rangle=\int_0^1p(x)q(x)\,dx\). Ortonormaliza la base \(\{1,x,x^2\}\).
Primer polinomio. Como \(\|1\|^2=1\), se tiene \(q_1=1\).
Segundo polinomio.
Tercer polinomio. Al retirar las componentes sobre \(1\) y \(x-1/2\), resulta:
Resultado. La base ortonormal es \(\left\{1,\sqrt{12}(x-1/2),\sqrt{180}(x^2-x+1/6)\right\}\).
Gram-Schmidt con pesos distintos
En \(\mathbb R^3\) se usa \(\langle x,y\rangle=x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3\). Ortonormaliza \(v_1=(1,1,0)\) y \(v_2=(1,0,1)\).
Primera dirección.
Segunda dirección. Como \(\langle v_2,v_1\rangle=1\),
Normalización. El vector \((2,-1,3)\) tiene norma ponderada \(\sqrt{15}\).
Resultado. \(q_1=(1,1,0)/\sqrt3\) y \(q_2=(2,-1,3)/\sqrt{15}\).
Proyección sobre una base no ortogonal
Sea \(W=\operatorname{span}\{a,b\}\), con \(a=(1,1,0)\), \(b=(1,0,1)\). Calcula la proyección de \(x=(2,1,3)\) sobre \(W\) y la distancia de \(x\) a \(W\).
Sistema de proyección. Como la base no es ortogonal, buscamos \(p=c_1a+c_2b\) imponiendo que \(x-p\) sea ortogonal a \(a\) y a \(b\).
Resultado. \(\operatorname{proj}_W(x)=(8/3,1/3,7/3)\) y \(d(x,W)=2/\sqrt3\).
Proyección sobre un plano afín
Calcula el punto del plano \(H: x+y+z=1\) más próximo a \(p=(2,-1,3)\) y determina la distancia.
Dirección normal. El vector normal es \(n=(1,1,1)\).
Resultado. El punto más próximo es \((1,-2,2)\) y la distancia es \(\sqrt3\).
Matriz de proyección sobre un plano
Obtén la matriz de la proyección ortogonal sobre el plano \(x+2y-2z=0\) y comprueba sus propiedades principales.
Vector normal. Tomamos \(n=(1,2,-2)\), con \(n^Tn=9\).
Comprobación. La matriz es simétrica y cumple \(P^2=P\). Además, \(Pn=0\), como debe ocurrir con la dirección normal.
Resultado. La matriz anterior proyecta ortogonalmente sobre el plano.
Proyección de una matriz sobre el subespacio simétrico
En \(M_3(\mathbb R)\), con el producto de Frobenius, proyecta \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&4\\5&-2&1\end{pmatrix}\) sobre el subespacio de matrices simétricas y calcula la distancia a dicho subespacio.
Descomposición ortogonal.
Interpretación. Las matrices simétricas y antisimétricas son subespacios ortogonales para el producto de Frobenius. Por tanto, \(S\) es la proyección.
Resultado. \(\operatorname{proj}_{\mathcal S}(A)=S\) y \(d(A,\mathcal S)=\sqrt{38}\).
Mejor aproximación de una función por polinomios
En \(L^2[-1,1]\), calcula la mejor aproximación de \(f(x)=x^3\) mediante polinomios de grado menor o igual que dos. Determina también el error.
Simetría. Como \(x^3\) es impar, sus proyecciones sobre \(1\) y \(x^2\) son cero. Solo queda la componente sobre \(x\).
Error cuadrático.
Resultado. La mejor aproximación es \(p_2(x)=3x/5\) y el error es \(\sqrt{8/175}=2\sqrt{14}/35\).
Factorización QR y solución de mínimos cuadrados
Sea \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\1&-1\end{pmatrix}\) y \(b=(1,2,2)^T\). Obtén una factorización QR de \(A\) y resuelve \(A\hat x\approx b\).
Columnas. \(a_1=(1,1,1)^T\) y \(a_2=(1,0,-1)^T\) ya son ortogonales.
Sistema triangular.
Resultado. \(\hat x=(5/3,-1/2)^T\) y el residuo tiene norma \(1/\sqrt6\).
Sistema incompatible y vector más próximo
Resuelve por mínimos cuadrados \(A\hat x\approx b\), con \(A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}\) y \(b=(1,2,4)^T\). Calcula el vector proyectado y comprueba el residuo.
Ecuaciones normales.
Proyección y residuo.
Resultado. La solución de mínimos cuadrados es \(\hat x=(0,3)^T\), el vector más próximo es \((0,3,3)^T\) y \(\|r\|=\sqrt3\).
Ajuste cuadrático por mínimos cuadrados
Ajusta \(y=a+bx+cx^2\) a los puntos \((-1,2)\), \((0,0)\), \((1,1)\) y \((2,6)\). Calcula el residuo.
Matriz del modelo.
Resultado. \(\hat y=-3/20-(9/20)x+(7/4)x^2\) y \(\|r\|^2=1/20\).
Regresión lineal ponderada
Ajusta una recta \(y=a+bx\) a los puntos \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\), dando al punto central peso \(2\) y a los otros dos peso \(1\).
Matrices.
Resultado. La recta ponderada es \(\hat y=5/4+x/2\) y el error ponderado mínimo es \(r^TWr=1/4\).
Problema integrado de base ortonormal, proyección y distancia
Sea el subespacio:
Construye una base ortonormal de \(W\), proyecta \(x=(2,1,0,3)\) sobre \(W\) y calcula la distancia.
Gram-Schmidt. Una base ortonormal obtenida a partir de los generadores es:
Proyección.
Residuo y distancia.
Resultado. La proyección es \((5/2,1/2,-1/2,5/2)\) y la distancia a \(W\) es \(1\).
10. Ejercicios para practicar
- Calcula el ángulo entre \((2,1,-1)\) y \((1,-2,0)\).
- Determina el complemento ortogonal de \(\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}\).
- Ortonormaliza \((1,2)\) y \((2,0)\).
- Construye una base ortonormal del plano \(x-2y+z=0\).
- Proyecta \((3,2,-1)\) sobre \(\operatorname{span}\{(1,1,1)\}\).
- Calcula la distancia de \((1,2,3)\) al plano \(x+y-z=0\).
- Obtén la matriz de proyección sobre \(\operatorname{span}\{(1,-1)\}\).
- Calcula una factorización QR de \(\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{pmatrix}\).
- Ajusta una constante a los datos \((3,5,7,9)\).
- Ajusta una recta a \((0,0)\), \((1,1)\), \((2,3)\).
- Resuelve por mínimos cuadrados \(x+y=1\), \(x-y=2\), \(2x=0\).
- Comprueba que el residuo del ejercicio anterior es ortogonal a las columnas de la matriz.
11. Respuestas de práctica
- \(\cos\theta=0\), luego \(90^{\circ}\).
- \(\operatorname{span}\{(-1,-1,1)\}\).
- \(q_1=(1,2)/\sqrt5\), \(q_2=(2,-1)/\sqrt5\).
- Una opción: \((2,1,0)/\sqrt5\) y \((-1,2,5)/\sqrt{30}\).
- \((4/3,4/3,4/3)\).
- \(\sqrt2\).
- \(P=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\).
- \(q_1=(1,1,1)/\sqrt3\), \(q_2=(-1,0,1)/\sqrt2\), con el \(R\) correspondiente.
- \(c=6\).
- \(\hat y=-1/6+(3/2)x\).
- \(\hat x=(1/2,-1/2)\).
- Se obtiene \(A^Tr=0\).
12. Errores frecuentes
13. Recursos relacionados
14. Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una base ortogonal y una ortonormal?
En una base ortogonal, los vectores son perpendiculares entre sí. En una base ortonormal, además, todos tienen norma uno.
¿Gram-Schmidt cambia el subespacio generado?
No. Sustituye la base por otra más cómoda, pero conserva exactamente el mismo subespacio.
¿Qué significa que aparezca un vector cero en Gram-Schmidt?
Significa que el vector que se estaba procesando dependía linealmente de los anteriores.
¿Puedo sumar proyecciones sobre una base que no sea ortogonal?
No con la fórmula simple. Primero hay que ortogonalizar la base o resolver el sistema de proyección correspondiente.
¿Por qué las ecuaciones normales contienen A transpuesta por A?
Porque imponen que el residuo sea ortogonal a todas las columnas de A: \(A^T(b-A\hat x)=0\).
¿Qué relación hay entre mínimos cuadrados y regresión lineal?
La regresión lineal elige los parámetros de una recta o de otro modelo minimizando la suma de los cuadrados de los residuos.
¿Es mejor usar ecuaciones normales o QR?
Para cuentas pequeñas, las ecuaciones normales son directas. En cálculo numérico, QR suele ser más estable.
¿Este recurso sirve para ADE y Economía?
Sí. El nivel cubre el álgebra lineal habitual de primeros cursos, especialmente proyecciones, bases ortonormales, QR y mínimos cuadrados.