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Aplicaciones lineales: ejercicios resueltos paso a paso para ADE y Economía
Aplicaciones lineales explicadas paso a paso con ejercicios resueltos
Nivel: ADE, Economía, grados de ciencias sociales, primeros cursos universitarios y asignaturas de Álgebra Lineal.
Las aplicaciones lineales suelen parecer al principio un tema abstracto: flechas entre espacios vectoriales, matrices, núcleo, imagen, rango... y el alumno no sabe muy bien si está haciendo teoría o sistemas. Vamos por partes. Una aplicación lineal no es una fórmula rara: es una transformación que respeta sumas y productos por escalares.
En este recurso vas a aprender qué es una aplicación lineal, cómo se comprueba si una función lo es, cómo se calcula su matriz asociada, qué significan el núcleo y la imagen, y cómo se estudian inyectividad, sobreyectividad y rango sin mezclar churras con merinas.
Frontera del recurso: no vamos a convertir esto en un tema completo de espacios vectoriales, ni en un bloque de diagonalización, ni en un capítulo general de sistemas. Usaremos matrices y Gauss solo cuando hagan falta para entender la aplicación lineal.
Si estás preparando Álgebra en ADE, Economía o primeros cursos universitarios, este tema conviene trabajarlo con método. No se gana tiempo aprendiendo definiciones de memoria sin saber aplicarlas a ejercicios. Primero orden, luego velocidad.
Índice del recurso
1. Teoría desde cero
Idea intuitiva: qué hace una aplicación lineal
Una aplicación lineal transforma vectores en otros vectores. Por ejemplo, puede coger un vector de \(\mathbb{R}^2\) y devolver otro vector de \(\mathbb{R}^2\):
Esto significa que a cada pareja \((x,y)\) le asignamos otra pareja. Por ejemplo:
Hasta aquí parece una función normal. Lo especial es que la transformación debe respetar la estructura vectorial: sumas y productos por números.
Definición de aplicación lineal
Una aplicación \(T:V\to W\) es lineal si para cualesquiera vectores \(u,v\in V\) y cualquier escalar \(\lambda\), se cumple:
También se puede juntar en una sola condición:
Esta última forma es la más útil para justificar ejercicios con rapidez y rigor.
Ejemplos que sí son lineales
Son lineales aplicaciones como:
Observa que las componentes son combinaciones lineales de las variables. No aparecen cuadrados, productos entre variables, senos, cosenos, raíces ni términos independientes.
Ejemplos que no son lineales
No son lineales, por ejemplo:
En el primer caso aparece un término independiente. En el segundo, un cuadrado. En el tercero, un producto de variables. No basta con que la fórmula parezca sencilla.
Matriz asociada a una aplicación lineal
Si trabajamos con bases canónicas, una aplicación lineal se puede representar mediante una matriz. Por ejemplo:
Entonces:
La matriz asociada es:
La primera columna es \(T(e_1)\) y la segunda columna es \(T(e_2)\), donde \(e_1=(1,0)\) y \(e_2=(0,1)\).
Núcleo de una aplicación lineal
El núcleo de \(T\) es el conjunto de vectores que van al vector cero:
Dicho en lenguaje de ejercicio: para calcular el núcleo igualamos la aplicación a cero y resolvemos el sistema. Este detalle en examen suele costar puntos, porque muchos alumnos no saben si tienen que igualar a cero o calcular columnas.
Imagen de una aplicación lineal
La imagen de \(T\) es el conjunto de vectores que pueden salir como resultado:
Si tienes la matriz asociada, la imagen está generada por sus columnas:
Luego se simplifica con independencia lineal o rango.
Rango y nulidad
El rango es la dimensión de la imagen:
La nulidad es la dimensión del núcleo:
Para una aplicación lineal \(T:V\to W\), si \(V\) tiene dimensión finita:
Esta fórmula se llama teorema rango-nulidad. No hay que usarla como receta ciega, pero ayuda mucho a revisar si los resultados tienen sentido.
Inyectividad y sobreyectividad
Una aplicación lineal es inyectiva si no aplasta dos vectores distintos en el mismo resultado. En aplicaciones lineales, esto se traduce en una condición muy cómoda:
Una aplicación lineal es sobreyectiva si su imagen llena todo el espacio de llegada:
Y si una aplicación de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^n\) es inyectiva, también es sobreyectiva, y al revés. Pero ojo: eso ocurre cuando la dimensión de salida y llegada coincide. Si no, conviene revisar rango, núcleo e imagen con calma.
2. Procedimiento paso a paso
Para trabajar aplicaciones lineales sin perderse, usa siempre este orden.
- Lee dominio y codominio. No es igual \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) que \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\).
- Comprueba si puede ser lineal. Mira si hay términos independientes, cuadrados, productos entre variables, raíces, senos o constantes sueltas.
- Usa el filtro \(T(0)=0\). Si falla, no es lineal. No hace falta complicarse más.
- Si parece lineal, identifica la matriz asociada. Coloca coeficientes por filas o calcula imágenes de la base canónica.
- Para el núcleo, resuelve \(A\cdot x=0\). El núcleo sale de un sistema homogéneo.
- Para la imagen, estudia las columnas de \(A\). La imagen está generada por esas columnas.
- Calcula el rango. Puedes usar independencia de columnas o reducción por Gauss.
- Decide inyectividad. Es inyectiva si el núcleo solo contiene el vector cero.
- Decide sobreyectividad. Es sobreyectiva si el rango coincide con la dimensión del espacio de llegada.
- Revisa con rango-nulidad. La suma dimensión del núcleo + rango debe dar la dimensión del dominio.
3. Errores frecuentes
Confundir función con aplicación lineal
Que una fórmula vaya de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\) no significa que sea lineal. Si aparece \(+1\), \(x^2\), \(xy\) o \(\sin x\), ya hay que sospechar.
Olvidar comprobar \(T(0)=0\)
Es el filtro más rápido. Si \(T(0)\ne0\), no hay linealidad. No hace falta hacer una demostración larga.
Construir mal la matriz
Muchos alumnos cambian filas por columnas. Cada componente de la aplicación forma una fila si escribimos \(T(x)=Ax\).
Confundir núcleo e imagen
El núcleo vive en el dominio. La imagen vive en el codominio. Si no se distingue esto, se lía la madeja.
Decir sobreyectiva sin mirar el codominio
Para ser sobreyectiva hay que llenar todo el espacio de llegada. No basta con que la imagen tenga muchos vectores.
Usar Gauss sin interpretar
Gauss ayuda, pero no sustituye la idea. Hay que decir qué se está calculando: núcleo, rango, imagen o independencia.
4. Ejercicios resueltos paso a paso
Vamos de ejercicios básicos a ejercicios de examen. No hagas veinte ejercicios a ciegas: fíjate en qué se está decidiendo en cada uno.
Ejercicio 1. Comprobar si una aplicación es lineal
Enunciado. Estudia si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), dada por \(T(x,y)=(2x-y,3x+4y)\), es lineal.
Las dos componentes son combinaciones lineales de \(x\) e \(y\). No hay términos independientes ni productos raros.
Podemos escribir:
Resultado. Sí es lineal.
Ejercicio 2. Detectar una aplicación no lineal por término independiente
Enunciado. Estudia si \(T(x,y)=(x+1,2y)\) es lineal.
Usamos el filtro del cero:
Pero una aplicación lineal debe cumplir \(T(0,0)=(0,0)\).
Resultado. No es lineal.
Ejercicio 3. Detectar una aplicación no lineal por cuadrado
Enunciado. Estudia si \(T(x,y)=(x^2,y)\) es lineal.
Aunque \(T(0,0)=(0,0)\), eso no basta. Probamos homogeneidad:
Pero:
No coinciden.
Resultado. No es lineal.
Ejercicio 4. Matriz asociada
Enunciado. Halla la matriz asociada a \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x-2y+z,3x+y-4z)\).
Escribimos los coeficientes por componentes:
Resultado.
Ejercicio 5. Calcular imágenes de vectores
Enunciado. Sea \(T(x,y)=(2x+y,x-3y)\). Calcula \(T(1,2)\) y \(T(-1,0)\).
Sustituimos:
Resultado. \(T(1,2)=(4,-5)\), \(T(-1,0)=(-2,-1)\).
Ejercicio 6. Núcleo de una aplicación lineal
Enunciado. Calcula el núcleo de \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,2x+2y)\).
Igualamos a cero:
La segunda ecuación es la misma que la primera. Entonces:
Tomamos \(y=t\), y queda:
Resultado.
Ejercicio 7. Imagen de una aplicación lineal
Enunciado. Calcula la imagen de \(T(x,y)=(x+y,2x+2y)\).
La matriz asociada es:
La imagen está generada por las columnas:
Como las dos columnas son iguales:
Resultado. La imagen es la recta generada por \((1,2)\).
Ejercicio 8. Inyectividad
Enunciado. Estudia si \(T(x,y)=(x+y,x-y)\) es inyectiva.
Calculamos el núcleo:
Sumando las dos ecuaciones:
Entonces \(y=0\).
Por tanto:
Resultado. Es inyectiva.
Ejercicio 9. Sobreyectividad
Enunciado. Estudia si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,x-y)\), es sobreyectiva.
La matriz es:
Calculamos el determinante:
La matriz tiene rango 2, que coincide con la dimensión del codominio \(\mathbb{R}^2\).
Resultado. Es sobreyectiva. También es inyectiva.
Ejercicio 10. Aplicación de R3 en R2
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x+y+z,x-y)\). Calcula núcleo, imagen y rango.
Matriz asociada:
Núcleo. Igualamos a cero:
De la segunda, \(x=y\). Sustituimos en la primera:
Tomando \(y=t\):
Así:
Imagen. Las columnas son:
Las dos primeras son independientes, por tanto generan \(\mathbb{R}^2\).
Resultado. \(\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2\), \(\operatorname{rg}(T)=2\), \(\dim\ker(T)=1\).
Ejercicio 11. Aplicación no sobreyectiva
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\), \(T(x,y)=(x,y,x+y)\). ¿Es sobreyectiva?
El dominio tiene dimensión 2. La imagen de una aplicación desde \(\mathbb{R}^2\) puede tener como máximo dimensión 2.
Pero el codominio \(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 3.
No puede llenar todo \(\mathbb{R}^3\).
Resultado. No es sobreyectiva.
La imagen es un plano dentro de \(\mathbb{R}^3\), no todo el espacio.
Ejercicio 12. Aplicación no inyectiva por dimensiones
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\). ¿Puede ser inyectiva?
Una aplicación lineal de \(\mathbb{R}^3\) en \(\mathbb{R}^2\) no puede ser inyectiva, porque el espacio de salida tiene menos dimensión que el de entrada.
Por rango-nulidad:
Pero \(\operatorname{rg}(T)\le2\), luego:
Así que el núcleo no puede ser solo \(\{0\}\).
Resultado. No puede ser inyectiva.
Ejercicio 13. Hallar la matriz usando imágenes de la base
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) lineal, con \(T(1,0)=(1,2,0)\) y \(T(0,1)=(-1,1,3)\). Halla su matriz.
Las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores de la base canónica:
Resultado. Esa es la matriz asociada en bases canónicas.
Ejercicio 14. Reconstruir la aplicación desde la matriz
Enunciado. Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&0&1\\-1&3&4\end{pmatrix}\), escribe la aplicación lineal asociada.
Multiplicamos por \((x,y,z)^T\):
Resultado.
Ejercicio 15. Determinar si es isomorfismo
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(3x+y,2x-y)\). Estudia si es un isomorfismo.
La matriz asociada es:
Calculamos determinante:
Al ser una matriz cuadrada con determinante no nulo, la aplicación es biyectiva.
Resultado. Sí es un isomorfismo.
Ejercicio 16. Aplicación con parámetro
Enunciado. Sea \(T_a:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T_a(x,y)=(ax+y,x+ay)\). Estudia para qué valores de \(a\) es isomorfismo.
La matriz asociada es:
Calculamos determinante:
Es isomorfismo si:
Es decir:
Resultado. Es isomorfismo para \(a\ne\pm1\).
Ejercicio 17. Núcleo con parámetro
Enunciado. Para \(a=1\), calcula el núcleo de \(T_a(x,y)=(ax+y,x+ay)\).
Si \(a=1\):
Igualamos a cero:
Tomamos \(y=t\), entonces \(x=-t\):
Resultado.
Ejercicio 18. Imagen con parámetro
Enunciado. Para \(a=1\), calcula la imagen de \(T_a(x,y)=(ax+y,x+ay)\).
Para \(a=1\):
Las columnas son \((1,1)\) y \((1,1)\). Por tanto:
Resultado. La imagen es una recta en \(\mathbb{R}^2\), no todo \(\mathbb{R}^2\).
Ejercicio 19. Composición de aplicaciones lineales
Enunciado. Sean \(T(x,y)=(x+y,y)\) y \(S(u,v)=(2u-v,u+v)\). Calcula \((S\circ T)(x,y)\).
Primero aplicamos \(T\):
Ahora aplicamos \(S\) a \((u,v)=(x+y,y)\):
Simplificamos:
Resultado. \((S\circ T)(x,y)=(2x+y,x+2y)\).
Ejercicio 20. Matriz de una composición
Enunciado. Si \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) representa \(T\) y \(B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}\) representa \(S\), halla la matriz de \(S\circ T\).
La matriz de \(S\circ T\) es \(BA\), porque primero se aplica \(T\) y después \(S\):
Resultado. La matriz de \(S\circ T\) es \(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).
Ejercicios potentes tipo examen
Tipo examen 1. Estudio completo de una aplicación lineal
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(T(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)\). Calcula matriz, núcleo, imagen, rango y decide si es isomorfismo.
Matriz:
Determinante:
Como \(\det(A)=2\ne0\), la matriz tiene rango 3.
Por tanto:
Resultado. \(T\) es inyectiva, sobreyectiva y, por tanto, isomorfismo.
Tipo examen 2. Aplicación con parámetro y rango
Enunciado. Sea \(T_a:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), con matriz
Estudia para qué valores de \(a\) es isomorfismo.
Calculamos el determinante:
El determinante es cero para todo \(a\). Por tanto, nunca tiene rango 3.
Resultado. No es isomorfismo para ningún valor de \(a\).
Tipo examen 3. Base del núcleo y base de la imagen
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) con matriz
Calcula una base del núcleo y una base de la imagen.
Observamos que la tercera fila es suma de la primera y la segunda:
Luego el rango es como máximo 2. Las dos primeras filas son independientes, así que el rango es 2.
Para el núcleo resolvemos:
Tomamos \(z=s\), \(w=t\). De la segunda:
De la primera:
Entonces:
Una base del núcleo es:
Para la imagen usamos columnas independientes. Las dos primeras columnas son:
No son proporcionales, luego son independientes. Como el rango es 2, forman una base de la imagen.
Resultado.
Tipo examen 4. Interpretar rango-nulidad
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3\) lineal con \(\dim\ker(T)=2\). ¿Es sobreyectiva?
Aplicamos rango-nulidad:
Luego:
Como el codominio es \(\mathbb{R}^3\), cuya dimensión es 3, la imagen tiene toda la dimensión del espacio de llegada.
Resultado. Sí es sobreyectiva.
Tipo examen 5. Cambio de base básico
Enunciado. Sea \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,x-y)\). Calcula \(T(2,1)\) y expresa el resultado en la base \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).
Primero calculamos la imagen:
Queremos escribir:
Entonces:
Sistema:
Sumando:
Entonces \(b=1\).
Resultado. Las coordenadas de \(T(2,1)\) en la base \(B\) son \((2,1)_B\).
Esto roza cambio de base. Si el curso lo exige, conviene trabajarlo aparte para no mezclar temas.
5. Ejercicios para practicar
Hazlos por niveles. En aplicaciones lineales es mejor hacer pocos bien pensados que muchos de forma mecánica.
Básicos
- Estudia si \(T(x,y)=(x-y,2x+3y)\) es lineal.
- Estudia si \(T(x,y)=(x+2,y-1)\) es lineal.
- Halla la matriz asociada a \(T(x,y,z)=(x+z,2y-z)\).
- Calcula \(T(1,-2)\) para \(T(x,y)=(3x+y,x-4y)\).
- Escribe la aplicación asociada a \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\3&4\end{pmatrix}\).
Intermedios
- Calcula el núcleo de \(T(x,y)=(2x-y,4x-2y)\).
- Calcula la imagen de \(T(x,y)=(x+y,2x+2y,3x+3y)\).
- Estudia si \(T(x,y)=(2x+y,x+y)\) es inyectiva.
- Estudia si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\), \(T(x,y)=(x,y,x-y)\), es sobreyectiva.
- Calcula rango y nulidad de \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x+y,y+z)\).
Tipo examen
- Sea \(T(x,y,z)=(x+y+z,x-y,y-z)\). Calcula núcleo, imagen y rango.
- Sea \(T_a(x,y)=(ax+y,x+ay)\). Estudia para qué valores de \(a\) es inyectiva.
- Sea \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) con \(\dim\ker(T)=2\). ¿Puede ser sobreyectiva?
- Dadas \(T(x,y)=(x+y,y)\) y \(S(x,y)=(x-y,2x)\), calcula \(S\circ T\).
- Halla una base del núcleo de la matriz \(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\).
Para nota
- Construye una aplicación lineal de \(\mathbb{R}^3\) en \(\mathbb{R}^3\) cuyo núcleo tenga dimensión 1.
- Construye una aplicación lineal de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\) cuya imagen tenga dimensión 2.
- Explica por qué no puede existir una aplicación lineal inyectiva de \(\mathbb{R}^4\) en \(\mathbb{R}^2\).
- Explica por qué una matriz cuadrada con determinante distinto de cero define un isomorfismo.
- Estudia si \(T(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)\) conserva independencia lineal.
6. Soluciones rápidas para corregir
| Ejercicio | Resultado | Comentario breve |
|---|---|---|
| 1 | Sí es lineal | Componentes lineales sin término independiente. |
| 2 | No es lineal | \(T(0,0)=(2,-1)\ne(0,0)\). |
| 3 | \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&-1\end{pmatrix}\) | Coeficientes por componentes. |
| 4 | \(T(1,-2)=(1,9)\) | Sustitución directa. |
| 5 | \(T(x,y)=(x+2y,-y,3x+4y)\) | Multiplicar matriz por vector columna. |
| 6 | \(\ker(T)=\langle(1,2)\rangle\) | Resolver \(2x-y=0\). |
| 7 | \(\operatorname{Im}(T)=\langle(1,2,3)\rangle\) | Columnas dependientes. |
| 8 | Sí es inyectiva | Determinante \(=1\ne0\). |
| 9 | No es sobreyectiva | Va de dimensión 2 a dimensión 3. |
| 10 | Rango 2, nulidad 1 | Por rango-nulidad. |
| 11 | Núcleo trivial, rango 3 | Es isomorfismo si el determinante no es cero. |
| 12 | Inyectiva si \(a\ne\pm1\) | Determinante \(a^2-1\). |
| 13 | Sí puede ser sobreyectiva | Rango \(=4-2=2\), codominio dimensión 2. |
| 14 | \((S\circ T)(x,y)=(x,x+y)\) | Aplicar primero \(T\). |
| 15 | \(\ker=\langle(1,-1,1)\rangle\) | Sistema \(x+y=0\), \(y+z=0\). |
7. Simulacro final
Tiempo recomendado: 70 minutos.
Instrucciones: justifica cada respuesta. No basta con poner sí o no. En Álgebra Lineal se puntúa mucho el razonamiento: núcleo, imagen, rango, dimensiones y matriz asociada deben estar bien conectados.
- Estudia si \(T(x,y)=(x+2y,3x-y)\) es lineal.
- Estudia si \(S(x,y)=(x+1,y)\) es lineal.
- Halla la matriz de \(T(x,y,z)=(x-y+z,2x+3z)\).
- Calcula el núcleo de \(T(x,y)=(x+y,2x+2y)\).
- Calcula la imagen de \(T(x,y)=(x+y,2x+2y)\).
- Estudia si \(T(x,y)=(2x-y,x+y)\) es isomorfismo.
- Sea \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x+y,y+z)\). Calcula rango y nulidad.
- Sea \(T_a(x,y)=(ax+y,x+ay)\). Estudia para qué valores de \(a\) no es isomorfismo.
- Calcula \((S\circ T)(x,y)\) si \(T(x,y)=(x+y,y)\) y \(S(u,v)=(u-v,2v)\).
- Explica con una frase clara por qué una aplicación de \(\mathbb{R}^2\) en \(\mathbb{R}^3\) no puede ser sobreyectiva.
Criterio de corrección
| Bloque | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Linealidad | 2 puntos | Comprobar con criterio, no por intuición. |
| Matriz asociada | 1,5 puntos | Colocar bien coeficientes y dimensiones. |
| Núcleo e imagen | 3 puntos | Resolver sistemas y generar subespacios correctamente. |
| Rango, nulidad e isomorfismo | 2 puntos | Usar dimensiones, determinante o rango cuando proceda. |
| Presentación y justificación | 1,5 puntos | Orden, lenguaje matemático y comprobación final. |
Soluciones del simulacro
- Sí es lineal.
- No es lineal, porque \(S(0,0)=(1,0)\ne(0,0)\).
- \(A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&0&3\end{pmatrix}\).
- \(\ker(T)=\langle(-1,1)\rangle\).
- \(\operatorname{Im}(T)=\langle(1,2)\rangle\).
- Matriz \(\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}\), determinante \(3\ne0\), luego sí es isomorfismo.
- Rango 2 y nulidad 1.
- No es isomorfismo para \(a=1\) y \(a=-1\).
- \((S\circ T)(x,y)=(x,2y)\).
- Porque la imagen tiene dimensión como máximo 2 y no puede llenar \(\mathbb{R}^3\), que tiene dimensión 3.
8. Diagnóstico de errores
Lo que ocurre: el alumno dice que una aplicación es lineal porque tiene letras y números.
Qué suele haber detrás: no ha interiorizado que lineal significa respetar sumas y escalares, no simplemente tener una fórmula.
Cómo corregirlo: revisar primero \(T(0)=0\) y después comprobar si las componentes son combinaciones lineales de las variables.
Lo que ocurre: calcula el núcleo, pero lo escribe como si estuviera en el codominio.
Qué suele haber detrás: confunde espacio de salida y espacio de llegada.
Cómo corregirlo: recordar que el núcleo siempre está formado por vectores del dominio.
Lo que ocurre: confunde imagen con matriz.
Qué suele haber detrás: se queda en el cálculo y no interpreta columnas, rango ni subespacio generado.
Cómo corregirlo: escribir la imagen como subespacio generado por columnas independientes.
Lo que ocurre: decide inyectividad o sobreyectividad mirando solo si hay muchas ecuaciones.
Qué suele haber detrás: no conecta rango, núcleo y dimensiones.
Cómo corregirlo: usar \(\ker(T)=\{0\}\) para inyectividad y \(\operatorname{rg}(T)=\dim(W)\) para sobreyectividad.
9. Qué estudiar antes y después
Este recurso debe encajar dentro de una ruta de Álgebra Lineal, no como un post suelto. Las aplicaciones lineales se entienden mucho mejor si antes el alumno controla espacios vectoriales, combinaciones lineales e independencia.
Antes de aplicaciones lineales
Si todavía cuesta distinguir subespacio, sistema generador, independencia o base, conviene repasar primero espacios vectoriales para ADE. Sin esa base, núcleo e imagen se vuelven palabras vacías.
Herramienta de cálculo
Para calcular núcleos, rangos e imágenes aparece muchas veces el método de Gauss. Si ese paso falla, puedes revisar Cramer y Gauss para ADE, especialmente la parte de sistemas homogéneos.
Después de este recurso
Cuando ya entiendes matriz asociada, núcleo, imagen e isomorfismo, el siguiente salto natural es diagonalización de matrices para ADE y Economía. Allí las aplicaciones lineales se vuelven todavía más importantes.
Apoyo universitario
Si estás preparando Álgebra, Cálculo o Análisis, puedes ver nuestras Matemáticas universitarias online. Trabajamos con explicación paso a paso, pizarra digital compartida y corrección de ejercicios reales.
Las aplicaciones lineales no se dominan memorizando cuatro palabras. Hay que saber pasar de la fórmula a la matriz, de la matriz al núcleo, del núcleo a la inyectividad y de las columnas a la imagen. Si ese recorrido se trabaja bien, el tema deja de parecer abstracto.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material elaborado para estudiantes de ADE, Economía y primeros cursos universitarios que necesitan preparar Cálculo, Álgebra, Análisis o métodos cuantitativos con explicación clara, ejercicios resueltos y corrección paso a paso.
10. Preguntas frecuentes sobre aplicaciones lineales
¿Qué es una aplicación lineal?
Una aplicación lineal es una transformación entre espacios vectoriales que respeta la suma de vectores y el producto por escalares. Es decir, cumple \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) y \(T(\lambda u)=\lambda T(u)\).
¿Cómo sé rápido si una aplicación no es lineal?
Un primer filtro es comprobar \(T(0)=0\). Si no se cumple, no es lineal. También dejan de ser lineales las expresiones con términos independientes, cuadrados, productos entre variables o funciones no lineales como seno, coseno, raíz o logaritmo.
¿Qué es el núcleo de una aplicación lineal?
El núcleo es el conjunto de vectores del dominio que se transforman en el vector cero. Para calcularlo, se resuelve el sistema homogéneo \(T(v)=0\).
¿Qué es la imagen de una aplicación lineal?
La imagen es el conjunto de vectores que se pueden obtener como resultado de aplicar \(T\). Si tenemos la matriz asociada, la imagen está generada por sus columnas.
¿Cuándo una aplicación lineal es inyectiva?
Una aplicación lineal es inyectiva si su núcleo contiene solo el vector cero. Es decir, \(\ker(T)=\{0\}\).
¿Cuándo una aplicación lineal es sobreyectiva?
Es sobreyectiva si su imagen coincide con todo el codominio. En términos de rango, debe cumplirse que \(\operatorname{rg}(T)=\dim(W)\), donde \(W\) es el espacio de llegada.
¿Qué relación hay entre una aplicación lineal y una matriz?
En bases canónicas, toda aplicación lineal entre espacios \(\mathbb{R}^n\) y \(\mathbb{R}^m\) puede representarse mediante una matriz. Aplicar la transformación equivale a multiplicar esa matriz por el vector.
¿Por qué aplicaciones lineales aparece en ADE y Economía?
Porque forma parte de Álgebra Lineal, una herramienta base para modelos económicos, sistemas, matrices, transformaciones, optimización y métodos cuantitativos. Además, ayuda a entender mejor rango, independencia y estructura de soluciones.