Bases y dimensión en espacios vectoriales: ejercicios resueltos para ADE y Economía

Q: ¿Qué dirección tiene una matriz de cambio de base?

La matriz P_{C←B} transforma coordenadas en B en coordenadas en C. Se puede calcular como P_C^{-1}P_B, donde las columnas de P_B y P_C son los vectores de cada base respecto de una misma referencia fija.

Q: ¿Cuándo es directa una suma de subespacios?

La suma U+W es directa si U∩W contiene únicamente el vector cero. Entonces cada vector de la suma tiene una descomposición única como u+w.

Publicado por

JOSE-MARIA

septiembre 15, 2026

el mayo 31, 2026

Marlu Educativa · Biblioteca de MatemáticasÁlgebra Lineal · Primeros cursos universitarios

Manual razonado con soluciones completas

Aprender una base no consiste en memorizar una definición: hay que reconocer qué direcciones faltan, cuáles sobran y cómo demostrarlo. Este cuaderno reúne el método y la práctica necesaria para hacerlo con seguridad.

Independencia, generación, rango, subespacios, coordenadas, cambio de base, suma e intersección. Soluciones desarrolladas y comprobadas.

72 ejercicios resueltos8 bloques progresivos8 esquemas propios2 simulacros

Una guía para entender y resolver

El núcleo está pensado para Álgebra de ADE y Economía. Los bloques de polinomios, matrices, cambio de base y operaciones con subespacios amplían el recorrido hacia Estadística, dobles grados e Ingenierías de primer curso. Como los programas cambian entre universidades, el índice permite estudiar solo lo que figure en tu asignatura.

Antes de empezar conviene manejar combinaciones lineales y sistemas homogéneos. Si esos conceptos todavía no están asentados, puedes repasar espacios vectoriales y subespacios. Cuando aparezca una reducción de matrices, basta con recuperar el método de Gauss y el cálculo del rango.

Cómo elegir el recorrido

Núcleo de ADE y Economía

Empieza por independencia, generación, bases, dimensión, rango y subespacios. Añade coordenadas y rango–nulidad si aparecen en tu guía.

Economía cuantitativa y Estadística

Completa el recorrido con polinomios, matrices, cambio de base, suma, intersección y fórmula de Grassmann.

Ingenierías y dobles grados

Trabaja los ocho bloques, especialmente los casos con parámetros, los cambios de representación y los dos simulacros.

Por qué aparece en tantos grados. El rango permite detectar información redundante en una matriz de datos; las ecuaciones de un subespacio describen restricciones compatibles; y un cambio de base ofrece otra forma de representar el mismo objeto. Cambia el contexto, pero no el razonamiento algebraico.

Esta selección es orientativa. La guía docente y las indicaciones del profesor determinan el temario examinable.

La idea que ordena todo el tema

Una base es una familia sin redundancias y sin direcciones ausentes. Esa frase reúne los dos requisitos: independencia y generación. La dimensión cuenta cuántos vectores necesita cualquier base del espacio, siempre que trabajemos en dimensión finita.

Generar

Todo vector del espacio puede escribirse como combinación lineal de la familia.

Ser independiente

La combinación lineal nula solo se obtiene con todos los coeficientes iguales a cero.

Ser base

La familia genera el espacio y, al mismo tiempo, es linealmente independiente.

Tener dimensión n

Todas las bases del espacio contienen exactamente n vectores.

Dos convenios que conviene fijar. Una base es una familia ordenada cuando hablamos de coordenadas: cambiar el orden cambia la columna de coordenadas. Además, el espacio nulo

\{0\}

tiene dimensión cero y su base es la familia vacía.

Un método de trabajo que no mezcla conceptos

Identifica el espacio y su dimensión. Distingue el espacio ambiente del subespacio que se estudia.
Lee cómo viene descrito. Generadores, ecuaciones homogéneas, coordenadas o una matriz requieren entradas distintas.
Decide qué hay que demostrar. Independencia, generación, base, dimensión, coordenadas, suma o intersección.
Organiza los vectores como columnas. Si aplicas Gauss, conserva la referencia a las columnas de la matriz original.
Calcula y separa los casos singulares. Un determinante solo sirve directamente cuando la matriz es cuadrada.
Interpreta el rango o los parámetros. No dejes el resultado reducido a una fila escalonada.
Comprueba. Sustituye en las ecuaciones, reconstruye el vector o contrasta las dimensiones.

Qué herramienta conviene usar
Situación	Herramienta principal	Qué debe quedar justificado
n vectores en $\mathbb R^n$	Determinante o rango	Si el rango es n, forman base.
p vectores en $\mathbb R^n$	Gauss por columnas	Columnas pivote originales y rango.
Subespacio $Ax=0$	Resolver y parametrizar	Generadores independientes y número de parámetros.
Coordenadas en una base	$P_Bc=v$	Orden de la base y reconstrucción de v.
Suma e intersección	Unir generadores / sistema común	Base de cada espacio y fórmula de Grassmann.
Familia con parámetro	Determinante y Gauss por casos	Todos los valores excepcionales.

Errores frecuentes y cómo detectarlos

«Hay n vectores, luego es base»

El número es necesario, no suficiente. Falta comprobar rango n o independencia.

Usar columnas de la matriz reducida

Los pivotes señalan qué columnas conservar, pero la base del espacio columna se toma en la matriz original.

Escribir $(a,b)_B$ sin fijar el orden

Las coordenadas dependen del orden de los vectores de B. Es más claro escribir la columna $[v]_B$ .

Confundir unión y suma

La suma permite vectores $u+w$ . La unión normalmente no está cerrada para la suma.

Olvidar un caso del parámetro

Cuando el determinante vale cero, hay que volver a calcular el rango; no basta con decir «no es base».

Perder el espacio ambiente

Una base de un plano en $\mathbb R^3$ tiene dos vectores, aunque cada vector tenga tres componentes.

72 ejercicios resueltos paso a paso

Intenta cada enunciado antes de abrir la solución. El desarrollo explica el criterio, ordena el cálculo verticalmente y termina con una comprobación. Los niveles orientan la progresión dentro de este cuaderno; no son categorías oficiales.

Bloque 01 · Ejercicios 001–008Independencia, generación y bases en Rⁿ

En este primer bloque se decide qué aportan realmente unos vectores. Una familia es independiente si la combinación lineal nula solo admite coeficientes nulos; genera un espacio si permite escribir todos sus vectores. Es base cuando cumple ambas condiciones.

Lectura rápida en dimensión n.

Más de n vectores: la familia es dependiente.
Menos de n vectores: no genera todo el espacio.
Exactamente n vectores: basta comprobar independencia o, de forma equivalente, rango n.

a_1v_1+\cdots+a_pv_p=0\quad\Longrightarrow\quad a_1=\cdots=a_p=0

Contar orienta, pero no sustituye la comprobación. Tener tres vectores en $\mathbb R^3$ no garantiza que formen una base.

Dos direcciones no paralelas permiten construir cualquier vector del plano; una tercera dirección sería redundante.

01FundamentoDos vectores que forman una base de R2

Enunciado

Estudia si $v_1=(2,-1)$ y $v_2=(1,3)$ forman una base de $\mathbb{R}^2$ .

Desarrollo

Modelo. Hay dos vectores en un espacio de dimensión $2$ . Basta comprobar que son linealmente independientes.

Los colocamos como columnas.

A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}

Calculamos el determinante.

\det(A)=2\cdot3-1\cdot(-1)

\det(A)=7\ne0

Las columnas son independientes. Como son dos en $\mathbb{R}^2$ , también generan todo el espacio.

Respuesta.

$B=\{(2,-1),(1,3)\}$ es una base de $\mathbb{R}^2$ .

Comprobación.

Si $\alpha(2,-1)+\beta(1,3)=0$ , la matriz del sistema tiene determinante $7$ ; por tanto, $\alpha=\beta=0$ .

02AplicaciónUna familia dependiente y el plano que genera

Enunciado

Sean $v_1=(1,2,-1)$ , $v_2=(0,1,3)$ y $v_3=(2,5,1)$ . Decide si forman una base de $\mathbb{R}^3$ y describe el subespacio que generan.

Desarrollo

Modelo. Antes de calcular un determinante conviene buscar una relación sencilla entre los vectores.

2v_1+v_2=2(1,2,-1)+(0,1,3)

2v_1+v_2=(2,5,1)=v_3

La relación $2v_1+v_2-v_3=0$ es no trivial, así que la familia es dependiente. Los vectores $v_1$ y $v_2$ no son proporcionales y forman una base del subespacio generado.

Para escribir ese plano mediante una ecuación buscamos un vector normal. El producto vectorial da

v_1\times v_2=(7,-3,1)

Por tanto, todos los vectores $(x,y,z)$ del plano cumplen

7x-3y+z=0

Respuesta.

No forman una base de $\mathbb{R}^3$ . Generan el plano $W=\{(x,y,z):7x-3y+z=0\}$ , con base $\{v_1,v_2\}$ y dimensión $2$ .

Comprobación.

Los tres vectores satisfacen $7x-3y+z=0$ . Además, $v_1$ y $v_2$ no son proporcionales, de modo que el plano tiene realmente dimensión $2$ .

03IntegraciónBase de R3 según un parámetro

Enunciado

Determina para qué valores de $k$ la familia

B_k=\{(1,1,0),(0,1,1),(k,0,1)\}

es una base de $\mathbb{R}^3$ . Estudia también el valor excepcional.

Desarrollo

Modelo. Una familia de tres vectores en $\mathbb{R}^3$ es base exactamente cuando el determinante de la matriz por columnas no se anula.

A_k=\begin{pmatrix}1&0&k\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}

Desarrollamos por la primera fila.

\det(A_k)=1\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix} +k\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}

\det(A_k)=1+k

Por tanto, hay base cuando

1+k\ne0

k\ne-1

Para $k=-1$ , el tercer vector queda $v_3=(-1,0,1)$ y aparece la relación

v_3=v_2-v_1

Respuesta.

$B_k$ es base de $\mathbb{R}^3$ si y solo si $k\ne-1$ . Para $k=-1$ , la familia genera un subespacio de dimensión $2$ .

Comprobación.

En el valor excepcional, $v_2-v_1=(-1,0,1)=v_3$ ; la dependencia prevista por el determinante queda identificada de forma explícita.

04FundamentoUna familia independiente que no genera R4

Enunciado

Estudia la independencia y la capacidad de generación de

F=\{(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,0,0)\}

en $\mathbb{R}^4$ . ¿Es una base de $\mathbb{R}^4$ ?

Desarrollo

Modelo. Para estudiar la independencia planteamos una combinación lineal igual al vector cero.

\alpha(1,0,1,0)+\beta(0,1,0,1)+\gamma(1,1,0,0)=0

Al comparar coordenadas obtenemos

\alpha+\gamma=0

\beta+\gamma=0

\alpha=0

\beta=0

Las dos últimas ecuaciones dan $\alpha=\beta=0$ , y las primeras obligan a $\gamma=0$ . La familia es independiente.

Sin embargo, tres vectores solo pueden generar un subespacio de dimensión $3$ , mientras que $\mathbb{R}^4$ tiene dimensión $4$ .

Respuesta.

$F$ es linealmente independiente y $\dim\langle F\rangle=3$ , pero no genera $\mathbb{R}^4$ y no es una base del espacio completo.

Comprobación.

El vector $(0,0,0,1)$ no pertenece a $\langle F\rangle$ : la tercera coordenada obligaría a $\alpha=0$ , la cuarta a $\beta=1$ , la primera a $\gamma=0$ y la segunda quedaría igual a $1$ , no a $0$ .

05AplicaciónCuatro vectores que generan R3 sin formar una base

Enunciado

Considera en $\mathbb{R}^3$ los vectores

v_1=(1,0,1),\quad v_2=(0,1,1),\quad v_3=(1,1,0),\quad v_4=(1,1,2)

Decide si la familia genera $\mathbb{R}^3$ , si es independiente y si es una base.

Desarrollo

Modelo. Que una familia tenga demasiados vectores impide la independencia, pero no impide que genere el espacio.

Los tres primeros vectores forman la matriz

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}

\det(A)=-2\ne0

Por ello, $v_1,v_2,v_3$ ya generan $\mathbb{R}^3$ . Además, el cuarto vector satisface

v_4=v_1+v_2

v_1+v_2-v_4=0

La familia completa es dependiente.

Respuesta.

Los cuatro vectores generan $\mathbb{R}^3$ , pero la familia no es independiente y, por tanto, no es una base. Una base extraída es $\{v_1,v_2,v_3\}$ .

Comprobación.

El determinante no nulo prueba que los tres primeros ya son una base; añadir $v_4$ conserva el espacio generado y crea redundancia.

06AplicaciónIndependencia mediante un sistema en R4

Enunciado

Estudia si son linealmente independientes los vectores

v_1=(1,1,0,1),\quad v_2=(0,1,1,1),\quad v_3=(1,0,1,-1)

y decide si forman una base de $\mathbb{R}^4$ .

Desarrollo

Modelo. Igualamos una combinación lineal al vector cero y resolvemos por coordenadas.

\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0

El sistema asociado es

\alpha+\gamma=0

\alpha+\beta=0

\beta+\gamma=0

\alpha+\beta-\gamma=0

De las dos primeras ecuaciones, $\gamma=-\alpha$ y $\beta=-\alpha$ . Sustituimos en la tercera.

-\alpha-\alpha=0

\alpha=0

Entonces $\beta=\gamma=0$ . La familia es independiente.

Respuesta.

Los tres vectores son linealmente independientes y generan un subespacio de dimensión $3$ . No forman una base de $\mathbb{R}^4$ , que necesita cuatro vectores.

Comprobación.

Al sustituir $\alpha=\beta=\gamma=0$ , se satisfacen las cuatro ecuaciones. No hay ningún parámetro libre, de modo que la relación nula es la única.

07AplicaciónGeneradores redundantes de un plano

Enunciado

Sea

P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x-2y+z=0\}

Estudia si $u_1=(2,1,0)$ , $u_2=(-1,0,1)$ y $u_3=(1,1,1)$ forman una base de $P$ . Si no es así, extrae una.

Desarrollo

Modelo. Primero comprobamos que los vectores pertenecen al plano.

2-2\cdot1+0=0

-1-2\cdot0+1=0

1-2\cdot1+1=0

Los tres están en $P$ . Ahora buscamos una relación.

u_1+u_2=(2,1,0)+(-1,0,1)

u_1+u_2=(1,1,1)=u_3

La familia de tres es dependiente. Como $u_1$ y $u_2$ no son proporcionales, son independientes. El plano $P$ , definido por una ecuación independiente en $\mathbb{R}^3$ , tiene dimensión $2$ .

Respuesta.

Los tres vectores generan $P$ , pero no forman una base. Una base es $\{u_1,u_2\}$ .

Comprobación.

Dos vectores independientes contenidos en un plano de dimensión $2$ forman necesariamente una base de ese plano.

08FundamentoIndependiente, generadora o base

Enunciado

Clasifica las siguientes familias de $\mathbb{R}^3$ .

F=\{(1,0,0),(0,1,0)\}

G=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0)\}

H=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

Desarrollo

Familia $F$ . Sus dos vectores no son proporcionales, así que son independientes. Solo generan el plano $z=0$ .

\dim\langle F\rangle=2\lt3

Por ello, $F$ no genera $\mathbb{R}^3$ y no es una base del espacio completo.

Familia $G$ . Contiene la base canónica, de modo que genera $\mathbb{R}^3$ . Sin embargo,

(1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)

La familia es dependiente y no es una base.

Familia $H$ . Es la base canónica.

\det(I_3)=1\ne0

Respuesta.

$F$ es independiente y no generadora; $G$ es generadora y dependiente; $H$ es independiente, generadora y base.

Comprobación.

Los tres casos separan las posibilidades esenciales: en $F$ falta una dirección, en $G$ sobra un vector y en $H$ no falta ni sobra ninguno.

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Bloque 02 · Ejercicios 009–016Rango: extraer y completar bases

El rango de la matriz formada con los vectores como columnas es la dimensión de su espacio generado. Para extraer una base se conservan las columnas de la matriz original que corresponden a posiciones pivote; las columnas transformadas por Gauss sirven para localizar esas posiciones, pero no reemplazan automáticamente a los vectores dados.

\dim\langle v_1,\ldots,v_p\rangle=\operatorname{rg}[\,v_1\ \cdots\ v_p\,]

Para completar una familia independiente se añaden vectores que eleven el rango de uno en uno hasta alcanzar la dimensión del espacio ambiente.

Las posiciones pivote de la forma escalonada señalan las columnas que deben recuperarse de la matriz original.

09FundamentoRango y base a partir de relaciones lineales

Enunciado

Calcula el rango de la familia

v_1=(1,1,0),\quad v_2=(0,1,1),\quad v_3=(1,2,1),\quad v_4=(2,1,-1)

y extrae una base del subespacio generado.

Desarrollo

Modelo. Detectamos primero qué vectores dependen de los demás.

v_3=v_1+v_2

v_4=2v_1-v_2

Por tanto, los cuatro vectores están generados por $v_1$ y $v_2$ . Estos dos no son proporcionales, así que son independientes.

\operatorname{rg}[v_1\ v_2\ v_3\ v_4]=2

Respuesta.

El rango es $2$ y una base del subespacio generado es $\{v_1,v_2\}$ .

Comprobación.

Las dos relaciones reconstruyen $v_3$ y $v_4$ , y $v_1,v_2$ aportan dos direcciones distintas. No se pierde ningún vector del espacio generado.

10IntegraciónExtracción de una base mediante Gauss

Enunciado

Usa el método de Gauss para extraer una base de

W=\langle(1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,1,2,1),(0,0,1,1)\rangle

y calcula $\dim(W)$ .

Desarrollo

Modelo. Colocamos los generadores como columnas. La reducción sirve para localizar las posiciones pivote; la base se toma de la matriz original.

A=\begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 1&1&2&1\\ 1&0&1&1 \end{pmatrix}

Aplicamos $F_3\leftarrow F_3-F_1-F_2$ y $F_4\leftarrow F_4-F_1$ .

A\sim\begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}

Restamos la tercera fila a la cuarta.

A\sim\begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

Las columnas pivote ocupan las posiciones $1$ , $2$ y $4$ . Conservamos esas columnas en la matriz original.

Respuesta.

B=\{(1,0,1,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)\}

\dim(W)=\operatorname{rg}(A)=3

Comprobación.

El tercer generador original es la suma de los dos primeros. Los vectores elegidos son independientes porque las columnas $1$ , $2$ y $4$ son pivote.

11FundamentoCompletar dos vectores hasta una base de R4

Enunciado

Completa la familia $\{(1,1,0,0),(0,1,1,0)\}$ hasta obtener una base de $\mathbb{R}^4$ .

Desarrollo

Modelo. Los dos vectores dados son independientes. Añadimos direcciones que permitan alcanzar la tercera y la cuarta coordenadas sin crear dependencia.

Una elección sencilla es

v_3=(0,0,1,0),\qquad v_4=(0,0,0,1)

Formamos la matriz por columnas.

A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}

Es triangular inferior y todos los elementos de su diagonal son $1$ .

\det(A)=1

Respuesta.

B=\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}

es una base de $\mathbb{R}^4$ .

Comprobación.

El determinante vale $1\ne0$ , por lo que los cuatro vectores son independientes y generan $\mathbb{R}^4$ .

12IntegraciónRango de una matriz según un parámetro

Enunciado

Estudia el rango de la matriz

A_k=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&k\end{pmatrix}

según el valor de $k$ . Interpreta sus columnas como una familia de vectores.

Desarrollo

Modelo. Al ser una matriz cuadrada, el determinante separa el caso de rango $3$ de los casos singulares.

\det(A_k)=k-2

Si $k\ne2$ , el determinante no se anula.

k\ne2\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rg}(A_k)=3

Para $k=2$ , la tercera columna es la suma de las dos primeras.

(1,1,2)=(1,0,1)+(0,1,1)

Las dos primeras columnas siguen siendo independientes.

k=2\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rg}(A_2)=2

Respuesta.

El rango es $3$ si $k\ne2$ y es $2$ si $k=2$ . Las columnas forman una base de $\mathbb{R}^3$ exactamente cuando $k\ne2$ .

Comprobación.

En el valor singular existe una dependencia explícita, pero queda el menor $\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1$ , así que el rango no baja de $2$ .

13IntegraciónBases de los espacios fila y columna

Enunciado

Para la matriz

A=\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&1&1\\1&3&2&4\end{pmatrix}

calcula el rango y da una base del espacio fila y otra del espacio columna.

Desarrollo

Modelo. Las filas permiten detectar el rango y las posiciones pivote indican qué columnas originales forman una base del espacio columna.

La tercera fila es la suma de las dos primeras.

F_3=F_1+F_2

Las dos primeras filas no son proporcionales, de modo que son independientes.

\operatorname{rg}(A)=2

Una base del espacio fila es

B_f=\{(1,2,1,3),(0,1,1,1)\}

Al reducir, las posiciones pivote son $1$ y $2$ . Tomamos las columnas $1$ y $2$ de la matriz original.

B_c=\{(1,0,1),(2,1,3)\}

Respuesta.

Ambos espacios tienen dimensión $2$ , igual al rango de $A$ .

Comprobación.

Las otras columnas cumplen $c_3=-c_1+c_2$ y $c_4=c_1+c_2$ . Por ello, $c_1,c_2$ generan todo el espacio columna y son independientes.

14AplicaciónAmpliar una base de un plano a una base de R3

Enunciado

Sea $W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\}$ . Parte de la base

B_W=\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}

y amplíala hasta formar una base de $\mathbb{R}^3$ .

Desarrollo

Modelo. Basta añadir un vector que no pertenezca al plano.

Tomamos $e_3=(0,0,1)$ . No está en $W$ , porque

0+0+1=1\ne0

Comprobamos la familia ampliada mediante el determinante.

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&0&0\\0&-1&1\end{pmatrix}

\det(A)=1\ne0

Respuesta.

B=\{(1,-1,0),(1,0,-1),(0,0,1)\}

es una base de $\mathbb{R}^3$ .

Comprobación.

Los dos primeros vectores continúan formando una base de $W$ , y el tercero añade una dirección exterior al plano.

15AplicaciónEliminar generadores redundantes en R4

Enunciado

Sea $W$ el subespacio generado por

v_1=(1,0,0,1),\quad v_2=(0,1,0,1),\quad v_3=(0,0,1,0),

v_4=(1,1,0,2),\quad v_5=(2,0,-1,2)

Extrae una base y calcula la dimensión de $W$ .

Desarrollo

Modelo. Buscamos relaciones que permitan retirar vectores sin cambiar el espacio generado.

v_4=v_1+v_2

v_5=2v_1-v_3

Por tanto, $v_4$ y $v_5$ sobran. Estudiamos $v_1,v_2,v_3$ .

\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0

Las tres primeras coordenadas dan directamente

\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \gamma=0

Los tres vectores son independientes.

Respuesta.

B=\{(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\}

\dim(W)=3

Comprobación.

Las relaciones recuperan exactamente los dos generadores eliminados y la independencia de los tres conservados queda decidida por sus primeras coordenadas.

16IntegraciónCompletar una familia independiente en R5

Enunciado

Completa hasta una base de $\mathbb{R}^5$ la familia

F=\{(1,1,0,0,0),(0,1,1,0,0),(0,0,1,1,0)\}

Desarrollo

Modelo. Añadimos vectores canónicos que introduzcan las direcciones todavía necesarias y comprobamos el rango final.

Elegimos

v_4=(0,0,0,1,0),\qquad v_5=(0,0,0,0,1)

La matriz con los cinco vectores como columnas es

A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}

La matriz es triangular inferior.

\det(A)=1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=1

Respuesta.

B=F\cup\{(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)\}

es una base de $\mathbb{R}^5$ .

Comprobación.

El determinante no nulo confirma que la ampliación conserva los tres vectores dados y alcanza cinco direcciones independientes.

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Bloque 03 · Ejercicios 017–024Subespacios por ecuaciones y generadores

Un subespacio puede describirse mediante generadores o mediante ecuaciones homogéneas. Desde los generadores se eliminan redundancias; desde las ecuaciones se resuelve el sistema y se separan los parámetros libres.

W=\{x\in\mathbb R^n:Ax=0\},\qquad \dim W=n-\operatorname{rg}(A)

La igualdad anterior permite anticipar la dimensión, pero la base se obtiene parametrizando la solución. Una ecuación no homogénea, como $x+y=1$ , suele definir un conjunto afín: no contiene al vector cero y, por tanto, no es un subespacio.

La descripción implícita mediante una ecuación homogénea y la paramétrica mediante dos vectores representan el mismo plano.

17FundamentoBase de un hiperplano de R4

Enunciado

Halla una base y la dimensión de

W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x+y-z+t=0\}.

Desarrollo

Modelo. La ecuación es lineal y homogénea. Despejamos una variable y usamos las demás como parámetros.

x=-y+z-t

Tomamos $y=s$ , $z=r$ y $t=q$ .

(x,y,z,t)=(-s+r-q,s,r,q)

Separamos los parámetros.

(x,y,z,t)=s(-1,1,0,0)+r(1,0,1,0)+q(-1,0,0,1)

Respuesta.

B=\{(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}

\dim(W)=3

Comprobación.

Cada generador satisface $x+y-z+t=0$ . Si una combinación de ellos vale cero, las coordenadas segunda, tercera y cuarta obligan a anular sucesivamente los tres coeficientes.

18AplicaciónSubespacio de R4 definido por dos ecuaciones

Enunciado

Calcula una base y la dimensión de

W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x+y+z+t=0,\ x-y+z-t=0\}.

Desarrollo

Modelo. Combinamos las ecuaciones para separar las variables.

Sumamos ambas ecuaciones.

2x+2z=0

x=-z

Restamos la segunda a la primera.

2y+2t=0

y=-t

Tomamos $z=s$ y $t=r$ .

(x,y,z,t)=(-s,-r,s,r)

(x,y,z,t)=s(-1,0,1,0)+r(0,-1,0,1)

Respuesta.

B=\{(-1,0,1,0),(0,-1,0,1)\},\qquad \dim(W)=2

Comprobación.

Los dos generadores satisfacen las dos ecuaciones. Como tienen soportes distintos, no son proporcionales y son independientes.

19AplicaciónDetectar una ecuación redundante

Enunciado

Estudia el subespacio

W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4: x+y+z+t=0, \ x-y+z-t=0, \ 2x+2z=0\}.

Halla una base y explica cuántas restricciones independientes hay.

Desarrollo

Modelo. Antes de contar ecuaciones hay que comprobar si alguna es combinación de las demás.

Al sumar las dos primeras ecuaciones se obtiene

(x+y+z+t)+(x-y+z-t)=2x+2z=0

La tercera ecuación es redundante. Resolvemos las dos primeras, que son independientes.

x=-z,\qquad y=-t

Con $z=s$ y $t=r$ ,

(x,y,z,t)=s(-1,0,1,0)+r(0,-1,0,1)

Respuesta.

Hay dos restricciones independientes y

B=\{(-1,0,1,0),(0,-1,0,1)\},\qquad \dim(W)=4-2=2.

Comprobación.

La matriz de coeficientes tiene rango $2$ : la tercera fila es la suma de las dos primeras y estas no son proporcionales.

20IntegraciónPasar de generadores a ecuaciones

Enunciado

Sea

W=\langle(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,1,1),(2,-1,2,-1)\rangle.

Extrae una base, calcula la dimensión y describe $W$ mediante ecuaciones cartesianas.

Desarrollo

Modelo. Primero reducimos el sistema generador y después describimos el vector general.

Denotamos por $v_1,v_2,v_3,v_4$ los generadores en el orden dado. Se cumple

v_3=v_1+v_2

v_4=2v_1-v_2

Los vectores $v_1$ y $v_2$ son independientes. Un vector de $W$ tiene la forma

a v_1+b v_2=(a,b,a,b)

Por tanto, sus coordenadas cumplen

x-z=0

y-t=0

Respuesta.

B=\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\},\qquad \dim(W)=2

W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-z=0,\ y-t=0\}.

Comprobación.

Las dos ecuaciones producen exactamente $(x,y,z,t)=(x,y,x,y)$ , que es la combinación $xv_1+yv_2$ . Las dos descripciones contienen los mismos vectores.

21FundamentoPertenencia a un subespacio generado

Enunciado

Sea

W=\langle(1,1,0),(0,1,1)\rangle.

Obtén una ecuación cartesiana de $W$ y decide si $p=(2,3,1)$ y $q=(1,0,1)$ pertenecen a $W$ .

Desarrollo

Modelo. Escribimos el vector general del subespacio.

a(1,1,0)+b(0,1,1)=(a,a+b,b)

Si $(x,y,z)=(a,a+b,b)$ , entonces

y=x+z

x-y+z=0

Para $p=(2,3,1)$ ,

2-3+1=0

Luego $p\in W$ . De hecho, $p=2(1,1,0)+(0,1,1)$ .

Para $q=(1,0,1)$ ,

1-0+1=2\ne0

Respuesta.

$W=\{(x,y,z):x-y+z=0\}$ , $p\in W$ y $q\notin W$ .

Comprobación.

Los dos generadores cumplen la ecuación y no son proporcionales; por tanto, generan todo el plano descrito por una ecuación independiente.

22IntegraciónSuma e intersección de dos planos coordenados

Enunciado

En $\mathbb{R}^3$ , sean

U=\langle(1,0,0),(0,1,0)\rangle, \qquad V=\langle(0,1,0),(0,0,1)\rangle.

Halla bases y dimensiones de $U\cap V$ y $U+V$ , y comprueba la fórmula de Grassmann.

Desarrollo

Intersección. Un vector de $U$ tiene la forma $(a,b,0)$ y uno de $V$ , la forma $(0,c,d)$ .

(a,b,0)=(0,c,d)

Comparando coordenadas, $a=0$ , $d=0$ y $b=c$ . Por tanto,

U\cap V=\langle(0,1,0)\rangle

\dim(U\cap V)=1

Suma. Al reunir los generadores aparecen los tres vectores canónicos.

U+V=\langle(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle=\mathbb{R}^3

\dim(U+V)=3

Respuesta.

\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)

3=2+2-1

Comprobación.

La intersección es el eje $y$ , común a los planos $z=0$ y $x=0$ ; juntos aportan las tres direcciones del espacio.

23IntegraciónDimensión de un subespacio según un parámetro

Enunciado

Para cada $a\in\mathbb{R}$ , halla una base y la dimensión de

W_a=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0,\ x+ay+z=0\}.

Desarrollo

Modelo. Restamos las ecuaciones para localizar el valor en el que dejan de ser independientes.

(x+ay+z)-(x+y+z)=(a-1)y=0

Caso $a\ne1$ . Entonces $y=0$ . La primera ecuación queda $x+z=0$ .

(x,y,z)=(-t,0,t)=t(-1,0,1)

B_a=\{(-1,0,1)\},\qquad \dim(W_a)=1

Caso $a=1$ . Las dos ecuaciones coinciden y solo queda $x+y+z=0$ .

(x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1)

B_1=\{(-1,1,0),(-1,0,1)\},\qquad \dim(W_1)=2

Respuesta.

La dimensión es $1$ si $a\ne1$ y aumenta a $2$ cuando $a=1$ .

Comprobación.

Para $a\ne1$ , el vector $(-1,0,1)$ satisface ambas ecuaciones. Para $a=1$ , los dos generadores satisfacen la única ecuación y no son proporcionales.

24IntegraciónBase y coordenadas en un subespacio de R5

Enunciado

Sea

W=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\mathbb{R}^5: x_1+x_2+x_3=0,\ x_3+x_4+x_5=0\}.

Halla una base, calcula la dimensión y obtén las coordenadas de $p=(-1,2,-1,-2,3)$ en la base elegida.

Desarrollo

Modelo. Despejamos $x_1$ y $x_4$ , y tomamos $x_2,x_3,x_5$ como parámetros.

x_1=-x_2-x_3,\qquad x_4=-x_3-x_5

Sea $x_2=s$ , $x_3=t$ y $x_5=u$ .

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(-s-t,s,t,-t-u,u)

Separamos los tres parámetros.

(-s-t,s,t,-t-u,u) =s(-1,1,0,0,0)+t(-1,0,1,-1,0)+u(0,0,0,-1,1)

Tomamos como base

B=\{(-1,1,0,0,0),(-1,0,1,-1,0),(0,0,0,-1,1)\}

\dim(W)=3

Para el vector $p$ , las coordenadas segunda, tercera y quinta dan directamente

s=2,\qquad t=-1,\qquad u=3

Respuesta.

[p]_B=(2,-1,3)

Comprobación.

El vector $p$ cumple $-1+2-1=0$ y $-1-2+3=0$ . Además, $2b_1-b_2+3b_3=(-1,2,-1,-2,3)$ , de modo que las coordenadas reconstruyen exactamente el vector.

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Bloque 04 · Ejercicios 025–032Polinomios, matrices y funciones

Las ideas de base y dimensión no pertenecen solo a las listas de coordenadas. También se aplican a polinomios, matrices y funciones. La clave es elegir una referencia ordenada y traducir cada objeto a sus coeficientes.

p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\quad\longleftrightarrow\quad(a_0,a_1,\ldots,a_n)

Así, $P_n$ tiene dimensión $n+1$ , no $n$ . El espacio de matrices $m\times n$ tiene dimensión $mn$ . En cada ejercicio se vuelve al objeto original al final, para que el cálculo no esconda su significado.

Elegir una base ordenada convierte polinomios y matrices en columnas de coordenadas sin cambiar la estructura lineal.

25FundamentoPolinomios que se anulan en 1

Enunciado

En el espacio $P_2$ de los polinomios reales de grado menor o igual que 2, considera

U=\{p\in P_2: p(1)=0\}.

Demuestra que $U$ es un subespacio y calcula una base y su dimensión.

Desarrollo

La condición es lineal: el polinomio nulo se anula en 1 y, si dos polinomios se anulan en 1, también lo hacen su suma y cualquier múltiplo suyo. Por tanto, $U$ es un subespacio.

Escribimos un polinomio genérico y aplicamos la condición:

p(x)=a+bx+cx^2,\qquad p(1)=a+b+c=0.

De $a=-b-c$ se obtiene

p(x)=b(x-1)+c(x^2-1).

Los polinomios $x-1$ y $x^2-1$ no son proporcionales, luego son linealmente independientes. Así, forman una base de $U$ .

Respuesta.

\mathcal B_U=\{x-1,\ x^2-1\},\qquad \dim U=2.

Comprobación.

Ambos generadores cumplen la condición:

(x-1)\big|_{x=1}=0,\qquad (x^2-1)\big|_{x=1}=0.

Además, la ecuación $a+b+c=0$ impone una sola restricción independiente sobre tres coeficientes, de modo que la dimensión debe ser 2.

26ConsolidaciónDos condiciones en P3

Enunciado

Sea

U=\{p\in P_3:p(0)=p'(0)\text{ y }p(1)=0\}.

Comprueba que $U$ es un subespacio y determina una base y su dimensión.

Desarrollo

Las dos igualdades son homogéneas y lineales en $p$ , así que su conjunto de soluciones es un subespacio de $P_3$ .

Tomamos

p(x)=a+bx+cx^2+dx^3,\qquad p'(x)=b+2cx+3dx^2.

La primera condición da $a=b$ . La segunda produce

p(1)=a+b+c+d=2a+c+d=0,\qquad c=-2a-d.

Sustituyendo los coeficientes libres $a$ y $d$ :

p(x)=a(1+x-2x^2)+d(x^3-x^2).

Los dos polinomios obtenidos tienen grados distintos y son linealmente independientes.

Respuesta.

\mathcal B_U=\{1+x-2x^2,\ x^3-x^2\},\qquad \dim U=2.

Comprobación.

Para $q_1=1+x-2x^2$ , se tiene $q_1(0)=q_1'(0)=1$ y $q_1(1)=0$ . Para $q_2=x^3-x^2$ , se cumple $q_2(0)=q_2'(0)=0$ y $q_2(1)=0$ . Las dos condiciones independientes dejan dos parámetros libres.

27AplicaciónIntersección y suma en P2

Enunciado

En $P_2$ , sean

U=\{p:p(1)=0\},\qquad W=\{p:p(-1)=0\}.

Calcula bases y dimensiones de $U\cap W$ y $U+W$ .

Desarrollo

Un polinomio de $U\cap W$ se anula en $1$ y en $-1$ . Como su grado no supera 2, debe ser un múltiplo de $(x-1)(x+1)$ :

U\cap W=\operatorname{span}\{x^2-1\}.

Para la suma usamos, por ejemplo, las bases

U=\operatorname{span}\{x-1,x^2-1\},\qquad W=\operatorname{span}\{x+1,x^2-1\}.

La familia $\{x-1,x+1,x^2-1\}$ genera $U+W$ . Sus coordenadas en la base canónica son las columnas de

\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad \det=-2\ne0.

Por tanto, los tres polinomios son independientes y generan todo $P_2$ .

Respuesta.

\mathcal B_{U\cap W}=\{x^2-1\},\quad \dim(U\cap W)=1;\qquad \mathcal B_{U+W}=\{x-1,x+1,x^2-1\},\quad \dim(U+W)=3.

Comprobación.

La fórmula de dimensiones confirma el resultado:

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.

28FundamentoMatrices simétricas de orden 2

Enunciado

Dentro de $M_{2\times2}(\mathbb R)$ , considera el conjunto $S$ de matrices simétricas. Justifica que es un subespacio y encuentra una base y su dimensión.

Desarrollo

La matriz nula es simétrica. Además, la suma de matrices simétricas y el producto de una matriz simétrica por un escalar siguen siendo simétricos. Luego $S$ es un subespacio.

Una matriz simétrica genérica tiene la forma

A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.

Las tres matrices generadoras son linealmente independientes, porque cada parámetro ocupa una posición independiente.

Respuesta.

\mathcal B_S=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim S=3.

Comprobación.

La condición $A^T=A$ obliga únicamente a que las dos entradas no diagonales coincidan. De las cuatro entradas de una matriz de orden 2 quedan tres parámetros libres.

29ConsolidaciónMatrices que anulan un vector

Enunciado

Sea

U=\left\{A\in M_{2\times2}(\mathbb R):A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}.

Demuestra que $U$ es un subespacio y calcula una base y su dimensión.

Desarrollo

La aplicación $T(A)=A(1,1)^T$ es lineal, y $U=\ker T$ ; por ello, $U$ es un subespacio.

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},

la condición pedida equivale a

a+b=0,\qquad c+d=0.

Así, $b=-a$ , $d=-c$ y

A=a\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix}.

Las dos matrices son independientes.

Respuesta.

\mathcal B_U=\left\{\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim U=2.

Comprobación.

Cada matriz de la base propuesta tiene suma nula en cada fila, de modo que al multiplicarla por $(1,1)^T$ se obtiene el vector nulo. Las dos ecuaciones independientes sobre cuatro entradas dejan dos parámetros.

30AplicaciónSimétricas de traza nula

Enunciado

En $M_{2\times2}(\mathbb R)$ , sea

U=\{A:A^T=A\text{ y }\operatorname{tr}(A)=0\}.

Prueba que $U$ es un subespacio y determina una base y su dimensión.

Desarrollo

Las condiciones $A^T=A$ y $\operatorname{tr}(A)=0$ se conservan al sumar matrices y al multiplicarlas por escalares; también las cumple la matriz nula. Por tanto, $U$ es un subespacio.

Una matriz simétrica es $A=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix}\right)$ . La traza nula exige $a+c=0$ , luego $c=-a$ :

A=a\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

Las dos matrices son independientes y generan todas las matrices de $U$ .

Respuesta.

\mathcal B_U=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim U=2.

Comprobación.

Las dos matrices de la base son simétricas y tienen traza cero. Además, una combinación nula obliga a que sean cero tanto la entrada $(1,1)$ como la entrada $(1,2)$ , es decir, $a=b=0$ .

31ConsolidaciónFunciones que se anulan en el origen

Enunciado

En el espacio

V=\operatorname{span}\{1,\sin x,\cos x\},

considera $U=\{f\in V:f(0)=0\}$ . Comprueba que $U$ es un subespacio y halla una base y su dimensión.

Desarrollo

La evaluación $E_0(f)=f(0)$ es una aplicación lineal; por tanto, $U=\ker E_0$ es un subespacio.

Todo elemento de $V$ se escribe como

f(x)=a+b\sin x+c\cos x.

Al imponer $f(0)=0$ , resulta

a+c=0,\qquad a=-c.

Entonces

f(x)=b\sin x+c(\cos x-1).

Las funciones $\sin x$ y $\cos x-1$ son independientes: una es impar y la otra es par y no nula.

Respuesta.

\mathcal B_U=\{\sin x,\ \cos x-1\},\qquad \dim U=2.

Comprobación.

Las dos funciones se anulan en $0$ . La única condición lineal sobre los tres coeficientes de $V$ deja dos grados de libertad.

32Para notaDos condiciones sobre funciones exponenciales

Enunciado

Sea

V=\operatorname{span}\{1,e^x,e^{2x}\},\qquad U=\{f\in V:f(0)=0\text{ y }f'(0)=0\}.

Justifica que $U$ es un subespacio y calcula una base y su dimensión.

Desarrollo

Las aplicaciones $f\mapsto f(0)$ y $f\mapsto f'(0)$ son lineales. Su núcleo común es, por tanto, un subespacio.

Escribimos

f(x)=a+be^x+ce^{2x},\qquad f'(x)=be^x+2ce^{2x}.

Las dos condiciones producen el sistema

a+b+c=0,\qquad b+2c=0.

Tomando $c=t$ , obtenemos $b=-2t$ y $a=t$ . Por ello,

f(x)=t(1-2e^x+e^{2x})=t(e^x-1)^2.

Respuesta.

\mathcal B_U=\{1-2e^x+e^{2x}\},\qquad \dim U=1.

Comprobación.

Para $g(x)=(e^x-1)^2$ ,

g(0)=0,\qquad g'(x)=2e^x(e^x-1),\qquad g'(0)=0.

El sistema de dos restricciones tiene rango 2 y actúa sobre tres coeficientes; queda un parámetro libre.

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Bloque 05 · Ejercicios 033–040Coordenadas y cambio de base

Una base ordenada proporciona un sistema de coordenadas. La columna $[v]_B$ contiene los únicos coeficientes que satisfacen $v=b_1c_1+\cdots+b_nc_n$ .

Fijada una referencia ordenada $\mathcal E$ del espacio, si $B=(b_1,\ldots,b_n)$ , la matriz $P_B$ tiene como columnas las coordenadas de $b_1,\ldots,b_n$ respecto de esa referencia:

P_B=[\,[b_1]_{\mathcal E}\ \cdots\ [b_n]_{\mathcal E}\,],\qquad [v]_{\mathcal E}=P_B[v]_B,\qquad [v]_B=P_B^{-1}[v]_{\mathcal E}

La matriz que lleva coordenadas de $B$ a $C$ es $P_{C\leftarrow B}=P_C^{-1}P_B$ . El orden de la flecha importa: una comprobación segura consiste en reconstruir primero el vector y volver a calcular sus coordenadas.

El mismo vector tiene columnas distintas en las bases B y C; las matrices P_B y P_C reconstruyen el vector en coordenadas canónicas.

33FundamentoCoordenadas de un polinomio en una base no canónica

Enunciado

En $P_2$ , toma la base

\mathcal B=(1+x,\ x,\ x^2-x).

Calcula las coordenadas de $p(x)=3+2x-x^2$ respecto de $\mathcal B$ .

Desarrollo

Buscamos escalares $\alpha,\beta,\gamma$ tales que

p=\alpha(1+x)+\beta x+\gamma(x^2-x).

Al agrupar coeficientes:

p=\alpha+(\alpha+\beta-\gamma)x+\gamma x^2.

Igualamos con $3+2x-x^2$ :

\alpha=3,\qquad \gamma=-1,\qquad \alpha+\beta-\gamma=2.

La última ecuación da $3+\beta+1=2$ , así que $\beta=-2$ .

Respuesta.

[p]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-1\end{pmatrix}.

Comprobación.

Reconstruimos el polinomio:

3(1+x)-2x-(x^2-x)=3+2x-x^2.

34FundamentoDe coordenadas a polinomio

Enunciado

Sea la base de $P_2$

\mathcal B=(1-x,\ x+x^2,\ 1+2x^2).

Un polinomio $p$ tiene coordenadas $[p]_{\mathcal B}=(2,-1,3)^T$ . Escribe $p$ en la base canónica $(1,x,x^2)$ .

Desarrollo

Las coordenadas indican directamente la combinación lineal:

p(x)=2(1-x)-(x+x^2)+3(1+2x^2).

Agrupamos término independiente, término lineal y término cuadrático:

p(x)=(2+3)+(-2-1)x+(-1+6)x^2.

Por tanto,

p(x)=5-3x+5x^2.

Respuesta.

p(x)=5-3x+5x^2,\qquad [p]_{(1,x,x^2)}=\begin{pmatrix}5\\-3\\5\end{pmatrix}.

Comprobación.

La matriz cuyas columnas son los vectores de $\mathcal B$ en la base canónica es

M=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\0&1&2\end{pmatrix},\qquad \det(M)=1\ne0.

Y se verifica

M\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\\5\end{pmatrix}.

35ConsolidaciónCambio de base entre dos bases de R2

Enunciado

En $\mathbb R^2$ , sean

\mathcal B=((1,1),(1,-1)),\qquad \mathcal C=((2,0),(1,1)).

Calcula la matriz $P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}$ que transforma coordenadas en $\mathcal B$ en coordenadas en $\mathcal C$ . Después, transforma $[v]_{\mathcal B}=(3,-2)^T$ .

Desarrollo

Las columnas de $P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}$ son las coordenadas de los vectores de $\mathcal B$ en $\mathcal C$ .

Para $(1,1)$ :

(1,1)=0(2,0)+1(1,1),\qquad [(1,1)]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.

Para $(1,-1)$ :

(1,-1)=1(2,0)-1(1,1),\qquad [(1,-1)]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.

Así,

P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad [v]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}.

Respuesta.

P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad [v]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}.

Comprobación.

Desde $\mathcal B$ , el vector ordinario es $v=3(1,1)-2(1,-1)=(1,5)$ . Desde $\mathcal C$ , se recupera $-2(2,0)+5(1,1)=(1,5)$ . Ambas rutas dan el mismo vector.

36AplicaciónMatrices de cambio inversas en P2

Enunciado

En $P_2$ , considera

\mathcal B=(1,x,x^2),\qquad \mathcal C=(1+x,\ x+x^2,\ 1+x^2).

Calcula $P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}$ y $P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}$ , y comprueba que son inversas.

Desarrollo

Como $\mathcal B$ es la base canónica, las columnas de $P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}$ son los coeficientes de los polinomios de $\mathcal C$ :

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.

Para el cambio contrario invertimos la matriz. Mediante reducción de Gauss se obtiene

P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\left(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\right)^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.

Respuesta.

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.

Comprobación.

Multiplicamos en ambos órdenes:

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=I_3.

Por ejemplo, la primera columna de la inversa expresa $1=\tfrac12(1+x)-\tfrac12(x+x^2)+\tfrac12(1+x^2)$ .

37ConsolidaciónCoordenadas de una matriz

Enunciado

En $M_{2\times2}(\mathbb R)$ , sea la base

\mathcal B=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{11}+E_{22}).

Calcula las coordenadas de

A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&5\end{pmatrix}

respecto de $\mathcal B$ .

Desarrollo

Planteamos la combinación

A=\alpha E_{11}+\beta E_{12}+\gamma E_{21}+\delta(E_{11}+E_{22}).

El miembro derecho es

\begin{pmatrix}\alpha+\delta&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}.

Al comparar entradas con $A$ , obtenemos

\delta=5,\qquad \gamma=3,\qquad \beta=-1,\qquad \alpha+\delta=2.

Por tanto, $\alpha=-3$ .

Respuesta.

[A]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\3\\5\end{pmatrix}.

Comprobación.

La reconstrucción confirma las cuatro entradas:

-3E_{11}-E_{12}+3E_{21}+5(E_{11}+E_{22})=\begin{pmatrix}2&-1\\3&5\end{pmatrix}.

38AplicaciónCambio de coordenadas en una base de matrices

Enunciado

En $M_{2\times2}(\mathbb R)$ , sean

\mathcal E=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})

\mathcal C=(E_{11}+E_{22},\ E_{12},\ E_{21},\ E_{11}-E_{22}).

Halla $P_{\mathcal E\leftarrow\mathcal C}$ . Úsala para transformar $[A]_{\mathcal C}=(2,-1,4,3)^T$ y comprueba el resultado reconstruyendo $A$ .

Desarrollo

Escribimos cada vector de $\mathcal C$ en la base $\mathcal E$ . Esas coordenadas forman las columnas:

P_{\mathcal E\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix}.

Aplicamos la matriz de cambio:

[A]_{\mathcal E}=P_{\mathcal E\leftarrow\mathcal C}[A]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\\-1\end{pmatrix}.

Luego $A=5E_{11}-E_{12}+4E_{21}-E_{22}$ .

Respuesta.

P_{\mathcal E\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix},\qquad [A]_{\mathcal E}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\\-1\end{pmatrix}.

Comprobación.

Desde las coordenadas originales:

A=2(E_{11}+E_{22})-E_{12}+4E_{21}+3(E_{11}-E_{22})=\begin{pmatrix}5&-1\\4&-1\end{pmatrix}.

Es la misma matriz que se lee de $[A]_{\mathcal E}$ .

39AplicaciónCambio de base en un espacio de funciones

Enunciado

En $V=\operatorname{span}\{1,\sin x,\cos x\}$ , considera

\mathcal B=(1,\sin x,\cos x),\qquad \mathcal C=(1+\sin x,\ \sin x+\cos x,\ \cos x).

Calcula las coordenadas en $\mathcal C$ de $f(x)=2+3\sin x-\cos x$ y compruébalas.

Desarrollo

Las coordenadas de $f$ en $\mathcal B$ son $(2,3,-1)^T$ . Las columnas de la matriz que pasa de $\mathcal C$ a $\mathcal B$ son

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.

Buscamos $[f]_{\mathcal C}=(\alpha,\beta,\gamma)^T$ resolviendo

\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}.

La primera fila da $\alpha=2$ ; la segunda, $\beta=1$ ; y la tercera, $\gamma=-2$ .

Respuesta.

[f]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}.

Comprobación.

Reconstruimos la función con la base $\mathcal C$ :

2(1+\sin x)+(\sin x+\cos x)-2\cos x=2+3\sin x-\cos x.

40Para notaCambio encadenado en P3

Enunciado

En $P_3$ , sean

\mathcal B=(1,x,x^2,x^3),\qquad \mathcal C=(1+x,\ x+x^2,\ x^2+x^3,\ x^3).

Obtén $[p]_{\mathcal C}$ para $p(x)=2-x+3x^2+4x^3$ . Escribe la matriz de cambio utilizada y comprueba el resultado en la base canónica.

Desarrollo

Como $\mathcal B$ es canónica, las columnas de la matriz de $\mathcal C$ a $\mathcal B$ son los coeficientes de sus polinomios:

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}.

Planteamos

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}[p]_{\mathcal C}=[p]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\\4\end{pmatrix}.

Si $[p]_{\mathcal C}=(\alpha,\beta,\gamma,\delta)^T$ , el sistema escalonado es

\alpha=2,\qquad \alpha+\beta=-1,\qquad \beta+\gamma=3,\qquad \gamma+\delta=4.

De forma sucesiva:

\alpha=2,\qquad \beta=-3,\qquad \gamma=6,\qquad \delta=-2.

Respuesta.

[p]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\\-2\end{pmatrix},\qquad P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}.

Comprobación.

Volvemos a la expresión del polinomio:

2(1+x)-3(x+x^2)+6(x^2+x^3)-2x^3=2-x+3x^2+4x^3.

La reconstrucción recupera exactamente los cuatro coeficientes canónicos.

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Bloque 06 · Ejercicios 041–048Suma, intersección y suma directa

La suma $U+W$ reúne todos los vectores $u+w$ ; la intersección contiene los que pertenecen a ambos subespacios. Unir dos bases produce un sistema generador de la suma, pero puede introducir dependencias.

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)

La suma es directa cuando $U\cap W=\{0\}$ . En ese caso cada vector de $U+W$ se descompone de manera única como $u+w$ . La notación $U\cup W$ no reemplaza a $U+W$ : salvo casos especiales, la unión ni siquiera es un subespacio.

La fórmula de Grassmann suma las dimensiones de U y W y resta la dimensión de su parte común.

41FundamentoDos rectas distintas en el plano

Enunciado

En $\mathbb R^2$ se consideran los subespacios $U=\langle(1,0)\rangle$ y $W=\langle(1,1)\rangle$ . Calcula $U\cap W$ y $U+W$ , y decide si la suma es directa. Interpreta el resultado geométricamente.

Desarrollo

Un vector de la intersección debe admitir las dos formas.

\lambda(1,0)=\mu(1,1)

Al comparar coordenadas obtenemos $\lambda=\mu$ y $0=\mu$ . Por tanto, ambos escalares son nulos.

U\cap W=\{(0,0)\}

Para la suma reunimos los generadores. La matriz que forman tiene determinante no nulo.

\det\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=1\neq0

Los dos vectores son linealmente independientes y generan todo el plano.

U+W=\mathbb R^2

Como la intersección solo contiene al vector nulo, la suma es directa: $\mathbb R^2=U\oplus W$ . Geométricamente son dos rectas distintas que se cortan únicamente en el origen y cuyas direcciones permiten alcanzar cualquier punto del plano.

Respuesta.

$U\cap W=\{0\}$ , $U+W=\mathbb R^2$ y la suma es directa.

Comprobación.

La fórmula de Grassmann confirma la dimensión:

\dim(U+W)=1+1-0=2

42FundamentoIntersección de dos planos coordenados

Enunciado

Sean $U=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:z=0\}$ y $W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:y=0\}$ . Halla una base de $U\cap W$ y de $U+W$ . Comprueba la fórmula de Grassmann y explica la posición geométrica.

Desarrollo

Para pertenecer a la intersección deben cumplirse a la vez $z=0$ e $y=0$ . Solo queda libre $x$ .

U\cap W=\{(x,0,0):x\in\mathbb R\}=\langle(1,0,0)\rangle

Una base de $U$ es $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ , y una de $W$ es $\{(1,0,0),(0,0,1)\}$ . Al unirlas y retirar el vector repetido queda una base de la suma.

\mathcal B_{U+W}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

Así, $U+W=\mathbb R^3$ . La suma no es directa porque la intersección contiene toda una recta.

Geométricamente, los planos $z=0$ e $y=0$ se cortan en el eje $X$ ; juntos aportan las tres direcciones del espacio.

Respuesta.

$U\cap W=\langle(1,0,0)\rangle$ , $U+W=\mathbb R^3$ ; la suma no es directa.

Comprobación.

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3

43FundamentoSuma e intersección a partir de generadores

Enunciado

En $\mathbb R^4$ , sean $U=\langle e_1,e_2\rangle$ y $W=\langle e_2,e_3\rangle$ , donde $e_i$ son los vectores de la base canónica. Determina bases y dimensiones de $U\cap W$ y $U+W$ . ¿Es directa la suma?

Desarrollo

Escribimos un vector genérico de cada subespacio.

u=(a,b,0,0),\qquad w=(0,c,d,0)

Si $u=w$ , la primera coordenada obliga a $a=0$ , la tercera a $d=0$ , y queda $b=c$ .

U\cap W=\{(0,b,0,0):b\in\mathbb R\}=\langle e_2\rangle

Para la suma basta reunir las direcciones distintas.

U+W=\langle e_1,e_2,e_3\rangle=\{(x,y,z,0):x,y,z\in\mathbb R\}

Por tanto, la intersección tiene dimensión $1$ y la suma dimensión $3$ . No es una suma directa: la dirección $e_2$ pertenece a los dos subespacios.

Geométricamente, son dos planos vectoriales de $\mathbb R^4$ que comparten una recta y se extienden juntos dentro del hiperplano $x_4=0$ .

Respuesta.

Una base de $U\cap W$ es $\{e_2\}$ y una base de $U+W$ es $\{e_1,e_2,e_3\}$ . La suma no es directa.

Comprobación.

3=\dim(U+W)=2+2-1

44ConsolidaciónDos rectas que generan un plano

Enunciado

En $\mathbb R^3$ , toma $U=\langle(1,1,0)\rangle$ y $W=\langle(1,-1,1)\rangle$ . Halla la intersección y una ecuación implícita de la suma. Decide si $U+W$ es directa y si ambos subespacios son suplementarios en $\mathbb R^3$ .

Desarrollo

Los generadores no son proporcionales, así que las dos rectas son distintas. Dos rectas vectoriales distintas solo comparten el origen.

U\cap W=\{0\}

En consecuencia, la suma es directa y está generada por los dos vectores.

U+W=\langle(1,1,0),(1,-1,1)\rangle

Para obtener una ecuación implícita buscamos un vector normal mediante el producto vectorial.

(1,1,0)\times(1,-1,1)=(1,-1,-2)

La suma es, por tanto, el plano vectorial

U+W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x-y-2z=0\}

No son suplementarios en $\mathbb R^3$ , porque su suma tiene dimensión $2$ , no $3$ . Geométricamente, las dos rectas se cruzan en el origen y determinan un plano.

Respuesta.

$U\cap W=\{0\}$ y $U+W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x-y-2z=0\}$ . La suma es directa, pero no completa $\mathbb R^3$ .

Comprobación.

\dim(U+W)=1+1-0=2

Además, ambos generadores verifican $x-y-2z=0$ .

45ConsolidaciónDos planos de cuatro dimensiones con una recta común

Enunciado

En $\mathbb R^4$ , sean

U=\{(x,y,z,t):x+y=0,\ z-t=0\}

W=\langle(1,-1,1,1),(0,0,1,-1)\rangle

Calcula bases de $U\cap W$ y $U+W$ , y decide si la suma es directa.

Desarrollo

Parametrizamos primero $U$ .

(x,y,z,t)=a(-1,1,0,0)+b(0,0,1,1)

Un vector de $W$ tiene la forma

c(1,-1,1,1)+d(0,0,1,-1)=(c,-c,c+d,c-d)

La condición $z=t$ , necesaria para estar en $U$ , da $c+d=c-d$ , luego $d=0$ . El generador restante ya cumple $x+y=0$ .

U\cap W=\langle(1,-1,1,1)\rangle

Para la suma tomamos una base de $U$ y añadimos la dirección de $W$ que no está en $U$ .

\mathcal B_{U+W}=\{(-1,1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,-1)\}

Los tres vectores son independientes. Todos verifican $x+y=0$ , así que generan precisamente ese hiperplano.

U+W=\{(x,y,z,t):x+y=0\}

La suma no es directa porque la intersección tiene dimensión $1$ . Geométricamente, dos planos vectoriales de $\mathbb R^4$ comparten una recta y juntos forman un subespacio tridimensional.

Respuesta.

$U\cap W=\langle(1,-1,1,1)\rangle$ y $U+W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:x+y=0\}$ . La suma no es directa.

Comprobación.

\dim(U+W)=2+2-1=3

46ConsolidaciónUn plano y una dirección transversal

Enunciado

Sea $U=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y+z=0\}$ y $W=\langle(1,1,1)\rangle$ . Estudia $U\cap W$ y $U+W$ . ¿Se obtiene una descomposición directa de $\mathbb R^3$ ?

Desarrollo

Un vector de $W$ es $(\lambda,\lambda,\lambda)$ . Para que también pertenezca a $U$ debe satisfacer la ecuación del plano.

\lambda+\lambda+\lambda=0\quad\Longrightarrow\quad3\lambda=0\quad\Longrightarrow\quad\lambda=0

Así, $U\cap W=\{0\}$ . Como $U$ tiene dimensión $2$ y $W$ dimensión $1$ , Grassmann da

\dim(U+W)=2+1-0=3

Por tanto, $U+W=\mathbb R^3$ y la suma es directa.

\mathbb R^3=U\oplus W

Geométricamente, la recta dirigida por $(1,1,1)$ atraviesa el plano de forma transversal: no yace en él y aporta exactamente la dirección que le falta.

Respuesta.

$U\cap W=\{0\}$ y $U+W=\mathbb R^3$ ; por tanto, $\mathbb R^3=U\oplus W$ .

Comprobación.

El vector $(1,1,1)$ no pertenece a $U$ , pues $1+1+1=3\neq0$ ; esto descarta una intersección no trivial.

47Para notaDos planos complementarios en cuatro dimensiones

Enunciado

En $\mathbb R^4$ , considera

U=\langle(1,0,1,0),(0,1,0,1)\rangle,\qquad W=\langle(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)\rangle

Demuestra que $\mathbb R^4=U\oplus W$ y da la descomposición de $(a,b,c,d)$ como suma de un vector de $U$ y otro de $W$ .

Desarrollo

Igualamos un vector genérico de $U$ con uno de $W$ .

(\alpha,\beta,\alpha,\beta)=(\gamma,\delta,-\gamma,-\delta)

Las coordenadas primera y tercera dan $\alpha=\gamma=-\gamma$ , luego $\alpha=\gamma=0$ . Del mismo modo, $\beta=\delta=-\delta$ , y por tanto $\beta=\delta=0$ .

U\cap W=\{0\}

Ambos subespacios tienen dimensión $2$ . Por Grassmann, su suma tiene dimensión $4$ , así que es todo $\mathbb R^4$ , y además es directa.

Para descomponer $(a,b,c,d)$ , escribimos

(a,b,c,d)=(\alpha,\beta,\alpha,\beta)+(\gamma,\delta,-\gamma,-\delta)

Resolviendo por parejas:

\alpha=\frac{a+c}{2},\quad\gamma=\frac{a-c}{2},\quad\beta=\frac{b+d}{2},\quad\delta=\frac{b-d}{2}

La descomposición pedida es

(a,b,c,d)=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2},\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)+\left(\frac{a-c}{2},\frac{b-d}{2},-\frac{a-c}{2},-\frac{b-d}{2}\right)

Geométricamente, son dos planos vectoriales complementarios: no comparten ninguna dirección no nula y juntos llenan las cuatro dimensiones.

Respuesta.

$U\cap W=\{0\}$ , $U+W=\mathbb R^4$ y la descomposición directa viene dada por las dos proyecciones calculadas.

Comprobación.

Al sumar los dos vectores obtenidos se recuperan exactamente las cuatro coordenadas $(a,b,c,d)$ . La unicidad se sigue de $U\cap W=\{0\}$ .

48Para notaTres intersecciones triviales no garantizan suma directa

Enunciado

En $\mathbb R^2$ , sean $U=\langle(1,0)\rangle$ , $W=\langle(0,1)\rangle$ y $Z=\langle(1,1)\rangle$ . Comprueba que las intersecciones dos a dos son triviales y decide si $U+W+Z$ es una suma directa. Explica por qué este ejemplo obliga a ser prudente con tres o más subespacios.

Desarrollo

Las tres son rectas distintas por el origen. Por ello, cada pareja solo comparte el vector nulo.

U\cap W=U\cap Z=W\cap Z=\{0\}

Sin embargo, existe una relación no trivial entre un vector de cada subespacio.

(1,0)+(0,1)-(1,1)=(0,0)

El vector nulo se ha escrito como suma de tres términos que no son todos nulos. La descomposición no es única y, por tanto, la suma no es directa.

Además, $U+W=\mathbb R^2$ , de modo que añadir $Z$ no aumenta la dimensión.

U+W+Z=\mathbb R^2

Geométricamente hay tres direcciones distintas dentro de un plano que solo tiene dos dimensiones disponibles. Para varias sumas, no basta con revisar las intersecciones por parejas; cada nuevo subespacio debe cortar trivialmente a la suma de los anteriores.

Respuesta.

Las intersecciones dos a dos son $\{0\}$ , pero $U+W+Z$ no es directa; su suma es $\mathbb R^2$ .

Comprobación.

\dim(U+W+Z)=2<1+1+1=3

La pérdida de una dimensión coincide con la relación lineal mostrada.

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Bloque 07 · Ejercicios 049–056Familias y subespacios con parámetros

Cuando aparece un parámetro, no se sustituye un valor al azar. Se localizan primero los valores que pueden cambiar el rango —raíces de un determinante o condiciones que anulan un pivote— y después se estudia cada caso.

\det A(\lambda)\ne0\Rightarrow\operatorname{rg}A(\lambda)=n,\qquad \det A(\lambda)=0\Rightarrow\text{hay que recalcular el rango}

Que el determinante se anule solo dice que el rango baja de $n$ ; no dice cuánto baja. Por eso los casos singulares se resuelven por separado.

El determinante localiza candidatos singulares; el rango, que toma valores enteros, se recalcula en cada raíz.

49FundamentoUna familia de dos vectores con dos valores críticos

Enunciado

Para $a\in\mathbb R$ , estudia la dependencia lineal y el subespacio generado por

\mathcal F_a=\{(1,a),(a,1)\}

Distingue todos los casos.

Desarrollo

Colocamos los vectores como columnas y calculamos el determinante.

\det\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}=1-a^2=(1-a)(1+a)

Si $a\neq1$ y $a\neq-1$ , el determinante no es nulo. Los vectores son independientes y forman una base de $\mathbb R^2$ .

Si $a=1$ , ambos vectores coinciden:

\mathcal F_1=\{(1,1),(1,1)\},\qquad\langle\mathcal F_1\rangle=\langle(1,1)\rangle

Si $a=-1$ , uno es el opuesto del otro:

\mathcal F_{-1}=\{(1,-1),(-1,1)\},\qquad\langle\mathcal F_{-1}\rangle=\langle(1,-1)\rangle

En los dos valores críticos el rango es $1$ .

Respuesta.

Si $a\neq\pm1$ , la familia es base de $\mathbb R^2$ . Para $a=1$ o $a=-1$ , es dependiente y genera una recta.

Comprobación.

Los únicos ceros de $1-a^2$ son $a=\pm1$ ; no queda ningún caso sin discutir.

50FundamentoTres vectores y un único valor singular

Enunciado

Discute según $a\in\mathbb R$ el rango de la familia

v_1=(1,0,1),\quad v_2=(0,1,1),\quad v_3=(1,1,a)

Indica cuándo es una base de $\mathbb R^3$ y, si no lo es, da una base del subespacio generado.

Desarrollo

La matriz de columnas es

A_a=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}

Su determinante vale

\det A_a=a-2

Si $a\neq2$ , el determinante es no nulo: el rango es $3$ y $\{v_1,v_2,v_3\}$ es una base de $\mathbb R^3$ .

Para $a=2$ , aparece la relación

v_3=(1,1,2)=v_1+v_2

Los vectores $v_1$ y $v_2$ siguen siendo independientes, de modo que el rango baja exactamente a $2$ .

\langle\mathcal F_2\rangle=\langle(1,0,1),(0,1,1)\rangle

Respuesta.

Rango $3$ y base de $\mathbb R^3$ si $a\neq2$ ; rango $2$ si $a=2$ , con base $\{v_1,v_2\}$ .

Comprobación.

En $a=2$ , las dos primeras columnas no son proporcionales; por eso el rango no puede bajar a $1$ .

51ConsolidaciónUn subespacio definido por dos ecuaciones implícitas

Enunciado

Para cada $a\in\mathbb R$ , halla una base y la dimensión del subespacio

S_a=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+ay+z=0,\ ax+y+z=0\}

Desarrollo

Restamos las dos ecuaciones.

(1-a)(x-y)=0

Si $a\neq1$ , se obtiene $x=y$ . Sustituyendo en la primera ecuación:

z=-(1+a)x

Con $x=t$ , queda

S_a=\{t(1,1,-1-a):t\in\mathbb R\},\qquad a\neq1

Por tanto, en este caso una base es $\{(1,1,-1-a)\}$ y la dimensión es $1$ .

Si $a=1$ , las dos ecuaciones coinciden:

x+y+z=0

Quedan dos parámetros libres y podemos escribir

S_1=\langle(1,0,-1),(0,1,-1)\rangle

Así, $\dim S_1=2$ .

Respuesta.

Si $a\neq1$ , $S_a=\langle(1,1,-1-a)\rangle$ y tiene dimensión $1$ . Si $a=1$ , $S_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y+z=0\}$ y tiene dimensión $2$ .

Comprobación.

Para $a\neq1$ , el vector $(1,1,-1-a)$ verifica ambas ecuaciones. En $a=1$ , los dos generadores propuestos son independientes y satisfacen $x+y+z=0$ .

52ConsolidaciónUna familia paramétrica de polinomios

Enunciado

En $\mathbb P_2(\mathbb R)$ , estudia según $a$ la familia

p_1=1+x,\qquad p_2=x+ax^2,\qquad p_3=1+2x+x^2

Determina cuándo es base y qué subespacio genera en el caso excepcional.

Desarrollo

Tomamos coordenadas en la base canónica $\{1,x,x^2\}$ . La matriz de columnas es

M_a=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\0&a&1\end{pmatrix}

Calculamos el determinante.

\det M_a=1-a

Si $a\neq1$ , los tres polinomios son independientes; como $\dim\mathbb P_2=3$ , forman una base.

Si $a=1$ , se cumple

p_3=p_1+p_2

Los dos primeros polinomios no son proporcionales, así que el rango es $2$ . El subespacio generado es

\langle p_1,p_2\rangle=\{\alpha+(\alpha+\beta)x+\beta x^2:\alpha,\beta\in\mathbb R\}

Si un polinomio se escribe como $c_0+c_1x+c_2x^2$ , sus coeficientes cumplen $c_1=c_0+c_2$ .

Respuesta.

Es base de $\mathbb P_2$ si $a\neq1$ . Si $a=1$ , tiene rango $2$ y genera los polinomios cuyos coeficientes verifican $c_1=c_0+c_2$ .

Comprobación.

En $a=1$ , $(1+x)+(x+x^2)=1+2x+x^2$ . Además, si $\alpha p_1+\beta p_2=0$ , el término constante da $\alpha=0$ y después el coeficiente de $x$ da $\beta=0$ ; por tanto, $p_1,p_2$ son independientes.

53ConsolidaciónPosición de un plano paramétrico y una recta fija

Enunciado

Para $a\in\mathbb R$ , sean

U_a=\langle(1,a,0),(0,1,a)\rangle,\qquad W=\langle(1,1,0)\rangle

Estudia $U_a\cap W$ , $U_a+W$ y el carácter directo de la suma para todos los valores de $a$ .

Desarrollo

Los dos generadores de $U_a$ son siempre independientes: el primero tiene primera coordenada $1$ y el segundo primera coordenada $0$ . Por tanto, $\dim U_a=2$ para todo $a$ .

La intersección es no trivial exactamente cuando el generador de $W$ pertenece a $U_a$ . Planteamos

(1,1,0)=\alpha(1,a,0)+\beta(0,1,a)=(\alpha,a\alpha+\beta,a\beta)

La primera coordenada da $\alpha=1$ , y quedan las condiciones

a+\beta=1,\qquad a\beta=0

Si $a=0$ , resulta $\beta=1$ ; si $\beta=0$ , la primera condición da $a=1$ . No hay más posibilidades.

Para $a=0$ o $a=1$ , se tiene $W\subset U_a$ . Entonces

U_a\cap W=W,\qquad U_a+W=U_a

La suma no es directa y tiene dimensión $2$ .

Si $a\notin\{0,1\}$ , la intersección es $\{0\}$ . Grassmann da dimensión $3$ , luego

\mathbb R^3=U_a\oplus W

Respuesta.

Si $a=0$ o $1$ , $U_a\cap W=W$ y $U_a+W=U_a$ , sin suma directa. Si $a\notin\{0,1\}$ , $U_a\cap W=\{0\}$ y $\mathbb R^3=U_a\oplus W$ .

Comprobación.

Para $a=0$ , $(1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)$ . Para $a=1$ , es el primer generador de $U_1$ . Fuera de esos valores, el sistema de pertenencia es incompatible.

54Para notaRango y núcleo de una matriz con dos valores críticos

Enunciado

Según $a\in\mathbb R$ , determina el rango y una base del núcleo de

A_a=\begin{pmatrix}1&a&1\\a&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}

Interpreta también las columnas como una familia de vectores de $\mathbb R^3$ .

Desarrollo

El determinante factoriza de la forma

\det A_a=-(a-1)^2(a+2)

Si $a\neq1,-2$ , la matriz es invertible. Entonces $\operatorname{rg}A_a=3$ , el núcleo es $\{0\}$ y sus columnas forman una base de $\mathbb R^3$ .

Para $a=-2$ , cada fila suma cero, por lo que

A_{-2}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=0

Las dos primeras filas no son proporcionales, luego el rango es $2$ . Por nulidad, el núcleo tiene dimensión $1$ :

\ker A_{-2}=\langle(1,1,1)\rangle

Las columnas generan un plano.

Para $a=1$ , todas las filas —y todas las columnas— son iguales a $(1,1,1)$ . Así, el rango es $1$ y la ecuación del núcleo es $x+y+z=0$ .

\ker A_1=\langle(1,-1,0),(1,0,-1)\rangle

Las columnas generan la recta $\langle(1,1,1)\rangle$ .

Respuesta.

Rango $3$ salvo en $a=-2$ , donde es $2$ y el núcleo es $\langle(1,1,1)\rangle$ , y en $a=1$ , donde es $1$ y el núcleo es el plano $x+y+z=0$ .

Comprobación.

Rango y nulidad suman $3$ en todos los casos: $3+0$ , $2+1$ y $1+2$ .

55Para notaUna familia dependiente de dos parámetros

Enunciado

Para $a,b\in\mathbb R$ , discute la familia

v_1=(1,0,a),\qquad v_2=(0,1,b),\qquad v_3=(1,1,1)

Determina su rango y una base del subespacio generado en todos los casos.

Desarrollo

Formamos la matriz con los vectores como columnas.

M_{a,b}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\a&b&1\end{pmatrix}

Su determinante es

\det M_{a,b}=1-a-b

Si $a+b\neq1$ , el determinante no se anula. La familia tiene rango $3$ y es una base de $\mathbb R^3$ .

Si $a+b=1$ , entonces

v_1+v_2=(1,1,a+b)=(1,1,1)=v_3

La familia es dependiente. Sin embargo, $v_1$ y $v_2$ son siempre independientes porque sus dos primeras coordenadas son $(1,0)$ y $(0,1)$ . Por ello, el rango es exactamente $2$ y una base es $\{v_1,v_2\}$ .

En el caso $a+b=1$ , el plano generado puede escribirse de forma implícita. Un vector normal a $v_1$ y $v_2$ es

v_1\times v_2=(-a,-b,1)

Por tanto, el plano es $-ax-by+z=0$ .

Respuesta.

Si $a+b\neq1$ , el rango es $3$ y la familia es base de $\mathbb R^3$ . Si $a+b=1$ , el rango es $2$ , una base es $\{v_1,v_2\}$ y el subespacio generado cumple $-ax-by+z=0$ .

Comprobación.

La condición $a+b=1$ es una recta completa en el plano de parámetros; incluso en sus puntos $(1,0)$ y $(0,1)$ , los dos primeros vectores siguen siendo independientes.

56Para notaDos planos paramétricos: coincidencia o corte en una recta

Enunciado

Para $a\in\mathbb R$ , considera los planos vectoriales

U_a=\{(x,y,z):x+y+az=0\},\qquad W_a=\{(x,y,z):ax+y+z=0\}

Estudia $U_a\cap W_a$ , $U_a+W_a$ y si la suma es directa.

Desarrollo

Los vectores normales son $n_U=(1,1,a)$ y $n_W=(a,1,1)$ . Los planos coinciden cuando estos normales son proporcionales. La segunda coordenada obliga a que el factor de proporcionalidad sea $1$ , y entonces se obtiene $a=1$ .

Si $a=1$ , ambos planos son el mismo:

U_1=W_1=\{(x,y,z):x+y+z=0\}

Por tanto, la intersección y la suma coinciden con ese plano y tienen dimensión $2$ . La suma no es directa.

Si $a\neq1$ , los planos son distintos. Su intersección es una recta cuya dirección se obtiene con el producto vectorial de los normales.

n_U\times n_W=(1-a)(1,-a-1,1)

Como $1-a\neq0$ , podemos retirar ese factor:

U_a\cap W_a=\langle(1,-a-1,1)\rangle,\qquad a\neq1

Grassmann da

\dim(U_a+W_a)=2+2-1=3

Luego $U_a+W_a=\mathbb R^3$ . Tampoco en este caso la suma es directa, pues la intersección contiene una recta.

Geométricamente, para $a=1$ hay un único plano; para cualquier otro valor hay dos planos distintos que se cortan en una recta y juntos generan el espacio.

Respuesta.

Si $a=1$ , los planos coinciden. Si $a\neq1$ , su intersección es $\langle(1,-a-1,1)\rangle$ y su suma es $\mathbb R^3$ . La suma nunca es directa.

Comprobación.

El vector $(1,-a-1,1)$ verifica las dos ecuaciones:

1-(a+1)+a=0,\qquad a-(a+1)+1=0

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Bloque 08 · Ejercicios 057–064Espacios fundamentales y rango–nulidad

Una matriz conecta cuatro espacios: el espacio columna, el espacio fila, el núcleo y el núcleo de la traspuesta. Los dos primeros tienen la misma dimensión, el rango. El núcleo recoge las soluciones del sistema homogéneo.

\dim\ker A+\operatorname{rg}A=n\qquad(A\in\mathbb R^{m\times n})

Para una base del espacio columna se toman columnas pivote de la matriz original. Para el espacio fila, las filas no nulas de una forma escalonada sí proporcionan una base. Esta diferencia pequeña evita uno de los errores más habituales.

El núcleo ocupa las direcciones que la matriz envía a cero; el rango mide la dimensión de la imagen.

57FundamentoBase del espacio columna

Enunciado

Sea la matriz

A=\begin{pmatrix}1&2&0&3\\2&4&1&7\\-1&-2&1&-2\end{pmatrix}.

Calcula el rango de $A$ y una base de su espacio columna.

Desarrollo

Reducimos la matriz por filas. No estamos cambiando las relaciones de dependencia entre sus columnas; buscamos en qué posiciones aparecen los pivotes.

A\sim\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Hay pivotes en las columnas 1 y 3, de modo que el rango es 2. Para formar la base volvemos a la matriz original y tomamos esas mismas columnas:

c_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.

Las otras columnas no añaden una dirección nueva:

c_2=2c_1,\qquad c_4=3c_1+c_3.

Respuesta.

\operatorname{rg}(A)=2,\qquad \mathcal B_{\operatorname{Col}(A)}=\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}.

Comprobación.

Las relaciones anteriores reconstruyen exactamente las columnas segunda y cuarta. Además, $c_1$ y $c_3$ no son proporcionales, así que son independientes.

58ConsolidaciónEspacio fila y nulidad

Enunciado

Para

A=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\2&4&-2&0\\0&1&1&1\end{pmatrix},

halla una base del espacio fila, su dimensión y la dimensión de $\ker A$ .

Desarrollo

En el espacio fila sí podemos tomar como base las filas no nulas de una forma escalonada reducida:

A\sim\begin{pmatrix}1&0&-3&-2\\0&1&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Por tanto, una base del espacio fila es

\mathcal B_{\operatorname{Fila}(A)}=\{(1,0,-3,-2),(0,1,1,1)\}.

Hay dos filas no nulas, luego $\operatorname{rg}(A)=2$ . Como la matriz tiene cuatro columnas, el teorema rango–nulidad da

\dim(\ker A)=4-2=2.

Respuesta.

\mathcal B_{\operatorname{Fila}(A)}=\{(1,0,-3,-2),(0,1,1,1)\},\quad \dim\operatorname{Fila}(A)=2,\quad \dim\ker A=2.

Comprobación.

La segunda fila original es el doble de la primera. La tercera no es múltiplo de ella, por lo que el espacio fila tiene exactamente dos direcciones independientes.

59ConsolidaciónBase del núcleo de una matriz rectangular

Enunciado

Calcula una base y la dimensión del núcleo de

A=\begin{pmatrix}1&1&0&2&-1\\0&1&1&-1&2\\1&2&1&1&1\end{pmatrix}.

Desarrollo

Resolvemos $Ax=0$ . La tercera fila es la suma de las dos primeras y, al reducir, queda

\begin{pmatrix}1&0&-1&3&-3\\0&1&1&-1&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}.

Si tomamos $x_3=s$ , $x_4=t$ y $x_5=u$ , las ecuaciones dan

x_1=s-3t+3u,\qquad x_2=-s+t-2u.

Separamos los tres parámetros:

x=s\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\\1\end{pmatrix}.

Los tres vectores son independientes porque cada uno lleva un 1 en una variable libre distinta.

Respuesta.

\mathcal B_{\ker A}=\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim\ker A=3.

Comprobación.

Al multiplicar $A$ por cada uno de los tres vectores se obtiene el vector nulo. Además, $\operatorname{rg}(A)=2$ y hay cinco columnas:

\dim\ker A=5-2=3.

60AplicaciónNúcleo de la traspuesta

Enunciado

Sea

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\\2&-1&1\end{pmatrix}.

Halla una base de $\ker(A^T)$ y explica qué significan sus vectores en relación con las filas de $A$ .

Desarrollo

Un vector $y=(y_1,y_2,y_3,y_4)^T$ pertenece a $\ker(A^T)$ cuando $A^Ty=0$ . El sistema es

y_1+y_3+2y_4=0,\qquad y_2+y_3-y_4=0,\qquad y_1+y_2+2y_3+y_4=0.

La tercera ecuación es la suma de las dos primeras. Tomamos $y_3=s$ y $y_4=t$ :

y_1=-s-2t,\qquad y_2=-s+t.

Por tanto,

y=s\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}.

Cada vector del núcleo de $A^T$ proporciona una relación lineal entre las filas de $A$ . En este caso:

-r_1-r_2+r_3=0,\qquad -2r_1+r_2+r_4=0.

Respuesta.

\mathcal B_{\ker(A^T)}=\left\{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}\right\},\qquad \dim\ker(A^T)=2.

Comprobación.

Las relaciones se leen directamente en la matriz: $r_3=r_1+r_2$ y $r_4=2r_1-r_2$ . Como $A$ tiene cuatro filas y rango 2, también debe cumplirse $\dim\ker(A^T)=4-2=2$ .

61ConsolidaciónLas columnas pivote se toman de la matriz original

Enunciado

Reduce la matriz

A=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&0&1&1\\1&2&2&1\end{pmatrix}

y determina una base de $\operatorname{Col}(A)$ . Explica por qué no deben usarse como respuesta las columnas no nulas de la matriz reducida.

Desarrollo

La forma escalonada reducida es

R=\begin{pmatrix}1&2&0&-1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Los pivotes están en las posiciones 1 y 3. Esas posiciones se localizan con $R$ , pero la base del espacio columna se extrae de $A$ :

c_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}.

Las operaciones por filas conservan las dependencias entre columnas y, por eso, señalan qué columnas originales son independientes. Sin embargo, cambian el propio espacio columna dentro de $\mathbb R^3$ . Las columnas pivote de $R$ , que son los vectores $e_1$ y $e_2$ , generan $\operatorname{Col}(R)$ , no necesariamente $\operatorname{Col}(A)$ .

Respuesta.

\mathcal B_{\operatorname{Col}(A)}=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right\},\qquad \operatorname{rg}(A)=2.

Comprobación.

Las columnas restantes se recuperan a partir de las elegidas:

c_2=2c_1,\qquad c_4=c_3-c_1.

Además, $c_1$ y $c_3$ son independientes.

62Para notaRango y núcleo según un parámetro

Enunciado

Para $a\in\mathbb R$ , considera

A_a=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\1&1&2&a\end{pmatrix}.

Discute el rango y la nulidad de $A_a$ , y calcula una base de $\ker A_a$ en cada caso.

Desarrollo

Restamos a la tercera fila la suma de las dos primeras:

F_3\leftarrow F_3-F_1-F_2,\qquad A_a\sim\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&a-1\end{pmatrix}.

Si $a\ne1$ , aparecen tres pivotes. Al resolver $A_ax=0$ , la última ecuación obliga a $x_4=0$ . Tomando $x_3=t$ :

x=t(-1,-1,1,0),\qquad \operatorname{rg}(A_a)=3,\qquad \dim\ker A_a=1.

Si $a=1$ , la última fila se anula. Ahora $x_3=s$ y $x_4=t$ son libres:

x=s(-1,-1,1,0)+t(-1,0,0,1),\qquad \operatorname{rg}(A_1)=2,\qquad \dim\ker A_1=2.

Respuesta.

a\ne1:\quad \operatorname{rg}(A_a)=3,\quad \dim\ker A_a=1,\quad \mathcal B_{\ker A_a}=\{(-1,-1,1,0)\}.

a=1:\quad \operatorname{rg}(A_1)=2,\quad \dim\ker A_1=2,\quad \mathcal B_{\ker A_1}=\{(-1,-1,1,0),(-1,0,0,1)\}.

Comprobación.

En ambos casos se cumple rango–nulidad para una matriz con cuatro columnas:

a\ne1: 3+1=4,\qquad a=1: 2+2=4.

La sustitución de los vectores propuestos en $A_ax$ da cero en el caso correspondiente.

63Para notaLos cuatro subespacios fundamentales

Enunciado

Para

A=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&1&1\\1&1&2&3\end{pmatrix},

halla bases de $\operatorname{Col}(A)$ , $\operatorname{Fila}(A)$ , $\ker A$ y $\ker(A^T)$ . Comprueba sus dimensiones.

Desarrollo

La tercera fila es la suma de las dos primeras, y la reducción queda

A\sim R=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Los pivotes ocupan las columnas 1 y 2. Tomándolas en la matriz original:

\mathcal B_{\operatorname{Col}(A)}=\{(1,0,1)^T,(0,1,1)^T\}.

Las filas no nulas de $R$ forman una base del espacio fila:

\mathcal B_{\operatorname{Fila}(A)}=\{(1,0,1,2),(0,1,1,1)\}.

Para el núcleo, $x_3=s$ y $x_4=t$ :

x_1=-s-2t,\qquad x_2=-s-t,

\mathcal B_{\ker A}=\{(-1,-1,1,0)^T,(-2,-1,0,1)^T\}.

Finalmente, la relación $r_3=r_1+r_2$ proporciona el núcleo izquierdo:

\mathcal B_{\ker(A^T)}=\{(-1,-1,1)^T\}.

Respuesta.

\begin{aligned}\mathcal B_{\operatorname{Col}(A)}&=\{(1,0,1)^T,(0,1,1)^T\},\\\mathcal B_{\operatorname{Fila}(A)}&=\{(1,0,1,2),(0,1,1,1)\},\\\mathcal B_{\ker A}&=\{(-1,-1,1,0)^T,(-2,-1,0,1)^T\},\\\mathcal B_{\ker(A^T)}&=\{(-1,-1,1)^T\}.\end{aligned}

Comprobación.

El rango es 2. Como $A$ es $3\times4$ , las dimensiones deben ser

\dim\operatorname{Col}(A)=\dim\operatorname{Fila}(A)=2,\qquad \dim\ker A=4-2=2,\qquad \dim\ker(A^T)=3-2=1.

Las cuatro bases obtenidas tienen exactamente esos tamaños.

64Para notaImagen, núcleo y preimagen de un vector

Enunciado

Una aplicación lineal $T:\mathbb R^4\to\mathbb R^3$ tiene, en las bases canónicas, la matriz

A=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\1&1&2&1\\0&1&1&-1\end{pmatrix}.

Calcula bases de $\operatorname{Im}T$ y $\ker T$ . Decide si $b=(3,1,-2)^T$ tiene preimagen y, si la tiene, describe todas.

Desarrollo

La segunda fila original es la suma de la primera y la tercera. Al reducir queda

A\sim\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Las columnas pivote son la primera y la segunda de la matriz original:

\mathcal B_{\operatorname{Im}T}=\{(1,1,0)^T,(0,1,1)^T\}.

Para $Ax=0$ , tomamos $x_3=s$ , $x_4=t$ :

x_1=-s-2t,\qquad x_2=-s+t,

\mathcal B_{\ker T}=\{(-1,-1,1,0)^T,(-2,1,0,1)^T\}.

El vector $b$ sí pertenece a la imagen, pues

b=3(1,1,0)^T-2(0,1,1)^T.

Así, $x_0=(3,-2,0,0)^T$ es una preimagen. Todas las demás se obtienen sumando un vector del núcleo:

T^{-1}(b)=\left\{\begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}:s,t\in\mathbb R\right\}.

Respuesta.

\mathcal B_{\operatorname{Im}T}=\{(1,1,0)^T,(0,1,1)^T\},\qquad \mathcal B_{\ker T}=\{(-1,-1,1,0)^T,(-2,1,0,1)^T\}.

T^{-1}(b)=(3,-2,0,0)^T+\ker T.

Comprobación.

Se verifica $Ax_0=b$ y los dos vectores directores se anulan al multiplicarlos por $A$ . Además, rango–nulidad da $2+2=4$ , la dimensión del dominio.

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Dos simulacros de integración

Cada simulacro reúne cuatro problemas y está pensado para una sesión de 90 minutos. Son modelos de elaboración propia, no exámenes oficiales. Puntúa sobre 10: reserva 0,5 puntos por problema para la justificación y la comprobación, además de la cuenta.

Simulacro 1 · Itinerario económico y cuantitativo

Bases, coordenadas, matrices y subespacios.

65FundamentoGeneradores, base y ecuación en P2

Enunciado

En $P_2$ se consideran los polinomios

u_1=1+x,\qquad u_2=x+x^2,\qquad u_3=1+2x+x^2.

Estudia si forman una familia linealmente independiente. Obtén una base y la dimensión del subespacio $U$ que generan, escribe una ecuación cartesiana de $U$ respecto de la base canónica $(1,x,x^2)$ y decide si $p(x)=2+5x+3x^2$ pertenece a $U$ . Si pertenece, expresa todas sus representaciones mediante $u_1,u_2,u_3$ .

Desarrollo

Antes de calcular, se observa una relación inmediata:

u_3=u_1+u_2.

La familia es, por tanto, linealmente dependiente. Los dos primeros polinomios no son proporcionales, de modo que

\mathcal B_U=(1+x,\ x+x^2),\qquad \dim U=2.

Un polinomio de $U$ tiene la forma

a(1+x)+c(x+x^2)=a+(a+c)x+cx^2.

Si sus coordenadas canónicas son $(r,s,t)$ , queda caracterizado por

s=r+t.

Para $p$ , se cumple $5=2+3$ , luego $p\in U$ . Buscamos ahora todas las ternas $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ tales que

p=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3.

Como $u_3=u_1+u_2$ , resulta

\lambda_1+\lambda_3=2,\qquad \lambda_2+\lambda_3=3.

Tomando $\lambda_3=\mu$ :

(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(2-\mu,3-\mu,\mu),\qquad \mu\in\mathbb R.

Respuesta.

\mathcal B_U=(1+x,x+x^2),\quad \dim U=2,\quad U:\ s-r-t=0.

p\in U,\qquad p=(2-\mu)u_1+(3-\mu)u_2+\mu u_3,\quad \mu\in\mathbb R.

Comprobación.

La matriz de coordenadas de los tres generadores tiene rango 2 y su núcleo está generado por $(-1,-1,1)^T$ , que corresponde a $-u_1-u_2+u_3=0$ . Además,

(2-\mu)u_1+(3-\mu)u_2+\mu u_3=2u_1+3u_2=2+5x+3x^2.

66ConsolidaciónDescomposición directa de una matriz

Enunciado

En $M_{2\times2}(\mathbb R)$ , sean $S$ el subespacio de las matrices simétricas y $K$ el de las matrices antisimétricas.

Calcula bases y dimensiones de ambos subespacios, demuestra que

M_{2\times2}(\mathbb R)=S\oplus K

y descompón de forma única la matriz

A=\begin{pmatrix}2&5\\-1&4\end{pmatrix}

como suma de una matriz de $S$ y otra de $K$ .

Desarrollo

Una matriz simétrica y una antisimétrica tienen, respectivamente, las formas

\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0&d\\-d&0\end{pmatrix}.

Por ello, podemos tomar

\mathcal B_S=\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right),\qquad \dim S=3,

\mathcal B_K=\left(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right),\qquad \dim K=1.

Si una matriz pertenece a $S\cap K$ , cumple a la vez $A^T=A$ y $A^T=-A$ . Entonces $A=-A$ , por lo que $A=0$ . Así, la intersección es trivial.

Aplicamos Grassmann:

\dim(S+K)=3+1-0=4=\dim M_{2\times2}(\mathbb R).

Luego $S+K$ es todo el espacio y la suma es directa. La descomposición se obtiene mediante

A_S=\frac{A+A^T}{2},\qquad A_K=\frac{A-A^T}{2}.

En este caso:

A_S=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad A_K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}.

Respuesta.

\dim S=3,\qquad \dim K=1,\qquad M_{2\times2}(\mathbb R)=S\oplus K.

A=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}.

Comprobación.

Se comprueba que $A_S^T=A_S$ , $A_K^T=-A_K$ y

A_S+A_K=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&5\\-1&4\end{pmatrix}.

La intersección trivial garantiza que no existe otra descomposición.

67ConsolidaciónEcuación, bases y coordenadas en un plano

Enunciado

Sea el subespacio de $\mathbb R^3$

U=\{(x,y,z):x-y+z=0\}.

Comprueba que

\mathcal B=((1,1,0),(0,1,1)),\qquad \mathcal C=((1,2,1),(1,0,-1))

son bases de $U$ . Calcula la matriz $P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}$ y las coordenadas en ambas bases de $v=(3,4,1)$ .

Desarrollo

Los cuatro vectores cumplen la ecuación de $U$ . En cada pareja los dos vectores no son proporcionales; como $U$ es un plano, ambas parejas son bases y $\dim U=2$ .

Denotemos los vectores de $\mathcal B$ por $b_1,b_2$ . Los de $\mathcal C$ se escriben como

c_1=b_1+b_2,\qquad c_2=b_1-b_2.

Por tanto,

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.

Para expresar $v$ en $\mathcal B$ , resolvemos

\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)=(3,4,1).

De la primera y la tercera coordenadas se obtiene $\alpha=3$ , $\beta=1$ , y la segunda confirma $3+1=4$ . Así,

[v]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.

Para pasar a $\mathcal C$ :

[v]_{\mathcal C}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[v]_{\mathcal B}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

Respuesta.

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad [v]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\qquad [v]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

Comprobación.

La reconstrucción desde las dos bases da

3b_1+b_2=(3,4,1),\qquad 2c_1+c_2=(3,4,1).

Además, las matrices de cambio cumplen

P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}^{-1}.

68AplicaciónSuma, intersección y descomposiciones en P2

Enunciado

En $P_2$ , considera

U=\{p:p(1)=0\},\qquad W=\{p:p'(0)=0\}.

Calcula bases y dimensiones de $U$ , $W$ , $U\cap W$ y $U+W$ . Decide si la suma es directa y encuentra todas las descomposiciones de

p(x)=2+3x+4x^2

como $p=u+w$ , con $u\in U$ y $w\in W$ .

Desarrollo

De $p(1)=0$ se obtiene

U=\operatorname{span}\{x-1,x^2-1\},\qquad \dim U=2.

Si $p=a+bx+cx^2$ , entonces $p'(0)=b$ . Por ello,

W=\operatorname{span}\{1,x^2\},\qquad \dim W=2.

En la intersección debe cumplirse $b=0$ y $a+c=0$ , luego

U\cap W=\operatorname{span}\{x^2-1\},\qquad \dim(U\cap W)=1.

La fórmula de Grassmann da

\dim(U+W)=2+2-1=3.

Así, $U+W=P_2$ . La suma no es directa porque la intersección no es trivial.

Escribimos

u=(-3-t)+3x+tx^2,\qquad w=(5+t)+(4-t)x^2.

El parámetro $t$ es libre. En efecto, $u(1)=0$ y $w'(0)=0$ , y todos los posibles repartos del término cuadrático quedan recogidos de esta forma.

Respuesta.

U+W=P_2,\qquad U\cap W=\operatorname{span}\{x^2-1\};

\dim U=\dim W=2,\quad \dim(U\cap W)=1,\quad \dim(U+W)=3.

p=\bigl((-3-t)+3x+tx^2\bigr)+\bigl((5+t)+(4-t)x^2\bigr),\quad t\in\mathbb R.

Comprobación.

Para cualquier $t\in\mathbb R$ :

u(1)=(-3-t)+3+t=0,\qquad w'(0)=0,

u+w=2+3x+4x^2.

La presencia de un parámetro concuerda con $\dim(U\cap W)=1$ : las descomposiciones no pueden ser únicas.

Simulacro 2 · Itinerario científico y técnico

Cambio de base, operaciones, parámetros y rango.

69FundamentoDependencia y ecuación en un espacio de funciones

Enunciado

En $V=\operatorname{span}\{1,\sin x,\cos x\}$ , sean

f_1=1+\sin x,\qquad f_2=1+\cos x,\qquad f_3=\sin x-\cos x.

Estudia la independencia lineal de la familia, calcula una base y la dimensión del subespacio $F$ generado, caracteriza mediante una ecuación qué funciones $a+b\sin x+c\cos x$ pertenecen a $F$ y expresa $g=3+2\sin x+\cos x$ en una base de $F$ .

Desarrollo

Las funciones satisfacen

f_3=f_1-f_2.

La familia es dependiente. Como $f_1$ y $f_2$ no son proporcionales,

\mathcal B_F=(f_1,f_2),\qquad \dim F=2.

Una combinación de los dos vectores de la base es

\alpha f_1+\beta f_2=(\alpha+\beta)+\alpha\sin x+\beta\cos x.

Por tanto, una función $a+b\sin x+c\cos x$ pertenece a $F$ exactamente cuando

a=b+c.

Para $g$ , se cumple $3=2+1$ . Comparando coeficientes, $\alpha=2$ y $\beta=1$ , luego

g=2f_1+f_2.

Respuesta.

\mathcal B_F=(1+\sin x,1+\cos x),\qquad \dim F=2,\qquad F:\ a-b-c=0.

[g]_{\mathcal B_F}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

Comprobación.

La matriz de coordenadas de $(f_1,f_2,f_3)$ en $(1,\sin x,\cos x)$ tiene rango 2 y núcleo generado por $(-1,1,1)^T$ . Además,

2(1+\sin x)+(1+\cos x)=3+2\sin x+\cos x.

70ConsolidaciónCambio de base en matrices triangulares

Enunciado

Sea $U\subset M_{2\times2}(\mathbb R)$ el subespacio de matrices triangulares superiores. Escribe una ecuación cartesiana de $U$ en las coordenadas ambientales $(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})$ y comprueba que

\mathcal B=(E_{11},E_{12},E_{22}),\qquad \mathcal C=(E_{11}+E_{12},E_{12}+E_{22},E_{22})

son bases de $U$ . Calcula $P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}$ y las coordenadas en $\mathcal C$ de

A=\begin{pmatrix}2&5\\0&3\end{pmatrix}.

Desarrollo

Una matriz pertenece a $U$ si y solo si su entrada inferior izquierda es nula:

U:\ a_{21}=0.

La base $\mathcal B$ es la base canónica de este subespacio, por lo que $\dim U=3$ . Las coordenadas de los vectores de $\mathcal C$ en $\mathcal B$ forman la matriz

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.

Su determinante es 1, así que $\mathcal C$ también es una base.

En $\mathcal B$ , las coordenadas de $A$ son

[A]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}.

Resolvemos

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}[A]_{\mathcal C}=[A]_{\mathcal B}.

El sistema triangular da

[A]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}.

Respuesta.

U:\ a_{21}=0,\qquad \dim U=3,\qquad P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad [A]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}.

Comprobación.

La reconstrucción directa es

2(E_{11}+E_{12})+3(E_{12}+E_{22})+0E_{22}=\begin{pmatrix}2&5\\0&3\end{pmatrix}.

La matriz de cambio tiene determinante 1 y su inversa es

P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix}.

71AplicaciónIntersección y suma en R4

Enunciado

En $\mathbb R^4$ , sean

U=\operatorname{span}\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\},

W=\operatorname{span}\{(1,1,0,0),(0,0,1,1)\}.

Calcula bases y dimensiones de $U\cap W$ y $U+W$ , obtiene una ecuación cartesiana de $U+W$ , decide si la suma es directa y encuentra todas las descomposiciones de $v=(2,1,3,2)$ como $v=u+w$ .

Desarrollo

Un vector de $U$ tiene forma $(a,b,a,b)$ , mientras que uno de $W$ tiene forma $(c,c,d,d)$ . En la intersección:

(a,b,a,b)=(c,c,d,d).

Las igualdades obligan a que $a=b=c=d$ . Por tanto,

U\cap W=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\},\qquad \dim(U\cap W)=1.

Como $\dim U=\dim W=2$ , Grassmann proporciona

\dim(U+W)=2+2-1=3.

Todos los generadores cumplen

x_1-x_2-x_3+x_4=0.

Esta ecuación define un hiperplano de dimensión 3, así que caracteriza exactamente la suma:

U+W=\{x\in\mathbb R^4:x_1-x_2-x_3+x_4=0\}.

La suma no es directa porque su intersección tiene dimensión 1.

Para descomponer $v$ , resolvemos

(a,b,a,b)+(c,c,d,d)=(2,1,3,2).

Tomando $b=t$ , se obtiene

a=t+1,\qquad c=1-t,\qquad d=2-t.

Respuesta.

U\cap W=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)\},\qquad \dim(U\cap W)=1,

U+W:\ x_1-x_2-x_3+x_4=0,\qquad \dim(U+W)=3.

v=(t+1,t,t+1,t)+(1-t,1-t,2-t,2-t),\quad t\in\mathbb R.

Comprobación.

Para todo $t\in\mathbb R$ :

(t+1,t,t+1,t)+(1-t,1-t,2-t,2-t)=(2,1,3,2).

La matriz conjunta de generadores tiene rango 3, como exige la dimensión calculada mediante Grassmann.

72Para notaGrassmann y coordenadas en P3

Enunciado

En $P_3$ , considera

U=\{p:p(0)=0\},\qquad W=\{p:p(1)=p(-1)=0\}.

Calcula bases y dimensiones de $U$ , $W$ , $U\cap W$ y $U+W$ . Decide si la suma es directa. Después, demuestra que

\mathcal C=(x,x^2,x^3,x^2-1)

es una base de $U+W$ y calcula en ella las coordenadas de $q(x)=1+2x-3x^2+4x^3$ .

Desarrollo

La condición $p(0)=0$ elimina el término independiente:

U=\operatorname{span}\{x,x^2,x^3\},\qquad \dim U=3.

Los polinomios de $W$ son divisibles por $(x-1)(x+1)=x^2-1$ . Como su grado no supera 3:

W=\operatorname{span}\{x^2-1,x^3-x\},\qquad \dim W=2.

Un polinomio de $W$ se escribe como $a(x^2-1)+b(x^3-x)$ . Para pertenecer también a $U$ , su término independiente debe ser cero, lo que obliga a $a=0$ . Así,

U\cap W=\operatorname{span}\{x^3-x\},\qquad \dim(U\cap W)=1.

Por Grassmann:

\dim(U+W)=3+2-1=4.

Luego $U+W=P_3$ , y la suma no es directa.

La familia $\mathcal C$ contiene tres vectores de una base de $U$ y el vector $x^2-1$ , que no pertenece a $U$ porque no se anula en 0. Por tanto, sus cuatro vectores son independientes y forman una base de $P_3$ .

Buscamos

q=ax+bx^2+cx^3+d(x^2-1).

Al comparar coeficientes:

-d=1,\qquad a=2,\qquad b+d=-3,\qquad c=4.

De aquí, $d=-1$ , $b=-2$ , $a=2$ y $c=4$ .

Respuesta.

U\cap W=\operatorname{span}\{x^3-x\},\quad \dim(U\cap W)=1,\quad U+W=P_3,\quad \dim(U+W)=4.

[q]_{\mathcal C}=\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-1\end{pmatrix}.

Comprobación.

La matriz de $\mathcal C$ en la base canónica tiene determinante distinto de cero. Además,

2x-2x^2+4x^3-(x^2-1)=1+2x-3x^2+4x^3.

Las dimensiones $3$ , $2$ y $4$ de $U$ , $W$ y $U+W$ respetan la fórmula de Grassmann.

Qué estudiar después

Programas universitarios de referencia

El recorrido se ha contrastado con asignaturas españolas de primer curso. El núcleo de bases y dimensión aparece en Álgebra del Grado en ADE de la Universidad de Salamanca y en Álgebra del Grado en Economía. Para el desarrollo de coordenadas, cambio de base y operaciones con subespacios se han considerado también la guía de Álgebra del Grado en Estadística de la Universidad de Granada y los Fundamentos Matemáticos de la UNED.

Como banco abierto de comparación puede consultarse el curso de Álgebra y Geometría de la Universidad de Cantabria. Los enunciados, desarrollos y esquemas de este cuaderno son de elaboración propia de Marlu Educativa.

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Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre sistema generador y base?

Un sistema generador permite obtener todo el espacio, pero puede contener vectores redundantes. Una base genera y además es linealmente independiente: no falta ni sobra ninguna dirección.

¿Cómo sé cuántos vectores tiene una base?

Todas las bases de un espacio vectorial finito tienen el mismo número de vectores. Ese número es la dimensión del espacio.

¿Tres vectores de R³ forman siempre una base?

No. Forman una base solo si son linealmente independientes, o de forma equivalente si la matriz que los tiene como columnas tiene rango 3.

¿Cómo se extrae una base de una familia generadora?

Se forma una matriz con los vectores como columnas, se escalona y se conservan las columnas de la matriz original que corresponden a posiciones pivote.

¿Cómo se obtiene una base a partir de ecuaciones?

Se resuelve el sistema homogéneo, se expresan las variables mediante parámetros libres y se separan los vectores que multiplican a esos parámetros.

¿Qué dirección tiene una matriz de cambio de base?

La matriz $P_{C\leftarrow B}$ transforma coordenadas en $B$ en coordenadas en $C$ . Se puede calcular como $P_C^{-1}P_B$ , donde las columnas de $P_B$ y $P_C$ son los vectores de cada base respecto de una misma referencia fija.

¿Cuándo es directa una suma de subespacios?

La suma $U+W$ es directa si $U\cap W$ contiene únicamente el vector cero. Entonces cada vector de la suma tiene una descomposición única como $u+w$ .

¿Qué significa rango–nulidad?

Para una matriz con n columnas, la dimensión del núcleo más el rango es n. La fórmula cuenta las variables libres y las direcciones independientes de la imagen.

Bases y dimensión · 72 ejercicios resueltos · Marlu Educativa

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Una guía para entender y resolver

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La idea que ordena todo el tema

Generar

Ser independiente

Ser base

Tener dimensión n

Un método de trabajo que no mezcla conceptos

Errores frecuentes y cómo detectarlos

«Hay n vectores, luego es base»

Usar columnas de la matriz reducida

Escribir ( a , b ) B sin fijar el orden

Confundir unión y suma

Olvidar un caso del parámetro

Perder el espacio ambiente

72 ejercicios resueltos paso a paso

Bloque 01 · Ejercicios 001–008Independencia, generación y bases en Rⁿ

Bloque 02 · Ejercicios 009–016Rango: extraer y completar bases

Bloque 03 · Ejercicios 017–024Subespacios por ecuaciones y generadores

Bloque 04 · Ejercicios 025–032Polinomios, matrices y funciones

Bloque 05 · Ejercicios 033–040Coordenadas y cambio de base

Bloque 06 · Ejercicios 041–048Suma, intersección y suma directa

Bloque 07 · Ejercicios 049–056Familias y subespacios con parámetros

Bloque 08 · Ejercicios 057–064Espacios fundamentales y rango–nulidad

Dos simulacros de integración

Simulacro 1 · Itinerario económico y cuantitativo

Simulacro 2 · Itinerario científico y técnico

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Escribir $(a,b)_B$ sin fijar el orden