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Cantidad de movimiento, impulso y choques en 1.º Bachillerato y Universidad con 45 ejercicios resueltos
Cantidad de movimiento, impulso y choques en 1.º Bachillerato y Universidad con 45 ejercicios resueltos
Este recurso organiza el momento lineal desde su significado vectorial hasta los choques elásticos e inelásticos, el impulso, el retroceso, las explosiones, el péndulo balístico y las colisiones en dos dimensiones. Los primeros bloques trabajan el nivel habitual de mecánica de Bachillerato. Los apartados de restitución y choques oblicuos se señalan como ampliación para primeros cursos universitarios.
La resolución sigue siempre el mismo orden. Se delimita el sistema, se eligen ejes, se separan las etapas, se decide qué magnitud se conserva y se revisan signos, unidades y sentido físico. En este tema, una ecuación bien escrita vale más que una colección de fórmulas memorizadas.
Índice
1. Alcance y nivel
El núcleo del recurso es la conservación del momento lineal en sistemas donde el impulso externo durante la interacción puede considerarse despreciable. Se trabajan situaciones de examen con carros, bolas, proyectiles, vehículos, retrocesos y explosiones. Los problemas que combinan choque y energía se dividen en etapas para no aplicar una conservación donde no corresponde.
2. Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad.
Es una magnitud vectorial. Su unidad en el Sistema Internacional es kg·m/s, equivalente a N·s. En una dimensión basta con un signo. En dos dimensiones se trabaja con componentes.
3. Impulso y fuerza media
El impulso de una fuerza es igual a la variación del momento lineal. Si la fuerza es constante, se calcula como el producto F·Δt. Si cambia con el tiempo, se obtiene mediante el área bajo la gráfica fuerza-tiempo.
4. Conservación del momento lineal
El momento total de un sistema se conserva cuando el impulso externo neto durante el intervalo estudiado es nulo o despreciable.
En un choque muy breve pueden existir fuerzas externas, como el peso, pero su impulso durante unas milésimas de segundo suele ser mucho menor que el impulso de las fuerzas internas del impacto.
5. Choques elásticos e inelásticos
| Tipo de interacción | Momento lineal | Energía cinética | Rasgo principal |
|---|---|---|---|
| Choque elástico | Se conserva | Se conserva | Los cuerpos se separan sin pérdida neta de energía cinética. |
| Choque inelástico | Se conserva | No se conserva | Parte de la energía se transforma en deformación, sonido o calor. |
| Perfectamente inelástico | Se conserva | No se conserva | Los cuerpos quedan unidos y comparten velocidad final. |
| Explosión | Se conserva | Puede aumentar | La energía interna se transforma en energía cinética. |
6. Método para choques en una dimensión
Escribe todas las velocidades con signo. No cambies el convenio a mitad del ejercicio.
Decide qué cuerpos forman parte del sistema durante el choque.
Usa masas y velocidades algebraicas. Si quedan unidos, comparten una sola velocidad.
En un choque elástico se añade energía cinética o restitución. En uno inelástico no.
Una velocidad negativa no es un error. Indica que el cuerpo sale en sentido contrario al eje elegido.
Sustituye las velocidades finales en la ecuación de momento y revisa el tipo de choque.
7. Método para choques en dos dimensiones
La conservación vectorial se transforma en dos ecuaciones escalares independientes.
Antes de sustituir, dibuja los ángulos y decide si se miden desde el eje x o desde el eje y. Un error de seno y coseno puede mantener unidades correctas y aun así destruir todo el planteamiento.
8. Choque, subida, muelle o frenado
Los problemas más elaborados suelen contener dos fenómenos consecutivos. Durante el choque se conserva el momento lineal. Después del choque puede conservarse la energía mecánica o aparecer trabajo del rozamiento.
| Etapa | Modelo habitual | Error que se evita |
|---|---|---|
| Impacto muy breve | Conservación del momento lineal | Conservar energía cinética si la bala se incrusta. |
| Subida sin rozamiento | Conservación de la energía mecánica | Volver a usar el momento lineal. |
| Compresión de muelle | Energía cinética a energía elástica | Usar la velocidad inicial de la bala. |
| Deslizamiento con rozamiento | Trabajo-energía o aceleración a = μg | Mezclar choque y frenado en una sola ecuación. |
9. Colección de 45 ejercicios resueltos
Los ejercicios avanzan desde el cálculo directo del momento hasta problemas de varias etapas y colisiones oblicuas. Los apartados marcados como ampliación no son necesarios en todos los cursos de Bachillerato, pero preparan con solidez la entrada en Física General universitaria.
10. Ejercicios 1 a 8. Momento e impulso
Cantidad de movimiento de un móvil
Un cuerpo de 4 kg se desplaza a 6 m/s hacia la derecha. Calcula su cantidad de movimiento.
Datos e incógnitas. m = 4 kg · v = 6 m/s · p = ?.
Modelo e idea clave. La cantidad de movimiento depende de la masa y de la velocidad. Tomamos la derecha como sentido positivo.
Cálculo paso a paso. Aplicamos la definición: p = 4 · 6 = 24 kg·m/s.
Resultado. p = 24 kg·m/s hacia la derecha.
Comprobación. La unidad es kg·m/s y el signo positivo coincide con el sentido elegido.
Momento lineal en dos dimensiones
Una partícula de 2,5 kg lleva una velocidad de componentes 3 m/s en x y 4 m/s en y. Calcula las componentes, el módulo y la dirección de su momento lineal.
Datos e incógnitas. m = 2,5 kg · v_x = 3 m/s · v_y = 4 m/s · p_x, p_y, |p| y θ = ?.
Modelo e idea clave. El momento es un vector paralelo a la velocidad. Multiplicamos cada componente por la masa.
p_x = 2,5 · 3 = 7,5 kg·m/s.
p_y = 2,5 · 4 = 10 kg·m/s.
|p| = √(7,5² + 10²) = 12,5 kg·m/s.
θ = arctan(10/7,5) = 53,1°.
Resultado. p = (7,5 i + 10 j) kg·m/s, |p| = 12,5 kg·m/s y θ = 53,1°.
Comprobación. La velocidad forma un triángulo 3-4-5. El momento conserva la misma dirección y su módulo es 2,5 · 5 = 12,5 kg·m/s.
Momento total en el mismo sentido
Dos carros se mueven hacia la derecha. El primero tiene 3 kg y va a 4 m/s. El segundo tiene 2 kg y va a 5 m/s. Calcula el momento total.
Datos e incógnitas. m1 = 3 kg · v1 = 4 m/s · m2 = 2 kg · v2 = 5 m/s · p_total = ?.
Modelo e idea clave. Los dos momentos tienen el mismo sentido, por lo que se suman con signo positivo.
Cálculo paso a paso. p_total = 3 · 4 + 2 · 5 = 12 + 10 = 22 kg·m/s.
Resultado. p_total = 22 kg·m/s hacia la derecha.
Comprobación. El resultado debe ser mayor que cualquiera de los dos momentos por separado porque ambos apuntan al mismo lado.
Momento total con sentidos opuestos
Un cuerpo de 5 kg se mueve a 6 m/s hacia la derecha y otro de 3 kg se mueve a 4 m/s hacia la izquierda. Calcula el momento total del sistema.
Datos e incógnitas. m1 = 5 kg · v1 = +6 m/s · m2 = 3 kg · v2 = -4 m/s · p_total = ?.
Modelo e idea clave. Elegimos la derecha como positiva. El segundo cuerpo tiene velocidad negativa.
Cálculo paso a paso. p_total = 5 · 6 + 3 · (-4) = 30 - 12 = 18 kg·m/s.
Resultado. p_total = 18 kg·m/s hacia la derecha.
Comprobación. El momento del primer cuerpo es mayor. Por eso el momento neto conserva su sentido.
Impulso de una fuerza constante
Una fuerza de 120 N actúa durante 0,35 s sobre un cuerpo de 3 kg que inicialmente se mueve a 2 m/s en la misma dirección. Calcula el impulso y la velocidad final.
Datos e incógnitas. F = 120 N · Δt = 0,35 s · m = 3 kg · v_i = 2 m/s · I y v_f = ?.
Modelo e idea clave. El impulso es igual a la variación del momento. Como fuerza y movimiento tienen el mismo sentido, la velocidad aumenta.
I = 120 · 0,35 = 42 N·s.
42 = 3(v_f - 2).
v_f = 2 + 42 / 3 = 16 m/s.
Resultado. I = 42 N·s y v_f = 16 m/s.
Comprobación. El impulso positivo aumenta el momento. La unidad N·s equivale a kg·m/s.
Fuerza media sobre una pelota
Una pelota de 0,15 kg llega a una pared a 20 m/s y rebota en sentido contrario a 12 m/s. El contacto dura 0,040 s. Calcula la fuerza media ejercida sobre la pelota.
Datos e incógnitas. m = 0,15 kg · v_i = +20 m/s · v_f = -12 m/s · Δt = 0,040 s · F_media = ?.
Modelo e idea clave. El cambio de sentido obliga a usar signos. La fuerza media tiene el mismo sentido que la variación del momento.
Δp = 0,15 · (-12 - 20) = -4,8 kg·m/s.
F_media = -4,8 / 0,040 = -120 N.
Resultado. F_media = -120 N. Su módulo es 120 N y apunta en sentido contrario al movimiento inicial.
Comprobación. No se suman 20 y 12 sin justificar. La resta vectorial v_f - v_i ya incorpora el cambio de sentido.
Impulso a partir de una gráfica triangular
La fuerza sobre una pelota crece linealmente desde 0 hasta 600 N y vuelve a 0 en 0,080 s. La pelota tiene 0,40 kg y parte del reposo. Calcula su velocidad final.
Datos e incógnitas. F_max = 600 N · base temporal = 0,080 s · m = 0,40 kg · v_i = 0 · v_f = ?.
Modelo e idea clave. El impulso es el área bajo la gráfica fuerza-tiempo. La región es un triángulo.
I = 1/2 · 600 · 0,080 = 24 N·s.
v_f = I/m = 24 / 0,40 = 60 m/s.
Resultado. v_f = 60 m/s.
Comprobación. Una fuerza muy grande puede producir un impulso moderado si actúa durante un intervalo muy corto.
Impulso vectorial al cambiar de dirección
Un disco de 0,20 kg se mueve inicialmente a 8 m/s hacia el este y termina a 6 m/s hacia el norte. El cambio dura 0,050 s. Calcula el impulso y la fuerza media.
Datos e incógnitas. m = 0,20 kg · v_i = (8, 0) m/s · v_f = (0, 6) m/s · Δt = 0,050 s.
Modelo e idea clave. En dos dimensiones se trabaja por componentes. El impulso es m(v_f - v_i).
I_x = 0,20(0 - 8) = -1,6 N·s.
I_y = 0,20(6 - 0) = 1,2 N·s.
|I| = 2 N·s.
F_media = (-32 i + 24 j) N y |F_media| = 40 N.
Resultado. I = (-1,6 i + 1,2 j) N·s y F_media = (-32 i + 24 j) N.
Comprobación. El componente x debe ser negativo porque se elimina la velocidad hacia el este. El componente y es positivo porque aparece velocidad hacia el norte.
11. Ejercicios 9 a 16. Conservación, retroceso y choques inelásticos
Dos carros que quedan unidos
Un carro de 2 kg se mueve a 4 m/s y choca con otro de 3 kg en reposo. Después del choque quedan unidos. Calcula la velocidad común.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = 4 m/s · m2 = 3 kg · u2 = 0 · v = ?.
Modelo e idea clave. Es un choque perfectamente inelástico. Se conserva el momento lineal, pero no la energía cinética.
2 · 4 + 3 · 0 = 5v.
v = 8/5 = 1,6 m/s.
Resultado. v = 1,6 m/s en el sentido del primer carro.
Comprobación. La velocidad final queda entre 0 y 4 m/s, como debe ocurrir al arrastrar una masa inicialmente parada.
Choque inelástico en el mismo sentido
Un carro de 4 kg a 7 m/s alcanza a otro de 2 kg que se mueve a 1 m/s. Quedan unidos. Calcula la velocidad final.
Datos e incógnitas. m1 = 4 kg · u1 = 7 m/s · m2 = 2 kg · u2 = 1 m/s.
Modelo e idea clave. Al moverse ambos hacia el mismo lado, los dos momentos iniciales son positivos.
Cálculo paso a paso. v = (4 · 7 + 2 · 1)/6 = 30/6 = 5 m/s.
Resultado. v = 5 m/s.
Comprobación. La velocidad común está entre 1 y 7 m/s. Una respuesta fuera de ese intervalo indicaría un error de signos o de masas.
Choque frontal con unión
Un cuerpo de 3 kg va a 8 m/s hacia la derecha y otro de 2 kg va a 5 m/s hacia la izquierda. Tras el choque quedan unidos. Calcula la velocidad final.
Datos e incógnitas. m1 = 3 kg · u1 = +8 m/s · m2 = 2 kg · u2 = -5 m/s.
Modelo e idea clave. La dirección derecha se toma como positiva. La conservación del momento decide el sentido final.
Cálculo paso a paso. v = (3 · 8 + 2 · (-5))/5 = 14/5 = 2,8 m/s.
Resultado. v = 2,8 m/s hacia la derecha.
Comprobación. El momento inicial neto es positivo, por lo que el conjunto no puede salir hacia la izquierda.
Bala que se incrusta en un bloque
Una bala de 0,020 kg viaja a 400 m/s y se incrusta en un bloque de 3,98 kg en reposo. Calcula la velocidad inmediatamente después del impacto.
Datos e incógnitas. m_b = 0,020 kg · u_b = 400 m/s · m_B = 3,98 kg · u_B = 0.
Modelo e idea clave. Durante el impacto se conserva el momento lineal. La energía cinética no se conserva porque la bala queda incrustada.
0,020 · 400 = 4,00V.
V = 8/4 = 2 m/s.
Resultado. V = 2 m/s.
Comprobación. La masa conjunta es mucho mayor que la de la bala, por eso la velocidad cae de forma intensa.
Dos patinadores se separan
Dos patinadores están inicialmente en reposo. El primero, de 60 kg, sale a 3 m/s hacia el este. El segundo tiene 75 kg. Calcula su velocidad.
Datos e incógnitas. m1 = 60 kg · v1 = +3 m/s · m2 = 75 kg · v2 = ? · p_inicial = 0.
Modelo e idea clave. Como el sistema parte del reposo y las fuerzas de separación son internas, el momento total sigue siendo cero.
60 · 3 + 75v2 = 0.
v2 = -180/75 = -2,4 m/s.
Resultado. v2 = 2,4 m/s hacia el oeste.
Comprobación. El patinador más pesado sale más despacio para compensar el mismo momento en sentido contrario.
Retroceso de un rifle
Un rifle de 4 kg dispara una bala de 0,010 kg a 600 m/s. El sistema estaba inicialmente en reposo. Calcula la velocidad de retroceso del rifle.
Datos e incógnitas. m_r = 4 kg · m_b = 0,010 kg · v_b = +600 m/s · v_r = ?.
Modelo e idea clave. El momento total inicial es cero. Tras el disparo, bala y rifle tienen momentos iguales y opuestos.
0,010 · 600 + 4v_r = 0.
v_r = -6/4 = -1,5 m/s.
Resultado. v_r = 1,5 m/s hacia atrás.
Comprobación. La velocidad del rifle es pequeña porque su masa es muy superior a la de la bala.
Explosión en dos fragmentos
Un cuerpo inicialmente en reposo explota en dos fragmentos. Uno tiene 2 kg y sale a 6 m/s hacia la derecha. El otro tiene 3 kg. Calcula su velocidad.
Datos e incógnitas. p_inicial = 0 · m1 = 2 kg · v1 = +6 m/s · m2 = 3 kg.
Modelo e idea clave. La explosión puede aumentar la energía cinética, pero el momento total se conserva si el impulso externo es despreciable.
2 · 6 + 3v2 = 0.
v2 = -12/3 = -4 m/s.
Resultado. v2 = 4 m/s hacia la izquierda.
Comprobación. Los momentos 12 y -12 kg·m/s se anulan exactamente.
Persona que salta desde un carro en movimiento
Una persona de 70 kg viaja sobre un carro de 130 kg. El conjunto se mueve a 2 m/s. La persona salta hacia delante y queda con una velocidad de 5 m/s respecto al suelo. Calcula la velocidad del carro.
Datos e incógnitas. m_persona = 70 kg · m_carro = 130 kg · u = 2 m/s · v_persona = 5 m/s · v_carro = ?.
Modelo e idea clave. Durante el salto se conserva el momento horizontal del sistema persona-carro.
200 · 2 = 70 · 5 + 130v_c.
400 = 350 + 130v_c.
v_c = 50/130 = 0,385 m/s.
Resultado. v_carro = 0,385 m/s hacia delante.
Comprobación. La persona gana momento hacia delante y el carro reduce mucho su velocidad para mantener el momento total.
12. Ejercicios 17 a 22. Choques elásticos y restitución
Choque elástico entre masas iguales
Una bola de 1 kg se mueve a 5 m/s y choca elásticamente de frente con otra bola idéntica en reposo. Calcula las velocidades finales.
Datos e incógnitas. m1 = m2 = 1 kg · u1 = 5 m/s · u2 = 0.
Modelo e idea clave. En un choque elástico frontal entre masas iguales, la primera bola transfiere su velocidad a la segunda.
Cálculo paso a paso. Al resolver las dos ecuaciones se obtiene v1 = 0 y v2 = 5 m/s.
Resultado. v1 = 0 y v2 = 5 m/s.
Comprobación. El momento y la energía cinética se conservan. El resultado coincide con la experiencia habitual de bolas de billar de igual masa.
Choque elástico con masas diferentes
Un cuerpo de 2 kg a 6 m/s choca elásticamente con otro de 4 kg en reposo. Calcula las velocidades finales.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = 6 m/s · m2 = 4 kg · u2 = 0.
Modelo e idea clave. En una dimensión usamos conservación del momento y conservación de la energía cinética, o las fórmulas equivalentes del choque elástico.
v1 = (2 - 4)/(2 + 4) · 6 = -2 m/s.
v2 = 2 · 2/(2 + 4) · 6 = 4 m/s.
Resultado. v1 = -2 m/s y v2 = 4 m/s.
Comprobación. El cuerpo ligero rebota. La comprobación da momento inicial 12 kg·m/s y momento final -4 + 16 = 12 kg·m/s.
Choque elástico frontal con ambos cuerpos en movimiento
Un cuerpo de 3 kg se mueve a 5 m/s hacia la derecha y otro de 2 kg a 1 m/s hacia la izquierda. El choque es elástico. Calcula las velocidades finales.
Datos e incógnitas. m1 = 3 kg · u1 = +5 m/s · m2 = 2 kg · u2 = -1 m/s.
Modelo e idea clave. Los signos deben mantenerse en las fórmulas de choque elástico. No se sustituyen velocidades como módulos.
v1 = [1 · 5 + 4 · (-1)]/5 = 1/5 = 0,2 m/s.
v2 = [6 · 5 + (-1) · (-1)]/5 = 6,2 m/s.
Resultado. v1 = 0,2 m/s y v2 = 6,2 m/s, ambos hacia la derecha.
Comprobación. El segundo cuerpo cambia de sentido. Momento y energía cinética se conservan dentro del redondeo.
Coeficiente de restitución
Un cuerpo de 2 kg a 5 m/s choca con otro de 3 kg en reposo. El coeficiente de restitución es e = 0,60. Calcula las velocidades finales.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = 5 m/s · m2 = 3 kg · u2 = 0 · e = 0,60.
Modelo e idea clave. El momento lineal se conserva y el coeficiente de restitución relaciona la velocidad de separación con la de aproximación.
De la segunda ecuación: v2 - v1 = 3, por tanto v2 = v1 + 3.
Sustituimos en el momento: 10 = 2v1 + 3(v1 + 3).
10 = 5v1 + 9, luego v1 = 0,2 m/s.
v2 = 3,2 m/s.
Resultado. v1 = 0,2 m/s y v2 = 3,2 m/s.
Comprobación. Como 0 < e < 1, el choque es inelástico pero los cuerpos no quedan unidos.
Pérdida de energía en un choque perfectamente inelástico
Un cuerpo de 2 kg a 6 m/s choca con otro de 3 kg en reposo y quedan unidos. Calcula la velocidad final y la energía cinética perdida.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = 6 m/s · m2 = 3 kg · u2 = 0.
Modelo e idea clave. Primero se conserva el momento para obtener la velocidad. Después se comparan las energías cinéticas.
v = 12/5 = 2,4 m/s.
K_i = 1/2 · 2 · 6² = 36 J.
K_f = 1/2 · 5 · 2,4² = 14,4 J.
Pérdida = 21,6 J, que representa el 60 %.
Resultado. v = 2,4 m/s y se pierden 21,6 J de energía cinética.
Comprobación. El momento se conserva, pero parte de la energía cinética se transforma en deformación, sonido y energía interna.
Comprobar el tipo de choque con datos finales
Una masa de 1 kg a 5 m/s choca con otra de 2 kg en reposo. Después del choque se mueven a 1 m/s y 2 m/s, respectivamente, en el sentido inicial. Comprueba el momento, calcula e y la energía perdida.
Datos e incógnitas. m1 = 1 kg · u1 = 5 m/s · m2 = 2 kg · u2 = 0 · v1 = 1 m/s · v2 = 2 m/s.
Modelo e idea clave. Primero verificamos que los datos respetan la conservación del momento. Después calculamos restitución y energía.
p_i = 1 · 5 = 5 kg·m/s.
p_f = 1 · 1 + 2 · 2 = 5 kg·m/s.
e = (2 - 1)/5 = 0,2.
K_i = 12,5 J y K_f = 4,5 J.
Se pierden 8 J.
Resultado. El momento se conserva, e = 0,20 y la pérdida de energía cinética es 8 J.
Comprobación. El valor de e confirma un choque muy inelástico, aunque los cuerpos se separan.
13. Ejercicios 23 a 28. Péndulo balístico, rampas y muelles
Péndulo balístico con velocidad conocida
Una bala de 0,020 kg a 300 m/s se incrusta en un bloque de 1,98 kg suspendido como péndulo. Calcula la altura máxima alcanzada.
Datos e incógnitas. m_b = 0,020 kg · u_b = 300 m/s · m_B = 1,98 kg · g = 9,8 m/s².
Modelo e idea clave. El problema tiene dos etapas. En el impacto se conserva el momento. En la subida se conserva la energía mecánica.
Velocidad tras el choque: V = 0,020 · 300 / 2,00 = 3 m/s.
Altura: h = V²/(2g) = 9/19,6 = 0,459 m.
Resultado. h = 0,459 m.
Comprobación. No se puede conservar la energía cinética durante el impacto. La energía solo se conserva en la segunda etapa.
Hallar la velocidad de la bala a partir de la altura
Una bala de 0,010 kg se incrusta en un bloque de 1,99 kg. El conjunto asciende 0,20 m. Calcula la velocidad inicial de la bala.
Datos e incógnitas. m_b = 0,010 kg · m_B = 1,99 kg · h = 0,20 m · g = 9,8 m/s².
Modelo e idea clave. Resolvemos al revés. Primero obtenemos la velocidad común desde la altura y luego aplicamos el momento en el choque.
V = √(2 · 9,8 · 0,20) = 1,98 m/s.
u_b = 2,00/0,010 · 1,98 = 395,98 m/s.
Resultado. u_b ≈ 396 m/s.
Comprobación. Una masa muy pequeña debe llevar una velocidad alta para comunicar momento apreciable al bloque.
Bala, bloque y plano inclinado sin rozamiento
Una bala de 0,020 kg a 500 m/s se incrusta en un bloque de 3,98 kg situado al pie de un plano inclinado 30° sin rozamiento. Calcula la distancia que recorre el conjunto por el plano antes de detenerse.
Datos e incógnitas. m_b = 0,020 kg · u_b = 500 m/s · m_B = 3,98 kg · α = 30°.
Modelo e idea clave. Primero se calcula la velocidad tras el impacto. Después la energía cinética se transforma en potencial gravitatoria.
V = 0,020 · 500 / 4,00 = 2,5 m/s.
h = V²/(2g) = 0,319 m.
s = h/sen 30° = 0,638 m.
Resultado. s = 0,638 m.
Comprobación. La masa conjunta se simplifica en la etapa energética. La distancia sobre el plano es mayor que la altura vertical.
Bala y bloque que suben con rozamiento
Una bala de 0,020 kg a 400 m/s se incrusta en un bloque de 1,98 kg. El conjunto sube por un plano de 25° con coeficiente de rozamiento 0,15. Calcula la distancia recorrida.
Datos e incógnitas. m_b = 0,020 kg · u_b = 400 m/s · m_B = 1,98 kg · α = 25° · μ = 0,15.
Modelo e idea clave. Tras el impacto, la energía cinética se consume en ganar altura y vencer el rozamiento.
V = 0,020 · 400 / 2,00 = 4 m/s.
s = V²/[2g(sen 25° + 0,15 cos 25°)].
s = 1,461 m.
Resultado. s = 1,46 m.
Comprobación. El rozamiento reduce la distancia respecto al plano liso. La altura ganada es aproximadamente 0,617 m.
Bala, bloque y compresión de un muelle
Una bala de 0,010 kg a 500 m/s se incrusta en un bloque de 1,99 kg sobre una superficie sin rozamiento. El conjunto comprime un muelle de constante 800 N/m. Calcula la compresión máxima.
Datos e incógnitas. m_b = 0,010 kg · u_b = 500 m/s · m_B = 1,99 kg · k = 800 N/m.
Modelo e idea clave. El choque y la compresión son etapas distintas. En el choque se conserva el momento. Después se conserva la energía mecánica.
V = 0,010 · 500 / 2,00 = 2,5 m/s.
x = √(MV²/k) = 0,125 m.
Resultado. x = 0,125 m, es decir, 12,5 cm.
Comprobación. La unidad de x es el metro. La compresión es razonable para una energía posterior al choque de 6,25 J.
Carros unidos que comprimen un muelle
Un carro de 1 kg a 6 m/s choca con otro de 2 kg en reposo y quedan unidos. Después comprimen un muelle de 600 N/m sobre una superficie sin rozamiento. Calcula la compresión máxima.
Datos e incógnitas. m1 = 1 kg · u1 = 6 m/s · m2 = 2 kg · k = 600 N/m.
Modelo e idea clave. Primero aplicamos momento lineal al choque inelástico y después energía en la compresión.
V = 6/3 = 2 m/s.
x = √[(3 · 2²)/600] = 0,141 m.
Resultado. x = 0,141 m, aproximadamente 14,1 cm.
Comprobación. La energía usada para comprimir el muelle es la energía cinética posterior al choque, no la inicial.
14. Ejercicios 29 a 38. Choques y explosiones en dos dimensiones
Choque oblicuo y velocidad desconocida
Dos bolas de igual masa. La primera llega a 10 m/s sobre el eje x y la segunda está en reposo. Tras el choque, la primera sale a 6 m/s formando 30° sobre x. Calcula la velocidad de la segunda.
Datos e incógnitas. m1 = m2 · u1 = 10 m/s en +x · u2 = 0 · v1 = 6 m/s a +30°.
Modelo e idea clave. Como las masas son iguales, se simplifican. Conservamos el momento en x y en y por separado.
v2x = 10 - 6 cos 30° = 4,804 m/s.
v2y = -6 sen 30° = -3 m/s.
|v2| = 5,664 m/s.
θ = -32°.
Resultado. v2 = (4,804 i - 3,000 j) m/s, módulo 5,66 m/s y dirección 32,0° por debajo de x.
Comprobación. La componente y de la segunda bola debe compensar exactamente la componente y positiva de la primera.
Choque elástico oblicuo entre masas iguales
Una bola de masa m se mueve a 10 m/s y choca elásticamente con otra igual en reposo. Después, la primera sale a 6 m/s con ángulo 53,13° y la segunda a 8 m/s con ángulo -36,87°. Comprueba momento y energía.
Datos e incógnitas. u = 10 m/s · v1 = 6 m/s a 53,13° · v2 = 8 m/s a -36,87°.
Modelo e idea clave. En un choque elástico de masas iguales con una inicialmente en reposo, las velocidades finales pueden quedar perpendiculares.
v1 = (3,6 i + 4,8 j) m/s.
v2 = (6,4 i - 4,8 j) m/s.
Suma vectorial: (10 i + 0 j) m/s.
Energía: 10² = 6² + 8² = 100.
Resultado. Se conservan el momento y la energía. Las trayectorias finales forman 90°.
Comprobación. El producto escalar v1 · v2 es cero, lo que confirma la perpendicularidad.
Choque perpendicular con unión
Un cuerpo de 2 kg se mueve a 4 m/s hacia el este y otro de 1 kg a 3 m/s hacia el norte. Chocan y quedan unidos. Calcula la velocidad final.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = (4,0) m/s · m2 = 1 kg · u2 = (0,3) m/s.
Modelo e idea clave. Es un choque perfectamente inelástico en dos dimensiones. Se suman los momentos vectoriales y se divide entre la masa total.
Vx = 8/3 = 2,667 m/s.
Vy = 3/3 = 1 m/s.
|V| = 2,848 m/s y θ = 20,6°.
Resultado. V = (2,667 i + 1,000 j) m/s, módulo 2,85 m/s a 20,6° al norte del este.
Comprobación. La dirección final queda más cerca del este porque el momento inicial en x es mayor.
Colisión de dos vehículos en un cruce
Un automóvil de 1200 kg circula a 20 m/s hacia el este y otro de 1000 kg a 15 m/s hacia el norte. Tras chocar quedan unidos. Calcula la velocidad del conjunto.
Datos e incógnitas. m1 = 1200 kg · u1 = 20 m/s este · m2 = 1000 kg · u2 = 15 m/s norte.
Modelo e idea clave. Se desprecia el impulso externo durante el choque. Conservamos el momento en los dos ejes.
Vx = 10,909 m/s.
Vy = 6,818 m/s.
|V| = 12,865 m/s.
θ = 32° al norte del este.
Resultado. |V| = 12,87 m/s y θ = 32,0° al norte del este.
Comprobación. El vector final debe estar en el primer cuadrante porque ambos momentos iniciales son positivos.
Explosión en tres fragmentos
Un objeto inicialmente en reposo explota en tres fragmentos. El primero, de 2 kg, sale a 4 m/s hacia el este. El segundo, de 1 kg, sale a 6 m/s hacia el norte. El tercero tiene 3 kg. Calcula su velocidad.
Datos e incógnitas. p_inicial = 0 · m1 = 2 kg, v1 = (4,0) m/s · m2 = 1 kg, v2 = (0,6) m/s · m3 = 3 kg.
Modelo e idea clave. El momento del tercer fragmento debe ser el opuesto a la suma de los otros dos.
p1 = (8,0) kg·m/s y p2 = (0,6) kg·m/s.
p3 = (-8,-6) kg·m/s.
v3 = (-2,667 i -2 j) m/s.
|v3| = 3,333 m/s.
Resultado. v3 = (-2,667 i - 2,000 j) m/s, módulo 3,33 m/s hacia el suroeste.
Comprobación. La suma de los tres momentos es exactamente cero.
Fragmentación en el punto más alto
Un proyectil de 4 kg se mueve horizontalmente a 12 m/s en el punto más alto de su trayectoria. Explota en dos fragmentos. Uno, de 1 kg, sale verticalmente hacia arriba a 8 m/s. Calcula la velocidad del fragmento de 3 kg inmediatamente después.
Datos e incógnitas. M = 4 kg · u = (12,0) m/s · m1 = 1 kg, v1 = (0,8) m/s · m2 = 3 kg.
Modelo e idea clave. La explosión dura muy poco, por lo que el impulso de la gravedad durante ese intervalo se desprecia.
Momento inicial = (48,0) kg·m/s.
3v2x = 48, luego v2x = 16 m/s.
8 + 3v2y = 0, luego v2y = -2,667 m/s.
|v2| = 16,221 m/s y θ = -9,5°.
Resultado. v2 = (16 i - 2,667 j) m/s.
Comprobación. El fragmento pesado adquiere componente vertical hacia abajo para compensar el momento vertical del fragmento ligero.
Choque oblicuo con masas diferentes
Una masa de 2 kg se mueve a 10 m/s sobre x y choca con una masa de 3 kg en reposo. Después, la primera sale a 5 m/s formando 37° sobre x. Calcula la velocidad de la segunda.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = 10 m/s · m2 = 3 kg · u2 = 0 · v1 = 5 m/s a 37°.
Modelo e idea clave. Conservamos el momento en x y en y. La segunda masa debe compensar la componente vertical de la primera.
v2x = 4,005 m/s.
v2y = -2,006 m/s.
|v2| = 4,479 m/s.
θ = -26,6°.
Resultado. v2 = (4,005 i - 2,006 j) m/s, módulo 4,48 m/s.
Comprobación. El momento vertical final se anula y el momento horizontal suma 20 kg·m/s.
Bolas de billar con direcciones conocidas
Una bola de billar se mueve a 12 m/s sobre x y golpea a otra igual en reposo. La segunda sale a 7 m/s con un ángulo de 40° sobre x. Calcula la velocidad de la primera después del choque.
Datos e incógnitas. m1 = m2 · u1 = 12 m/s · u2 = 0 · v2 = 7 m/s a 40°.
Modelo e idea clave. Al ser las masas iguales, la conservación del momento se escribe directamente como u1 = v1 + v2.
v1x = 6,638 m/s.
v1y = -4,5 m/s.
|v1| = 8,019 m/s y θ = -34,1°.
Resultado. v1 = (6,638 i - 4,500 j) m/s, módulo 8,02 m/s.
Comprobación. La componente y negativa equilibra la componente y positiva de la bola golpeada.
Propiedad angular de un choque elástico
En un choque elástico oblicuo entre dos bolas iguales, una llega a 10 m/s y la otra está parada. Tras el choque las velocidades tienen módulos 6 m/s y 8 m/s. Demuestra que son perpendiculares.
Datos e incógnitas. u = 10 m/s · v1 = 6 m/s · v2 = 8 m/s · choque elástico · masas iguales.
Modelo e idea clave. La conservación vectorial del momento y la conservación de la energía permiten relacionar el ángulo entre las velocidades finales.
Al elevar al cuadrado la ecuación vectorial: u² = v1² + v2² + 2 v1 v2 cos φ.
La energía elástica da u² = v1² + v2².
Por comparación, 2 v1 v2 cos φ = 0.
Como las velocidades no son cero, cos φ = 0 y φ = 90°.
Resultado. Las velocidades finales son perpendiculares.
Comprobación. Además, 6² + 8² = 10², lo que confirma el triángulo rectángulo.
Choque inelástico de vehículos con eje sur
Un vehículo de 900 kg circula a 18 m/s hacia el este y otro de 1200 kg a 12 m/s hacia el sur. Quedan unidos. Calcula el módulo y la dirección de la velocidad final.
Datos e incógnitas. m1 = 900 kg · u1 = (18,0) m/s · m2 = 1200 kg · u2 = (0,-12) m/s.
Modelo e idea clave. El sur se representa con componente y negativa. Sumamos momentos y dividimos entre la masa total.
Vx = 7,714 m/s.
Vy = -6,857 m/s.
|V| = 10,321 m/s.
θ = 41,6° al sur del este.
Resultado. |V| = 10,32 m/s a 41,6° al sur del este.
Comprobación. La dirección está en el cuarto cuadrante, coherente con un momento hacia el este y otro hacia el sur.
15. Ejercicios 39 a 45. Aplicaciones y problemas integrados
Fuerza vectorial durante un intervalo
Sobre un cuerpo de 2 kg actúa la fuerza constante F = (30 i - 40 j) N durante 0,20 s. Su velocidad inicial es (1 i + 3 j) m/s. Calcula la velocidad final.
Datos e incógnitas. m = 2 kg · F = (30,-40) N · Δt = 0,20 s · v_i = (1,3) m/s.
Modelo e idea clave. El impulso cambia cada componente del momento. Después dividimos el momento final entre la masa.
I = (6 i -8 j) N·s.
p_i = (2 i + 6 j) kg·m/s.
p_f = (8 i - 2 j) kg·m/s.
v_f = (4 i -1 j) m/s y |v_f| = 4,123 m/s.
Resultado. v_f = (4 i - 1 j) m/s.
Comprobación. La fuerza elimina más momento vertical del que había y por eso la componente y final cambia de signo.
Rebote en una pared lisa
Una pelota de 0,50 kg llega a una pared vertical con rapidez 10 m/s formando 30° con la normal. Rebota con la misma rapidez y ángulo. El contacto dura 0,010 s. Calcula el impulso y la fuerza media normal.
Datos e incógnitas. m = 0,50 kg · v = 10 m/s · ángulo con la normal = 30° · Δt = 0,010 s.
Modelo e idea clave. En una pared lisa la componente tangencial no cambia. La componente normal invierte su signo.
I_n = 2 · 0,50 · 10 · cos 30° = 8,66 N·s.
F_media = 8,66 / 0,010 = 866,025 N.
Resultado. |I| = 8,66 N·s y |F_media| = 866 N, normales a la pared.
Comprobación. La componente paralela no aporta impulso. El resultado normal duplica el momento normal inicial por el cambio de sentido.
Paquete lanzado desde una barca
Una persona y su barca tienen una masa conjunta de 150 kg y están en reposo. La persona lanza un paquete de 10 kg a 6 m/s hacia el este respecto al agua. Calcula la velocidad de retroceso de la barca con la persona.
Datos e incógnitas. M = 150 kg · m = 10 kg · v_paquete = +6 m/s · p_inicial = 0.
Modelo e idea clave. El lanzamiento es una interacción interna. El momento total horizontal permanece nulo.
10 · 6 + 150V = 0.
V = -60/150 = -0,4 m/s.
Resultado. V = 0,40 m/s hacia el oeste.
Comprobación. La barca retrocede más despacio porque su masa es quince veces mayor que la del paquete.
Bala que atraviesa un bloque
Una bala de 0,020 kg entra en un bloque de 2 kg a 500 m/s y sale por el otro lado a 200 m/s en la misma dirección. El bloque estaba en reposo. Calcula su velocidad final.
Datos e incógnitas. m_b = 0,020 kg · u_b = 500 m/s · v_b = 200 m/s · M = 2 kg.
Modelo e idea clave. La bala no queda incrustada. El momento perdido por la bala es ganado por el bloque.
0,020 · 500 = 0,020 · 200 + 2V.
10 = 4 + 2V.
V = 3 m/s.
Resultado. V = 3 m/s.
Comprobación. El bloque recibe un impulso de 6 N·s, igual a la disminución del momento de la bala.
Bala, bloque y frenado por rozamiento
Una bala de 0,015 kg a 400 m/s se incrusta en un bloque de 2,985 kg sobre una superficie horizontal. Después el conjunto se frena con coeficiente de rozamiento 0,20. Calcula la distancia recorrida.
Datos e incógnitas. m_b = 0,015 kg · u_b = 400 m/s · m_B = 2,985 kg · μ = 0,20 · g = 9,8 m/s².
Modelo e idea clave. El choque se resuelve con momento. El deslizamiento posterior se resuelve con energía o cinemática con a = μg.
V = 0,015 · 400 / 3,000 = 2 m/s.
d = V²/(2μg) = 4/(2 · 0,20 · 9,8) = 1,02 m.
Resultado. d = 1,02 m.
Comprobación. La masa se cancela en la etapa de frenado. El choque y el movimiento con rozamiento no deben mezclarse en una sola ecuación.
Energía perdida en un péndulo balístico
Una bala de 0,010 kg a 400 m/s se incrusta en un bloque de 1,99 kg. Calcula la velocidad común, el porcentaje de energía cinética perdido en el choque y la altura posterior.
Datos e incógnitas. m_b = 0,010 kg · u_b = 400 m/s · m_B = 1,99 kg · g = 9,8 m/s².
Modelo e idea clave. El momento se conserva en el impacto. La energía cinética disminuye de forma muy grande y la energía posterior se transforma en potencial.
V = 2 m/s.
K_i = 800 J y K_f = 4 J.
Porcentaje perdido = 99,5 %.
h = 0,204 m.
Resultado. V = 2 m/s, se pierde el 99,5 % de la energía cinética y h = 0,204 m.
Comprobación. Conservar momento no significa conservar energía cinética. En una incrustación la pérdida puede ser enorme.
Problema integrado de choque 2D y subida
Un cuerpo de 2 kg se mueve a 8 m/s hacia el este y choca con otro de 3 kg que se mueve a 4 m/s hacia el norte. Quedan unidos y suben después por una rampa lisa. Calcula la velocidad tras el choque, su dirección y la altura máxima.
Datos e incógnitas. m1 = 2 kg · u1 = (8,0) m/s · m2 = 3 kg · u2 = (0,4) m/s · g = 9,8 m/s².
Modelo e idea clave. El choque se resuelve por componentes. La subida posterior se resuelve con conservación de la energía mecánica.
Vx = 3,2 m/s y Vy = 2,4 m/s.
V = 4 m/s.
θ = arctan(2,4/3,2) = 36,9°.
h = 4²/(2 · 9,8) = 0,816 m.
Resultado. V = 4 m/s a 36,9° al norte del este y h = 0,816 m.
Comprobación. La dirección nace del momento vectorial. La altura depende solo del módulo de la velocidad posterior al choque.
16. Simulacro final de 75 minutos
Resuelve sin consultar las soluciones anteriores. Escribe siempre sistema, ejes, signos, ecuaciones y revisión.
- Una pelota de 0,20 kg cambia su velocidad de 15 m/s hacia la derecha a 10 m/s hacia la izquierda en 0,025 s. Calcula impulso y fuerza media.
- Un carro de 3 kg a 5 m/s choca y queda unido a otro de 2 kg que se mueve a 1 m/s en sentido contrario. Calcula la velocidad final y la energía perdida.
- Una bala de 0,012 kg a 450 m/s se incrusta en un bloque de 2,988 kg. El conjunto sube por una rampa sin rozamiento. Calcula la altura máxima.
- Dos cuerpos de 2 kg y 3 kg se mueven perpendicularmente a 6 m/s y 4 m/s. Quedan unidos. Calcula módulo y dirección.
- Una bola de masa m a 8 m/s choca elásticamente con otra igual en reposo. Después una sale a 4,8 m/s. Calcula el módulo de la otra y justifica el ángulo entre ambas.
- Un objeto en reposo explota en tres fragmentos. Dos momentos son (12,0) y (0,-5) kg·m/s. El tercero tiene masa 2 kg. Calcula su velocidad.
Resultados del simulacro
- I = -5 N·s y F_media = -200 N.
- v = 2,6 m/s. La energía cinética perdida es 21,6 J.
- V = 1,8 m/s y h = 0,165 m.
- V = (2,4 i + 2,4 j) m/s. Módulo 3,39 m/s y dirección 45°.
- La otra velocidad tiene módulo 6,4 m/s y ambas son perpendiculares.
- p3 = (-12, 5) kg·m/s. v3 = (-6 i + 2,5 j) m/s.
17. Errores frecuentes
18. Recursos relacionados
19. Preguntas frecuentes
¿Cuándo se conserva el momento lineal?
Cuando el impulso externo neto sobre el sistema es nulo o puede despreciarse durante el intervalo estudiado.
¿Se conserva siempre la energía cinética en un choque?
No. Solo en un choque elástico. En un choque inelástico parte de la energía cinética se transforma en otras formas de energía.
¿Por qué una velocidad final puede ser negativa?
Porque el signo indica dirección respecto al eje elegido. Un valor negativo significa que el cuerpo se mueve en sentido contrario al positivo.
¿Qué se conserva cuando dos cuerpos quedan unidos?
Se conserva el momento lineal del sistema si el impulso externo es despreciable. La energía cinética no se conserva.
¿Cómo se resuelve un choque en dos dimensiones?
Se descompone cada velocidad en x e y y se escribe una ecuación de conservación del momento para cada eje.
¿Por qué el problema de la bala y el bloque tiene dos etapas?
Porque el impacto es inelástico y se resuelve con momento. La subida, el muelle o el frenado posterior responden a otro modelo físico.
¿El coeficiente de restitución es contenido de Bachillerato?
Puede aparecer como ampliación, pero es más habitual en Física General universitaria. Por eso está claramente separado del núcleo principal.
¿Qué unidades tiene el impulso?
N·s. Es la misma dimensión que kg·m/s porque el impulso equivale a una variación del momento lineal.