1. La dirección descendente indica que, en promedio, valores grandes de X se asocian con valores pequeños de Y.
2. Por tanto, la covarianza y r deben ser negativos.
3. La cercanía visual a una recta sugiere |r| alto, aunque el valor exacto solo se obtiene calculando.

Resultado. Esperamos una correlación lineal negativa y fuerte, por ejemplo un r próximo a −1.

Comprobación. El signo se deduce de la dirección; la intensidad se relaciona con cuánto se separan los puntos de una tendencia lineal.

1. La correlación describe asociación, no un mecanismo causal.
2. Ambas variables pueden estar influidas por una tercera: la temperatura.
3. Para hablar de causalidad harían falta un diseño y evidencias adicionales que controlasen explicaciones alternativas.

Resultado. Existe asociación compatible con una causa común; no puede afirmarse causalidad entre las dos variables solo con r.

Comprobación. El currículo distingue expresamente correlación y causalidad: es una interpretación obligatoria, no un detalle teórico.

1. Multiplicar una variable por una constante positiva cambia su media, desviación y covarianza en la misma proporción.
2. En r = sxy/(sx·sy), ese factor se cancela.
3. Como la constante es positiva, tampoco cambia el signo.

Resultado. No. El coeficiente r conserva exactamente el mismo valor.

Comprobación. La correlación lineal no depende de las unidades de medida; la pendiente de la recta sí cambia.

1. La nube tiene forma de U: Y disminuye hasta X=0 y después vuelve a aumentar.
2. La relación es exactamente Y = X² + 1, por lo que existe dependencia muy fuerte, pero no lineal.
3. Por simetría, los productos (x−x̄)(y−ȳ) se compensan y la covarianza lineal vale 0.

Resultado. Hay una relación cuadrática perfecta, pero r = 0.

Comprobación. Esto demuestra que r solo cuantifica relación lineal. Antes de usar una recta hay que mirar la nube.

1. Sin el último punto, la relación es Y = 2X y r = 1.
2. El punto (6,20) queda muy por encima de esa tendencia y tiene además un valor X extremo.
3. Puede aumentar la pendiente, mover la ordenada en el origen y reducir la calidad del ajuste para los cinco primeros puntos.

Resultado. El valor atípico tiene influencia alta sobre la recta y sobre r; debe investigarse antes de aceptar el modelo.

Comprobación. Eliminarlo solo porque “molesta” sería incorrecto: primero hay que comprobar si es error de medida o una observación real.

1. La variable conocida en la predicción es Y.
2. La incógnita que queremos estimar es X.
3. Por tanto, necesitamos la recta de regresión de X sobre Y.

Resultado. Se utiliza la regresión X|Y, no la regresión Y|X despejada.

Comprobación. Las dos rectas solo coinciden en una única línea cuando |r|=1.

1. 4 está dentro del intervalo observado [1,6]: es interpolación.
2. 15 queda muy lejos de los valores utilizados para ajustar el modelo: es extrapolación.
3. La relación observada dentro de un rango no tiene por qué mantenerse fuera de él.

Resultado. La predicción en 4 h es razonable si el ajuste es bueno; la de 15 h es una extrapolación muy poco defendible.

Comprobación. Una calculadora siempre puede devolver un número; la estadística debe decidir si ese número tiene sentido.

1. En la fila X=2 hay 7 observaciones.
2. Las frecuencias son 2 para Y=4, 4 para Y=6 y 1 para Y=8.
3. Dividimos cada frecuencia por el total de la fila: 2/7, 4/7 y 1/7.

Resultado. P(Y=4|X=2)=2/7≈0,286; P(Y=6|X=2)=4/7≈0,571; P(Y=8|X=2)=1/7≈0,143.

Comprobación. Las tres probabilidades condicionadas suman 1.

1. La columna Y=8 tiene total 4.
2. Las frecuencias por X son 0,1 y3.
3. Dividimos por 4.

Resultado. P(X=1|Y=8)=0; P(X=2|Y=8)=0,25; P(X=3|Y=8)=0,75.

Comprobación. Condicionar por Y obliga a trabajar por columnas; es un error común usar el total de la fila.

1. f_X = (4,7,5), de modo que x̄=(1·4+2·7+3·5)/16.
2. f_Y = (5,7,4), de modo que ȳ=(4·5+6·7+8·4)/16.
3. Calculamos: x̄=33/16 y ȳ=94/16.

Resultado. x̄ = 2,062 y ȳ = 5,875.

Comprobación. Las medias se calculan con las distribuciones marginales, no sumando todos los encabezados sin ponderar.

1. Calculamos E(XY)=Σ x·y·fij/N.
2. La suma ponderada da E(XY)=12,875.
3. Usamos x̄=2,062 e ȳ=5,875.
4. sxy=12,875−2,062·5,875=0,758.

Resultado. sxy = 0,758.

Comprobación. El signo positivo indica que, en esta tabla, los valores altos de X tienden a aparecer con valores altos de Y.

1. P(Y=8|X=1)=0/4=0.
2. P(Y=8|X=3)=3/5=0,6.
3. Si X e Y fueran independientes, la distribución de Y no cambiaría al fijar X.

Resultado. Las condicionadas son muy diferentes; los datos muestran dependencia estadística.

Comprobación. Dependencia estadística no equivale a causalidad.

1. La frecuencia conjunta 4 exige simultáneamente X=2 e Y=6.
2. La marginal 7 cuenta todos los casos con X=2, cualquiera que sea Y.
3. Por eso la conjunta forma parte de la marginal: 2+4+1=7.

Resultado. Conjunta = 4; marginal de X=2 = 7.

Comprobación. Una tabla bidimensional se entiende mejor si cada celda se lee como “X e Y a la vez”.

1. Contamos repeticiones de cada par.
2. (1,4) aparece 2 veces; (1,6), 1.
3. (2,4) aparece 1 vez; (2,6), 2.
4. (3,6) aparece 1 vez; (3,8), 1.

Resultado. f11=2, f12=1, f21=1, f22=2, f32=1, f33=1 si ordenamos X={1,2,3} e Y={4,6,8}.

Comprobación. La suma de las frecuencias no nulas es 8, igual al número de pares originales.

1. x̄=3 y ȳ=7.
2. Usamos sxy = Σ[(xi−x̄)(yi−ȳ)]/n.
3. El promedio de los productos cruzados es 4.

Resultado. sxy = 4: covarianza positiva.

Comprobación. El signo debe coincidir con la orientación global de la nube; si sxy=0, solo podemos descartar relación lineal, no toda relación.

1. x̄=6 y ȳ=10,8.
2. Usamos sxy = Σ[(xi−x̄)(yi−ȳ)]/n.
3. El promedio de los productos cruzados es -10.

Resultado. sxy = -10: covarianza negativa.

Comprobación. El signo debe coincidir con la orientación global de la nube; si sxy=0, solo podemos descartar relación lineal, no toda relación.

1. x̄=0 y ȳ=5.
2. Usamos sxy = Σ[(xi−x̄)(yi−ȳ)]/n.
3. El promedio de los productos cruzados es 0.

Resultado. sxy = 0: covarianza nula.

Comprobación. El signo debe coincidir con la orientación global de la nube; si sxy=0, solo podemos descartar relación lineal, no toda relación.

1. sxy=-10; sx=2,828; sy=3,544.
2. r=sxy/(sx·sy)=-10 / (2,828·3,544).
3. r=-0,998.

Resultado. r = -0,998 y R² = 0,995.

Comprobación. Siempre se cumple −1≤r≤1. El signo e intensidad deben ser compatibles con la nube de puntos.

1. sxy=3,75; sx=1,708; sy=2,409.
2. r=sxy/(sx·sy)=3,75 / (1,708·2,409).
3. r=0,911.

Resultado. r = 0,911 y R² = 0,83.

Comprobación. Siempre se cumple −1≤r≤1. El signo e intensidad deben ser compatibles con la nube de puntos.

1. sxy=0,25; sx=1,708; sy=1,708.
2. r=sxy/(sx·sy)=0,25 / (1,708·1,708).
3. r=0,086.

Resultado. r = 0,086 y R² = 0,007.

Comprobación. Siempre se cumple −1≤r≤1. El signo e intensidad deben ser compatibles con la nube de puntos.

1. R²=r²=0,80²=0,64.
2. En regresión lineal simple, R² mide la fracción de variabilidad de Y explicada por el modelo lineal con X.
3. No significa que “X cause el 64 % de Y”.

Resultado. R²=0,64: el ajuste lineal explica aproximadamente el 64 % de la variabilidad observada de Y.

Comprobación. La interpretación es sobre ajuste lineal y variabilidad, no sobre causalidad.

1. x̄=15/5=3 y ȳ=35/5=7.
2. s²x=55/5−3²=2.
3. s²y=285/5−7²=8.
4. sxy=105/5−3·7=0.
5. Por tanto r=0/(√2·√8)=0.

Resultado. r=0.

Comprobación. Antes de concluir “no hay relación”, habría que mirar la nube: r=0 solo habla de relación lineal.

1. Las desviaciones yi−ȳ no cambian al sumar la misma constante a todos los valores.
2. Por ello no cambian sy, sxy ni r.
3. La pendiente byx=sxy/s²x tampoco cambia; solo aumenta en 100 la ordenada en el origen.

Resultado. r y la pendiente permanecen iguales; la recta se desplaza 100 unidades hacia arriba.

Comprobación. Una traslación cambia el nivel de Y, no la forma de la asociación.

1. x̄ y ȳ sitúan el centro de la nube.
2. r cuantifica la asociación lineal.
3. a y b determinan la recta de regresión, según la convención de la calculadora.
4. Antes de usar a y b hay que comprobar si la máquina expresa y=a+bx o y=ax+b.

Resultado. No basta con copiar la pantalla: hay que identificar la ecuación que usa la calculadora y valorar la nube.

Comprobación. Dos calculadoras pueden llamar a y b de forma distinta; la ecuación visible evita intercambiarlos.

1. Para Y|X: b=sxy/s²x=0,92 y a=-90,8; ŷ=-90,8+0,92x.
2. Para X|Y: b'=sxy/s²y=1,08 y a'=99,131; x̂=99,131+1,08y.
3. Cada recta minimiza errores en una dirección distinta: verticales para Y|X y horizontales para X|Y.
4. Solo con |r|=1 ambas describen la misma línea geométrica.

Resultado. Y|X: ŷ=-90,8+0,92x. X|Y: x̂=99,131+1,08y.

Comprobación. Ambas pasan por (x̄,ȳ), pero sus pendientes no son recíprocas salvo correlación perfecta.

1. Calculamos x̄=4,5 y ȳ=6,333.
2. La pendiente es b=sxy/s²x=3 / 2,917=1,029.
3. La ordenada es a=ȳ−b·x̄=6,333−1,029·4,5=1,705.
4. La recta es ŷ = 1,705 + 1,029x.

Resultado. ŷ = 1,705 + 1,029x; r=0,979.

Comprobación. La recta siempre pasa por el centro (x̄,ȳ). Sustituyendo x̄ debe salir ȳ.

1. La fórmula da ŷ=1,705+1,029·20=22,276.
2. Pero los datos usados para ajustar X solo están entre 2 y 7.
3. La predicción 20 está muy lejos del rango muestral; no sabemos si la relación seguirá siendo lineal.

Resultado. La calculadora produce 22,276, pero la extrapolación no es fiable.

Comprobación. La calidad de una predicción depende de la distancia al rango observado, la forma de la nube y r, no solo de disponer de una ecuación.

1. Calculamos x̄=14 y ȳ=110.
2. La pendiente es b=sxy/s²x=-71,6 / 8=-8,95.
3. La ordenada es a=ȳ−b·x̄=110−-8,95·14=235,3.
4. La recta es ŷ = 235,3 − 8,95x.

Resultado. ŷ = 235,3 − 8,95x; r=-0,998.

Comprobación. La recta siempre pasa por el centro (x̄,ȳ). Sustituyendo x̄ debe salir ȳ.

1. Predicción en x=5: ŷ=6,848.
2. Residuo e = y−ŷ.
3. e=7−6,848=0,152.

Resultado. Residuo e=0,152.

Comprobación. Un residuo positivo significa que el punto observado queda por encima de la recta.

1. Calculamos x̄=3,5 y ȳ=176,667.
2. La pendiente es b=sxy/s²x=61,667 / 2,917=21,143.
3. La ordenada es a=ȳ−b·x̄=176,667−21,143·3,5=102,667.
4. La recta es ŷ = 102,667 + 21,143x.

Resultado. ŷ = 102,667 + 21,143x; r=0,996.

Comprobación. La recta siempre pasa por el centro (x̄,ȳ). Sustituyendo x̄ debe salir ȳ.

1. x̂=99,131+1,08y.
2. Para y=63: x̂=99,131+1,08·63.
3. x̂≈167,16 cm.

Resultado. Altura estimada ≈ 167,16 cm.

Comprobación. 63 kg está dentro del rango de masas observado, por lo que la predicción es una interpolación.

1. Calculamos R²_A=0,92²=0,8464.
2. R²_B=(−0,70)²=0,49.
3. El signo de r indica dirección, pero R² compara intensidad del ajuste lineal.

Resultado. El modelo A tiene mayor R²: 0,846 frente a 0,49.

Comprobación. Una correlación negativa puede ser excelente; el signo no mide calidad.

1. Sin el atípico: r=1, recta ŷ=0+2x.
2. Con el atípico: r=0,922, recta ŷ=-2,667+3,143x.
3. El punto extremo arrastra la pendiente y modifica todas las predicciones.

Resultado. La pendiente pasa de 2 a 3,143 y r pasa de 1 a 0,922.

Comprobación. El análisis gráfico debe acompañar siempre a los parámetros numéricos.

1. El coeficiente r mide únicamente asociación lineal.
2. La nube presenta una forma parabólica exacta.
3. El modelo cuadrático explica toda la variabilidad, aunque el lineal no explique ninguna.

Resultado. r=0 y R²_lineal=0 pueden coexistir con R²_cuadrático=1.

Comprobación. La forma gráfica decide qué familia de modelos es razonable explorar.

1. ŷ=(2,5)²+1=6,25+1=7,25.
2. El valor 2,5 está dentro del intervalo observado [−3,3].
3. Es una interpolación dentro de un modelo que ajusta perfectamente los datos disponibles.

Resultado. ŷ=7,25.

Comprobación. La predicción queda entre los valores observados en x=2 (5) y x=3 (10), coherente con la curva.

1. El ajuste lineal tiene R²=r²≈0,001.
2. La regresión cuadrática obtiene aproximadamente R²=0,995.
3. La nube confirma una curvatura clara y el modelo cuadrático reduce mucho los residuos.
4. Elegimos el modelo cuadrático por forma gráfica y calidad de ajuste, no solo por tener más parámetros.

Resultado. El cuadrático es claramente más pertinente en estos datos (R²≈0,995).

Comprobación. Un modelo más complejo no es automáticamente mejor: debe responder a una estructura visible y mejorar el ajuste de forma relevante.

1. Introduce los pares en dos columnas, manteniendo el emparejamiento fila a fila.
2. Genera primero el diagrama de dispersión.
3. Obtén x̄, ȳ, sx, sy, r y la regresión lineal; si la nube es curva, prueba también una regresión cuadrática.
4. Lee R² y comprueba residuos o desviaciones visibles.
5. Escribe una conclusión en contexto y limita la predicción al rango razonable.

Resultado. Gráfico → parámetros → modelo → R² → predicción → interpretación.

Comprobación. La tecnología acelera las cuentas, pero no decide por sí sola qué modelo tiene sentido.

1. r=0,996 y R²=0,992.
2. Recta ŷ = 102,667 + 21,143x.
3. Para x=4,5, ŷ=197,81.
4. La asociación es fuerte, pero no prueba que toda variación de ventas sea causada por la inversión: pueden existir otras variables.

Resultado. r=0,996; R²=0,992; predicción ≈197,81 miles de euros.

Comprobación. 4,5 está dentro del rango [1,6], así que la predicción es interpolada.