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Inferencia estadística 2.º Bachillerato y PAU/EBAU: 45 ejercicios resueltos
Inferencia estadística en 2.º de Bachillerato: intervalos de confianza, error y tamaño muestral
La inferencia estadística permite utilizar una muestra para estimar una característica desconocida de toda una población. En este recurso aprenderás a reconocer qué dato se estima, construir intervalos de confianza, calcular el error máximo y determinar el tamaño mínimo de una muestra con un método ordenado y comprensible.
Qué significa hacer inferencia estadística
En muchas situaciones no podemos estudiar a todos los individuos de una población. Elegimos una muestra, calculamos una media o una proporción y utilizamos ese resultado para estimar el parámetro desconocido.
Población, muestra, parámetro y estadístico
| Concepto | Significado | Notación habitual |
|---|---|---|
| Población | Conjunto completo que queremos estudiar. | Tamaño N |
| Muestra | Parte de la población que observamos. | Tamaño n |
| Parámetro | Valor desconocido de la población. | \(\mu,\ p,\ \sigma\) |
| Estadístico | Valor calculado con la muestra. | \(\bar x,\ \hat p\) |
La muestra debe ser suficientemente amplia y estar elegida de forma razonable. Una muestra grande no corrige por sí sola un sesgo de selección.
Distribuciones muestrales
Si extraemos muchas muestras del mismo tamaño, sus medias no serán idénticas. Forman una distribución cuya media coincide con la media poblacional y cuyo error típico disminuye al aumentar n.
Para una proporción, cuando la muestra es suficientemente grande, utilizamos la aproximación normal:
Nivel de confianza y valor crítico
El nivel de confianza determina qué zona central de la distribución normal utilizamos. Si la confianza es C, entonces \(\alpha=1-C\) y queda \(\alpha/2\) en cada cola.
| Confianza | Valor crítico aproximado | Cola total |
|---|---|---|
| 90 % | \(z=1{,}645\) | 10 % |
| 95 % | \(z=1{,}96\) | 5 % |
| 99 % | \(z=2{,}576\) | 1 % |
En algunos exámenes aparecen niveles distintos, como 92 %, 96,8 % o 97 %. En esos casos hay que obtener el valor crítico correspondiente con la tabla o la calculadora.
Intervalo de confianza para la media
En el nivel de Bachillerato se trabaja principalmente con una población normal o una muestra suficientemente grande y con desviación típica poblacional conocida.
El centro es \(\bar x\), la amplitud total es \(2E\) y el error máximo es la semiamplitud.
Intervalo de confianza para una proporción
Si en una muestra de tamaño n hay x individuos con una característica, la estimación puntual es:
El intervalo habitual es:
La proporción y los extremos pueden expresarse entre 0 y 1 o en porcentaje, pero no deben mezclarse durante el cálculo.
Error máximo y tamaño muestral
Para una media con desviación típica conocida:
Para una proporción estimada previamente:
Si no conocemos una estimación previa de p, se utiliza \(\hat p=0{,}5\), porque produce el caso más desfavorable:
Método general de resolución
Decide si se estima una media \(\mu\) o una proporción p.
Escribe \(\bar x\), \(\sigma\), n, \(\hat p\), confianza y error.
Usa el nivel de confianza correcto y evita memorizar solo 1,96.
Conserva suficientes decimales hasta el resultado final.
Explica qué significa el intervalo dentro del contexto.
Verifica el centro, la amplitud, el redondeo de n y la coherencia del resultado.
Ejercicios resueltos: conceptos y fundamentos
Distinguir población, muestra, parámetro y estadístico
Un ayuntamiento quiere conocer el tiempo medio diario que sus habitantes dedican al transporte. Selecciona aleatoriamente a 500 residentes y obtiene una media de 46 minutos. Identifica los cuatro elementos.
Población. Todos los habitantes del municipio.
Muestra. Los 500 residentes seleccionados.
Parámetro. La media poblacional \(\mu\) del tiempo diario.
Estadístico. La media muestral \(\bar x=46\) minutos.
Resultado. 46 minutos es una estimación puntual de la media poblacional.
Detectar una muestra sesgada
Para estimar el uso de la biblioteca municipal se encuesta únicamente a las personas que están dentro de la biblioteca un martes por la tarde. ¿Es una muestra adecuada?
No. El procedimiento favorece a quienes ya utilizan la biblioteca y deja fuera a una parte importante de la población.
Resultado. La muestra está sesgada. Conviene seleccionar habitantes de forma aleatoria mediante un marco de muestreo más amplio.
Calcular una estimación puntual de la media
Los gastos mensuales en transporte de una muestra de cinco estudiantes son 42, 55, 38, 51 y 44 euros. Estima la media poblacional.
Resultado. La estimación puntual de la media poblacional es 46 € al mes.
Calcular una estimación puntual de una proporción
En una muestra de 250 usuarios, 70 prefieren realizar sus gestiones por Internet. Estima la proporción poblacional.
Resultado. La proporción estimada es 0,28, es decir, 28 %.
Media y error típico de la media muestral
Una variable normal tiene media \(\mu=70\) y desviación típica \(\sigma=12\). Se toman muestras de tamaño 36. Determina la distribución de la media muestral.
Resultado. \(\bar X\sim N(70,2)\), donde 2 es el error típico.
Probabilidad de que una media muestral supere un valor
Con los datos del ejercicio anterior, calcula \(P(\bar X>73)\).
Resultado. La probabilidad es aproximadamente 6,68 %.
Probabilidad entre dos valores de la media muestral
Una población tiene \(\mu=50\) y \(\sigma=8\). Para muestras de tamaño 64, calcula \(P(48<\bar X<52)\).
Resultado. La probabilidad es aproximadamente 95,45 %.
Obtener alfa y el valor crítico para un 90 %
Determina \(\alpha\), el área de cada cola y el valor crítico para un nivel de confianza del 90 %.
El cuantil que deja 0,95 a su izquierda es aproximadamente 1,645.
Resultado. \(z_{\alpha/2}=1{,}645\).
Valor crítico para una confianza del 96,8 %
Calcula el valor crítico asociado a un nivel de confianza del 96,8 %.
Buscamos el cuantil 0,984 de la normal estándar.
Resultado. El valor crítico es aproximadamente 2,144.
Comparar intervalos del 90 % y del 99 %
Con la misma media muestral, la misma desviación típica y el mismo tamaño de muestra, compara un intervalo del 90 % con otro del 99 %.
El error es proporcional al valor crítico. Como \(2{,}576>1{,}645\), el intervalo del 99 % tiene mayor semiamplitud.
Resultado. El intervalo del 99 % es más ancho. Ganamos confianza a cambio de menor precisión.
Recuperar los extremos a partir del centro y el error
Una estimación puntual vale 42 y el error máximo es 1,8. Escribe el intervalo.
Resultado. El intervalo es \((40{,}2,43{,}8)\).
Ejercicios resueltos: intervalos para la media
Intervalo del 95 % para una media
Una muestra de 100 personas tiene una media de 68 y la desviación típica poblacional es 10. Construye un intervalo del 95 %.
Resultado. El intervalo del 95 % es \((66{,}04,69{,}96)\).
Intervalo del 90 % con desviación conocida
En una muestra de 81 hogares, el consumo medio es 125 unidades y \(\sigma=18\). Calcula el intervalo del 90 %.
Resultado. \((121{,}71,128{,}29)\).
Intervalo del 99 %
Una muestra de 64 mediciones da \(\bar x=7{,}4\) y se conoce \(\sigma=1{,}2\). Halla el intervalo del 99 %.
Resultado. Aproximadamente \((7{,}01,7{,}79)\).
Intervalo con confianza del 97 %
La media muestral es 52,6, la desviación típica poblacional es 6 y el tamaño de la muestra es 144. Calcula el intervalo del 97 %.
Resultado. Aproximadamente \((51{,}52,53{,}69)\).
Intervalo con confianza del 92 %
Una muestra de tamaño 64 presenta una media de 240. Se conoce \(\sigma=32\). Construye el intervalo del 92 %.
Resultado. Aproximadamente \((233{,}00,247{,}00)\).
Comprobar una afirmación con un intervalo
Un intervalo del 95 % para la media es \((31{,}2,34{,}8)\). ¿Es compatible con la afirmación \(\mu=35\)?
El valor 35 queda por encima del extremo superior 34,8.
Resultado. La afirmación \(\mu=35\) no es compatible con este intervalo del 95 %.
Efecto de multiplicar por cuatro el tamaño muestral
Con \(\sigma=10\) y confianza del 95 %, compara el error para \(n=25\) y \(n=100\).
Resultado. Al multiplicar n por cuatro, el error se reduce a la mitad.
Hallar la confianza a partir del error
Se obtiene un error máximo de 2,4 con \(\sigma=12\) y \(n=100\). ¿Qué nivel de confianza se ha utilizado?
La zona central entre \(-2\) y 2 en la normal estándar es aproximadamente 0,9545.
Resultado. La confianza es aproximadamente 95,45 %.
Hallar la desviación típica desde un intervalo
Con una muestra de tamaño 100 y confianza del 95 %, se obtiene el intervalo \((72{,}06,75{,}94)\). Calcula la media muestral y la desviación típica poblacional.
Resultado. \(\bar x=74\) y \(\sigma\approx9{,}90\).
Tamaño muestral para un error máximo de 2
Se desea estimar una media con confianza del 95 %, \(\sigma=15\) y error máximo 2. Calcula el tamaño mínimo.
Resultado. Se necesitan al menos 217 observaciones.
Tamaño muestral con confianza del 99 %
Calcula el tamaño mínimo para estimar una media con \(\sigma=8\), error máximo 1,5 y confianza del 99 %.
Resultado. Se necesitan al menos 189 observaciones.
Confianza obtenida desde los extremos
Con \(\bar x=80\), \(\sigma=12\) y \(n=64\), se obtiene el intervalo \((77,83)\). Determina la confianza aproximada.
Resultado. La confianza es aproximadamente 95,45 %.
Centro, amplitud y error
Un intervalo para una media es \((118{,}4,121{,}6)\). Halla su centro, amplitud total y error máximo.
Resultado. Centro 120, amplitud 3,2 y error 1,6.
Recuperar el tamaño desde la amplitud
Un intervalo del 95 % para una media tiene amplitud total 5,88 y se conoce \(\sigma=15\). Determina n.
El error es la mitad de la amplitud:
Resultado. El tamaño de la muestra es 100.
Ejercicios resueltos: proporciones y problemas mixtos
Proporción muestral
De 120 personas encuestadas, 84 apoyan una medida. Calcula la estimación puntual de la proporción.
Resultado. La proporción estimada es 70 %.
Intervalo del 95 % para una proporción
En una muestra de 500 personas, el 56 % presenta una característica. Construye el intervalo del 95 %.
Resultado. Entre 51,65 % y 60,35 %.
Intervalo del 90 % para una proporción
En una muestra de 200 individuos se obtiene \(\hat p=0{,}35\). Calcula el intervalo del 90 %.
Resultado. Aproximadamente entre 29,45 % y 40,55 %.
Intervalo del 99 % para una proporción pequeña
En una muestra de 500 personas, el 8 % responde afirmativamente. Halla el intervalo del 99 %.
Resultado. Aproximadamente entre 4,87 % y 11,13 %.
Decidir si una proporción es compatible
Un intervalo del 95 % para una proporción es \((0{,}42,0{,}50)\). ¿Es compatible con que la proporción poblacional sea 0,55?
El valor 0,55 está por encima del extremo superior.
Resultado. No es compatible con el intervalo del 95 %.
Dónde es mayor el error de una proporción
Con el mismo n y la misma confianza, compara el error cuando \(\hat p=0{,}5\) y cuando \(\hat p=0{,}1\).
El término que cambia es \(\hat p(1-\hat p)\).
Resultado. El error es mayor cuando \(\hat p=0{,}5\).
Tamaño muestral con una proporción previa
Se estima que \(p\approx0{,}40\). Calcula el tamaño mínimo para un error 0,03 y confianza del 95 %.
Resultado. Se necesitan al menos 1025 personas.
Tamaño muestral sin información previa
Se desea estimar una proporción con error máximo 0,025 y confianza del 95 %, sin disponer de una estimación previa. Calcula n.
Resultado. Se necesitan al menos 1537 personas.
Tamaño muestral con confianza del 90 %
Con una estimación previa \(\hat p=0{,}20\), error 0,04 y confianza del 90 %, calcula el tamaño mínimo.
Resultado. Se necesitan al menos 271 observaciones.
Centro y error de un intervalo para una proporción
Un intervalo es \((0{,}31,0{,}39)\). Halla \(\hat p\) y E.
Resultado. \(\hat p=0{,}35\) y \(E=0{,}04\).
Reconocer el nivel de confianza
Para \(\hat p=0{,}5\) y \(n=625\), un intervalo tiene error 0,0392. Calcula el valor crítico y reconoce la confianza.
Resultado. El nivel de confianza es 95 %.
Recuperar el número de casos favorables
En una muestra de 250 individuos se obtiene \(\hat p=0{,}28\). ¿Cuántos casos favorables hay?
Resultado. Hay 70 casos favorables.
Efecto de cuadruplicar n en una proporción
Se mantiene la misma proporción estimada y la misma confianza, pero el tamaño muestral se multiplica por cuatro. ¿Qué ocurre con el error?
El error contiene \(1/\sqrt n\). Si n se multiplica por cuatro, \(\sqrt n\) se duplica.
Resultado. El error se reduce a la mitad.
Probabilidad con la distribución de la media muestral
Una población tiene \(\mu=100\), \(\sigma=20\) y se toman muestras de tamaño 25. Calcula \(P(96<\bar X<104)\).
Resultado. Aproximadamente 68,27 %.
Problemas completos tipo PAU/EBAU
Los siguientes problemas son originales. Reúnen modelos frecuentes de varias comunidades autónomas y ponen el acento en el planteamiento, los cálculos inversos y la interpretación final.
Modelo Castilla y León: intervalo y tamaño muestral
El tiempo de espera de un servicio tiene desviación típica poblacional 5,6 minutos. En una muestra de 49 usuarios se obtiene una media de 18,4 minutos.
a) Construye un intervalo del 95 % para la media poblacional.
b) Calcula el tamaño mínimo para que el error no supere 1,2 minutos con la misma confianza.
a) Intervalo.
b) Tamaño.
Resultado. El intervalo es aproximadamente \((16{,}83,19{,}97)\) minutos y se necesitan al menos 84 usuarios.
Modelo Madrid: confianza no habitual
Se quiere estimar una media con \(\sigma=4{,}5\), confianza del 96,8 % y error máximo 0,9. Calcula el tamaño mínimo de la muestra.
Resultado. Se necesitan al menos 115 observaciones.
Modelo Andalucía: media y proporción
a) Una muestra de 100 hogares tiene una media de 72 unidades y \(\sigma=9\). Obtén un intervalo del 97 %.
b) En otra muestra de 600 personas, el 42 % responde afirmativamente. Obtén un intervalo del 92 % para la proporción.
a) Media.
b) Proporción.
Resultado. Media entre 70,05 y 73,95; proporción entre 38,47 % y 45,53 %.
Modelo Cataluña: estimar e interpretar
En una encuesta a 400 personas, 234 eligen una determinada opción.
a) Estima la proporción.
b) Construye un intervalo del 95 %.
c) Razona si los datos apoyan que más de la mitad de la población elegiría esa opción.
a) Estimación.
b) Intervalo.
c) Interpretación. Todo el intervalo queda por encima de 0,50.
Resultado. Los datos apoyan, al nivel de confianza utilizado, que la proporción poblacional supera el 50 %.
Modelo Canarias: problema inverso
Un intervalo del 95 % para una media, con \(\sigma=14\), es \((49{,}04,52{,}96)\).
a) Halla la media muestral.
b) Halla el tamaño de la muestra.
c) Calcula el error si se toma una muestra de 400 individuos con confianza del 99 %.
a) Centro.
b) Tamaño. El error inicial es 1,96.
c) Nuevo error.
Resultado. \(\bar x=51\), \(n=196\) y el nuevo error es aproximadamente 1,80.
Simulacro final nacional
Una empresa analiza el tiempo de entrega. En una muestra de 144 envíos obtiene una media de 38,5 minutos. La desviación típica poblacional es 9,6 minutos.
a) Construye un intervalo del 95 % para la media.
b) Decide si la afirmación \(\mu=41\) es compatible con el intervalo.
c) Calcula el tamaño mínimo para un error máximo de 1 minuto y confianza del 99 %.
a) Intervalo.
b) Afirmación. El valor 41 queda fuera del intervalo.
c) Tamaño.
Resultado. Intervalo aproximado \((36{,}93,40{,}07)\), la afirmación no es compatible y se necesitan al menos 612 envíos.
Ejercicios propuestos
Resuélvelos escribiendo la fórmula, el valor crítico, el cálculo y una interpretación breve.
Resultados breves
Resultado P1
El error típico es 1 y la probabilidad es aproximadamente 95,45 %.
Resultado P2
\((83{,}04,86{,}96)\).
Resultado P3
\(n\ge174\).
Resultado P4
Aproximadamente 98 %.
Resultado P5
\(\hat p=0{,}43\), intervalo aproximado \((0{,}3866,0{,}4734)\).
Resultado P6
\(n\ge2401\).
Resultado P7
Centro 26 y error 1,4.
Resultado P8
El error se divide entre tres.
Resultado P9
No. El valor 0,60 queda fuera del intervalo.
Resultado P10
Intervalo del 99 % \((28{,}712,31{,}288)\). Para error 0,8 y 95 %, \(n\ge338\).
Errores frecuentes
| Error | Por qué falla | Cómo evitarlo |
|---|---|---|
| Usar 1,96 para cualquier confianza | El valor crítico depende del porcentaje central. | Calcula primero \(\alpha\) y localiza el cuantil correcto. |
| Confundir amplitud con error | El error es la mitad de la amplitud total. | Calcula el centro y la semiamplitud desde los extremos. |
| Redondear n hacia abajo | No se garantiza el error máximo pedido. | Sube siempre al entero siguiente. |
| Mezclar porcentajes y proporciones | 60 y 0,60 no son intercambiables dentro de la fórmula. | Trabaja entre 0 y 1 y convierte al final. |
| Interpretar el 95 % como porcentaje de datos | La confianza se refiere al procedimiento, no a los datos individuales. | Habla del parámetro poblacional y del método de estimación. |
| Olvidar \(\sqrt n\) | El error típico no es \(\sigma/n\). | Escribe primero \(\sigma/\sqrt n\). |
| Aceptar un intervalo de proporción fuera de [0,1] | Una proporción no puede ser negativa ni superar 1. | Comprueba los extremos y la validez de la aproximación. |
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre estimación puntual e intervalo?
La estimación puntual da un único valor. El intervalo añade un margen de incertidumbre alrededor de esa estimación.
¿Por qué un intervalo más confiable es más ancho?
Para aumentar la probabilidad de contener el parámetro necesitamos abarcar una zona central mayor de la distribución.
¿Cómo se reduce el error?
Se puede aumentar el tamaño muestral o aceptar un nivel de confianza menor. La desviación típica también influye, pero normalmente no está bajo nuestro control.
¿Hay que usar t de Student?
No en este recurso. El nivel trabajado corresponde a los modelos de Bachillerato con desviación típica poblacional conocida o con las condiciones indicadas en el enunciado.
¿Por qué se usa 0,5 si no conocemos la proporción?
Porque \(p(1-p)\) alcanza su máximo en 0,5. Así obtenemos un tamaño suficiente en el caso más desfavorable.
¿Qué comunidades se han tenido en cuenta?
Los problemas finales recogen modelos frecuentes en Castilla y León, Madrid, Andalucía, Cataluña y Canarias, siempre con enunciados originales y dentro del nivel común de PAU/EBAU.
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