Matrices PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso sistemas determinantes rango y parámetro

Q: ¿Cuándo tiene inversa una matriz?

La inversa ordinaria se define para una matriz cuadrada. Existe si su determinante es distinto de cero, equivalentemente si su rango coincide con su orden. Una matriz rectangular no tiene esa inversa ordinaria.

Q: ¿Por qué importa el lado al despejar una ecuación matricial?

El producto de matrices no es conmutativo en general. Para deshacer un factor situado a la izquierda se multiplica por su inversa a la izquierda. Para un factor situado a la derecha, por la derecha. La sustitución final comprueba el orden.

Q: ¿Un determinante nulo permite saber el rango exacto?

Solo permite concluir que el rango es menor que el orden de la matriz cuadrada. Para conocerlo hay que buscar menores no nulos o escalonar por Gauss. En una matriz rectangular el rango se estudia sin calcular un determinante de toda la matriz.

Q: ¿Se pueden cancelar matrices como si fueran números?

La cancelación exige una hipótesis que la justifique. Para matrices cuadradas, un factor invertible se elimina multiplicando por su inversa en el lado adecuado. Un factor singular puede dar el mismo producto con matrices diferentes.

Q: ¿Qué significa adjunta clásica o adjugada?

Es la traspuesta de la matriz de cofactores. En esta guía trabajamos con matrices reales y usamos esa acepción al calcular una inversa por determinantes. Se distingue de la traspuesta ordinaria y de otras acepciones de adjunta en álgebra.

Q: ¿Los simulacros son exámenes oficiales?

Son problemas de elaboración propia para practicar decisiones y procedimientos. Las referencias PAU pertenecen a convocatorias españolas. El núcleo de operaciones con matrices reales también puede trabajarse en programas equivalentes de otros países hispanohablantes.

Publicado por

JOSE-MARIA

octubre 22, 2026

el mayo 6, 2026

Biblioteca Marlu Educativa® · Matemáticas · Bachillerato y PAU

Matrices PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso sistemas determinantes rango y parámetro

Cambiar el orden de dos matrices puede cambiar el resultado. Antes de operar hay que comprobar las dimensiones, reconocer qué se puede despejar y justificar cuándo existe una inversa. Esta guía desarrolla esas decisiones y comprueba las respuestas.

Trabajamos con matrices reales, desde las operaciones hasta ecuaciones y rangos. El recorrido sirve para Bachillerato y programas equivalentes en lengua española. Los apartados PAU se apoyan en referencias españolas; las técnicas detalladas de determinantes y la discusión de sistemas continúan en sus guías específicas.

30 modelos guiados15 prácticas resueltas2 simulacros · 10 problemasSoluciones y comprobaciones

Elegir el procedimiento Ir a la práctica final Índice

Cuaderno resuelto · 55 actividades propias · Dimensiones, orden, cálculo y comprobación.

Actividades de clase · 15 prácticas y 10 problemas de examen. Soluciones en el cuaderno resuelto.

Nombre .......................................................... Grupo ............

Método Marlu para trabajar con matrices

Identifica los datos y la incógnita. Anota las dimensiones. Si la incógnita es una matriz, deduce también su tamaño.
Comprueba que la operación existe. En una suma coinciden las dos dimensiones. En un producto coinciden las dimensiones interiores.
Decide el procedimiento. Producto por filas y columnas, inversa con una condición, ecuación por el lado correcto o rango por Gauss y menores.
Conserva el orden y las restricciones. No intercambies factores. Antes de dividir por una expresión con parámetro, separa los valores que la anulan.
Calcula mostrando el paso que decide. Escribe las operaciones de fila, la factorización o las entradas necesarias para que el desarrollo se pueda revisar.
Vuelve al enunciado. Sustituye la matriz obtenida, multiplica para verificar la inversa o comprueba la independencia que justifica el rango. Interpreta las unidades si hay un contexto.

Dimensiones, producto y traspuesta

Una matriz de dimensión $m\times n$ tiene $m$ filas y $n$ columnas. Es cuadrada cuando $m=n$ en ese caso se habla de orden $n$ La matriz nula se escribe $O$ y la identidad de orden $n$ $I_n$

En una matriz diagonal, las entradas fuera de la diagonal principal son cero. En una triangular superior son cero las situadas por debajo de esa diagonal; en una triangular inferior, las situadas por encima. Una matriz simétrica cumple $A^T=A$ una antisimétrica, $A^T=-A$ Estas dos últimas condiciones requieren matrices cuadradas.

Comprueba la condición antes de operar
Operación	Condición y tamaño del resultado
$A+B$	Las dos matrices tienen la misma dimensión. Se suman entrada a entrada.
$AB$	Si $A$ es $m\times n$ y $B$ es $n\times p$ el producto es $m\times p$
$A^T$	Filas y columnas se intercambian. Una $m\times n$ pasa a $n\times m$
$A^k$	La potencia de una sola matriz requiere que sea cuadrada. Para $k\ge1$ entero, se multiplica por sí misma.
$A^{-1}$	En esta guía, inversa ordinaria de una matriz cuadrada e invertible.

La entrada de la fila $i$ y columna $j$ del producto se obtiene multiplicando la fila de $A$ por la columna de $B$

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.

Aunque $AB$ y $BA$ existan, pueden tener distinto tamaño o distintos valores. La distributividad sí conserva el lado de los factores.

A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC.

Al trasponer un producto se invierte el orden.

(AB)^T=B^TA^T.

Se define $A^0=I_n$ para una matriz cuadrada de orden $n$ Las potencias negativas requieren inversa. Para exponentes grandes conviene buscar un ciclo o una identidad y justificar cómo se repite, en lugar de multiplicar a ciegas.

La condición de la inversa y el lado del despeje

Para una matriz real cuadrada de orden $n$ son equivalentes tener inversa, tener determinante no nulo y tener rango $n$

A\text{ invertible}\Longleftrightarrow\det(A)\ne0\Longleftrightarrow\operatorname{rg}(A)=n.

La inversa satisface $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ Puede calcularse mediante Gauss–Jordan, transformando $(A\mid I_n)$ en $(I_n\mid A^{-1})$ o mediante cofactores cuando las cuentas lo aconsejan.

A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).

Aquí $\operatorname{adj}(A)$ es la adjunta clásica o adjugada, es decir, la traspuesta de la matriz de cofactores. Esta precisión evita confundirla con la traspuesta ordinaria o con otras acepciones de adjunta.

Despejes válidos cuando existen las inversas indicadas
Ecuación	Despeje y comprobación
$AX=B$	$X=A^{-1}B$ Comprueba $AX=B$
$XA=B$	$X=BA^{-1}$ Comprueba $XA=B$
$AXB=C$	$X=A^{-1}CB^{-1}$ Comprueba $AXB=C$
$AX+BX=C$	$(A+B)X=C$ Estudia la inversa de $A+B$ no la de cada sumando por separado.

En un producto de matrices invertibles, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ Si aparece $X$ traspuesta o en lados diferentes, puede ser más útil escribir sus entradas y resolver las ecuaciones que resulten. Si un factor es singular, no se fuerza una inversa: se estudia la ecuación directamente.

Rango y valores especiales de un parámetro

El rango es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. Equivale al número de pivotes tras escalonar por Gauss y al mayor orden de un menor no nulo. La matriz nula tiene rango 0. Para una matriz $m\times n$ se cumple $0\le\operatorname{rg}(A)\le\min(m,n)$

Las operaciones elementales de fila conservan el rango: intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo o sumarle un múltiplo de otra. Con parámetros, esa condición de no anulación debe comprobarse antes de dividir.

Escalona o localiza un menor que permita detectar los valores especiales.
Estudia primero el caso general, con las restricciones que has utilizado.
Sustituye cada valor excluido en la matriz original y calcula su rango.
Escribe una conclusión que cubra todos los valores del parámetro.

Un determinante nulo indica que el rango de una matriz cuadrada es menor que su orden, pero no decide cuánto baja. Una matriz rectangular también tiene rango, aunque no tenga determinante de toda la matriz.

Los modelos históricos de Cramer y Rouché-Frobenius muestran para qué sirven estas herramientas. La comparación completa de rangos de coeficientes y ampliada continúa en la guía de discusión de sistemas.

20 modelos para dominar el procedimiento

Operaciones, inversas, ecuaciones y rango. Los modelos de determinantes y sistemas conectan estas herramientas con sus aplicaciones.

Modelo 1 · Operaciones básicas con matrices

Producto por un escalar y resta · Elaboración propia

Dadas las matrices siguientes, calcula $2A-B$

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}2&0\\-1&4\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Las dos matrices son $2\times2$ de modo que la resta está definida. Multiplicamos primero todas las entradas de $A$ por 2.

2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&-2\end{pmatrix}.

Ahora restamos las entradas de $B$ que ocupan la misma posición. En la segunda fila aparece $6-(-1)=7$

2A-B=\begin{pmatrix}2-2&4-0\\6-(-1)&-2-4\end{pmatrix}.

2A-B=\begin{pmatrix}0&4\\7&-6\end{pmatrix}.

Comprobación.

Al sumar $B$ al resultado debemos recuperar $2A$ Las entradas de la suma dan

\begin{pmatrix}0+2&4+0\\7-1&-6+4\end{pmatrix}=2A.

Modelo 2 · Producto de matrices rectangulares

Comprobar dimensiones y multiplicar fila por columna · Elaboración propia

Dadas las matrices siguientes, calcula $AB$

A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&1\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\\4&2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

El número de columnas de $A$ coincide con el de filas de $B$ $A$ es $2\times3$ y $B$ $3\times2$ El producto existe y tiene tamaño $2\times2$

Si $AB=(c_{ij})$ cada entrada es el producto de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$

c_{11}=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot4=-4.

c_{12}=1\cdot1+2\cdot0+(-1)\cdot2=-1.

c_{21}=0\cdot2+3\cdot(-1)+1\cdot4=1.

c_{22}=0\cdot1+3\cdot0+1\cdot2=2.

AB=\begin{pmatrix}-4&-1\\1&2\end{pmatrix}.

Comprobación.

Con el vector columna $v=(1,1)^T$ se obtiene $Bv=(3,-1,6)^T$ Después, $A(Bv)=(-5,3)^T$ La matriz calculada también da $(AB)v=(-5,3)^T$ coherente con la asociatividad del producto.

Modelo 3 · Determinante de orden tres por Sarrus

Dos sumas de productos con su signo · Elaboración propia

Calcula por Sarrus el determinante siguiente.

\begin{vmatrix}1&2&0\\3&-1&1\\2&0&4\end{vmatrix}.

Ver solución y comprobación

Sumamos por separado los tres productos de cada sentido. Llamamos $P$ a la primera suma y $Q$ a la segunda.

P=1\cdot(-1)\cdot4+2\cdot1\cdot2+0\cdot3\cdot0.

P=-4+4+0=0.

Q=0\cdot(-1)\cdot2+2\cdot3\cdot4+1\cdot1\cdot0.

Q=0+24+0=24.

El determinante es la primera suma menos la segunda.

\det A=P-Q=0-24=-24.

Comprobación.

Un desarrollo independiente por la primera fila da $\det A=1\cdot(-4)-2\cdot(12-2)=-24$ Coinciden ambos cálculos. Al ser no nulo, también confirma que la matriz cuadrada tiene rango 3 y es invertible.

Modelo 4 · Determinante desarrollando por adjuntos

Elegir una columna con ceros · Elaboración propia

Calcula el determinante de $A$ desarrollando por adjuntos.

A=\begin{pmatrix}2&0&1\\3&-1&4\\1&0&2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La segunda columna tiene dos ceros. En el desarrollo solo interviene su entrada central, $a_{22}=-1$

\det A=(-1)C_{22}.

Suprimimos la fila 2 y la columna 2 para calcular el menor correspondiente.

M_{22}=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=4-1=3.

El signo del cofactor es positivo, porque $(-1)^{2+2}=1$

C_{22}=3,\qquad\det A=(-1)\cdot3=-3.

Comprobación.

Las operaciones $F_2\leftarrow F_2-\frac32F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-\frac12F_1$ conservan el determinante. Dejan una matriz triangular con diagonal $2,-1,\frac32$ Su producto es $2\cdot(-1)\cdot\frac32=-3$ que confirma el resultado.

Modelo 5 · Inversa de una matriz de orden dos

Determinante y fórmula de la inversa · Elaboración propia

Calcula la inversa de la matriz siguiente.

A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Antes de invertir comprobamos que el determinante sea distinto de cero.

\det A=2\cdot3-1\cdot5=1.

La inversa existe. Para una matriz de orden 2, intercambiamos las entradas de la diagonal principal, cambiamos de signo las otras dos y dividimos por el determinante.

A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}.

Comprobación.

Multiplicamos la matriz original por la inversa calculada.

AA^{-1}=\begin{pmatrix}6-5&-2+2\\15-15&-5+6\end{pmatrix}=I_2.

El producto devuelve la identidad, como exige la definición de inversa.

Modelo 6 · Inversa de orden tres por adjunta

Cofactores y traspuesta · Elaboración propia

Calcula por adjunta la inversa de la matriz siguiente.

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

El determinante, desarrollado por la primera fila, es $\det A=1(1-0)+1(2-0)=3$ Como no se anula, la inversa existe.

Calculamos los cofactores $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ suprimiendo la fila $i$ y la columna $j$ en cada menor.

\begin{aligned}C_{11}&=1\cdot1-0\cdot1=1,\\C_{12}&=-(2\cdot1-0\cdot0)=-2,\\C_{13}&=2\cdot1-1\cdot0=2.\end{aligned}

\begin{aligned}C_{21}&=-(0\cdot1-1\cdot1)=1,\\C_{22}&=1\cdot1-1\cdot0=1,\\C_{23}&=-(1\cdot1-0\cdot0)=-1.\end{aligned}

\begin{aligned}C_{31}&=0\cdot0-1\cdot1=-1,\\C_{32}&=-(1\cdot0-1\cdot2)=2,\\C_{33}&=1\cdot1-0\cdot2=1.\end{aligned}

Colocamos esos valores en la matriz de cofactores.

C=\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}.

La adjunta clásica o adjugada es la traspuesta de la matriz de cofactores: las filas de $C$ pasan a ser columnas.

\operatorname{Adj}(A)=C^T=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-2&1&2\\2&-1&1\end{pmatrix}.

La inversa queda determinada por

A^{-1}=\frac13\operatorname{Adj}(A).

Comprobación.

El producto de $A$ por la traspuesta calculada es

AC^T=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}=3I_3.

Al dividirlo por 3 se obtiene $AA^{-1}=I_3$ La comprobación confirma tanto los cofactores como su trasposición.

Modelo 7 · Ecuación matricial con la incógnita a la derecha

Resolver una ecuación del tipo AX igual a B · Elaboración propia

Resuelve $AX=B$ con las matrices siguientes.

A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La incógnita $X$ es $2\times2$ Como $\det A=2\cdot3-1\cdot5=1$ la matriz $A$ es invertible y la solución es única.

Multiplicamos la ecuación por $A^{-1}$ a la izquierda, conservando el orden de los factores.

A^{-1}(AX)=A^{-1}B\Longrightarrow X=A^{-1}B.

A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}.

El producto fila por columna da

X=\begin{pmatrix}3-2&-1\\-5+4&2\end{pmatrix}.

X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

Comprobación.

Sustituimos en la ecuación original. La entrada de la primera fila y segunda columna es $2(-1)+1\cdot2=0$ el producto completo es

AX=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=B.

Modelo 8 · Ecuación matricial con la incógnita a la izquierda

Resolver una ecuación del tipo XA igual a B · Elaboración propia

Resuelve $XA=B$ con las matrices siguientes.

A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}1&4\\0&-1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La matriz desconocida es $2\times2$ El determinante de $A$ es $2\cdot3-1\cdot5=1$ de modo que existe una única solución.

Ahora $A$ está a la derecha de $X$ Para eliminarla, multiplicamos también por la derecha.

(XA)A^{-1}=BA^{-1}\Longrightarrow X=BA^{-1}.

A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}.

Multiplicando en ese orden obtenemos

X=\begin{pmatrix}3-20&-1+8\\5&-2\end{pmatrix}.

X=\begin{pmatrix}-17&7\\5&-2\end{pmatrix}.

Comprobación.

El producto que hay que revisar es $XA$ tal como aparece en el enunciado.

XA=\begin{pmatrix}-34+35&-17+21\\10-10&5-6\end{pmatrix}=B.

Modelo 9 · Despejar una matriz multiplicada por un escalar

Resta y división por un número no nulo · Elaboración propia

Resuelve $2X+A=B$ con las matrices siguientes.

A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}5&4\\1&8\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Las matrices son $2\times2$ Restamos $A$ y dividimos todas las entradas por el escalar 2, que es distinto de cero.

2X=B-A\Longrightarrow X=\frac12(B-A).

B-A=\begin{pmatrix}5-1&4-(-2)\\1-3&8-0\end{pmatrix}.

B-A=\begin{pmatrix}4&6\\-2&8\end{pmatrix}.

Multiplicar cada entrada por $\frac12$ da la solución.

X=\begin{pmatrix}2&3\\-1&4\end{pmatrix}.

Comprobación.

Volvemos a calcular el lado izquierdo de la ecuación.

2X+A=\begin{pmatrix}4+1&6-2\\-2+3&8+0\end{pmatrix}=B.

Se recuperan las cuatro entradas del término independiente.

Modelo 10 · Rango mediante dependencia y un menor no nulo

Justificar una cota superior y otra inferior · Elaboración propia

Calcula el rango de la matriz siguiente.

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&0\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La segunda fila es el doble de la primera, $F_2=2F_1$ Las tres filas no son independientes y, por ello, $\operatorname{rg}(A)\le2$

Para demostrar que el rango llega a 2, tomamos las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2.

\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1\ne0.

Ese menor no nulo obliga a $\operatorname{rg}(A)\ge2$ Las dos cotas coinciden.

\operatorname{rg}(A)=2.

Comprobación.

Las operaciones $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ seguidas del intercambio de las dos últimas filas, dan

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-3\\0&0&0\end{pmatrix}.

La forma escalonada tiene dos pivotes y confirma el rango 2.

Modelo 11 · Rango según un parámetro

Rango y determinante · Elaboración propia

Estudia el rango de la matriz según el valor de $a$

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Restamos la primera fila a las otras dos. Estas operaciones conservan el rango y el determinante.

F_2\leftarrow F_2-F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

A\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{pmatrix}.

La matriz es triangular, de modo que $\det A=(a-1)^2$

Si $a\ne1$ los tres pivotes son no nulos y $\operatorname{rg}(A)=3$ Si $a=1$ solo queda una fila no nula, luego $\operatorname{rg}(A)=1$

Comprobación.

En $a=1$ todas las columnas originales son $(1,1,1)^T$ hay exactamente una independiente. Si $a\ne1$ las diferencias $C_2-C_1=(0,a-1,0)^T$ y $C_3-C_1=(0,0,a-1)^T$ junto a $C_1$ son independientes.

Modelo 12 · Un sistema resuelto por Cramer

Cramer y solución única · Elaboración propia

Resuelve el sistema usando Cramer.

\begin{cases}x+y+z=6,\\2x-y+z=3,\\x+2y-z=2.\end{cases}

Ver solución y comprobación

El determinante de los coeficientes es

D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=7.

Como $D\ne0$ hay solución única y se puede aplicar Cramer. Sustituimos cada columna por $(6,3,2)^T$

D_x=\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}=7.

D_y=\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=14.

D_z=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=21.

x=\frac77=1,\qquad y=\frac{14}7=2,\qquad z=\frac{21}7=3.

Comprobación.

La terna $(1,2,3)$ cumple $1+2+3=6$ $2\cdot1-2+3=3$ y $1+2\cdot2-3=2$ Se verifican las tres ecuaciones originales.

Modelo 13 · Clasificar con los rangos de ambas matrices

Rouché-Frobenius · Elaboración propia

Estudia el sistema.

\begin{cases}x+y+z=1,\\2x+2y+2z=2,\\x-y+z=0.\end{cases}

Ver solución y comprobación

Hacemos $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ después intercambiamos las dos últimas filas.

(A\mid b)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&-2&0&-1\\0&0&0&0\end{array}\right).

Hay dos filas independientes en los coeficientes y también en la ampliada. La fila nula no añade ninguna condición.

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\mid b)=2<3.

Por Rouché-Frobenius, es compatible indeterminado: hay infinitas soluciones y una incógnita libre.

Comprobación.

La familia $(x,y,z)=(t,\frac12,\frac12-t)$ con $t\in\mathbb R$ cumple el sistema. Las tres sumas de los primeros miembros valen $1$ $2$ y $0$ respectivamente, para cualquier $t$

Modelo 14 · Una fila de coeficientes nulos con término no nulo

Incompatibilidad · Elaboración propia

Estudia el sistema.

\begin{cases}x+y+z=1,\\2x+2y+2z=3,\\x-y+z=0.\end{cases}

Ver solución y comprobación

Las operaciones $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ producen

(A\mid b)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&1\\0&-2&0&-1\end{array}\right).

La segunda fila exige $0=1$ Los coeficientes tienen dos filas independientes; la columna del término independiente aporta una tercera en la ampliada.

\operatorname{rg}(A)=2,\qquad\operatorname{rg}(A\mid b)=3.

Los rangos no coinciden: es incompatible y no tiene solución.

Comprobación.

La primera ecuación obliga a que $2x+2y+2z=2$ mientras que la segunda exige $3$ Esta contradicción directa confirma la clasificación sin depender del orden de las operaciones de fila.

Modelo 15 · Un valor singular en la discusión de un sistema

Parámetro y compatibilidad · Elaboración propia

Discute el sistema según el valor de $a$

\begin{cases}x+y+z=1,\\x+ay+z=2,\\x+y+az=3.\end{cases}

Ver solución y comprobación

Restamos la primera ecuación a las otras dos.

(A\mid b)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&a-1&0&1\\0&0&a-1&2\end{array}\right).

El determinante de los coeficientes es $(a-1)^2$

Si $a\ne1$ , los dos rangos son $3$ el sistema es compatible determinado.

Si $a=1$ , el rango de los coeficientes es $1$ y el ampliado, $2$ Las filas inferiores exigen $0=1$ y $0=2$ es incompatible. No hay ningún caso compatible indeterminado.

Comprobación.

En $a=1$ las ecuaciones pedirían que $x+y+z$ valiera $1$ $2$ y $3$ a la vez. Para comprobar un caso regular, en $a=2$ la terna $(-2,1,2)$ produce los términos independientes $(1,2,3)$

Modelo 16 · Dos valores especiales que hay que estudiar

Discusión de un sistema · Elaboración propia

Discute el sistema según el valor de $a$

\begin{cases}x+y+z=1,\\2x+ay+z=0,\\x+y+az=2.\end{cases}

Ver solución y comprobación

Hacemos $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$

(A\mid b)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&a-2&-1&-2\\0&0&a-1&1\end{array}\right).

La parte de coeficientes es triangular y $\det A=(a-2)(a-1)$

Si $a\notin\{1,2\}$ , los dos rangos son $3$ es compatible determinado.

Si $a=1$ , la última fila exige $0=1$ El rango de los coeficientes es $2$ y el ampliado, $3$ es incompatible.

Si $a=2$ , las filas inferiores exigen $-z=-2$ y $z=1$ Son contradictorias. De nuevo, los rangos son $2$ y $3$ es incompatible.

Comprobación.

En $a=1$ tercera menos primera da $0=1$ en el sistema original. En $a=2$ segunda + tercera − tres veces la primera da $0=-1$ Ambas contradicciones quedan verificadas antes de reducir la matriz.

Modelo 17 · Inversa con parámetro y reducción por filas

Gauss-Jordan · Elaboración propia

Sea la matriz

A(a)=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&a&1\\1&0&1\end{pmatrix}.

Determina para qué valores de $a$ existe $A(a)^{-1}$ y calcula la inversa para $a=0$

Ver solución y comprobación

Desarrollando por la primera fila,

\det A(a)=1\cdot a-1\cdot(-1)=a+1.

La inversa existe exactamente para $a\ne-1$ Para $a=0$ comenzamos con

\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\1&0&1&0&0&1\end{array}\right).

Aplicamos, en este orden,

F_3\leftarrow F_3-F_1,\quad F_2\leftrightarrow F_3,\quad F_2\leftarrow-F_2.

La matriz ampliada pasa a ser

\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\0&1&-1&1&0&-1\\0&0&1&0&1&0\end{array}\right).

Después hacemos $F_2\leftarrow F_2+F_3$ y, usando esa fila ya actualizada, $F_1\leftarrow F_1-F_2$ El bloque izquierdo queda convertido en $I_3$ el derecho es

B=A(0)^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&1&-1\\0&1&0\end{pmatrix}.

Comprobación.

Multiplicamos con la matriz original particularizada.

A(0)B=\begin{pmatrix}0+1&-1+1&1-1\\0&1&0\\0&-1+1&1+0\end{pmatrix}=I_3.

También se obtiene $BA(0)=I_3$ de modo que la reducción produce la inversa correcta.

Modelo 18 · Una incógnita entre dos factores matriciales

Ecuación AXB igual a C · Elaboración propia

Resuelve la ecuación matricial $AXB=C$ donde

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},

C=\begin{pmatrix}3&3\\0&1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Son matrices de orden $2$ y $\det A=\det B=1$ Multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda y por $B^{-1}$ a la derecha.

AXB=C\quad\Longrightarrow\quad X=A^{-1}CB^{-1}.

Las inversas son

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}.

Calculamos primero $A^{-1}C$ y multiplicamos ese resultado por $B^{-1}$

A^{-1}C=\begin{pmatrix}3&3-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}.

X=\begin{pmatrix}3-2&2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix}.

Comprobación.

La sustitución en el producto original da

AX=\begin{pmatrix}0&3\\-1&1\end{pmatrix},\qquad AXB=\begin{pmatrix}3&3\\0&1\end{pmatrix}=C.

Se verifica la ecuación sin alterar el orden de los factores.

Modelo 19 · Reunir la incógnita con ayuda de la identidad

Identidad y traspuesta · Elaboración propia

Dada la matriz

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix},

resuelve la ecuación $AX-A^T=X$

Ver solución y comprobación

Reunimos los términos que contienen $X$ Como $X=IX$ se puede factorizar manteniendo la incógnita a la derecha.

AX-X=A^T\quad\Longrightarrow\quad(A-I)X=A^T.

La matriz $A-I$ tiene determinante $1$ así que es invertible.

A-I=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad(A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}.

Multiplicamos por la inversa a la izquierda y usamos $A^T=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}$

X=(A-I)^{-1}A^T.

X=\begin{pmatrix}2-1&0-2\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}.

Comprobación.

Con el resultado obtenido,

AX=\begin{pmatrix}3&-2\\2&4\end{pmatrix}.

AX-A^T=\begin{pmatrix}3-2&-2-0\\2-1&4-2\end{pmatrix}=X.

Se cumple la igualdad original.

Modelo 20 · Potencias nulas y una identidad para invertir

Nilpotencia · Elaboración propia

Sea la matriz

N=\begin{pmatrix}0&2&-1\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}.

Calcula $N^{2026}$ y, sin aplicar directamente la fórmula de la adjunta, halla $(I+N+N^2)^{-1}$

Ver solución y comprobación

El único elemento no nulo de $N^2$ está en la posición $(1,3)$ y vale $2\cdot3=6$

N^2=\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

Al multiplicar de nuevo por $N$ interviene su tercera fila, que es nula. Por ello $N^3=O$ y todas las potencias de exponente al menos $3$ son nulas.

N^{2026}=O.

Para invertir $B=I+N+N^2$ agrupamos los productos de las potencias de la misma matriz.

(I-N)B=B(I-N)=I-N^3=I.

Así, la inversa es

B^{-1}=I-N=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}.

Comprobación.

La matriz $B$ tiene filas $(1,2,5)$ $(0,1,3)$ y $(0,0,1)$ En $B(I-N)$ las entradas sobre la diagonal son $-2+2=0$ $1-6+5=0$ y $-3+3=0$ las diagonales valen $1$ El producto es $I_3$

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10 decisiones que conviene saber justificar

Dimensiones, cancelación, traspuesta, potencias, rango rectangular, singularidad y aplicaciones. Cada solución incluye un control distinto del resultado.

Modelo 21 · Los dos órdenes de producto pueden tener tamaños distintos

Dimensiones y productos rectangulares · Elaboración propia

Sean

A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\1&2\end{pmatrix}.

Calcula $AB$ y $BA$ indicando sus dimensiones. Decide si están definidos $AB+BA$ $A^2$ y $ABA$

Ver solución y comprobación

La matriz $A$ tiene tamaño $2\times3$ y $B$ $3\times2$ En ambos órdenes coinciden las dimensiones interiores, pero cambian las exteriores.

AB=\begin{pmatrix}4&5\\-1&-2\end{pmatrix}\quad(2\times2),

BA=\begin{pmatrix}1&3&5\\1&-3&-1\\-1&6&4\end{pmatrix}\quad(3\times3).

No existe la suma $AB+BA$ porque sus tamaños son distintos. Tampoco $A^2$ el producto $(2\times3)(2\times3)$ tiene dimensiones interiores incompatibles.

Sí existe $ABA$ de tamaño $2\times3$ Podemos calcularlo como $(AB)A$ o como $A(BA)$ la propiedad asociativa conserva el orden de los factores.

Comprobación.

La entrada $(1,2)$ de $AB$ es $1\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot2=5$ En ambos agrupamientos, el producto triple da

(AB)A=A(BA)=\begin{pmatrix}-1&15&13\\1&-6&-4\end{pmatrix}.

La igualdad usa asociatividad; no se ha intercambiado $A$ con $B$

Modelo 22 · Por qué no se puede cancelar cualquier matriz

Matriz singular y producto nulo · Elaboración propia

Dadas

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-2\end{pmatrix},

comprueba que $AB=AC$ aunque $B\ne C$ Utiliza estas mismas matrices para obtener un producto de dos matrices no nulas que sea la matriz nula. ¿Se puede cancelar $A$ por la izquierda?

Ver solución y comprobación

Las tres matrices son $2\times2$ así que todos los productos propuestos están definidos. Multiplicar por $A$ conserva la primera fila y anula la segunda:

AB=AC=\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}.

Sin embargo, las segundas filas de $B$ y $C$ son diferentes. Al restar ambos miembros y usar la propiedad distributiva,

A(B-C)=O,\qquad B-C=\begin{pmatrix}0&0\\2&6\end{pmatrix}\ne O.

También $A\ne O$ Hemos obtenido un producto nulo con los dos factores no nulos. La cancelación no es válida: $A$ es singular y no tiene inversa con la que multiplicar ambos miembros por la izquierda.

Comprobación.

Al calcular directamente $A(B-C)$ su primera fila toma la primera fila nula de $B-C$ y su segunda fila también es nula. Además, $B_{21}=3$ y $C_{21}=1$ la desigualdad $B\ne C$ se comprueba en una entrada concreta.

Modelo 23 · Trasponer un producto y exigir que sea simétrico

Traspuesta y parámetro · Elaboración propia

Sean $a\in\mathbb R$ y

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&a\\2&0\\0&1\end{pmatrix}.

Comprueba que $(AB)^T=B^TA^T$ y halla $a$ para que $AB$ sea simétrica. Explica por qué no podemos sustituir el segundo miembro por $A^TB^T$

Ver solución y comprobación

Los tamaños son $A:2\times3$ y $B:3\times2$ El producto $AB$ es cuadrado, aunque sus factores sean rectangulares:

AB=\begin{pmatrix}1&a+1\\2&1\end{pmatrix},\qquad(AB)^T=\begin{pmatrix}1&2\\a+1&1\end{pmatrix}.

El producto $B^TA^T$ tiene dimensiones $(2\times3)(3\times2)$ y da precisamente esta última matriz. En cambio, $A^TB^T$ sería $3\times3$ de distinto tamaño. Al trasponer un producto se invierte el orden.

Para que $AB=(AB)^T$ las entradas situadas a ambos lados de la diagonal deben coincidir: $a+1=2$ Por tanto, $a=1$

Comprobación.

Con $a=1$ el producto es $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ igual a su traspuesta. Para cualquier otro valor, las entradas $(1,2)$ y $(2,1)$ serían distintas. No se ha supuesto que las matrices rectangulares $A$ y $B$ sean simétricas.

Modelo 24 · Una identidad permite calcular todas las potencias

Potencias con un término nilpotente · Elaboración propia

Para

A=\begin{pmatrix}3&2\\0&3\end{pmatrix},

obtén una fórmula de $A^n$ válida para todos los enteros $n\ge0$ Utilízala para calcular $A^5$

Ver solución y comprobación

Escribimos $A=3I+N$ donde

N=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=O.

Las matrices $3I$ y $N$ conmutan. En la potencia de su suma desaparecen todos los términos que contienen $N^2$ o una potencia mayor. Para $n\ge1$

A^n=3^nI+n3^{n-1}N=\begin{pmatrix}3^n&2n3^{n-1}\\0&3^n\end{pmatrix}.

El caso $n=0$ se fija por la definición de potencia: $A^0=I$ Sustituyendo $n=5$

A^5=\begin{pmatrix}243&810\\0&243\end{pmatrix}.

Comprobación.

La fórmula da $A$ para $n=1$ Al multiplicar la expresión de $A^n$ por $A$ la entrada superior derecha queda $2\cdot3^n+6n3^{n-1}=2(n+1)3^n$ y las diagonales quedan $3^{n+1}$ Se obtiene exactamente la fórmula del exponente siguiente; junto con $A^0=I$ esto confirma su validez.

Modelo 25 · El rango de una matriz rectangular cambia en dos valores

Gauss y rango con parámetro · Elaboración propia

Estudia el rango de la siguiente matriz para todo $a\in\mathbb R$ utilizando operaciones elementales por filas:

M(a)=\begin{pmatrix}1-a&1&1&3-a\\1&1-a&1&3-a\\1&1&1-a&3-a\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La matriz tiene tamaño $3\times4$ por lo que su rango no puede superar 3. Si $a=0$ las tres filas son $(1,1,1,3)$ el rango es 1.

Supongamos ahora $a\ne0$ Restamos la primera fila a las otras dos y dividimos estas por $a$ Resultan $(1,-1,0,0)$ y $(1,0,-1,0)$ Usamos la primera de ellas como fila pivote y la restamos a la segunda para obtener $(0,1,-1,0)$ A la fila original le restamos $(1-a)$ veces el primer pivote y $(2-a)$ veces el segundo. Ordenando las filas resulta la forma escalonada

\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&3-a&3-a\end{pmatrix}.

Las dos primeras filas siempre son no nulas. La última se anula exactamente para $a=3$ En consecuencia,

\operatorname{rg}M(a)=\begin{cases}1,&a=0,\\2,&a=3,\\3,&a\ne0,3.\end{cases}

Comprobación.

El menor formado por las tres primeras columnas vale $a^2(3-a)$ es no nulo fuera de los dos casos especiales. Para $a=3$ el menor de las dos primeras filas y columnas vale 3 y la suma de las tres filas es nula; el rango es exactamente 2. Para $a=0$ hay una fila no nula y todas coinciden.

Modelo 26 · Una ecuación con matriz singular puede tener una familia de soluciones

Compatibilidad de una ecuación matricial · Elaboración propia

Sean $t\in\mathbb R$

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad B(t)=\begin{pmatrix}3&-1\\6&t\end{pmatrix}.

Determina para qué valores de $t$ existe una matriz $X$ de tamaño $2\times2$ que cumpla $AX=B(t)$ y describe todas las soluciones.

Ver solución y comprobación

La segunda fila de $A$ es el doble de la primera. Por tanto, en cualquier producto $AX$ la segunda fila también debe ser el doble de la primera. En $B(t)$ esto exige $t=-2$ si $t\ne-2$ no existe solución.

Para $t=-2$ escribimos $X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ Al multiplicar y comparar la primera fila,

p+2r=3,\qquad q+2s=-1.

La segunda fila no añade condiciones. Podemos elegir libremente $r=u$ y $s=v$ con $u,v\in\mathbb R$ Todas las soluciones son

X=\begin{pmatrix}3-2u&-1-2v\\u&v\end{pmatrix},\qquad u,v\in\mathbb R.

La singularidad de $A$ impide despejar mediante una inversa, pero no impide que haya soluciones cuando las filas de $B$ tienen la relación necesaria.

Comprobación.

Multiplicando la familia obtenida por $A$ a la izquierda se recupera $\begin{pmatrix}3&-1\\6&-2\end{pmatrix}$ independientemente de $u,v$ Si $t\ne-2$ la entrada $(2,2)$ tendría que ser a la vez $t$ y el doble de $-1$ lo que contradice la ecuación.

Modelo 27 · El producto calcula consumos de dos periodos

Modelización con unidades · Elaboración propia

Un taller fabrica cuadernos y carpetas. La matriz $P$ indica cantidades: las filas corresponden a cuadernos y carpetas, y las columnas, a mañana y tarde.

P=\begin{pmatrix}40&30\\20&50\end{pmatrix}.

Consumo de recursos por artículo fabricado
Recurso y unidad	Por cuaderno	Por carpeta
Cartón, $\mathrm{m}^2$	0,4	0,6
Papel, $\mathrm{kg}$	0,2	0,1
Tiempo productivo, $\mathrm{s}$	30	45

Para el conjunto de ambos periodos dispone de $72\,\mathrm{m}^2$ de cartón, $20\,\mathrm{kg}$ de papel y $5400\,\mathrm{s}$ de tiempo productivo. Construye la matriz de consumos y decide si puede completar el plan. Supón que los consumos por artículo son constantes.

Ver solución y comprobación

Formamos $R$ con filas cartón, papel y tiempo, y columnas cuaderno y carpeta. Su tamaño es $3\times2$ Para obtener recursos por periodo, el orden adecuado es $RP$

R=\begin{pmatrix}0{,}4&0{,}6\\0{,}2&0{,}1\\30&45\end{pmatrix},\qquad RP=\begin{pmatrix}28&42\\10&11\\2100&3150\end{pmatrix}.

Por ejemplo, el cartón de la mañana es $0{,}4\cdot40+0{,}6\cdot20=28\,\mathrm{m}^2$ Cada fila conserva su propia unidad: las dos primeras son superficie y masa; la tercera, tiempo.

Sumando las columnas, el plan necesita $70\,\mathrm{m}^2$ $21\,\mathrm{kg}$ y $5250\,\mathrm{s}$ Falta $1\,\mathrm{kg}$ de papel para completarlo. Sobran $2\,\mathrm{m}^2$ de cartón y $150\,\mathrm{s}$ de tiempo.

Comprobación.

El total de producción es de 70 cuadernos y 70 carpetas. Multiplicar directamente $R\begin{pmatrix}70\\70\end{pmatrix}$ devuelve $\begin{pmatrix}70\\21\\5250\end{pmatrix}$ el mismo consumo total. El stock se compara con cada recurso en su unidad correspondiente; no se suman superficie, masa y tiempo.

Modelo 28 · La incógnita aparece también traspuesta

Ecuación matricial por comparación de entradas · Elaboración propia

Resuelve $AX+X^T=B$ donde

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\0&9\end{pmatrix},

y $X$ es una matriz real de tamaño $2\times2$ No se supone que $X$ sea simétrica.

Ver solución y comprobación

La traspuesta $X^T$ también depende de la incógnita. Comparamos entradas escribiendo $X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$

AX+X^T=\begin{pmatrix}2p&q+r\\q+2r&3s\end{pmatrix}.

La igualdad con $B$ equivale a

2p=2,\qquad q+r=1,\qquad q+2r=0,\qquad3s=9.

Las entradas diagonales dan $p=1$ y $s=3$ Restando las dos ecuaciones restantes, $r=-1$ y después $q=2$ La solución única es

X=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}.

Comprobación.

El producto y la traspuesta calculados por separado son $AX=\begin{pmatrix}1&2\\-2&6\end{pmatrix}$ y $X^T=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}$ Su suma es exactamente $B$ Además, $X\ne X^T$ lo que confirma que imponer simetría habría cambiado el problema.

Modelo 29 · Potencias cíclicas de una matriz de permutación

Potencias e inversa · Elaboración propia

Sea

P=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.

Calcula $P^2$ $P^3$ $P^{2027}$ y $P^{-1}$ Justifica la potencia de exponente grande mediante el resto de la división entre $3$ y comprueba el ciclo observando la acción de $P$ sobre $(x,y,z)^{\mathsf T}$

Ver solución y comprobación

La matriz es $3\times3$ de modo que sus potencias están definidas. Multiplicando se obtiene

P^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad P^3=I_3.

Las potencias vuelven a empezar cada tres pasos. Como $2027=3\cdot675+2$

P^{2027}=(P^3)^{675}P^2=P^2.

Además, $PP^2=P^2P=P^3=I_3$ Por tanto, $P^{-1}=P^2$ la misma matriz calculada al principio.

Comprobación.

La acción sobre una columna es

P(x,y,z)^{\mathsf T}=(y,z,x)^{\mathsf T}.

Una segunda aplicación da $(z,x,y)^{\mathsf T}$ de acuerdo con $P^2$ y la tercera devuelve $(x,y,z)^{\mathsf T}$ Esto comprueba el ciclo sin repetir las multiplicaciones matriciales. En esta matriz, trasponer también produce $P^{\mathsf T}=P^2$ y se verifica $P^{\mathsf T}P=I_3$

Modelo 30 · Rango con dos parámetros

Rango rectangular y casos · Elaboración propia

Para $a,b\in\mathbb R$ clasifica el rango de

A(a,b)=\begin{pmatrix}a&0&a\\0&b&b\end{pmatrix}.

Distingue los casos en que ninguno, uno o los dos parámetros son cero. Justifica cada rango mediante las filas y los menores que necesites.

Ver solución y comprobación

La matriz es $2\times3$ por lo que su rango no puede superar $2$ El menor formado por las dos primeras columnas vale

\begin{vmatrix}a&0\\0&b\end{vmatrix}=ab.

$a\ne0$ y $b\ne0$ El menor $ab$ no se anula, así que el rango es $2$
$a\ne0$ y $b=0$ La segunda fila es nula y la primera no. El rango es $1$
$a=0$ y $b\ne0$ La primera fila es nula y la segunda no. El rango es $1$
$a=b=0$ Toda la matriz es nula. El rango es $0$

La condición $ab=0$ solo descarta el rango $2$ hay que distinguir los tres últimos casos para decidir entre $1$ y $0$

Comprobación.

Los tres menores de orden $2$ tomando las columnas $(1,2)$ $(1,3)$ y $(2,3)$ valen $ab$ $ab$ y $-ab$ Se anulan todos exactamente cuando $a=0$ o $b=0$ Si queda algún parámetro no nulo, también queda una entrada no nula y el rango es $1$ Todas las entradas se anulan únicamente para $(a,b)=(0,0)$ que es el único caso de rango $0$ Así se comprueba que la clasificación no deja valores sin estudiar.

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15 prácticas para resolver por tu cuenta

Las primeras ofrecen una pista opcional. Intenta el ejercicio antes de abrir la solución y utiliza la comprobación para revisar tu procedimiento.

Práctica 1 · Decidir el producto antes de calcular

Dimensiones · Elaboración propia

Las matrices $A$ $B$ y $C$ tienen tamaños $3\times2$ $2\times4$ y $4\times3$ respectivamente. Decide cuáles de $AB$ $BA$ $AC$ $CA$ $BC$ y $CB$ existen e indica el tamaño de cada producto posible.

Una pista antes de resolver

Escribe los dos tamaños juntos y compara solo los dos números interiores.

Ver solución y comprobación

El producto existe cuando las columnas de la primera matriz coinciden con las filas de la segunda. El resultado conserva las filas de la primera y las columnas de la segunda.

$AB$ $2=2$ existe y es $3\times4$
$CA$ $3=3$ existe y es $4\times2$
$BC$ $4=4$ existe y es $2\times3$

No existen $BA$ porque $4\ne3$ $AC$ porque $2\ne4$ ni $CB$ porque $3\ne2$

Comprobación.

La lectura de cada entrada confirma las dimensiones. Para $(AB)_{ij}$ la fila de $A$ y la columna de $B$ tienen ambas dos componentes; hay tres filas y cuatro columnas disponibles. En $BA$ en cambio, una fila de cuatro componentes no puede multiplicarse por una columna de tres.

Práctica 2 · Combinar matrices entrada a entrada

Operaciones lineales · Elaboración propia

Calcula $C=2A-3B$ siendo

A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\end{pmatrix}.

Una pista antes de resolver

Multiplica todas las entradas por su coeficiente antes de restar, incluidas las negativas.

Ver solución y comprobación

Ambas matrices son $2\times2$ así que la resta está definida. Cada entrada cumple $c_{ij}=2a_{ij}-3b_{ij}$ En particular, $c_{12}=2(-1)-3\cdot2=-8$

C=\begin{pmatrix}-3&-8\\7&6\end{pmatrix}.

Comprobación.

Al deshacer la operación se recupera $C+3B=2A=\begin{pmatrix}0&-2\\4&6\end{pmatrix}.$ Además, la suma de la diagonal de $C$ es $-3+6=3$ igual a $2(0+3)-3(1+0)$

Práctica 3 · Dos órdenes de multiplicación

Producto no conmutativo · Elaboración propia

Calcula $AB$ y $BA$ ¿Son iguales?

A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&3\\1&2\end{pmatrix}.

Una pista antes de resolver

Para la entrada de fila $i$ y columna $j$ usa siempre la fila $i$ de la primera matriz y la columna $j$ de la segunda.

Ver solución y comprobación

Los dos productos existen y son $2\times2$ Se multiplican filas por columnas; cambiar el orden cambia cuáles intervienen. Por ejemplo, $(AB)_{12}=1\cdot3+(-1)\cdot2=1$ mientras que $(BA)_{12}=0(-1)+3\cdot0=0$

AB=\begin{pmatrix}-1&1\\0&6\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}6&0\\5&-1\end{pmatrix}.

Son distintos. Tener el mismo tamaño no hace conmutativo el producto.

Comprobación.

Con $e_1=(1,0)^{\mathsf T}$ se obtiene $ABe_1=(-1,0)^{\mathsf T}$ y $BAe_1=(6,5)^{\mathsf T}$ Son las primeras columnas calculadas y muestran que los dos productos actúan de forma diferente sobre un mismo vector.

Práctica 4 · Trasponer invierte el orden

Producto rectangular y traspuesta · Elaboración propia

Calcula $Ab$ halla $(Ab)^{\mathsf T}$ y comprueba que coincide con $b^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$

A=\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&1&1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}.

Una pista antes de resolver

La traspuesta convierte cada fila en una columna. Antes de operar, escribe el tamaño del resultado esperado.

Ver solución y comprobación

El producto de una matriz $2\times3$ por una columna $3\times1$ da una columna $2\times1$ Sus entradas son $2-6=-4$ y $4-1+3=6$

Ab=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix},\qquad(Ab)^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}-4&6\end{pmatrix}.

Al trasponer, el orden se invierte: $b^{\mathsf T}$ es $1\times3$ y $A^{\mathsf T}$ $3\times2$ Su producto está definido y da la misma fila.

Comprobación.

Calculando directamente, $b^{\mathsf T}A^{\mathsf T}=(-4,6)$ Las columnas de $A^{\mathsf T}$ son precisamente las filas de $A$ por lo que aparecen las mismas dos sumas que en $Ab$

Práctica 5 · Comprobar la inversa en los dos órdenes

Inversa de orden dos · Elaboración propia

Decide si $A$ es invertible y, si lo es, calcula su inversa.

A=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}.

Una pista antes de resolver

Comprueba primero que el determinante no sea cero; después verifica el resultado multiplicando.

Ver solución y comprobación

La matriz es cuadrada y $\det A=3\cdot1-2\cdot1=1\ne0$ Por tanto, tiene inversa. En orden dos se intercambian las entradas de la diagonal y se cambian los signos de las otras dos, dividiendo por el determinante:

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}.

Comprobación.

Los productos $AA^{-1}$ y $A^{-1}A$ dan $I_2$ Como control de una entrada fuera de la diagonal, $(A^{-1}A)_{21}=(-1)\cdot3+3\cdot1=0$ en la diagonal, $(A^{-1}A)_{22}=(-1)\cdot2+3\cdot1=1$

Práctica 6 · Despejar una incógnita situada a la derecha

Ecuación AX igual a B · Elaboración propia

Resuelve $AX=B$ con

A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&1\\1&2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Como $\det A=3\ne0$ existe una única solución. Multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda, que es donde está $A$ $A^{-1}AX=A^{-1}B$

A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix},\qquad X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}.

Por ejemplo, la primera fila de $X$ se obtiene sumando las dos filas de $B$ y dividiendo entre $3$

Comprobación.

La sustitución en la ecuación original da $AX=\begin{pmatrix}5&1\\1&2\end{pmatrix}=B$ Esta comprobación conserva el orden pedido; multiplicar $X$ por $A$ a la derecha sería otra operación.

Práctica 7 · La inversa debe multiplicar por la derecha

Ecuación XA igual a B · Elaboración propia

Resuelve $XA=B$ con

A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\3&3\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La matriz $A$ es invertible, pues $\det A=3$ Ahora se elimina multiplicando por la derecha:

XAA^{-1}=BA^{-1}\quad\Longrightarrow\quad X=BA^{-1}.

A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}.

No se cambia el orden a $A^{-1}B$ esa expresión resolvería $AX=B$

Comprobación.

Al sustituir, $XA=\begin{pmatrix}1&2\\3&3\end{pmatrix}=B$ En particular, la segunda fila de ese producto es $2(1,2)-(-1,1)=(3,3)$ de acuerdo con la segunda fila dada.

Práctica 8 · Liberar la incógnita por ambos lados

Ecuación AXB igual a C · Elaboración propia

Resuelve $AXB=C$

A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.

C=\begin{pmatrix}1&0\\6&2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Las dos matrices que rodean a $X$ son invertibles: sus determinantes valen $1$ Se multiplica por $A^{-1}$ a la izquierda y por $B^{-1}$ a la derecha.

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

Primero calculamos $Y=A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&0\\4&2\end{pmatrix}$ Después, $X=YB^{-1}$

X=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}.

Comprobación.

La solución da $AX=\begin{pmatrix}1&-1\\4&-2\end{pmatrix}$ Multiplicando ese resultado por $B$ se recupera $(AX)B=\begin{pmatrix}1&0\\6&2\end{pmatrix}=C$ Así se comprueban los dos lados de la ecuación, con su orden original.

Práctica 9 · Rango máximo no siempre significa inversa

Rango rectangular y singularidad · Elaboración propia

Halla el rango de $R$ y de $S$ y decide si tienen inversa ordinaria. ¿Basta tener rango máximo para asegurarla?

R=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&5\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}2&-3\\4&-6\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

En $R$ la operación $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ produce las filas $(1,0,2)$ y $(0,1,1)$ independientes. Por tanto, $\operatorname{rg}R=2$ el máximo posible para una matriz $2\times3$ No tiene inversa ordinaria porque no es cuadrada.

En $S$ la segunda fila es el doble de la primera, y la primera no es nula. Así, $\operatorname{rg}S=1<2$ es una matriz cuadrada singular y tampoco tiene inversa.

El criterio completo exige ser cuadrada y tener rango igual a su orden.

Comprobación.

Las multiplicaciones $R(-2,-1,1)^{\mathsf T}=0$ y $S(3,2)^{\mathsf T}=0$ muestran vectores no nulos que ambas matrices envían al vector cero. En $R$ sus dos primeras columnas ya forman una matriz invertible, lo que confirma su rango $2$ sin confundirlo con invertibilidad ordinaria.

Práctica 10 · Dos recorridos y tres tipos de terreno

Producto matricial con unidades · Elaboración propia

Un modelo de marcha asigna $3$ $2$ y $1$ segundos por metro a subida, llano y bajada. Las filas de $D$ corresponden a los recorridos Norte y Sur; sus columnas, a esos tres terrenos. Las distancias están en metros:

D=\begin{pmatrix}60&80&100\\90&40&50\end{pmatrix}.

Escribe el vector de tiempos por metro, calcula mediante un producto el tiempo de cada recorrido y decide cuál requiere menos tiempo y por cuánto.

Ver solución y comprobación

El orden de las componentes debe coincidir con el de las columnas. El vector es $q=(3,2,1)^{\mathsf T}$ con unidades $\mathrm{s\,m^{-1}}$ El producto $Dq$ es una columna $2\times1$

t=Dq=\begin{pmatrix}440\\400\end{pmatrix}\,\mathrm s.

Para Norte, $60\cdot3+80\cdot2+100\cdot1=440\,\mathrm s$ Para Sur, $90\cdot3+40\cdot2+50\cdot1=400\,\mathrm s$ El recorrido Sur requiere $40\,\mathrm s$ menos.

Comprobación.

En cada sumando, $\mathrm m\cdot\mathrm{s\,m^{-1}}=\mathrm s$ no se están sumando distancias a tiempos. Norte mide $240\,\mathrm m$ y Sur, $180\,\mathrm m$ Con los ritmos extremos de $1$ y $3\,\mathrm{s\,m^{-1}}$ sus tiempos deben estar entre $240$ y $720\,\mathrm s$ y entre $180$ y $540\,\mathrm s$ respectivamente. Ambos resultados respetan esas cotas.

Práctica 11 · La incógnita aparece traspuesta

Ecuación con traspuesta · Elaboración propia

Determina $X$ en $X^{\mathsf T}A=B$ siendo

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Como $\det A=2\ne0$ primero se despeja la matriz que aparece en la ecuación: $X^{\mathsf T}=BA^{-1}$ La traspuesta se toma después.

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&- \frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad X^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}.

X=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}.

La inversa y la trasposición son operaciones distintas; detenerse en $BA^{-1}$ dejaría como respuesta $X^{\mathsf T}$

Comprobación.

Trasponiendo la respuesta y multiplicando por la derecha se obtiene $X^{\mathsf T}A=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}=B$ La invertibilidad de $A$ y el hecho de que trasponer dos veces devuelve la matriz inicial garantizan la unicidad.

Práctica 12 · Factorizar una ecuación matricial

Ecuación lineal en X · Elaboración propia

Resuelve $3X-AX=B$ con

A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2&2\\4&-2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La incógnita es $2\times2$ y $3X=(3I_2)X$ Podemos sacar $X$ como factor por la derecha:

(3I_2-A)X=B,\qquad3I_2-A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}.

El determinante de esta matriz es $4$ así que se puede invertir. Su inversa es $\frac12\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$

X=(3I_2-A)^{-1}B=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}.

Comprobación.

La respuesta produce $AX=\begin{pmatrix}5&-2\\2&-1\end{pmatrix}$ Al restarlo de $3X$ queda $3X-AX=\begin{pmatrix}-2&2\\4&-2\end{pmatrix}=B$ Es la ecuación inicial, sin sustituirla por una división entre matrices.

Práctica 13 · Comparar dos ecuaciones parecidas

AX frente a XA · Elaboración propia

Resuelve por separado $AX=B$ y $XA=B$ Decide si en este caso tienen una solución común.

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La matriz $A$ tiene determinante $1$ e inversa $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ Para la primera ecuación, la inversa se coloca a la izquierda; para la segunda, a la derecha:

X_1=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad X_2=BA^{-1}=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}.

Las dos soluciones son únicas y distintas. Por tanto, no hay una misma matriz que satisfaga ambas ecuaciones con estos datos.

Comprobación.

Los productos $AX_1$ y $X_2A$ devuelven $B$ En cambio, $AX_2=\begin{pmatrix}-3&8\\-2&5\end{pmatrix}\ne B$ No se puede trasladar la inversa de un lado al otro manteniendo la misma solución.

Práctica 14 · Elegir una inversa y obtenerla por columnas

Comparación de métodos · Elaboración propia

Para la matriz

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix},

se proponen dos inversas:

P=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}.

Decide cuál es correcta. Obtén también la inversa resolviendo $AX=I_2$ por columnas, sin usar la fórmula de la adjunta.

Ver solución y comprobación

Se cumple $AP=I_2$ La otra propuesta falla ya en la primera entrada: $(AQ)_{11}=1-4=-3\ne1$ Por tanto, $Q$ no es la inversa.

Para obtenerla por columnas, escribimos $X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ La primera columna de $AX=I_2$ exige

\begin{cases}p+2r=1\\2p+5r=0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad r=-2,\ p=5.

La segunda columna exige

\begin{cases}q+2s=0\\2q+5s=1\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad s=1,\ q=-2.

Así, $X=P=A^{-1}$ Los dos métodos coinciden.

Comprobación.

También se cumple $PA=I_2$ Por ejemplo, $(PA)_{12}=5\cdot2-2\cdot5=0$ y $(PA)_{22}=-2\cdot2+1\cdot5=1$ La comprobación se hace con los productos, no solo con el aspecto de las entradas propuestas.

Práctica 15 · Agrupar de dos formas sin cambiar el orden

AXB y asociatividad · Elaboración propia

Resuelve $AXB=C$ de dos maneras: calculando primero $A^{-1}C$ y calculando primero $CB^{-1}$ Explica por qué ambas agrupaciones son válidas.

A=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

C=\begin{pmatrix}2&6\\0&2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Los determinantes de $A$ y $B$ son $2$ y $1$ Sus inversas son

A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\- \frac{1}{2}&1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}.

La primera agrupación da $Y=A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&3\\-1&-1\end{pmatrix}$ La segunda da $Z=CB^{-1}=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}$

YB^{-1}=A^{-1}Z=X=\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\end{pmatrix}.

Ambas expresiones respetan el orden $A^{-1}CB^{-1}$ Coinciden por asociatividad; esta propiedad permite cambiar la agrupación, sin intercambiar las matrices.

Comprobación.

La solución verifica $AX=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}$ y $(AX)B=\begin{pmatrix}2&6\\0&2\end{pmatrix}=C$ Los dos caminos producen la misma matriz y recuperan la ecuación original.

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Simulacro A · Elegir y justificar

70 minutos orientativos · Cinco problemas de elaboración propia. Cada rúbrica puntúa sobre 10; la nota del simulacro es la media de las cinco notas.

Examen 1 · Un producto y el significado de sus entradas

Multiplicación, traspuesta y unidades · Elaboración propia

Dos móviles tienen velocidades $(3,4)$ y $(-4,3)$ en $\mathrm{m\,s^{-1}}$ Colocamos sus componentes numéricas en las filas de

V=\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}.

Calcula $G=VV^T$ Interpreta las entradas diagonales y las entradas nulas, e indica sus unidades.

Ver solución y comprobación

Las dos matrices del producto son $2\times2$ Cada entrada de $G$ combina una fila de $V$ con una fila de $V$ porque el segundo factor está traspuesto.

g_{11}=3^2+4^2=25,\qquad g_{22}=(-4)^2+3^2=25.

g_{12}=3\cdot(-4)+4\cdot3=0,\qquad g_{21}=0.

G=\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}.

Las entradas diagonales son los cuadrados de los módulos de las velocidades: ambos móviles se desplazan a $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ Las entradas fuera de la diagonal son el producto escalar de sus velocidades; al ser cero, las direcciones son perpendiculares. Las entradas de $G$ tienen unidades $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$

Comprobación.

Las normas de los dos vectores son $\sqrt{3^2+4^2}=5$ y $\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$ Además, $(3,4)\cdot(-4,3)=0$ Estas comprobaciones recuperan la interpretación de las cuatro entradas sin confundir rapidez con rapidez al cuadrado.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dimensiones y uso de la traspuesta, 2; producto, 3; interpretación de diagonal y ceros, 3; unidades, 1; comprobación, 1.

Examen 2 · Factorizar antes de usar una inversa

Ecuación con un factor común a la derecha · Elaboración propia

Resuelve $AX+BX=C$ para matrices reales $X$ de orden 2, siendo

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.

C=\begin{pmatrix}4&2\\1&4\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

En ambos sumandos, $X$ está a la derecha. La distributiva permite escribir $(A+B)X=C$ La matriz que hay que invertir es la suma, no cada sumando por separado.

M=A+B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}.

M^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0\\-\frac12&1\end{pmatrix}.

Se comprueba que $MM^{-1}=M^{-1}M=I$ Multiplicamos la ecuación por $M^{-1}$ a la izquierda:

X=M^{-1}C=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}.

La solución es única porque $M$ es invertible.

Comprobación.

Por separado, $AX=\begin{pmatrix}1&4\\0&0\end{pmatrix}$ y $BX=\begin{pmatrix}3&-2\\1&4\end{pmatrix}$ Su suma es $C$ Esta sustitución verifica la ecuación original, incluida la posición de cada factor.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: factorización correcta, 2; suma e inversa justificada, 2; despeje por el lado adecuado, 3; cálculo de $X$ 2; sustitución, 1.

Examen 3 · El rango cambia en dos valores del parámetro

Rango de una matriz rectangular · Elaboración propia

Estudia el rango de la matriz para todos los valores reales de $a$

R(a)=\begin{pmatrix}1&a&1\\a&a^2&a^2\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Hay dos filas, así que el rango no puede superar 2. Aplicamos la operación $F_2\leftarrow F_2-aF_1$ válida para cualquier $a$

R(a)\sim\begin{pmatrix}1&a&1\\0&0&a(a-1)\end{pmatrix}.

Si $a\ne0$ y $a\ne1$ la segunda fila es no nula y su primer elemento es 0, mientras que el de la primera es 1. Son independientes y el rango es 2.

Si $a=0$ o $a=1$ la segunda fila reducida desaparece. La primera sigue siendo no nula, por lo que el rango es 1. No hay ningún caso de rango 0.

Comprobación.

En la matriz original, $R(0)$ tiene segunda fila nula. En $R(1)$ ambas filas son $(1,1,1)$ En los demás valores, el elemento $a(a-1)$ de la forma reducida proporciona el segundo pivote; no se ha dividido por una expresión que pudiera anularse.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: cota del rango por dimensiones, 2; operación de filas, 3; clasificación completa de los casos, 3; exclusión del rango 0, 1; comprobación, 1.

Examen 4 · Una identidad evita cien multiplicaciones

Potencias e inversa de una expresión matricial · Elaboración propia

Sea $I$ la identidad de orden 2 y

S=\begin{pmatrix}0&2\\\frac12&0\end{pmatrix}.

Calcula $S^2$ y úsalo para hallar $S^{101}$ y $(I+2S)^{-1}$

Ver solución y comprobación

La multiplicación da $S^2=I$ Por tanto, las potencias pares son $I$ y las impares son $S$

S^{101}=(S^2)^{50}S=S.

Para la inversa usamos la misma identidad:

(I+2S)(I-2S)=I-4S^2=-3I.

El producto en el orden contrario da lo mismo, porque ambos factores son expresiones en $S$ Así,

(I+2S)^{-1}=-\frac13(I-2S)=\begin{pmatrix}-\frac13&\frac43\\\frac13&-\frac13\end{pmatrix}.

Comprobación.

La matriz $I+2S=\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$ multiplicada por la inversa obtenida da $I$ por ambos lados. La potencia pedida también respeta $S^{101}S=S^{102}=I$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: cálculo de $S^2$ 2; reducción de la potencia, 2; identidad y deducción de la inversa, 4; matriz final, 1; comprobación, 1.

Examen 5 · Trasponer cambia también las dimensiones

Ecuación rectangular con una traspuesta · Elaboración propia

Determina el tamaño de $X$ y resuelve $(AX)^T+B=C$ siendo

A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\2&0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&2\\3&2\\3&3\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Como $B$ y $C$ son $3\times2$ también lo es $(AX)^T$ Luego $AX$ y $X$ son $2\times3$

Primero aislamos la traspuesta y después trasponemos toda la igualdad:

(AX)^T=C-B,\qquad AX=(C-B)^T.

D=(C-B)^T=\begin{pmatrix}-1&3&1\\0&3&3\end{pmatrix}.

La inversa de $A$ comprobada por multiplicación, es

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Multiplicamos a la izquierda y obtenemos

X=A^{-1}D=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}.

Comprobación.

Con la matriz obtenida, $AX=D$ Al trasponer y sumar $B$ resulta $D^T+B=\begin{pmatrix}0&2\\3&2\\3&3\end{pmatrix}=C$ La respuesta tiene el tamaño $2\times3$ deducido antes de operar.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dimensiones, 2; aislamiento y trasposición de la igualdad, 2; despeje con la inversa a la izquierda, 2; cálculo de $X$ 3; comprobación, 1.

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Simulacro B · Aplicar a otros planteamientos

70 minutos orientativos · Cinco problemas propios de transferencia. Justifica dimensiones, restricciones y orden antes de calcular. Nota final: media de las cinco rúbricas.

Examen 6 · El orden de las inversas

Razonamiento y contraejemplo numérico · Elaboración propia

Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas invertibles del mismo orden. Justifica $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ Comprueba con estas matrices que no se puede cambiar el orden de las inversas:

A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La asociatividad permite agrupar sin intercambiar factores:

(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=I.

(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=I.

Por eso el candidato es la inversa de $AB$ En el ejemplo,

B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&-1\\0&1\end{pmatrix}.

A^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&-2\\0&1\end{pmatrix}.

Los dos productos son distintos: el orden no es intercambiable en general.

Comprobación.

Al multiplicar $AB$ por el candidato incorrecto $A^{-1}B^{-1}$ aparece $\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ que no es la identidad. Con $B^{-1}A^{-1}$ el resultado sí es $I$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: verificación abstracta por ambos lados, 4; orden correcto y explicación, 2; contraejemplo calculado, 3; comprobación, 1.

Examen 7 · Una cancelación que no está permitida

Matriz singular y contraejemplo · Elaboración propia

Un alumno afirma que $M^2=0$ obliga a $M=0$ porque puede cancelar un factor $M$ Decide si la afirmación es válida y justifica la respuesta con una matriz real $2\times2$

Ver solución y comprobación

La afirmación es falsa. Por ejemplo,

M=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\ne0,\qquad M^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Escribir $M^2=M\cdot0$ no permite cancelar $M$ esa operación exigiría que fuera invertible. Esta matriz es singular y tiene rango 1.

Comprobación.

El vector no nulo $v=(1,0)^T$ cumple $Mv=0$ Si existiera $M^{-1}$ al multiplicar se obtendría $v=0$ una contradicción. Así se comprueba directamente por qué no puede usarse una inversa para cancelar.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: contraejemplo no nulo, 4; comprobación de su cuadrado, 2; explicación de la cancelación y singularidad, 3; conclusión, 1.

Examen 8 · Una ecuación singular con varias soluciones

Dos columnas independientes y parámetros libres · Elaboración propia

Resuelve $AX=B$ sin utilizar una inversa, siendo

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}.

B=\begin{pmatrix}2&1\\3&-1\\5&0\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

La incógnita es $3\times2$ La tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras, que son independientes: su rango es 2 y no tiene inversa. La misma relación se cumple en las filas de $B$ por lo que la tercera igualdad no añade una condición nueva.

Si llamamos $r_1,r_2,r_3$ a las filas de $X$ el producto exige

r_1+r_3=(2,1),\qquad r_2+r_3=(3,-1).

La fila $r_3=(u,v)$ puede elegirse libremente. Las demás quedan determinadas:

X=\begin{pmatrix}2-u&1-v\\3-u&-1-v\\u&v\end{pmatrix},\qquad u,v\in\mathbb R.

Esta familia contiene todas las soluciones.

Comprobación.

Al multiplicar por $A$ las filas resultantes son $(2,1)$ $(3,-1)$ y su suma $(5,0)$ para cualquier $u,v$ La sustitución recupera $B$ y muestra por qué hay un parámetro libre por cada columna de $X$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: tamaño de $X$ 2; singularidad y relación entre filas, 2; planteamiento de las igualdades independientes, 3; familia completa, 2; sustitución, 1.

Examen 9 · El producto describe dos jornadas de reparto

Matriz de transición e interpretación · Elaboración propia

Un servicio de bicicletas tiene dos bases, A y B. En cada jornada, el 20 % de las bicicletas que empiezan en A termina en B, y el 30 % de las que empiezan en B termina en A. El resto permanece en su base. No se incorporan ni se retiran bicicletas.

Inicialmente hay 200 bicicletas en A y ninguna en B. Construye la matriz $P$ que transforma el vector columna de cantidades de una jornada en el de la siguiente y calcula el reparto tras dos jornadas. Explica por qué se conserva el total.

Ver solución y comprobación

Las filas representan la base de destino y las columnas, la de origen. Por eso,

P=\begin{pmatrix}\frac45&\frac3{10}\\\frac15&\frac7{10}\end{pmatrix},\qquad n_0=\begin{pmatrix}200\\0\end{pmatrix}.

Aplicamos el producto una vez por jornada:

n_1=Pn_0=\begin{pmatrix}160\\40\end{pmatrix}.

n_2=Pn_1=\begin{pmatrix}140\\60\end{pmatrix}.

Tras dos jornadas hay 140 bicicletas en A y 60 en B. Las columnas de $P$ suman 1: cada bicicleta de una base se reparte entre los dos destinos sin desaparecer. En forma matricial, $(1,1)P=(1,1)$ lo que conserva la suma de las componentes de cualquier reparto.

Comprobación.

En la segunda jornada salen 32 bicicletas de A hacia B y 12 de B hacia A. El recuento directo da $160-32+12=140$ en A y $40+32-12=60$ en B. En las tres distribuciones, el total es 200 bicicletas.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: construcción e interpretación de $P$ 3; primer producto, 2; segundo producto, 2; conservación e interpretación del resultado, 2; comprobación, 1.

Examen 10 · Resolver una ecuación con la propia traspuesta

Igualdad de matrices por entradas · Elaboración propia

Halla todas las matrices reales $X$ de orden 2 que cumplen

X+2X^T=\begin{pmatrix}6&5\\1&12\end{pmatrix}.

Ver solución y comprobación

Escribimos las cuatro entradas de la incógnita y trasponemos sin imponer que sea simétrica.

X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix},\qquad X+2X^T=\begin{pmatrix}3p&q+2r\\r+2q&3s\end{pmatrix}.

La igualdad de las diagonales da $p=2$ y $s=4$ Para las otras entradas,

\begin{cases}q+2r=5\\2q+r=1\end{cases}

El doble de la primera ecuación menos la segunda da $3r=9$ luego $r=3$ y $q=-1$ Todas las entradas quedan fijadas:

X=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}.

Comprobación.

La sustitución devuelve $X+2X^T=\begin{pmatrix}6&5\\1&12\end{pmatrix}$ También se puede trasponer la ecuación y combinarla con la original: si el segundo miembro es $C$ resulta $3X=2C^T-C$ que confirma el mismo valor único de $X$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: incógnita y traspuesta correctas, 2; diagonales, 2; sistema de las entradas no diagonales, 3; solución completa y única, 2; comprobación, 1.

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Errores que conviene localizar al corregir

El producto existe por las dimensiones interiores. Anota los tamaños antes de operar. El resultado conserva la dimensión exterior de cada factor.

Cambiar el orden cambia el problema. Premultiplicar y posmultiplicar son operaciones distintas. Comprueba la matriz final en la ecuación original.

La inversa de una suma se calcula sobre la suma. En general, la inversa de A+B no es la suma de las inversas. Primero forma la matriz que realmente necesitas invertir.

Un factor singular no se cancela sin más. Dos matrices distintas pueden producir el mismo resultado al multiplicarlas por el mismo factor singular.

Determinante cero no fija el rango. Busca un menor no nulo o muestra los pivotes de Gauss. Los valores especiales de un parámetro se sustituyen por separado.

Trasponer un producto invierte los factores. Se trasponen las matrices y se invierte su orden. Confirma también las dimensiones de la expresión obtenida.

Registro de práctica

Escribe el ejercicio, localiza el primer error y repítelo sin mirar el desarrollo. Distingue un fallo de cuenta de un fallo de dimensiones, orden o hipótesis.

Primer intento, corrección y segundo intento
Ejercicio	Primer intento	Error a evitar	Segundo intento

Dónde continuar dentro de la biblioteca

Esta guía organiza el trabajo con matrices. Elige la continuación según la dificultad que te quede por resolver.

Fuentes y alcance de los modelos

Los ejercicios y simulacros son de elaboración propia. El núcleo de matrices reales es compartido por numerosos programas en lengua española; la profundidad y los procedimientos exigidos se concretan en cada programa.

BOE: currículo de Bachillerato, Real Decreto 243/2022. Marco nacional español de operaciones, modelización y resolución mediante matrices y sistemas.
Andalucía: orientaciones de Matemáticas II y UCLM: información de Matemáticas II. Referencias territoriales; sus concreciones de orden y parámetros pueden diferir.
Educ.ar: Matemática para la Educación Secundaria. Colección pública argentina con operaciones, inversas y aplicaciones matriciales; referencia didáctica.
MIT: apuntes de Álgebra Lineal. Apoyo matemático para el orden de los productos, las inversas y la eliminación, sin carácter curricular español.

Trabaja matrices con corrección individual

En las clases online de Marlu Educativa podemos revisar tu planteamiento, localizar errores de orden o cálculo y preparar ejercicios del nivel que necesitas.

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Preguntas frecuentes

¿Cuándo tiene inversa una matriz?

La inversa ordinaria se define para una matriz cuadrada. Existe si su determinante es distinto de cero, equivalentemente si su rango coincide con su orden. Una matriz rectangular no tiene esa inversa ordinaria.

¿Por qué importa el lado al despejar una ecuación matricial?

El producto de matrices no es conmutativo en general. Para deshacer un factor situado a la izquierda se multiplica por su inversa a la izquierda. Para un factor situado a la derecha, por la derecha. La sustitución final comprueba el orden.

¿Un determinante nulo permite saber el rango exacto?

Solo permite concluir que el rango es menor que el orden de la matriz cuadrada. Para conocerlo hay que buscar menores no nulos o escalonar por Gauss. En una matriz rectangular el rango se estudia sin calcular un determinante de toda la matriz.

¿Se pueden cancelar matrices como si fueran números?

La cancelación exige una hipótesis que la justifique. Para matrices cuadradas, un factor invertible se elimina multiplicando por su inversa en el lado adecuado. Un factor singular puede dar el mismo producto con matrices diferentes.

¿Qué significa adjunta clásica o adjugada?

Es la traspuesta de la matriz de cofactores. En esta guía trabajamos con matrices reales y usamos esa acepción al calcular una inversa por determinantes. Se distingue de la traspuesta ordinaria y de otras acepciones de adjunta en álgebra.

¿Los simulacros son exámenes oficiales?

Son problemas de elaboración propia para practicar decisiones y procedimientos. Las referencias PAU pertenecen a convocatorias españolas. El núcleo de operaciones con matrices reales también puede trabajarse en programas equivalentes de otros países hispanohablantes.

Blog

Método Marlu para trabajar con matrices

Dimensiones, producto y traspuesta

La condición de la inversa y el lado del despeje

Rango y valores especiales de un parámetro

20 modelos para dominar el procedimiento

Modelo 1 · Operaciones básicas con matrices

Modelo 2 · Producto de matrices rectangulares

Modelo 3 · Determinante de orden tres por Sarrus

Modelo 4 · Determinante desarrollando por adjuntos

Modelo 5 · Inversa de una matriz de orden dos

Modelo 6 · Inversa de orden tres por adjunta

Modelo 7 · Ecuación matricial con la incógnita a la derecha

Modelo 8 · Ecuación matricial con la incógnita a la izquierda

Modelo 9 · Despejar una matriz multiplicada por un escalar

Modelo 10 · Rango mediante dependencia y un menor no nulo

Modelo 11 · Rango según un parámetro

Modelo 12 · Un sistema resuelto por Cramer

Modelo 13 · Clasificar con los rangos de ambas matrices

Modelo 14 · Una fila de coeficientes nulos con término no nulo

Modelo 15 · Un valor singular en la discusión de un sistema

Modelo 16 · Dos valores especiales que hay que estudiar

Modelo 17 · Inversa con parámetro y reducción por filas

Modelo 18 · Una incógnita entre dos factores matriciales

Modelo 19 · Reunir la incógnita con ayuda de la identidad

Modelo 20 · Potencias nulas y una identidad para invertir

10 decisiones que conviene saber justificar

Modelo 21 · Los dos órdenes de producto pueden tener tamaños distintos

Modelo 22 · Por qué no se puede cancelar cualquier matriz

Modelo 23 · Trasponer un producto y exigir que sea simétrico

Modelo 24 · Una identidad permite calcular todas las potencias

Modelo 25 · El rango de una matriz rectangular cambia en dos valores

Modelo 26 · Una ecuación con matriz singular puede tener una familia de soluciones

Modelo 27 · El producto calcula consumos de dos periodos

Modelo 28 · La incógnita aparece también traspuesta

Modelo 29 · Potencias cíclicas de una matriz de permutación

Modelo 30 · Rango con dos parámetros

15 prácticas para resolver por tu cuenta

Práctica 1 · Decidir el producto antes de calcular

Práctica 2 · Combinar matrices entrada a entrada

Práctica 3 · Dos órdenes de multiplicación

Práctica 4 · Trasponer invierte el orden

Práctica 5 · Comprobar la inversa en los dos órdenes

Práctica 6 · Despejar una incógnita situada a la derecha

Práctica 7 · La inversa debe multiplicar por la derecha

Práctica 8 · Liberar la incógnita por ambos lados

Práctica 9 · Rango máximo no siempre significa inversa

Práctica 10 · Dos recorridos y tres tipos de terreno

Práctica 11 · La incógnita aparece traspuesta

Práctica 12 · Factorizar una ecuación matricial

Práctica 13 · Comparar dos ecuaciones parecidas

Práctica 14 · Elegir una inversa y obtenerla por columnas

Práctica 15 · Agrupar de dos formas sin cambiar el orden

Simulacro A · Elegir y justificar

Examen 1 · Un producto y el significado de sus entradas

Examen 2 · Factorizar antes de usar una inversa

Examen 3 · El rango cambia en dos valores del parámetro

Examen 4 · Una identidad evita cien multiplicaciones

Examen 5 · Trasponer cambia también las dimensiones

Simulacro B · Aplicar a otros planteamientos

Examen 6 · El orden de las inversas

Examen 7 · Una cancelación que no está permitida

Examen 8 · Una ecuación singular con varias soluciones

Examen 9 · El producto describe dos jornadas de reparto

Examen 10 · Resolver una ecuación con la propia traspuesta

Errores que conviene localizar al corregir

Registro de práctica

Dónde continuar dentro de la biblioteca

Fuentes y alcance de los modelos

Trabaja matrices con corrección individual

Preguntas frecuentes

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