Blog
Examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso
Examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso
Matemáticas II es una de las asignaturas en las que más se nota la diferencia entre saber fórmulas y saber resolver un ejercicio completo de examen. En la PAU/EBAU no basta con recordar procedimientos sueltos. Hay que leer bien el enunciado, identificar el bloque, elegir el método adecuado y justificar cada paso con claridad.
En este artículo resolvemos un examen tipo de Matemáticas II PAU/EBAU 2026 con ejercicios de álgebra, análisis, integrales, geometría y probabilidad. El objetivo es que el alumno vea cómo se construye una solución completa, no solo el resultado final.
Este material está pensado para alumnos de 2º de Bachillerato que quieren practicar ejercicios tipo PAU/EBAU, repasar procedimientos importantes y detectar errores frecuentes antes del examen.
No es un modelo oficial. Es un examen tipo preparado como recurso de estudio, con ejercicios representativos de Matemáticas II y soluciones desarrolladas paso a paso.
Idea principal si al hacer estos ejercicios te cuesta empezar, te pierdes en los pasos intermedios o no sabes justificar bien el resultado, probablemente necesitas trabajar Matemáticas II con una guía más ordenada.
En Marlu Educativa preparamos Matemáticas II en clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU, con explicación paso a paso, ejercicios adaptados al nivel del alumno y seguimiento personalizado.
Preparar Matemáticas II PAU/EBAU Ver clases online
Qué vas a trabajar en este examen tipo
- Álgebra sistema con parámetro, determinantes y discusión de soluciones
- Análisis derivadas, crecimiento, extremos relativos y cortes con el eje X
- Integrales cálculo de áreas y separación de intervalos cuando la función cambia de signo
- Geometría plano determinado por tres puntos y distancia de un punto a un plano
- Probabilidad distribución binomial, aproximación normal y corrección por continuidad
Índice del examen resuelto
- Ejercicio 1. Sistema con parámetro
- Ejercicio 2. Estudio completo de una función
- Ejercicio 3. Integral definida y área encerrada
- Ejercicio 4. Geometría en el espacio
- Ejercicio 5. Probabilidad con binomial y normal
- Errores frecuentes en Matemáticas II PAU/EBAU
- Clases online de Matemáticas II para PAU/EBAU
Ejercicio 1. Sistema con parámetro
Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a y resuélvelo cuando sea compatible.
\begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+z=2\\x+y+az=1\end{cases}
Planteamiento
En un sistema con parámetro, el primer paso es estudiar el determinante de la matriz de coeficientes. Si el determinante no se anula, el sistema tiene solución única. Si se anula, hay que estudiar aparte esos valores del parámetro.
La matriz de coeficientes es
A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}
Calculamos el determinante.
|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}
Desarrollamos por la primera fila.
|A|=1\cdot\begin{vmatrix}a&1\\1&a\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&a\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}2&a\\1&1\end{vmatrix}
|A|=(a^2-1)-(2a-1)+(2-a)
|A|=a^2-3a+2
|A|=(a-1)(a-2)
El determinante se anula para
a=1
y para
a=2
Caso general
Si a\neq1 y a\neq2, el determinante no se anula. Por tanto, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.
Restamos la primera ecuación a la tercera.
(x+y+az)-(x+y+z)=1-1
(a-1)z=0
Como a\neq1, se obtiene
z=0
Sustituimos en la primera ecuación.
x+y=1
Ahora restamos dos veces la primera ecuación a la segunda.
(2x+ay+z)-2(x+y+z)=2-2
(a-2)y-z=0
Como z=0, queda
(a-2)y=0
Como a\neq2, se obtiene
y=0
Sustituimos en x+y=1.
x=1
Por tanto, si a\neq1,2, la solución es
(x,y,z)=(1,0,0)
Caso a igual a 1
Sustituimos a=1 en el sistema.
\begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+z=2\\x+y+z=1\end{cases}
La primera y la tercera ecuación son iguales. Restamos la primera ecuación a la segunda.
(2x+y+z)-(x+y+z)=2-1
x=1
Sustituimos en la primera ecuación.
1+y+z=1
y+z=0
y=-z
Tomamos z=t, con t\in\mathbb{R}. Entonces y=-t.
La solución queda
(x,y,z)=(1,-t,t)
En este caso hay infinitas soluciones.
Caso a igual a 2
Sustituimos a=2 en el sistema.
\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+z=2\\x+y+2z=1\end{cases}
Restamos dos veces la primera ecuación a la segunda.
(2x+2y+z)-2(x+y+z)=2-2
-z=0
z=0
Sustituimos en la primera ecuación.
x+y=1
Tomamos y=t, con t\in\mathbb{R}. Entonces x=1-t.
La solución queda
(x,y,z)=(1-t,t,0)
En este caso también hay infinitas soluciones.
Resultado del ejercicio 1
Si a\neq1,2, el sistema tiene solución única.
(x,y,z)=(1,0,0)
Si a=1, hay infinitas soluciones.
(x,y,z)=(1,-t,t),\quad t\in\mathbb{R}
Si a=2, hay infinitas soluciones.
(x,y,z)=(1-t,t,0),\quad t\in\mathbb{R}
Comentario de examen
En los sistemas con parámetro no basta con calcular el determinante. La parte que suele separar una solución buena de una incompleta es estudiar con cuidado los valores que anulan el determinante.
Ejercicio 2. Estudio completo de una función
Dada la función
f(x)=x^3-3x^2+2
estudia su crecimiento, decrecimiento, extremos relativos y cortes con el eje X.
Derivada y puntos críticos
Calculamos la derivada.
f'(x)=3x^2-6x
Sacamos factor común.
f'(x)=3x(x-2)
Igualamos a cero.
3x(x-2)=0
De aquí obtenemos
x=0
y
x=2
Estos son los puntos críticos.
Crecimiento y decrecimiento
Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos que determinan los puntos críticos.
Para x\lt0, tomamos x=-1.
f'(-1)=3\cdot(-1)\cdot(-3)\gt0
La función crece en
(-\infty,0)
Para 0\lt x\lt2, tomamos x=1.
f'(1)=3\cdot1\cdot(-1)\lt0
La función decrece en
(0,2)
Para x\gt2, tomamos x=3.
f'(3)=3\cdot3\cdot1\gt0
La función crece en
(2,+\infty)
Extremos relativos
Calculamos el valor de la función en los puntos críticos.
f(0)=0^3-3\cdot0^2+2=2
f(2)=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2
En x=0, la función pasa de crecer a decrecer. Por tanto, hay un máximo relativo.
(0,2)
En x=2, la función pasa de decrecer a crecer. Por tanto, hay un mínimo relativo.
(2,-2)
Cortes con el eje X
Para hallar los cortes con el eje X, resolvemos
x^3-3x^2+2=0
Probamos x=1.
1^3-3\cdot1^2+2=0
Por tanto, x=1 es una raíz. Factorizamos.
x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)
Resolvemos la ecuación de segundo grado.
x^2-2x-2=0
x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}
x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}
x=1\pm\sqrt{3}
Resultado del ejercicio 2
La función crece en
(-\infty,0)\cup(2,+\infty)
La función decrece en
(0,2)
Tiene un máximo relativo en
(0,2)
Tiene un mínimo relativo en
(2,-2)
Corta al eje X en
x=1-\sqrt{3},\quad x=1,\quad x=1+\sqrt{3}
¿Te cuesta aplicar las derivadas en ejercicios de examen?
En Matemáticas II muchos alumnos saben derivar, pero fallan al interpretar el crecimiento, los extremos o los cortes con los ejes. En Marlu Educativa trabajamos estos ejercicios paso a paso para que el alumno entienda qué está haciendo.
Ejercicio 3. Integral definida y área encerrada
Calcula el área encerrada entre la función
f(x)=x^3-3x^2+2
y el eje X en el intervalo
[0,2]
Idea clave
En un ejercicio de áreas no basta con calcular una integral definida. Antes hay que comprobar si la función cambia de signo dentro del intervalo.
En el ejercicio anterior hemos visto que la función corta al eje X en x=1. Como ese punto pertenece al intervalo [0,2], debemos separar el cálculo en dos tramos.
En [0,1], la función está por encima del eje X. En [1,2], la función está por debajo.
Por tanto,
A=\int_0^1 f(x)\,dx-\int_1^2 f(x)\,dx
Cálculo de la primitiva
Calculamos una primitiva de la función.
\int (x^3-3x^2+2)\,dx
F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x
Primer tramo
\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)
F(1)=\frac{1}{4}-1+2=\frac{5}{4}
F(0)=0
Por tanto,
\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{5}{4}
Segundo tramo
\int_1^2 f(x)\,dx=F(2)-F(1)
F(2)=\frac{16}{4}-8+4=0
F(1)=\frac{5}{4}
Entonces,
\int_1^2 f(x)\,dx=0-\frac{5}{4}
\int_1^2 f(x)\,dx=-\frac{5}{4}
Como buscamos área geométrica, tomamos el valor positivo del segundo tramo.
A=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}
A=\frac{10}{4}
A=\frac{5}{2}
Resultado del ejercicio 3
El área encerrada entre la función y el eje X en el intervalo [0,2] es
A=\frac{5}{2}
unidades cuadradas.
Error típico en integrales
Si la función cambia de signo, la integral definida puede cancelar áreas. Para calcular el área real hay que partir el intervalo en los puntos de corte con el eje X.
Ejercicio 4. Geometría en el espacio
Dados los puntos
A(1,0,1),\quad B(2,1,0),\quad C(0,1,1)
halla la ecuación del plano que pasa por los tres puntos y calcula la distancia del punto
P(1,1,2)
a dicho plano.
Vectores del plano
Tomamos dos vectores contenidos en el plano.
\overrightarrow{AB}=B-A=(2,1,0)-(1,0,1)
\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)
\overrightarrow{AC}=C-A=(0,1,1)-(1,0,1)
\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)
Vector normal del plano
El vector normal del plano se obtiene mediante el producto vectorial.
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&-1\\-1&1&0\end{vmatrix}
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,2)
Por tanto, un vector normal del plano es
\vec{n}=(1,1,2)
Ecuación del plano
Usamos el punto A(1,0,1) y el vector normal \vec{n}=(1,1,2).
1(x-1)+1(y-0)+2(z-1)=0
x-1+y+2z-2=0
x+y+2z-3=0
Distancia del punto al plano
La distancia de un punto P(x_0,y_0,z_0) al plano Ax+By+Cz+D=0 es
d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
En este caso, el plano es
x+y+2z-3=0
y el punto es
P(1,1,2)
Sustituimos.
d=\frac{|1+1+2\cdot2-3|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}
d=\frac{|1+1+4-3|}{\sqrt{6}}
d=\frac{3}{\sqrt{6}}
Racionalizamos.
d=\frac{3\sqrt{6}}{6}
d=\frac{\sqrt{6}}{2}
Resultado del ejercicio 4
La ecuación del plano es
x+y+2z-3=0
La distancia del punto P(1,1,2) al plano es
d=\frac{\sqrt{6}}{2}
Ejercicio 5. Probabilidad con binomial y normal
Una fábrica produce piezas. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es
p=0{,}05
Se revisan cajas de 12 piezas.
Calcula la probabilidad de que una caja no tenga ninguna pieza defectuosa.
Después se distribuyen 100 cajas. Calcula aproximadamente la probabilidad de que al menos 50 cajas tengan alguna pieza defectuosa.
Apartado a
La probabilidad de que una pieza no sea defectuosa es
1-p=0{,}95
Queremos que ninguna de las 12 piezas sea defectuosa.
P(\text{ninguna defectuosa})=0{,}95^{12}
P(\text{ninguna defectuosa})\approx0{,}540
Por tanto, la probabilidad de que una caja no tenga piezas defectuosas es aproximadamente
0{,}540
Es decir,
54{,}0\%
Apartado b
Primero calculamos la probabilidad de que una caja tenga al menos una pieza defectuosa.
P(\text{al menos una defectuosa})=1-P(\text{ninguna defectuosa})
P(\text{al menos una defectuosa})=1-0{,}95^{12}
P(\text{al menos una defectuosa})\approx1-0{,}540
P(\text{al menos una defectuosa})\approx0{,}460
Sea Y el número de cajas, de las 100, que tienen al menos una pieza defectuosa.
Entonces,
Y\sim B(100,0{,}460)
Como el número de cajas es grande, aproximamos mediante una normal.
\mu=np
\mu=100\cdot0{,}460=46{,}0
\sigma=\sqrt{np(1-p)}
\sigma=\sqrt{100\cdot0{,}460\cdot0{,}540}
\sigma\approx4{,}98
Queremos calcular
P(Y\geq50)
Aplicamos corrección por continuidad.
P(Y\geq50)\approx P(Y\geq49{,}5)
Tipificamos.
Z=\frac{49{,}5-46{,}0}{4{,}98}
Z\approx0{,}70
Por tanto,
P(Y\geq50)\approx P(Z\geq0{,}70)
Usando la tabla de la normal,
P(Z\leq0{,}70)\approx0{,}758
Entonces,
P(Z\geq0{,}70)=1-0{,}758
P(Z\geq0{,}70)\approx0{,}242
Resultado del ejercicio 5
La probabilidad de que una caja no tenga piezas defectuosas es aproximadamente
0{,}540
La probabilidad de que al menos 50 cajas tengan alguna pieza defectuosa es aproximadamente
0{,}242
Es decir,
24{,}2\%
Qué debería saber hacer el alumno después de practicar este examen
- Discutir un sistema con parámetro sin quedarse solo en el determinante.
- Estudiar una función usando la derivada y el signo de la derivada.
- Calcular áreas separando intervalos cuando la función cambia de signo.
- Obtener la ecuación de un plano y aplicar correctamente la distancia punto-plano.
- Distinguir entre una probabilidad individual y una variable aleatoria binomial.
Si alguno de estos pasos no sale con seguridad, conviene reforzarlo antes del examen.
Errores frecuentes en Matemáticas II PAU/EBAU
En Matemáticas II muchos alumnos pierden puntos por errores de planteamiento o por soluciones incompletas. Estos son algunos fallos habituales.
- Calcular el determinante de un sistema con parámetro y no estudiar los valores que lo anulan.
- Encontrar los puntos críticos de una función y no estudiar el signo de la derivada.
- Confundir máximo relativo con mínimo relativo por no analizar el cambio de signo.
- Calcular una integral definida sin comprobar si la función cambia de signo.
- Confundir área geométrica con valor algebraico de una integral.
- Usar mal la fórmula de distancia de un punto a un plano.
- Mezclar la probabilidad de una pieza con la probabilidad de una caja.
- No aplicar corrección por continuidad al aproximar una binomial mediante una normal.
Cómo preparar Matemáticas II PAU/EBAU 2026 en las últimas semanas
Cuando queda poco tiempo para la PAU/EBAU, no conviene estudiar Matemáticas II de forma desordenada. Lo más eficaz suele ser trabajar ejercicios tipo examen, corregir errores y reforzar los bloques que más puntos pueden aportar.
- Leer el enunciado con calma.
- Identificar el bloque del ejercicio.
- Escribir los datos importantes.
- Elegir el método adecuado.
- Resolver paso a paso, sin saltos grandes.
- Justificar cada resultado relevante.
- Comprobar si la solución tiene sentido.
Preparación urgente de Matemáticas II
En las últimas semanas antes del examen, muchas dudas no se resuelven haciendo más ejercicios sin criterio, sino corrigiendo los errores que se repiten. Una preparación guiada puede ayudar a ordenar el trabajo, elegir ejercicios clave y reforzar los bloques más inseguros.
Clases online de Matemáticas II para Bachillerato y PAU/EBAU
Resolver un examen tipo ayuda mucho, pero la mejora real llega cuando el alumno corrige sus errores y entiende por qué se equivoca. En Matemáticas II suele haber fallos repetidos: empezar mal un sistema con parámetro, no estudiar el signo de la derivada, calcular áreas sin separar intervalos o aplicar fórmulas de probabilidad sin definir bien la variable.
En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas II para Bachillerato y PAU/EBAU con clases presenciales en Salamanca y clases online para alumnos de toda España.
Las clases se adaptan al nivel del alumno. Podemos trabajar desde dudas concretas hasta preparación completa de examen, con ejercicios reales, explicación paso a paso y seguimiento personalizado.
Este tipo de preparación es especialmente útil para alumnos que:
- entienden la teoría pero se bloquean al empezar los ejercicios;
- pierden puntos por no justificar bien los pasos;
- fallan en derivadas, integrales, sistemas, geometría o probabilidad;
- necesitan subir nota en Matemáticas II;
- quieren preparar la PAU/EBAU con una rutina clara de trabajo.
Puedes consultar más información en nuestra página de clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU.
También puedes ver la página general de clases particulares online de Matemáticas, Física y Química.
Si necesitas estudiar en una franja con más calma y concentración, también puedes consultar nuestras clases online por la mañana.
Preparar Matemáticas II PAU/EBAU Ver clases online de ciencias
Preguntas frecuentes sobre Matemáticas II PAU/EBAU
¿Este examen tipo sirve para preparar Matemáticas II PAU/EBAU 2026?
Sí. Es un examen tipo orientativo con ejercicios representativos de Matemáticas II. No sustituye a los modelos oficiales, pero ayuda a practicar bloques importantes como álgebra, análisis, integrales, geometría y probabilidad.
¿Qué ejercicios suelen costar más en Matemáticas II?
Muchos alumnos tienen dificultades con los sistemas con parámetro, el estudio completo de funciones, las áreas con integrales, la geometría en el espacio y los problemas de probabilidad con binomial y normal.
¿Cómo conviene estudiar Matemáticas II antes de la PAU/EBAU?
Lo más eficaz es trabajar por bloques, hacer ejercicios tipo examen, corregir errores y repetir procedimientos importantes. No basta con mirar soluciones: hay que aprender a justificar cada paso.
¿Merece la pena preparar Matemáticas II con clases online?
Sí, especialmente si el alumno se bloquea al empezar ejercicios, pierde puntos por falta de justificación o necesita una rutina de trabajo más clara. Las clases online permiten trabajar ejercicios en tiempo real y corregir el razonamiento paso a paso.
¿Marlu Educativa prepara Matemáticas II online?
Sí. En Marlu Educativa se prepara Matemáticas II para Bachillerato y PAU/EBAU con clases online para alumnos de toda España y clases presenciales en Salamanca.
Conclusión
Matemáticas II PAU/EBAU no se prepara solo memorizando fórmulas. Hay que practicar ejercicios completos, aprender a detectar el tipo de problema y justificar con orden cada paso.
Este examen tipo permite repasar varios bloques importantes y comprobar qué partes conviene reforzar antes de la prueba. Si al resolverlo aparecen dudas, bloqueos o errores repetidos, lo más recomendable es trabajar esos puntos con una preparación guiada.
En Marlu Educativa ayudamos a preparar Matemáticas II con método, ejercicios reales y explicación paso a paso, tanto online como presencialmente en Salamanca.
Preparar Matemáticas II PAU/EBAU Ver clases online de Matemáticas, Física y Química