Ejercicio 1. Sistema con parámetro

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro \(a\) y resuélvelo cuando sea compatible.

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+z=2\\x+y+az=1\end{cases}\]

Planteamiento

En un sistema con parámetro, el primer paso es estudiar el determinante de la matriz de coeficientes. Si el determinante no se anula, el sistema tiene solución única. Si se anula, hay que estudiar aparte esos valores del parámetro.

La matriz de coeficientes es

\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}\]

Calculamos el determinante.

\[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}\]

Desarrollamos por la primera fila.

\[|A|=1\cdot\begin{vmatrix}a&1\\1&a\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&a\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}2&a\\1&1\end{vmatrix}\]

\[|A|=(a^2-1)-(2a-1)+(2-a)\]

\[|A|=a^2-3a+2\]

\[|A|=(a-1)(a-2)\]

El determinante se anula para

\[a=1\]

y para

\[a=2\]

Caso general

Si \(a\neq1\) y \(a\neq2\), el determinante no se anula. Por tanto, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Como \(D=|A|\neq0\), ahora sí podemos aplicar la regla de Cramer. Se sustituye, una cada vez, la columna de la incógnita que queremos calcular por la columna de términos independientes.

Ya conocemos el determinante principal:

\[D=(a-1)(a-2)\]

Determinante de (x)

Para calcular \(D_x\), sustituimos la primera columna por \((1,2,1)\), que es la columna de términos independientes:

\[D_x=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}\]

En este sistema esa columna coincide con la primera columna original. Por eso, \(D_x\) es exactamente el mismo determinante que \(D\):

\[D_x=(a-1)(a-2)\]

Determinante de (y)

Para \(D_y\), sustituimos la segunda columna:

\[D_y=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&2&1\\1&1&a\end{vmatrix}\]

Desarrollamos por la primera fila:

\[D_y=1\begin{vmatrix}2&1\\1&a\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}2&1\\1&a\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}2&2\\1&1\end{vmatrix}\]

Los dos primeros menores se anulan entre sí y el último vale \(2-2=0\). Por tanto,

\[D_y=0\]

Determinante de (z)

Para \(D_z\), sustituimos la tercera columna:

\[D_z=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&2\\1&1&1\end{vmatrix}\]

La primera y la tercera fila son iguales. Un determinante con dos filas iguales vale cero:

\[D_z=0\]

Aplicamos las fórmulas de Cramer

Dividimos cada determinante auxiliar entre el determinante principal:

\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)}=1\]

\[y=\frac{D_y}{D}=\frac{0}{(a-1)(a-2)}=0\]

\[z=\frac{D_z}{D}=\frac{0}{(a-1)(a-2)}=0\]

Así, para \(a\neq1,2\), la solución única es

\[(x,y,z)=(1,0,0)\]

Comprobación rápida. Al sustituir \((1,0,0)\) en las tres ecuaciones obtenemos \(1=1\), \(2=2\) y \(1=1\). La solución es válida para cualquier valor del parámetro del caso general.

Caso a igual a 1

Sustituimos \(a=1\) en el sistema.

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+z=2\\x+y+z=1\end{cases}\]

La primera y la tercera ecuación son iguales. Restamos la primera ecuación a la segunda.

\[(2x+y+z)-(x+y+z)=2-1\]

\[x=1\]

Sustituimos en la primera ecuación.

\[1+y+z=1\]

\[y+z=0\]

\[y=-z\]

Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb{R}\). Entonces \(y=-t\).

La solución queda

\[(x,y,z)=(1,-t,t)\]

En este caso hay infinitas soluciones.

Caso a igual a 2

Sustituimos \(a=2\) en el sistema.

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+z=2\\x+y+2z=1\end{cases}\]

Restamos dos veces la primera ecuación a la segunda.

\[(2x+2y+z)-2(x+y+z)=2-2\]

\[-z=0\]

\[z=0\]

Sustituimos en la primera ecuación.

\[x+y=1\]

Con \(z=0\), la tercera ecuación también queda \(x+y=1\), y la segunda es simplemente el doble. Solo permanece una relación independiente entre \(x\) e \(y\), por lo que una de las dos puede tomarse como parámetro.

Tomamos \(y=t\), con \(t\in\mathbb{R}\). Entonces \(x=1-t\).

La solución queda

\[(x,y,z)=(1-t,t,0)\]

En este caso también hay infinitas soluciones.

Ejercicio 2. Estudio completo de una función

Dada la función

\[f(x)=x^3-3x^2+2\]

estudia su crecimiento, decrecimiento, extremos relativos y cortes con el eje X.

Derivada y puntos críticos

Calculamos la derivada.

\[f'(x)=3x^2-6x\]

Sacamos factor común.

\[f'(x)=3x(x-2)\]

Igualamos a cero.

\[3x(x-2)=0\]

De aquí obtenemos

\[x=0\]

y

\[x=2\]

Estos son los puntos críticos.

Crecimiento y decrecimiento

Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos que determinan los puntos críticos.

Para \(x\lt0\), tomamos \(x=-1\).

\[f'(-1)=3\cdot(-1)\cdot(-3)\gt0\]

La función crece en

\[(-\infty,0)\]

Para \(0\lt x\lt2\), tomamos \(x=1\).

\[f'(1)=3\cdot1\cdot(-1)\lt0\]

La función decrece en

\[(0,2)\]

Para \(x\gt2\), tomamos \(x=3\).

\[f'(3)=3\cdot3\cdot1\gt0\]

La función crece en

\[(2,+\infty)\]

Extremos relativos

Calculamos el valor de la función en los puntos críticos.

\[f(0)=0^3-3\cdot0^2+2=2\]

\[f(2)=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2\]

En \(x=0\), la función pasa de crecer a decrecer. Por tanto, hay un máximo relativo.

\[(0,2)\]

En \(x=2\), la función pasa de decrecer a crecer. Por tanto, hay un mínimo relativo.

\[(2,-2)\]

Cortes con el eje X

Para hallar los cortes con el eje X, resolvemos

\[x^3-3x^2+2=0\]

Probamos \(x=1\).

\[1^3-3\cdot1^2+2=0\]

Por tanto, \(x=1\) es una raíz. Factorizamos.

\[x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)\]

Resolvemos la ecuación de segundo grado.

\[x^2-2x-2=0\]

\[x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}\]

\[x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}\]

\[x=1\pm\sqrt{3}\]

Ejercicio 3. Integral definida y área encerrada

Calcula el área encerrada entre la función

\[f(x)=x^3-3x^2+2\]

y el eje X en el intervalo

\[[0,2]\]

Idea clave

En un ejercicio de áreas no basta con calcular una integral definida. Antes hay que comprobar si la función cambia de signo dentro del intervalo.

En el ejercicio anterior hemos visto que la función corta al eje X en \(x=1\). Como ese punto pertenece al intervalo \([0,2]\), debemos separar el cálculo en dos tramos.

En \([0,1]\), la función está por encima del eje X. En \([1,2]\), la función está por debajo.

Para comprobar el signo sin depender del ejercicio anterior, basta elegir un punto de cada tramo:

\[f(0{,}5)=0{,}5^3-3\cdot0{,}5^2+2=1{,}375>0\]

\[f(1{,}5)=1{,}5^3-3\cdot1{,}5^2+2=-1{,}375<0\]

Así sabemos por qué la primera integral se suma y por qué en el segundo tramo debemos cambiar el signo.

Por tanto,

\[A=\int_0^1 f(x)\,dx-\int_1^2 f(x)\,dx\]

Cálculo de la primitiva

Calculamos una primitiva de la función.

\[\int (x^3-3x^2+2)\,dx\]

\[F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x\]

Primer tramo

\[\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)\]

\[F(1)=\frac{1}{4}-1+2=\frac{5}{4}\]

\[F(0)=0\]

Por tanto,

\[\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{5}{4}\]

Segundo tramo

\[\int_1^2 f(x)\,dx=F(2)-F(1)\]

\[F(2)=\frac{16}{4}-8+4=0\]

\[F(1)=\frac{5}{4}\]

Entonces,

\[\int_1^2 f(x)\,dx=0-\frac{5}{4}\]

\[\int_1^2 f(x)\,dx=-\frac{5}{4}\]

Como buscamos área geométrica, tomamos el valor positivo del segundo tramo.

\[A=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}\]

\[A=\frac{10}{4}\]

\[A=\frac{5}{2}\]

Ejercicio 4. Geometría en el espacio

Dados los puntos

\[A(1,0,1),\quad B(2,1,0),\quad C(0,1,1)\]

halla la ecuación del plano que pasa por los tres puntos y calcula la distancia del punto

\[P(1,1,2)\]

a dicho plano.

Vectores del plano

Tomamos dos vectores contenidos en el plano.

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(2,1,0)-(1,0,1)\]

\[\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)\]

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(0,1,1)-(1,0,1)\]

\[\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)\]

Vector normal del plano

El vector normal del plano se obtiene mediante el producto vectorial.

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&-1\\-1&1&0\end{vmatrix}\]

Calculamos cada componente con cuidado:

\[n_x=1\cdot0-(-1)\cdot1=1\]

\[n_y=(-1)\cdot(-1)-1\cdot0=1\]

\[n_z=1\cdot1-1\cdot(-1)=2\]

Por tanto,

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,2)\]

Por tanto, un vector normal del plano es

\[\vec{n}=(1,1,2)\]

Ecuación del plano

Usamos el punto \(A(1,0,1)\) y el vector normal \(\vec{n}=(1,1,2)\).

\[1(x-1)+1(y-0)+2(z-1)=0\]

\[x-1+y+2z-2=0\]

\[x+y+2z-3=0\]

Distancia del punto al plano

La distancia de un punto \(P(x_0,y_0,z_0)\) al plano \(Ax+By+Cz+D=0\) es

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\]

En este caso, el plano es

\[x+y+2z-3=0\]

y el punto es

\[P(1,1,2)\]

Sustituimos.

\[d=\frac{|1+1+2\cdot2-3|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}\]

\[d=\frac{|1+1+4-3|}{\sqrt{6}}\]

\[d=\frac{3}{\sqrt{6}}\]

Racionalizamos.

\[d=\frac{3\sqrt{6}}{6}\]

\[d=\frac{\sqrt{6}}{2}\]

Comprobación del plano. Los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) verifican \(x+y+2z-3=0\). Por ejemplo, para \(A(1,0,1)\), se obtiene \(1+0+2-3=0\). Esta sustitución rápida ayuda a detectar un signo mal puesto en el producto vectorial.

Ejercicio 5. Probabilidad con binomial y normal

Una fábrica produce piezas. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es

\[p=0{,}05\]

Se revisan cajas de 12 piezas.

Calcula la probabilidad de que una caja no tenga ninguna pieza defectuosa.

Después se distribuyen 100 cajas. Calcula aproximadamente la probabilidad de que al menos 50 cajas tengan alguna pieza defectuosa.

Apartado a

La probabilidad de que una pieza no sea defectuosa es

\[1-p=0{,}95\]

Sea \(X\) el número de piezas defectuosas de una caja. Como se consideran 12 piezas y la probabilidad de defecto es \(0{,}05\),

\[X\sim B(12,0{,}05)\]

Que no haya ninguna defectuosa significa \(X=0\). Aplicamos la fórmula de la binomial:

\[P(X=0)=\binom{12}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{12}\]

Como \(\binom{12}{0}=1\) y \((0{,}05)^0=1\), queda

\[P(\text{ninguna defectuosa})=0{,}95^{12}\]

\[P(\text{ninguna defectuosa})\approx0{,}5404\]

Por tanto, la probabilidad de que una caja no tenga piezas defectuosas es aproximadamente

\[0{,}5404\]

Es decir,

\[54{,}04\%\]

Apartado b

Primero calculamos la probabilidad de que una caja tenga al menos una pieza defectuosa.

\[P(\text{al menos una defectuosa})=1-P(\text{ninguna defectuosa})\]

\[P(\text{al menos una defectuosa})=1-0{,}95^{12}\]

\[P(\text{al menos una defectuosa})\approx1-0{,}5404\]

Llamamos \(q\) a esta probabilidad:

\[q=1-0{,}95^{12}\approx0{,}4596\]

Sea \(Y\) el número de cajas, de las 100, que tienen al menos una pieza defectuosa.

Entonces,

\[Y\sim B(100,0{,}4596)\]

Antes de aproximar mediante una normal comprobamos que los valores esperados de éxito y fracaso son suficientemente grandes:

\[nq\approx45{,}964>5,\qquad n(1-q)\approx54{,}036>5\]

Se cumplen las condiciones habituales para utilizar la aproximación normal.

\[\mu=nq\]

\[\mu=100\cdot0{,}4596\approx45{,}964\]

\[\sigma=\sqrt{nq(1-q)}\]

\[\sigma=\sqrt{100\cdot0{,}4596\cdot0{,}5404}\]

\[\sigma\approx4{,}984\]

Trabajaremos, por tanto, con una normal de media aproximada \(45{,}964\) y desviación típica aproximada \(4{,}984\).

Queremos calcular

\[P(Y\geq50)\]

Aplicamos corrección por continuidad.

\[P(Y\geq50)\approx P(Y\geq49{,}5)\]

Tipificamos.

\[Z=\frac{49{,}5-45{,}964}{4{,}984}\]

\[Z\approx0{,}71\]

Por tanto,

\[P(Y\geq50)\approx P(Z\geq0{,}71)\]

Usando la tabla de la normal,

\[P(Z\leq0{,}71)\approx0{,}7611\]

Entonces,

\[P(Z\geq0{,}71)=1-0{,}7611\]

\[P(Z\geq0{,}71)\approx0{,}2389\]

Comprobación de sentido. El número medio de cajas con alguna pieza defectuosa es aproximadamente \(46\). Pedir al menos \(50\) está algo por encima de la media, de modo que una probabilidad cercana al \(24\%\) resulta razonable.