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Probabilidad 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Probabilidad · 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
Probabilidad 4.º ESO y 1.º de Bachillerato: ejercicios resueltos paso a paso
La probabilidad no consiste en adivinar. Consiste en traducir bien el enunciado, contar los casos posibles y decidir qué relación hay entre los sucesos antes de operar.
El cuaderno avanza desde Laplace, los sucesos y las urnas hasta los árboles y la independencia. La condicionada se introduce de forma guiada y el tramo final abre un puente breve hacia 2.º, sin invadir distribuciones ni preparación PAU.
Un método de seis pasos para no perderse
Separa datos, pregunta y condición.
Lista, tabla, árbol o diagrama.
“Y”, “o”, “no” y “sabiendo que”.
Con o sin devolución; dependencia.
Multiplica caminos y suma alternativas.
El resultado debe estar entre 0 y 1.
1. Qué es la probabilidad
La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso. Se expresa con un número entre 0 y 1, aunque también puede escribirse como fracción, decimal o porcentaje.
Probabilidad 0
El suceso es imposible.
\[ P(A)=0 \]Probabilidad entre 0 y 1
El suceso puede ocurrir, pero no es seguro.
\[ 0\lt P(A)\lt 1 \]Probabilidad 1
El suceso es seguro.
\[ P(A)=1 \]Porcentaje
Una probabilidad de 0,25 equivale al 25 %.
\[ 0{,}25=25\% \]Idea clave
Antes de calcular hay que identificar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el suceso que nos piden. Si esa traducción está mal, la fórmula no puede arreglar el ejercicio.
| Concepto | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Experimento aleatorio | No sabemos con seguridad qué resultado saldrá | Lanzar un dado |
| Espacio muestral | Conjunto de todos los resultados posibles | \(\Omega=\{1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6\}\) |
| Suceso | Parte del espacio muestral | Sacar par: \(A=\{2{,}4{,}6\}\) |
| Suceso complementario | Lo contrario de que ocurra el suceso | No sacar par: \(\overline{A}=\{1{,}3{,}5\}\) |
2. Regla de Laplace
La regla de Laplace se usa cuando todos los casos son igual de probables. Es la fórmula más importante al empezar probabilidad.
Se lanza un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de sacar un número par.
Espacio muestral:
\[ \Omega=\{1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6\} \]Suceso sacar par:
\[ A=\{2{,}4{,}6\} \]Casos favorables: 3. Casos posibles: 6.
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\% \]Resultado: la probabilidad es \(1/2\)
Una urna tiene 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que sea roja.
Total de bolas:
\[ 5+3+2=10 \]Casos favorables: 5 bolas rojas.
\[ P(\text{roja})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \]Resultado: la probabilidad es \(1/2\)
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta. Calcula la probabilidad de sacar un oro.
En la baraja española hay 10 oros de 40 cartas.
\[ P(\text{oro})=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=25\% \]Resultado: la probabilidad es \(1/4\)
Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor que 4.
Resultados mayores que 4:
\[ \{5{,}6\} \] \[ P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]Resultado: la probabilidad es \(1/3\)
Atención
Laplace solo se aplica directamente cuando todos los resultados son equiprobables. Si una urna tiene más bolas rojas que verdes, los colores no son igual de probables.
3. Sucesos, unión, intersección y complementario
En probabilidad muchas preguntas combinan sucesos. Aparecen expresiones como que ocurra A o B, que ocurra A y B, o que no ocurra A.
Unión
Ocurre A o ocurre B.
\[ A \cup B \]Intersección
Ocurren A y B a la vez.
\[ A \cap B \]Complementario
No ocurre A.
\[ \overline{A} \]La probabilidad de que un alumno apruebe un examen es 0,72. Calcula la probabilidad de que no apruebe.
Resultado: 0,28, es decir, 28 %
En una clase, el 60 % estudia inglés, el 35 % estudia francés y el 20 % estudia ambos idiomas. Calcula la probabilidad de que un alumno estudie inglés o francés.
Resultado: 0,75, es decir, 75 %
Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que sea oro o copa.
Una carta no puede ser oro y copa a la vez. Son sucesos incompatibles.
\[ P(\text{oro o copa})=P(\text{oro})+P(\text{copa}) \] \[ P=\frac{10}{40}+\frac{10}{40}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2} \]Resultado: la probabilidad es \(1/2\)
Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de sacar un número par o mayor que 4.
Suceso A: sacar par.
\[ A=\{2{,}4{,}6\} \]Suceso B: sacar mayor que 4.
\[ B=\{5{,}6\} \]Unión:
\[ A\cup B=\{2{,}4{,}5{,}6\} \] \[ P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]Resultado: \(2/3\)
4. Dados, cartas y urnas
Dados, cartas y urnas aparecen mucho porque permiten trabajar casos equiprobables, recuentos y sucesos compuestos.
Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 7.
Al lanzar dos dados hay:
\[ 6\cdot 6=36 \]resultados posibles.
Casos favorables:
\[ (1{,}6),(2{,}5),(3{,}4),(4{,}3),(5{,}2),(6{,}1) \]Hay 6 casos favorables.
\[ P(\text{suma }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \]Resultado: \(1/6\)
Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea mayor que 9.
Casos posibles:
\[ 36 \]Sumas mayores que 9: 10, 11 y 12.
Suma 10:
\[ (4{,}6),(5{,}5),(6{,}4) \]Suma 11:
\[ (5{,}6),(6{,}5) \]Suma 12:
\[ (6{,}6) \]Casos favorables:
\[ 3+2+1=6 \] \[ P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \]Resultado: \(1/6\)
Una urna tiene 4 bolas rojas, 5 azules y 3 verdes. Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que no sea azul.
Total de bolas:
\[ 4+5+3=12 \]No azul significa roja o verde.
\[ 4+3=7 \] \[ P(\text{no azul})=\frac{7}{12} \]Resultado: \(7/12\)
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta. Calcula la probabilidad de que sea figura.
En cada palo hay 3 figuras: sota, caballo y rey.
Hay 4 palos.
\[ 3\cdot 4=12 \] \[ P(\text{figura})=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} \]Resultado: \(3/10\)
5. Diagramas de árbol
Los diagramas de árbol son muy útiles cuando hay varias etapas. Cada rama representa una posibilidad y las probabilidades de un camino se multiplican.
Se lanza una moneda dos veces. Calcula la probabilidad de obtener dos caras.
Cada lanzamiento tiene probabilidad \(1/2\) de cara.
\[ P(\text{cara y cara})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]Resultado: \(1/4\)
Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extrae una bola, se devuelve y se extrae otra. Calcula la probabilidad de sacar dos rojas.
Total de bolas:
\[ 3+2=5 \]Como hay devolución, la urna queda igual en la segunda extracción.
\[ P(RR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25} \]Resultado: \(9/25\)
Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen dos bolas sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de sacar dos rojas.
Primera roja:
\[ \frac{3}{5} \]Después de sacar una roja, quedan 2 rojas de 4 bolas.
\[ \frac{2}{4} \] \[ P(RR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10} \]Resultado: \(3/10\)
Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen dos bolas sin devolución. Calcula la probabilidad de obtener una roja y una azul, sin importar el orden.
Puede ocurrir roja y azul, o azul y roja.
\[ P(RA)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20} \] \[ P(AR)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20} \] \[ P(\text{una roja y una azul})=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5} \]Resultado: \(3/5\)
6. Sucesos dependientes e independientes
Dos sucesos son independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Son dependientes si el primer resultado modifica lo que puede ocurrir después.
Independientes
El primer suceso no cambia la probabilidad del segundo.
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]Dependientes
El primer suceso cambia la probabilidad del segundo.
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A) \]Se lanza una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtener cara y un 6.
El resultado de la moneda no afecta al resultado del dado.
\[ P(\text{cara})=\frac{1}{2} \] \[ P(6)=\frac{1}{6} \] \[ P(\text{cara y 6})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12} \]Resultado: \(1/12\)
Una urna tiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extraen dos bolas sin devolución. Calcula la probabilidad de que ambas sean blancas.
Primera blanca:
\[ \frac{5}{8} \]Segunda blanca después de haber sacado una blanca:
\[ \frac{4}{7} \] \[ P(BB)=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14} \]Resultado: \(5/14\)
Se sabe que \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) y \(P(A\cap B)=0{,}2\). Comprueba si A y B son independientes.
Si fueran independientes, tendría que cumplirse:
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \] \[ P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2 \]Como coincide con \(P(A\cap B)\), son independientes.
Resultado: A y B son independientes
7. Probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada mide la probabilidad de un suceso cuando ya conocemos otra información. Aquí se presenta de forma intuitiva, con tablas y cartas, como preparación para el trabajo más sistemático de 2.º de Bachillerato.
En una clase hay 30 alumnos. 18 practican deporte, 12 no practican deporte. De los que practican deporte, 10 aprueban Matemáticas. De los que no practican deporte, 4 aprueban Matemáticas.
Si elegimos un alumno que practica deporte, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe Matemáticas?
La condición es que el alumno practica deporte. Por tanto, solo miramos ese grupo.
Alumnos que practican deporte:
\[ 18 \]Alumnos que practican deporte y aprueban:
\[ 10 \] \[ P(\text{aprueba}\mid \text{deporte})=\frac{10}{18}=\frac{5}{9} \]Resultado: \(5/9\)
En una clase se obtiene la siguiente tabla.
| Grupo | Aprueba | No aprueba | Total |
|---|---|---|---|
| Estudia a diario | 14 | 3 | 17 |
| No estudia a diario | 6 | 7 | 13 |
| Total | 20 | 10 | 30 |
Calcula la probabilidad de que un alumno estudie a diario sabiendo que ha aprobado.
La condición es ha aprobado. Miramos la columna de aprobados.
Total de aprobados:
\[ 20 \]Aprobados que estudian a diario:
\[ 14 \] \[ P(\text{estudia a diario}\mid \text{aprueba})=\frac{14}{20}=\frac{7}{10} \]Resultado: \(7/10\)
De una baraja española se extrae una carta. Sabiendo que es una figura, calcula la probabilidad de que sea rey.
En una baraja española hay 12 figuras: sota, caballo y rey de cada palo.
Hay 4 reyes.
\[ P(\text{rey}\mid \text{figura})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]Resultado: \(1/3\)
8. Ampliación: probabilidad total y primer contacto con Bayes
Esta sección es una ampliación voluntaria hacia 2.º de Bachillerato. La probabilidad total reúne varios caminos posibles y Bayes recorre el árbol en sentido inverso. Basta con comprender la estructura; el desarrollo completo pertenece al recurso avanzado.
En una academia, el 60 % de los alumnos estudia online y el 40 % estudia presencial. Aprueba el 80 % de los online y el 70 % de los presenciales. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe.
Hay dos caminos para aprobar: ser online y aprobar, o ser presencial y aprobar.
\[ P(A)=0{,}60\cdot0{,}80+0{,}40\cdot0{,}70 \] \[ P(A)=0{,}48+0{,}28=0{,}76 \]Resultado: la probabilidad de aprobar es 0,76, es decir, 76 %
Con los datos del ejercicio anterior, si sabemos que un alumno ha aprobado, calcula la probabilidad de que estudiara online.
Queremos:
\[ P(\text{online}\mid \text{aprueba}) \]Usamos:
\[ P(\text{online}\mid \text{aprueba})=\frac{P(\text{online})\cdot P(\text{aprueba}\mid \text{online})}{P(\text{aprueba})} \] \[ P(\text{online}\mid \text{aprueba})=\frac{0{,}60\cdot0{,}80}{0{,}76} \] \[ P(\text{online}\mid \text{aprueba})=\frac{0{,}48}{0{,}76}=0{,}632 \]Resultado: aproximadamente 63,2 %
Idea para el paso a 2.º de Bachillerato
Bayes suele parecer difícil porque cambia la dirección de la pregunta. Una cosa es la probabilidad de aprobar si estudias online, y otra distinta es la probabilidad de ser online si sabemos que has aprobado.
9. Ejercicios resueltos tipo examen
Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto sea par.
El producto es impar solo si los dos dados son impares.
En un dado hay 3 impares: 1, 3 y 5.
\[ P(\text{ambos impares})=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{4} \]Por complementario:
\[ P(\text{producto par})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]Resultado: \(3/4\)
Se lanzan tres monedas. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.
Es más fácil usar el complementario. Lo contrario de al menos una cara es ninguna cara.
Ninguna cara significa tres cruces.
\[ P(\text{tres cruces})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \] \[ P(\text{al menos una cara})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} \]Resultado: \(7/8\)
Una urna tiene 6 bolas blancas y 4 negras. Se extraen dos bolas sin devolución. Calcula la probabilidad de que sean de distinto color.
Puede salir blanca y negra, o negra y blanca.
\[ P(BN)=\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{24}{90} \] \[ P(NB)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{24}{90} \] \[ P(\text{distinto color})=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15} \]Resultado: \(8/15\)
De una baraja española se extrae una carta. Sabiendo que es de oros, calcula la probabilidad de que sea figura.
Si sabemos que es de oros, solo miramos las 10 cartas de oros.
Figuras de oros: sota, caballo y rey. Hay 3.
\[ P(\text{figura}\mid \text{oros})=\frac{3}{10} \]Resultado: \(3/10\)
En un grupo de 50 alumnos, 30 estudian inglés, 20 estudian francés y 12 estudian ambos. Calcula la probabilidad de que un alumno estudie al menos uno de los dos idiomas.
En número de alumnos:
\[ 30+20-12=38 \] \[ P(I\cup F)=\frac{38}{50}=\frac{19}{25}=0{,}76 \]Resultado: 0,76, es decir, 76 %
Con los datos anteriores, calcula la probabilidad de que un alumno no estudie ninguno de los dos idiomas.
Estudian al menos uno:
\[ 38 \]No estudian ninguno:
\[ 50-38=12 \] \[ P(\text{ninguno})=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}=0{,}24 \]Resultado: 24 %
Con los datos anteriores, si sabemos que un alumno estudia inglés, calcula la probabilidad de que también estudie francés.
La condición es estudiar inglés. Hay 30 alumnos que estudian inglés.
De ellos, 12 estudian también francés.
\[ P(F\mid I)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0{,}4 \]Resultado: 40 %
El 70 % de los alumnos de un centro usa transporte público. De los que usan transporte público, el 60 % llega antes de las 8:15. De los que no lo usan, el 80 % llega antes de las 8:15. Calcula la probabilidad de que un alumno llegue antes de las 8:15.
Hay dos caminos: usa transporte y llega antes, o no usa transporte y llega antes.
\[ P(A)=0{,}70\cdot0{,}60+0{,}30\cdot0{,}80 \] \[ P(A)=0{,}42+0{,}24=0{,}66 \]Resultado: 66 %
Con los datos anteriores, si un alumno ha llegado antes de las 8:15, calcula la probabilidad de que use transporte público.
Resultado: aproximadamente 63,6 %
Una urna tiene 8 bolas rojas y 2 azules. Se extraen 3 bolas con devolución. Calcula la probabilidad de obtener al menos una azul.
Es más fácil calcular el complementario: ninguna azul, es decir, tres rojas.
\[ P(RRR)=\frac{8}{10}\cdot\frac{8}{10}\cdot\frac{8}{10}=0{,}512 \] \[ P(\text{al menos una azul})=1-0{,}512=0{,}488 \]Resultado: 0,488, es decir, 48,8 %
De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sin devolución. Calcula la probabilidad de que ambas sean oros.
Primera carta de oros:
\[ \frac{10}{40} \]Segunda carta de oros después de haber sacado un oro:
\[ \frac{9}{39} \] \[ P=\frac{10}{40}\cdot\frac{9}{39}=\frac{90}{1560}=\frac{3}{52} \]Resultado: \(3/52\)
De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sin devolución. Calcula la probabilidad de obtener exactamente una carta de oros.
Puede salir oro y no oro, o no oro y oro.
\[ P(O\overline{O})=\frac{10}{40}\cdot\frac{30}{39} \] \[ P(\overline{O}O)=\frac{30}{40}\cdot\frac{10}{39} \] \[ P=\frac{300}{1560}+\frac{300}{1560}=\frac{600}{1560}=\frac{5}{13} \]Resultado: \(5/13\)
10. Ejercicios para practicar probabilidad
Intenta resolver estos ejercicios antes de mirar la solución. En cada uno escribe primero si usarás Laplace, complementario, árbol, condicionada, probabilidad total o Bayes.
Ejercicios 1 a 10
- Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de sacar un número impar.
- Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de sacar un número menor que 5.
- Una urna tiene 4 bolas rojas y 6 azules. Calcula la probabilidad de sacar una roja.
- Una baraja española tiene 40 cartas. Calcula la probabilidad de sacar una copa.
- Se lanzan dos monedas. Calcula la probabilidad de obtener dos caras.
- Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 8.
- Se lanzan tres monedas. Calcula la probabilidad de obtener tres cruces.
- Se lanzan tres monedas. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.
- Una urna tiene 5 blancas y 5 negras. Se extraen dos con devolución. Calcula la probabilidad de dos blancas.
- Una urna tiene 5 blancas y 5 negras. Se extraen dos sin devolución. Calcula la probabilidad de dos blancas.
Ejercicios 11 a 20
- En una clase, \(P(A)=0{,}6\). Calcula \(P(\overline{A})\).
- Si \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) y \(P(A\cap B)=0{,}1\), calcula \(P(A\cup B)\).
- En una urna hay 3 rojas, 4 azules y 5 verdes. Calcula la probabilidad de no sacar verde.
- De una baraja española se extrae una carta. Calcula la probabilidad de que sea figura.
- Se extraen dos cartas sin devolución. Calcula la probabilidad de que ambas sean figuras.
- Se extraen dos bolas de una urna con 6 rojas y 4 negras sin devolución. Calcula la probabilidad de una de cada color.
- En una clase, 12 de 30 alumnos estudian francés. Calcula la probabilidad de que un alumno no estudie francés.
- El 80 % de un grupo aprueba Matemáticas. Elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que suspenda.
- Una prueba tiene probabilidad de acierto 0,7. Calcula la probabilidad de fallar dos veces seguidas.
- Si \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}8\) y son independientes, calcula \(P(A\cap B)\).
Ejercicios 21 a 30 · base y transición
Los ejercicios 21–24 trabajan la transición; 23 y 24 son ampliación. Del 25 al 30 se vuelve a la base del cuaderno.
- En una tabla, 18 alumnos practican deporte y 12 no. De los deportistas, 15 aprueban. Calcula \(P(\text{aprueba}\mid \text{deporte})\).
- En una clase hay 20 aprobados y 10 suspensos. De los aprobados, 14 estudian a diario. Calcula \(P(\text{estudia}\mid \text{aprueba})\).
- El 55 % de los alumnos estudia online y aprueba el 80 % de ellos. El 45 % estudia presencial y aprueba el 70 %. Calcula la probabilidad total de aprobar.
- Con los datos anteriores, si un alumno ha aprobado, calcula la probabilidad de que estudiara online.
- Se lanza un dado y una moneda. Calcula la probabilidad de cara y número par.
- Se extraen dos cartas con devolución. Calcula la probabilidad de que las dos sean oros.
- Se extraen dos cartas sin devolución. Calcula la probabilidad de que ninguna sea oro.
- Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de sacar dobles.
- Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 2 o 12.
- Una urna tiene 2 rojas, 3 azules y 5 verdes. Se extraen dos con devolución. Calcula la probabilidad de dos verdes.
Antes de mirar las respuestas
- Escribe el espacio muestral si el ejercicio es pequeño.
- Comprueba si hay devolución o no.
- Si aparece al menos, piensa en el complementario.
- Si aparece sabiendo que, usa probabilidad condicionada.
- Si hay varios caminos, piensa en árbol o probabilidad total.
11. Soluciones de los ejercicios para practicar
| Ejercicio | Solución breve |
|---|---|
| 1 | \(3/6=1/2\) |
| 2 | \(4/6=2/3\) |
| 3 | \(4/10=2/5\) |
| 4 | \(10/40=1/4\) |
| 5 | \(1/2\cdot1/2=1/4\) |
| 6 | \(5/36\) |
| 7 | \(1/8\) |
| 8 | \(1-1/8=7/8\) |
| 9 | \(5/10\cdot5/10=1/4\) |
| 10 | \(5/10\cdot4/9=2/9\) |
| 11 | \(1-0{,}6=0{,}4\) |
| 12 | \(0{,}4+0{,}5-0{,}1=0{,}8\) |
| 13 | \(7/12\) |
| 14 | \(12/40=3/10\) |
| 15 | \(12/40\cdot11/39=11/130\) |
| 16 | \(6/10\cdot4/9+4/10\cdot6/9=8/15\) |
| 17 | \(18/30=3/5\) |
| 18 | \(0{,}2\) |
| 19 | \(0{,}3\cdot0{,}3=0{,}09\) |
| 20 | \(0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24\) |
| 21 | \(15/18=5/6\) |
| 22 | \(14/20=7/10\) |
| 23 | \(0{,}55\cdot0{,}80+0{,}45\cdot0{,}70=0{,}755\) |
| 24 | \((0{,}55\cdot0{,}80)/0{,}755=0{,}583\) |
| 25 | \(1/2\cdot3/6=1/4\) |
| 26 | \(10/40\cdot10/40=1/16\) |
| 27 | \(30/40\cdot29/39=29/52\) |
| 28 | \(6/36=1/6\) |
| 29 | \(2/36=1/18\) |
| 30 | \(5/10\cdot5/10=1/4\) |
12. Errores frecuentes en probabilidad
Error 1. Aplicar Laplace sin casos equiprobables
Laplace solo se usa directamente cuando todos los casos posibles tienen la misma probabilidad.
Error 2. Confundir con devolución y sin devolución
Con devolución las probabilidades se mantienen. Sin devolución cambian.
Error 3. No sumar los caminos posibles
Si puede ocurrir roja-azul o azul-roja, hay que sumar los dos caminos.
Error 4. No usar el complementario cuando conviene
Al menos una cara suele resolverse mejor como 1 menos ninguna cara.
Error 5. Confundir A dado B con B dado A
\(P(A\mid B)\) no es lo mismo que \(P(B\mid A)\).
Error 6. Olvidar restar la intersección
En \(P(A\cup B)\), si los sucesos pueden coincidir, hay que restar \(P(A\cap B)\).
Error 7. Multiplicar cuando habría que sumar
En general, y lleva a multiplicar. O lleva a sumar, cuidando si hay intersección.
Error 8. No interpretar el resultado
Una probabilidad de 0,76 significa 76 %, no 0,76 %.
Control final antes de entregar
- Identifica el experimento aleatorio.
- Escribe los casos posibles si el ejercicio lo permite.
- Comprueba si hay devolución.
- Decide si los sucesos son compatibles o incompatibles.
- Si aparece al menos, revisa si conviene usar el complementario.
- Si aparece sabiendo que, usa probabilidad condicionada.
- Si hay varios caminos, suma las probabilidades de los caminos.
- Comprueba que el resultado está entre 0 y 1.
13. Examen final graduado: base y ampliación
Instrucciones
Tiempo recomendado: 45 a 55 minutos.
Bloque principal E1–E6: 8 puntos. Ampliación E7–E8: 2 puntos orientativos.
En cada ejercicio debe aparecer planteamiento, cálculo e interpretación del resultado. La ampliación no se considera contenido básico de 4.º ni de 1.º.
Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de sacar un número primo.
Números primos en un dado: 2, 3 y 5.
\[ P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]Resultado: \(1/2\)
Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 9.
Casos favorables:
\[ (3{,}6),(4{,}5),(5{,}4),(6{,}3) \] \[ P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9} \]Resultado: \(1/9\)
Una urna contiene 4 bolas rojas y 6 azules. Se extraen dos bolas sin devolución. Calcula la probabilidad de que ambas sean azules.
Resultado: \(1/3\)
Con la urna anterior, se extraen dos bolas con devolución. Calcula la probabilidad de obtener al menos una roja.
Usamos el complementario: ninguna roja, es decir, dos azules.
\[ P(AA)=\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}=0{,}36 \] \[ P(\text{al menos una roja})=1-0{,}36=0{,}64 \]Resultado: 0,64, es decir, 64 %
En una clase, el 50 % juega al fútbol, el 40 % juega al baloncesto y el 15 % juega a ambos. Calcula la probabilidad de que un alumno juegue al fútbol o al baloncesto.
Resultado: 75 %
En una clase de 30 alumnos, 18 aprueban Matemáticas. De esos 18, 12 estudian a diario. Si elegimos un alumno aprobado, calcula la probabilidad de que estudie a diario.
Resultado: \(2/3\)
El 40 % de los alumnos prepara un examen con profesor y aprueba el 90 % de ellos. El 60 % lo prepara solo y aprueba el 65 %. Calcula la probabilidad total de aprobar.
Resultado: 75 %
Con los datos anteriores, si un alumno ha aprobado, calcula la probabilidad de que haya preparado el examen con profesor.
Resultado: 48 %
Corrección orientativa
7–8 puntos en el bloque principal: base sólida para continuar.
5–6 puntos: conviene revisar devolución, intersecciones, complementario y lectura de árboles.
Menos de 5 puntos: vuelve a Laplace y a los sucesos básicos antes de avanzar.
9–10 puntos contando la ampliación: ya puedes acercarte al tratamiento de 2.º con buen criterio.
Preguntas frecuentes sobre probabilidad en 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
¿Qué es la regla de Laplace?
La regla de Laplace dice que la probabilidad de un suceso es el número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles, siempre que todos los casos sean igual de probables.
¿Cuándo se usa un diagrama de árbol?
Se usa un diagrama de árbol cuando el experimento tiene varias etapas, como extraer dos bolas, lanzar varias monedas o combinar varias decisiones.
¿Qué diferencia hay entre con devolución y sin devolución?
Con devolución, el objeto vuelve al conjunto y las probabilidades se mantienen. Sin devolución, el conjunto cambia y las probabilidades posteriores también cambian.
¿Qué significa probabilidad condicionada?
Es la probabilidad de que ocurra un suceso sabiendo que otro suceso ya ha ocurrido.
¿Cuándo conviene usar el complementario?
Conviene usarlo cuando el enunciado dice al menos uno, como mínimo uno o no ocurre ninguno, porque a veces es más corto calcular lo contrario.
¿Qué diferencia hay entre sucesos independientes y dependientes?
Son independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Son dependientes si el primer resultado modifica la probabilidad del segundo.
Probabilidad: contar bien antes de calcular
La probabilidad se entiende cuando se aprende a leer el enunciado. No es lo mismo sacar dos bolas con devolución que sin devolución. No es lo mismo pedir una roja y una azul en ese orden que pedir una de cada color. No es lo mismo \(P(A\mid B)\) que \(P(B\mid A)\).
Por eso este recurso insiste en el razonamiento paso a paso: casos posibles, casos favorables, caminos del árbol, complementario, condicionada y comprobación del resultado.
Cuando hace falta corregir el proceso, no solo el resultado
Si el problema está en interpretar los enunciados, elegir el método o mantener una rutina, se puede trabajar el bloque con ejercicios corregidos y seguimiento. La opción principal para este nivel es Matemáticas online de Bachillerato; la franja de mañana y la prematrícula permiten valorar el horario y el punto de partida.