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Divisibilidad ESO ejercicios resueltos paso a paso MCD mcm y números primos
Divisibilidad ESO ejercicios resueltos paso a paso
La divisibilidad parece un tema sencillo, pero cuando no está bien entendida aparecen problemas en fracciones, operaciones combinadas, ecuaciones, álgebra, factorización y proporcionalidad. Por eso conviene dominarla con calma: múltiplos, divisores, criterios de divisibilidad, números primos, descomposición factorial, MCD y mcm.
En este recurso se trabaja paso a paso, con ejercicios progresivos, problemas reales, errores frecuentes, signos con paréntesis y un examen final completo. Está pensado para 1 ESO y 2 ESO, y también para alumnos de 3 ESO que necesitan reforzar la base.
Índice del recurso
- Qué es la divisibilidad y por qué es tan importante
- Múltiplos y divisores
- Criterios de divisibilidad
- Números primos y compuestos
- Descomposición factorial
- Máximo común divisor MCD
- Mínimo común múltiplo mcm
- Problemas reales de MCD y mcm
- Signos, paréntesis y el más por menos
- Ejercicios resueltos tipo examen
- Divisibilidad aplicada a fracciones
- Cómo decidir si usar MCD o mcm
- Ejercicios para practicar
- Soluciones de la práctica
- Errores frecuentes
- Examen final de divisibilidad ESO
- Preguntas frecuentes
1. Qué es la divisibilidad y por qué es tan importante
Decimos que un número es divisible entre otro cuando la división es exacta, es decir, cuando el resto es 0. Por ejemplo, 24 es divisible entre 6 porque:
La división es exacta y no sobra nada.
La divisibilidad está detrás de muchas partes de Matemáticas. Si un alumno no distingue bien múltiplos, divisores, números primos, MCD y mcm, después suele bloquearse con fracciones, simplificación, mínimo común denominador y factorización.
Para fracciones
Sirve para simplificar y encontrar denominadores comunes.
Para ecuaciones
Ayuda a quitar denominadores y ordenar operaciones.
Para álgebra
Prepara la factorización y el trabajo con expresiones.
Para problemas
Permite resolver repartos, coincidencias, grupos y ciclos.
Idea de profesor
No hay que estudiar MCD y mcm como recetas separadas. Hay que entender qué pregunta hace el problema: si busca repartir en grupos iguales, suele aparecer MCD; si busca una coincidencia futura, suele aparecer mcm.
2. Múltiplos y divisores
Múltiplos
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por 0, 1, 2, 3, 4...
\[ 6,12,18,24,30... \]Divisores
Los divisores de un número son los números que lo dividen exactamente.
\[ D(12)=\{1,2,3,4,6,12\} \]Diferencia importante
Los múltiplos van hacia arriba y son infinitos. Los divisores de un número concreto son finitos.
Escribe los 8 primeros múltiplos positivos de 7.
Multiplicamos 7 por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
\[ 7,14,21,28,35,42,49,56 \]Resultado: los 8 primeros múltiplos positivos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 y 56
¿Es 84 múltiplo de 6?
Dividimos 84 entre 6.
\[ 84/6=14 \]Como la división es exacta, 84 sí es múltiplo de 6.
Resultado: sí, 84 es múltiplo de 6
Calcula todos los divisores de 18.
Probamos los números que dividen exactamente a 18.
\[ 18/1=18 \] \[ 18/2=9 \] \[ 18/3=6 \] \[ 18/6=3 \] \[ 18/9=2 \] \[ 18/18=1 \]Resultado: \(D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}\)
Calcula todos los divisores de 36.
Buscamos parejas de números cuyo producto sea 36.
\[ 1\cdot36=36 \] \[ 2\cdot18=36 \] \[ 3\cdot12=36 \] \[ 4\cdot9=36 \] \[ 6\cdot6=36 \]Resultado: \(D(36)=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\)
Completa mentalmente: 8 es divisor de 40 y 40 es múltiplo de 8. Explica por qué.
Como 8 divide exactamente a 40, 8 es divisor de 40.
Como 40 se obtiene multiplicando 8 por 5, 40 es múltiplo de 8.
3. Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad permiten saber si un número se puede dividir exactamente entre otro sin hacer toda la división.
| Divisible entre | Criterio | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | Termina en cifra par | 348 es divisible entre 2 |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 123 porque \(1+2+3=6\) |
| 4 | Sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 | 1316 porque 16 es múltiplo de 4 |
| 5 | Termina en 0 o 5 | 275 es divisible entre 5 |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 729 porque \(7+2+9=18\) |
| 10 | Termina en 0 | 450 es divisible entre 10 |
| 11 | La diferencia entre la suma de cifras alternas es 0 o múltiplo de 11 | 121 porque \((1+1)-2=0\) |
Indica si 3450 es divisible entre 2, 5 y 10.
Termina en 0, por tanto es divisible entre 2.
Termina en 0, por tanto es divisible entre 5.
Termina en 0, por tanto es divisible entre 10.
Resultado: 3450 es divisible entre 2, 5 y 10
¿Es 738 divisible entre 3?
Sumamos sus cifras.
\[ 7+3+8=18 \]Como 18 es múltiplo de 3, 738 es divisible entre 3.
Resultado: sí, 738 es divisible entre 3
¿Es 1548 divisible entre 9?
Sumamos sus cifras.
\[ 1+5+4+8=18 \]Como 18 es múltiplo de 9, 1548 es divisible entre 9.
Resultado: sí, 1548 es divisible entre 9
¿Es 2316 divisible entre 4?
Miramos las dos últimas cifras.
\[ 16 \]Como 16 es múltiplo de 4, 2316 es divisible entre 4.
Resultado: sí, 2316 es divisible entre 4
Comprueba si 2728 es divisible entre 11.
Sumamos cifras alternas.
\[ 2+2=4 \] \[ 7+8=15 \]Calculamos la diferencia.
\[ 15-4=11 \]Como 11 es múltiplo de 11, 2728 es divisible entre 11.
Resultado: sí, 2728 es divisible entre 11
¿Es 426 divisible entre 2 y entre 3?
Termina en 6, luego es divisible entre 2.
Sumamos cifras:
\[ 4+2+6=12 \]Como 12 es múltiplo de 3, también es divisible entre 3.
Resultado: 426 es divisible entre 2 y entre 3
¿Es 426 divisible entre 6?
Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3.
En el ejercicio anterior vimos que 426 es divisible entre 2 y entre 3.
Resultado: sí, 426 es divisible entre 6
4. Números primos y compuestos
Un número primo tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo. Un número compuesto tiene más de dos divisores.
Número primo
Solo tiene dos divisores.
\[ 7: 1,7 \]Número compuesto
Tiene más de dos divisores.
\[ 12: 1,2,3,4,6,12 \]El número 1
No es primo ni compuesto.
Primos importantes
Conviene reconocer rápidamente estos primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
¿Es 17 un número primo?
Probamos divisores pequeños. No es divisible entre 2, 3 ni 5.
Sus únicos divisores son 1 y 17.
Resultado: 17 es primo
¿Es 21 un número primo?
Como 21 tiene divisores distintos de 1 y 21, no es primo.
Resultado: 21 es compuesto
Clasifica como primos o compuestos: 2, 9, 13, 25, 31, 39.
2 es primo.
9 es compuesto porque \(9=3\cdot3\).
13 es primo.
25 es compuesto porque \(25=5\cdot5\).
31 es primo.
39 es compuesto porque \(39=3\cdot13\).
5. Descomposición factorial
Descomponer un número en factores primos significa escribirlo como producto de números primos. Esta parte es esencial para calcular MCD y mcm con seguridad.
Descompón 24 en factores primos.
Por tanto:
\[ 24=2\cdot2\cdot2\cdot3=2^3\cdot3 \]Resultado: \(24=2^3\cdot3\)
Descompón 36 en factores primos.
Resultado: \(36=2^2\cdot3^2\)
Descompón 90 en factores primos.
Resultado: \(90=2\cdot3^2\cdot5\)
Descompón 120 en factores primos.
Resultado: \(120=2^3\cdot3\cdot5\)
Error típico
No se debe parar la descomposición hasta que todos los factores sean primos. Por ejemplo, escribir \(36=4\cdot9\) no es una descomposición factorial completa, porque 4 y 9 no son primos.
6. Máximo común divisor MCD
El MCD de varios números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Se usa mucho en repartos en grupos iguales, simplificación de fracciones y problemas de agrupación.
Para calcular el MCD con factores primos:
Se toman los factores comunes con menor exponente.
Calcula el MCD de 24 y 36.
Descomponemos:
\[ 24=2^3\cdot3 \] \[ 36=2^2\cdot3^2 \]Factores comunes con menor exponente:
\[ 2^2\cdot3=4\cdot3=12 \]Resultado: \(MCD(24,36)=12\)
Calcula el MCD de 45 y 60.
Comunes con menor exponente:
\[ 3\cdot5=15 \]Resultado: \(MCD(45,60)=15\)
Calcula el MCD de 48, 72 y 96.
Comunes con menor exponente:
\[ 2^3\cdot3=8\cdot3=24 \]Resultado: \(MCD(48,72,96)=24\)
Simplifica la fracción \(36/60\).
Calculamos el MCD de 36 y 60.
\[ 36=2^2\cdot3^2 \] \[ 60=2^2\cdot3\cdot5 \] \[ MCD(36,60)=2^2\cdot3=12 \]Dividimos numerador y denominador entre 12.
\[ 36/60=3/5 \]Resultado: \(36/60=3/5\)
7. Mínimo común múltiplo mcm
El mcm de varios números es el menor múltiplo común positivo de todos ellos. Se usa mucho para encontrar coincidencias, ciclos y denominadores comunes en fracciones.
Para calcular el mcm con factores primos:
Se toman todos los factores, comunes y no comunes, con mayor exponente.
Calcula el mcm de 12 y 18.
Tomamos todos con mayor exponente:
\[ 2^2\cdot3^2=4\cdot9=36 \]Resultado: \(mcm(12,18)=36\)
Calcula el mcm de 8, 12 y 20.
Tomamos todos con mayor exponente:
\[ 2^3\cdot3\cdot5=8\cdot3\cdot5=120 \]Resultado: \(mcm(8,12,20)=120\)
Calcula el mcm de 15 y 25.
Resultado: \(mcm(15,25)=75\)
Calcula el mínimo común denominador de \(1/6\), \(1/8\) y \(1/12\).
El mínimo común denominador es el mcm de 6, 8 y 12.
\[ 6=2\cdot3 \] \[ 8=2^3 \] \[ 12=2^2\cdot3 \] \[ mcm(6,8,12)=2^3\cdot3=24 \]Resultado: el mínimo común denominador es 24
8. Problemas reales de MCD y mcm
| Si el problema habla de... | Suele usarse... | Idea |
|---|---|---|
| Repartir en grupos iguales lo más grandes posible | MCD | Buscamos el mayor tamaño de grupo que divide todo |
| Coincidencias, ciclos, luces, autobuses, campanas | mcm | Buscamos cuándo vuelven a coincidir |
| Simplificar fracciones | MCD | Dividimos numerador y denominador por el mayor divisor común |
| Sumar fracciones con distinto denominador | mcm | Buscamos un denominador común pequeño |
Tenemos 36 caramelos de fresa y 48 caramelos de limón. Queremos hacer bolsas iguales, sin que sobre ningún caramelo, con el mayor número posible de caramelos en cada bolsa. ¿Cuántos caramelos habrá de cada tipo en cada bolsa?
Como queremos repartir en grupos iguales lo más grandes posible, usamos MCD.
\[ 36=2^2\cdot3^2 \] \[ 48=2^4\cdot3 \] \[ MCD(36,48)=2^2\cdot3=12 \]Se pueden hacer 12 bolsas.
\[ 36/12=3 \] \[ 48/12=4 \]Resultado: cada bolsa tendrá 3 caramelos de fresa y 4 de limón
Una luz parpadea cada 12 segundos y otra cada 18 segundos. Si parpadean juntas ahora, ¿cuándo volverán a coincidir?
Buscamos una coincidencia, así que usamos mcm.
\[ 12=2^2\cdot3 \] \[ 18=2\cdot3^2 \] \[ mcm(12,18)=2^2\cdot3^2=36 \]Resultado: volverán a coincidir dentro de 36 s
Un autobús pasa cada 15 minutos y otro cada 20 minutos. Salen juntos a las 9:00. ¿A qué hora volverán a salir juntos?
Buscamos coincidencia, por tanto mcm.
\[ 15=3\cdot5 \] \[ 20=2^2\cdot5 \] \[ mcm(15,20)=2^2\cdot3\cdot5=60 \]Volverán a coincidir 60 minutos después de las 9:00.
Resultado: volverán a salir juntos a las 10:00
Hay 24 alumnos de 1 ESO y 32 alumnos de 2 ESO. Se quieren formar equipos iguales, sin mezclar cursos dentro de cada equipo, y con el mayor número posible de alumnos por equipo. ¿Cuántos alumnos tendrá cada equipo?
Buscamos grupos iguales lo más grandes posible, así que usamos MCD.
\[ 24=2^3\cdot3 \] \[ 32=2^5 \] \[ MCD(24,32)=2^3=8 \]Resultado: cada equipo tendrá 8 alumnos
Lucía entrena cada 4 días y Marcos cada 6 días. Hoy entrenan los dos. ¿Dentro de cuántos días volverán a entrenar el mismo día?
Buscamos una coincidencia futura, así que usamos mcm.
\[ 4=2^2 \] \[ 6=2\cdot3 \] \[ mcm(4,6)=2^2\cdot3=12 \]Resultado: volverán a coincidir dentro de 12 días
9. Signos, paréntesis y el más por menos
Aunque los signos se estudian en operaciones con enteros, conviene reforzarlos aquí porque afectan a fracciones, operaciones combinadas y álgebra. Muchos alumnos hacen bien el MCD o el mcm, pero luego fallan por un signo delante de un paréntesis.
Regla de signos en productos y divisiones
\[ (+)\cdot(+)=+ \] \[ (+)\cdot(-)=- \] \[ (-)\cdot(+)=- \] \[ (-)\cdot(-)=+ \]Quitar paréntesis
Si delante hay un signo más, los signos no cambian.
\[ +(a-b)=a-b \]Si delante hay un signo menos, cambian todos los signos.
\[ -(a-b)=-a+b \]Calcula \( (-3)\cdot(+5) \).
Menos por más da menos.
\[ (-3)\cdot(+5)=-15 \]Resultado: -15
Calcula \( (-4)\cdot(-6) \).
Menos por menos da más.
\[ (-4)\cdot(-6)=+24 \]Resultado: 24
Quita paréntesis y simplifica: \( 8+(3-5) \)
Delante del paréntesis hay un más, así que los signos no cambian.
\[ 8+(3-5)=8+3-5 \] \[ 8+3-5=6 \]Resultado: 6
Quita paréntesis y simplifica: \( 8-(3-5) \)
Delante del paréntesis hay un menos, así que cambian todos los signos de dentro.
\[ 8-(3-5)=8-3+5 \] \[ 8-3+5=10 \]Resultado: 10
Calcula \( 12-(-4+7) \).
Cambiamos los signos de todo lo que hay dentro del paréntesis.
\[ 12-(-4+7)=12+4-7 \] \[ 12+4-7=9 \]Resultado: 9
Calcula \( -2\cdot(5-8) \).
Primero resolvemos el paréntesis.
\[ 5-8=-3 \] \[ -2\cdot(-3)=6 \]Resultado: 6
Calcula \( -3\cdot(2-6) \).
Primero resolvemos el paréntesis.
\[ 2-6=-4 \] \[ -3\cdot(-4)=12 \]Resultado: 12
Calcula \( 18-2\cdot(4+3) \).
Primero el paréntesis.
\[ 4+3=7 \]Después la multiplicación.
\[ 2\cdot7=14 \]Finalmente restamos.
\[ 18-14=4 \]Resultado: 4
Frase que evita muchos errores
Si delante del paréntesis hay un menos, no cambia solo el primer término: cambian todos los signos de dentro.
10. Ejercicios resueltos tipo examen
Escribe todos los divisores de 30 y los cinco primeros múltiplos positivos de 30.
Divisores de 30:
\[ D(30)=\{1,2,3,5,6,10,15,30\} \]Primeros múltiplos positivos:
\[ 30,60,90,120,150 \]Resultado: divisores 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30; múltiplos 30, 60, 90, 120 y 150
Indica si 1260 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10.
Entre 2: sí, porque termina en 0.
Entre 3: sí, porque \(1+2+6+0=9\).
Entre 4: sí, porque las dos últimas cifras son 60 y 60 es divisible entre 4.
Entre 5: sí, porque termina en 0.
Entre 6: sí, porque es divisible entre 2 y entre 3.
Entre 9: sí, porque la suma de cifras es 9.
Entre 10: sí, porque termina en 0.
Calcula \(MCD(72,108)\).
Resultado: 36
Calcula \(mcm(72,108)\).
Resultado: 216
Tenemos 54 lápices y 72 bolígrafos. Queremos hacer paquetes iguales, con el mayor número posible de paquetes y sin que sobre nada. ¿Cuántos paquetes podemos hacer y qué llevará cada uno?
Buscamos repartir en paquetes iguales, por tanto usamos MCD.
\[ 54=2\cdot3^3 \] \[ 72=2^3\cdot3^2 \] \[ MCD(54,72)=2\cdot3^2=18 \]Podemos hacer 18 paquetes.
\[ 54/18=3 \] \[ 72/18=4 \]Resultado: 18 paquetes, con 3 lápices y 4 bolígrafos en cada uno
Una alarma suena cada 8 minutos y otra cada 14 minutos. Si suenan juntas ahora, ¿cuándo volverán a sonar juntas?
Buscamos coincidencia, por tanto usamos mcm.
\[ 8=2^3 \] \[ 14=2\cdot7 \] \[ mcm(8,14)=2^3\cdot7=56 \]Resultado: volverán a sonar juntas dentro de 56 minutos
Simplifica \(84/126\).
Resultado: \(2/3\)
Calcula \( 30-3\cdot(8-12) \).
Resultado: 42
11. Ejercicios para practicar divisibilidad ESO
Intenta resolver estos ejercicios antes de mirar las soluciones. Lo ideal es indicar en cada uno si estás trabajando múltiplos, divisores, criterios, factorización, MCD, mcm o signos.
Ejercicios 1 a 15
- Escribe los 6 primeros múltiplos positivos de 9.
- Calcula todos los divisores de 20.
- Calcula todos los divisores de 28.
- Indica si 315 es divisible entre 3.
- Indica si 315 es divisible entre 5.
- Indica si 315 es divisible entre 9.
- Indica si 144 es divisible entre 4.
- Indica si 144 es divisible entre 6.
- Clasifica como primo o compuesto: 29.
- Clasifica como primo o compuesto: 33.
- Descompón 42 en factores primos.
- Descompón 84 en factores primos.
- Descompón 150 en factores primos.
- Calcula \(MCD(18,24)\).
- Calcula \(MCD(30,45)\).
Ejercicios 16 a 30
- Calcula \(MCD(40,60)\).
- Calcula \(mcm(6,8)\).
- Calcula \(mcm(10,15)\).
- Calcula \(mcm(12,20)\).
- Simplifica \(24/36\).
- Simplifica \(45/60\).
- Dos luces parpadean cada 10 s y 15 s. ¿Cuándo coinciden?
- Dos autobuses salen cada 12 min y 18 min. ¿Cuándo vuelven a salir juntos?
- Reparte 32 caramelos y 48 galletas en bolsas iguales lo más grandes posible.
- Calcula \( (-5)\cdot(+6) \).
- Calcula \( (-7)\cdot(-3) \).
- Calcula \( 10-(4-9) \).
- Calcula \( 15-2\cdot(3-8) \).
- Calcula \( -4\cdot(6-10) \).
- Calcula \( 50-5\cdot(12-20) \).
12. Soluciones de la práctica
| Ejercicio | Solución breve |
|---|---|
| 1 | 9, 18, 27, 36, 45, 54 |
| 2 | \(D(20)=\{1,2,4,5,10,20\}\) |
| 3 | \(D(28)=\{1,2,4,7,14,28\}\) |
| 4 | Sí, porque \(3+1+5=9\) |
| 5 | Sí, porque termina en 5 |
| 6 | Sí, porque \(3+1+5=9\) |
| 7 | Sí, porque 44 es divisible entre 4 |
| 8 | Sí, porque es divisible entre 2 y entre 3 |
| 9 | 29 es primo |
| 10 | 33 es compuesto, porque \(33=3\cdot11\) |
| 11 | \(42=2\cdot3\cdot7\) |
| 12 | \(84=2^2\cdot3\cdot7\) |
| 13 | \(150=2\cdot3\cdot5^2\) |
| 14 | \(MCD(18,24)=6\) |
| 15 | \(MCD(30,45)=15\) |
| 16 | \(MCD(40,60)=20\) |
| 17 | \(mcm(6,8)=24\) |
| 18 | \(mcm(10,15)=30\) |
| 19 | \(mcm(12,20)=60\) |
| 20 | \(24/36=2/3\) |
| 21 | \(45/60=3/4\) |
| 22 | Coinciden cada 30 s |
| 23 | Vuelven a salir juntos cada 36 min |
| 24 | 16 bolsas, con 2 caramelos y 3 galletas en cada una |
| 25 | \(-30\) |
| 26 | 21 |
| 27 | 15 |
| 28 | 25 |
| 29 | 16 |
| 30 | 90 |
13. Errores frecuentes en divisibilidad
Error 1. Confundir múltiplo y divisor
8 es divisor de 40, pero 40 es múltiplo de 8. No es lo mismo.
Error 2. Pensar que todos los números impares son primos
9, 15, 21, 25 y 27 son impares, pero no son primos.
Error 3. Parar la factorización demasiado pronto
Hay que seguir hasta que todos los factores sean primos.
Error 4. En el MCD tomar exponentes grandes
En el MCD se toman solo factores comunes con menor exponente.
Error 5. En el mcm olvidar factores no comunes
En el mcm se toman todos los factores, comunes y no comunes, con mayor exponente.
Error 6. Usar MCD cuando el problema pide coincidencia
Si el problema habla de volver a coincidir, normalmente se usa mcm.
Error 7. Usar mcm cuando el problema pide repartir
Si se reparte en grupos iguales lo más grandes posible, normalmente se usa MCD.
Error 8. Cambiar solo un signo al quitar paréntesis
Si delante del paréntesis hay un menos, cambian todos los signos de dentro.
Control final antes de entregar
- Comprueba si el problema pide divisores o múltiplos.
- Si hay reparto exacto, piensa en MCD.
- Si hay coincidencia futura, piensa en mcm.
- Revisa que la factorización llega solo a números primos.
- En el MCD toma factores comunes con menor exponente.
- En el mcm toma todos los factores con mayor exponente.
- Si hay un menos delante del paréntesis, cambia todos los signos.
- Comprueba si el resultado tiene sentido en el problema.
14. Examen final de divisibilidad ESO
Instrucciones
Tiempo recomendado: 45 minutos.
Puntuación orientativa: 10 puntos.
Incluye cálculos, justificación y resultado final en cada ejercicio.
Calcula todos los divisores de 42.
Indica si 2160 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10.
Es divisible entre 2 porque termina en 0.
Es divisible entre 3 porque \(2+1+6+0=9\).
Es divisible entre 4 porque 60 es divisible entre 4.
Es divisible entre 5 porque termina en 0.
Es divisible entre 6 porque es divisible entre 2 y entre 3.
Es divisible entre 9 porque la suma de cifras es 9.
Es divisible entre 10 porque termina en 0.
Descompón 180 en factores primos.
Calcula \(MCD(60,90)\).
Calcula \(mcm(60,90)\).
Hay 48 zumos y 60 bocadillos. Se quieren preparar bolsas iguales sin que sobre nada. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden hacer?
Usamos MCD.
\[ MCD(48,60)=12 \]Resultado: se pueden hacer 12 bolsas
Una campana suena cada 18 minutos y otra cada 24 minutos. Si suenan juntas ahora, ¿cuándo volverán a sonar juntas?
Usamos mcm.
\[ 18=2\cdot3^2 \] \[ 24=2^3\cdot3 \] \[ mcm(18,24)=2^3\cdot3^2=72 \]Resultado: dentro de 72 minutos
11. Problemas largos de MCD y mcm paso a paso
En los problemas de divisibilidad, la parte más importante no es calcular el MCD o el mcm. La parte más importante es decidir cuál de los dos se necesita. Si el problema habla de repartir, cortar, formar grupos iguales o hacer paquetes sin que sobre nada, normalmente usamos MCD. Si habla de coincidir, repetirse, volver a ocurrir, ciclos, turnos, luces o autobuses, normalmente usamos mcm.
Idea clave
MCD suele responder a la pregunta cuál es el mayor tamaño posible. mcm suele responder a la pregunta cuándo vuelven a coincidir.
Tenemos 72 lápices y 96 rotuladores. Queremos hacer paquetes iguales, sin que sobre nada, con el mayor número posible de paquetes. ¿Cuántos paquetes podemos hacer y qué llevará cada paquete?
Como queremos repartir en paquetes iguales sin que sobre nada, usamos MCD.
\[ 72=2^3\cdot3^2 \] \[ 96=2^5\cdot3 \] \[ MCD(72,96)=2^3\cdot3=24 \]Podemos hacer 24 paquetes.
\[ 72/24=3 \] \[ 96/24=4 \]Resultado: 24 paquetes, con 3 lápices y 4 rotuladores en cada uno
Tres semáforos cambian cada 30 s, 45 s y 60 s. Si acaban de cambiar a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir?
Buscamos una coincidencia futura, así que usamos mcm.
\[ 30=2\cdot3\cdot5 \] \[ 45=3^2\cdot5 \] \[ 60=2^2\cdot3\cdot5 \] \[ mcm(30,45,60)=2^2\cdot3^2\cdot5=180 \]Resultado: volverán a coincidir dentro de 180 s, es decir, 3 min
Tenemos dos cintas de 84 cm y 126 cm. Queremos cortarlas en trozos iguales, lo más largos posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto debe medir cada trozo?
Queremos cortar en partes iguales lo más largas posible, por tanto usamos MCD.
\[ 84=2^2\cdot3\cdot7 \] \[ 126=2\cdot3^2\cdot7 \] \[ MCD(84,126)=2\cdot3\cdot7=42 \]Resultado: cada trozo debe medir 42 cm
Una campana suena cada 16 min, otra cada 24 min y otra cada 40 min. Si suenan juntas ahora, ¿cuándo volverán a sonar juntas?
Buscamos cuándo vuelven a coincidir, así que usamos mcm.
\[ 16=2^4 \] \[ 24=2^3\cdot3 \] \[ 40=2^3\cdot5 \] \[ mcm(16,24,40)=2^4\cdot3\cdot5=240 \]Resultado: volverán a sonar juntas dentro de 240 min, es decir, 4 h
Una academia tiene 90 libros de Matemáticas, 120 de lectura y 150 de Inglés. Quiere hacer lotes iguales, sin que sobre ningún libro. ¿Cuál es el mayor número de lotes que puede hacer y qué tendrá cada lote?
Queremos repartir en lotes iguales, así que usamos MCD.
\[ 90=2\cdot3^2\cdot5 \] \[ 120=2^3\cdot3\cdot5 \] \[ 150=2\cdot3\cdot5^2 \] \[ MCD(90,120,150)=2\cdot3\cdot5=30 \]Se pueden hacer 30 lotes.
\[ 90/30=3 \] \[ 120/30=4 \] \[ 150/30=5 \]Resultado: 30 lotes, con 3 libros de Matemáticas, 4 de lectura y 5 de Inglés
Un alumno entrena fútbol cada 6 días, pádel cada 8 días y carrera cada 9 días. Hoy coinciden los tres entrenamientos. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir?
Buscamos coincidencia futura, por tanto usamos mcm.
\[ 6=2\cdot3 \] \[ 8=2^3 \] \[ 9=3^2 \] \[ mcm(6,8,9)=2^3\cdot3^2=72 \]Resultado: volverán a coincidir dentro de 72 días
Una pared mide 210 cm de largo y 126 cm de alto. Queremos cubrirla con baldosas cuadradas lo más grandes posible, sin cortar ninguna baldosa. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa y cuántas baldosas harán falta?
Buscamos el mayor lado posible que divida exactamente 210 y 126, así que usamos MCD.
\[ 210=2\cdot3\cdot5\cdot7 \] \[ 126=2\cdot3^2\cdot7 \] \[ MCD(210,126)=2\cdot3\cdot7=42 \]El lado de cada baldosa será 42 cm.
\[ 210/42=5 \] \[ 126/42=3 \] \[ 5\cdot3=15 \]Resultado: baldosas de 42 cm de lado, 15 baldosas en total
Hay 96 caramelos, 72 globos y 120 pegatinas. Se quieren preparar bolsas iguales sin que sobre nada. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se puede preparar y qué tendrá cada bolsa?
Es un reparto exacto en bolsas iguales, así que usamos MCD.
\[ 96=2^5\cdot3 \] \[ 72=2^3\cdot3^2 \] \[ 120=2^3\cdot3\cdot5 \] \[ MCD(96,72,120)=2^3\cdot3=24 \]Se pueden preparar 24 bolsas.
\[ 96/24=4 \] \[ 72/24=3 \] \[ 120/24=5 \]Resultado: 24 bolsas, con 4 caramelos, 3 globos y 5 pegatinas en cada una
Una máquina revisa piezas cada 18 min, otra cada 24 min y otra cada 30 min. Si revisan una pieza a la vez a las 8:00, ¿a qué hora volverán a coincidir?
Buscamos cuándo vuelven a coincidir, por tanto usamos mcm.
\[ 18=2\cdot3^2 \] \[ 24=2^3\cdot3 \] \[ 30=2\cdot3\cdot5 \] \[ mcm(18,24,30)=2^3\cdot3^2\cdot5=360 \]360 min son 6 h.
Resultado: volverán a coincidir a las 14:00
Una persona toma un medicamento cada 8 h y otro cada 12 h. Si toma ambos a las 8:00, ¿cuándo volverá a tomarlos juntos?
Buscamos coincidencia, así que usamos mcm.
\[ 8=2^3 \] \[ 12=2^2\cdot3 \] \[ mcm(8,12)=2^3\cdot3=24 \]Resultado: volverá a tomarlos juntos 24 h después, a las 8:00 del día siguiente
Tres trabajadores hacen guardia cada 14, 21 y 35 días. Hoy coinciden los tres. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir?
Buscamos coincidencia futura, por tanto usamos mcm.
\[ 14=2\cdot7 \] \[ 21=3\cdot7 \] \[ 35=5\cdot7 \] \[ mcm(14,21,35)=2\cdot3\cdot5\cdot7=210 \]Resultado: volverán a coincidir dentro de 210 días
Indica si usarías MCD o mcm en cada caso.
a) Repartir 48 zumos y 60 bocadillos en bolsas iguales
b) Dos autobuses pasan cada 12 min y 18 min y queremos saber cuándo coinciden
c) Cortar cuerdas de 90 cm y 150 cm en trozos iguales lo más largos posible
d) Dos luces parpadean cada 20 s y 45 s y queremos saber cuándo coinciden
a) MCD, porque hay reparto en bolsas iguales.
b) mcm, porque hay coincidencia futura.
c) MCD, porque se busca el mayor trozo posible.
d) mcm, porque se busca cuándo vuelven a coincidir.
Calcula \( 25-4\cdot(3-9) \).
Resultado: 49
Corrección orientativa
9 a 10 puntos: domina divisores, criterios, factorización, MCD, mcm y signos.
7 a 8 puntos: buen nivel, pero debe revisar problemas de MCD y mcm.
5 a 6 puntos: necesita practicar factorización y criterios de divisibilidad.
Menos de 5 puntos: conviene volver a múltiplos, divisores y criterios básicos.
Preguntas frecuentes sobre divisibilidad en ESO
¿Qué es la divisibilidad?
La divisibilidad estudia cuándo un número se puede dividir exactamente entre otro, es decir, cuándo la división tiene resto 0.
¿Qué diferencia hay entre múltiplo y divisor?
Un múltiplo se obtiene multiplicando. Un divisor divide exactamente a otro número. Por ejemplo, 40 es múltiplo de 8 y 8 es divisor de 40.
¿Para qué sirve el MCD?
El MCD sirve para encontrar el mayor divisor común. Se usa en repartos exactos, grupos iguales y simplificación de fracciones.
¿Para qué sirve el mcm?
El mcm sirve para encontrar el menor múltiplo común. Se usa en coincidencias, ciclos y denominadores comunes.
¿Cómo sé si un problema es de MCD o de mcm?
Si habla de repartir en grupos iguales lo más grandes posible, suele ser MCD. Si habla de volver a coincidir, suele ser mcm.
¿Por qué es importante el signo menos delante de un paréntesis?
Porque cambia todos los signos de dentro del paréntesis. Este error afecta mucho a operaciones combinadas, fracciones y álgebra.
Divisibilidad ESO: la base para avanzar en Matemáticas
Dominar la divisibilidad no es solo aprobar un tema aislado. Es preparar el camino para fracciones, operaciones combinadas, ecuaciones, álgebra, proporcionalidad y factorización. Cuando el alumno entiende múltiplos, divisores, números primos, MCD y mcm, muchas partes posteriores de Matemáticas empiezan a tener más sentido.
La clave está en trabajar con orden: leer el enunciado, decidir si se busca repartir o coincidir, factorizar bien, elegir MCD o mcm y revisar el resultado final.
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