Divisibilidad ESO ejercicios resueltos paso a paso MCD mcm y números primos

Las parejas de divisores son 1·42, 2·21, 3·14 y 6·7. Por tanto, D(42)={1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

2 160 es divisible entre los siete números: termina en 0, por lo que cumple los criterios de 2, 5 y 10; sus cifras suman 9, de modo que cumple los de 3 y 9; el final 60 es múltiplo de 4. Además, es divisible entre 2 y entre 3, y por ello entre 6.

180=2²·3²·5.

60=2²·3·5 y 90=2·3²·5. Tomamos los factores comunes con el menor exponente: MCD(60,90)=2·3·5=30.

60=2²·3·5 y 90=2·3²·5. Tomamos todos los factores con el mayor exponente: mcm(60,90)=2²·3²·5=180.

El número de bolsas debe dividir tanto a 48 como a 60. Su máximo es MCD(48,60)=12. Se hacen 12 bolsas idénticas, con 48÷12=4 zumos y 60÷12=5 bocadillos en cada una.

18=2·3² y 24=2³·3. La primera repetición común positiva se obtiene con mcm(18,24)=2³·3²=72. Volverán a coincidir dentro de 72 minutos.

1. MCD(54,90)=18: se forman 18 lotes idénticos con 3 unidades del primer tipo y 5 del segundo.
2. Como los ciclos coinciden ahora, vuelven a hacerlo tras mcm(54,90)=270 minutos.

El final 32 siempre es divisible entre 4. La suma de cifras es 12+x y, para x entre 0 y 9, está entre 12 y 21. Su único múltiplo de 9 es 18: x=6 y el número es 7 632.

Este número también es divisible entre 72. Sin embargo, la divisibilidad simultánea entre 4 y 9 solo garantiza divisibilidad entre mcm(4,9)=36. El número 36 cumple ambas condiciones y no es divisible entre 72, por lo que la afirmación general es falsa.

Todo divisor de 1 512 tiene la forma 2^a·3^b·7^c, con a,b∈{0,1,2,3} y c∈{0,1}. Hay 4·4·2=32 divisores positivos.

Ser múltiplo de 12=2²·3 exige a∈{2,3} y b∈{1,2,3}. No ser múltiplo de 7 exige c=0. El recuento pedido es 2·3·1=6.

84=2²·3·7 y 125=5³. No comparten ningún factor primo; su MCD es 1, así que son primos entre sí.

Factorizamos 168=2³·3·7 y 360=2³·3²·5. Los factores comunes con menor exponente dan MCD=2³·3=24. Todos los factores con mayor exponente dan mcm=2³·3²·5·7=2 520.

Los exponentes certifican la maximalidad del MCD y la minimalidad del mcm. La igualdad de productos, por sí sola, no lo hace: 12·5 040 también vale 60 480, pero 12 y 5 040 no son el MCD y el mcm.

El producto de los dos naturales es MCD·mcm=8·240=1 920. Como uno es 48, el otro es 1 920÷48=40.

Restamos el resto común: 155−11=144 y 227−11=216. El divisor buscado debe dividir a ambos resultados. El mayor posible es MCD(144,216)=72.

La afirmación es falsa. El número 36 es divisible entre 12 y entre 18, pero no entre 72. El divisor más fuerte que sí queda garantizado es mcm(12,18)=36: todo múltiplo simultáneo de 12 y 18 es múltiplo de 36.

mcm(12,18)=36. Todos los múltiplos comunes positivos son 36·k, con k natural positivo. Hasta 300 son 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252 y 288.

El menor positivo es 36. El número 180 es un múltiplo común, pero no el mínimo.

Las primeras activaciones son A: 0, 12, 24, 36, … y B: 6, 24, 42, … La primera coincidencia es el minuto 24. Al existir un desfase, calcular únicamente mcm(12,18)=36 no da la primera coincidencia.

La capacidad debe ser un divisor común de 96 y 144, es decir, un divisor de MCD(96,144)=48. Los divisores de 48 que superan 20 son 24 y 48. Ambas capacidades sirven; la mayor es de 48 piezas por caja.

Como MCD(45,8)=1, la divisibilidad simultánea equivale a ser múltiplo de 45·8=360. El numeral 57xy está entre 5 700 y 5 799.

Los múltiplos vecinos son 5 400=360·15, 5 760=360·16 y 6 120=360·17. Solo 5 760 pertenece al intervalo: x=6 e y=0. Al haber acotado todos los múltiplos posibles, la lista es completa.

Problema de MCD. Con 48 mapas y 72 brújulas, ¿cuál es el máximo número de lotes idénticos sin sobrantes y qué lleva cada uno? MCD(48,72)=24: se hacen 24 lotes, con 2 mapas y 3 brújulas en cada uno.

Problema de mcm. Dos señales coinciden ahora y se repiten cada 48 y 72 minutos. ¿Cuándo vuelven a coincidir? mcm(48,72)=144: vuelven a coincidir dentro de 144 minutos.

1. 1 386=630·2+126 y 630=126·5+0. El último resto no nulo es 126.
2. Por factorización, 1 386=2·3²·7·11 y 630=2·3²·5·7. Los factores comunes con menor exponente dan 2·3²·7=126.

Para estos datos, Euclides es más corto: bastan dos divisiones, que se verifican mediante dividendo=divisor·cociente+resto. La factorización aporta una comprobación independiente, aunque exige no omitir ningún factor.

1. 4 140=1 512·2+1 116 y 1 512=1 116·1+396.
2. 1 116=396·2+324 y 396=324·1+72.
3. 324=72·4+36 y 72=36·2+0. El último resto no nulo es 36.

Por otra vía, 4 140=2²·3²·5·23 y 1 512=2³·3³·7. Los mínimos exponentes comunes dan MCD=2²·3²=36. Para números mucho mayores, Euclides evita buscar todos los factores primos.

La suma de cifras es 3+x+7+2=12+x. Como x es una cifra, esta suma está entre 12 y 21; el único múltiplo de 9 en ese intervalo es 18, de donde x=6.

Con esa cifra, las tres últimas cifras son 672 y 672÷8=84. Por tanto, el número 3 672 cumple también el criterio de 8. No puede haber otra solución: el criterio de 9 ya ha fijado una única cifra.

Como 36=4·9 y MCD(4,9)=1, imponemos ambos criterios. El final 20+b debe ser múltiplo de 4: b∈{0,4,8}. La suma 7+a+b debe ser múltiplo de 9.

• Si b=0, resulta a=2: número 5 220.
• Si b=4, resulta a=7: número 5 724.
• Si b=8, resulta a=3: número 5 328.

La condición a<b descarta los dos primeros casos. La única solución es a=3 y b=8.

Los finales divisibles entre 20 son 00, 20, 40, 60 y 80. Las sumas de cifras de 7 200, 7 220, 7 240, 7 260 y 7 280 son 9, 11, 13, 15 y 17, respectivamente.

Solo 9 es múltiplo de 9. La única solución es a=0 y b=0: el número 7 200. La enumeración de los cinco finales posibles garantiza que no falta ningún caso.

La divisibilidad entre 5 obliga a que b sea 0 o 5. Entonces las dos últimas cifras de 4a5b son 50 o 55, sea cual sea a.

Ninguno de esos finales es divisible entre 4, condición necesaria para ser divisible entre 12. Los dos únicos valores posibles de b quedan descartados: no existe solución.

El número 8x46 siempre es par. Para ser divisible entre 6, también debe serlo entre 3: la suma 18+x da los candidatos x∈{0,3,6,9}.

Al dividir entre 7, los números 8 046, 8 346, 8 646 y 8 946 dejan restos 3, 2, 1 y 0, respectivamente. Tras comprobar los cuatro candidatos, la única solución es x=9 y el número es 8 946.

Escribimos N=p^a·q^b·r^c, con tres primos distintos y a,b,c≥1. Su número de divisores exige (a+1)(b+1)(c+1)=18.

La única descomposición de 18 en tres factores mayores o iguales que 2 es 3·3·2. Los exponentes son 2, 2 y 1. Para minimizar N, elegimos los tres primos menores, 2, 3 y 5, y situamos el menor exponente sobre el mayor primo: N=2²·3²·5=180.

Si N=2^a·3^b, su número de divisores satisface (a+1)(b+1)=15. Las parejas posibles de exponentes son (14,0), (4,2), (2,4) y (0,14).

La condición 144=2⁴·3² divisor de N exige a≥4 y b≥2. Solo (4,2) cumple ambas: N=2⁴·3²=144.

En la factorización de un cuadrado perfecto positivo, todos los exponentes primos son pares: N=p₁^2a₁·p₂^2a₂·… Su número de divisores es (2a₁+1)(2a₂+1)…, un producto de números impares y, por ello, impar.

El caso N=1 también tiene un único divisor. Como 12 es par, no existe ningún cuadrado perfecto positivo con exactamente 12 divisores.

Convertimos la divisibilidad y el número de divisores en restricciones sobre a y b, y comparamos todos los candidatos.

1. Como 72=2³·3², deben cumplirse a≥3 y b≥2.
2. La condición de 24 divisores es (a+1)(b+1)=24.
3. Las parejas compatibles son (a,b)=(3,5), (5,3) y (7,2), que dan 1 944, 864 y 1 152.
4. El menor de los tres candidatos es 864.

Un divisor es cuadrado si los exponentes elegidos para 2 y 3 son ambos pares.

1. Para el factor 2 se pueden elegir los exponentes pares 0, 2, 4 y 6: cuatro opciones.
2. Para el factor 3 se pueden elegir los exponentes pares 0, 2 y 4: tres opciones.
3. En total hay 4·3=12 combinaciones.
4. Ordenándolas se obtiene 1, 4, 9, 16, 36, 64, 81, 144, 324, 576, 1 296 y 5 184.

Acotamos el primo p tomando cubos cercanos al intervalo.

1. La condición 300<p³<400 implica que p está entre las raíces cúbicas de 300 y 400.
2. Como 6³=216, 7³=343 y 8³=512, el único entero posible para p es 7.
3. El número 7 es primo, luego N=7³=343 cumple la condición.
4. Los divisores de p³ son p⁰, p¹, p² y p³: 1, 7, 49 y 343.

Representamos N=2^a·3^b y enumeramos todas las parejas de exponentes que generan 18 divisores.

1. La divisibilidad entre 2⁵·3 exige a≥5 y b≥1.
2. La ecuación (a+1)(b+1)=18 tiene, con esas cotas, las soluciones (a,b)=(5,2) y (8,1).
3. Estas parejas dan N=2⁵·3²=288 y N=2⁸·3=768.
4. Las restantes factorizaciones de 18 intercambian exponentes o hacen b=0, y no cumplen a≥5, b≥1; ambas soluciones halladas son menores que 20 000.

Escribimos los números como 6x y 6y; entonces x e y deben ser coprimos y su producto debe ser 180/6=30.

1. Si a=6x y b=6y, la condición MCD(a,b)=6 equivale a MCD(x,y)=1.
2. Además, mcm(a,b)=6xy=180, de modo que xy=30=2·3·5.
3. Para que x e y sean coprimos, cada bloque primo 2, 3 y 5 debe asignarse entero a uno de los dos factores.
4. Las particiones no ordenadas son (1,30), (2,15), (3,10) y (5,6); al multiplicar por 6 aparecen las cuatro parejas pedidas.

Las parejas son (6,180), (12,90), (18,60) y (30,36).

Reducimos por el MCD y repartimos entre dos factores coprimos los bloques primos de 720/12=60.

1. Escribimos a=12x, b=12y, con MCD(x,y)=1 y xy=60=2²·3·5.
2. Las particiones coprimas no ordenadas son (1,60), (3,20), (4,15) y (5,12).
3. Las parejas originales son (12,720), (36,240), (48,180) y (60,144).
4. Sus diferencias son 708, 204, 132 y 84; solo las dos últimas son menores que 200.

Comparamos exponentes: mínimos para el MCD, máximos para el mcm y cubrimos los exponentes que le faltan a B para ser múltiplo de A.

1. Los exponentes mínimos dan MCD(A,B)=2⁴·3²·5=720.
2. Los exponentes máximos dan mcm(A,B)=2⁷·3⁵·5³·7².
3. Para que A divida a kB, k debe aportar 2⁷⁻⁴ y 5³⁻¹; no hace falta añadir 3 ni 7.
4. Así, k mínimo=2³·5²=200; además, k=A/MCD(A,B)=mcm(A,B)/B.

Antes de reconstruir números, verificamos la condición necesaria y suficiente: el MCD propuesto debe dividir al mcm propuesto.

1. Todo divisor común de dos números divide cualquier múltiplo común de esos números.
2. En particular, el MCD debe dividir al mcm.
3. Al dividir 280 entre 18 se obtiene cociente 15 y resto 10.
4. La condición también es suficiente para datos positivos: si d divide a m, la pareja (d,m) tiene MCD d y mcm m. Como 18 no divide a 280, aquí los datos son incompatibles.

Enumeramos primero todas las parejas mediante factores coprimos de 96/8=12 y usamos la suma como filtro final.

1. Escribimos a=8x, b=8y, con MCD(x,y)=1 y xy=12=2²·3.
2. Las únicas particiones coprimas no ordenadas de 12 son (1,12) y (3,4).
3. Producen las parejas (8,96) y (24,32).
4. Sus sumas son 104 y 56, respectivamente; solo (24,32) cumple el dato adicional.

Obtenemos primero el mcm mediante producto=MCD·mcm y después repartimos bloques coprimos.

1. El mcm debe ser 13 720/14=980.
2. Al escribir a=14x y b=14y resulta xy=980/14=70=2·5·7 y MCD(x,y)=1.
3. Las particiones coprimas no ordenadas son (1,70), (2,35), (5,14) y (7,10).
4. Multiplicando cada componente por 14 obtenemos (14,980), (28,490), (70,196) y (98,140).

Si los tres números dejan resto 7 al dividir entre d, entonces d divide sus diferencias respecto de 7.

1. Restamos el resto: 187−7=180, 271−7=264 y 439−7=432.
2. Calculamos MCD(180,264)=12.
3. Después, MCD(12,432)=12; ese es el mayor divisor común de los tres números ajustados.
4. Como 7<12, el valor obtenido puede actuar como divisor con resto 7.

Los divisores buscados deben dividir simultáneamente 221−5 y 365−5, y además superar tanto 20 como el resto.

1. Calculamos 221−5=216 y 365−5=360.
2. MCD(216,360)=72, de modo que todo divisor posible debe ser divisor de 72.
3. Los divisores de 72 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
4. Al conservar solo los mayores que 20 quedan 24, 36 y 72.

Combinamos la divisibilidad de los números ajustados con la condición obligatoria resto menor que divisor.

1. Si el divisor es d, debe dividir 95−17=78 y 161−17=144.
2. MCD(78,144)=6, así que cualquier d posible sería divisor de 6 y cumpliría d≤6.
3. En una división euclídea con resto 17 debe cumplirse d>17.
4. Las condiciones d≤6 y d>17 son incompatibles; no existe solución.

Dos números dejan el mismo resto al dividir entre d si y solo si d divide su diferencia.

1. La diferencia es 446−302=144; por tanto, d debe ser un divisor de 144.
2. Los divisores de 144 mayores que 20 son 24, 36, 48, 72 y 144.
3. Como 302=288+14 y 288 es múltiplo de los cinco divisores, el resto de 302 es 14 en todos los casos.
4. También 446=432+14 y 432 es múltiplo de los cinco divisores; el resto de 446 coincide y 14<d.

Resolvemos las condiciones t=4+18k y t=10+24j, con k y j naturales incluidos el cero; el desfase impide usar solo el mcm como primera respuesta.

1. Los primeros tiempos de A son 4, 22, 40, 58, 76, …
2. Los primeros tiempos de B son 10, 34, 58, 82, …
3. El primer valor común es 58.
4. Una vez encontrada una solución, las siguientes se separan mcm(18,24)=72 minutos.

Combinamos primero dos ciclos y comprobamos después la compatibilidad de esa familia de tiempos con el tercero.

1. Los múltiplos de 12 que también tienen la forma 6+18k empiezan por 24.
2. Las coincidencias de A y B son t=24+36n, con n∈{0,1,2,…}, porque mcm(12,18)=36.
3. Para coincidir con C exigiríamos 24+36n=10+20j, es decir, 36n+14=20j.
4. 36n siempre es múltiplo de 4, de modo que 36n+14 deja resto 2 entre 4; en cambio, 20j es múltiplo de 4. La igualdad es imposible.

Buscamos la primera coincidencia y sumamos después el periodo común mcm(15,21).

1. Las sucesiones comienzan A: 7, 22, 37, 52, … y B: 1, 22, 43, 64, …; la primera coincidencia es 22.
2. MCD(15,21)=3 y la diferencia de inicios 7−1=6 es múltiplo de 3, por lo que sí existen coincidencias.
3. El periodo entre soluciones es mcm(15,21)=105.
4. Sumando 105 desde 22 y sin superar 500 se obtienen 22, 127, 232, 337 y 442; el siguiente valor, 547, queda fuera.

Hay cinco coincidencias.

Clasificamos las fases mediante la condición MCD(14,21) divisor de (s−5), y resolvemos después el primer encuentro de cada fase.

1. Una coincidencia exige 5+14k=s+21j; por ello s−5=14k−21j debe ser múltiplo de MCD(14,21)=7.
2. En 0≤s<21, la congruencia s≡5 (mód. 7) produce exactamente s∈{5,12,19}.
3. Para s=5, el primer encuentro es 5; para s=12, es 33=5+14·2=12+21·1; para s=19, es 19=5+14·1=19+21·0.
4. Desde cualquier solución, las siguientes se separan mcm(14,21)=42; la congruencia anterior excluye cualquier otra fase.

Intentamos deducir qué puede dividir simultáneamente a la suma y a la diferencia, y buscamos después un caso que alcance el valor 2.

1. Si c divide a+b y a−b, entonces c divide su suma 2a y su diferencia 2b.
2. Como MCD(a,b)=1, se tiene MCD(2a,2b)=2·MCD(a,b)=2; por tanto, c debe dividir a 2.
3. Por ello, MCD(a+b,a−b) solo puede ser 1 o 2.
4. Con a=5 y b=3 se cumple MCD(5,3)=1, pero MCD(8,2)=2; este contraejemplo refuta la afirmación inicial.

Primero contamos los divisores y después justificamos qué ocurre en los cuadrados perfectos.

1. Creamos una fila por cada n entre 1 y 100 y contamos los d entre 1 y n para los que la división n÷d tiene resto cero.
2. Marcamos si el recuento es par o impar y si la raíz cuadrada de n es natural.
3. Los únicos recuentos impares aparecen para 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
4. Los divisores se emparejan como d y n/d. Solo en un cuadrado aparece una pareja repetida, √n y √n, que deja un divisor sin compañero; por eso el total es impar exactamente en los cuadrados.

Hallamos primero el MCD con Euclides, deducimos el mcm con la identidad del producto y factorizamos para una verificación independiente.

1. 3 910=2 992·1+918, 2 992=918·3+238 y 918=238·3+204.
2. 238=204·1+34 y 204=34·6+0; por tanto, MCD=34.
3. mcm=(3 910·2 992)/34=344 080.
4. Las factorizaciones son 3 910=2·5·17·23 y 2 992=2⁴·11·17; producen MCD=2·17=34 y mcm=2⁴·5·11·17·23=344 080.

Combinamos divisibilidad entre 5 con los criterios de 4 y 9 que forman 36.

1. La divisibilidad entre 5 obliga a b=0 o b=5.
2. La divisibilidad entre 4 exige que 40+b sea múltiplo de 4; 40 sí lo es y 45 no, por lo que b=0.
3. La suma de cifras es 8+a+4+0=12+a y debe ser múltiplo de 9; la única cifra posible es a=6.
4. Las restricciones han fijado primero b y después a, así que no existen más soluciones.

El número es 8 640.

Factorizamos 2 160 y completamos hasta exponentes pares, incorporando además el factor 7² exigido por la divisibilidad entre 49.

1. 2 160=2⁴·3³·5.
2. Para obtener un cuadrado hay que añadir un factor 3 y un factor 5; el exponente de 2 ya es par.
3. La divisibilidad entre 49 exige añadir 7², que conserva par el exponente de 7; así, m mínimo=3·5·7²=735.
4. Entonces 2 160m=2⁴·3⁴·5²·7²=(2²·3²·5·7)²=(1 260)².

Separamos «exactamente uno» en tres casos disjuntos y aplicamos inclusión-exclusión; comprobamos después mediante periodicidad módulo 36.

1. Sean A, B y C los múltiplos de 4, 6 y 9. En 1≤n≤360: |A|=90, |B|=60, |C|=40; |A∩B|=30, |A∩C|=10, |B∩C|=20 y |A∩B∩C|=10, usando los mcm 12, 36, 18 y 36.
2. Solo entre 4: 90−30−10+10=60.
3. Solo entre 6: 60−30−20+10=20; solo entre 9: 40−10−20+10=20.
4. Los tres grupos son disjuntos y agotan la condición; en total, 60+20+20=100.

Si 323 fuera compuesto, tendría algún divisor primo no mayor que √323; basta revisar una lista finita.

1. Como 17²=289<323<324=18², basta probar 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17.
2. No lo dividen 2, 3 ni 5: es impar, la suma de cifras es 8 y no termina en 0 o 5.
3. Tampoco 7, 11 ni 13: 323=7·46+1=11·29+4=13·24+11.
4. Sí lo divide 17: 323=17·19; ambos factores son primos.

Resolvemos primero las dos primeras condiciones y cruzamos después su familia de soluciones con el tercer ciclo.

1. Las dos primeras señales coinciden por primera vez en 26, pues 26=2+12·2=8+18·1.
2. Sus coincidencias forman t=26+36n, con n∈{0,1,2,…}, ya que mcm(12,18)=36.
3. Probamos esa sucesión módulo 20: 26, 62, 98, 134 y 170; el primer término que deja resto 10 es 170.
4. El periodo triple es mcm(12,18,20)=180 minutos.

Aplicamos la condición de compatibilidad: la diferencia de fases debe ser divisible por el MCD de los periodos.

1. Una coincidencia exigiría 5+18k=12+30j.
2. Al reorganizar resulta 18k−30j=7.
3. El lado izquierdo es siempre múltiplo de MCD(18,30)=6.
4. Como 7 no es múltiplo de 6, la igualdad es imposible para cualesquiera naturales k y j.

Partimos de la identidad fundamental del MCD y el mcm y demostramos las dos direcciones.

1. Si MCD(a,b)=1, la identidad da 1·mcm(a,b)=a·b y, por tanto, mcm(a,b)=a·b.
2. Recíprocamente, si mcm(a,b)=a·b, la identidad queda MCD(a,b)·a·b=a·b.
3. Como a·b es positivo, podemos dividir y obtener MCD(a,b)=1.
4. Para 84 y 25, el MCD es 1 y el mcm es 2 100=84·25; para 84 y 30, el MCD es 6 y el mcm es 420, distinto de 2 520.

La presencia exacta de 2, 3 y 5 exige a,b≥1; resolvemos la ecuación del número de divisores y calculamos cada caso.

1. El número de divisores es (a+1)(b+1)(1+1)=24, luego (a+1)(b+1)=12.
2. Con a,b≥1, las parejas posibles son (a,b)=(1,5), (5,1), (2,3) y (3,2).
3. Los números correspondientes son 2·3⁵·5=2 430, 2⁵·3·5=480, 2²·3³·5=540 y 2³·3²·5=360.
4. Los cuatro son menores que 5 000 y las demás parejas de factores de 12 harían a=0 o b=0, eliminando uno de los tres primos.

Aplicamos la criba, anotamos los primos que quedan y explicamos por qué no hace falta seguir tachando.

1. Escribimos 2–200 y tachamos, desde cada primo superviviente, sus múltiplos a partir de su cuadrado. Basta usar 2, 3, 5, 7, 11 y 13, pues √200<15.
2. Los 46 supervivientes son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 y 199.
3. Filtramos parejas p y p+2 con ambos términos mayores o iguales que 100: (101,103), (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193) y (197,199).
4. Todo compuesto n≤200 tiene algún divisor primo menor o igual que √n≤√200; por tanto, si no fue tachado por 2, 3, 5, 7, 11 o 13, es primo y la lista es completa.

Hay siete parejas de primos gemelos íntegramente situadas entre 100 y 200.