Blog educativo, Matemáticas

Álgebra 2 ESO ejercicios resueltos paso a paso lenguaje algebraico polinomios y problemas

Publicado por author-avatar

Lenguaje algebraico 2 ESO ejercicios resueltos paso a paso

Recurso completo de Álgebra para 2 ESO con expresiones algebraicas, monomios, polinomios, operaciones, valor numérico, simplificación, identidades notables, factor común, problemas y ejercicios tipo examen resueltos paso a paso.

El álgebra suele ser el primer gran cambio de Matemáticas en la ESO. Hasta ahora el alumno trabaja con números concretos. De pronto aparecen letras, paréntesis, expresiones largas y reglas que parecen iguales, pero no lo son. Cuando no se entiende bien este paso, después cuesta mucho avanzar en ecuaciones, sistemas, funciones, polinomios de 4 ESO y Bachillerato.

Este recurso está preparado para estudiar con calma, practicar de forma progresiva y revisar errores frecuentes reales que aparecen en clase.

Clases online de Matemáticas Solicitar información

En Marlu Educativa trabajamos el álgebra escribiendo profesor y alumno sobre la misma pizarra digital compartida. Esto permite ver el error justo cuando aparece. En álgebra eso es decisivo, porque un signo mal puesto al principio puede arrastrar todo el ejercicio.

El alumno puede trabajar con cuaderno tradicional o con una tableta o iPad con lápiz digital. Lo importante no es el dispositivo, sino el orden de razonamiento.

2 ESO Álgebra desde cero Monomios Polinomios Identidades notables Problemas resueltos Recuperación

Índice

1. Antes de empezar 2. Lenguaje algebraico 3. Valor numérico 4. Monomios 5. Términos semejantes 6. Polinomios 7. Sumas y restas de polinomios 8. Productos con monomios y polinomios 9. Divisiones y fracciones algebraicas sencillas 10. Factor común 11. Identidades notables 12. Problemas algebraicos 13. Geometría con álgebra 14. Errores frecuentes 15. Simulacro final 16. Ruta de estudio 17. Recursos relacionados

Antes de empezar

Para que el álgebra salga bien, el alumno debe tener claros cuatro puntos.

1. Signos

Hay que dominar enteros, especialmente cuando aparece un menos delante de un paréntesis.

2. Jerarquía

Primero paréntesis, después potencias, luego multiplicaciones y divisiones, finalmente sumas y restas.

3. Paréntesis

Un paréntesis no es decoración. Agrupa cantidades y puede cambiar completamente el resultado.

4. Orden

En álgebra conviene escribir limpio. El desorden aumenta muchísimo los errores.

Si el alumno falla mucho en operaciones previas, conviene repasar antes las operaciones combinadas, los enteros y fracciones y la base de álgebra y ecuaciones de 1 ESO.

Idea clave

Una letra no es una cosa rara. Una letra representa un número que no conocemos o una cantidad que puede cambiar.

Volver arriba

Lenguaje algebraico

Traducir al lenguaje algebraico significa convertir una frase en una expresión con letras, números y operaciones.

La letra más habitual es \(x\), pero se puede usar cualquier otra. Lo importante es definir qué representa.

El doble de un número

\[ 2x \]

La mitad de un número

\[ \frac{x}{2} \]

Un número aumentado en 7

\[ x+7 \]

Un número disminuido en 4

\[ x-4 \]

El cuadrado de un número

\[ x^2 \]

El cubo de un número

\[ x^3 \]

Ejercicio 1

Escribe en lenguaje algebraico

El triple de un número más 8

Llamamos \(x\) al número.

\[ 3x+8 \]

Ejercicio 2

La cuarta parte de un número menos 6

\[ \frac{x}{4}-6 \]

Ejercicio 3

El cuadrado de la suma de un número y 5

La suma es \(x+5\). Como se pide el cuadrado de toda la suma, necesitamos paréntesis.

\[ (x+5)^2 \]

Ejercicio 4

La suma del cuadrado de un número y 5

Ahora solo se eleva al cuadrado el número.

\[ x^2+5 \]

Diferencia importante

No es lo mismo:

\[ (x+5)^2 \]

que:

\[ x^2+5 \]

El primer caso eleva al cuadrado toda la suma. El segundo caso eleva solo \(x\).

Ejercicio 5

La diferencia entre el doble de un número y su tercera parte

\[ 2x-\frac{x}{3} \]

Ejercicio 6

La mitad de la suma de dos números

Si los números son \(x\) e \(y\):

\[ \frac{x+y}{2} \]

Ejercicio 7

La suma de las mitades de dos números

\[ \frac{x}{2}+\frac{y}{2} \]

Otro error habitual

No es lo mismo la mitad de la suma que la suma de las mitades. A veces coinciden al simplificar, pero la lectura del enunciado debe hacerse bien desde el principio.

Ejercicio 8

Tres números consecutivos

\[ x,\quad x+1,\quad x+2 \]

Ejercicio 9

Tres números pares consecutivos

\[ 2x,\quad 2x+2,\quad 2x+4 \]

Ejercicio 10

Tres números impares consecutivos

\[ 2x+1,\quad 2x+3,\quad 2x+5 \]

Ejercicio 11

Un número, su anterior y su siguiente

\[ x-1,\quad x,\quad x+1 \]

Ejercicio 12

El producto de un número y el que le sigue

\[ x(x+1) \]

Ejercicio 13

El área de un rectángulo cuya base mide \(x+4\) y cuya altura mide \(x-2\)

\[ A=(x+4)(x-2) \]

Ejercicio 14

El perímetro de un rectángulo cuya base mide \(2x+1\) y cuya altura mide \(x+3\)

\[ P=2(2x+1)+2(x+3) \] \[ P=4x+2+2x+6 \] \[ P=6x+8 \]

Ejercicio 15

Un taxi cobra 2,50 euros al iniciar el viaje y 1,40 euros por cada kilómetro recorrido. Escribe el precio para \(x\) kilómetros.

\[ P=2,50+1,40x \]

Consejo de profesor

Cuando el enunciado dice “de la suma”, “de la diferencia” o “del producto”, casi siempre hay que pensar en paréntesis.

Volver arriba

Valor numérico de una expresión algebraica

Calcular el valor numérico consiste en sustituir la letra por un número y operar con orden.

Regla práctica

Primero sustituye con paréntesis. Después calcula potencias, productos y sumas.

Ejercicio 16

Calcula el valor numérico de:

\[ 4x-7 \]

para \(x=3\)

\[ 4\cdot3-7=12-7=5 \]

Ejercicio 17

Calcula:

\[ -2x^2+5x-1 \]

para \(x=4\)

\[ -2\cdot4^2+5\cdot4-1 \] \[ -2\cdot16+20-1 \] \[ -32+20-1=-13 \]

Ejercicio 18

Calcula:

\[ 3a^2-2ab+b^2 \]

para \(a=2\) y \(b=-3\)

\[ 3\cdot2^2-2\cdot2\cdot(-3)+(-3)^2 \] \[ 3\cdot4+12+9 \] \[ 12+12+9=33 \]

Ejercicio 19

Calcula:

\[ x^3-4x+6 \]

para \(x=-2\)

\[ (-2)^3-4\cdot(-2)+6 \] \[ -8+8+6=6 \]

Ejercicio 20

Calcula:

\[ \frac{x^2-1}{x+1} \]

para \(x=4\)

\[ \frac{4^2-1}{4+1} \] \[ \frac{16-1}{5} \] \[ \frac{15}{5}=3 \]

Error frecuente con negativos

No es lo mismo:

\[ -2^2 \]

que:

\[ (-2)^2 \]

En valor numérico conviene sustituir siempre entre paréntesis.

Volver arriba

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica de un solo término. Puede tener número, letras y exponentes.

\[ -5x^3y^2 \]

Tiene coeficiente \(-5\), parte literal \(x^3y^2\) y grado \(3+2=5\).

Monomio

\[ 7x^2 \]

Un solo término

No es monomio

\[ 7x^2+3x \]

Tiene dos términos

Coeficiente negativo

\[ -4ab^2 \]

El coeficiente es \(-4\)

Grado

\[ 6x^2yz^3 \]

Grado \(2+1+3=6\)

Ejercicio 21

Indica coeficiente, parte literal y grado:

\[ -8x^4y^3 \]

Coeficiente:

\[ -8 \]

Parte literal:

\[ x^4y^3 \]

Grado:

\[ 4+3=7 \]

Ejercicio 22

Indica si es monomio:

\[ 5x^2-3 \]

No es monomio porque tiene dos términos.

\[ 5x^2 \]

y

\[ -3 \]

Ejercicio 23

Indica el grado:

\[ \frac{3}{5}a^2b^4c \]
\[ 2+4+1=7 \]

El grado es 7.

Ejercicio 24

Escribe un monomio de grado 5 con coeficiente negativo.

Una posible respuesta:

\[ -3x^2y^3 \]

El grado es:

\[ 2+3=5 \]
Volver arriba

Términos semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal.

Semejantes

\[ 3x^2,\quad -7x^2 \]

No semejantes

\[ 3x,\quad 3x^2 \]

Semejantes

\[ 5ab^2,\quad -2ab^2 \]

No semejantes

\[ 5ab^2,\quad 5a^2b \]

Ejercicio 25

Reduce:

\[ 6x+4x-9x+2x \]
\[ 6+4-9+2=3 \] \[ 3x \]

Ejercicio 26

Reduce:

\[ 7a^2-3a+5a^2+8a-2a^2 \]

Términos con \(a^2\):

\[ 7a^2+5a^2-2a^2=10a^2 \]

Términos con \(a\):

\[ -3a+8a=5a \]

Resultado:

\[ 10a^2+5a \]

Ejercicio 27

Reduce:

\[ 4xy-7x^2+5xy+2x^2-3xy \]
\[ 4xy+5xy-3xy=6xy \] \[ -7x^2+2x^2=-5x^2 \] \[ -5x^2+6xy \]

Ejercicio 28

Reduce:

\[ \frac{3}{2}x-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}x \]
\[ \frac{3}{2}x=\frac{6}{4}x \] \[ \frac{6}{4}x-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}x=\frac{10}{4}x \] \[ \frac{5}{2}x \]

Ejercicio 29

Reduce:

\[ -3m^2n+8mn^2+5m^2n-2mn^2 \]
\[ -3m^2n+5m^2n=2m^2n \] \[ 8mn^2-2mn^2=6mn^2 \] \[ 2m^2n+6mn^2 \]

Error muy habitual

No se puede reducir \(x^2+x\). No son términos semejantes.

Volver arriba

Polinomios

Un polinomio es una suma o resta de monomios. Cada monomio se llama término.

\[ 4x^3-2x^2+5x-9 \]

Está ordenado de mayor a menor grado.

Binomio

\[ 3x+5 \]

Dos términos

Trinomio

\[ x^2-4x+1 \]

Tres términos

Grado

\[ 5x^4-2x+8 \]

Grado 4

Término independiente

\[ x^2+3x-7 \]

Es \(-7\)

Ejercicio 30

Indica grado y término independiente:

\[ 6x^5-3x^2+9x-11 \]

El mayor exponente es 5, por tanto el grado es 5.

El término independiente es:

\[ -11 \]

Ejercicio 31

Ordena el polinomio:

\[ 4-3x^3+8x-x^2 \]
\[ -3x^3-x^2+8x+4 \]

Ejercicio 32

Completa para que sea un polinomio de grado 4 con término independiente 6.

Una posible respuesta:

\[ 2x^4-3x+6 \]

Ejercicio 33

Clasifica:

\[ 7x^2-5x+1 \]

Tiene tres términos, por tanto es un trinomio.

Su grado es 2.

Volver arriba

Sumas y restas de polinomios

Para sumar o restar polinomios se agrupan términos semejantes. En las restas, lo más importante es cambiar el signo a todos los términos del segundo paréntesis.

Ejercicio 34

Suma:

\[ (3x^2-5x+7)+(4x^2+2x-9) \]
\[ 3x^2+4x^2=7x^2 \] \[ -5x+2x=-3x \] \[ 7-9=-2 \] \[ 7x^2-3x-2 \]

Ejercicio 35

Resta:

\[ (8x^2-3x+5)-(2x^2+7x-4) \]
\[ 8x^2-3x+5-2x^2-7x+4 \] \[ 6x^2-10x+9 \]

Ejercicio 36

Opera:

\[ (5x^3-2x^2+x-8)+(3x^3+7x^2-4x+1) \]
\[ 5x^3+3x^3=8x^3 \] \[ -2x^2+7x^2=5x^2 \] \[ x-4x=-3x \] \[ -8+1=-7 \] \[ 8x^3+5x^2-3x-7 \]

Ejercicio 37

Opera:

\[ (6x^3-x^2+4x-2)-(x^3+5x^2-7x+9) \]
\[ 6x^3-x^2+4x-2-x^3-5x^2+7x-9 \] \[ 5x^3-6x^2+11x-11 \]

Ejercicio 38

Opera:

\[ (2x^2-3x+1)+(5x^2+x-6)-(4x^2-2x+3) \]
\[ 2x^2+5x^2-4x^2=3x^2 \] \[ -3x+x+2x=0 \] \[ 1-6-3=-8 \] \[ 3x^2-8 \]

Ejercicio 39

Calcula \(A(x)+B(x)-C(x)\), siendo:

\[ A(x)=3x^2-4x+5 \] \[ B(x)=x^2+7x-2 \] \[ C(x)=2x^2-x+8 \]
\[ A(x)+B(x)-C(x) \] \[ (3x^2-4x+5)+(x^2+7x-2)-(2x^2-x+8) \] \[ 3x^2+x^2-2x^2=2x^2 \] \[ -4x+7x+x=4x \] \[ 5-2-8=-5 \] \[ 2x^2+4x-5 \]

Revisión obligatoria en restas

Cada término del segundo paréntesis cambia de signo. No solo el primero.

Volver arriba

Productos con monomios y polinomios

En los productos algebraicos se multiplican coeficientes y se suman exponentes cuando la base es la misma.

\[ x^2\cdot x^5=x^7 \]

Ejercicio 40

Multiplica:

\[ (4x^2)(-3x^5) \]
\[ 4\cdot(-3)=-12 \] \[ x^2\cdot x^5=x^7 \] \[ -12x^7 \]

Ejercicio 41

Multiplica:

\[ (-2a^3b)(5ab^2) \]
\[ -2\cdot5=-10 \] \[ a^3\cdot a=a^4 \] \[ b\cdot b^2=b^3 \] \[ -10a^4b^3 \]

Ejercicio 42

Multiplica:

\[ 3x(2x^2-5x+4) \]
\[ 3x\cdot2x^2=6x^3 \] \[ 3x\cdot(-5x)=-15x^2 \] \[ 3x\cdot4=12x \] \[ 6x^3-15x^2+12x \]

Ejercicio 43

Multiplica:

\[ -2x^2(4x^3-3x+5) \]
\[ -8x^5+6x^3-10x^2 \]

Ejercicio 44

Multiplica:

\[ (x+4)(x+6) \]
\[ x^2+6x+4x+24 \] \[ x^2+10x+24 \]

Ejercicio 45

Multiplica:

\[ (2x-3)(x+5) \]
\[ 2x^2+10x-3x-15 \] \[ 2x^2+7x-15 \]

Ejercicio 46

Multiplica:

\[ (3x+2)(2x-7) \]
\[ 6x^2-21x+4x-14 \] \[ 6x^2-17x-14 \]

Ejercicio 47

Multiplica:

\[ (x^2-3x+1)(x+2) \]
\[ x^3+2x^2-3x^2-6x+x+2 \] \[ x^3-x^2-5x+2 \]

Ejercicio 48

Multiplica:

\[ (2x^2+x-4)(3x-1) \]
\[ 6x^3-2x^2+3x^2-x-12x+4 \] \[ 6x^3+x^2-13x+4 \]

Consejo práctico

En productos largos, multiplica por orden y tacha mentalmente cada término cuando ya lo hayas usado.

Recursos relacionados para seguir estudiando Álgebra 2 ESO

El álgebra de 2 ESO no se aprende aislada. Se apoya en operaciones con enteros, fracciones, paréntesis y ecuaciones. Por eso conviene seguir una ruta ordenada y repasar los contenidos que más influyen en los errores habituales.

Operaciones combinadas 1 ESO

Muy útil si el alumno falla signos, paréntesis, potencias o jerarquía de operaciones antes de empezar con letras.

Repasar operaciones

Enteros y fracciones 1 ESO

Base necesaria para operar bien con coeficientes negativos, fracciones algebraicas sencillas y expresiones con denominadores.

Repasar enteros y fracciones

Álgebra y ecuaciones 1 ESO

Recurso recomendado si el alumno necesita volver a la base antes de trabajar monomios, polinomios y problemas más largos.

Ver álgebra de 1 ESO

Ecuaciones ESO Bachillerato PAU

El paso natural después del lenguaje algebraico es aprender a resolver ecuaciones con seguridad y comprobación.

Continuar con ecuaciones

Sistemas de ecuaciones 2 ESO 3 ESO 4 ESO

Para aplicar el álgebra en problemas con dos incógnitas y preparar contenidos posteriores de ESO.

Ver sistemas de ecuaciones

Polinomios, productos notables y factorización

Perfecto para seguir ampliando después de dominar monomios, operaciones y productos notables básicos.

Seguir con polinomios

Álgebra 4 ESO para preparar 1 Bachillerato

Recurso adecuado para alumnos que ya dominan 2 ESO y quieren ver hacia dónde evoluciona el álgebra en cursos superiores.

Ver álgebra avanzada

Recuperaciones ESO junio

Ruta útil para alumnos que necesitan organizar el repaso final de Matemáticas antes de una recuperación.

Preparar recuperación

Clases de Matemáticas para reforzar Álgebra 2 ESO

Si el alumno se bloquea con letras, signos o paréntesis, conviene corregirlo pronto. El álgebra de 2 ESO es una base directa para ecuaciones, sistemas, funciones y polinomios de cursos posteriores.

En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas de ESO, Bachillerato y PAU con explicación paso a paso, ejercicios graduados y corrección constante. En las clases online se puede escribir en la misma pizarra digital compartida, de modo que el profesor ve el razonamiento del alumno mientras lo está haciendo.

Ver clases online Clases online por la mañana Solicitar información

Más recursos educativos de Marlu Educativa

Puedes seguir practicando con más materiales de Matemáticas, Física y Química en la sección de recursos educativos y en el blog de Marlu Educativa.

Ver recursos educativos Ir al blog
Último post
Progresiones aritméticas y geométricas 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Back to list
Siguiente Divisibilidad ESO ejercicios resueltos paso a paso MCD mcm y números primos