Ejercicios resueltos de números enteros y fracciones 1 ESO

Sean \(A=-8\), \(B\) el opuesto de \(-5\) y \(C\) el entero negativo situado a 4 unidades de 1. Determina los tres, ordénalos y calcula la mayor distancia entre dos de ellos.

\(B=5\). Los puntos a 4 unidades de 1 son \(-3\) y 5; como \(C\) es negativo, \(C=-3\). El orden es \(-8<-3<5\) y la mayor distancia vale \(5-(-8)=13\).

Calcula \(18-3[4-2(-5)]+24\div(-6)\). Escribe una línea por cada nivel de prioridad.

Dentro del corchete, \(2(-5)=-10\) y \(4-(-10)=14\). Además, \(24\div(-6)=-4\). Por tanto, \(18-3\cdot14-4=18-42-4=-28\).

Simplifica \(\frac{84}{126}\), compárala sin decimales con \(\frac{5}{8}\) y calcula la diferencia exacta entre ambas.

\(\frac{84}{126}=\frac{2}{3}\). Como \(2\cdot8=16>15=3\cdot5\), se cumple \(\frac{2}{3}>\frac{5}{8}\). La diferencia es \(\frac{2}{3}-\frac{5}{8}=\frac{16-15}{24}=\frac{1}{24}\).

Calcula y reduce \(\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{4}\right)\div\frac{7}{12}+\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\).

El paréntesis vale \(\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\), por lo que el cociente es 1. El producto es \(\frac{2}{5}\). El resultado final es \(1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}\).

De 120 estudiantes, \(\frac{3}{8}\) elige una actividad. Después, \(\frac{2}{5}\) de quienes quedaban elige otra. Calcula cuántos quedan sin asignar y qué fracción del total representan.

La primera actividad reúne \(\frac{3}{8}\cdot120=45\) estudiantes y quedan 75. La segunda recibe \(\frac{2}{5}\cdot75=30\). Quedan \(75-30=45\), que representan \(\frac{45}{120}=\frac{3}{8}\) del total.

El primer día se lee \(\frac{1}{4}\) de un libro y el segundo \(\frac{1}{3}\) de las páginas que quedaban. Después faltan 60 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas se leyeron cada día?

Tras el primer día queda \(\frac{3}{4}\). Tras leer un tercio de ese resto, se conservan sus \(\frac{2}{3}\): \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\). Si la mitad son 60 páginas, el libro tiene 120. Se leen 30 páginas el primer día y 30 el segundo.

Determina cuatro enteros: a es el anterior a −4; b es el opuesto de −7; c cumple |c| = 3 y c < 0; d está a 5 unidades de −2 y es positivo. Ordénalos, represéntalos y calcula la mayor distancia entre dos de ellos.

a = −5, b = 7, c = −3 y d = 3. El orden es −5 < −3 < 3 < 7. Los extremos son −5 y 7; su distancia es 7 − (−5) = 12 unidades.

En una recta graduada, dos marcas consecutivas distan 4 unidades. M está en −10; N se encuentra tres intervalos entre marcas a la derecha de M y P, dos intervalos entre marcas a la izquierda de N. Halla N y P, escribe todos los enteros situados a una distancia no mayor que 3 de P y decide si P está más cerca de M o de N.

N = −10 + 3·4 = 2 y P = 2 − 2·4 = −6. Los enteros buscados van de −9 a −3: −9, −8, −7, −6, −5, −4 y −3. P dista 4 unidades de M y 8 de N, por lo que está más cerca de M.

Encuentra el entero situado exactamente a la misma distancia de −14 y 4. Después explica por qué no existe ningún entero que esté exactamente a la misma distancia de −9 y 4.

Entre −14 y 4 hay 18 unidades; la mitad son 9. Al avanzar 9 desde −14 se llega a −5, que es el punto medio. Entre −9 y 4 hay 13 unidades, una distancia impar: su mitad no es un número entero. Por eso ningún entero puede ser punto medio de esos dos valores.

Escribe todos los enteros cuya distancia a −3 sea como mínimo 2 y como máximo 5. Indica cuántos hay y calcula su suma sin añadirlos uno a uno.

A la izquierda aparecen −8, −7, −6 y −5; a la derecha, −1, 0, 1 y 2. Hay ocho. Se emparejan los que están a igual distancia de −3: cada pareja suma −6 y hay cuatro parejas. La suma es 4·(−6) = −24.

Traduce cada situación a un número con signo: una deuda de 45 €, una ganancia de 18 €, una profundidad de 12 m bajo el nivel del mar y una temperatura de 4 °C bajo cero. Después, considerando únicamente los cuatro enteros obtenidos como puntos de una recta numérica, ordénalos y localiza los dos que quedan más alejados.

Los valores son −45, 18, −12 y −4. Ordenados: −45 < −12 < −4 < 18. En la recta numérica, los extremos son −45 y 18; su distancia numérica es 63.

Sitúa \(\frac{5}{6}\), \(\frac{7}{4}\) y \(\frac{13}{6}\) en una recta numérica. Indica entre qué enteros consecutivos cae cada fracción, cuál es el entero más próximo y a qué distancia se encuentra de él.

\(\frac{5}{6}\) está entre 0 y 1; su entero más próximo es 1 y dista \(\frac{1}{6}\). \(\frac{7}{4}\) está entre 1 y 2; está más cerca de 2 y dista \(\frac{1}{4}\). \(\frac{13}{6}\) está entre 2 y 3; está más cerca de 2 y dista \(\frac{1}{6}\). Para dibujarlas puede usarse el denominador común 12: \(\frac{10}{12}\), \(\frac{21}{12}\) y \(\frac{26}{12}\).

Completa \(\frac{18}{30}=\frac{n}{25}=\frac{21}{m}\). Reduce primero la fracción cuando resulte útil. Decide además, sin usar decimales, si \(\frac{17}{28}\) es equivalente a las anteriores.

\(\frac{18}{30}\) = \(\frac{3}{5}\). De \(\frac{3}{5}\) = n/25 se obtiene n = 15; de \(\frac{3}{5}\) = 21/m, como 3 se ha multiplicado por 7, m = 35. \(\frac{17}{28}\) no es equivalente: 3·28 = 84, mientras que 5·17 = 85.

Al simplificar \(\frac{84}{126}\), una alumna divide ambos términos entre 6, obtiene \(\frac{14}{21}\) y afirma que ya es irreducible. Revisa su conclusión, termina la simplificación y comprueba que la fracción final representa el mismo valor.

14 y 21 aún tienen divisor común 7. Al dividir se obtiene \(\frac{2}{3}\), que sí es irreducible. La equivalencia se comprueba con productos cruzados: 84·3 = 252 y 126·2 = 252.

Ordena de menor a mayor \(\frac{7}{12}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{2}{3}\) y \(\frac{11}{18}\) sin convertirlas en decimales. Después señala qué dos fracciones consecutivas del orden obtenido están más próximas.

Con denominador 72: \(\frac{7}{12}\) = \(\frac{42}{72}\), \(\frac{11}{18}\) = \(\frac{44}{72}\), \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{45}{72}\) y \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{48}{72}\). Por tanto, \(\frac{7}{12}\) < \(\frac{11}{18}\) < \(\frac{5}{8}\) < \(\frac{2}{3}\). Las más próximas son \(\frac{11}{18}\) y \(\frac{5}{8}\), separadas solo por \(\frac{1}{72}\).

Encuentra todas las fracciones de denominador 72 situadas estrictamente entre \(\frac{5}{8}\) y \(\frac{2}{3}\). Indica cuáles están ya en forma irreducible.

\(\frac{5}{8}\) = \(\frac{45}{72}\) y \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{48}{72}\). Las únicas posibilidades son \(\frac{46}{72}\) y \(\frac{47}{72}\). La primera se reduce a \(\frac{23}{36}\); la segunda es irreducible porque 47 y 72 no tienen divisor común mayor que 1.

Compara \(\frac{28}{42}\) y \(\frac{35}{54}\) mediante productos cruzados. Averigua cuál es mayor y calcula la diferencia exacta entre ambas, expresada como fracción irreducible.

28·54 = 1512 y 35·42 = 1470; por tanto, \(\frac{28}{42}\) es mayor. La diferencia es \(\frac{1512-1470}{42\cdot54}=\frac{42}{2268}=\frac{1}{54}\). También puede verse reduciendo \(\frac{28}{42}\) a \(\frac{2}{3}=\frac{36}{54}\).

Tres alumnos sitúan \(\frac{7}{3}\) en la recta. Uno dice que cae entre 1 y 2; otro, entre 2 y 3; el tercero afirma que es 2 + \(\frac{1}{3}\). Decide quiénes tienen razón, calcula su distancia a 2 y a 3 y explica por qué \(\frac{14}{6}\) ocupa el mismo punto.

\(\frac{7}{3}\) = 2 + \(\frac{1}{3}\), así que son correctas la segunda y la tercera afirmación. Dista \(\frac{1}{3}\) de 2 y \(\frac{2}{3}\) de 3. Como \(\frac{14}{6}\) se simplifica dividiendo entre 2 y queda \(\frac{7}{3}\), ambas fracciones representan el mismo punto.

Un ascensor parte de la planta −2, sube 9 plantas, baja 10 y vuelve a subir 6. Indica la planta final, la distancia total recorrida y el desplazamiento entre el inicio y el final. ¿Cuántas veces atraviesa la planta 0?

Las posiciones son −2 → 7 → −3 → 3. Termina en la planta 3. Recorre 9 + 10 + 6 = 25 plantas, mientras que su desplazamiento es 3 − (−2) = +5. Atraviesa la planta 0 en cada uno de los tres trayectos: tres veces.

Un equipo comienza un concurso con −4 puntos. En las cuatro rondas sus cambios son +12, −9, un valor desconocido y −7. Termina con 5 puntos. Halla el tercer cambio, reconstruye la puntuación tras cada ronda y calcula la suma de las magnitudes de los cuatro cambios.

Antes del cambio desconocido lleva −4 + 12 − 9 = −1. Debe cumplirse −1 + x − 7 = 5, de donde x = 13. Las puntuaciones son −4, 8, −1, 12 y 5. La suma de magnitudes es 12 + 9 + 13 + 7 = 41.

Un congelador está a −18 °C. Durante cuatro horas la temperatura aumenta 3 °C cada hora; después el sistema la reduce 5 °C por hora durante dos horas. Escribe la temperatura al final de cada hora, determina la final y la máxima, y señala en qué primera lectura horaria supera el límite de seguridad de −8 °C.

La temperatura inicial es −18 °C. Las lecturas al final de las seis horas son −15, −12, −9, −6, −11 y −16 °C. La temperatura final es −16 °C y la máxima, −6 °C. La primera lectura horaria superior a −8 °C es la de la cuarta hora: −6 °C.

Una cuenta parte de un saldo de −35 €. Recibe 48 €, paga 27 € y se carga una comisión de 6 €. ¿Qué transferencia debe recibir para terminar con 15 €? Calcula también el movimiento total de dinero, sumando los valores absolutos de todas las operaciones.

Tras los tres primeros movimientos queda −35 + 48 − 27 − 6 = −20 €. Para llegar a 15 € debe recibir 35 €. El movimiento total es 48 + 27 + 6 + 35 = 116 €.

Tres estaciones registran −7 °C, 4 °C y −12 °C. Ordénalas de más fría a más cálida, calcula la amplitud térmica entre los extremos y determina cuánto tendría que aumentar cada temperatura negativa para igualar los 4 °C. Si todas bajan 5 °C, ¿cambia el orden?

El orden es −12 < −7 < 4. La amplitud es 4 − (−12) = 16 °C. Para alcanzar 4 °C, −7 debe subir 11 °C y −12 debe subir 16 °C. Restar 5 a las tres conserva las diferencias y el orden no cambia.

Dos números enteros suman −4 y están separados por 10 unidades. Encuéntralos razonando desde su punto medio, represéntalos y comprueba ambas condiciones.

Su punto medio es la mitad de −4, es decir, −2. Como la separación total es 10, cada número está a 5 unidades del punto medio: −2 − 5 = −7 y −2 + 5 = 3. En la recta quedan −7 < −2 < 3, con −2 como punto medio. Se comprueba que −7 + 3 = −4 y que 3 − (−7) = 10.

En cinco rondas, los cambios de un marcador son +7, −12, +5, −9 y un último cambio desconocido. El marcador empezó y terminó en 0. Halla el último cambio, escribe los valores intermedios, localiza el máximo y el mínimo y calcula la suma de los valores absolutos de los cinco cambios.

Los cuatro primeros cambios suman −9, de modo que el último debe ser +9. Los valores son 0, 7, −5, 0, −9 y 0. El máximo es 7, el mínimo −9 y el movimiento total 7 + 12 + 5 + 9 + 9 = 42 puntos.

Una jaula minera parte de la cota −32 m y alcanza la cota −7 m tras cinco ascensos de la misma longitud. ¿Cuántos metros asciende en cada tramo? Después desciende tres tramos de esa misma longitud. ¿En qué cota termina y qué distancia total ha recorrido? Distingue esa distancia del desplazamiento entre el inicio y el final.

Desde −32 m hasta −7 m asciende \(-7-(-32)=25\) m. Como los cinco tramos son iguales, cada uno mide \(25:5=5\) m. Los tres descensos suman \(3\cdot5=15\) m, de modo que termina en la cota \(-7-15=-22\) m.

La distancia total es \(25+15=40\) m. El desplazamiento, en cambio, compara solo las posiciones inicial y final: \(-22-(-32)=+10\) m. Recorre 40 m y termina 10 m por encima del punto de partida.

Un robot empieza en −8. Sus desplazamientos son +11, −5, el opuesto del primer desplazamiento y un cuarto movimiento desconocido. Termina en −2. Halla el último movimiento, señala las posiciones máxima y mínima alcanzadas y calcula la distancia total.

Las primeras posiciones son −8 → 3 → −2 → −13. Para pasar de −13 a −2 necesita +11. La posición máxima es 3 y la mínima −13. La distancia total es 11 + 5 + 11 + 11 = 38 unidades.

Un ascensor solo puede circular entre las plantas −4 y 8. Parte de la 6 y recibe las órdenes −9, +12 y −5. Comprueba si el recorrido es válido. Si no lo es, encuentra todas las formas de modificar una sola orden en el menor número entero de plantas posible para que el recorrido sea válido, manteniendo las otras dos.

El recorrido original es 6 → −3 → 9 → 4; no es válido porque alcanza la planta 9. Hay dos correcciones mínimas de una unidad: cambiar −9 por −10 produce 6 → −4 → 8 → 3; cambiar +12 por +11 produce 6 → −3 → 8 → 3. En ambos casos todas las posiciones quedan dentro del intervalo permitido.

Calcula A = \(\frac{7}{12}\) + \(\frac{5}{18}\) y B = \(\frac{11}{15}\) − \(\frac{7}{20}\). Reduce los resultados, decide cuál es mayor y calcula la diferencia exacta entre ambos.

A = \(\frac{21}{36}\) + \(\frac{10}{36}\) = \(\frac{31}{36}\). B = \(\frac{44}{60}\) − \(\frac{21}{60}\) = \(\frac{23}{60}\). Con denominador 180, A = \(\frac{155}{180}\) y B = \(\frac{69}{180}\); A es mayor y A − B = \(\frac{86}{180}\) = \(\frac{43}{90}\).

Calcula \(\frac{17}{24}\) − \(\frac{5}{18}\). Explica por qué no se pueden restar directamente numeradores y denominadores y deja el resultado irreducible.

Se necesita una unidad fraccionaria común. El mínimo común múltiplo de 24 y 18 es 72: \(\frac{17}{24}\) = \(\frac{51}{72}\) y \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{20}{72}\). La diferencia es \(\frac{31}{72}\), ya irreducible.

Calcula \(\frac{14}{25}\) · \(\frac{15}{28}\) simplificando antes de multiplicar. Comprueba el resultado mediante la multiplicación sin simplificación previa.

Como toda la expresión es un producto, se pueden cancelar factores comunes antes de multiplicar. Se simplifica \(\frac{14}{28}=\frac{1}{2}\) y \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\); queda \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}\). Sin simplificar, \(\frac{14\cdot15}{25\cdot28}=\frac{210}{700}=\frac{3}{10}\).

Calcula \(\frac{21}{32}\) : \(\frac{7}{12}\) y expresa el resultado como fracción irreducible y como número mixto. Explica por qué el cociente es mayor que 1.

Dividir entre \(\frac{7}{12}\) equivale a multiplicar por \(\frac{12}{7}\): \(\frac{21}{32}\cdot\frac{12}{7}\). Se simplifican \(\frac{21}{7}=3\) y \(\frac{12}{32}=\frac{3}{8}\); resulta \(\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}\). Además, \(\frac{21}{32}=\frac{63}{96}\) y \(\frac{7}{12}=\frac{56}{96}\). Como ambos son positivos y el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que 1.

Encuentra la fracción x que cumple x + \(\frac{5}{12}\) = \(\frac{7}{8}\). Da el resultado irreducible y compruébalo sustituyéndolo en la igualdad.

x = \(\frac{7}{8}\) − \(\frac{5}{12}\) = \(\frac{21}{24}\) − \(\frac{10}{24}\) = \(\frac{11}{24}\). Comprobación: \(\frac{11}{24}\) + \(\frac{5}{12}\) = \(\frac{11}{24}\) + \(\frac{10}{24}\) = \(\frac{21}{24}\) = \(\frac{7}{8}\).

Halla x si x − \(\frac{7}{20}\) = \(\frac{11}{30}\). Explica qué operación deshace la resta y verifica la solución.

Se suma \(\frac{7}{20}\) a ambos lados: x = \(\frac{11}{30}\) + \(\frac{7}{20}\) = \(\frac{22}{60}\) + \(\frac{21}{60}\) = \(\frac{43}{60}\). Al comprobar, \(\frac{43}{60}\) − \(\frac{21}{60}\) = \(\frac{22}{60}\) = \(\frac{11}{30}\).

Busca una fracción positiva x que cumpla \(\frac{5}{6}\) : x = \(\frac{10}{9}\). Razona cómo se recupera un divisor desconocido y comprueba el resultado.

Si dividendo : divisor = cociente, entonces divisor = dividendo : cociente. Así, x = \(\frac{5}{6}\) : \(\frac{10}{9}\) = \(\frac{5}{6}\) · \(\frac{9}{10}\) = \(\frac{45}{60}\) = \(\frac{3}{4}\). Comprobación: \(\frac{5}{6}\) : \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{5}{6}\) · \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{20}{18}\) = \(\frac{10}{9}\).

Una fracción x cumple que \(\frac{3}{4}\) de x es \(\frac{5}{8}\). Determina x y comprueba que el resultado satisface la condición.

La condición es \(\frac{3}{4}\) · x = \(\frac{5}{8}\). Se divide por \(\frac{3}{4}\): x = \(\frac{5}{8}\) : \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{5}{8}\) · \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{20}{24}\) = \(\frac{5}{6}\). En efecto, \(\frac{3}{4}\) · \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{15}{24}\) = \(\frac{5}{8}\).

Calcula y expresa como fracción irreducible: a) 1 − \(\frac{7}{15}\); b) 2 − \(\frac{11}{12}\). En el segundo caso, escribe también el número mixto.

a) 1 = \(\frac{15}{15}\), luego \(\frac{15}{15}\) − \(\frac{7}{15}\) = \(\frac{8}{15}\). b) 2 = \(\frac{24}{12}\), por lo que \(\frac{24}{12}\) − \(\frac{11}{12}\) = \(\frac{13}{12}\) = 1 \(\frac{1}{12}\).

Opera con números mixtos y reduce: a) 2 \(\frac{1}{3}\) + 1 \(\frac{5}{6}\); b) 3 \(\frac{1}{5}\) − 1 \(\frac{7}{10}\).

a) 2 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{14}{6}\) y 1 \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{11}{6}\); la suma es \(\frac{25}{6}\) = 4 \(\frac{1}{6}\). b) 3 \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{32}{10}\) y 1 \(\frac{7}{10}\) = \(\frac{17}{10}\); la diferencia es \(\frac{15}{10}\) = \(\frac{3}{2}\) = 1 \(\frac{1}{2}\).

Sin efectuar primero toda la suma, decide si \(A=\frac{13}{18}+\frac{5}{12}\) es mayor que 1. Calcúlala después, exprésala como número mixto y determina qué fracción habría que añadir para llegar a \(\frac{3}{2}\). Comprueba la respuesta.

Como \(\frac{13}{18}>\frac{7}{12}=1-\frac{5}{12}\), la suma supera 1. Después, \(A=\frac{26}{36}+\frac{15}{36}=\frac{41}{36}=1\frac{5}{36}\). Para llegar a \(\frac{3}{2}\) falta \(\frac{3}{2}-\frac{41}{36}=\frac{54}{36}-\frac{41}{36}=\frac{13}{36}\). La comprobación es \(\frac{41}{36}+\frac{13}{36}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}\).

Calcula P = \(\frac{21}{32}\) · \(\frac{16}{49}\) y Q = \(\frac{15}{28}\) : \(\frac{25}{42}\). Simplifica antes de multiplicar, compara los resultados y halla la diferencia.

P = (\(\frac{21}{49}\))·(\(\frac{16}{32}\)) = \(\frac{3}{7}\)·\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{14}\). Q = \(\frac{15}{28}\)·\(\frac{42}{25}\) = \(\frac{3}{5}\)·\(\frac{3}{2}\) = \(\frac{9}{10}\). Q es mayor y Q − P = \(\frac{9}{10}\) − \(\frac{3}{14}\) = \(\frac{63}{70}\) − \(\frac{15}{70}\) = \(\frac{48}{70}\) = \(\frac{24}{35}\).

Calcula \(\frac{1}{2}\) de \(\frac{3}{5}\) y \(\frac{3}{5}\) de \(\frac{1}{2}\). Compara los resultados entre sí y con \(\frac{1}{3}\), indicando las diferencias exactas.

Ambos productos valen \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}\); el orden de los factores no altera el resultado. La diferencia entre ambos productos es 0. Como \(\frac{1}{3}=\frac{10}{30}\) y \(\frac{3}{10}=\frac{9}{30}\), cada producto es menor que \(\frac{1}{3}\) en \(\frac{1}{30}\).

Encuentra el número natural \(n\), con \(n>0\), que hace verdadera la igualdad \(\frac{1}{3}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\). Explica por qué la solución es única y compruébala.

La fracción que falta es \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}\). Por tanto, \(\frac{1}{n}=\frac{1}{6}\). Como \(n\) es natural positivo, se obtiene necesariamente \(n=6\), y no hay otra solución. Comprobación: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\).

En una ruta se recorre por la mañana \(\frac{2}{9}\) del trayecto y por la tarde \(\frac{1}{4}\) del trayecto completo. Quedan 95 km. Halla la longitud total, los kilómetros de cada etapa y comprueba que las tres partes reconstruyen la ruta.

Se ha recorrido \(\frac{2}{9}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{8}{36}\) + \(\frac{9}{36}\) = \(\frac{17}{36}\); queda \(\frac{19}{36}\). Si \(\frac{19}{36}\) son 95 km, \(\frac{1}{36}\) son 5 km y el total es 180 km. Mañana: 40 km; tarde: 45 km; quedan 95 km. Comprobación: 40 + 45 + 95 = 180.

Un libro tiene entre 200 y 220 páginas. El lunes se lee \(\frac{2}{7}\) del total y el martes \(\frac{1}{3}\) del total. Se sabe que ambos días se lee un número entero de páginas. Determina cuántas páginas puede tener el libro, cuánto se lee cada día y cuánto queda.

El total debe ser múltiplo de 7 y de 3, por tanto múltiplo de 21. Entre 200 y 220, el único posible es 210. El lunes se leen 60 páginas y el martes 70. Quedan 210 − 60 − 70 = 80 páginas, es decir, \(\frac{8}{21}\) del libro.

En un taller, \(\frac{3}{8}\) del alumnado elige robótica. Después, \(\frac{2}{5}\) de quienes quedaban elige diseño. Las 15 personas restantes eligen programación. Averigua cuántos alumnos hay y cuántos escogen cada opción.

Tras robótica queda \(\frac{5}{8}\). Diseño reúne \(\frac{2}{5}\) de \(\frac{5}{8}\), es decir, \(\frac{1}{4}\) del total. Programación representa 1 − \(\frac{3}{8}\) − \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{8}\). Si \(\frac{3}{8}\) son 15, el total es 40. Robótica: 15; diseño: 10; programación: 15.

De una colección se entrega primero \(\frac{1}{4}\) del total y después \(\frac{2}{5}\) de lo que quedaba. Al final permanecen 90 piezas. Determina el número inicial y cuántas se entregaron en cada ocasión.

Tras la primera entrega queda \(\frac{3}{4}\); tras la segunda queda \(\frac{3}{5}\) de esa cantidad. Por tanto permanece \(\frac{3}{4}\)·\(\frac{3}{5}\) = \(\frac{9}{20}\) del total. Si \(\frac{9}{20}\) son 90, el total es 200. Primera entrega: 50; quedan 150. Segunda: \(\frac{2}{5}\)·150 = 60; permanecen 90.

Una ruta mide 180 km. En la primera etapa se recorre \(\frac{1}{6}\) del total. Se quiere dejar exactamente la mitad de la ruta para la última etapa. ¿Qué fracción de la distancia que queda tras la primera etapa debe recorrerse en la segunda? Comprueba el resultado en kilómetros.

En la primera etapa se recorren 30 km y quedan 150. Para dejar 90 km para la última etapa, en la segunda deben recorrerse 60. Esa cantidad representa \(\frac{60}{150}=\frac{2}{5}\) de lo que quedaba. Comprobación: 30 + 60 + 90 = 180.

En una caja, \(\frac{3}{10}\) de las bolas son rojas y \(\frac{1}{4}\) son azules. Las otras 63 son verdes. ¿Cuántas bolas hay y cuántas son de cada color?

Rojas y azules suman \(\frac{3}{10}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{12}{40}\) + \(\frac{10}{40}\) = \(\frac{11}{20}\). Las verdes son \(\frac{9}{20}\). Si \(\frac{9}{20}\) son 63, \(\frac{1}{20}\) son 7 y el total es 140. Rojas: 42; azules: 35; verdes: 63.

Un grupo tiene 32 personas. Falta inicialmente \(\frac{1}{8}\) del grupo y después se marcha \(\frac{1}{7}\) de quienes habían asistido. Calcula cuántas personas quedan. Un alumno afirma que en el segundo momento se marcha \(\frac{1}{7}\) del grupo completo: explica el error y expresa esa salida como fracción del total.

Faltan 4 personas y asisten 28. Después se marchan \(\frac{1}{7}\)·28 = 4, por lo que quedan 24. La fracción \(\frac{1}{7}\) se refiere a quienes asistieron, no al grupo completo. Las 4 personas que se marchan representan \(\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\) del total.

Una novela tiene 120 páginas. El primer día se lee \(\frac{1}{5}\) del libro y el segundo \(\frac{1}{4}\) de las páginas que quedaban. Se quiere terminar lo restante en tres días leyendo cada día la misma cantidad. ¿Cuántas páginas habrá que leer diariamente y qué fracción del libro representa cada una de esas jornadas?

El primer día se leen 24 páginas y quedan 96. El segundo se leen \(\frac{1}{4}\)·96 = 24 y quedan 72. Repartidas en tres días, corresponden 24 páginas diarias. Cada jornada representa \(\frac{24}{120}=\frac{1}{5}\) del libro.

En un lote se rechaza \(\frac{1}{12}\) de las piezas. De las restantes se reserva \(\frac{2}{11}\) para una prueba y quedan 90 listas para enviar. Calcula el tamaño inicial, las rechazadas y las reservadas.

Tras el rechazo queda \(\frac{11}{12}\). La reserva es \(\frac{2}{11}\) de \(\frac{11}{12}\) = \(\frac{1}{6}\) del total. Para enviar queda 1 − \(\frac{1}{12}\) − \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{3}{4}\). Si \(\frac{3}{4}\) son 90, el lote era de 120 piezas. Se rechazaron 10 y se reservaron 20.

Decide si son verdaderas y corrige las falsas: a) como |−9| > |−4|, entonces −9 > −4; b) la distancia entre −8 y 3 es 5; c) restar un número negativo da siempre un resultado positivo.

Las tres son falsas. a) −9 < −4: mayor valor absoluto no significa mayor número cuando ambos son negativos. b) La distancia es 3 − (−8) = 11. c) Restar un negativo equivale a sumar, pero el resultado puede seguir siendo negativo; por ejemplo, −10 − (−3) = −7.

En una clase, cada estudiante elige una sola actividad. \(\frac{2}{5}\) del alumnado elige teatro y 12 estudiantes eligen música. ¿Puede saberse cuántos alumnos hay? Justifica tu respuesta, ofrece dos totales posibles y señala qué dato adicional permitiría resolverlo.

No basta: no se dice que teatro y música sean las únicas opciones. Con 20 alumnos, 8 podrían elegir teatro y 12 música. Con 25, 10 podrían elegir teatro, 12 música y 3 otra opción. Permitiría resolverlo saber, por ejemplo, que teatro y música son las únicas actividades, o conocer el número exacto de estudiantes que eligen otras opciones.

Un enunciado afirma que una caja contiene 90 fichas. De ellas, \(\frac{2}{3}\) son rojas y \(\frac{1}{4}\), azules. Explica qué problema presentan esos datos si cada ficha tiene un único color. Propón el menor total superior a 90 que permita obtener un número entero de fichas de ambos colores.

\(\frac{2}{3}\) de 90 son 60, pero \(\frac{1}{4}\) de 90 son 22,5 fichas, algo imposible. El total debe ser múltiplo de 3 y de 4, por tanto de 12. El menor múltiplo de 12 superior a 90 es 96. Entonces habría 64 rojas y 24 azules; quedarían 8 de otros colores si las categorías no agotan la caja.

Un alumno afirma que \(\frac{17}{24}\) es mayor que \(\frac{5}{7}\) porque 17 > 5. Decide si tiene razón sin usar decimales y calcula exactamente \(\frac{5}{7}-\frac{17}{24}\).

Hay que considerar también los denominadores. Como 17·7 = 119 y 5·24 = 120, se cumple \(\frac{17}{24}<\frac{5}{7}\). Además, \(\frac{5}{7}-\frac{17}{24}=\frac{120-119}{168}=\frac{1}{168}\).

Una solución afirma: «Si \(\frac{5}{8}\) de una colección son 45 piezas, la colección tiene 72». Comprueba la afirmación de dos maneras y calcula cuántas piezas no pertenecen a esos \(\frac{5}{8}\).

Primera comprobación: 45 : 5 = 9 piezas por octavo y 9·8 = 72. Segunda: \(\frac{5}{8}\)·72 = 45. La parte restante es \(\frac{3}{8}\)·72 = 27 piezas, también 72 − 45 = 27.

Se dice que \(\frac{7}{12}\) de las piezas de una caja son azules y que hay exactamente 50 azules. ¿Puede ser cierto con un número entero de piezas? Justifica y da las cantidades posibles inmediatamente inferior y superior a 50, junto con sus totales correspondientes.

Si \(\frac{7}{12}\) del total es un recuento entero, el total debe ser múltiplo de 12 y las azules, múltiplo de 7. Como 50 no es múltiplo de 7, el dato es imposible. Los múltiplos de 7 más próximos son 49 y 56: corresponden respectivamente a totales de 84 y 96 piezas.

El depósito A está lleno a \(\frac{3}{5}\) y el B a \(\frac{7}{12}\). Un estudiante concluye que A contiene más agua. ¿Es siempre válida la conclusión? Indica cuándo sí puede afirmarse y construye un ejemplo en el que B contenga más litros.

Si las capacidades son \(C_A\) y \(C_B\), A contiene más exactamente cuando \(\frac{3}{5}C_A>\frac{7}{12}C_B\), es decir, cuando \(36C_A>35C_B\). En particular, sí puede afirmarse si ambos depósitos tienen la misma capacidad, porque \(\frac{3}{5}=\frac{36}{60}>\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\). Sin conocer las capacidades no basta comparar las fracciones. Por ejemplo, si A admite 100 L contiene 60 L, mientras que si B admite 120 L contiene 70 L; en ese caso B tiene más agua.

Un dron comienza a −12 m, asciende 19 m, desciende 8 m y vuelve a ascender 5 m. Después realiza un último descenso y termina en −9 m. Escribe cada cota, halla el último descenso y señala las cotas máxima y mínima.

Las cotas son −12 → 7 → −1 → 4 → −9. La variación del último tramo es −9 − 4 = −13 m; por tanto, el dron desciende 13 m. La cota máxima es 7 m y la mínima −12 m.

A es un entero negativo situado a 9 unidades del número 2. B es el opuesto de A y C está a la misma distancia de A que de B. Determina los tres puntos, la distancia entre A y B y cuál está más cerca de −2.

Los puntos a 9 unidades de 2 son −7 y 11; como A es negativo, A = −7. Por tanto B = 7 y el punto medio C = 0. La distancia AB es 14. Sus distancias a −2 son 5, 9 y 2, así que C es el más cercano.

Ordena \(\frac{5}{12}\), \(\frac{7}{16}\) y \(\frac{11}{24}\) sin decimales. Decide si existe una fracción de denominador 48 estrictamente entre \(\frac{5}{12}\) y \(\frac{7}{16}\) y escribe una de denominador 96 que sí quede entre ambas.

Con denominador 144 se obtienen \(\frac{60}{144}\), \(\frac{63}{144}\) y \(\frac{66}{144}\), luego \(\frac{5}{12}\) < \(\frac{7}{16}\) < \(\frac{11}{24}\). Las dos primeras son \(\frac{20}{48}\) y \(\frac{21}{48}\): no hay numerador entero intermedio. En denominador 96 son \(\frac{40}{96}\) y \(\frac{42}{96}\); sirve \(\frac{41}{96}\).

Nora obtiene \(\frac{5}{12}\) + \(\frac{7}{18}\) = (5 + 7)/(12 + 18) = \(\frac{2}{5}\). Iván obtiene −18 − (−7) = −25. Explica cada error y corrige ambas operaciones.

En una suma de fracciones no se suman los denominadores: \(\frac{5}{12}\) + \(\frac{7}{18}\) = \(\frac{15}{36}\) + \(\frac{14}{36}\) = \(\frac{29}{36}\). Restar un negativo equivale a sumar su opuesto: −18 − (−7) = −18 + 7 = −11.

Hay 360 libros. El lunes se presta \(\frac{2}{9}\) del total y el martes \(\frac{3}{7}\) de los que quedaban. Calcula los préstamos diarios, los libros finales y qué fracción del total inicial representan.

El lunes se prestan \(\frac{2}{9}\)·360 = 80 y quedan 280. El martes se prestan \(\frac{3}{7}\)·280 = 120 y quedan 160. La cantidad final representa \(\frac{160}{360}\) = \(\frac{4}{9}\) del total.

Se gasta \(\frac{3}{8}\) del presupuesto inicial en una sala y \(\frac{1}{5}\) del presupuesto inicial en material. Quedan 51 €. Halla el presupuesto y cada gasto.

Se gasta \(\frac{3}{8}\) + \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{23}{40}\) y queda \(\frac{17}{40}\). Si \(\frac{17}{40}\) son 51 €, una cuadragésima parte son 3 € y el total es 120 €. Sala: \(\frac{3}{8}\)·120 = 45 €; material: \(\frac{1}{5}\)·120 = 24 €. Se comprueba 120 − 45 − 24 = 51.

Hay 24 preguntas. Un equipo responde \(\frac{3}{4}\) y, de las respondidas, acierta \(\frac{2}{3}\). Cada acierto suma 3 puntos, cada error resta 2 y cada blanco vale 0. Calcula aciertos, errores, blancos, puntuación y la nueva puntuación si un error pasara a ser acierto.

Responde \(\frac{3}{4}\)·24 = 18 y acierta \(\frac{2}{3}\)·18 = 12; por tanto falla 6 y deja 6 en blanco. Obtiene 12·3 − 6·2 = 24 puntos. Cambiar un error por un acierto añade 2 puntos que ya no pierde y 3 que gana: terminaría con 29.

En una colección, \(\frac{2}{5}\) del total son 14 piezas más que \(\frac{1}{3}\) del total. Halla el número de piezas, calcula ambas cantidades y comprueba su diferencia.

La diferencia entre las partes es \(\frac{2}{5}\) − \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{15}\). Si \(\frac{1}{15}\) son 14 piezas, el total es 14·15 = 210. Dos quintos son 84 y un tercio son 70; 84 − 70 = 14.

Lucía afirma que multiplicar una fracción por otra siempre la aumenta y dividirla por otra siempre la reduce. Calcula \(\frac{7}{9}\) · \(\frac{3}{5}\) y \(\frac{7}{9}\) : \(\frac{3}{5}\), compara ambos resultados con \(\frac{7}{9}\) y valora la afirmación.

\(\frac{7}{9}\)·\(\frac{3}{5}\) = \(\frac{7}{15}\), que es menor que \(\frac{7}{9}\). En cambio, \(\frac{7}{9}\) : \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{7}{9}\)·\(\frac{5}{3}\) = \(\frac{35}{27}\), mayor que 1 y que \(\frac{7}{9}\). Multiplicar por una fracción positiva menor que 1 reduce; dividir entre ella aumenta. La afirmación es falsa.

Una cámara parte de una temperatura desconocida, baja 8 °C, sube 13 °C y baja 9 °C. Termina a −11 °C. Halla la temperatura inicial, escribe las intermedias y señala máxima y mínima.

El cambio total es −8 + 13 − 9 = −4; la temperatura inicial era −11 + 4 = −7 °C. La secuencia es −7 → −15 → −2 → −11. La máxima es −2 °C y la mínima −15 °C.

Busca los dos enteros situados a 6 unidades de −2. Calcula la distancia entre ellos, cuál tiene mayor valor absoluto y su punto medio.

Los números son −2 − 6 = −8 y −2 + 6 = 4. Distan 12 unidades. Como |−8| = 8 y |4| = 4, −8 tiene mayor valor absoluto. El punto medio es −2.

Ordena \(\frac{7}{12}\), \(\frac{11}{18}\) y \(\frac{5}{8}\). Escribe una fracción de denominador 144 entre \(\frac{11}{18}\) y \(\frac{5}{8}\) y determina cuál de las tres está más próxima a \(\frac{2}{3}\).

Con denominador 72: \(\frac{42}{72}\) < \(\frac{44}{72}\) < \(\frac{45}{72}\), por lo que \(\frac{7}{12}\) < \(\frac{11}{18}\) < \(\frac{5}{8}\). Entre \(\frac{88}{144}\) y \(\frac{90}{144}\) está \(\frac{89}{144}\). Respecto de \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{48}{72}\), las distancias son \(\frac{6}{72}\), \(\frac{4}{72}\) y \(\frac{3}{72}\); la más próxima es \(\frac{5}{8}\).

Una fracción equivale a \(\frac{6}{9}\) y la suma de su numerador y denominador es 50. Determínala, indica por qué número se multiplicaron los términos irreducibles y vuelve a reducir el resultado.

\(\frac{6}{9}\) = \(\frac{2}{3}\) y los términos irreducibles suman 5. Como 50 : 5 = 10, se multiplicó por 10 y la fracción es \(\frac{20}{30}\). Su forma irreducible vuelve a ser \(\frac{2}{3}\).

Revisa: 1) −9 > −4 porque 9 > 4; 2) \(\frac{3}{8}\) > \(\frac{3}{5}\) porque 8 > 5; 3) \(\frac{29}{48}\) está entre \(\frac{7}{12}\) y \(\frac{5}{8}\). Decide y justifica cada una.

1 es falsa: −9 < −4. 2 es falsa: con el mismo numerador, un denominador mayor produce una fracción menor, luego \(\frac{3}{8}\) < \(\frac{3}{5}\). 3 es verdadera: \(\frac{7}{12}\) = \(\frac{28}{48}\) y \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{30}{48}\); por tanto \(\frac{28}{48}\) < \(\frac{29}{48}\) < \(\frac{30}{48}\).

El primer día se recorre \(\frac{3}{10}\) de una ruta y el segundo \(\frac{2}{7}\) de lo que quedaba. Aún faltan 15 km. Halla la longitud total, los kilómetros de cada día y la fracción completada.

Tras el primer día queda \(\frac{7}{10}\). El segundo se recorre \(\frac{2}{7}\)·\(\frac{7}{10}\) = \(\frac{1}{5}\) del total. Entre ambos días se completa \(\frac{3}{10}\) + \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{2}\). Si la mitad pendiente son 15 km, la ruta mide 30 km. Primer día: 9 km; segundo: 6 km.

Un depósito está a \(\frac{3}{4}\) de su capacidad. Se consume \(\frac{2}{5}\) del agua presente y después se añaden 18 L. Al final hay 72 L. Calcula capacidad, cantidad inicial y consumo.

Tras el consumo queda \(\frac{3}{5}\) de \(\frac{3}{4}\), es decir, \(\frac{9}{20}\) de la capacidad. Antes de añadir había 72 − 18 = 54 L. Si \(\frac{9}{20}\) son 54, la capacidad es 120 L. Había 90 L y se consumieron \(\frac{2}{5}\)·90 = 36 L. Comprobación: 90 − 36 + 18 = 72.

En una caja, \(\frac{4}{7}\) de las piezas son azules. Se añaden 18 rojas y las azules pasan a ser \(\frac{2}{5}\) del nuevo total. Halla el total inicial, las piezas de cada color al principio y comprueba la fracción final.

Si cada séptima parte contiene k piezas, hay 7k en total, 4k azules y 3k rojas. Tras añadir 18, las 4k azules son \(\frac{2}{5}\) del total, de modo que el nuevo total es 10k. Así, 10k = 7k + 18; k = 6. Había 42 piezas: 24 azules y 18 rojas. Al final hay 60 y \(\frac{24}{60}\) = \(\frac{2}{5}\).

En una prueba de 20 preguntas se responden todas. Cada acierto suma 4 puntos y cada error resta 1. La puntuación final es 50. Determina cuántos aciertos y errores hubo. Resuélvelo razonando cuánto cambia la puntuación al convertir un error en un acierto y comprueba el resultado.

Si las 20 respuestas fueran erróneas, la puntuación sería −20. Convertir un error en un acierto aumenta el resultado en 5 puntos: se recupera el punto de penalización y se suman 4.

Para pasar de −20 a 50 hacen falta 70 puntos; por tanto, deben cambiarse \(70:5=14\) respuestas. Hubo 14 aciertos y 6 errores.

Comprobación: \(14\cdot4-6=56-6=50\).