Blog educativo, Matemáticas

Álgebra 4º ESO para preparar 1º Bachillerato: ejercicios resueltos paso a paso

Publicado por author-avatar
0

Álgebra 4º ESO para preparar 1º Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

El álgebra de 4º de ESO es uno de los bloques que más condiciona la entrada en Bachillerato. Un alumno puede aprobar 4º de ESO, pero si llega a 1º de Bachillerato sin manejar bien potencias, radicales, polinomios, ecuaciones, sistemas e inecuaciones, el salto se nota desde las primeras semanas.

Este recurso está pensado como puente entre 4º de ESO y 1º de Bachillerato. No es una lista de fórmulas sueltas. Es una guía completa con ejercicios resueltos paso a paso, elegidos para repasar lo que más aparece en exámenes y lo que más suele fallar cuando empieza Bachillerato.

La idea es trabajar con orden: primero números y potencias, después radicales, luego polinomios y factorización, y finalmente ecuaciones, sistemas, inecuaciones y problemas. Si esta base queda bien construida, funciones, límites, derivadas y matemáticas de Bachillerato se entienden con mucha más seguridad.

Material elaborado por José María para Marlu Educativa, como recurso de apoyo para alumnos de 4º de ESO que quieren llegar bien preparados a Bachillerato y para familias que buscan un refuerzo serio antes del cambio de etapa.

Base algebraica

Potencias, notación científica, radicales, racionalización y expresiones algebraicas.

Polinomios y factorización

Identidades notables, factor común, Ruffini, raíces y fracciones algebraicas.

Examen y Bachillerato

Ecuaciones, sistemas, inecuaciones, parámetros y problemas con planteamiento.

Refuerzo online de Matemáticas antes de Bachillerato

En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas con explicación paso a paso, ejercicios reales y revisión de errores. Si el alumno termina 4º de ESO con dudas en álgebra, el verano es un momento muy adecuado para reforzar antes de empezar Bachillerato.

Puede consultar las clases online de Matemáticas, Física y Química, las clases online de Matemáticas para Bachillerato o solicitar orientación desde la prematrícula de Marlu Educativa.

Índice clicable de ejercicios

  1. Diagnóstico inicial antes de Bachillerato
  2. Potencias con exponentes enteros y operaciones combinadas
  3. Notación científica con números grandes y pequeños
  4. Intervalos en la recta real
  5. Radicales. Extraer factores y simplificar
  6. Operaciones con radicales
  7. Racionalización de denominadores
  8. Logaritmos sencillos y propiedades básicas
  9. Operaciones con polinomios
  10. Identidades notables
  11. Factor común y agrupación
  12. División de polinomios y regla de Ruffini
  13. Teorema del resto
  14. Factorización completa de un polinomio
  15. Fracciones algebraicas. Simplificación
  16. Operaciones con fracciones algebraicas
  17. Ecuación de primer grado con paréntesis y denominadores
  18. Ecuación de segundo grado completa
  19. Ecuaciones de segundo grado incompletas
  20. Ecuación bicuadrada
  21. Ecuación racional
  22. Ecuación irracional
  23. Ecuación exponencial sencilla
  24. Sistema lineal por reducción
  25. Sistema lineal con fracciones
  26. Sistema no lineal sencillo
  27. Inecuación de primer grado
  28. Inecuación de segundo grado
  29. Inecuación racional
  30. Problema de edades con ecuación
  31. Problema completo tipo examen de álgebra
  32. Radicales y racionalización de nivel examen
  33. Fracción algebraica con ecuación racional
  34. Parámetro, Ruffini y factorización
  35. Ecuación irracional de nivel alto
  36. Ecuación exponencial con cambio de variable
  37. Sistema con parámetro
  38. Inecuación racional con tabla de signos
  39. Problema de grifos con ecuación racional
  40. Práctica final sin resolver

Diagnóstico inicial antes de empezar 1º de Bachillerato

Antes de pasar a Bachillerato conviene hacerse una pregunta sencilla: ¿el alumno opera, factoriza y plantea con seguridad, o solo reconoce ejercicios cuando son muy parecidos a los de clase?

Test rápido de base algebraica

Un alumno llega razonablemente preparado a 1º de Bachillerato si puede hacer sin ayuda la mayoría de estas tareas:

  • Simplificar potencias con exponentes negativos.
  • Pasar números a notación científica y operar con ellos.
  • Simplificar radicales y operar radicales semejantes.
  • Racionalizar denominadores sencillos.
  • Aplicar bien identidades notables.
  • Dividir polinomios con Ruffini.
  • Usar el teorema del resto.
  • Factorizar un polinomio de grado 2 o 3.
  • Simplificar fracciones algebraicas indicando restricciones.
  • Resolver ecuaciones racionales sin olvidar denominadores prohibidos.
  • Resolver ecuaciones irracionales comprobando soluciones.
  • Resolver inecuaciones mediante tabla de signos.
  • Traducir un problema de texto a una ecuación o sistema.

Si fallan cinco o más puntos de esta lista, no es una tragedia, pero sí una señal clara: conviene reforzar antes de que empiece Bachillerato. En Marlu Educativa este tipo de base se trabaja especialmente en las clases online y en las clases de preparación para Bachillerato desde la prematrícula.

Qué debe dominar un alumno de 4º ESO antes de empezar Bachillerato

  • Operar con potencias, raíces y números en notación científica.
  • Simplificar radicales y racionalizar denominadores sencillos.
  • Operar con polinomios y reconocer identidades notables.
  • Dividir polinomios y aplicar Ruffini con seguridad.
  • Factorizar polinomios usando factor común, identidades y raíces.
  • Resolver ecuaciones de primer grado, segundo grado, bicuadradas, racionales, irracionales y exponenciales sencillas.
  • Resolver sistemas lineales y sistemas no lineales básicos.
  • Plantear problemas con una o dos incógnitas.
  • Resolver inecuaciones y representar soluciones como intervalos.

Idea clave. El álgebra no se estudia como una colección de recetas. Cada ejercicio tiene una estructura. Primero se ordena la expresión, después se transforma con cuidado y al final se comprueba si el resultado tiene sentido. Ese hábito es el que marca la diferencia al pasar a Bachillerato.

Bloque 1. Números reales, potencias, radicales y logaritmos

Estos ejercicios sirven para reforzar la base numérica y simbólica que aparece después en ecuaciones, funciones y problemas.

Ejercicio 1. Potencias con exponentes enteros y operaciones combinadas

Simplifica la expresión:

\[ A=\frac{2^3\cdot 2^{-5}\cdot 4^2}{8^{-1}} \]

Resolución

Primero escribimos todas las potencias con base \(2\).

\[ 4^2=(2^2)^2=2^4 \]
\[ 8^{-1}=(2^3)^{-1}=2^{-3} \]

Sustituimos:

\[ A=\frac{2^3\cdot 2^{-5}\cdot 2^4}{2^{-3}} \]

En el numerador sumamos exponentes porque las bases son iguales.

\[ 2^3\cdot 2^{-5}\cdot 2^4=2^{3-5+4}=2^2 \]

Ahora dividimos potencias de la misma base.

\[ A=\frac{2^2}{2^{-3}}=2^{2-(-3)}=2^5 \]
\[ A=32 \]

Resultado. \(A=32\)

La clave era convertir \(4\) y \(8\) a potencias de \(2\). Así toda la expresión queda con una sola base.

Volver al índice

Ejercicio 2. Notación científica con números grandes y pequeños

Calcula y expresa el resultado en notación científica:

\[ B=\frac{(3,2\cdot10^5)(4,5\cdot10^{-3})}{1,8\cdot10^2} \]

Resolución

Operamos primero los números decimales y después las potencias de \(10\).

\[ B=\frac{3,2\cdot4,5}{1,8}\cdot10^{5+(-3)-2} \]
\[ B=\frac{14,4}{1,8}\cdot10^0 \]
\[ B=8\cdot10^0 \]

Como \(10^0=1\), queda:

\[ B=8 \]

En notación científica:

\[ B=8,0\cdot10^0 \]

Resultado. \(B=8,0\cdot10^0\)

En notación científica, el número que multiplica a la potencia de \(10\) debe estar entre \(1\) y \(10\).

Volver al índice

Ejercicio 3. Intervalos en la recta real

Expresa como intervalo la solución común de estas dos condiciones:

\[ x\ge -2 \]
\[ x<5 \]

Resolución

La primera condición indica que \(x\) puede valer \(-2\) o cualquier número mayor. La segunda indica que \(x\) debe ser menor que \(5\), pero no puede valer \(5\).

\[ -2\le x<5 \]

En forma de intervalo:

\[ [-2,5) \]

Resultado. La solución es el intervalo \([-2,5)\)

Volver al índice

Ejercicio 4. Radicales. Extraer factores y simplificar

Simplifica:

\[ \sqrt{72}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8} \]

Resolución

Descomponemos cada radicando buscando cuadrados perfectos.

\[ 72=36\cdot2 \]
\[ \sqrt{72}=6\sqrt2 \]
\[ 50=25\cdot2 \]
\[ \sqrt{50}=5\sqrt2 \]
\[ 8=4\cdot2 \]
\[ \sqrt8=2\sqrt2 \]

Sustituimos:

\[ \sqrt{72}-2\sqrt{50}+3\sqrt8 = 6\sqrt2-2(5\sqrt2)+3(2\sqrt2) \]
\[ =6\sqrt2-10\sqrt2+6\sqrt2 \]
\[ =2\sqrt2 \]

Resultado. \(2\sqrt2\)

Volver al índice

Ejercicio 5. Operaciones con radicales

Simplifica:

\[ C=(\sqrt3+\sqrt{12})^2 \]

Resolución

Primero simplificamos \(\sqrt{12}\).

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3 \]

Por tanto:

\[ C=(\sqrt3+2\sqrt3)^2 \]
\[ C=(3\sqrt3)^2 \]
\[ C=9\cdot3=27 \]

Resultado. \(C=27\)

En este caso era más limpio reducir primero los radicales semejantes y después elevar al cuadrado.

Volver al índice

Ejercicio 6. Racionalización de denominadores

Racionaliza:

\[ \frac{5}{\sqrt3-1} \]

Resolución

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

\[ \frac{5}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1} \]
\[ =\frac{5(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \]

Usamos diferencia de cuadrados:

\[ (\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=(\sqrt3)^2-1^2=3-1=2 \]
\[ \frac{5}{\sqrt3-1}=\frac{5(\sqrt3+1)}{2} \]

Resultado. \(\frac{5(\sqrt3+1)}{2}\)

Volver al índice

Ejercicio 7. Logaritmos sencillos y propiedades básicas

Sabiendo que \(\log a=2\) y \(\log b=3\), calcula:

\[ \log\left(\frac{a^2b}{100}\right) \]

Resolución

Aplicamos propiedades de los logaritmos.

\[ \log\left(\frac{a^2b}{100}\right)=\log(a^2b)-\log100 \]
\[ =\log(a^2)+\log b-\log100 \]
\[ =2\log a+\log b-2 \]

Sustituimos los datos:

\[ =2\cdot2+3-2=5 \]

Resultado. \(\log\left(\frac{a^2b}{100}\right)=5\)

Volver al índice

Refuerzo recomendado. Si un alumno falla en potencias, radicales o logaritmos, después suele atascarse en ecuaciones y funciones. En Marlu Educativa estos contenidos se trabajan con ejercicios guiados y revisión de errores. Puede verse la línea de clases online o solicitar orientación desde prematrícula.

Bloque 2. Polinomios, Ruffini y fracciones algebraicas

Este bloque es fundamental. Si un alumno domina polinomios y factorización, las ecuaciones de 4º ESO y el álgebra de Bachillerato se vuelven mucho más manejables.

Ejercicio 8. Operaciones con polinomios

Dados:

\[ P(x)=2x^3-3x^2+x-5 \]
\[ Q(x)=x^3+4x^2-2x+1 \]

Calcula \(P(x)-2Q(x)\).

Resolución

\[ 2Q(x)=2x^3+8x^2-4x+2 \]
\[ P(x)-2Q(x)=2x^3-3x^2+x-5-(2x^3+8x^2-4x+2) \]
\[ =2x^3-3x^2+x-5-2x^3-8x^2+4x-2 \]
\[ =-11x^2+5x-7 \]

Resultado. \(P(x)-2Q(x)=-11x^2+5x-7\)

Volver al índice

Ejercicio 9. Identidades notables

Desarrolla y simplifica:

\[ (2x-3)^2-(x+4)(x-4) \]

Resolución

\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9 \]
\[ (x+4)(x-4)=x^2-16 \]
\[ (2x-3)^2-(x+4)(x-4) = 4x^2-12x+9-(x^2-16) \]
\[ =4x^2-12x+9-x^2+16 \]
\[ =3x^2-12x+25 \]

Resultado. \(3x^2-12x+25\)

Volver al índice

Ejercicio 10. Factor común y agrupación

Factoriza:

\[ 6x^3-9x^2+4x-6 \]

Resolución

\[ 6x^3-9x^2+4x-6=(6x^3-9x^2)+(4x-6) \]
\[ =3x^2(2x-3)+2(2x-3) \]
\[ =(2x-3)(3x^2+2) \]

Resultado. \((2x-3)(3x^2+2)\)

Volver al índice

Ejercicio 11. División de polinomios y regla de Ruffini

Divide el polinomio:

\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6 \]

entre \(x-2\).

Resolución

Como dividimos entre \(x-2\), usamos Ruffini con \(2\).

\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]

El cociente tiene coeficientes \(1\), \(-2\), \(-3\), y el resto es \(0\).

\[ C(x)=x^2-2x-3 \]
\[ R=0 \]

Resultado. \(P(x):(x-2)=x^2-2x-3\), con resto \(0\)

Como el resto es cero, \(x-2\) es factor de \(P(x)\).

Volver al índice

Ejercicio 12. Teorema del resto

Calcula el resto de dividir:

\[ P(x)=2x^4-3x^2+x-7 \]

entre \(x+1\).

Resolución

Por el teorema del resto, el resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-a\) es \(P(a)\).

En este caso, \(x+1=x-(-1)\), por tanto \(a=-1\).

\[ R=P(-1) \]
\[ P(-1)=2(-1)^4-3(-1)^2+(-1)-7 \]
\[ =2-3-1-7=-9 \]

Resultado. El resto es \(-9\)

Volver al índice

Ejercicio 13. Factorización completa de un polinomio

Factoriza completamente:

\[ P(x)=x^3-2x^2-5x+6 \]

Resolución

Buscamos raíces enteras probando divisores de \(6\): \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\).

\[ P(1)=1-2-5+6=0 \]

Como \(P(1)=0\), \(x-1\) es factor. Aplicamos Ruffini con \(1\).

\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -2 & -5 & 6\\ & & 1 & -1 & -6\\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]
\[ P(x)=(x-1)(x^2-x-6) \]

Factorizamos el trinomio:

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \]
\[ P(x)=(x-1)(x-3)(x+2) \]

Resultado. \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\)

Volver al índice

Ejercicio 14. Fracciones algebraicas. Simplificación

Simplifica:

\[ \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} \]

Resolución

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
\[ \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2} \]
\[ =\frac{x+3}{x-3} \]

Resultado. \(\frac{x+3}{x-3}\), con \(x\ne3\)

No se puede olvidar la restricción \(x\ne3\), porque el denominador original se anula en ese valor.

Volver al índice

Ejercicio 15. Operaciones con fracciones algebraicas

Simplifica:

\[ \frac{x}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]

Resolución

El denominador común es:

\[ (x-2)(x+2) \]
\[ \frac{x}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
\[ =\frac{x(x+2)+3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
\[ =\frac{x^2+2x+3x-6}{(x-2)(x+2)} \]
\[ =\frac{x^2+5x-6}{(x-2)(x+2)} \]

Factorizamos el numerador:

\[ x^2+5x-6=(x+6)(x-1) \]

Resultado. \(\frac{(x+6)(x-1)}{(x-2)(x+2)}\), con \(x\ne2\) y \(x\ne -2\)

Volver al índice

Para alumnos que pasan a Bachillerato. Polinomios, Ruffini y fracciones algebraicas aparecen una y otra vez en funciones, límites y derivadas. Por eso en Marlu se trabajan como base de transición hacia Bachillerato. Puede consultarse también la página de Matemáticas online Bachillerato.

Bloque 3. Ecuaciones de 4º ESO

En 4º ESO no basta con resolver ecuaciones mecánicamente. Hay que saber reconocer el tipo de ecuación, eliminar denominadores, factorizar y comprobar soluciones cuando sea necesario.

Ejercicio 16. Ecuación de primer grado con paréntesis y denominadores

Resuelve:

\[ \frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=2-\frac{x-5}{6} \]

Resolución

Calculamos el mínimo común múltiplo de \(3\), \(4\) y \(6\).

\[ \text{m.c.m.}(3,4,6)=12 \]

Multiplicamos toda la ecuación por \(12\).

\[ 4(2x-1)-3(x+2)=24-2(x-5) \]
\[ 8x-4-3x-6=24-2x+10 \]
\[ 5x-10=34-2x \]
\[ 7x=44 \]
\[ x=\frac{44}{7} \]

Resultado. \(x=\frac{44}{7}\)

Volver al índice

Ejercicio 17. Ecuación de segundo grado completa

Resuelve:

\[ 3x^2-5x-2=0 \]

Resolución

Usamos la fórmula general:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

En esta ecuación:

\[ a=3,\quad b=-5,\quad c=-2 \]
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)}}{2\cdot3} \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{6} \]
\[ x=\frac{5\pm7}{6} \]
\[ x_1=2 \]
\[ x_2=-\frac13 \]

Resultado. \(x=2\) y \(x=-\frac13\)

Volver al índice

Ejercicio 18. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Resuelve:

\[ 2x^2-18=0 \]

Resolución

\[ 2x^2=18 \]
\[ x^2=9 \]
\[ x=\pm3 \]

Resultado. \(x=3\) y \(x=-3\)

En este tipo de ecuaciones es muy frecuente olvidar la solución negativa.

Volver al índice

Ejercicio 19. Ecuación bicuadrada

Resuelve:

\[ x^4-5x^2+4=0 \]

Resolución

Hacemos el cambio:

\[ y=x^2 \]

Entonces:

\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
\[ y^2-5y+4=0 \]
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
\[ y=1 \quad \text{o} \quad y=4 \]

Volvemos a \(x\).

\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

Resultado. \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\)

Volver al índice

Ejercicio 20. Ecuación racional

Resuelve:

\[ \frac{x+1}{x-2}+\frac{3}{x+2}=2 \]

Resolución

Primero indicamos restricciones:

\[ x\ne2,\quad x\ne -2 \]

Multiplicamos toda la ecuación por \((x-2)(x+2)\).

\[ (x+1)(x+2)+3(x-2)=2(x-2)(x+2) \]
\[ x^2+3x+2+3x-6=2(x^2-4) \]
\[ x^2+6x-4=2x^2-8 \]
\[ x^2-6x-4=0 \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{36+16}}{2} \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{52}}{2} \]
\[ x=3\pm\sqrt{13} \]

Ninguna de estas soluciones es \(2\) ni \(-2\), por tanto son válidas.

Resultado. \(x=3+\sqrt{13}\) y \(x=3-\sqrt{13}\)

Volver al índice

Ejercicio 21. Ecuación irracional

Resuelve:

\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]

Resolución

Antes de elevar al cuadrado, observamos que el segundo miembro debe ser no negativo.

\[ x-1\ge0 \]
\[ x\ge1 \]

Elevamos al cuadrado:

\[ x+5=(x-1)^2 \]
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
\[ x^2-3x-4=0 \]
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
\[ x=4 \quad \text{o} \quad x=-1 \]

Comprobamos en la ecuación original.

Para \(x=4\):

\[ \sqrt{4+5}=4-1 \]
\[ 3=3 \]

Vale.

Para \(x=-1\):

\[ \sqrt{-1+5}=-1-1 \]
\[ 2=-2 \]

No vale.

Resultado. \(x=4\)

En las ecuaciones irracionales hay que comprobar siempre, porque al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.

Volver al índice

Ejercicio 22. Ecuación exponencial sencilla

Resuelve:

\[ 3^{2x-1}=27 \]

Resolución

Escribimos \(27\) como potencia de base \(3\).

\[ 27=3^3 \]
\[ 3^{2x-1}=3^3 \]

Si las bases son iguales, igualamos exponentes.

\[ 2x-1=3 \]
\[ 2x=4 \]
\[ x=2 \]

Resultado. \(x=2\)

Volver al índice

Trabajo de verano con sentido. Las ecuaciones son uno de los mejores indicadores de preparación para Bachillerato. Si el alumno no sabe ordenar una ecuación, eliminar denominadores y comprobar soluciones, conviene reforzar antes de septiembre. Puede solicitarse una valoración desde prematrícula o revisar las clases online de Matemáticas para Bachillerato.

Bloque 4. Sistemas e inecuaciones

Los sistemas y las inecuaciones preparan al alumno para problemas más largos y para el estudio de funciones. Aquí ya no basta con operar: hay que interpretar la solución.

Ejercicio 23. Sistema lineal por reducción

Resuelve el sistema:

\[ \begin{cases} 2x+3y=13\\ 5x-3y=8 \end{cases} \]

Resolución

Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(y\).

\[ (2x+3y)+(5x-3y)=13+8 \]
\[ 7x=21 \]
\[ x=3 \]

Sustituimos en la primera ecuación.

\[ 2\cdot3+3y=13 \]
\[ 6+3y=13 \]
\[ 3y=7 \]
\[ y=\frac73 \]

Resultado. \(x=3\), \(y=\frac73\)

Volver al índice

Ejercicio 24. Sistema lineal con fracciones

Resuelve:

\[ \begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\\ x-y=1 \end{cases} \]

Resolución

Quitamos denominadores en la primera ecuación multiplicando por \(6\).

\[ 6\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right)=6\cdot4 \]
\[ 3x+2y=24 \]

El sistema queda:

\[ \begin{cases} 3x+2y=24\\ x-y=1 \end{cases} \]

Despejamos \(x\) de la segunda ecuación.

\[ x=y+1 \]

Sustituimos:

\[ 3(y+1)+2y=24 \]
\[ 5y+3=24 \]
\[ 5y=21 \]
\[ y=\frac{21}{5} \]

Calculamos \(x\):

\[ x=y+1=\frac{21}{5}+\frac{5}{5}=\frac{26}{5} \]

Resultado. \(x=\frac{26}{5}\), \(y=\frac{21}{5}\)

Volver al índice

Ejercicio 25. Sistema no lineal sencillo

Resuelve:

\[ \begin{cases} x+y=7\\ xy=12 \end{cases} \]

Resolución

De la primera ecuación despejamos:

\[ y=7-x \]

Sustituimos en la segunda:

\[ x(7-x)=12 \]
\[ 7x-x^2=12 \]
\[ x^2-7x+12=0 \]
\[ (x-3)(x-4)=0 \]
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=4 \]

Calculamos \(y\):

\[ x=3 \Rightarrow y=4 \]
\[ x=4 \Rightarrow y=3 \]

Resultado. \((x,y)=(3,4)\) y \((x,y)=(4,3)\)

Volver al índice

Ejercicio 26. Inecuación de primer grado

Resuelve y expresa la solución como intervalo:

\[ 3(2x-1)-4x\le 5x+9 \]

Resolución

\[ 6x-3-4x\le5x+9 \]
\[ 2x-3\le5x+9 \]
\[ -12\le3x \]
\[ -4\le x \]
\[ x\ge -4 \]

En forma de intervalo:

\[ [-4,\infty) \]

Resultado. \(x\in[-4,\infty)\)

Volver al índice

Ejercicio 27. Inecuación de segundo grado

Resuelve:

\[ x^2-5x+6\ge0 \]

Resolución

Factorizamos el polinomio.

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
\[ (x-2)(x-3)\ge0 \]

Los puntos que separan intervalos son:

\[ x=2,\quad x=3 \]

Estudiamos signos:

  • Si \(x<2\), los dos factores son negativos, el producto es positivo.
  • Si \(2
  • Si \(x>3\), los dos factores son positivos, el producto es positivo.

Como queremos producto mayor o igual que cero, incluimos los puntos \(2\) y \(3\).

Resultado. \(x\in(-\infty,2]\cup[3,\infty)\)

Volver al índice

Ejercicio 28. Inecuación racional

Resuelve:

\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \]

Resolución

Los puntos importantes son los que anulan numerador y denominador.

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]

El valor \(x=-2\) no puede incluirse porque anula el denominador.

Estudiamos signos en los intervalos:

\[ (-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty) \]
  • En \((-\infty,-2)\), numerador negativo y denominador negativo, cociente positivo.
  • En \((-2,1)\), numerador negativo y denominador positivo, cociente negativo.
  • En \((1,\infty)\), numerador positivo y denominador positivo, cociente positivo.

Como la desigualdad es estricta \(>0\), no incluimos \(x=1\).

Resultado. \(x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)\)

En una inecuación racional, los valores que anulan el denominador nunca pertenecen a la solución.

Volver al índice

Bloque 5. Problemas de examen

Los problemas obligan a traducir un texto a ecuaciones. Esta es una de las partes que más diferencia a un alumno que sabe operar de un alumno que sabe razonar.

Ejercicio 29. Problema de edades con ecuación

Un padre tiene \(42\) años y su hijo \(12\). ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble que la edad del hijo?

Planteamiento

Llamamos \(x\) al número de años que deben pasar.

Dentro de \(x\) años, el padre tendrá:

\[ 42+x \]

Y el hijo tendrá:

\[ 12+x \]

Queremos que la edad del padre sea el doble que la del hijo.

\[ 42+x=2(12+x) \]

Resolución

\[ 42+x=24+2x \]
\[ 18=x \]

Resultado. Dentro de \(18\) años, la edad del padre será el doble que la del hijo.

Comprobación

\[ 42+18=60 \]
\[ 12+18=30 \]
\[ 60=2\cdot30 \]
Volver al índice

Ejercicio 30. Problema completo tipo examen de álgebra

Un rectángulo tiene perímetro \(46\ \text{cm}\). Si aumentamos la base en \(2\ \text{cm}\) y disminuimos la altura en \(1\ \text{cm}\), el área aumenta \(4\ \text{cm}^2\). Calcula las dimensiones del rectángulo inicial.

Planteamiento

Llamamos \(x\) a la base e \(y\) a la altura.

El perímetro es \(46\ \text{cm}\):

\[ 2x+2y=46 \]
\[ x+y=23 \]

El área inicial es:

\[ A=xy \]

La nueva base es \(x+2\) y la nueva altura es \(y-1\). El área nueva aumenta \(4\ \text{cm}^2\):

\[ (x+2)(y-1)=xy+4 \]

Resolución

\[ xy-x+2y-2=xy+4 \]
\[ -x+2y=6 \]

Tenemos el sistema:

\[ \begin{cases} x+y=23\\ -x+2y=6 \end{cases} \]

Sumamos las dos ecuaciones.

\[ 3y=29 \]
\[ y=\frac{29}{3} \]

Calculamos \(x\):

\[ x=23-\frac{29}{3} \]
\[ x=\frac{69}{3}-\frac{29}{3}=\frac{40}{3} \]

Resultado. La base mide \(\frac{40}{3}\ \text{cm}\) y la altura mide \(\frac{29}{3}\ \text{cm}\)

Comprobación

Perímetro:

\[ 2\cdot\frac{40}{3}+2\cdot\frac{29}{3} = \frac{80}{3}+\frac{58}{3} = \frac{138}{3}=46 \]

Área inicial:

\[ A=\frac{40}{3}\cdot\frac{29}{3}=\frac{1160}{9} \]

Área nueva:

\[ A'=\left(\frac{40}{3}+2\right)\left(\frac{29}{3}-1\right) \]
\[ A'=\frac{46}{3}\cdot\frac{26}{3}=\frac{1196}{9} \]

Diferencia:

\[ A'-A=\frac{1196}{9}-\frac{1160}{9}=\frac{36}{9}=4 \]

La comprobación coincide.

Volver al índice

Una forma seria de preparar el salto a Bachillerato. Estos ejercicios revelan si el alumno solo sabe seguir modelos repetidos o si realmente domina el lenguaje algebraico. En Marlu Educativa se trabajan con explicación guiada, corrección de errores y planificación. Puede consultarse la prematrícula o las clases online por la mañana para organizar un refuerzo antes de septiembre.

Bloque 6. Ejercicios de nivel puente hacia Bachillerato

Estos ejercicios están pensados para alumnos de 4º ESO que quieren llegar fuertes a Bachillerato. No son ejercicios de relleno: mezclan varios pasos y obligan a razonar.

Ejercicio 31. Radicales y racionalización de nivel examen

Simplifica la expresión:

\[ A=\frac{(\sqrt{50}-\sqrt{18})^2}{\sqrt8} \]

Resolución

Primero simplificamos los radicales.

\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2 \]
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2 \]
\[ \sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2 \]

Sustituimos:

\[ A=\frac{(5\sqrt2-3\sqrt2)^2}{2\sqrt2} \]
\[ A=\frac{(2\sqrt2)^2}{2\sqrt2} \]
\[ A=\frac{8}{2\sqrt2} \]
\[ A=\frac{4}{\sqrt2} \]

Racionalizamos:

\[ A=\frac{4}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2} \]
\[ A=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2 \]

Resultado. \(A=2\sqrt2\)

Este ejercicio une tres habilidades: simplificar radicales, operar dentro de un cuadrado y racionalizar. Es muy buen detector de base real.

Volver al índice

Ejercicio 32. Fracción algebraica con ecuación racional

Resuelve:

\[ \frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{2}{x-2} \]

Resolución

Primero factorizamos los polinomios.

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \]

La ecuación queda:

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{2}{x-2} \]

Restricciones:

\[ x\ne3,\quad x\ne -2,\quad x\ne2 \]

Simplificamos el factor común \((x-3)\), recordando que \(x\ne3\).

\[ \frac{x+3}{x+2}=\frac{2}{x-2} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ (x+3)(x-2)=2(x+2) \]
\[ x^2+x-6=2x+4 \]
\[ x^2-x-10=0 \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+40}}{2} \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{41}}{2} \]

Ninguna de las soluciones es \(3\), \(-2\) ni \(2\), por tanto ambas son válidas.

Resultado. \(x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\) y \(x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}\)

Este ejercicio combina factorización, restricciones y ecuación racional. No basta con operar: hay que controlar el dominio.

Volver al índice

Ejercicio 33. Parámetro, Ruffini y factorización

Determina el valor de \(a\) para que \(x-2\) sea factor del polinomio:

\[ P(x)=x^3+ax^2-5x+6 \]

Después, factoriza el polinomio para ese valor de \(a\).

Resolución

Si \(x-2\) es factor, entonces por el teorema del resto:

\[ P(2)=0 \]

Sustituimos \(x=2\).

\[ P(2)=2^3+a\cdot2^2-5\cdot2+6 \]
\[ P(2)=8+4a-10+6 \]
\[ P(2)=4a+4 \]

Imponemos que sea cero:

\[ 4a+4=0 \]
\[ a=-1 \]

El polinomio queda:

\[ P(x)=x^3-x^2-5x+6 \]

Dividimos entre \(x-2\) mediante Ruffini.

\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -1 & -5 & 6\\ & & 2 & 2 & -6\\ \hline & 1 & 1 & -3 & 0 \end{array} \]
\[ P(x)=(x-2)(x^2+x-3) \]

El segundo factor no factoriza con raíces enteras. Si queremos sus raíces:

\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+12}}{2} \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2} \]

Resultado. \(a=-1\) y \(P(x)=(x-2)(x^2+x-3)\)

Este ejercicio mezcla parámetro, teorema del resto, Ruffini y factorización. Es muy buen puente hacia Bachillerato.

Volver al índice

Ejercicio 34. Ecuación irracional de nivel alto

Resuelve:

\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{2x-1}=3 \]

Resolución

Primero indicamos el dominio.

\[ x+1\ge0 \Rightarrow x\ge -1 \]
\[ 2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge \frac12 \]

Por tanto:

\[ x\ge \frac12 \]

Aislamos una raíz:

\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{2x-1} \]

Elevamos al cuadrado:

\[ x+1=9+(2x-1)-6\sqrt{2x-1} \]
\[ x+1=2x+8-6\sqrt{2x-1} \]

Aislamos la raíz:

\[ 6\sqrt{2x-1}=x+7 \]

Volvemos a elevar al cuadrado:

\[ 36(2x-1)=(x+7)^2 \]
\[ 72x-36=x^2+14x+49 \]
\[ x^2-58x+85=0 \]

Aplicamos fórmula general:

\[ x=\frac{58\pm\sqrt{58^2-4\cdot85}}{2} \]
\[ x=\frac{58\pm\sqrt{3024}}{2} \]
\[ \sqrt{3024}=12\sqrt{21} \]
\[ x=29\pm6\sqrt{21} \]

Ahora hay que comprobar. La solución \(29+6\sqrt{21}\) no cumple la ecuación original. La solución \(29-6\sqrt{21}\) sí cumple.

Resultado. \(x=29-6\sqrt{21}\)

En una ecuación irracional de este tipo, comprobar no es opcional. Al elevar dos veces al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.

Volver al índice

Ejercicio 35. Ecuación exponencial con cambio de variable

Resuelve:

\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]

Resolución

Escribimos \(2^{x+1}\) como \(2\cdot2^x\).

\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]

Sustituimos:

\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]

Sacamos factor común \(2^x\).

\[ 2^x(2+1)=24 \]
\[ 3\cdot2^x=24 \]
\[ 2^x=8 \]

Como \(8=2^3\):

\[ 2^x=2^3 \]
\[ x=3 \]

Resultado. \(x=3\)

Este tipo de ejercicio prepara muy bien para Bachillerato porque obliga a reconocer una estructura común, no solo a aplicar una fórmula.

Volver al índice

Ejercicio 36. Sistema con parámetro

Estudia según el valor de \(k\) el sistema:

\[ \begin{cases} kx+y=3\\ 2x+4y=6 \end{cases} \]

Resolución

Escribimos los coeficientes de las incógnitas:

\[ \begin{pmatrix} k & 1\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Para que el sistema tenga solución única, el determinante de los coeficientes debe ser distinto de cero.

\[ D=4k-2 \]

Si:

\[ 4k-2\ne0 \]
\[ k\ne\frac12 \]

entonces el sistema tiene solución única.

Estudiamos ahora el caso especial:

\[ k=\frac12 \]

El sistema queda:

\[ \begin{cases} \frac12x+y=3\\ 2x+4y=6 \end{cases} \]

Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):

\[ x+2y=6 \]

Dividimos la segunda ecuación entre \(2\):

\[ x+2y=3 \]

Las dos ecuaciones tienen el mismo primer miembro y distinto segundo miembro. Eso es imposible.

Resultado. Si \(k\ne\frac12\), el sistema tiene solución única. Si \(k=\frac12\), el sistema no tiene solución.

Este ejercicio roza ya el lenguaje de Bachillerato. Es muy útil para alumnos que quieren llegar con seguridad a sistemas y parámetros.

Volver al índice

Ejercicio 37. Inecuación racional con tabla de signos

Resuelve:

\[ \frac{(x-1)(x+3)}{x-2}\le0 \]

Resolución

Los puntos importantes son los que anulan numerador y denominador.

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]

El valor \(x=2\) no puede incluirse porque anula el denominador.

Ordenamos los puntos:

\[ -3,\quad 1,\quad 2 \]

Estudiamos signos en los intervalos:

  • En \((-\infty,-3)\), la expresión es negativa.
  • En \((-3,1)\), la expresión es positiva.
  • En \((1,2)\), la expresión es negativa.
  • En \((2,\infty)\), la expresión es positiva.

Como queremos que sea menor o igual que cero, tomamos los intervalos donde es negativa y añadimos los ceros del numerador.

Resultado. \(x\in(-\infty,-3]\cup[1,2)\)

El \(2\) no se incluye nunca porque anula el denominador. Este detalle suele ser uno de los errores más frecuentes en exámenes.

Volver al índice

Ejercicio 38. Problema de grifos con ecuación racional

Un grifo A tarda la mitad de tiempo que un grifo B en llenar un depósito. Si se abren los dos a la vez, llenan el depósito en \(2\) horas. ¿Cuánto tarda cada grifo por separado?

Planteamiento

Llamamos \(x\) al tiempo que tarda el grifo A en llenar el depósito.

Como A tarda la mitad que B, entonces B tarda:

\[ 2x \]

El grifo A llena en una hora:

\[ \frac{1}{x} \]

El grifo B llena en una hora:

\[ \frac{1}{2x} \]

Entre los dos llenan el depósito en \(2\) horas, así que juntos llenan en una hora:

\[ \frac12 \]

Planteamos la ecuación:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac12 \]

Resolución

\[ \frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac12 \]
\[ \frac{3}{2x}=\frac12 \]

Multiplicamos en cruz:

\[ 6=2x \]
\[ x=3 \]

Por tanto, A tarda \(3\) horas y B tarda:

\[ 2x=6 \]

Resultado. El grifo A tarda \(3\) horas y el grifo B tarda \(6\) horas.

Este problema es muy típico porque obliga a pensar en ritmos de trabajo. No se suman tiempos: se suman partes del depósito llenadas por hora.

Volver al índice

Lectura importante para familias. Muchos problemas de Matemáticas en Bachillerato no empiezan en los límites ni en las derivadas. Empiezan antes, cuando el alumno no factoriza bien, no domina fracciones algebraicas o se pierde al quitar denominadores. En Marlu Educativa se trabaja esa base de manera ordenada, tanto en clases online como en la preparación específica para Bachillerato.

Práctica final sin resolver

Esta parte sirve para comprobar si el alumno puede trabajar solo después de estudiar los ejercicios resueltos. Conviene hacerlos en papel, sin mirar las soluciones, y después corregir con calma.

Ejercicios para practicar

  1. Simplifica \(\frac{3^4\cdot3^{-2}}{9^{-1}}\)
  2. Expresa en notación científica \((4,8\cdot10^{-3})(2,5\cdot10^6)\)
  3. Simplifica \(\sqrt{75}-\sqrt{27}+2\sqrt{12}\)
  4. Racionaliza \(\frac{7}{\sqrt5+2}\)
  5. Desarrolla y simplifica \((3x-2)^2-(x-5)(x+5)\)
  6. Factoriza \(x^3-4x^2-x+4\)
  7. Calcula el resto de dividir \(2x^3-5x+1\) entre \(x-2\)
  8. Simplifica \(\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}\)
  9. Resuelve \(\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=5\)
  10. Resuelve \(2x^2-7x+3=0\)
  11. Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\)
  12. Resuelve \(\frac{x+2}{x-1}=3\)
  13. Resuelve \(\sqrt{x+6}=x\)
  14. Resuelve \(5^{x-1}=25\)
  15. Resuelve el sistema \(\begin{cases}3x-y=7\\2x+y=8\end{cases}\)
  16. Resuelve \(x^2-4x-5<0\)
  17. Resuelve \(\frac{x+1}{x-3}\ge0\)
  18. Un número y su doble suman \(39\). Calcula el número.
  19. La base de un rectángulo mide \(4\ \text{cm}\) más que la altura y su área es \(96\ \text{cm}^2\). Calcula sus dimensiones.
  20. Dos grifos llenan un depósito en \(3\) horas. Uno de ellos tarda el doble que el otro. Calcula cuánto tarda cada uno por separado.
Ver soluciones finales
  1. \(81\)
  2. \(1,2\cdot10^4\)
  3. \(5\sqrt3\)
  4. \(7(\sqrt5-2)\)
  5. \(8x^2-12x+29\)
  6. \((x-4)(x-1)(x+1)\)
  7. Resto \(7\)
  8. \(\frac{x-2}{x+1}\), con \(x\ne -1\), \(x\ne -2\)
  9. \(x=\frac{26}{5}\)
  10. \(x=3\), \(x=\frac12\)
  11. \(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\)
  12. \(x=\frac52\)
  13. \(x=3\)
  14. \(x=3\)
  15. \(x=3\), \(y=2\)
  16. \(x\in(-1,5)\)
  17. \(x\in(-\infty,-1]\cup(3,\infty)\)
  18. \(13\)
  19. Altura \(8\ \text{cm}\), base \(12\ \text{cm}\)
  20. El grifo rápido tarda \(4,5\) horas y el lento tarda \(9\) horas

Cómo usar esta práctica. Si el alumno falla sobre todo en los ejercicios 1 a 5, hay que reforzar cálculo algebraico básico. Si falla del 6 al 13, el problema está en factorización y ecuaciones. Si falla del 14 al 20, necesita trabajar planteamiento, sistemas e inecuaciones antes de Bachillerato.

Errores frecuentes en álgebra de 4º ESO

  • Cambiar mal los signos al quitar paréntesis.
  • Olvidar multiplicar todos los términos al quitar denominadores.
  • Aplicar mal las identidades notables.
  • Confundir \((a-b)^2\) con \(a^2-b^2\).
  • Olvidar las dos soluciones al resolver \(x^2=a\).
  • No comprobar las ecuaciones irracionales.
  • No escribir restricciones en ecuaciones racionales.
  • Usar Ruffini sin ordenar antes el polinomio.
  • Factorizar solo parcialmente y dejar el ejercicio incompleto.
  • Resolver inecuaciones como si fueran ecuaciones, sin estudiar signos.
  • No traducir correctamente el enunciado de un problema.
  • Dar un resultado sin unidades cuando el problema las pide.

Cómo usar este recurso para preparar 1º de Bachillerato

  • Primero repasa los ejercicios de potencias, radicales y logaritmos.
  • Después trabaja polinomios, Ruffini y factorización hasta no dudar con los signos.
  • Luego resuelve todas las ecuaciones sin mirar la solución.
  • Más tarde practica sistemas e inecuaciones.
  • Finalmente haz los problemas de examen escribiendo el planteamiento completo.

Conclusión. El alumno que domina este bloque llega a Bachillerato con mucha más tranquilidad. No significa que Bachillerato sea fácil, pero sí que el lenguaje algebraico deja de ser un obstáculo. Esa base permite avanzar mejor en funciones, límites, derivadas, física, química y problemas de mayor nivel.

Preparar Bachillerato con una base sólida

El salto de 4º ESO a 1º Bachillerato no se resuelve memorizando fórmulas en septiembre. Se prepara consolidando el álgebra antes: operar bien, factorizar, resolver ecuaciones, interpretar inecuaciones y plantear problemas.

En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas con método, ejercicios reales y explicación paso a paso. Este tipo de recurso es especialmente útil para alumnos de 4º ESO que quieren llegar mejor preparados a Bachillerato o para alumnos que ya han empezado Bachillerato y notan que les falta base algebraica.

Puede solicitarse información desde la prematrícula de Marlu Educativa, consultar las clases online de Matemáticas, Física y Química, revisar la página de Matemáticas online Bachillerato o ver las clases online por la mañana.

También puede ayudarte

Artículo elaborado por José María para Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de 4º ESO que quieren reforzar álgebra y preparar el salto a 1º de Bachillerato.

Último post
Ejercicios resueltos de números enteros y fracciones 1 ESO
Back to list
Siguiente Las fuerzas, trabajo y energía 1 Bachillerato | Ejercicios resueltos

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *