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Ejercicios resueltos de Matemáticas 4 ESO primera evaluación radicales logaritmos ecuaciones e inecuaciones
Radicales, logaritmos, ecuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales explicados paso a paso
Este recurso reúne los contenidos que más suelen aparecer en la primera evaluación de Matemáticas de 4 ESO. Está pensado para estudiar con orden, practicar con ejercicios resueltos y aprender a revisar cada resultado antes del examen.
Incluye radicales, racionalización, definición y propiedades de logaritmos, ecuaciones exponenciales y logarítmicas, ecuaciones biacuadradas, Ruffini, ecuaciones racionales, inecuaciones y sistemas no lineales.
Cómo usar este recurso
No conviene hacer estos ejercicios como una lista mecánica. Primero se revisa la teoría mínima, después se observa el procedimiento y finalmente se intenta repetir el ejercicio sin mirar la solución. En 4 ESO la diferencia entre aprobar justo y sacar buena nota suele estar en tres cosas muy concretas: dominar los signos, respetar el dominio de las expresiones y comprobar las soluciones obtenidas.
Muchos errores no aparecen porque el alumno no sepa hacer el ejercicio, sino porque salta pasos intermedios. Por eso las soluciones están desarrolladas con calma, especialmente en ecuaciones con fracciones, logaritmos, radicales e inecuaciones racionales.
Índice del recurso
Mapa rápido de contenidos de primera evaluación
| Contenido | Qué hay que dominar | Error habitual |
|---|---|---|
| Radicales | Simplificar raíces, extraer factores, operar radicales semejantes | Sumar raíces no semejantes como si fueran números normales |
| Racionalización | Eliminar raíces del denominador usando el factor adecuado | Multiplicar solo el denominador y no toda la fracción |
| Logaritmos | Pasar de forma logarítmica a forma exponencial y aplicar propiedades | Olvidar que el argumento del logaritmo debe ser positivo |
| Ecuaciones | Resolver exponenciales, logarítmicas, racionales, biacuadradas y polinómicas | No comprobar soluciones extrañas |
| Inecuaciones | Estudiar signos por intervalos | Cambiar mal el sentido de la desigualdad o dividir sin analizar signos |
| Sistemas no lineales | Sustituir, factorizar y comprobar pares de soluciones | Quedarse solo con una solución cuando hay dos o más |
1. Radicales y operaciones con raíces
Una raíz se simplifica buscando factores que sean potencias perfectas. Por ejemplo, en \(\sqrt{72}\) interesa ver que \(72=36\cdot 2\), porque \(\sqrt{36}=6\). Por tanto:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
Ejercicio 1. Simplifica \(\sqrt{50}\)
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de 50.
\[ 50=25\cdot 2 \]
Entonces:
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]
Ejercicio 2. Simplifica \(\sqrt{108}\)
Descomponemos 108 buscando un cuadrado perfecto.
\[ 108=36\cdot 3 \]
Como \(\sqrt{36}=6\), queda:
\[ \sqrt{108}=6\sqrt{3} \]
Ejercicio 3. Simplifica \(\sqrt{192}\)
Conviene elegir el mayor cuadrado perfecto posible.
\[ 192=64\cdot 3 \]
Por tanto:
\[ \sqrt{192}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3} \]
Ejercicio 4. Opera \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\)
Todos los radicales son semejantes porque tienen \(\sqrt{2}\).
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3+5-1)\sqrt{2} \]
\[ (3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2} \]
Ejercicio 5. Opera \(\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}\)
Primero simplificamos cada radical.
\[ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \]
\[ 2\sqrt{12}=2\sqrt{4\cdot 3}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \]
Sustituimos:
\[ 5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3} \]
Ejercicio 6. Opera \(\sqrt{18}+\sqrt{50}-2\sqrt{8}\)
Simplificamos:
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{50}=5\sqrt{2} \]
\[ 2\sqrt{8}=2\sqrt{4\cdot 2}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2} \]
Ahora operamos:
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=4\sqrt{2} \]
Ejercicio 7. Multiplica \(\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}\)
Multiplicamos los radicandos.
\[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=\sqrt{144} \]
\[ \sqrt{144}=12 \]
Ejercicio 8. Multiplica \(2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{12}\)
Multiplicamos coeficientes y radicales.
\[ 2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{12}=10\sqrt{36} \]
\[ 10\sqrt{36}=10\cdot 6=60 \]
Ejercicio 9. Divide \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)
Usamos la propiedad del cociente de radicales.
\[ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36} \]
\[ \sqrt{36}=6 \]
Ejercicio 10. Simplifica \(\sqrt{a^6b^4}\), suponiendo \(a\geq 0\) y \(b\geq 0\)
Como las variables son no negativas, podemos extraer las potencias pares directamente.
\[ \sqrt{a^6b^4}=\sqrt{a^6}\cdot \sqrt{b^4} \]
\[ \sqrt{a^6}=a^3,\qquad \sqrt{b^4}=b^2 \]
Ejercicio 11. Simplifica \(4\sqrt{45}-3\sqrt{20}+2\sqrt{80}\)
Reducimos cada raíz.
\[ 4\sqrt{45}=4\sqrt{9\cdot 5}=12\sqrt{5} \]
\[ 3\sqrt{20}=3\sqrt{4\cdot 5}=6\sqrt{5} \]
\[ 2\sqrt{80}=2\sqrt{16\cdot 5}=8\sqrt{5} \]
Ahora sustituimos con cuidado del signo:
\[ 12\sqrt{5}-6\sqrt{5}+8\sqrt{5}=14\sqrt{5} \]
Ejercicio 12. Simplifica \(\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{250}\)
En raíces cúbicas buscamos cubos perfectos.
\[ 54=27\cdot 2 \]
\[ \sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2} \]
\[ 250=125\cdot 2 \]
\[ \sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2} \]
Sumamos radicales semejantes:
\[ 3\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2} \]
2. Racionalización de denominadores
Racionalizar consiste en quitar radicales del denominador. En 4 ESO suele aparecer de dos formas: con una sola raíz en el denominador o con una suma/resta que requiere usar el conjugado.
Ejercicio 13. Racionaliza \(\frac{5}{\sqrt{3}}\)
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{3}\).
\[ \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 14. Racionaliza \(\frac{7}{2\sqrt{5}}\)
Multiplicamos por \(\sqrt{5}\) arriba y abajo.
\[ \frac{7}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{2\cdot 5} \]
\[ \frac{7\sqrt{5}}{10} \]
Ejercicio 15. Racionaliza \(\frac{3}{\sqrt{6}-2}\)
El conjugado de \(\sqrt{6}-2\) es \(\sqrt{6}+2\).
\[ \frac{3}{\sqrt{6}-2}\cdot \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}+2} \]
El numerador queda:
\[ 3(\sqrt{6}+2)=3\sqrt{6}+6 \]
El denominador es una diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=6-4=2 \]
Por tanto:
\[ \frac{3\sqrt{6}+6}{2} \]
Ejercicio 16. Racionaliza \(\frac{4}{3+\sqrt{5}}\)
Usamos el conjugado \(3-\sqrt{5}\).
\[ \frac{4}{3+\sqrt{5}}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \]
Numerador:
\[ 4(3-\sqrt{5})=12-4\sqrt{5} \]
Denominador:
\[ (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4 \]
Entonces:
\[ \frac{12-4\sqrt{5}}{4}=3-\sqrt{5} \]
Ejercicio 17. Racionaliza \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
Multiplicamos por el conjugado del denominador, que es \(2+\sqrt{3}\).
\[ \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \]
Numerador:
\[ (2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3} \]
Denominador:
\[ (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1 \]
Ejercicio 18. Racionaliza \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
El conjugado de \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) es \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\).
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \]
Numerador:
\[ \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{10}-\sqrt{6} \]
Denominador:
\[ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=5-3=2 \]
3. Logaritmos definición y propiedades
El logaritmo responde a una pregunta muy concreta: a qué exponente hay que elevar la base para obtener un número.
\[ \log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b \]
Condiciones
Para que \(\log_a b\) exista en números reales:
- \(a\gt 0\)
- \(a\neq 1\)
- \(b\gt 0\)
Propiedades principales
\[ \log_a(MN)=\log_a M+\log_a N \]
\[ \log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_a M-\log_a N \]
\[ \log_a(M^k)=k\log_a M \]
Ejercicio 19. Calcula \(\log_2 32\)
Buscamos el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 32.
\[ 2^5=32 \]
Por tanto:
\[ \log_2 32=5 \]
Ejercicio 20. Calcula \(\log_3 \frac{1}{27}\)
Escribimos \(\frac{1}{27}\) como potencia de 3.
\[ 27=3^3 \]
\[ \frac{1}{27}=3^{-3} \]
Por tanto:
\[ \log_3 \frac{1}{27}=-3 \]
Ejercicio 21. Expande \(\log_2(8x^3)\)
Aplicamos producto y potencia.
\[ \log_2(8x^3)=\log_2 8+\log_2(x^3) \]
\[ \log_2 8=3 \]
\[ \log_2(x^3)=3\log_2 x \]
Ejercicio 22. Condensa \(\log x+\log 5-\log 2\)
Los dos primeros logaritmos se unen como producto.
\[ \log x+\log 5=\log(5x) \]
Después restar un logaritmo equivale a dividir.
\[ \log(5x)-\log 2=\log\left(\frac{5x}{2}\right) \]
Ejercicio 23. Expande \(\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)\)
Aplicamos cociente:
\[ \log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)=\log_3(x^2)-\log_3(9y) \]
Ahora producto y potencia:
\[ \log_3(x^2)=2\log_3 x \]
\[ \log_3(9y)=\log_3 9+\log_3 y=2+\log_3 y \]
Por tanto:
\[ 2\log_3 x-2-\log_3 y \]
Ejercicio 24. Calcula \(\log_5 125+\log_2 16-\log_{10}100\)
Calculamos cada logaritmo por separado.
\[ \log_5 125=3 \]
\[ \log_2 16=4 \]
\[ \log_{10}100=2 \]
Entonces:
\[ 3+4-2=5 \]
4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En una ecuación exponencial conviene intentar escribir ambos lados como potencias de la misma base. En una ecuación logarítmica hay que cuidar siempre el dominio y comprobar al final.
Ejercicio 25. Resuelve \(2^{x+1}=32\)
Escribimos 32 como potencia de 2.
\[ 32=2^5 \]
Entonces:
\[ 2^{x+1}=2^5 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+1=5 \]
\[ x=4 \]
Ejercicio 26. Resuelve \(3^{2x-1}=81\)
Pasamos 81 a potencia de 3.
\[ 81=3^4 \]
\[ 3^{2x-1}=3^4 \]
\[ 2x-1=4 \]
\[ 2x=5 \]
\[ x=\frac{5}{2} \]
Ejercicio 27. Resuelve \(5^{x}= \frac{1}{25}\)
Escribimos \(\frac{1}{25}\) como potencia de 5.
\[ 25=5^2 \]
\[ \frac{1}{25}=5^{-2} \]
Por tanto:
\[ 5^x=5^{-2} \]
\[ x=-2 \]
Ejercicio 28. Resuelve \(4^x=2^{x+3}\)
Expresamos \(4^x\) como potencia de 2.
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
Entonces:
\[ 2^{2x}=2^{x+3} \]
\[ 2x=x+3 \]
\[ x=3 \]
Ejercicio 29. Resuelve \(9^x-3^{x+1}=54\)
Escribimos \(9^x\) como \((3^2)^x=3^{2x}\).
Hacemos el cambio:
\[ t=3^x \]
Entonces:
\[ 3^{2x}=t^2,\qquad 3^{x+1}=3\cdot 3^x=3t \]
La ecuación queda:
\[ t^2-3t=54 \]
\[ t^2-3t-54=0 \]
Factorizamos:
\[ (t-9)(t+6)=0 \]
\[ t=9 \quad \text{o} \quad t=-6 \]
Como \(t=3^x\) siempre es positivo, descartamos \(t=-6\).
\[ 3^x=9=3^2 \]
\[ x=2 \]
Ejercicio 30. Resuelve \(\log_2 x=5\)
Pasamos a forma exponencial.
\[ \log_2 x=5 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^5=x \]
\[ x=32 \]
Comprobamos dominio: \(x\gt 0\). Se cumple.
Ejercicio 31. Resuelve \(\log_3(x-1)=2\)
Primero dominio:
\[ x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 1 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ x-1=3^2 \]
\[ x-1=9 \]
\[ x=10 \]
Comprobamos \(10\gt 1\). Es válida.
Ejercicio 32. Resuelve \(\log(x+3)+\log(x-1)=\log 12\)
Dominio:
\[ x+3\gt 0 \Rightarrow x\gt -3 \]
\[ x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 1 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 1\).
Aplicamos propiedad del producto:
\[ \log((x+3)(x-1))=\log 12 \]
Igualamos argumentos:
\[ (x+3)(x-1)=12 \]
\[ x^2+2x-3=12 \]
\[ x^2+2x-15=0 \]
Factorizamos:
\[ (x+5)(x-3)=0 \]
\[ x=-5 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Por dominio, solo vale \(x=3\).
Ejercicio 33. Resuelve \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\)
Dominio:
\[ x+6\gt 0,\quad x\gt 0 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 0\).
Aplicamos propiedad del cociente:
\[ \log_2\left(\frac{x+6}{x}\right)=2 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ \frac{x+6}{x}=2^2=4 \]
\[ x+6=4x \]
\[ 6=3x \]
\[ x=2 \]
Comprobamos dominio: \(2\gt 0\). Válida.
Ejercicio 34. Resuelve \(2\log x=\log 25\)
Dominio: \(x\gt 0\).
Usamos la propiedad de potencia:
\[ 2\log x=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log 25 \]
\[ x^2=25 \]
\[ x=5 \quad \text{o} \quad x=-5 \]
Por dominio, solo vale \(x=5\).
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5. Ruffini, factorización y ecuaciones polinómicas
Ruffini sirve para dividir un polinomio entre \(x-a\). En 4 ESO se usa mucho para factorizar polinomios y resolver ecuaciones de grado mayor que dos. El objetivo es convertir una ecuación complicada en factores sencillos.
Ejercicio 35. Resuelve \(x^2-5x+6=0\)
Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen -5.
Son -2 y -3.
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Igualamos cada factor a cero:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Ejercicio 36. Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\)
Probamos raíces enteras divisoras de 6: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).
Probamos \(x=1\):
\[ 1-6+11-6=0 \]
Luego \(x=1\) es raíz y el polinomio tiene factor \(x-1\).
Aplicamos Ruffini con coeficientes \(1,-6,11,-6\):
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Factorizamos el segundo factor:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Por tanto:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Ejercicio 37. Resuelve \(x^3-4x^2-x+4=0\)
Agrupamos términos:
\[ x^3-4x^2-x+4=x^2(x-4)-1(x-4) \]
Sacamos factor común:
\[ (x-4)(x^2-1)=0 \]
Usamos diferencia de cuadrados:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Entonces:
\[ (x-4)(x-1)(x+1)=0 \]
Ejercicio 38. Resuelve \(x^4-13x^2+36=0\)
Es una ecuación biacuadrada. Hacemos el cambio:
\[ t=x^2 \]
La ecuación queda:
\[ t^2-13t+36=0 \]
Factorizamos:
\[ (t-9)(t-4)=0 \]
\[ t=9 \quad \text{o} \quad t=4 \]
Volvemos a \(x\):
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \]
Ejercicio 39. Resuelve \(x^4-5x^2+4=0\)
Hacemos \(t=x^2\).
\[ t^2-5t+4=0 \]
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
\[ t=1 \quad \text{o} \quad t=4 \]
Volvemos a la variable inicial:
\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \]
Ejercicio 40. Resuelve \(x^4-16=0\)
Podemos verlo como diferencia de cuadrados:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
En números reales, \(x^2+4=0\) no tiene solución.
Resolvemos:
\[ x^2-4=0 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
Ejercicio 41. Factoriza \(x^3+2x^2-5x-6\)
Probamos raíces enteras divisoras de 6. Probamos \(x=2\):
\[ 8+8-10-6=0 \]
Luego \(x=2\) es raíz y aparece el factor \(x-2\).
Dividiendo por Ruffini:
\[ x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3) \]
Factorizamos:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \]
Ejercicio 42. Resuelve \(2x^3-3x^2-8x+12=0\)
Probamos raíces racionales sencillas. Para \(x=2\):
\[ 2\cdot 8-3\cdot 4-8\cdot 2+12=16-12-16+12=0 \]
Luego \(x=2\) es raíz.
Dividimos entre \(x-2\):
\[ 2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6) \]
Resolvemos el segundo factor:
\[ 2x^2+x-6=0 \]
\[ x=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{4}=\frac{-1\pm 7}{4} \]
\[ x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
\[ x=\frac{-8}{4}=-2 \]
6. Ecuaciones racionales
En una ecuación racional aparecen fracciones con \(x\) en el denominador. Antes de resolver hay que excluir los valores que anulan denominadores. Al final se comprueba porque pueden aparecer soluciones no válidas.
Ejercicio 43. Resuelve \(\frac{x+1}{x-2}=3\)
Dominio:
\[ x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq 2 \]
Multiplicamos por \(x-2\):
\[ x+1=3(x-2) \]
\[ x+1=3x-6 \]
\[ 7=2x \]
\[ x=\frac{7}{2} \]
Como \(\frac{7}{2}\neq 2\), la solución es válida.
Ejercicio 44. Resuelve \(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=5\)
Dominio: \(x\neq 0\).
Sumamos fracciones:
\[ \frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x} \]
Entonces:
\[ \frac{5}{x}=5 \]
Multiplicamos por \(x\):
\[ 5=5x \]
\[ x=1 \]
Ejercicio 45. Resuelve \(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=1\)
Dominio:
\[ x\neq 1,\quad x\neq -1 \]
Multiplicamos por \((x-1)(x+1)\):
\[ x+1+2(x-1)=(x-1)(x+1) \]
Desarrollamos:
\[ x+1+2x-2=x^2-1 \]
\[ 3x-1=x^2-1 \]
\[ x^2-3x=0 \]
\[ x(x-3)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Ambas cumplen el dominio.
Ejercicio 46. Resuelve \(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=1\)
Dominio:
\[ x\neq 2,\quad x\neq -2 \]
Multiplicamos por \((x-2)(x+2)\):
\[ x(x+2)-2(x-2)=(x-2)(x+2) \]
\[ x^2+2x-2x+4=x^2-4 \]
\[ x^2+4=x^2-4 \]
\[ 4=-4 \]
Esto es imposible. No hay solución.
Ejercicio 47. Resuelve \(\frac{3}{x}=\frac{x}{12}\)
Dominio: \(x\neq 0\).
Multiplicamos en cruz:
\[ 3\cdot 12=x\cdot x \]
\[ 36=x^2 \]
\[ x=\pm 6 \]
Ambos valores son distintos de cero, luego ambos son válidos.
Ejercicio 48. Resuelve \(\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-1}{x+3}\)
Dominio:
\[ x\neq 3,\quad x\neq -3 \]
Multiplicamos en cruz:
\[ (x+2)(x+3)=(x-1)(x-3) \]
Desarrollamos:
\[ x^2+5x+6=x^2-4x+3 \]
Cancelamos \(x^2\):
\[ 5x+6=-4x+3 \]
\[ 9x=-3 \]
\[ x=-\frac{1}{3} \]
Es válido porque no anula ningún denominador.
7. Inecuaciones de primer grado, segundo grado y racionales
Resolver una inecuación no es solo despejar. Cuando hay productos, cocientes o expresiones cuadráticas, hay que estudiar signos por intervalos.
Ejercicio 49. Resuelve \(3x-5\leq 10\)
Sumamos 5 en ambos lados.
\[ 3x\leq 15 \]
Dividimos entre 3. Como 3 es positivo, no cambia el sentido.
\[ x\leq 5 \]
Ejercicio 50. Resuelve \(-2x+7\gt 1\)
Restamos 7:
\[ -2x\gt -6 \]
Dividimos entre \(-2\). Al dividir por un número negativo, cambia el sentido.
\[ x\lt 3 \]
Ejercicio 51. Resuelve \(x^2-5x+6\gt 0\)
Factorizamos:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Puntos críticos: \(x=2\) y \(x=3\).
Estudiamos intervalos:
\[ (-\infty,2),\quad (2,3),\quad (3,\infty) \]
El producto \((x-2)(x-3)\) es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas.
Como se pide \(>0\), no incluimos las raíces.
Ejercicio 52. Resuelve \(x^2-4\leq 0\)
Factorizamos:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Raíces: \(x=-2\), \(x=2\).
La parábola abre hacia arriba, por tanto es negativa o cero entre las raíces.
Ejercicio 53. Resuelve \(\frac{x-1}{x+2}\geq 0\)
Puntos críticos:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
\(x=-2\) no puede incluirse porque anula el denominador. \(x=1\) sí puede incluirse porque hace cero el numerador.
Estudiamos signos en:
\[ (-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty) \]
En \((-\infty,-2)\), numerador negativo y denominador negativo, cociente positivo.
En \((-2,1)\), numerador negativo y denominador positivo, cociente negativo.
En \((1,\infty)\), numerador positivo y denominador positivo, cociente positivo.
Ejercicio 54. Resuelve \(\frac{x+3}{x-4}\lt 0\)
Puntos críticos:
\[ x=-3,\quad x=4 \]
\(x=4\) no pertenece al dominio. \(x=-3\) hace cero la fracción, pero se pide estrictamente menor que cero, así que tampoco se incluye.
Intervalos:
\[ (-\infty,-3),\quad (-3,4),\quad (4,\infty) \]
Probamos signos. La fracción es negativa solo entre \(-3\) y \(4\).
Ejercicio 55. Resuelve \(\frac{x^2-9}{x-1}\geq 0\)
Factorizamos el numerador:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
La inecuación queda:
\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-1}\geq 0 \]
Puntos críticos:
\[ x=-3,\quad x=1,\quad x=3 \]
\(x=1\) no se incluye porque anula denominador. \(x=-3\) y \(x=3\) sí se incluyen porque hacen cero el numerador.
Estudiando signos por intervalos se obtiene positivo en \([-3,1)\) y \([3,\infty)\).
Ejercicio 56. Resuelve \((x-2)(x+5)\leq 0\)
Puntos críticos:
\[ x=2,\quad x=-5 \]
Ordenamos:
\[ -5,\quad 2 \]
El producto de dos factores lineales es negativo entre las raíces y cero en las raíces.
8. Sistemas no lineales
Un sistema no lineal aparece cuando alguna ecuación no es de primer grado. En 4 ESO suelen salir sistemas con una recta y una parábola, con producto \(xy\), o con suma y producto de dos incógnitas.
Ejercicio 57. Resuelve el sistema \(\begin{cases} y=x+1 \\ y=x^2-1 \end{cases}\)
Como ambas expresiones son iguales a \(y\), igualamos:
\[ x+1=x^2-1 \]
\[ x^2-x-2=0 \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Calculamos \(y\) usando \(y=x+1\).
Si \(x=2\):
\[ y=2+1=3 \]
Si \(x=-1\):
\[ y=-1+1=0 \]
Ejercicio 58. Resuelve \(\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}\)
Dos números que suman 5 y multiplican 6 son 2 y 3.
También podemos hacerlo por sustitución:
\[ y=5-x \]
Sustituimos en \(xy=6\):
\[ x(5-x)=6 \]
\[ 5x-x^2=6 \]
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Si \(x=2\), \(y=3\). Si \(x=3\), \(y=2\).
Ejercicio 59. Resuelve \(\begin{cases} x^2+y^2=25 \\ y=3 \end{cases}\)
Sustituimos \(y=3\) en la primera ecuación.
\[ x^2+3^2=25 \]
\[ x^2+9=25 \]
\[ x^2=16 \]
\[ x=\pm 4 \]
Como \(y=3\), obtenemos dos puntos.
Ejercicio 60. Resuelve \(\begin{cases} y=x^2 \\ y=2x+3 \end{cases}\)
Igualamos:
\[ x^2=2x+3 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Calculamos \(y\) usando \(y=x^2\).
Si \(x=3\):
\[ y=9 \]
Si \(x=-1\):
\[ y=1 \]
Ejercicio 61. Resuelve \(\begin{cases} x-y=1 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}\)
De la primera ecuación:
\[ x=y+1 \]
Sustituimos:
\[ (y+1)^2+y^2=13 \]
\[ y^2+2y+1+y^2=13 \]
\[ 2y^2+2y-12=0 \]
Dividimos entre 2:
\[ y^2+y-6=0 \]
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
\[ y=-3 \quad \text{o} \quad y=2 \]
Si \(y=-3\), entonces \(x=-2\).
Si \(y=2\), entonces \(x=3\).
Ejercicio 62. Resuelve \(\begin{cases} x+y=1 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}\)
De \(x+y=1\):
\[ y=1-x \]
Sustituimos:
\[ x^2+(1-x)^2=5 \]
\[ x^2+1-2x+x^2=5 \]
\[ 2x^2-2x-4=0 \]
Dividimos entre 2:
\[ x^2-x-2=0 \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Si \(x=2\), \(y=-1\). Si \(x=-1\), \(y=2\).
9. Simulacro final tipo examen
Este simulacro mezcla los contenidos anteriores. La idea es entrenar como en un examen real: primero identificar el tipo de ejercicio, después elegir método y finalmente comprobar.
Ejercicio 63. Simplifica \(2\sqrt{98}-3\sqrt{32}+\sqrt{72}\)
Simplificamos cada raíz.
\[ \sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2} \]
\[ 2\sqrt{98}=14\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2} \]
\[ 3\sqrt{32}=12\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
Operamos:
\[ 14\sqrt{2}-12\sqrt{2}+6\sqrt{2}=8\sqrt{2} \]
Ejercicio 64. Racionaliza \(\frac{6}{\sqrt{7}-1}\)
Multiplicamos por el conjugado \(\sqrt{7}+1\).
\[ \frac{6}{\sqrt{7}-1}\cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1} \]
Numerador:
\[ 6(\sqrt{7}+1)=6\sqrt{7}+6 \]
Denominador:
\[ (\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)=7-1=6 \]
\[ \frac{6\sqrt{7}+6}{6}=\sqrt{7}+1 \]
Ejercicio 65. Resuelve \(2^{x+2}=8^{x-1}\)
Expresamos \(8\) como potencia de \(2\).
\[ 8^{x-1}=(2^3)^{x-1}=2^{3x-3} \]
La ecuación queda:
\[ 2^{x+2}=2^{3x-3} \]
Igualamos exponentes:
\[ x+2=3x-3 \]
\[ 5=2x \]
\[ x=\frac{5}{2} \]
Ejercicio 66. Resuelve \(\log_2(x-2)+\log_2 x=3\)
Dominio:
\[ x-2\gt 0 \Rightarrow x\gt 2 \]
\[ x\gt 0 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 2\).
Aplicamos propiedad del producto:
\[ \log_2(x(x-2))=3 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ x(x-2)=2^3 \]
\[ x^2-2x=8 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
\[ x=4 \quad \text{o} \quad x=-2 \]
Por dominio, solo vale \(x=4\).
Ejercicio 67. Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\)
Ecuación biacuadrada. Hacemos:
\[ t=x^2 \]
\[ t^2-10t+9=0 \]
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
\[ t=1 \quad \text{o} \quad t=9 \]
Volvemos a \(x\):
\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 \]
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 \]
Ejercicio 68. Resuelve \(\frac{2x+1}{x-1}=4\)
Dominio:
\[ x\neq 1 \]
Multiplicamos por \(x-1\):
\[ 2x+1=4(x-1) \]
\[ 2x+1=4x-4 \]
\[ 5=2x \]
\[ x=\frac{5}{2} \]
Es válido porque \(\frac{5}{2}\neq 1\).
Ejercicio 69. Resuelve \(\frac{x-4}{x+1}\leq 0\)
Puntos críticos:
\[ x=4,\quad x=-1 \]
\(x=-1\) no se incluye porque anula denominador. \(x=4\) sí se incluye porque hace cero el numerador.
Intervalos:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,4),\quad (4,\infty) \]
Probando signos, la fracción es negativa entre \(-1\) y \(4\), y vale cero en \(4\).
Ejercicio 70. Resuelve \(\begin{cases} y=x^2-4 \\ y=x+2 \end{cases}\)
Igualamos:
\[ x^2-4=x+2 \]
\[ x^2-x-6=0 \]
\[ (x-3)(x+2)=0 \]
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-2 \]
Calculamos \(y\) con \(y=x+2\).
Si \(x=3\):
\[ y=5 \]
Si \(x=-2\):
\[ y=0 \]
Ejercicio 71. Resuelve \(x^3-7x+6=0\)
Probamos raíces enteras divisoras de 6. Para \(x=1\):
\[ 1-7+6=0 \]
Luego \(x=1\) es raíz.
Dividimos entre \(x-1\):
\[ x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6) \]
Factorizamos:
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2) \]
Entonces:
\[ (x-1)(x+3)(x-2)=0 \]
Ejercicio 72. Resuelve \(\log_3(2x+1)=2\)
Dominio:
\[ 2x+1\gt 0 \Rightarrow x\gt -\frac{1}{2} \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ 2x+1=3^2 \]
\[ 2x+1=9 \]
\[ 2x=8 \]
\[ x=4 \]
Comprobación de dominio: \(4\gt -\frac{1}{2}\). Válida.
10. Errores típicos en 4 ESO primera evaluación
Errores con radicales
- Sumar \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) como si fuera \(\sqrt{5}\). Eso no es correcto.
- No simplificar antes de operar.
- Olvidar multiplicar numerador y denominador al racionalizar.
- Confundir \(\sqrt{a+b}\) con \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Errores con logaritmos
- Olvidar el dominio del argumento.
- Pensar que \(\log(a+b)=\log a+\log b\). Esa propiedad no existe.
- Pasar mal de forma logarítmica a forma exponencial.
- No comprobar soluciones al final.
Errores con ecuaciones
- No excluir denominadores nulos en ecuaciones racionales.
- Resolver una biacuadrada y quedarse en \(t\), sin volver a \(x\).
- Aplicar Ruffini sin probar antes una raíz válida.
- Perder soluciones negativas al resolver \(x^2=a\).
Errores con inecuaciones
- No cambiar el sentido al dividir por un número negativo.
- Incluir valores que anulan denominadores.
- No estudiar signos por intervalos en cocientes.
- Confundir intervalos abiertos y cerrados.
Recursos relacionados para seguir estudiando
Si este tema forma parte de una recuperación, una primera evaluación difícil o una preparación más amplia de Matemáticas, puede ser útil reforzar también operaciones combinadas, álgebra, ecuaciones y sistemas.
Preparar Matemáticas de 4 ESO con método y seguimiento
En 4 ESO muchos alumnos llegan a radicales, logaritmos, ecuaciones racionales e inecuaciones sin tener todavía una base algebraica suficientemente segura. El problema no suele ser un único tema, sino la acumulación de pequeños fallos: signos, fracciones, paréntesis, factorización y comprobación.
En Marlu Educativa trabajamos estos contenidos con ejercicios graduados, corrección de errores reales y explicación paso a paso. El objetivo no es solo resolver una lista de ejercicios, sino que el alumno aprenda a reconocer el método adecuado en cada caso.
Preguntas frecuentes sobre Matemáticas de 4 ESO primera evaluación
¿Qué temas suelen entrar en la primera evaluación de Matemáticas de 4 ESO?
Depende del centro, pero suelen aparecer radicales, potencias, logaritmos, ecuaciones exponenciales y logarítmicas, ecuaciones polinómicas, Ruffini, ecuaciones racionales, inecuaciones y sistemas no lineales.
¿Qué parte suele costar más a los alumnos?
Normalmente los mayores problemas aparecen en ecuaciones logarítmicas, racionales e inecuaciones racionales, porque obligan a controlar dominio, signos y comprobación final.
¿Por qué es importante comprobar las soluciones?
Porque en ecuaciones con logaritmos, radicales o fracciones pueden aparecer soluciones que algebraicamente salen durante el proceso, pero que no cumplen el dominio inicial del ejercicio.
¿Conviene estudiar primero radicales o logaritmos?
Es mejor dominar primero potencias, radicales y factorización. Después los logaritmos y las ecuaciones logarítmicas se entienden mejor porque dependen directamente de las potencias.
¿Se puede preparar este bloque mediante clases online?
Sí. Con una pizarra digital compartida se puede trabajar el desarrollo paso a paso, detectar el error exacto del alumno y dejar la resolución completa para repasar después.