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Ejercicios resueltos de Matemáticas 4 ESO primera evaluación radicales logaritmos ecuaciones e inecuaciones
Biblioteca Marlu Educativa® · Matemáticas B · 4.º ESO
Radicales, logaritmos y ecuaciones en 4.º ESO
Este cuaderno conecta las técnicas de álgebra de 4.º ESO: radicales, logaritmos, ecuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales sencillos. Los 62 modelos guiados ayudan a elegir y justificar el procedimiento; las diez cuestiones finales permiten ponerlo a prueba.
La distribución por evaluaciones depende de tu centro. Sigue el recorrido completo o entra en el bloque que necesites. El tramo de profundización permite preparar la transición a Bachillerato.
Método Marlu para decidir, resolver y comprobar
- Identifica la técnica. Distingue una operación con radicales, una ecuación, una inecuación o un sistema.
- Fija las restricciones. Revisa radicandos, argumentos de logaritmos y denominadores antes de operar.
- Justifica el paso. Explica la base común, el factor, el cambio de variable o el signo que permite continuar.
- Responde y comprueba. Reúne todas las soluciones admisibles y contrástalas con el enunciado, los intervalos o las dos ecuaciones del sistema.
Intenta cada ejercicio sin mirar. Si te atascas, localiza el primer paso que no sabes justificar y vuelve a intentarlo después de consultarlo.
Lo que vas a trabajar
| Contenido | Qué hay que dominar | Error habitual |
|---|---|---|
| Radicales | Simplificar raíces, extraer factores, operar radicales semejantes | Sumar raíces no semejantes como si fueran términos semejantes |
| Racionalización | Eliminar raíces del denominador usando el factor adecuado | Multiplicar solo el denominador y no toda la fracción |
| Logaritmos | Pasar de forma logarítmica a forma exponencial y aplicar propiedades | Olvidar que el argumento del logaritmo debe ser positivo |
| Ecuaciones | Resolver exponenciales, logarítmicas, racionales, biacuadradas y polinómicas | No comprobar soluciones extrañas |
| Inecuaciones | Estudiar signos por intervalos | Cambiar mal el sentido de la desigualdad o dividir sin analizar signos |
| Sistemas no lineales | Sustituir, factorizar y comprobar pares de soluciones | Quedarse solo con una solución cuando hay dos o más |
1. Radicales y operaciones con raíces
Una raíz se simplifica buscando factores que sean potencias perfectas. Por ejemplo, en \(\sqrt{72}\) interesa ver que \(72=36\cdot 2\), porque \(\sqrt{36}=6\). Por tanto:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
Raíces reales y signo
La raíz cuadrada representa el valor no negativo. En particular, \(\sqrt{u^2}=|u|\). Para usar \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) en los reales, necesitamos \(a\geq0\) y \(b\geq0\). En el cociente, \(a\geq0\) y \(b\gt0\).
Ejercicio 1. Simplifica \(\sqrt{50}\)
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de 50.
\[\begin{aligned}&50=25\cdot 2\\&\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\end{aligned}\]
Ejercicio 2. Simplifica \(\sqrt{108}\)
Extraemos el cuadrado perfecto:
\[\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3\]
Ejercicio 3. Simplifica \(\sqrt{192}\)
Conviene elegir el mayor cuadrado perfecto posible.
\[\begin{aligned}&192=64\cdot 3\\&\sqrt{192}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}\end{aligned}\]
Ejercicio 4. Opera \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\)
Todos los radicales son semejantes porque tienen \(\sqrt{2}\).
\[\begin{aligned}&3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3+5-1)\sqrt{2}\\&(3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2}\end{aligned}\]
Ejercicio 5. Opera \(\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}\)
Primero simplificamos cada radical.
\[\begin{aligned}&\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\\&2\sqrt{12}=2\sqrt{4\cdot 3}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\\&\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}\end{aligned}\]
Sustituimos:
\[ 5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3} \]
Ejercicio 6. Opera \(\sqrt{18}+\sqrt{50}-2\sqrt{8}\)
Simplificamos antes de sumar los coeficientes:
\[\begin{aligned}\sqrt{18}+\sqrt{50}-2\sqrt8&=3\sqrt2+5\sqrt2-4\sqrt2\\&=4\sqrt2.\end{aligned}\]
Ejercicio 7. Multiplica \(\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}\)
Multiplicamos los radicandos.
\[\begin{aligned}&\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=\sqrt{144}\\&\sqrt{144}=12\end{aligned}\]
Ejercicio 8. Multiplica \(2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{12}\)
Multiplicamos coeficientes y radicales.
\[\begin{aligned}&2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{12}=10\sqrt{36}\\&10\sqrt{36}=10\cdot 6=60\end{aligned}\]
Ejercicio 9. Divide \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)
Usamos la propiedad del cociente de radicales.
\[\begin{aligned}&\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}\\&\sqrt{36}=6\end{aligned}\]
Ejercicio 10. Simplifica \(\sqrt{a^6b^4}\), suponiendo \(a\geq 0\) y \(b\geq 0\)
Como las variables son no negativas, podemos extraer las potencias pares directamente.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^6b^4}=\sqrt{a^6}\cdot \sqrt{b^4}\\&\sqrt{a^6}=a^3,\qquad \sqrt{b^4}=b^2\end{aligned}\]
\(a^3b^2\)
Ejercicio 11. Simplifica \(4\sqrt{45}-3\sqrt{20}+2\sqrt{80}\)
Reducimos cada raíz.
\[\begin{aligned}&4\sqrt{45}=4\sqrt{9\cdot 5}=12\sqrt{5}\\&3\sqrt{20}=3\sqrt{4\cdot 5}=6\sqrt{5}\\&2\sqrt{80}=2\sqrt{16\cdot 5}=8\sqrt{5}\end{aligned}\]
Ahora sustituimos con cuidado del signo:
\[ 12\sqrt{5}-6\sqrt{5}+8\sqrt{5}=14\sqrt{5} \]
Ejercicio 12. Simplifica \(\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{250}\)
En raíces cúbicas buscamos cubos perfectos.
\[\begin{aligned}&54=27\cdot 2\\&\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\\&250=125\cdot 2\\&\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}\end{aligned}\]
Sumamos radicales semejantes:
\[ 3\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2} \]
Si la raíz aparece en una ecuación
Para resolver \(\sqrt{A(x)}=B(x)\), trabaja donde A y B estén definidas y exige \(A(x)\geq0\) y recuerda que toda solución debe cumplir también \(B(x)\geq0\). Solo entonces eleva al cuadrado y resuelve.
\[\sqrt{A(x)}=B(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}A(x)\geq0,\\B(x)\geq0,\\A(x)=B(x)^2.\end{cases}\]
Al final, sustituye los candidatos en la ecuación inicial. Elevar al cuadrado sin conservar la condición de signo puede incorporar valores que no eran soluciones. Usarás este procedimiento en el ejercicio 63 del simulacro.
2. Racionalización de denominadores
Racionalizar consiste en eliminar las raíces del denominador sin cambiar el valor de la fracción. Aquí trabajaremos una raíz y una suma o diferencia que se simplifica con el conjugado.
Ejercicio 13. Racionaliza \(\frac{5}{\sqrt{3}}\)
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{3}\).
\[ \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 14. Racionaliza \(\frac{7}{2\sqrt{5}}\)
Multiplicamos por \(\sqrt{5}\) arriba y abajo.
\[\begin{aligned}&\frac{7}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{2\cdot 5}\\&\frac{7\sqrt{5}}{10}\end{aligned}\]
Ejercicio 15. Racionaliza \(\frac{3}{\sqrt{6}-2}\)
El conjugado de \(\sqrt{6}-2\) es \(\sqrt{6}+2\).
\[ \frac{3}{\sqrt{6}-2}\cdot \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}+2} \]
El numerador queda:
\[ 3(\sqrt{6}+2)=3\sqrt{6}+6 \]
El denominador es una diferencia de cuadrados:
\[\begin{aligned}&(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=6-4=2\\&\frac{3\sqrt{6}+6}{2}\end{aligned}\]
Ejercicio 16. Racionaliza \(\frac{4}{3+\sqrt{5}}\)
El conjugado de \(3+\sqrt5\) es \(3-\sqrt5\):
\[\begin{aligned}\frac4{3+\sqrt5}&=\frac{4(3-\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}\\&=\frac{4(3-\sqrt5)}{9-5}\\&=3-\sqrt5.\end{aligned}\]
Ejercicio 17. Racionaliza \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
Multiplicamos por el conjugado del denominador, que es \(2+\sqrt{3}\).
\[ \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \]
Numerador:
\[ (2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3} \]
Denominador:
\[ (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1 \]
\(7+4\sqrt{3}\)
Ejercicio 18. Racionaliza \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
El conjugado de \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) es \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\).
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \]
Numerador:
\[ \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{10}-\sqrt{6} \]
Denominador:
\[ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=5-3=2 \]
\(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}\)
3. Logaritmos: definición y propiedades
El logaritmo responde a una pregunta muy concreta: a qué exponente hay que elevar la base para obtener un número.
\[ \log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b \]
Condiciones
Para que \(\log_a b\) exista en números reales:
- \(a\gt 0\)
- \(a\neq 1\)
- \(b\gt 0\)
Propiedades principales
Estas identidades se usan con \(a\gt0\), \(a\neq1\), \(M\gt0\) y \(N\gt0\). En la propiedad de la potencia, k es real.
\[ \log_a(MN)=\log_a M+\log_a N \]
\[ \log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_a M-\log_a N \]
\[ \log_a(M^k)=k\log_a M \]
Ejercicio 19. Calcula \(\log_2 32\)
Buscamos el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 32.
\[\begin{aligned}&2^5=32\\&\log_2 32=5\end{aligned}\]
Ejercicio 20. Calcula \(\log_3 \frac{1}{27}\)
Escribimos \(\frac{1}{27}\) como potencia de 3.
\[\begin{aligned}&27=3^3\\&\frac{1}{27}=3^{-3}\\&\log_3 \frac{1}{27}=-3\end{aligned}\]
Ejercicio 21. Desarrolla \(\log_2(8x^3)\)
Aplicamos producto y potencia.
\[\begin{aligned}&\log_2(8x^3)=\log_2 8+\log_2(x^3)\\&\log_2 8=3\\&\log_2(x^3)=3\log_2 x\end{aligned}\]
\(3+3\log_2 x\), con \(x\gt 0\)
Ejercicio 22. Expresa como un solo logaritmo \(\log x+\log 5-\log 2\)
Los dos primeros logaritmos se unen como producto.
\[ \log x+\log 5=\log(5x) \]
Después restar un logaritmo equivale a dividir.
\[ \log(5x)-\log 2=\log\left(\frac{5x}{2}\right) \]
\(\log\left(\frac{5x}{2}\right)\), con \(x\gt 0\)
Ejercicio 23. Desarrolla \(\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)\)
Antes de usar propiedades, fijamos el dominio de la expresión original:
\[\frac{x^2}{9y}>0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\ y>0\]
Aplicamos la propiedad del cociente:
\[\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)=\log_3(x^2)-\log_3(9y)\]
Como \(x\) puede ser positivo o negativo, \(\log_3(x^2)=2\log_3|x|\). Además, \(\log_3(9y)=2+\log_3 y\).
\[\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)=2\log_3|x|-2-\log_3 y\]
\(2\log_3|x|-2-\log_3 y\), con \(x\neq 0\) e \(y>0\).
Ejercicio 24. Calcula \(\log_5 125+\log_2 16-\log_{10}100\)
Calculamos cada logaritmo por separado.
\[\begin{aligned}&\log_5 125=3\\&\log_2 16=4\\&\log_{10}100=2\\&3+4-2=5\end{aligned}\]
4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Con \(a\gt0\) y \(a\neq1\), \(a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v\). Busca una base común. En las logarítmicas, impón primero argumentos positivos y comprueba los candidatos en la ecuación original.
Ejercicio 25. Resuelve \(2^{x+1}=32\)
Escribimos 32 como potencia de 2.
\[\begin{aligned}&32=2^5\\&2^{x+1}=2^5\end{aligned}\]
Igualamos exponentes:
\[\begin{aligned}&x+1=5\\&x=4\end{aligned}\]
Ejercicio 26. Resuelve \(3^{2x-1}=81\)
Como \(81=3^4\), podemos igualar los exponentes:
\[\begin{aligned}3^{2x-1}&=3^4\\2x-1&=4\\x&=\frac52.\end{aligned}\]
Ejercicio 27. Resuelve \(5^{x}= \frac{1}{25}\)
Escribimos \(\frac{1}{25}\) como potencia de 5.
\[\begin{aligned}&25=5^2\\&\frac{1}{25}=5^{-2}\\&5^x=5^{-2}\\&x=-2\end{aligned}\]
Ejercicio 28. Resuelve \(4^x=2^{x+3}\)
Expresamos \(4^x\) como potencia de 2.
\[\begin{aligned}&4^x=(2^2)^x=2^{2x}\\&2^{2x}=2^{x+3}\\&2x=x+3\\&x=3\end{aligned}\]
Ejercicio 29. Resuelve \(9^x-3^{x+1}=54\)
Escribimos \(9^x\) como \((3^2)^x=3^{2x}\).
Hacemos el cambio:
\[\begin{aligned}&t=3^x\gt0\\&3^{2x}=t^2,\qquad 3^{x+1}=3\cdot 3^x=3t\end{aligned}\]
La ecuación queda:
\[\begin{aligned}&t^2-3t=54\\&t^2-3t-54=0\end{aligned}\]
Factorizamos:
\[\begin{aligned}&(t-9)(t+6)=0\\&t=9 \quad \text{o} \quad t=-6\end{aligned}\]
Como \(t=3^x\gt0\) siempre es positivo, descartamos \(t=-6\).
\[\begin{aligned}&3^x=9=3^2\\&x=2\end{aligned}\]
\(x=2\)
Ejercicio 30. Resuelve \(\log_2 x=5\)
Pasamos a forma exponencial.
\[\begin{aligned}&\log_2 x=5 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^5=x\\&x=32\end{aligned}\]
Comprobación: \(\log_2 32=5\), con \(32\gt0\).
Ejercicio 31. Resuelve \(\log_3(x-1)=2\)
Primero dominio:
\[ x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 1 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[\begin{aligned}&x-1=3^2\\&x-1=9\\&x=10\end{aligned}\]
Comprobación: \(\log_3(10-1)=\log_3 9=2\).
Ejercicio 32. Resuelve \(\log(x+3)+\log(x-1)=\log 12\)
Dominio:
\[\begin{aligned}&x+3\gt 0 \Rightarrow x\gt -3\\&x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 1\end{aligned}\]
Dominio conjunto: \(x\gt 1\).
Aplicamos propiedad del producto:
\[ \log((x+3)(x-1))=\log 12 \]
Igualamos argumentos:
\[\begin{aligned}&(x+3)(x-1)=12\\&x^2+2x-3=12\\&x^2+2x-15=0\end{aligned}\]
Factorizamos:
\[\begin{aligned}&(x+5)(x-3)=0\\&x=-5 \quad \text{o} \quad x=3\end{aligned}\]
Descartamos \(x=-5\): sus argumentos son negativos. Para \(x=3\), \(\log6+\log2=\log12\).
\(x=3\)
Ejercicio 33. Resuelve \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\)
Dominio:
\[ x+6\gt 0,\quad x\gt 0 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 0\).
Aplicamos propiedad del cociente:
\[ \log_2\left(\frac{x+6}{x}\right)=2 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[\begin{aligned}&\frac{x+6}{x}=2^2=4\\&x+6=4x\\&6=3x\\&x=2\end{aligned}\]
Comprobación: \(\log_2(2+6)-\log_2 2=3-1=2\).
Ejercicio 34. Resuelve \(2\log x=\log 25\)
Dominio: \(x\gt 0\).
Usamos la propiedad de potencia:
\[\begin{aligned}&2\log x=\log(x^2)\\&\log(x^2)=\log 25\\&x^2=25\\&x=5 \quad \text{o} \quad x=-5\end{aligned}\]
\(x=-5\) no pertenece al dominio. Para \(x=5\), \(2\log5=\log25\).
\(x=5\)
5. Ruffini, factorización y ecuaciones polinómicas
Ruffini divide \(P(x)\) entre \(x-a\). Si el resto \(P(a)\) es cero, \(x-a\) es factor. Para resolver \(P(x)=0\), factoriza e iguala a cero cada factor. En las biacuadradas, usa \(t=x^2\geq0\) y vuelve después a \(x\).
Ejercicio 35. Resuelve \(x^2-5x+6=0\)
Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen -5.
Son -2 y -3.
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Igualamos cada factor a cero:
\[\begin{aligned}&x-2=0 \Rightarrow x=2\\&x-3=0 \Rightarrow x=3\end{aligned}\]
\(x=2\), \(x=3\)
Ejercicio 36. Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\)
Posibles raíces enteras: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Como \(P(1)=1-6+11-6=0\), dividimos entre \(x-1\):
\[\begin{array}{r|rrrr}1&1&-6&11&-6\\&&1&-5&6\\\hline&1&-5&6&0\end{array}\]
El resto es cero y el cociente es \(x^2-5x+6\):
\[\begin{aligned}P(x)&=(x-1)(x^2-5x+6)\\&=(x-1)(x-2)(x-3).\end{aligned}\]
El producto se anula cuando al menos uno de sus factores es cero.
\(x=1\), \(x=2\), \(x=3\)
Ejercicio 37. Resuelve \(x^3-4x^2-x+4=0\)
Agrupamos términos:
\[ x^3-4x^2-x+4=x^2(x-4)-1(x-4) \]
Sacamos factor común:
\[ (x-4)(x^2-1)=0 \]
Usamos diferencia de cuadrados:
\[\begin{aligned}&x^2-1=(x-1)(x+1)\\&(x-4)(x-1)(x+1)=0\end{aligned}\]
\(x=4\), \(x=1\), \(x=-1\)
Ejercicio 38. Resuelve \(x^4-13x^2+36=0\)
Es una ecuación biacuadrada. Hacemos el cambio:
\[ t=x^2\geq0 \]
La ecuación queda:
\[ t^2-13t+36=0 \]
Factorizamos:
\[\begin{aligned}&(t-9)(t-4)=0\\&t=9 \quad \text{o} \quad t=4\end{aligned}\]
Volvemos a \(x\):
\[\begin{aligned}&x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3\\&x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2\end{aligned}\]
\(x=-3\), \(x=-2\), \(x=2\), \(x=3\)
Ejercicio 39. Resuelve \(x^4-5x^2+4=0\)
Hacemos \(t=x^2\geq0\).
\[\begin{aligned}&t^2-5t+4=0\\&(t-1)(t-4)=0\\&t=1 \quad \text{o} \quad t=4\end{aligned}\]
Volvemos a la variable inicial:
\[\begin{aligned}&x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1\\&x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2\end{aligned}\]
\(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\)
Ejercicio 40. Resuelve \(x^4-16=0\)
Podemos verlo como diferencia de cuadrados:
\[\begin{aligned}&x^4-16=(x^2)^2-4^2\\&x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)\end{aligned}\]
En números reales, \(x^2+4=0\) no tiene solución.
Resolvemos:
\[\begin{aligned}&x^2-4=0\\&x^2=4\\&x=\pm 2\end{aligned}\]
Resultado real: \(x=-2\), \(x=2\)
Ejercicio 41. Factoriza \(x^3+2x^2-5x-6\)
Probamos raíces enteras divisoras de 6. Probamos \(x=2\):
\[ 8+8-10-6=0 \]
Luego \(x=2\) es raíz y aparece el factor \(x-2\).
Dividiendo por Ruffini:
\[ x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3) \]
Factorizamos:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \]
\((x-2)(x+1)(x+3)\)
Ejercicio 42. Resuelve \(2x^3-3x^2-8x+12=0\)
Probamos raíces racionales sencillas. Para \(x=2\):
\[ 2\cdot 8-3\cdot 4-8\cdot 2+12=16-12-16+12=0 \]
Luego \(x=2\) es raíz.
Dividimos entre \(x-2\):
\[ 2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6) \]
Resolvemos el segundo factor:
\[\begin{aligned}&2x^2+x-6=0\\&x=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{4}=\frac{-1\pm 7}{4}\\&x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\&x=\frac{-8}{4}=-2\end{aligned}\]
\(x=2\), \(x=\frac{3}{2}\), \(x=-2\)
6. Ecuaciones racionales
Excluye primero los valores que anulan algún denominador. Multiplica ambos miembros por un denominador común no nulo en ese dominio, resuelve y comprueba los candidatos en la ecuación original.
Ejercicio 43. Resuelve \(\frac{x+1}{x-2}=3\)
Dominio:
\[ x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq 2 \]
Multiplicamos por \(x-2\):
\[\begin{aligned}&x+1=3(x-2)\\&x+1=3x-6\\&7=2x\\&x=\frac{7}{2}\end{aligned}\]
Comprobación: \(\dfrac{7/2+1}{7/2-2}=\dfrac{9/2}{3/2}=3\).
Ejercicio 44. Resuelve \(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=5\)
Dominio: \(x\neq 0\).
Sumamos fracciones:
\[\begin{aligned}&\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}\\&\frac{5}{x}=5\end{aligned}\]
Multiplicamos por \(x\):
\[\begin{aligned}&5=5x\\&x=1\end{aligned}\]
Comprobación: \(\dfrac21+\dfrac31=5\).
Ejercicio 45. Resuelve \(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=1\)
Dominio: \(x\neq1\) y \(x\neq-1\). Multiplicamos por \((x-1)(x+1)\), que no es cero en ese dominio:
\[\begin{aligned}x+1+2(x-1)&=x^2-1\\x^2-3x&=0\\x(x-3)&=0.\end{aligned}\]
El producto nulo da \(x=0\) o \(x=3\). Comprobamos ambas en la ecuación inicial:
\[\begin{aligned}x=0:&\quad\frac1{0-1}+\frac2{0+1}=-1+2=1,\\x=3:&\quad\frac1{3-1}+\frac2{3+1}=\frac12+\frac12=1.\end{aligned}\]
\(x=0\), \(x=3\)
Ejercicio 46. Resuelve \(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=1\)
Dominio:
\[ x\neq 2,\quad x\neq -2 \]
Multiplicamos por \((x-2)(x+2)\):
\[\begin{aligned}&x(x+2)-2(x-2)=(x-2)(x+2)\\&x^2+2x-2x+4=x^2-4\\&x^2+4=x^2-4\\&4=-4\end{aligned}\]
Esto es imposible. No hay solución.
Ejercicio 47. Resuelve \(\frac{3}{x}=\frac{x}{12}\)
Dominio: \(x\neq 0\).
Multiplicamos en cruz:
\[\begin{aligned}&3\cdot 12=x\cdot x\\&36=x^2\\&x=\pm 6\end{aligned}\]
Comprobamos los dos signos:
\[\begin{aligned}x=6:&\quad\frac36=\frac6{12}=\frac12,\\x=-6:&\quad\frac3{-6}=\frac{-6}{12}=-\frac12.\end{aligned}\]
\(x=-6\), \(x=6\)
Ejercicio 48. Resuelve \(\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-1}{x+3}\)
Dominio:
\[ x\neq 3,\quad x\neq -3 \]
Multiplicamos en cruz:
\[ (x+2)(x+3)=(x-1)(x-3) \]
Desarrollamos:
\[ x^2+5x+6=x^2-4x+3 \]
Cancelamos \(x^2\):
\[\begin{aligned}&5x+6=-4x+3\\&9x=-3\\&x=-\frac{1}{3}\end{aligned}\]
Para \(x=-\dfrac13\), los dos miembros valen lo mismo: \(\dfrac{5/3}{-10/3}=-\dfrac12=\dfrac{-4/3}{8/3}\).
7. Inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales
Resolver una inecuación no es solo despejar. Cuando hay productos, cocientes o expresiones cuadráticas, hay que estudiar signos por intervalos.
Método para los intervalos y sus extremos
- Factoriza y localiza los ceros del numerador y los del denominador. Estos últimos quedan fuera del dominio.
- Ordena los puntos críticos y prueba el signo en cada intervalo. No supongas que siempre alterna: un factor de multiplicidad par puede conservar el signo.
- Elige los intervalos con el signo que pide el enunciado. La unión \(\cup\) reúne los intervalos admitidos.
- Con \(\leq\) o \(\geq\), incluye los ceros admisibles del numerador. Los ceros del denominador se excluyen siempre. Un corchete incluye el extremo y un paréntesis lo excluye; el infinito nunca se incluye.
Ejercicio 49. Resuelve \(3x-5\leq 10\)
Sumamos 5 en ambos lados.
\[ 3x\leq 15 \]
Dividimos entre 3. Como 3 es positivo, no cambia el sentido.
\[ x\leq 5 \]
\((-\infty,5]\)
Ejercicio 50. Resuelve \(-2x+7\gt 1\)
Restamos 7:
\[ -2x\gt -6 \]
Dividimos entre \(-2\). Al dividir por un número negativo, cambia el sentido.
\[ x\lt 3 \]
\((-\infty,3)\)
Ejercicio 51. Resuelve \(x^2-5x+6\gt 0\)
Factorizamos:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Puntos críticos: \(x=2\) y \(x=3\).
Estudiamos intervalos:
\[ (-\infty,2),\quad (2,3),\quad (3,\infty) \]
El producto \((x-2)(x-3)\) es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas.
Como se pide \(>0\), no incluimos las raíces.
\((-\infty,2)\cup(3,\infty)\)
Ejercicio 52. Resuelve \(x^2-4\leq 0\)
Factorizamos:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Raíces: \(x=-2\), \(x=2\).
La parábola abre hacia arriba, por tanto es negativa o cero entre las raíces.
\([-2,2]\)
Ejercicio 53. Resuelve \(\frac{x-1}{x+2}\geq 0\)
Puntos críticos:
\[\begin{aligned}&x-1=0 \Rightarrow x=1\\&x+2=0 \Rightarrow x=-2\end{aligned}\]
\(x=-2\) no puede incluirse porque anula el denominador. \(x=1\) sí puede incluirse porque hace cero el numerador.
Estudiamos signos en:
\[ (-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty) \]
En \((-\infty,-2)\), numerador negativo y denominador negativo, cociente positivo.
En \((-2,1)\), numerador negativo y denominador positivo, cociente negativo.
En \((1,\infty)\), numerador positivo y denominador positivo, cociente positivo.
\((-\infty,-2)\cup[1,\infty)\)
Ejercicio 54. Resuelve \(\frac{x+3}{x-4}\lt 0\)
Puntos críticos:
\[ x=-3,\quad x=4 \]
\(x=4\) no pertenece al dominio. \(x=-3\) hace cero la fracción, pero se pide estrictamente menor que cero, así que tampoco se incluye.
Intervalos:
\[ (-\infty,-3),\quad (-3,4),\quad (4,\infty) \]
Probamos signos. La fracción es negativa solo entre \(-3\) y \(4\).
\((-3,4)\)
Ejercicio 55. Resuelve \(\frac{x^2-9}{x-1}\geq 0\)
Factorizamos el numerador y anotamos los puntos críticos:
\[\frac{x^2-9}{x-1}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-1},\qquad x=-3,\ 1,\ 3\]
En \(x=1\) la fracción no existe. Los otros dos puntos sí pueden incluirse porque anulan el numerador.
La tabla de signos evita decidir de memoria:
\[\begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty,-3)&-3&(-3,1)&1&(1,3)&3&(3,\infty)\\ \hline \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-1}&-&0&+&\text{no existe}&-&0&+ \end{array}\]
Como se pide mayor o igual que cero, tomamos los intervalos positivos y los ceros del numerador.
\([-3,1)\cup[3,\infty)\).
Ejercicio 56. Resuelve \((x-2)(x+5)\leq 0\)
Puntos críticos:
\[ x=2,\quad x=-5 \]
Ordenamos:
\[ -5,\quad 2 \]
El producto de dos factores lineales es negativo entre las raíces y cero en las raíces.
\([-5,2]\)
8. Sistemas no lineales
Un sistema no lineal aparece cuando alguna ecuación no es de primer grado. En 4.º de ESO suelen salir sistemas con una recta y una parábola, con producto \(xy\), o con suma y producto de dos incógnitas.
Ejercicio 57. Resuelve el sistema \(\begin{cases} y=x+1 \\ y=x^2-1 \end{cases}\)
Como ambas expresiones son iguales a \(y\), igualamos:
\[\begin{aligned}&x+1=x^2-1\\&x^2-x-2=0\\&(x-2)(x+1)=0\\&x=2 \quad \text{o} \quad x=-1\end{aligned}\]
Calculamos \(y\) usando \(y=x+1\).
Si \(x=2\):
\[ y=2+1=3 \]
Si \(x=-1\):
\[ y=-1+1=0 \]
Comprobación. Para \((2,3)\), \(3=2+1=2^2-1\). Para \((-1,0)\), \(0=-1+1=(-1)^2-1\).
\((2,3)\), \((-1,0)\)
Ejercicio 58. Resuelve \(\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}\)
Dos números que suman 5 y multiplican 6 son 2 y 3.
También podemos hacerlo por sustitución:
\[ y=5-x \]
Sustituimos en \(xy=6\):
\[\begin{aligned}&x(5-x)=6\\&5x-x^2=6\\&x^2-5x+6=0\\&(x-2)(x-3)=0\\&x=2 \quad \text{o} \quad x=3\end{aligned}\]
Si \(x=2\), \(y=3\). Si \(x=3\), \(y=2\).
Comprobación. Los pares \((2,3)\) y \((3,2)\) tienen suma 5 y producto 6.
\((2,3)\), \((3,2)\)
Ejercicio 59. Resuelve \(\begin{cases} x^2+y^2=25 \\ y=3 \end{cases}\)
Sustituimos \(y=3\) en la primera ecuación.
\[\begin{aligned}&x^2+3^2=25\\&x^2+9=25\\&x^2=16\\&x=\pm 4\end{aligned}\]
Como \(y=3\), obtenemos dos puntos.
Comprobación. En ambos pares, \(y=3\) y \(x^2+y^2=16+9=25\).
\((4,3)\), \((-4,3)\)
Ejercicio 60. Resuelve \(\begin{cases} y=x^2 \\ y=2x+3 \end{cases}\)
Igualamos:
\[\begin{aligned}&x^2=2x+3\\&x^2-2x-3=0\\&(x-3)(x+1)=0\\&x=3 \quad \text{o} \quad x=-1\end{aligned}\]
Calculamos \(y\) usando \(y=x^2\).
Si \(x=3\):
\[ y=9 \]
Si \(x=-1\):
\[ y=1 \]
Comprobación. Para \((3,9)\), \(9=3^2=2\cdot3+3\). Para \((-1,1)\), \(1=(-1)^2=2(-1)+3\).
\((3,9)\), \((-1,1)\)
Ejercicio 61. Resuelve \(\begin{cases} x-y=1 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}\)
De la primera ecuación obtenemos \(x=y+1\). Sustituimos en la segunda; después dividimos entre 2 y factorizamos:
\[\begin{aligned}(y+1)^2+y^2&=13\\y^2+y-6&=0\\(y+3)(y-2)&=0.\end{aligned}\]
Si \(y=-3\), entonces \(x=-2\). Si \(y=2\), entonces \(x=3\).
Comprobación. En \((-2,-3)\), \(-2-(-3)=1\) y \(4+9=13\). En \((3,2)\), \(3-2=1\) y \(9+4=13\).
\((-2,-3)\), \((3,2)\)
Ejercicio 62. Resuelve \(\begin{cases} x+y=1 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}\)
De \(x+y=1\):
\[ y=1-x \]
Sustituimos:
\[\begin{aligned}&x^2+(1-x)^2=5\\&x^2+1-2x+x^2=5\\&2x^2-2x-4=0\end{aligned}\]
Dividimos entre 2:
\[\begin{aligned}&x^2-x-2=0\\&(x-2)(x+1)=0\\&x=2 \quad \text{o} \quad x=-1\end{aligned}\]
Si \(x=2\), \(y=-1\). Si \(x=-1\), \(y=2\).
Comprobación. Los dos pares suman 1 y verifican \(x^2+y^2=4+1=5\).
\((2,-1)\), \((-1,2)\)
9. Simulacro de conjunto · 10 puntos
Tiempo orientativo: 60 minutos, adaptable a tu ritmo. Intenta las diez cuestiones sin abrir las soluciones y reserva los últimos minutos para comprobar restricciones, signos y candidatos. Cada ejercicio vale un punto.
Enunciados para resolver sin consultar las soluciones
- Resuelve \(\sqrt{x+5}=x-1\).
- Racionaliza \(\dfrac{6}{\sqrt7-1}\).
- Una cantidad inicial positiva se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo será 32 veces la inicial?
- Resuelve \(\log_2(x-2)+\log_2x=3\).
- Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\).
- Resuelve \(\dfrac{2x+1}{x-1}=4\).
- Resuelve \(\dfrac{x-4}{x+1}\leq0\).
- Un rectángulo tiene 18 cm de perímetro y 20 cm² de área. Halla sus lados.
- Resuelve \(x^3-7x+6=0\).
- Resuelve \(\log_3(2x+1)=2\).
Control final: anota restricciones antes de operar y comprueba los candidatos en el enunciado original.
Cada ejercicio vale 1 punto: 0,25 por el planteamiento y las restricciones que procedan; 0,50 por el desarrollo; 0,25 por la respuesta con su comprobación o interpretación. El total es 10.
Ver solución paso a paso del ejercicio 63
Ejercicio 63. Resuelve \(\sqrt{x+5}=x-1\)
El dominio de la raíz es \(x+5\geq0\), es decir, \(x\geq-5\). Además, la raíz es no negativa: toda solución debe cumplir \(x-1\geq0\), por lo que trabajamos con \(x\geq1\).
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
\[\begin{aligned}&x+5=(x-1)^2=x^2-2x+1\\&x^2-3x-4=0\quad\Longrightarrow\quad(x-4)(x+1)=0\end{aligned}\]
Los candidatos son \(x=4\) y \(x=-1\). El segundo no cumple la condición \(x\geq1\) y se descarta. Comprobamos el primero:
\[\sqrt{4+5}=3=4-1\]
\(x=4\).
Ver solución paso a paso del ejercicio 64
Ejercicio 64. Racionaliza \(\frac{6}{\sqrt{7}-1}\)
Multiplicamos por el conjugado \(\sqrt{7}+1\).
\[ \frac{6}{\sqrt{7}-1}\cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1} \]
Numerador:
\[ 6(\sqrt{7}+1)=6\sqrt{7}+6 \]
Denominador:
\[\begin{aligned}&(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)=7-1=6\\&\frac{6\sqrt{7}+6}{6}=\sqrt{7}+1\end{aligned}\]
Ver solución paso a paso del ejercicio 65
Ejercicio 65. Una cantidad inicial positiva se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo será 32 veces la inicial?
Tomamos un modelo de crecimiento exponencial. Si \(t\) es el tiempo en horas y \(Q_0\gt0\) la cantidad inicial, cada 3 horas se duplica:
\[\frac{Q(t)}{Q_0}=2^{t/3}\]
Pedimos que la cantidad sea 32 veces la inicial:
\[2^{t/3}=32=2^5\]
Igualamos exponentes:
\[\frac{t}{3}=5\quad\Longrightarrow\quad t=15\]
Será 32 veces la cantidad inicial al cabo de 15 horas.
Ver solución paso a paso del ejercicio 66
Ejercicio 66. Resuelve \(\log_2(x-2)+\log_2 x=3\)
Dominio:
\[\begin{aligned}&x-2\gt 0 \Rightarrow x\gt 2\\&x\gt 0\end{aligned}\]
Dominio conjunto: \(x\gt 2\).
Aplicamos propiedad del producto:
\[ \log_2(x(x-2))=3 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[\begin{aligned}&x(x-2)=2^3\\&x^2-2x=8\\&x^2-2x-8=0\\&(x-4)(x+2)=0\\&x=4 \quad \text{o} \quad x=-2\end{aligned}\]
Por dominio, solo vale \(x=4\).
Comprobación: \(\log_2(4-2)+\log_2 4=1+2=3\).
\(x=4\)
Ver solución paso a paso del ejercicio 67
Ejercicio 67. Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\)
Ecuación biacuadrada. Hacemos:
\[\begin{aligned}&t=x^2\geq0\\&t^2-10t+9=0\\&(t-1)(t-9)=0\\&t=1 \quad \text{o} \quad t=9\end{aligned}\]
Volvemos a \(x\):
\[\begin{aligned}&x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1\\&x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3\end{aligned}\]
\(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\)
Ver solución paso a paso del ejercicio 68
Ejercicio 68. Resuelve \(\frac{2x+1}{x-1}=4\)
Dominio:
\[ x\neq 1 \]
Multiplicamos por \(x-1\):
\[\begin{aligned}&2x+1=4(x-1)\\&2x+1=4x-4\\&5=2x\\&x=\frac{5}{2}\end{aligned}\]
Comprobación: \(\dfrac{2\cdot(5/2)+1}{5/2-1}=\dfrac6{3/2}=4\).
Ver solución paso a paso del ejercicio 69
Ejercicio 69. Resuelve \(\frac{x-4}{x+1}\leq 0\)
Puntos críticos:
\[ x=4,\quad x=-1 \]
\(x=-1\) no se incluye porque anula denominador. \(x=4\) sí se incluye porque hace cero el numerador.
Intervalos:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,4),\quad (4,\infty) \]
Probando signos, la fracción es negativa entre \(-1\) y \(4\), y vale cero en \(4\).
\((-1,4]\)
Ver solución paso a paso del ejercicio 70
Ejercicio 70. Un rectángulo tiene 18 cm de perímetro y 20 cm² de área. Halla sus lados
Llamamos \(x\) e \(y\) a las longitudes de los lados, con \(x>0\) e \(y>0\).
\[2x+2y=18\quad\Longrightarrow\quad x+y=9,\qquad xy=20\]
De \(x+y=9\) obtenemos \(y=9-x\). Sustituimos en el área:
\[\begin{aligned}&x(9-x)=20\quad\Longrightarrow\quad x^2-9x+20=0\\&(x-4)(x-5)=0\quad\Longrightarrow\quad x=4\ \text{o}\ x=5\end{aligned}\]
Si \(x=4\), entonces \(y=5\); si \(x=5\), entonces \(y=4\). Los dos pares describen el mismo rectángulo.
Comprobación: \(2(4+5)=18\ \text{cm}\) de perímetro y \(4\cdot5=20\ \text{cm}^2\) de área.
Los lados miden 4 cm y 5 cm.
Ver solución paso a paso del ejercicio 71
Ejercicio 71. Resuelve \(x^3-7x+6=0\)
Los candidatos enteros son los divisores de 6. Como \(P(1)=1-7+6=0\), \(x=1\) es raíz y podemos dividir entre \(x-1\).
Es importante escribir el coeficiente cero del término \(x^2\):
\[\begin{array}{r|rrrr} 1&1&0&-7&6\\ & &1&1&-6\\ \hline &1&1&-6&0 \end{array}\]
El cociente es \(x^2+x-6\), que se factoriza así:
\[x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x+3)(x-2)\]
\(x=-3\), \(x=1\) y \(x=2\).
Ver solución paso a paso del ejercicio 72
Ejercicio 72. Resuelve \(\log_3(2x+1)=2\)
Dominio:
\[ 2x+1\gt 0 \Rightarrow x\gt -\frac{1}{2} \]
Pasamos a forma exponencial:
\[\begin{aligned}&2x+1=3^2\\&2x+1=9\\&2x=8\\&x=4\end{aligned}\]
Comprobación: \(\log_3(2\cdot4+1)=\log_3 9=2\).
10. Errores frecuentes y control final
Errores con radicales
- Sumar \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) como si fuera \(\sqrt{5}\). Eso no es correcto.
- No simplificar antes de operar.
- Olvidar multiplicar numerador y denominador al racionalizar.
- Confundir \(\sqrt{a+b}\) con \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Errores con logaritmos
- Olvidar el dominio del argumento.
- Pensar que \(\log(a+b)=\log a+\log b\). Esa propiedad no existe.
- Pasar mal de forma logarítmica a forma exponencial.
- No comprobar soluciones al final.
Errores con ecuaciones
- No excluir denominadores nulos en ecuaciones racionales.
- Resolver una biacuadrada y quedarse en \(t\), sin volver a \(x\).
- Dar por hecho que \(x-a\) es factor sin comprobar antes que \(P(a)=0\).
- Perder soluciones negativas al resolver \(x^2=a\).
Errores con inecuaciones
- No cambiar el sentido al dividir por un número negativo.
- Incluir valores que anulan denominadores.
- No estudiar signos por intervalos en cocientes.
- Confundir intervalos abiertos y cerrados.
Hasta dónde llega este cuaderno
Este cuaderno reúne práctica integrada del bloque algebraico de Matemáticas B de 4.º ESO. No sustituye el recorrido anual ni los monográficos de cada técnica. Las funciones, la geometría, la trigonometría, la estadística y la probabilidad se estudian en sus recursos correspondientes.
Cuando cuesta decidir cómo empezar
En Marlu Educativa puedes trabajar los pasos que te cuestan, corregir errores y practicar el álgebra de 4.º ESO con seguimiento.
Ver clases particulares onlinePreguntas frecuentes
¿Qué se trabaja en este cuaderno de Matemáticas B de 4.º de ESO?
Radicales, racionalización, logaritmos, ecuaciones exponenciales, logarítmicas, polinómicas y racionales, inecuaciones y sistemas no lineales sencillos.
¿Coincide siempre con la primera evaluación?
No. La distribución por evaluaciones depende de cada centro. Puedes usar este cuaderno por bloques y seguir el orden que indique tu programación.
¿Por qué se comprueban algunas soluciones?
Al elevar al cuadrado pueden incorporarse candidatos que no resuelven la ecuación inicial. Además, los argumentos de los logaritmos deben ser positivos y los denominadores no pueden ser cero. La comprobación permite contrastar la respuesta con esas condiciones y con el enunciado.
¿Cómo conviene usar el simulacro?
Primero se resuelven los diez enunciados sin abrir las soluciones. Después se compara cada desarrollo, se localiza el primer paso distinto y se repite el ejercicio sin mirar.
Mi segundo intento
Escoge dos ejercicios. Escribe el primer planteamiento, explica qué decisión corriges y resuélvelos de nuevo con su comprobación.
| Ejercicio y primer planteamiento | Decisión que corrijo | Segundo planteamiento y comprobación |
|---|---|---|
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