Sistemas de ecuaciones 2 ESO 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso

Q: ¿Cómo se comprueba la solución de un sistema?

Se sustituyen los valores obtenidos de x x e y y en las dos ecuaciones originales. Si las dos se cumplen, la solución es correcta.

Publicado por

JOSE-MARIA

agosto 18, 2026

el mayo 17, 2026

Sistemas de ecuaciones 2x2: ejercicios resueltos ESO

Marlu Educativa · Matemáticas · 2.º, 3.º y 4.º ESO

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2: métodos y ejercicios resueltos para ESO

Aprende a elegir entre sustitución, igualación y reducción, a quitar paréntesis y denominadores sin perder signos y a comprobar la solución en las dos ecuaciones.

42 sistemas resueltosde la base algebraica al reto de 4.º ESO

12 problemas aplicadoscon planteamiento, resolución y respuesta

3 métodos + lectura gráficaelección, clasificación y comprobación

Cuaderno de trabajo. 42 sistemas lineales 2x2 · 12 problemas · 2.º, 3.º y 4.º ESO · método, errores y comprobación.

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Un sistema no se resuelve bien por repetir una receta. Primero hay que mirar la forma de las ecuaciones y escoger el método que deje menos cuentas. Después vienen los signos, los denominadores y la comprobación.

Aquí se trabaja ese recorrido completo con sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Si el ejercicio es sencillo, la explicación también lo será; los pasos más detallados aparecen justo donde suelen empezar los errores.

Diagnóstico inicial: cuatro decisiones antes de empezar

Hazlo sin mirar la teoría. No busca poner nota; sirve para saber si el bloqueo está en la elección del método, en los signos o en el planteamiento.

A. Elegir método

En $\begin{cases}x=2y+1\\x+y=13\end{cases}$ , ¿qué método evita más cuentas?

B. Cuidar el signo

Desarrolla solo este paso: $2x-(5-y)$ .

C. Clasificar

¿Cuántas soluciones tiene $\begin{cases}2x+y=5\\4x+2y=10\end{cases}$ ?

D. Plantear

Hay 30 entradas entre adultas e infantiles. Si $x$ son las adultas, escribe la ecuación del total.

Ver corrección y ruta recomendada

A. Sustitución: $x$ ya está despejada. Si dudaste, empieza por «Cómo elegir el método».

B. $2x-5+y$ . Si escribiste $2x-5-y$ , ve directamente al bloque de paréntesis.

C. Infinitas soluciones: la segunda ecuación es el doble de la primera.

D. $x+y=30$ . La ecuación del dinero vendría después, con los precios.

Ruta y frontera curricular por curso

El currículo estatal agrupa parte de los saberes de los tres primeros cursos y cada administración concreta su distribución. Por eso esta página usa una progresión didáctica explícita: permite entrar por el nivel real del alumno sin presentar como obligatorio en 2.º lo que en algunas programaciones se trabaja más tarde.

2.º ESOEntrada guiada

Objetivo. Entender qué representa un sistema, resolver casos sencillos con coeficientes enteros y comprobar el par obtenido.

Trabaja aquí. Ejercicios 1–6 y problemas 1–2.

Frontera. Los denominadores, los corchetes y la discusión completa no son todavía el centro.

3.º ESONúcleo del aprendizaje

Objetivo. Elegir con criterio entre sustitución, igualación y reducción, cuidar los signos y plantear problemas.

Trabaja aquí. Ejercicios 7–20 y problemas 3–6.

Frontera. Puede aparecer una solución fraccionaria, pero no se fuerza aún una batería de expresiones algebraicas largas.

4.º ESOConsolidación y reto

Objetivo. Resolver sistemas con denominadores, paréntesis y corchetes, clasificarlos y conectar la solución con las rectas.

Trabaja aquí. Ejercicios 21–42 y problemas 7–12.

Frontera. Se profundiza en sistemas lineales 2x2; no se adelantan Gauss, Cramer ni sistemas 3x3.

Fuera de esta página. Si aparece $x^2$ , $xy$ , una circunferencia o una parábola, el sistema ya no es lineal. Los sistemas no lineales necesitan un recurso propio. Los sistemas 3x3, Gauss, Cramer, rangos y parámetros pertenecen a Bachillerato y PAU.

Qué es un sistema lineal 2x2

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. En ESO, lo más habitual es trabajar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, normalmente $x$ e $y$ .

Por ejemplo:

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}

Resolver el sistema significa encontrar un valor de $x$ y un valor de $y$ que hagan verdaderas las dos ecuaciones a la vez.

Idea importante

No basta con que una solución funcione en una ecuación. Debe funcionar en las dos. Por eso, al final de cualquier sistema, la comprobación no es un adorno: es la forma de saber si el resultado es correcto.

Comprobación rápida

Si proponemos $x = 4$ , $y = 3$ en el sistema:

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}

Primera ecuación:

4 + 3 = 7

Segunda ecuación:

2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5

Como se cumplen las dos ecuaciones, la solución es correcta.

Qué significa gráficamente la solución

Cada ecuación lineal representa una recta. Resolver el sistema es averiguar qué tienen en común esas dos rectas. Esta lectura explica por qué puede haber una solución, ninguna o infinitas.

Una solución. Las rectas se cortan. El punto de corte es el par ordenado que cumple las dos ecuaciones.

Ninguna solución. Las rectas son paralelas y distintas: no existe un punto común. El sistema es incompatible.

Infinitas soluciones. Las dos ecuaciones describen la misma recta. Cada punto de ella satisface el sistema.

En examen. Si al reducir aparece una igualdad verdadera como 0 = 0, las rectas coinciden. Si aparece una contradicción como 0 = 1, son paralelas distintas.

Cómo elegir el método sin hacer cuentas de más

Los tres métodos principales son sustitución, igualación y reducción. Los tres pueden resolver el mismo sistema, pero no siempre son igual de cómodos. En un examen conviene elegir el método que deje menos cuentas y menos riesgo de error.

Método	Cuándo conviene	Riesgo habitual
Sustitución	Cuando una incógnita está despejada o se despeja fácilmente	Olvidar paréntesis al sustituir
Igualación	Cuando es cómodo despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones	Despejar con signos incorrectos
Reducción	Cuando se puede eliminar una incógnita sumando o restando ecuaciones	Multiplicar solo una parte de la ecuación

Regla práctica

Si ves $+y$ y $-y$ , piensa en reducción. Si ves $x =$ algo o $y =$ algo, piensa en sustitución. Si las dos ecuaciones tienen la misma letra fácil de despejar, piensa en igualación.

Método de sustitución paso a paso

En sustitución se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Así se pasa de dos incógnitas a una sola.

Ejemplo guiado

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}

Despejamos $y$ en la primera ecuación:

y = 7 - x

Sustituimos en la segunda ecuación:

2x - (7 - x) = 5

Quitamos el paréntesis con cuidado:

2x - 7 + x = 5

3x - 7 = 5

3x = 12

x = 4

Sustituimos:

y = 7 - 4 = 3

Resultado:

x = 4,\quad y = 3

Detalle que decide el ejercicio

En $2x - (7 - x)$ , el signo menos delante del paréntesis cambia los signos de dentro. Por eso queda $2x - 7 + x$ . Este es uno de los errores más repetidos en sistemas de ecuaciones.

Método de igualación paso a paso

En igualación se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Después se igualan las dos expresiones obtenidas.

Ejemplo guiado

\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - y = 1 \end{cases}

Despejamos $y$ en la primera:

y = 11 - 2x

Despejamos $y$ en la segunda:

x - y = 1

-y = 1 - x

y = x - 1

Igualamos:

11 - 2x = x - 1

12 = 3x

x = 4

y = 4 - 1 = 3

Resultado:

x = 4,\quad y = 3

Método de reducción paso a paso

En reducción se suman o restan las ecuaciones para eliminar una incógnita. Si los coeficientes no son opuestos, se multiplica una ecuación o las dos.

Ejemplo guiado

\begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ 5x - 2y = 14 \end{cases}

Como aparecen $+2y$ y $-2y$ , sumamos las ecuaciones.

3x + 2y + 5x - 2y = 18 + 14

8x = 32

x = 4

Sustituimos en la primera ecuación:

3 \cdot 4 + 2y = 18

12 + 2y = 18

2y = 6

y = 3

Resultado:

x = 4,\quad y = 3

Cuándo reducción es el método más limpio

Si una incógnita tiene el mismo coeficiente con signo contrario, reducción suele ser el método más rápido. Si no lo tiene, muchas veces basta con multiplicar una ecuación para conseguirlo.

Sistemas de ecuaciones con denominadores

Cuando aparecen fracciones, lo más limpio suele ser quitar denominadores antes de aplicar sustitución, igualación o reducción. Para ello se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo con denominadores

\begin{cases} \dfrac{x}{2} + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}

En la primera ecuación multiplicamos todo por $2$ :

x + 2y = 14

El sistema queda:

\begin{cases} x + 2y = 14 \\ x - y = 2 \end{cases}

Restamos la segunda ecuación a la primera:

(x + 2y) - (x - y) = 14 - 2

3y = 12

y = 4

x - 4 = 2

x = 6

Error típico

Si se multiplica una ecuación por $6$ , se multiplica todo: todos los términos del primer miembro y también el segundo miembro. No se puede multiplicar solo la fracción.

Sistemas con paréntesis y signos negativos

Los sistemas con paréntesis no son necesariamente más difíciles, pero exigen más cuidado. Antes de resolver el sistema, hay que quitar paréntesis correctamente y ordenar cada ecuación.

Ejemplo con menos delante del paréntesis

\begin{cases} 2(x - 1) + y = 9 \\ 3x - (y + 2) = 7 \end{cases}

Primera ecuación:

2x - 2 + y = 9

2x + y = 11

Segunda ecuación:

3x - y - 2 = 7

3x - y = 9

El sistema queda:

\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 3x - y = 9 \end{cases}

Sumamos:

5x = 20

x = 4

2 \cdot 4 + y = 11

y = 3

Resultado:

x = 4,\quad y = 3

42 sistemas lineales 2x2 resueltos paso a paso

Los ejercicios están ordenados de menor a mayor dificultad. Conviene intentar cada sistema antes de abrir la solución. En clase, este orden ayuda mucho: primero dominar sistemas limpios, después introducir signos, después denominadores y finalmente paréntesis con signos negativos.

2.º ESO

Entrada guiada · ejercicios 1–6

Sistemas sencillos con enteros. El objetivo es entender los tres métodos y comprobar la solución sin cargar todavía el álgebra.

Ejercicio 1. Reducción sencilla

Modelo · 2.º ESO

\begin{cases}x + y = 10 \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos las dos ecuaciones:

2x = 12

x = 6

Sustituimos:

6 + y = 10

y = 4

Resultado: $x = 6,\ y = 4$

Ejercicio 2. Sustitución

2.º ESO

\begin{cases}2x + y = 13 \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

De la segunda ecuación:

y = x - 2

Sustituimos en la primera:

2x + (x - 2) = 13

3x - 2 = 13

3x = 15

x = 5

y = 5 - 2 = 3

Resultado: $x = 5,\ y = 3$

Ejercicio 3. Igualación directa

2.º ESO

\begin{cases}y = 3x - 1 \\ y = x + 5\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Igualamos las dos expresiones de $y$ :

3x - 1 = x + 5

2x = 6

x = 3

y = 3 + 5 = 8

Resultado: $x = 3,\ y = 8$

Ejercicio 4. Reducción por resta

2.º ESO

\begin{cases}3x + y = 16 \\ x + y = 8\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Restamos la segunda ecuación a la primera:

(3x + y) - (x + y) = 16 - 8

2x = 8

x = 4

Sustituimos:

4 + y = 8

y = 4

Resultado: $x = 4,\ y = 4$

Ejercicio 5. Sustitución con suma

2.º ESO

\begin{cases}2x + 3y = 16 \\ x + y = 7\end{cases}

Ver resolución paso a paso

De la segunda ecuación:

x = 7 - y

Sustituimos:

2(7 - y) + 3y = 16

14 - 2y + 3y = 16

14 + y = 16

y = 2

x = 7 - 2 = 5

Resultado: $x = 5,\ y = 2$

Ejercicio 6. Signos sencillos

2.º ESO

\begin{cases}3x - y = 7 \\ x + y = 5\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos las dos ecuaciones:

4x = 12

x = 3

Sustituimos:

3 + y = 5

y = 2

Resultado: $x = 3,\ y = 2$

3.º ESO

Núcleo del aprendizaje · ejercicios 7–20

Elección del método, signos, coeficientes mayores y alguna solución fraccionaria. Aquí debe quedar asentada la técnica.

Ejercicio 7. Sustitución con incógnita despejada

Modelo · 3.º ESO

\begin{cases}x = 2y + 1 \\ x + y = 13\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sustituimos $x = 2y + 1$ en la segunda ecuación:

(2y + 1) + y = 13

3y + 1 = 13

3y = 12

y = 4

x = 2 \cdot 4 + 1 = 9

Resultado: $x = 9,\ y = 4$

Ejercicio 8. Sustitución con cero

3.º ESO

\begin{cases}y = 5 - x \\ 2x - y = 10\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sustituimos $y = 5 - x$ :

2x - (5 - x) = 10

2x - 5 + x = 10

3x - 5 = 10

3x = 15

x = 5

y = 5 - 5 = 0

Resultado: $x = 5,\ y = 0$

Ejercicio 9. Sustitución directa

3.º ESO

\begin{cases}2x + y = 11 \\ y = x - 1\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sustituimos $y = x - 1$ :

2x + (x - 1) = 11

3x - 1 = 11

3x = 12

x = 4

y = 4 - 1 = 3

Resultado: $x = 4,\ y = 3$

Ejercicio 10. Solución fraccionaria

3.º ESO

\begin{cases}3x - 2y = 4 \\ x = 2y + 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sustituimos $x = 2y + 2$ :

3(2y + 2) - 2y = 4

6y + 6 - 2y = 4

4y + 6 = 4

4y = -2

y = -\dfrac{1}{2}

x = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 1

Resultado: $x = 1,\ y = -\dfrac{1}{2}$

Ejercicio 11. Sustitución limpia

3.º ESO

\begin{cases}x + y = 6 \\ 2x + 3y = 15\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Despejamos $x$ :

x = 6 - y

Sustituimos:

2(6 - y) + 3y = 15

12 - 2y + 3y = 15

12 + y = 15

y = 3

x = 6 - 3 = 3

Resultado: $x = 3,\ y = 3$

Ejercicio 12. Igualación directa

3.º ESO

\begin{cases}y = 4 - x \\ y = 2x - 5\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Igualamos:

4 - x = 2x - 5

9 = 3x

x = 3

y = 4 - 3 = 1

Resultado: $x = 3,\ y = 1$

Ejercicio 13. Reducción directa

Modelo · 3.º ESO

\begin{cases}2x + 3y = 19 \\ 2x - y = 7\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Restamos la segunda ecuación a la primera:

(2x + 3y) - (2x - y) = 19 - 7

4y = 12

y = 3

Sustituimos:

2x - 3 = 7

2x = 10

x = 5

Resultado: $x = 5,\ y = 3$

Ejercicio 14. Reducción sumando

3.º ESO

\begin{cases}4x + y = 18 \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos las dos ecuaciones:

5x = 20

x = 4

Sustituimos:

4 - y = 2

-y = -2

y = 2

Resultado: $x = 4,\ y = 2$

Ejercicio 15. Reducción con signos opuestos

3.º ESO

\begin{cases}3x + 2y = 18 \\ 5x - 2y = 14\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos para eliminar $y$ :

8x = 32

x = 4

Sustituimos:

3 \cdot 4 + 2y = 18

12 + 2y = 18

2y = 6

y = 3

Resultado: $x = 4,\ y = 3$

Ejercicio 16. Reducción con coeficientes mayores

3.º ESO

\begin{cases}2x + 5y = 16 \\ 3x - 5y = -1\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos las dos ecuaciones:

5x = 15

x = 3

Sustituimos:

2 \cdot 3 + 5y = 16

6 + 5y = 16

5y = 10

y = 2

Resultado: $x = 3,\ y = 2$

Ejercicio 17. Multiplicadores

3.º ESO

\begin{cases}x + 2y = 11 \\ 3x - 4y = 3\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $2$ :

2x + 4y = 22

Sumamos con la segunda:

(2x + 4y) + (3x - 4y) = 22 + 3

5x = 25

x = 5

Sustituimos:

5 + 2y = 11

2y = 6

y = 3

Resultado: $x = 5,\ y = 3$

Ejercicio 18. Reducción con enteros

3.º ESO

\begin{cases}2x - 3y = -1 \\ 4x + 3y = 25\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos las dos ecuaciones:

6x = 24

x = 4

Sustituimos:

2 \cdot 4 - 3y = -1

8 - 3y = -1

-3y = -9

y = 3

Resultado: $x = 4,\ y = 3$

Ejercicio 19. Reducción directa

3.º ESO

\begin{cases}5x + 2y = 24 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos:

8x = 32

x = 4

Sustituimos:

5 \cdot 4 + 2y = 24

20 + 2y = 24

2y = 4

y = 2

Resultado: $x = 4,\ y = 2$

Ejercicio 20. Coeficientes grandes

3.º ESO

\begin{cases}7x - 3y = 23 \\ 2x + 3y = 22\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Sumamos las ecuaciones:

9x = 45

x = 5

Sustituimos:

2 \cdot 5 + 3y = 22

10 + 3y = 22

3y = 12

y = 4

Resultado: $x = 5,\ y = 4$

4.º ESO

Consolidación y reto · ejercicios 21–42

Denominadores, paréntesis, corchetes, clasificación y ejercicios tipo examen, sin cruzar todavía hacia Gauss o sistemas no lineales.

Ejercicio 21. Denominadores

Modelo · 4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x}{2} + y = 7 \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $2$ :

x + 2y = 14

El sistema queda:

\begin{cases}x + 2y = 14 \\ x - y = 2\end{cases}

Restamos la segunda a la primera:

3y = 12

y = 4

x - 4 = 2

x = 6

Resultado: $x = 6,\ y = 4$

Ejercicio 22. Dos denominadores

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = \dfrac{7}{2} \\ x - y = 3\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $6$ :

2x + 3y = 21

De la segunda ecuación:

x = y + 3

Sustituimos:

2(y + 3) + 3y = 21

2y + 6 + 3y = 21

5y = 15

y = 3

x = 3 + 3 = 6

Resultado: $x = 6,\ y = 3$

Ejercicio 23. Denominador con paréntesis

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x + 1}{2} + y = 7 \\ x - y = 1\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $2$ :

x + 1 + 2y = 14

x + 2y = 13

De la segunda ecuación:

x = y + 1

Sustituimos:

(y + 1) + 2y = 13

3y + 1 = 13

3y = 12

y = 4

x = 5

Resultado: $x = 5,\ y = 4$

Ejercicio 24. Fracciones y reducción

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{2} = 0 \\ x + y = 12\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $4$ :

x - 2y = 0

Por tanto:

x = 2y

Sustituimos en $x + y = 12$ :

2y + y = 12

3y = 12

y = 4

x = 8

Resultado: $x = 8,\ y = 4$

Ejercicio 25. Fracción con resta en numerador

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} + y = 5 \\ x - y = 6\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $3$ :

x - y + 3y = 15

x + 2y = 15

La segunda ecuación dice:

x - y = 6

Restamos la segunda a la primera:

(x + 2y) - (x - y) = 15 - 6

3y = 9

y = 3

x - 3 = 6

x = 9

Resultado: $x = 9,\ y = 3$

Ejercicio 26. Fracción con expresión completa

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{2x - y}{5} = 2 \\ x + y = 14\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $5$ :

2x - y = 10

Sumamos con la segunda ecuación:

(2x - y) + (x + y) = 10 + 14

3x = 24

x = 8

Sustituimos:

8 + y = 14

y = 6

Resultado: $x = 8,\ y = 6$

Ejercicio 27. Dos fracciones

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = \dfrac{8}{3} \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $6$ :

3x + 2y = 16

De la segunda ecuación:

x = y + 2

Sustituimos:

3(y + 2) + 2y = 16

3y + 6 + 2y = 16

5y = 10

y = 2

x = 4

Resultado: $x = 4,\ y = 2$

Ejercicio 28. Fracción con suma en numerador

4.º ESO

\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{4} = 5 \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $4$ :

x + 2y = 20

De la segunda ecuación:

x = y + 2

Sustituimos:

(y + 2) + 2y = 20

3y + 2 = 20

3y = 18

y = 6

x = 8

Resultado: $x = 8,\ y = 6$

Ejercicio 29. Paréntesis y signos

Modelo · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}2(x - 1) - 3(y + 2) = -5 \\ x + y = 9\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Quitamos paréntesis en la primera ecuación:

2x - 2 - 3y - 6 = -5

2x - 3y - 8 = -5

2x - 3y = 3

De la segunda ecuación:

x = 9 - y

Sustituimos:

2(9 - y) - 3y = 3

18 - 2y - 3y = 3

-5y = -15

y = 3

x = 6

Resultado: $x = 6,\ y = 3$

Ejercicio 30. Menos delante del paréntesis

4.º ESO · Reto

\begin{cases}-(x - 2y) + 3x = 16 \\ x - y = 2\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Quitamos el paréntesis:

-x + 2y + 3x = 16

2x + 2y = 16

Dividimos entre $2$ :

x + y = 8

El sistema queda:

\begin{cases}x + y = 8 \\ x - y = 2\end{cases}

Sumamos:

2x = 10

x = 5

5 - y = 2

y = 3

Resultado: $x = 5,\ y = 3$

Ejercicio 31. Paréntesis con resta interior

4.º ESO · Reto

\begin{cases}3x - (2y - 5) = 22 \\ x + y = 9\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Quitamos el paréntesis con cuidado:

3x - 2y + 5 = 22

3x - 2y = 17

De la segunda ecuación:

y = 9 - x

Sustituimos:

3x - 2(9 - x) = 17

3x - 18 + 2x = 17

5x = 35

x = 7

y = 2

Resultado: $x = 7,\ y = 2$

Ejercicio 32. Menos delante de expresión

4.º ESO · Reto

\begin{cases}-(2x - y) + 4y = 7 \\ x - y = 1\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Quitamos el paréntesis:

-2x + y + 4y = 7

-2x + 5y = 7

De la segunda ecuación:

x = y + 1

Sustituimos:

-2(y + 1) + 5y = 7

-2y - 2 + 5y = 7

3y = 9

y = 3

x = 4

Resultado: $x = 4,\ y = 3$

Ejercicio 33. Corchete con signo menos

4.º ESO · Reto

\begin{cases}-[3x - (y + 2)] + 2y = -4 \\ x + y = 6\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Primero simplificamos dentro del corchete:

3x - (y + 2) = 3x - y - 2

Ahora aplicamos el signo menos delante:

-[3x - y - 2] = -3x + y + 2

La primera ecuación queda:

-3x + y + 2 + 2y = -4

-3x + 3y + 2 = -4

-3x + 3y = -6

Dividimos entre $3$ :

-x + y = -2

El sistema queda:

\begin{cases}-x + y = -2 \\ x + y = 6\end{cases}

Sumamos:

2y = 4

y = 2

x + 2 = 6

x = 4

Resultado: $x = 4,\ y = 2$

Ejercicio 34. Paréntesis dentro de corchete

4.º ESO · Reto

\begin{cases}2[x - (y - 1)] - y = 5 \\ x + y = 9\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Dentro del corchete:

x - (y - 1) = x - y + 1

Multiplicamos por $2$ :

2(x - y + 1) - y = 5

2x - 2y + 2 - y = 5

2x - 3y + 2 = 5

2x - 3y = 3

De $x + y = 9$ :

x = 9 - y

Sustituimos:

2(9 - y) - 3y = 3

18 - 2y - 3y = 3

-5y = -15

y = 3

x = 6

Resultado: $x = 6,\ y = 3$

Ejercicio 35. Denominadores y paréntesis

Tipo examen · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}\dfrac{x - 2}{3} + \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{11}{3} \\ x - y = 4\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $6$ :

2(x - 2) + 3(y + 1) = 22

2x - 4 + 3y + 3 = 22

2x + 3y - 1 = 22

2x + 3y = 23

De $x - y = 4$ :

x = y + 4

Sustituimos:

2(y + 4) + 3y = 23

2y + 8 + 3y = 23

5y = 15

y = 3

x = 7

Resultado: $x = 7,\ y = 3$

Ejercicio 36. Dos fracciones en la misma ecuación

Tipo examen · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}\dfrac{2x + y}{3} - \dfrac{x - y}{2} = \dfrac{10}{3} \\ x + 2y = 11\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $6$ :

2(2x + y) - 3(x - y) = 20

4x + 2y - 3x + 3y = 20

x + 5y = 20

El sistema queda:

\begin{cases}x + 5y = 20 \\ x + 2y = 11\end{cases}

Restamos la segunda ecuación a la primera:

3y = 9

y = 3

x + 2 \cdot 3 = 11

x = 5

Resultado: $x = 5,\ y = 3$

Ejercicio 37. Sistema compatible indeterminado

Modelo · 4.º ESO

\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 10\end{cases}

Ver resolución paso a paso

La segunda ecuación es el doble de la primera:

2(2x + y = 5)

4x + 2y = 10

Las dos ecuaciones representan la misma recta.

Resultado: infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.

Ejercicio 38. Sistema incompatible

4.º ESO

\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 11\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Si multiplicamos la primera ecuación por $2$ , obtenemos:

4x + 2y = 10

Pero la segunda ecuación dice:

4x + 2y = 11

La misma expresión no puede valer $10$ y $11$ al mismo tiempo.

Resultado: no tiene solución. Sistema incompatible.

Ejercicio 39. Paréntesis de 4.º ESO

Tipo examen · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}3(x - 2) - 2(y + 1) = 1 \\ 2x + y = 13\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Quitamos paréntesis:

3x - 6 - 2y - 2 = 1

3x - 2y - 8 = 1

3x - 2y = 9

De la segunda ecuación:

y = 13 - 2x

Sustituimos:

3x - 2(13 - 2x) = 9

3x - 26 + 4x = 9

7x = 35

x = 5

y = 13 - 2 \cdot 5 = 3

Resultado: $x = 5,\ y = 3$

Ejercicio 40. Fracciones y paréntesis

Tipo examen · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{y - 3}{4} = 3 \\ x + y = 11\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $4$ :

2(x + 1) - (y - 3) = 12

2x + 2 - y + 3 = 12

2x - y + 5 = 12

2x - y = 7

El sistema queda:

\begin{cases}2x - y = 7 \\ x + y = 11\end{cases}

Sumamos:

3x = 18

x = 6

6 + y = 11

y = 5

Resultado: $x = 6,\ y = 5$

Ejercicio 41. Fracciones combinadas

Tipo examen · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}\dfrac{3x - y}{2} + \dfrac{x + y}{3} = 11 \\ x - y = 6\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por $6$ :

3(3x - y) + 2(x + y) = 66

9x - 3y + 2x + 2y = 66

11x - y = 66

De la segunda ecuación:

y = x - 6

Sustituimos:

11x - (x - 6) = 66

11x - x + 6 = 66

10x = 60

x = 6

y = 6 - 6 = 0

Resultado: $x = 6,\ y = 0$

Ejercicio 42. Sistema completo

Tipo examen · 4.º ESO · Reto

\begin{cases}2[x - (y + 1)] + 3y = 10 \\ \dfrac{x}{2} + y = 7\end{cases}

Ver resolución paso a paso

Primera ecuación:

2[x - y - 1] + 3y = 10

2x - 2y - 2 + 3y = 10

2x + y - 2 = 10

2x + y = 12

Segunda ecuación. Multiplicamos por $2$ :

x + 2y = 14

El sistema queda:

\begin{cases}2x + y = 12 \\ x + 2y = 14\end{cases}

Multiplicamos la segunda por $2$ :

2x + 4y = 28

Restamos la primera:

(2x + 4y) - (2x + y) = 28 - 12

3y = 16

y = \dfrac{16}{3}

Sustituimos en $2x + y = 12$ :

2x + \dfrac{16}{3} = 12

2x = \dfrac{36}{3} - \dfrac{16}{3} = \dfrac{20}{3}

x = \dfrac{10}{3}

Resultado: $x = \dfrac{10}{3},\ y = \dfrac{16}{3}$

12 problemas de sistemas resueltos

En los problemas de sistemas, el paso más importante es definir bien las incógnitas. Si $x$ e $y$ no están claras, el sistema se construye mal aunque después las cuentas estén bien hechas.

2.º ESO

Planteamiento inicial · problemas 1–2

Traducir suma y diferencia a dos ecuaciones directas.

Problema 1. Dos edades

Modelo · 2.º ESO

La suma de las edades de Ana y Luis es $28$ años. Ana tiene $4$ años más que Luis. Calcula la edad de cada uno.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ la edad de Ana y $y$ la edad de Luis.

\begin{cases}x + y = 28 \\ x = y + 4\end{cases}

Sustituimos:

(y + 4) + y = 28

2y + 4 = 28

2y = 24

y = 12

x = 16

Resultado: Ana tiene $16$ años y Luis tiene $12$ años.

Problema 2. Suma y diferencia

2.º ESO

La suma de dos números es $35$ y su diferencia es $9$ . Calcula los dos números.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ el número mayor y $y$ el número menor.

\begin{cases}x + y = 35 \\ x - y = 9\end{cases}

Sumamos:

2x = 44

x = 22

22 + y = 35

y = 13

Resultado: los números son $22$ y $13$ .

3.º ESO

Modelización · problemas 3–6

Entradas, monedas, precios y geometría: decidir incógnitas antes de hacer cuentas.

Problema 3. Entradas de adulto e infantiles

Tipo examen · 3.º ESO

En un cine se venden entradas de adulto a $8$ euros y entradas infantiles a $5$ euros. Se han vendido $30$ entradas y se han recaudado $210$ euros. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido?

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ el número de entradas de adulto y $y$ el número de entradas infantiles.

\begin{cases}x + y = 30 \\ 8x + 5y = 210\end{cases}

De la primera:

x = 30 - y

Sustituimos:

8(30 - y) + 5y = 210

240 - 8y + 5y = 210

-3y = -30

y = 10

x = 20

Resultado: $20$ entradas de adulto y $10$ infantiles.

Problema 4. Monedas de 1 euro y 2 euros

3.º ESO

Una persona tiene $18$ monedas entre monedas de $1$ euro y monedas de $2$ euros. En total tiene $27$ euros. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ el número de monedas de $1$ euro y $y$ el número de monedas de $2$ euros.

\begin{cases}x + y = 18 \\ x + 2y = 27\end{cases}

Restamos la primera ecuación a la segunda:

y = 9

x + 9 = 18

x = 9

Resultado: $9$ monedas de $1$ euro y $9$ monedas de $2$ euros.

Problema 5. Cuadernos y libros

Modelo · 3.º ESO

Un alumno compra $3$ cuadernos y $2$ libros por $31$ euros. Otro alumno compra $2$ cuadernos y $1$ libro por $18$ euros. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno y cada libro?

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ el precio de un cuaderno y $y$ el precio de un libro.

\begin{cases}3x + 2y = 31 \\ 2x + y = 18\end{cases}

Multiplicamos la segunda ecuación por $2$ :

4x + 2y = 36

Restamos la primera ecuación:

(4x + 2y) - (3x + 2y) = 36 - 31

x = 5

Sustituimos:

2 \cdot 5 + y = 18

y = 8

Resultado: el cuaderno cuesta $5$ euros y el libro cuesta $8$ euros.

Problema 6. Rectángulo

3.º ESO

El perímetro de un rectángulo es $46$ cm. La base mide $5$ cm más que la altura. Calcula la base y la altura.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ la base y $y$ la altura.

\begin{cases}2x + 2y = 46 \\ x = y + 5\end{cases}

Sustituimos:

2(y + 5) + 2y = 46

2y + 10 + 2y = 46

4y = 36

y = 9

x = 14

Resultado: la base mide $14$ cm y la altura mide $9$ cm.

4.º ESO

Problemas de consolidación · problemas 7–12

Relaciones menos inmediatas, comprobación contextual y selección razonada del método.

Problema 7. Dos ciclistas

4.º ESO

La suma de las velocidades de dos ciclistas es $60$ km/h. Uno circula $8$ km/h más rápido que el otro. Calcula sus velocidades.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ la velocidad del ciclista más rápido y $y$ la velocidad del más lento.

\begin{cases}x + y = 60 \\ x = y + 8\end{cases}

Sustituimos:

(y + 8) + y = 60

2y + 8 = 60

2y = 52

y = 26

x = 34

Resultado: las velocidades son $34$ km/h y $26$ km/h.

Problema 8. Frutos secos

4.º ESO

Se mezclan almendras a $12$ euros/kg y nueces a $8$ euros/kg para obtener $5$ kg de mezcla que cuesta $48$ euros. ¿Cuántos kg de cada producto se han usado?

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ la cantidad de almendras en kg y $y$ la cantidad de nueces en kg.

\begin{cases}x + y = 5 \\ 12x + 8y = 48\end{cases}

De la primera:

y = 5 - x

Sustituimos:

12x + 8(5 - x) = 48

12x + 40 - 8x = 48

4x = 8

x = 2

y = 3

Resultado: $2$ kg de almendras y $3$ kg de nueces.

Problema 9. Preguntas correctas e incorrectas

Tipo examen · 4.º ESO

En un test hay $20$ preguntas. Cada acierto suma $3$ puntos y cada fallo resta $1$ punto. Un alumno obtiene $44$ puntos. ¿Cuántas preguntas acertó y cuántas falló?

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ el número de aciertos y $y$ el número de fallos.

\begin{cases}x + y = 20 \\ 3x - y = 44\end{cases}

Sumamos las ecuaciones:

4x = 64

x = 16

16 + y = 20

y = 4

Resultado: acertó $16$ preguntas y falló $4$ .

Problema 10. Clases y matrícula

4.º ESO

Una academia cobra una cantidad fija de matrícula y una cantidad por cada clase. Por $4$ clases cobra $68$ euros y por $7$ clases cobra $113$ euros. Calcula la matrícula y el precio de cada clase.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ la matrícula y $y$ el precio de cada clase.

\begin{cases}x + 4y = 68 \\ x + 7y = 113\end{cases}

Restamos la primera ecuación a la segunda:

3y = 45

y = 15

Sustituimos:

x + 4 \cdot 15 = 68

x + 60 = 68

x = 8

Resultado: la matrícula es $8$ euros y cada clase cuesta $15$ euros.

Problema 11. Rectángulo: suma y relación entre lados

4.º ESO

La suma de la base y la altura de un rectángulo es $18$ cm. La base mide el doble que la altura menos $3$ cm. Calcula sus dimensiones.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ la base y $y$ la altura.

\begin{cases}x + y = 18 \\ x = 2y - 3\end{cases}

Sustituimos:

(2y - 3) + y = 18

3y - 3 = 18

3y = 21

y = 7

x = 2 \cdot 7 - 3 = 11

Resultado: la base mide $11$ cm y la altura mide $7$ cm.

Problema 12. Dos números con condición doble

Tipo examen · 4.º ESO

La suma de dos números es $31$ . Si al doble del primero le restamos el segundo, obtenemos $20$ . Calcula los números.

Ver resolución paso a paso

Sea $x$ el primer número y $y$ el segundo número.

\begin{cases}x + y = 31 \\ 2x - y = 20\end{cases}

Sumamos las dos ecuaciones:

3x = 51

x = 17

Sustituimos:

17 + y = 31

y = 14

Resultado: los números son $17$ y $14$ .

Errores frecuentes reales en sistemas de ecuaciones

1. No definir las incógnitas

En problemas, antes de escribir ecuaciones hay que decir qué representa $x$ y qué representa $y$ .

2. Sustituir sin paréntesis

Si $y = 5 - x$ , entonces $2x - y$ se convierte en $2x - (5 - x)$ , no en $2x - 5 - x$ .

3. Quitar mal un menos delante de un paréntesis

$3x - (y + 2)$ se transforma en $3x - y - 2$ . El menos afecta a todo el paréntesis.

4. Multiplicar solo parte de la ecuación

Si multiplicas una ecuación por $3$ , multiplicas todos sus términos y también el segundo miembro.

5. No quitar denominadores antes de operar

Con fracciones, suele ser más seguro quitar denominadores al principio para evitar errores.

6. Dar solo una incógnita

Un sistema con dos incógnitas necesita dos resultados: $x$ e $y$ .

7. No comprobar la solución

La solución debe cumplirse en las dos ecuaciones originales, no solo en una ecuación transformada.

8. Confundir sistema incompatible e indeterminado

Si las ecuaciones se contradicen, no hay solución. Si representan la misma recta, hay infinitas soluciones.

Revisión final tipo examen

Antes de entregar un sistema de ecuaciones, conviene revisar estos puntos. Esta revisión evita muchos fallos de signo y de planteamiento.

Checklist de examen

1. He leído las dos ecuaciones completas antes de elegir método.

2. Si era un problema, he definido $x$ e $y$ .

3. He elegido sustitución, igualación o reducción por comodidad, no al azar.

4. Si he despejado, he respetado los signos.

5. Si he sustituido una expresión, he usado paréntesis cuando hacía falta.

6. Si había denominadores, los he eliminado multiplicando toda la ecuación.

7. Si había un menos delante de un paréntesis, he cambiado todos los signos interiores.

8. He encontrado las dos incógnitas.

9. He comprobado la solución en las ecuaciones originales.

10. Si era un problema, he escrito una respuesta final con sentido y unidades cuando corresponde.

Comprobación modelo

Si obtenemos $x = 5$ , $y = 3$ en el sistema:

\begin{cases} 2x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}

Comprobamos:

2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13

5 - 3 = 2

Como se cumplen las dos ecuaciones, la solución es correcta.

Ruta de práctica en 7 días

Día	Trabajo recomendado
Día 1	Entender qué es un sistema y practicar comprobaciones de soluciones.
Día 2	Resolver sistemas sencillos por sustitución.
Día 3	Practicar igualación cuando la misma incógnita está fácil de despejar.
Día 4	Trabajar reducción directa y reducción multiplicando una ecuación.
Día 5	Resolver sistemas con denominadores y quitar fracciones correctamente.
Día 6	Practicar sistemas con paréntesis, signos negativos y corchetes.
Día 7	Resolver problemas mezclados y comprobar cada solución en las ecuaciones originales.

Ruta curricular Marlu

Volver a Matemáticas por curso

Si ya sabes qué parte de los sistemas necesitas reforzar, vuelve al mapa general y elige el siguiente recurso dentro de tu curso. Así la práctica continúa con orden y sin saltos innecesarios.

Ver la biblioteca de recursos por curso

Cuando el alumno entiende el ejemplo, pero se bloquea al hacerlo solo

Ahí conviene localizar el primer paso que deja de ser seguro: planteamiento, elección del método, signos o comprobación. En Marlu Educativa podemos organizar un trabajo guiado ajustado al curso y al nivel real del alumno.

Consultar prematrícula

Preguntas frecuentes sobre sistemas lineales 2x2

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez. En ESO suelen trabajarse sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

¿Qué método es mejor para resolver sistemas?

Depende del sistema. Sustitución conviene cuando una incógnita está despejada o se despeja fácilmente. Igualación conviene cuando se puede despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Reducción conviene cuando se pueden eliminar incógnitas sumando o restando ecuaciones.

¿Cómo se resuelve un sistema por sustitución?

Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye esa expresión en la otra. Así queda una ecuación con una sola incógnita.

¿Cómo se resuelve un sistema por igualación?

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.

¿Cómo se resuelve un sistema por reducción?

Se suman o restan ecuaciones para eliminar una incógnita. Si hace falta, se multiplica una ecuación o las dos para conseguir coeficientes opuestos.

¿Cómo se resuelve un sistema con denominadores?

Primero se eliminan los denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo. Después se resuelve el sistema por sustitución, igualación o reducción.

¿Qué pasa si hay un signo menos delante de un paréntesis?

Hay que cambiar todos los signos del interior del paréntesis. Por ejemplo, $3x - (y + 2)$ se convierte en $3x - y - 2$ .

¿Cómo se comprueba la solución de un sistema?

Se sustituyen los valores obtenidos de $x$ e $y$ en las dos ecuaciones originales. Si las dos se cumplen, la solución es correcta.

¿Qué diferencia hay entre sistema incompatible e indeterminado?

Un sistema incompatible no tiene solución porque las ecuaciones se contradicen. Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones porque las dos ecuaciones representan la misma recta.

Blog

Diagnóstico inicial: cuatro decisiones antes de empezar

A. Elegir método

B. Cuidar el signo

C. Clasificar

D. Plantear

Ruta y frontera curricular por curso

Qué es un sistema lineal 2x2

Idea importante

Comprobación rápida

Qué significa gráficamente la solución

Cómo elegir el método sin hacer cuentas de más

Regla práctica

Método de sustitución paso a paso

Ejemplo guiado

Detalle que decide el ejercicio

Método de igualación paso a paso

Ejemplo guiado

Método de reducción paso a paso

Ejemplo guiado

Cuándo reducción es el método más limpio

Sistemas de ecuaciones con denominadores

Ejemplo con denominadores

Error típico

Sistemas con paréntesis y signos negativos

Ejemplo con menos delante del paréntesis

42 sistemas lineales 2x2 resueltos paso a paso

Entrada guiada · ejercicios 1–6

Ejercicio 1. Reducción sencilla

Ejercicio 2. Sustitución

Ejercicio 3. Igualación directa

Ejercicio 4. Reducción por resta

Ejercicio 5. Sustitución con suma

Ejercicio 6. Signos sencillos

Núcleo del aprendizaje · ejercicios 7–20

Ejercicio 7. Sustitución con incógnita despejada

Ejercicio 8. Sustitución con cero

Ejercicio 9. Sustitución directa

Ejercicio 10. Solución fraccionaria

Ejercicio 11. Sustitución limpia

Ejercicio 12. Igualación directa

Ejercicio 13. Reducción directa

Ejercicio 14. Reducción sumando

Ejercicio 15. Reducción con signos opuestos

Ejercicio 16. Reducción con coeficientes mayores

Ejercicio 17. Multiplicadores

Ejercicio 18. Reducción con enteros

Ejercicio 19. Reducción directa

Ejercicio 20. Coeficientes grandes

Consolidación y reto · ejercicios 21–42

Ejercicio 21. Denominadores

Ejercicio 22. Dos denominadores

Ejercicio 23. Denominador con paréntesis

Ejercicio 24. Fracciones y reducción

Ejercicio 25. Fracción con resta en numerador

Ejercicio 26. Fracción con expresión completa

Ejercicio 27. Dos fracciones

Ejercicio 28. Fracción con suma en numerador

Ejercicio 29. Paréntesis y signos

Ejercicio 30. Menos delante del paréntesis

Ejercicio 31. Paréntesis con resta interior

Ejercicio 32. Menos delante de expresión

Ejercicio 33. Corchete con signo menos

Ejercicio 34. Paréntesis dentro de corchete

Ejercicio 35. Denominadores y paréntesis

Ejercicio 36. Dos fracciones en la misma ecuación

Ejercicio 37. Sistema compatible indeterminado

Ejercicio 38. Sistema incompatible

Ejercicio 39. Paréntesis de 4.º ESO

Ejercicio 40. Fracciones y paréntesis

Ejercicio 41. Fracciones combinadas

Ejercicio 42. Sistema completo

12 problemas de sistemas resueltos

Planteamiento inicial · problemas 1–2

Problema 1. Dos edades

Problema 2. Suma y diferencia

Modelización · problemas 3–6

Problema 3. Entradas de adulto e infantiles

Problema 4. Monedas de 1 euro y 2 euros

Problema 5. Cuadernos y libros