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Sistemas de ecuaciones 2 ESO 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Sistemas de ecuaciones por sustitución, igualación y reducción con ejercicios resueltos de 2 ESO, 3 ESO y 4 ESO
Este recurso explica los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas desde la base y avanza hasta ejercicios más completos con paréntesis, denominadores, signos negativos, reducción con multiplicadores y problemas tipo examen. Está pensado para alumnos de 2 ESO, 3 ESO y 4 ESO que necesitan entender no solo qué método usar, sino por qué se usa.
Muchos alumnos saben despejar una incógnita cuando la ecuación es sencilla, pero se bloquean cuando aparece un menos delante de un paréntesis, una fracción, una ecuación multiplicada por un número o un problema con texto. Por eso este bloque trabaja los tres métodos principales con calma: sustitución, igualación y reducción. La idea es aprender a leer el sistema, elegir el camino más limpio, resolver sin perder signos y comprobar siempre el resultado.
Qué es un sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo. En ESO, lo más habitual es trabajar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, normalmente \(x\) e \(y\).
Por ejemplo:
\[ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \]
Resolver el sistema significa encontrar un valor de \(x\) y un valor de \(y\) que hagan verdaderas las dos ecuaciones a la vez.
Idea importante
No basta con que una solución funcione en una ecuación. Debe funcionar en las dos. Por eso, al final de cualquier sistema, la comprobación no es un adorno: es la forma de saber si el resultado es correcto.
Comprobación rápida
Si proponemos \(x = 4\), \(y = 3\) en el sistema:
\[ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \]
Primera ecuación:
\[ 4 + 3 = 7 \]
Segunda ecuación:
\[ 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \]
Como se cumplen las dos ecuaciones, la solución es correcta.
Volver al índiceQué método conviene usar en un sistema de ecuaciones
Los tres métodos principales son sustitución, igualación y reducción. Los tres pueden resolver el mismo sistema, pero no siempre son igual de cómodos. En un examen conviene elegir el método que deje menos cuentas y menos riesgo de error.
| Método | Cuándo conviene | Riesgo habitual |
|---|---|---|
| Sustitución | Cuando una incógnita está despejada o se despeja fácilmente | Olvidar paréntesis al sustituir |
| Igualación | Cuando es cómodo despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones | Despejar con signos incorrectos |
| Reducción | Cuando se puede eliminar una incógnita sumando o restando ecuaciones | Multiplicar solo una parte de la ecuación |
Regla práctica
Si ves \(+y\) y \(-y\), piensa en reducción. Si ves \(x =\) algo o \(y =\) algo, piensa en sustitución. Si las dos ecuaciones tienen la misma letra fácil de despejar, piensa en igualación.
Método de sustitución paso a paso
En sustitución se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Así se pasa de dos incógnitas a una sola.
Ejemplo guiado
\[ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y = 7 - x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x - (7 - x) = 5 \]
Quitamos el paréntesis con cuidado:
\[ 2x - 7 + x = 5 \]
\[ 3x - 7 = 5 \]
\[ 3x = 12 \]
\[ x = 4 \]
Sustituimos:
\[ y = 7 - 4 = 3 \]
Resultado:
\[ x = 4,\quad y = 3 \]
Detalle que decide el ejercicio
En \(2x - (7 - x)\), el signo menos delante del paréntesis cambia los signos de dentro. Por eso queda \(2x - 7 + x\). Este es uno de los errores más repetidos en sistemas de ecuaciones.
Método de igualación paso a paso
En igualación se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Después se igualan las dos expresiones obtenidas.
Ejemplo guiado
\[ \begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Despejamos \(y\) en la primera:
\[ y = 11 - 2x \]
Despejamos \(y\) en la segunda:
\[ x - y = 1 \]
\[ -y = 1 - x \]
\[ y = x - 1 \]
Igualamos:
\[ 11 - 2x = x - 1 \]
\[ 12 = 3x \]
\[ x = 4 \]
\[ y = 4 - 1 = 3 \]
Resultado:
\[ x = 4,\quad y = 3 \]
Volver al índiceMétodo de reducción paso a paso
En reducción se suman o restan las ecuaciones para eliminar una incógnita. Si los coeficientes no son opuestos, se multiplica una ecuación o las dos.
Ejemplo guiado
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ 5x - 2y = 14 \end{cases} \]
Como aparecen \(+2y\) y \(-2y\), sumamos las ecuaciones.
\[ 3x + 2y + 5x - 2y = 18 + 14 \]
\[ 8x = 32 \]
\[ x = 4 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ 3 \cdot 4 + 2y = 18 \]
\[ 12 + 2y = 18 \]
\[ 2y = 6 \]
\[ y = 3 \]
Resultado:
\[ x = 4,\quad y = 3 \]
Cuándo reducción es el método más limpio
Si una incógnita tiene el mismo coeficiente con signo contrario, reducción suele ser el método más rápido. Si no lo tiene, muchas veces basta con multiplicar una ecuación para conseguirlo.
Sistemas de ecuaciones con denominadores
Cuando aparecen fracciones, lo más limpio suele ser quitar denominadores antes de aplicar sustitución, igualación o reducción. Para ello se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo con denominadores
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
En la primera ecuación multiplicamos todo por \(2\):
\[ x + 2y = 14 \]
El sistema queda:
\[ \begin{cases} x + 2y = 14 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
Restamos la segunda ecuación a la primera:
\[ (x + 2y) - (x - y) = 14 - 2 \]
\[ 3y = 12 \]
\[ y = 4 \]
\[ x - 4 = 2 \]
\[ x = 6 \]
Error típico
Si se multiplica una ecuación por \(6\), se multiplica todo: todos los términos del primer miembro y también el segundo miembro. No se puede multiplicar solo la fracción.
Sistemas con paréntesis y signos negativos
Los sistemas con paréntesis no son necesariamente más difíciles, pero exigen más cuidado. Antes de resolver el sistema, hay que quitar paréntesis correctamente y ordenar cada ecuación.
Ejemplo con menos delante del paréntesis
\[ \begin{cases} 2(x - 1) + y = 9 \\ 3x - (y + 2) = 7 \end{cases} \]
Primera ecuación:
\[ 2x - 2 + y = 9 \]
\[ 2x + y = 11 \]
Segunda ecuación:
\[ 3x - y - 2 = 7 \]
\[ 3x - y = 9 \]
El sistema queda:
\[ \begin{cases} 2x + y = 11 \\ 3x - y = 9 \end{cases} \]
Sumamos:
\[ 5x = 20 \]
\[ x = 4 \]
\[ 2 \cdot 4 + y = 11 \]
\[ y = 3 \]
Resultado:
\[ x = 4,\quad y = 3 \]
Volver al índiceSistemas de ecuaciones en 2 ESO, 3 ESO y 4 ESO
Sistemas sencillos, soluciones enteras, coeficientes pequeños y métodos muy guiados. El objetivo es entender qué significa resolver dos ecuaciones a la vez.
Aparecen más signos, paréntesis, denominadores sencillos y problemas de edades, números, dinero, entradas, perímetros o mezclas.
Se exige más seguridad algebraica: sistemas con fracciones, clasificación de soluciones, planteamientos más largos y comprobación final rigurosa.
42 sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso
Los ejercicios están ordenados de menor a mayor dificultad. Conviene intentar cada sistema antes de abrir la solución. En clase, este orden ayuda mucho: primero dominar sistemas limpios, después introducir signos, después denominadores y finalmente paréntesis con signos negativos.
Ejercicio 1
\[\begin{cases}x + y = 10 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos las dos ecuaciones:
\[2x = 12\]
\[x = 6\]
Sustituimos:
\[6 + y = 10\]
\[y = 4\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 4\)
Ejercicio 2
\[\begin{cases}2x + y = 13 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
De la segunda ecuación:
\[y = x - 2\]
Sustituimos en la primera:
\[2x + (x - 2) = 13\]
\[3x - 2 = 13\]
\[3x = 15\]
\[x = 5\]
\[y = 5 - 2 = 3\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 3\)
Ejercicio 3
\[\begin{cases}y = 3x - 1 \\ y = x + 5\end{cases}\]
Ver solución
Igualamos las dos expresiones de \(y\):
\[3x - 1 = x + 5\]
\[2x = 6\]
\[x = 3\]
\[y = 3 + 5 = 8\]
Resultado: \(x = 3,\ y = 8\)
Ejercicio 4
\[\begin{cases}3x + y = 16 \\ x + y = 8\end{cases}\]
Ver solución
Restamos la segunda ecuación a la primera:
\[(3x + y) - (x + y) = 16 - 8\]
\[2x = 8\]
\[x = 4\]
Sustituimos:
\[4 + y = 8\]
\[y = 4\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 4\)
Ejercicio 5
\[\begin{cases}2x + 3y = 16 \\ x + y = 7\end{cases}\]
Ver solución
De la segunda ecuación:
\[x = 7 - y\]
Sustituimos:
\[2(7 - y) + 3y = 16\]
\[14 - 2y + 3y = 16\]
\[14 + y = 16\]
\[y = 2\]
\[x = 7 - 2 = 5\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 2\)
Ejercicio 6
\[\begin{cases}3x - y = 7 \\ x + y = 5\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos las dos ecuaciones:
\[4x = 12\]
\[x = 3\]
Sustituimos:
\[3 + y = 5\]
\[y = 2\]
Resultado: \(x = 3,\ y = 2\)
Ejercicio 7
\[\begin{cases}x = 2y + 1 \\ x + y = 13\end{cases}\]
Ver solución
Sustituimos \(x = 2y + 1\) en la segunda ecuación:
\[(2y + 1) + y = 13\]
\[3y + 1 = 13\]
\[3y = 12\]
\[y = 4\]
\[x = 2 \cdot 4 + 1 = 9\]
Resultado: \(x = 9,\ y = 4\)
Ejercicio 8
\[\begin{cases}y = 5 - x \\ 2x - y = 10\end{cases}\]
Ver solución
Sustituimos \(y = 5 - x\):
\[2x - (5 - x) = 10\]
\[2x - 5 + x = 10\]
\[3x - 5 = 10\]
\[3x = 15\]
\[x = 5\]
\[y = 5 - 5 = 0\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 0\)
Ejercicio 9
\[\begin{cases}2x + y = 11 \\ y = x - 1\end{cases}\]
Ver solución
Sustituimos \(y = x - 1\):
\[2x + (x - 1) = 11\]
\[3x - 1 = 11\]
\[3x = 12\]
\[x = 4\]
\[y = 4 - 1 = 3\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 3\)
Ejercicio 10
\[\begin{cases}3x - 2y = 4 \\ x = 2y + 2\end{cases}\]
Ver solución
Sustituimos \(x = 2y + 2\):
\[3(2y + 2) - 2y = 4\]
\[6y + 6 - 2y = 4\]
\[4y + 6 = 4\]
\[4y = -2\]
\[y = -\dfrac{1}{2}\]
\[x = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 1\]
Resultado: \(x = 1,\ y = -\dfrac{1}{2}\)
Ejercicio 11
\[\begin{cases}x + y = 6 \\ 2x + 3y = 15\end{cases}\]
Ver solución
Despejamos \(x\):
\[x = 6 - y\]
Sustituimos:
\[2(6 - y) + 3y = 15\]
\[12 - 2y + 3y = 15\]
\[12 + y = 15\]
\[y = 3\]
\[x = 6 - 3 = 3\]
Resultado: \(x = 3,\ y = 3\)
Ejercicio 12
\[\begin{cases}y = 4 - x \\ y = 2x - 5\end{cases}\]
Ver solución
Igualamos:
\[4 - x = 2x - 5\]
\[9 = 3x\]
\[x = 3\]
\[y = 4 - 3 = 1\]
Resultado: \(x = 3,\ y = 1\)
Ejercicio 13
\[\begin{cases}2x + 3y = 19 \\ 2x - y = 7\end{cases}\]
Ver solución
Restamos la segunda ecuación a la primera:
\[(2x + 3y) - (2x - y) = 19 - 7\]
\[4y = 12\]
\[y = 3\]
Sustituimos:
\[2x - 3 = 7\]
\[2x = 10\]
\[x = 5\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 3\)
Ejercicio 14
\[\begin{cases}4x + y = 18 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos las dos ecuaciones:
\[5x = 20\]
\[x = 4\]
Sustituimos:
\[4 - y = 2\]
\[-y = -2\]
\[y = 2\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 2\)
Ejercicio 15
\[\begin{cases}3x + 2y = 18 \\ 5x - 2y = 14\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos para eliminar \(y\):
\[8x = 32\]
\[x = 4\]
Sustituimos:
\[3 \cdot 4 + 2y = 18\]
\[12 + 2y = 18\]
\[2y = 6\]
\[y = 3\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 3\)
Ejercicio 16
\[\begin{cases}2x + 5y = 16 \\ 3x - 5y = -1\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos las dos ecuaciones:
\[5x = 15\]
\[x = 3\]
Sustituimos:
\[2 \cdot 3 + 5y = 16\]
\[6 + 5y = 16\]
\[5y = 10\]
\[y = 2\]
Resultado: \(x = 3,\ y = 2\)
Ejercicio 17
\[\begin{cases}x + 2y = 11 \\ 3x - 4y = 3\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[2x + 4y = 22\]
Sumamos con la segunda:
\[(2x + 4y) + (3x - 4y) = 22 + 3\]
\[5x = 25\]
\[x = 5\]
Sustituimos:
\[5 + 2y = 11\]
\[2y = 6\]
\[y = 3\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 3\)
Ejercicio 18
\[\begin{cases}2x - 3y = -1 \\ 4x + 3y = 25\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos las dos ecuaciones:
\[6x = 24\]
\[x = 4\]
Sustituimos:
\[2 \cdot 4 - 3y = -1\]
\[8 - 3y = -1\]
\[-3y = -9\]
\[y = 3\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 3\)
Ejercicio 19
\[\begin{cases}5x + 2y = 24 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos:
\[8x = 32\]
\[x = 4\]
Sustituimos:
\[5 \cdot 4 + 2y = 24\]
\[20 + 2y = 24\]
\[2y = 4\]
\[y = 2\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 2\)
Ejercicio 20
\[\begin{cases}7x - 3y = 23 \\ 2x + 3y = 22\end{cases}\]
Ver solución
Sumamos las ecuaciones:
\[9x = 45\]
\[x = 5\]
Sustituimos:
\[2 \cdot 5 + 3y = 22\]
\[10 + 3y = 22\]
\[3y = 12\]
\[y = 4\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 4\)
Ejercicio 21
\[\begin{cases}\dfrac{x}{2} + y = 7 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[x + 2y = 14\]
El sistema queda:
\[\begin{cases}x + 2y = 14 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Restamos la segunda a la primera:
\[3y = 12\]
\[y = 4\]
\[x - 4 = 2\]
\[x = 6\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 4\)
Ejercicio 22
\[\begin{cases}\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = \dfrac{7}{2} \\ x - y = 3\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(6\):
\[2x + 3y = 21\]
De la segunda ecuación:
\[x = y + 3\]
Sustituimos:
\[2(y + 3) + 3y = 21\]
\[2y + 6 + 3y = 21\]
\[5y = 15\]
\[y = 3\]
\[x = 3 + 3 = 6\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 3\)
Ejercicio 23
\[\begin{cases}\dfrac{x + 1}{2} + y = 7 \\ x - y = 1\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(2\):
\[x + 1 + 2y = 14\]
\[x + 2y = 13\]
De la segunda ecuación:
\[x = y + 1\]
Sustituimos:
\[(y + 1) + 2y = 13\]
\[3y + 1 = 13\]
\[3y = 12\]
\[y = 4\]
\[x = 5\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 4\)
Ejercicio 24
\[\begin{cases}\dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{2} = 0 \\ x + y = 12\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(4\):
\[x - 2y = 0\]
Por tanto:
\[x = 2y\]
Sustituimos en \(x + y = 12\):
\[2y + y = 12\]
\[3y = 12\]
\[y = 4\]
\[x = 8\]
Resultado: \(x = 8,\ y = 4\)
Ejercicio 25
\[\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} + y = 5 \\ x - y = 6\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(3\):
\[x - y + 3y = 15\]
\[x + 2y = 15\]
La segunda ecuación dice:
\[x - y = 6\]
Restamos la segunda a la primera:
\[(x + 2y) - (x - y) = 15 - 6\]
\[3y = 9\]
\[y = 3\]
\[x - 3 = 6\]
\[x = 9\]
Resultado: \(x = 9,\ y = 3\)
Ejercicio 26
\[\begin{cases}\dfrac{2x - y}{5} = 2 \\ x + y = 14\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(5\):
\[2x - y = 10\]
Sumamos con la segunda ecuación:
\[(2x - y) + (x + y) = 10 + 14\]
\[3x = 24\]
\[x = 8\]
Sustituimos:
\[8 + y = 14\]
\[y = 6\]
Resultado: \(x = 8,\ y = 6\)
Ejercicio 27
\[\begin{cases}\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = \dfrac{8}{3} \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(6\):
\[3x + 2y = 16\]
De la segunda ecuación:
\[x = y + 2\]
Sustituimos:
\[3(y + 2) + 2y = 16\]
\[3y + 6 + 2y = 16\]
\[5y = 10\]
\[y = 2\]
\[x = 4\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 2\)
Ejercicio 28
\[\begin{cases}\dfrac{x + 2y}{4} = 5 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(4\):
\[x + 2y = 20\]
De la segunda ecuación:
\[x = y + 2\]
Sustituimos:
\[(y + 2) + 2y = 20\]
\[3y + 2 = 20\]
\[3y = 18\]
\[y = 6\]
\[x = 8\]
Resultado: \(x = 8,\ y = 6\)
Ejercicio 29
\[\begin{cases}2(x - 1) - 3(y + 2) = -5 \\ x + y = 9\end{cases}\]
Ver solución
Quitamos paréntesis en la primera ecuación:
\[2x - 2 - 3y - 6 = -5\]
\[2x - 3y - 8 = -5\]
\[2x - 3y = 3\]
De la segunda ecuación:
\[x = 9 - y\]
Sustituimos:
\[2(9 - y) - 3y = 3\]
\[18 - 2y - 3y = 3\]
\[-5y = -15\]
\[y = 3\]
\[x = 6\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 3\)
Ejercicio 30
\[\begin{cases}-(x - 2y) + 3x = 16 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Ver solución
Quitamos el paréntesis:
\[-x + 2y + 3x = 16\]
\[2x + 2y = 16\]
Dividimos entre \(2\):
\[x + y = 8\]
El sistema queda:
\[\begin{cases}x + y = 8 \\ x - y = 2\end{cases}\]
Sumamos:
\[2x = 10\]
\[x = 5\]
\[5 - y = 2\]
\[y = 3\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 3\)
Ejercicio 31
\[\begin{cases}3x - (2y - 5) = 22 \\ x + y = 9\end{cases}\]
Ver solución
Quitamos el paréntesis con cuidado:
\[3x - 2y + 5 = 22\]
\[3x - 2y = 17\]
De la segunda ecuación:
\[y = 9 - x\]
Sustituimos:
\[3x - 2(9 - x) = 17\]
\[3x - 18 + 2x = 17\]
\[5x = 35\]
\[x = 7\]
\[y = 2\]
Resultado: \(x = 7,\ y = 2\)
Ejercicio 32
\[\begin{cases}-(2x - y) + 4y = 7 \\ x - y = 1\end{cases}\]
Ver solución
Quitamos el paréntesis:
\[-2x + y + 4y = 7\]
\[-2x + 5y = 7\]
De la segunda ecuación:
\[x = y + 1\]
Sustituimos:
\[-2(y + 1) + 5y = 7\]
\[-2y - 2 + 5y = 7\]
\[3y = 9\]
\[y = 3\]
\[x = 4\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 3\)
Ejercicio 33
\[\begin{cases}-[3x - (y + 2)] + 2y = -4 \\ x + y = 6\end{cases}\]
Ver solución
Primero simplificamos dentro del corchete:
\[3x - (y + 2) = 3x - y - 2\]
Ahora aplicamos el signo menos delante:
\[-[3x - y - 2] = -3x + y + 2\]
La primera ecuación queda:
\[-3x + y + 2 + 2y = -4\]
\[-3x + 3y + 2 = -4\]
\[-3x + 3y = -6\]
Dividimos entre \(3\):
\[-x + y = -2\]
El sistema queda:
\[\begin{cases}-x + y = -2 \\ x + y = 6\end{cases}\]
Sumamos:
\[2y = 4\]
\[y = 2\]
\[x + 2 = 6\]
\[x = 4\]
Resultado: \(x = 4,\ y = 2\)
Ejercicio 34
\[\begin{cases}2[x - (y - 1)] - y = 5 \\ x + y = 9\end{cases}\]
Ver solución
Dentro del corchete:
\[x - (y - 1) = x - y + 1\]
Multiplicamos por \(2\):
\[2(x - y + 1) - y = 5\]
\[2x - 2y + 2 - y = 5\]
\[2x - 3y + 2 = 5\]
\[2x - 3y = 3\]
De \(x + y = 9\):
\[x = 9 - y\]
Sustituimos:
\[2(9 - y) - 3y = 3\]
\[18 - 2y - 3y = 3\]
\[-5y = -15\]
\[y = 3\]
\[x = 6\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 3\)
Ejercicio 35
\[\begin{cases}\dfrac{x - 2}{3} + \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{11}{3} \\ x - y = 4\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(6\):
\[2(x - 2) + 3(y + 1) = 22\]
\[2x - 4 + 3y + 3 = 22\]
\[2x + 3y - 1 = 22\]
\[2x + 3y = 23\]
De \(x - y = 4\):
\[x = y + 4\]
Sustituimos:
\[2(y + 4) + 3y = 23\]
\[2y + 8 + 3y = 23\]
\[5y = 15\]
\[y = 3\]
\[x = 7\]
Resultado: \(x = 7,\ y = 3\)
Ejercicio 36
\[\begin{cases}\dfrac{2x + y}{3} - \dfrac{x - y}{2} = \dfrac{10}{3} \\ x + 2y = 11\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(6\):
\[2(2x + y) - 3(x - y) = 20\]
\[4x + 2y - 3x + 3y = 20\]
\[x + 5y = 20\]
El sistema queda:
\[\begin{cases}x + 5y = 20 \\ x + 2y = 11\end{cases}\]
Restamos la segunda ecuación a la primera:
\[3y = 9\]
\[y = 3\]
\[x + 2 \cdot 3 = 11\]
\[x = 5\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 3\)
Ejercicio 37
\[\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 10\end{cases}\]
Ver solución
La segunda ecuación es el doble de la primera:
\[2(2x + y = 5)\]
\[4x + 2y = 10\]
Las dos ecuaciones representan la misma recta.
Resultado: infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
Ejercicio 38
\[\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 11\end{cases}\]
Ver solución
Si multiplicamos la primera ecuación por \(2\), obtenemos:
\[4x + 2y = 10\]
Pero la segunda ecuación dice:
\[4x + 2y = 11\]
La misma expresión no puede valer \(10\) y \(11\) al mismo tiempo.
Resultado: no tiene solución. Sistema incompatible.
Ejercicio 39
\[\begin{cases}3(x - 2) - 2(y + 1) = 1 \\ 2x + y = 13\end{cases}\]
Ver solución
Quitamos paréntesis:
\[3x - 6 - 2y - 2 = 1\]
\[3x - 2y - 8 = 1\]
\[3x - 2y = 9\]
De la segunda ecuación:
\[y = 13 - 2x\]
Sustituimos:
\[3x - 2(13 - 2x) = 9\]
\[3x - 26 + 4x = 9\]
\[7x = 35\]
\[x = 5\]
\[y = 13 - 2 \cdot 5 = 3\]
Resultado: \(x = 5,\ y = 3\)
Ejercicio 40
\[\begin{cases}\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{y - 3}{4} = 3 \\ x + y = 11\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(4\):
\[2(x + 1) - (y - 3) = 12\]
\[2x + 2 - y + 3 = 12\]
\[2x - y + 5 = 12\]
\[2x - y = 7\]
El sistema queda:
\[\begin{cases}2x - y = 7 \\ x + y = 11\end{cases}\]
Sumamos:
\[3x = 18\]
\[x = 6\]
\[6 + y = 11\]
\[y = 5\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 5\)
Ejercicio 41
\[\begin{cases}\dfrac{3x - y}{2} + \dfrac{x + y}{3} = 11 \\ x - y = 6\end{cases}\]
Ver solución
Multiplicamos la primera ecuación por \(6\):
\[3(3x - y) + 2(x + y) = 66\]
\[9x - 3y + 2x + 2y = 66\]
\[11x - y = 66\]
De la segunda ecuación:
\[y = x - 6\]
Sustituimos:
\[11x - (x - 6) = 66\]
\[11x - x + 6 = 66\]
\[10x = 60\]
\[x = 6\]
\[y = 6 - 6 = 0\]
Resultado: \(x = 6,\ y = 0\)
Ejercicio 42
\[\begin{cases}2[x - (y + 1)] + 3y = 10 \\ \dfrac{x}{2} + y = 7\end{cases}\]
Ver solución
Primera ecuación:
\[2[x - y - 1] + 3y = 10\]
\[2x - 2y - 2 + 3y = 10\]
\[2x + y - 2 = 10\]
\[2x + y = 12\]
Segunda ecuación. Multiplicamos por \(2\):
\[x + 2y = 14\]
El sistema queda:
\[\begin{cases}2x + y = 12 \\ x + 2y = 14\end{cases}\]
Multiplicamos la segunda por \(2\):
\[2x + 4y = 28\]
Restamos la primera:
\[(2x + 4y) - (2x + y) = 28 - 12\]
\[3y = 16\]
\[y = \dfrac{16}{3}\]
Sustituimos en \(2x + y = 12\):
\[2x + \dfrac{16}{3} = 12\]
\[2x = \dfrac{36}{3} - \dfrac{16}{3} = \dfrac{20}{3}\]
\[x = \dfrac{10}{3}\]
Resultado: \(x = \dfrac{10}{3},\ y = \dfrac{16}{3}\)
Problemas de sistemas de ecuaciones resueltos
En los problemas de sistemas, el paso más importante es definir bien las incógnitas. Si \(x\) e \(y\) no están claras, el sistema se construye mal aunque después las cuentas estén bien hechas.
Dos edades
La suma de las edades de Ana y Luis es \(28\) años. Ana tiene \(4\) años más que Luis. Calcula la edad de cada uno.
Ver solución
Sea \(x\) la edad de Ana y \(y\) la edad de Luis.
\[\begin{cases}x + y = 28 \\ x = y + 4\end{cases}\]
Sustituimos:
\[(y + 4) + y = 28\]
\[2y + 4 = 28\]
\[2y = 24\]
\[y = 12\]
\[x = 16\]
Resultado: Ana tiene \(16\) años y Luis tiene \(12\) años.
Suma y diferencia
La suma de dos números es \(35\) y su diferencia es \(9\). Calcula los dos números.
Ver solución
Sea \(x\) el número mayor y \(y\) el número menor.
\[\begin{cases}x + y = 35 \\ x - y = 9\end{cases}\]
Sumamos:
\[2x = 44\]
\[x = 22\]
\[22 + y = 35\]
\[y = 13\]
Resultado: los números son \(22\) y \(13\).
Entradas de adulto e infantiles
En un cine se venden entradas de adulto a \(8\) euros y entradas infantiles a \(5\) euros. Se han vendido \(30\) entradas y se han recaudado \(210\) euros. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido?
Ver solución
Sea \(x\) el número de entradas de adulto y \(y\) el número de entradas infantiles.
\[\begin{cases}x + y = 30 \\ 8x + 5y = 210\end{cases}\]
De la primera:
\[x = 30 - y\]
Sustituimos:
\[8(30 - y) + 5y = 210\]
\[240 - 8y + 5y = 210\]
\[-3y = -30\]
\[y = 10\]
\[x = 20\]
Resultado: \(20\) entradas de adulto y \(10\) infantiles.
Monedas de 1 euro y 2 euros
Una persona tiene \(18\) monedas entre monedas de \(1\) euro y monedas de \(2\) euros. En total tiene \(27\) euros. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?
Ver solución
Sea \(x\) el número de monedas de \(1\) euro y \(y\) el número de monedas de \(2\) euros.
\[\begin{cases}x + y = 18 \\ x + 2y = 27\end{cases}\]
Restamos la primera ecuación a la segunda:
\[y = 9\]
\[x + 9 = 18\]
\[x = 9\]
Resultado: \(9\) monedas de \(1\) euro y \(9\) monedas de \(2\) euros.
Cuadernos y libros
Un alumno compra \(3\) cuadernos y \(2\) libros por \(31\) euros. Otro alumno compra \(2\) cuadernos y \(1\) libro por \(18\) euros. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno y cada libro?
Ver solución
Sea \(x\) el precio de un cuaderno y \(y\) el precio de un libro.
\[\begin{cases}3x + 2y = 31 \\ 2x + y = 18\end{cases}\]
Multiplicamos la segunda ecuación por \(2\):
\[4x + 2y = 36\]
Restamos la primera ecuación:
\[(4x + 2y) - (3x + 2y) = 36 - 31\]
\[x = 5\]
Sustituimos:
\[2 \cdot 5 + y = 18\]
\[y = 8\]
Resultado: el cuaderno cuesta \(5\) euros y el libro cuesta \(8\) euros.
Rectángulo
El perímetro de un rectángulo es \(46\) cm. La base mide \(5\) cm más que la altura. Calcula la base y la altura.
Ver solución
Sea \(x\) la base y \(y\) la altura.
\[\begin{cases}2x + 2y = 46 \\ x = y + 5\end{cases}\]
Sustituimos:
\[2(y + 5) + 2y = 46\]
\[2y + 10 + 2y = 46\]
\[4y = 36\]
\[y = 9\]
\[x = 14\]
Resultado: la base mide \(14\) cm y la altura mide \(9\) cm.
Dos ciclistas
Dos ciclistas recorren juntos \(60\) km en una hora y uno va \(8\) km/h más rápido que el otro. Calcula sus velocidades.
Ver solución
Sea \(x\) la velocidad del ciclista más rápido y \(y\) la velocidad del más lento.
\[\begin{cases}x + y = 60 \\ x = y + 8\end{cases}\]
Sustituimos:
\[(y + 8) + y = 60\]
\[2y + 8 = 60\]
\[2y = 52\]
\[y = 26\]
\[x = 34\]
Resultado: las velocidades son \(34\) km/h y \(26\) km/h.
Frutos secos
Se mezclan almendras a \(12\) euros/kg y nueces a \(8\) euros/kg para obtener \(5\) kg de mezcla que cuesta \(48\) euros. ¿Cuántos kg de cada producto se han usado?
Ver solución
Sea \(x\) la cantidad de almendras en kg y \(y\) la cantidad de nueces en kg.
\[\begin{cases}x + y = 5 \\ 12x + 8y = 48\end{cases}\]
De la primera:
\[y = 5 - x\]
Sustituimos:
\[12x + 8(5 - x) = 48\]
\[12x + 40 - 8x = 48\]
\[4x = 8\]
\[x = 2\]
\[y = 3\]
Resultado: \(2\) kg de almendras y \(3\) kg de nueces.
Preguntas correctas e incorrectas
En un test hay \(20\) preguntas. Cada acierto suma \(3\) puntos y cada fallo resta \(1\) punto. Un alumno obtiene \(44\) puntos. ¿Cuántas preguntas acertó y cuántas falló?
Ver solución
Sea \(x\) el número de aciertos y \(y\) el número de fallos.
\[\begin{cases}x + y = 20 \\ 3x - y = 44\end{cases}\]
Sumamos las ecuaciones:
\[4x = 64\]
\[x = 16\]
\[16 + y = 20\]
\[y = 4\]
Resultado: acertó \(16\) preguntas y falló \(4\).
Clases y matrícula
Una academia cobra una cantidad fija de matrícula y una cantidad por cada clase. Por \(4\) clases cobra \(68\) euros y por \(7\) clases cobra \(113\) euros. Calcula la matrícula y el precio de cada clase.
Ver solución
Sea \(x\) la matrícula y \(y\) el precio de cada clase.
\[\begin{cases}x + 4y = 68 \\ x + 7y = 113\end{cases}\]
Restamos la primera ecuación a la segunda:
\[3y = 45\]
\[y = 15\]
Sustituimos:
\[x + 4 \cdot 15 = 68\]
\[x + 60 = 68\]
\[x = 8\]
Resultado: la matrícula es \(8\) euros y cada clase cuesta \(15\) euros.
Otro rectángulo
La suma de la base y la altura de un rectángulo es \(18\) cm. La base mide el doble que la altura menos \(3\) cm. Calcula sus dimensiones.
Ver solución
Sea \(x\) la base y \(y\) la altura.
\[\begin{cases}x + y = 18 \\ x = 2y - 3\end{cases}\]
Sustituimos:
\[(2y - 3) + y = 18\]
\[3y - 3 = 18\]
\[3y = 21\]
\[y = 7\]
\[x = 2 \cdot 7 - 3 = 11\]
Resultado: la base mide \(11\) cm y la altura mide \(7\) cm.
Dos números con condición doble
La suma de dos números es \(31\). Si al doble del primero le restamos el segundo, obtenemos \(20\). Calcula los números.
Ver solución
Sea \(x\) el primer número y \(y\) el segundo número.
\[\begin{cases}x + y = 31 \\ 2x - y = 20\end{cases}\]
Sumamos las dos ecuaciones:
\[3x = 51\]
\[x = 17\]
Sustituimos:
\[17 + y = 31\]
\[y = 14\]
Resultado: los números son \(17\) y \(14\).
Errores frecuentes reales en sistemas de ecuaciones
En problemas, antes de escribir ecuaciones hay que decir qué representa \(x\) y qué representa \(y\).
Si \(y = 5 - x\), entonces \(2x - y\) se convierte en \(2x - (5 - x)\), no en \(2x - 5 - x\).
\(3x - (y + 2)\) se transforma en \(3x - y - 2\). El menos afecta a todo el paréntesis.
Si multiplicas una ecuación por \(3\), multiplicas todos sus términos y también el segundo miembro.
Con fracciones, suele ser más seguro quitar denominadores al principio para evitar errores.
Un sistema con dos incógnitas necesita dos resultados: \(x\) e \(y\).
La solución debe cumplirse en las dos ecuaciones originales, no solo en una ecuación transformada.
Si las ecuaciones se contradicen, no hay solución. Si representan la misma recta, hay infinitas soluciones.
Revisión final tipo examen
Antes de entregar un sistema de ecuaciones, conviene revisar estos puntos. Esta revisión evita muchos fallos de signo y de planteamiento.
Checklist de examen
1. He leído las dos ecuaciones completas antes de elegir método.
2. Si era un problema, he definido \(x\) e \(y\).
3. He elegido sustitución, igualación o reducción por comodidad, no al azar.
4. Si he despejado, he respetado los signos.
5. Si he sustituido una expresión, he usado paréntesis cuando hacía falta.
6. Si había denominadores, los he eliminado multiplicando toda la ecuación.
7. Si había un menos delante de un paréntesis, he cambiado todos los signos interiores.
8. He encontrado las dos incógnitas.
9. He comprobado la solución en las ecuaciones originales.
10. Si era un problema, he escrito una respuesta final con sentido y unidades cuando corresponde.
Comprobación modelo
Si obtenemos \(x = 5\), \(y = 3\) en el sistema:
\[ \begin{cases} 2x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
Comprobamos:
\[ 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13 \]
\[ 5 - 3 = 2 \]
Como se cumplen las dos ecuaciones, la solución es correcta.
Volver al índiceRuta de estudio de 7 días para dominar sistemas de ecuaciones
| Día | Trabajo recomendado |
|---|---|
| Día 1 | Entender qué es un sistema y practicar comprobaciones de soluciones. |
| Día 2 | Resolver sistemas sencillos por sustitución. |
| Día 3 | Practicar igualación cuando la misma incógnita está fácil de despejar. |
| Día 4 | Trabajar reducción directa y reducción multiplicando una ecuación. |
| Día 5 | Resolver sistemas con denominadores y quitar fracciones correctamente. |
| Día 6 | Practicar sistemas con paréntesis, signos negativos y corchetes. |
| Día 7 | Resolver problemas mezclados y comprobar cada solución en las ecuaciones originales. |
Recursos relacionados y clases de refuerzo
Los sistemas de ecuaciones conectan directamente con ecuaciones de primer grado, álgebra, problemas de proporcionalidad, funciones lineales y resolución gráfica. Si un alumno domina este tema, gana seguridad para traducir enunciados y para trabajar Matemáticas de 3 ESO y 4 ESO con más orden.
También puede ayudarte
Para seguir estudiando, conviene repasar antes operaciones combinadas, números enteros, fracciones, ecuaciones de primer grado y problemas de proporcionalidad. Después de sistemas, el siguiente paso natural es trabajar funciones lineales y representación gráfica de rectas.
Recurso elaborado y revisado por José María, profesor de Marlu Educativa, con experiencia docente en clases particulares de Matemáticas, Física y Química para ESO, Bachillerato y preparación de pruebas. El objetivo es que el alumno no memorice los métodos de sistemas de ecuaciones como recetas aisladas, sino que aprenda a elegir, resolver y comprobar con criterio.
Preguntas frecuentes sobre sistemas de ecuaciones
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez. En ESO suelen trabajarse sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿Qué método es mejor para resolver sistemas?
Depende del sistema. Sustitución conviene cuando una incógnita está despejada o se despeja fácilmente. Igualación conviene cuando se puede despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Reducción conviene cuando se pueden eliminar incógnitas sumando o restando ecuaciones.
¿Cómo se resuelve un sistema por sustitución?
Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye esa expresión en la otra. Así queda una ecuación con una sola incógnita.
¿Cómo se resuelve un sistema por igualación?
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.
¿Cómo se resuelve un sistema por reducción?
Se suman o restan ecuaciones para eliminar una incógnita. Si hace falta, se multiplica una ecuación o las dos para conseguir coeficientes opuestos.
¿Cómo se resuelve un sistema con denominadores?
Primero se eliminan los denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo. Después se resuelve el sistema por sustitución, igualación o reducción.
¿Qué pasa si hay un signo menos delante de un paréntesis?
Hay que cambiar todos los signos del interior del paréntesis. Por ejemplo, \(3x - (y + 2)\) se convierte en \(3x - y - 2\).
¿Cómo se comprueba la solución de un sistema?
Se sustituyen los valores obtenidos de \(x\) e \(y\) en las dos ecuaciones originales. Si las dos se cumplen, la solución es correcta.
¿Qué diferencia hay entre sistema incompatible e indeterminado?
Un sistema incompatible no tiene solución porque las ecuaciones se contradicen. Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones porque las dos ecuaciones representan la misma recta.