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Operaciones combinadas 1 ESO ejercicios resueltos con paréntesis, potencias, raíces y decimales
Este recurso está pensado para alumnos de 1 ESO que necesitan dominar las operaciones combinadas desde la base. Incluye teoría clara, ejemplos resueltos, 40 ejercicios con solución, operaciones con paréntesis y corchetes, potencias, raíces cuadradas, números enteros, decimales, divisiones con coma y ejercicios donde conviene sacar factor común.
En muchos exámenes el error no está en saber sumar o multiplicar, sino en no respetar el orden. Un alumno puede saber hacer todas las operaciones por separado y fallar cuando aparecen mezcladas. Por eso este bloque trabaja el método completo: mirar la estructura, resolver primero lo que está dentro, aplicar bien los signos, cuidar la coma decimal y comprobar el resultado antes de pasar al siguiente ejercicio.
Índice clicable
Cómo estudiar este recurso sin perderse en las cuentas
Las operaciones combinadas se aprenden mejor con orden. Antes de empezar a calcular, hay que mirar el ejercicio completo y localizar qué manda sobre qué. No es lo mismo una suma suelta que una suma dentro de un paréntesis. No es lo mismo \( -3^2 \) que \( (-3)^2 \). No es lo mismo dividir entre \(0{,}2\) que multiplicar por \(0{,}2\). La diferencia suele estar en una línea, pero esa línea decide todo el resultado.
La idea principal
En una operación combinada no se calcula lo primero que aparece. Se trabaja de dentro hacia fuera y, dentro de cada agrupación, se aplica de nuevo la jerarquía: potencias y raíces; después multiplicaciones y divisiones; al final, sumas y restas.
Este bloque está organizado para avanzar por dificultad. Primero se repasa el orden. Después se trabajan paréntesis, corchetes, enteros, potencias, raíces, decimales y factor común. Al final aparecen 40 ejercicios con soluciones para que el alumno pueda entrenar como si estuviera preparando una recuperación.
Volver al índiceOrden correcto de las operaciones combinadas
El orden correcto se puede resumir así.
| Prioridad | Qué se resuelve | Ejemplo |
|---|---|---|
| 1 | Signos de agrupación, de dentro hacia fuera | \( 3 \cdot [8 - (2 + 1)] \) |
| 2 | Potencias y raíces | \( 5^2 \), \( \sqrt{36} \) |
| 3 | Multiplicaciones y divisiones | \( 4 \cdot 7 \), \( 24 / 6 \) |
| 4 | Sumas y restas | \( 12 - 5 + 3 \) |
Ejemplo rápido
\[ 8 + 3 \cdot 5 \]
No se hace \(8 + 3\). Primero se calcula la multiplicación.
\[ 8 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23 \]
Fallos que aparecen mucho en clase
El alumno empieza por la izquierda sin mirar la jerarquía. En \(8 + 3 \cdot 5\), si hace primero \(8 + 3\), obtiene \(55\), que no tiene sentido en este ejercicio. La multiplicación tiene prioridad.
Paréntesis, corchetes y llaves
Paréntesis, corchetes y llaves cumplen la misma función. Cuando están anidados, se empieza por la agrupación más interior, sea cual sea su símbolo, y dentro de ella se respeta de nuevo la jerarquía habitual.
\[ \{ \ [ \ ( \ ) \ ] \ \} \]
Ejemplo
\[ 4 + 2 \cdot [9 - (3 + 2)] \]
Primero el paréntesis.
\[ 3 + 2 = 5 \]
Sustituimos.
\[ 4 + 2 \cdot [9 - 5] \]
Ahora el corchete.
\[ 9 - 5 = 4 \]
Queda.
\[ 4 + 2 \cdot 4 = 4 + 8 = 12 \]
Paréntesis con signo menos delante
Si delante del paréntesis hay un signo menos, se distribuye −1. Cuando el interior está escrito como suma o resta, cambia el signo de cada término al quitar el paréntesis.
\[ 12 - (5 - 3 + 2) = 12 - 5 + 3 - 2 \]
Números enteros y signos
Las operaciones combinadas con números enteros exigen dos controles a la vez. Hay que respetar la jerarquía y aplicar bien los signos. Si falla una de las dos cosas, el resultado cambia.
\( -7 - 5 = -12 \)
\( -9 + 4 = -5 \)
\( (-3) \cdot (-4) = 12 \)
\( (-3) \cdot 4 = -12 \)
Ejemplo
\[ -6 + 3 \cdot (-4) \]
Primero la multiplicación.
\[ 3 \cdot (-4) = -12 \]
Después se suma.
\[ -6 - 12 = -18 \]
Volver al índicePotencias y raíces cuadradas
Las potencias y las raíces se calculan antes que multiplicaciones, divisiones, sumas y restas. Esta misma jerarquía se aplica dentro de cada paréntesis, corchete o llave.
Una diferencia que cambia todo
\[ (-3)^2 = 9 \]
porque el número completo \(-3\) está elevado al cuadrado.
\[ -3^2 = -9 \]
porque solo el \(3\) está elevado al cuadrado y el signo menos queda fuera.
Ejemplo
\[ 20 - \sqrt{36} + 2^2 \]
Calculamos raíz y potencia.
\[ \sqrt{36} = 6 \]
\[ 2^2 = 4 \]
Sustituimos.
\[ 20 - 6 + 4 = 18 \]
Volver al índiceDecimales y movimiento de la coma
En operaciones con decimales hay que cuidar la coma. Multiplicar por \(10\), \(100\) o \(1000\) mueve la coma hacia la derecha. Dividir por \(10\), \(100\) o \(1000\) mueve la coma hacia la izquierda.
\( 7{,}35 \cdot 10 = 73{,}5 \)
\( 7{,}35 \cdot 100 = 735 \)
\( 48{,}6 / 10 = 4{,}86 \)
\( 48{,}6 / 100 = 0{,}486 \)
División con divisor decimal
\[ 12{,}6 / 0{,}3 \]
El divisor \(0{,}3\) tiene una cifra decimal. Multiplicamos dividendo y divisor por \(10\).
\[ 12{,}6 / 0{,}3 = 126 / 3 = 42 \]
Error típico
No se puede mover la coma solo en el divisor. Si se multiplica el divisor por \(10\), también se multiplica el dividendo por \(10\). La división debe seguir siendo equivalente.
Sacar factor común
Sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva al revés. Se usa cuando aparece el mismo número multiplicando en varios términos.
\[ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \]
Ejemplo
\[ 12 \cdot 17 - 12 \cdot 7 \]
El factor común es \(12\).
\[ 12 \cdot 17 - 12 \cdot 7 = 12 \cdot (17 - 7) \]
\[ 12 \cdot 10 = 120 \]
Cuándo conviene usarlo
Conviene cuando evita multiplicaciones largas o cuando permite ver una estructura más limpia. En 1 ESO ayuda mucho a preparar después álgebra, ecuaciones y productos con paréntesis.
40 ejercicios resueltos de operaciones combinadas
Los ejercicios avanzan por niveles y mezclan jerarquía, signos, potencias, raíces, decimales y factor común. Resuélvelos primero en papel; después consulta el solucionario completo, reunido al final del recurso.
Volver al índice\[18 - 3 \cdot (4 + 2)\]
\[7 + 2^3 \cdot 5\]
\[60 / [2 \cdot (5 + 1)] + 4\]
\[45 - \sqrt{81} \cdot 3 + 2^4\]
\[[36 / (2 + 4) + 5] \cdot 3\]
\[100 - \{4 \cdot [12 - (3 + 2)] + 6^2\}\]
\[8 \cdot (7 - 3)^2 - \sqrt{64}\]
\[72 / [3 \cdot (2 + 4)] + \sqrt{49}\]
\[5^2 - \{3 \cdot [6 + (8 - 5)] - 10\}\]
\[2^5 + 48 / (6 + 2) - 3^2\]
\[-8 + 3 \cdot (-5) - 12 / (-3)\]
\[6 - [4 - (9 - 15)]\]
\[-3^2 + (-3)^2 - 2 \cdot (-4)\]
\[20 + 5 \cdot [-2 - (3 - 8)]\]
\[-24 / [3 \cdot (-2)] + 7\]
\[4 \cdot (-6 + 2)^2 - 5^2\]
\[-10 - [6 \cdot (-3) + 4^2]\]
\[[(-2)^3 + 20] / 3 - 5\]
\[-7 + \sqrt{49} \cdot (-2) + 30 / (-5)\]
\[2 \cdot [-5 + 3 \cdot (4 - 7)]\]
\[3{,}5 + 2{,}4 \cdot (5 - 2)\]
\[12{,}6 / 0{,}3 - 4\]
\[7{,}2 / 0{,}6 + 1{,}5 \cdot 4\]
\[0{,}25 \cdot (40 - 8) + 3{,}6 / 0{,}9\]
\[[15{,}5 - (2{,}5 + 3)] \cdot 2\]
\[4{,}8 / 0{,}12 - \sqrt{16}\]
\[(2{,}5)^2 + 1{,}5 \cdot 2\]
\[36 / (1{,}2 \cdot 5) + 0{,}8\]
\[5{,}4 - [1{,}2 \cdot (3 + 2) - 0{,}6]\]
\[0{,}4 \cdot [25 - (6{,}5 + 3{,}5)]\]
\[7 \cdot 18 + 7 \cdot 2\]
\[12 \cdot 19 - 12 \cdot 9\]
\[5 \cdot (-8) + 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4\]
\[9 \cdot 14 + 9 \cdot 6 - 9 \cdot 10\]
\[15 \cdot (7 - 2) + 15 \cdot (4 + 1)\]
\[6 \cdot 13 - 6 \cdot [5 - (2 + 1)]\]
\[4 \cdot \sqrt{25} + 4 \cdot 2^3\]
\[8 \cdot (12 - 5) + 8 \cdot (3^2 - 4)\]
\[11 \cdot 7 + 11 \cdot (-3) + 11 \cdot 6\]
\[2{,}5 \cdot 16 + 2{,}5 \cdot 4 - 2{,}5 \cdot 10\]
Solucionario completo
Las 40 soluciones aparecen seguidas y en el mismo orden que la ficha. Así pueden imprimirse como cuadernillo independiente y usarse durante la corrección en clase.
Soluciones 1 a 5 · base
Ejercicio 1
\[4 + 2 = 6\]
\[18 - 3 \cdot 6 = 18 - 18 = 0\]
Resultado: \(0\)
Ejercicio 2
\[2^3 = 8\]
\[7 + 8 \cdot 5 = 7 + 40 = 47\]
Resultado: \(47\)
Ejercicio 3
\[5 + 1 = 6\]
\[2 \cdot 6 = 12\]
\[60 / 12 + 4 = 5 + 4 = 9\]
Resultado: \(9\)
Ejercicio 4
\[\sqrt{81} = 9\]
\[2^4 = 16\]
\[45 - 9 \cdot 3 + 16 = 45 - 27 + 16 = 34\]
Resultado: \(34\)
Ejercicio 5
\[2 + 4 = 6\]
\[36 / 6 = 6\]
\[(6 + 5) \cdot 3 = 11 \cdot 3 = 33\]
Resultado: \(33\)
Soluciones 6 a 20 · consolidación
Ejercicio 6
\[3 + 2 = 5\]
\[12 - 5 = 7\]
\[4 \cdot 7 = 28\]
\[6^2 = 36\]
\[100 - (28 + 36) = 100 - 64 = 36\]
Resultado: \(36\)
Ejercicio 7
\[7 - 3 = 4\]
\[4^2 = 16\]
\[\sqrt{64} = 8\]
\[8 \cdot 16 - 8 = 128 - 8 = 120\]
Resultado: \(120\)
Ejercicio 8
\[2 + 4 = 6\]
\[3 \cdot 6 = 18\]
\[72 / 18 = 4\]
\[\sqrt{49} = 7\]
\[4 + 7 = 11\]
Resultado: \(11\)
Ejercicio 9
\[5^2 = 25\]
\[8 - 5 = 3\]
\[6 + 3 = 9\]
\[3 \cdot 9 - 10 = 27 - 10 = 17\]
\[25 - 17 = 8\]
Resultado: \(8\)
Ejercicio 10
\[2^5 = 32\]
\[6 + 2 = 8\]
\[48 / 8 = 6\]
\[3^2 = 9\]
\[32 + 6 - 9 = 29\]
Resultado: \(29\)
Ejercicio 11
\[3 \cdot (-5) = -15\]
\[12 / (-3) = -4\]
\[-8 - 15 - (-4) = -8 - 15 + 4 = -19\]
Resultado: \(-19\)
Ejercicio 12
\[9 - 15 = -6\]
\[4 - (-6) = 10\]
\[6 - 10 = -4\]
Resultado: \(-4\)
Ejercicio 13
\[-3^2 = -9\]
\[(-3)^2 = 9\]
\[-2 \cdot (-4) = 8\]
\[-9 + 9 + 8 = 8\]
Resultado: \(8\)
Ejercicio 14
\[3 - 8 = -5\]
\[-2 - (-5) = -2 + 5 = 3\]
\[20 + 5 \cdot 3 = 20 + 15 = 35\]
Resultado: \(35\)
Ejercicio 15
\[3 \cdot (-2) = -6\]
\[-24 / (-6) = 4\]
\[4 + 7 = 11\]
Resultado: \(11\)
Ejercicio 16
\[-6 + 2 = -4\]
\[(-4)^2 = 16\]
\[5^2 = 25\]
\[4 \cdot 16 - 25 = 64 - 25 = 39\]
Resultado: \(39\)
Ejercicio 17
\[6 \cdot (-3) = -18\]
\[4^2 = 16\]
\[-18 + 16 = -2\]
\[-10 - (-2) = -10 + 2 = -8\]
Resultado: \(-8\)
Ejercicio 18
\[(-2)^3 = -8\]
\[-8 + 20 = 12\]
\[12 / 3 - 5 = 4 - 5 = -1\]
Resultado: \(-1\)
Ejercicio 19
\[\sqrt{49} = 7\]
\[7 \cdot (-2) = -14\]
\[30 / (-5) = -6\]
\[-7 - 14 - 6 = -27\]
Resultado: \(-27\)
Ejercicio 20
\[4 - 7 = -3\]
\[3 \cdot (-3) = -9\]
\[-5 - 9 = -14\]
\[2 \cdot (-14) = -28\]
Resultado: \(-28\)
Soluciones 21 a 30 · aplicación
Ejercicio 21
\[5 - 2 = 3\]
\[2{,}4 \cdot 3 = 7{,}2\]
\[3{,}5 + 7{,}2 = 10{,}7\]
Resultado: \(10{,}7\)
Ejercicio 22
\[12{,}6 / 0{,}3 = 126 / 3 = 42\]
\[42 - 4 = 38\]
Resultado: \(38\)
Ejercicio 23
\[7{,}2 / 0{,}6 = 72 / 6 = 12\]
\[1{,}5 \cdot 4 = 6\]
\[12 + 6 = 18\]
Resultado: \(18\)
Ejercicio 24
\[40 - 8 = 32\]
\[0{,}25 \cdot 32 = 8\]
\[3{,}6 / 0{,}9 = 36 / 9 = 4\]
\[8 + 4 = 12\]
Resultado: \(12\)
Ejercicio 25
\[2{,}5 + 3 = 5{,}5\]
\[15{,}5 - 5{,}5 = 10\]
\[10 \cdot 2 = 20\]
Resultado: \(20\)
Ejercicio 26
\[4{,}8 / 0{,}12 = 480 / 12 = 40\]
\[\sqrt{16} = 4\]
\[40 - 4 = 36\]
Resultado: \(36\)
Ejercicio 27
\[(2{,}5)^2 = 6{,}25\]
\[1{,}5 \cdot 2 = 3\]
\[6{,}25 + 3 = 9{,}25\]
Resultado: \(9{,}25\)
Ejercicio 28
\[1{,}2 \cdot 5 = 6\]
\[36 / 6 = 6\]
\[6 + 0{,}8 = 6{,}8\]
Resultado: \(6{,}8\)
Ejercicio 29
\[3 + 2 = 5\]
\[1{,}2 \cdot 5 = 6\]
\[6 - 0{,}6 = 5{,}4\]
\[5{,}4 - 5{,}4 = 0\]
Resultado: \(0\)
Ejercicio 30
\[6{,}5 + 3{,}5 = 10\]
\[25 - 10 = 15\]
\[0{,}4 \cdot 15 = 6\]
Resultado: \(6\)
Soluciones 31 a 40 · reto
Ejercicio 31
El factor común es \(7\).
\[7 \cdot 18 + 7 \cdot 2 = 7 \cdot (18 + 2)\]
\[7 \cdot 20 = 140\]
Resultado: \(140\)
Ejercicio 32
El factor común es \(12\).
\[12 \cdot 19 - 12 \cdot 9 = 12 \cdot (19 - 9)\]
\[12 \cdot 10 = 120\]
Resultado: \(120\)
Ejercicio 33
El factor común es \(5\).
\[5 \cdot (-8) + 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4 = 5 \cdot (-8 + 3 - 4)\]
\[-8 + 3 - 4 = -9\]
\[5 \cdot (-9) = -45\]
Resultado: \(-45\)
Ejercicio 34
El factor común es \(9\).
\[9 \cdot 14 + 9 \cdot 6 - 9 \cdot 10 = 9 \cdot (14 + 6 - 10)\]
\[14 + 6 - 10 = 10\]
\[9 \cdot 10 = 90\]
Resultado: \(90\)
Ejercicio 35
\[7 - 2 = 5\]
\[4 + 1 = 5\]
\[15 \cdot 5 + 15 \cdot 5 = 15 \cdot (5 + 5)\]
\[15 \cdot 10 = 150\]
Resultado: \(150\)
Ejercicio 36
\[2 + 1 = 3\]
\[5 - 3 = 2\]
\[6 \cdot 13 - 6 \cdot 2 = 6 \cdot (13 - 2)\]
\[6 \cdot 11 = 66\]
Resultado: \(66\)
Ejercicio 37
El factor común es \(4\).
\[4 \cdot \sqrt{25} + 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot (\sqrt{25} + 2^3)\]
\[\sqrt{25} = 5\]
\[2^3 = 8\]
\[4 \cdot (5 + 8) = 4 \cdot 13 = 52\]
Resultado: \(52\)
Ejercicio 38
El factor común es \(8\).
\[8 \cdot (12 - 5) + 8 \cdot (3^2 - 4) = 8 \cdot [(12 - 5) + (3^2 - 4)]\]
\[12 - 5 = 7\]
\[3^2 - 4 = 9 - 4 = 5\]
\[8 \cdot (7 + 5) = 8 \cdot 12 = 96\]
Resultado: \(96\)
Ejercicio 39
El factor común es \(11\).
\[11 \cdot 7 + 11 \cdot (-3) + 11 \cdot 6 = 11 \cdot [7 + (-3) + 6]\]
\[7 - 3 + 6 = 10\]
\[11 \cdot 10 = 110\]
Resultado: \(110\)
Ejercicio 40
El factor común es \(2{,}5\).
\[2{,}5 \cdot 16 + 2{,}5 \cdot 4 - 2{,}5 \cdot 10 = 2{,}5 \cdot (16 + 4 - 10)\]
\[16 + 4 - 10 = 10\]
\[2{,}5 \cdot 10 = 25\]
Resultado: \(25\)
Errores reales de alumno en operaciones combinadas
En \(4 + 3 \cdot 5\) no se calcula primero \(4 + 3\). La multiplicación manda.
\(12 - (5 - 3)\) se convierte en \(12 - 5 + 3\), no en \(12 - 5 - 3\).
\((-3)^2 = 9\), pero \(-3^2 = -9\). El paréntesis decide.
No se debe salir del corchete hasta que todo lo de dentro esté terminado.
En \(12{,}6 / 0{,}3\), se transforma en \(126 / 3\). Se mueve la coma en los dos números.
En \(9 \cdot 14 + 9 \cdot 6\), conviene escribir \(9 \cdot (14 + 6)\).
Revisión final tipo examen
Antes de entregar un ejercicio de operaciones combinadas, conviene hacer esta comprobación rápida.
Checklist de revisión
1. He trabajado de dentro hacia fuera y he respetado la jerarquía dentro de cada agrupación.
2. He calculado potencias y raíces antes que productos y divisiones.
3. He hecho multiplicaciones y divisiones antes que sumas y restas.
4. Si había operaciones del mismo nivel, he ido de izquierda a derecha.
5. Si he quitado un paréntesis precedido de menos, he distribuido −1 término a término.
6. En decimales, he colocado bien la coma.
7. En divisiones con coma, he movido la coma en dividendo y divisor.
8. Si había un factor repetido, he comprobado si convenía sacar factor común.
En una recuperación de Matemáticas, escribir bien los pasos vale casi tanto como llegar al resultado. Un ejercicio limpio permite detectar dónde aparece el fallo y evita perder puntos por desorden.
Volver al índiceRuta de estudio de 7 días para preparar operaciones combinadas
| Día | Trabajo recomendado |
|---|---|
| Día 1 | Repasar jerarquía de operaciones y hacer ejercicios con números naturales. |
| Día 2 | Trabajar paréntesis y corchetes sin números negativos. |
| Día 3 | Introducir números enteros y reglas de signos. |
| Día 4 | Practicar potencias, raíces y operaciones largas. |
| Día 5 | Trabajar decimales y divisiones con coma. |
| Día 6 | Resolver ejercicios donde conviene sacar factor común. |
| Día 7 | Hacer 15 ejercicios mezclados y revisar los errores por escrito. |
Elige el siguiente paso según el bloqueo
Recursos relacionados y clases de refuerzo
Las operaciones combinadas son una base directa para números enteros, fracciones, proporcionalidad, porcentajes, ecuaciones, álgebra y problemas de Física y Química. Cuando esta parte queda floja, el alumno arrastra fallos durante todo el curso siguiente.
Volver al índicePreguntas frecuentes sobre operaciones combinadas en 1 ESO
¿Qué se hace primero en una operación combinada?
Se trabaja de dentro hacia fuera y dentro de cada agrupación se repite la jerarquía: potencias y raíces; multiplicaciones y divisiones; por último, sumas y restas.
¿Las operaciones combinadas se hacen siempre de izquierda a derecha?
Solo cuando las operaciones tienen la misma prioridad. Si aparecen multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces o paréntesis, hay que respetar primero la jerarquía.
¿Cómo se quita un paréntesis con un signo menos delante?
Se distribuye −1. Si el interior es una suma o resta, cambia el signo de cada término. Por ejemplo, \(12 - (5 - 3 + 2)\) se transforma en \(12 - 5 + 3 - 2\).
¿Qué diferencia hay entre \((-3)^2\) y \(-3^2\)?
\((-3)^2\) vale \(9\), porque todo el número negativo está elevado al cuadrado. En cambio, \(-3^2\) vale \(-9\), porque solo el \(3\) está elevado al cuadrado y el signo menos queda fuera.
¿Cómo se dividen números decimales?
Si el divisor tiene coma, se multiplica dividendo y divisor por \(10\), \(100\) o \(1000\) hasta que el divisor quede sin decimales. Después se divide normalmente.
¿Cuándo conviene sacar factor común?
Conviene cuando varios términos tienen un mismo número multiplicando. Por ejemplo, \(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3\) puede escribirse como \(8 \cdot (5 + 3)\).
¿Este tema sirve para recuperar Matemáticas de 1 ESO?
Sí. Las operaciones combinadas son una base esencial para recuperar Matemáticas, porque conectan con enteros, fracciones, decimales, ecuaciones y problemas.