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Ejercicios resueltos de números enteros y fracciones 1 ESO para recuperar Matemáticas

Publicado por

JOSE-MARIA

octubre 24, 2026

el mayo 17, 2026

Matemáticas · 1.º ESO · Recuperación

Recuperar enteros y fracciones: localizar el error y resolver con criterio

Empieza por el diagnóstico y trabaja el bloque que necesites. Encontrarás modelos resueltos, soluciones que debes corregir y ejercicios para comprobar si puedes continuar sin ayuda.

12 preguntas de diagnóstico
32 modelos resueltos
8 errores para corregir
16 ejercicios y 2 simulacros

Empezar el diagnóstico Práctica de recuperación Simulacros

Recuperación de la base de 1.º ESO y repaso al comenzar 2.º. Elige las tareas según tus errores; no necesitas repetir todos los bloques. La explicación general de enteros y fracciones se desarrolla en la unidad completa enlazada al final.

Índice del cuaderno

Diagnóstico de cuatro bloques Qué practicar según el error Resolver y revisar con orden Recordatorios de signos y prioridad Modelos 1–8 · signos Modelos 9–12 · jerarquía Recordatorios de fracciones Modelos 13–18 · cuatro operaciones Modelos 19–24 · combinadas Modelos 25–32 · parte y total Ocho soluciones para corregir Dieciséis ejercicios de transferencia Dos simulacros de recuperación Registro del primer intento y reintento Comprobaciones antes de entregar Dónde continuar Preguntas frecuentes

Un procedimiento para no repetir el mismo error

1. Señala la operación

Distingue el signo del número y la operación que une las cantidades. Marca paréntesis y la primera operación que corresponde hacer.

2. Conserva la igualdad

Cambia una parte cada vez y copia el resto. En una suma de fracciones, convierte antes a fracciones equivalentes.

3. Interpreta los datos

En un problema, escribe a qué total se refiere cada fracción. Si cambia la cantidad de referencia, indícalo antes de operar.

4. Comprueba de otra forma

Usa la operación inversa, una estimación, la suma de las partes o la sustitución del dato hallado. Revisa también la unidad.

Diagnóstico inicial: identifica el bloqueo

Resuelve sin consultar los modelos. Cada pregunta vale un punto orientativo si el resultado y el procedimiento son correctos. Anota también los aciertos que no sabrías explicar: necesitan revisión.

Signos y enteros

Diagnóstico 1base

Orden y opuesto

Ordena estos enteros de menor a mayor y escribe el opuesto del menor.

\[\begin{aligned}-12,\quad -5,\quad 3\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

Entre dos enteros negativos es menor el que queda más lejos del cero.

\[\begin{aligned}-12&<-5<3 \\ \operatorname{opuesto}(-12)&=12\end{aligned}\]

Comprobación: un número y su opuesto suman cero.

\[\begin{aligned}-12+12&=0\end{aligned}\]

Diagnóstico 2base

Una resta de un negativo

Resuelve esta suma y resta de enteros. Escribe primero qué cambia al quitar el paréntesis precedido de una resta.

\[\begin{aligned}-9-(-14)+(-6)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

Restar −14 equivale a sumar 14.

\[\begin{aligned}-9-(-14)+(-6)&=-9+14-6 \\ &=5-6 \\ &=-1\end{aligned}\]

Comprobación: agrupamos los dos sumandos negativos.

\[\begin{aligned}(-9-6)+14&=-15+14=-1\end{aligned}\]

Diagnóstico 3base

El signo del producto y del cociente

Calcula por separado este producto y este cociente. Indica el signo de cada resultado antes de operar.

\[\begin{aligned}\text{a)}\;&(-8)\cdot(-5) \\ \text{b)}\;&63\div(-9)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

El producto de dos negativos es positivo; el cociente de signos distintos es negativo. El divisor −9 es distinto de cero.

\[\begin{aligned}(-8)\cdot(-5)&=40 \\ 63\div(-9)&=-7\end{aligned}\]

Comprobación mediante operaciones inversas:

\[\begin{aligned}40\div(-5)&=-8 \\ (-7)\cdot(-9)&=63\end{aligned}\]

Orden de las operaciones

Diagnóstico 4base

Decidir qué operación va primero

Resuelve la expresión y señala qué operación debes hacer antes de restar.

\[\begin{aligned}17-3\cdot6\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

La multiplicación se calcula antes que la resta.

\[\begin{aligned}17-3\cdot6&=17-18 \\ &=-1\end{aligned}\]

Comprobación: el producto supera en una unidad a 17.

\[\begin{aligned}3\cdot6-17&=1\end{aligned}\]

Diagnóstico 5base

Del paréntesis hacia fuera

Resuelve esta expresión con dos agrupaciones. Comienza por el paréntesis interior.

\[\begin{aligned}4\cdot[6-(9-5)]\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}9-5&=4 \\ 6-(9-5)&=6-4=2 \\ 4\cdot[6-(9-5)]&=4\cdot2=8\end{aligned}\]

Comprobación: sustituir el corchete por 2 da el mismo producto.

\[\begin{aligned}8\div4&=2\end{aligned}\]

Diagnóstico 6modelo

Potencia y signo exterior

Resuelve la expresión distinguiendo la potencia con base negativa del signo que queda fuera de una potencia.

\[\begin{aligned}-5^2+(-5)^2-16\div(-4)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

En el primer término la base de la potencia es 5. En el segundo, la base es −5. El divisor −4 no es cero.

\[\begin{aligned}-5^2&=-25 \\ (-5)^2&=25 \\ 16\div(-4)&=-4 \\ -25+25-(-4)&=4\end{aligned}\]

Comprobación: las dos potencias se compensan y queda restar −4.

Operaciones con fracciones

Diagnóstico 7base

Sumar partes del mismo tamaño

Suma estas dos fracciones y deja la respuesta irreducible. Escribe un denominador común.

\[\begin{aligned}\frac{5}{12}+\frac{1}{8}\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

Usamos veinticuatroavos para que las partes tengan el mismo tamaño.

\[\begin{aligned}\frac{5}{12}+\frac{1}{8}&=\frac{10}{24}+\frac{3}{24} \\ &=\frac{13}{24}\end{aligned}\]

Comprobación: al retirar el segundo sumando recuperamos el primero.

\[\begin{aligned}\frac{13}{24}-\frac{1}{8}&=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\end{aligned}\]

Diagnóstico 8base

Simplificar un producto

Calcula el producto y simplifica el resultado. Puedes reducir factores antes de multiplicar.

\[\begin{aligned}\frac{7}{15}\cdot\frac{10}{21}\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}\frac{7}{15}\cdot\frac{10}{21}&=\frac{1\cdot2}{3\cdot3} \\ &=\frac{2}{9}\end{aligned}\]

Comprobación sin simplificación previa:

\[\begin{aligned}\frac{7\cdot10}{15\cdot21}&=\frac{70}{315}=\frac{2}{9}\end{aligned}\]

Diagnóstico 9base

Dividir por una fracción

Calcula el cociente y comprueba la respuesta multiplicándola por el divisor.

\[\begin{aligned}\frac{5}{14}\div\frac{15}{28}\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

El divisor 15/28 es distinto de cero. Multiplicamos por su inversa.

\[\begin{aligned}\frac{5}{14}\div\frac{15}{28}&=\frac{5}{14}\cdot\frac{28}{15} \\ &=\frac{2}{3}\end{aligned}\]

Comprobación:

\[\begin{aligned}\frac{2}{3}\cdot\frac{15}{28}&=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}\end{aligned}\]

Parte, total y cantidad restante

Diagnóstico 10base

Una parte de una colección

En una bandeja hay 56 fichas. Se retiran \(\frac{3}{8}\) de las fichas iniciales. ¿Cuántas se retiran y cuántas quedan?

Ver solución y comprobación

La fracción se aplica a la colección inicial de 56 fichas.

\[\begin{aligned}\text{Retiradas}&=\frac{3}{8}\cdot56=21 \\ \text{Restantes}&=56-21=35\end{aligned}\]

Comprobación: los dos recuentos son enteros no negativos y reconstruyen la colección.

\[\begin{aligned}21+35&=56\end{aligned}\]

Diagnóstico 11base

Dos usos del total inicial

De una pieza de tela se emplean \(\frac{2}{9}\) de su longitud inicial para una funda y \(\frac{5}{18}\) de esa misma longitud inicial para una bolsa. ¿Qué fracción de la pieza queda sin usar?

Ver solución y comprobación

Las dos fracciones se refieren a la misma pieza inicial; se pueden sumar.

\[\begin{aligned}\text{Parte usada}&=\frac{2}{9}+\frac{5}{18} \\ &=\frac{4}{18}+\frac{5}{18}=\frac{1}{2} \\ \text{Parte restante}&=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{aligned}\]

Comprobación: lo usado y lo restante completan una pieza.

\[\begin{aligned}\frac{2}{9}+\frac{5}{18}+\frac{1}{2}&=\frac{4+5+9}{18}=1\end{aligned}\]

Diagnóstico 12modelo

Una fracción de lo que queda

Un vivero prepara 72 macetas. Vende \(\frac{1}{4}\) del lote inicial y reserva \(\frac{2}{3}\) de las que quedan tras la venta. ¿Cuántas macetas quedan sin vender ni reservar?

Ver solución y comprobación

La reserva se calcula sobre las 54 macetas que quedan tras vender, porque el enunciado cambia la referencia.

\[\begin{aligned}\text{Vendidas}&=\frac{1}{4}\cdot72=18 \\ \text{Tras la venta}&=72-18=54 \\ \text{Reservadas}&=\frac{2}{3}\cdot54=36 \\ \text{Sin vender ni reservar}&=54-36=18\end{aligned}\]

Comprobación: todos los recuentos son enteros no negativos y cada maceta está en un único grupo.

\[\begin{aligned}18+36+18&=72\end{aligned}\]

Tu resultado indica por dónde continuar

Ruta de reparación por bloques; la puntuación es orientativa
Preguntas	Si fallas o dudas	Repara	Comprueba con otra tarea
D1–D3	Orden, opuesto y signos	Orden y opuesto; modelos 1–8 y C1–C2	P1–P2
D4–D6	Prioridad, paréntesis y potencias	Modelos 9–12 y C3–C4	P3 y P9–P10
D7–D9	Equivalencia, cálculo e inversión	Modelos 13–24 y C5–C6	P4–P7 y P11–P12
D10–D12	Qué cantidad representa cada fracción	Modelos 25–32 y C7–C8	P8 y P13–P16

En el reintento, resuelve sin consultar la pista ni la solución. Con tres respuestas justificadas en un bloque, pasa a la práctica mixta. Con alguna duda, revisa el modelo concreto y repite después una tarea sin ayuda. Acertar un cálculo aislado no asegura dominar todo el tema.

La ruta puede distribuirse en siete sesiones: diagnóstico; signos; jerarquía; fracciones; problemas; práctica mixta; simulacro y corrección. Si ya dominas un bloque, dedica esa sesión al que te cueste más. No es una promesa de aprobar en siete días.

Recordatorios para reparar signos y prioridad

Orden, opuesto y signos

En la recta, el número situado más a la derecha es mayor. El opuesto de un número cambia su signo; el opuesto de cero es cero.

\[a-(-b)=a+b\]

Al restar un número negativo se suma su opuesto. En productos y cocientes de números distintos de cero, signos iguales dan positivo y distintos dan negativo. Un producto con un factor cero vale cero; dividir entre cero no está definido.

El signo no siempre pertenece a la potencia

\[-4^2=-(4\cdot4)=-16\]

\[(-4)^2=(-4)(-4)=16\]

Respeta el orden

Primero agrupaciones; después potencias; luego productos y cocientes de izquierda a derecha; por último sumas y restas de izquierda a derecha.

Si sumas números de signos distintos

Resta el menor valor absoluto del mayor y conserva el signo del número de mayor valor absoluto. Si son iguales, el resultado es cero. No conviertas esa regla en una regla de multiplicación.

Taller 1 · recuperar el control de los signos

Usa el modelo que corresponda a tu error. Copia la expresión completa y comprueba qué signo cambia y cuál se mantiene.

Sumas y restas con signos

Calcula:

\[ -8 + 13 - 6 \]

Solo hay sumas y restas: avanzamos de izquierda a derecha.

\[\begin{aligned} -8+13 &= 5\\ 5-6 &= -1 \end{aligned}\]

Acumular cantidades negativas

Calcula:

\[ -15 - 7 + 9 \]

\[\begin{aligned} -15-7+9 &= -22+9\\ &= -13 \end{aligned}\]

Restar un número negativo

Calcula:

\[ 7 - (-4) + (-9) \]

Restar un negativo equivale a sumar su opuesto.

\[\begin{aligned} 7-(-4)+(-9) &= 7+4-9\\ &=11-9\\ &=2 \end{aligned}\]

Prioridad de la multiplicación

Calcula:

\[ (-6) \cdot 5 + 18 \]

La multiplicación tiene prioridad.

\[\begin{aligned} (-6)\cdot5+18 &= -30+18\\ &=-12 \end{aligned}\]

Producto de dos negativos

Calcula:

\[ (-4) \cdot (-7) - 35 \]

\[\begin{aligned} (-4)\cdot(-7)-35 &= 28-35\\ &=-7 \end{aligned}\]

Multiplicar y dividir con signos

Calcula:

\[ 48 \div (-6) + (-3) \cdot 4 \]

\[\begin{aligned} 48\div(-6)&=-8\\ (-3)\cdot4&=-12\\ -8+(-12)&=-20 \end{aligned}\]

Potencia y signo menos

Calcula:

\[ -3^2 + (-3)^2 \]

Sin paréntesis, el signo menos queda fuera de la potencia.

\[\begin{aligned} -3^2 &= -(3^2)=-9\\ (-3)^2&=9\\ -3^2+(-3)^2&=-9+9=0 \end{aligned}\]

Potencia impar y resta de un negativo

Calcula:

\[ (-2)^3 - 5 \cdot (-4) \]

\[\begin{aligned} (-2)^3&=-8\\ 5\cdot(-4)&=-20\\ -8-(-20)&=-8+20=12 \end{aligned}\]

Taller 2 · decidir qué operación va primero

Los modelos combinan operaciones. Antes de calcular, señala el primer paso y conserva sin cambios el resto de la expresión.

Jerarquía de operaciones

Calcula:

\[ 12 - 4 \cdot 5 + 18 \div 3 \]

\[\begin{aligned} 4\cdot5&=20\\ 18\div3&=6\\ 12-20+6&=-8+6=-2 \end{aligned}\]

Paréntesis dentro de corchetes

Calcula:

\[ 3 \cdot [8 - (5 + 7)] \]

\[\begin{aligned} 5+7&=12\\ 8-12&=-4\\ 3\cdot(-4)&=-12 \end{aligned}\]

Operaciones combinadas con varios niveles

Calcula:

\[ 5 - 2 \cdot [3 - 4 \cdot (6 - 8)] \]

\[\begin{aligned} 6-8&=-2\\ 4\cdot(-2)&=-8\\ 3-(-8)&=11\\ 5-2\cdot11&=5-22=-17 \end{aligned}\]

Potencias, productos y cocientes

Calcula:

\[ (-4)^2 - 3 \cdot (-5) - 28 \div 7 \]

\[\begin{aligned} (-4)^2&=16\\ 3\cdot(-5)&=-15\\ 28\div7&=4\\ 16-(-15)-4&=16+15-4=27 \end{aligned}\]

Recordatorios para reparar operaciones con fracciones

Sumar y restar

Las fracciones deben contar partes del mismo tamaño. Busca denominador común y transforma también el numerador.

\[\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b}\quad(b\ne0)\]

Multiplicar y simplificar

\[\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}\]

Los denominadores son distintos de cero. Se pueden cancelar factores comunes distintos de cero; no se cancelan sumandos de una suma.

Dividir por una fracción

\[\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc\]

Se invierte la segunda fracción. Debe ser distinta de cero; por tanto, además de los denominadores, su numerador tampoco puede ser cero.

Identificar el total de referencia

Una fracción de la cantidad inicial y una fracción de lo que queda no se aplican al mismo total. Calcula primero la cantidad que sirve de referencia en el segundo paso.

Taller 3 · operar con fracciones equivalentes

Simplificar no cambia el valor de una fracción. Comprueba que numerador y denominador se han dividido entre el mismo número distinto de cero.

Reducir a fracción irreducible

Simplifica:

\[ \frac{36}{48} \]

El máximo común divisor de 36 y 48 es 12.

\[\begin{aligned} \frac{36}{48}&=\frac{36\div12}{48\div12}\\ &=\frac34 \end{aligned}\]

3 y 4 no tienen divisores comunes mayores que 1: la fracción es irreducible.

Ordenar fracciones

Ordena de menor a mayor:

\[ \frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{1}{2} \]

Con denominador común 6, comparamos los numeradores.

\[\begin{aligned} \frac23&=\frac46\\ \frac12&=\frac36\\ \frac36&<\frac46<\frac56 \end{aligned}\]

Orden pedido: \(\frac12<\frac23<\frac56\).

Restar con denominador común

Calcula:

\[ \frac{7}{10} - \frac{2}{5} \]

\[\begin{aligned} \frac25&=\frac4{10}\\ \frac7{10}-\frac4{10}&=\frac3{10} \end{aligned}\]

Sumar con distinto denominador

Calcula:

\[ \frac{4}{9} + \frac{5}{6} \]

El mínimo común múltiplo de 9 y 6 es 18.

\[\begin{aligned} \frac49&=\frac8{18}\\ \frac56&=\frac{15}{18}\\ \frac8{18}+\frac{15}{18}&=\frac{23}{18} \end{aligned}\]

El resultado es mayor que 1 y ya es irreducible.

Simplificar factores de un producto

Calcula:

\[ \frac{5}{8} \cdot \frac{16}{25} \]

La simplificación afecta a factores del producto.

\[\begin{aligned} \frac58\cdot\frac{16}{25}&=\frac{5\cdot16}{8\cdot25}\\ &=\frac{1\cdot2}{1\cdot5}\\ &=\frac25 \end{aligned}\]

Dividir por una fracción no nula

Calcula:

\[ \frac{3}{7} \div \frac{9}{14} \]

El divisor \(\frac9{14}\) es distinto de cero; invertimos solo el divisor.

\[\begin{aligned} \frac37\div\frac9{14}&=\frac37\cdot\frac{14}{9}\\ &=\frac{1\cdot2}{1\cdot3}\\ &=\frac23 \end{aligned}\]

Comprobación: \(\frac23\cdot\frac9{14}=\frac37\).

Taller 4 · combinar fracciones sin perder la prioridad

La jerarquía es la misma que con enteros. Resuelve primero las agrupaciones y decide después si necesitas un denominador común o invertir una fracción.

Sumar y restar fracciones

Calcula:

\[ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \]

\[\begin{aligned} \frac12+\frac34-\frac18&=\frac48+\frac68-\frac18\\ &=\frac{4+6-1}{8}\\ &=\frac98 \end{aligned}\]

Un entero y dos fracciones

Calcula:

\[ 2 - \frac{3}{5} + \frac{1}{10} \]

\[\begin{aligned} 2-\frac35+\frac1{10}&=\frac{20}{10}-\frac6{10}+\frac1{10}\\ &=\frac{15}{10}\\ &=\frac32 \end{aligned}\]

Paréntesis antes de multiplicar

Calcula:

\[ \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{3}{5} \]

\[\begin{aligned} \frac23+\frac16&=\frac46+\frac16=\frac56\\ \frac56\cdot\frac35&=\frac{5\cdot3}{6\cdot5}\\ &=\frac12 \end{aligned}\]

Restar una suma de fracciones

Calcula:

\[ \frac{5}{6} - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \]

\[\begin{aligned} \frac13+\frac14&=\frac4{12}+\frac3{12}=\frac7{12}\\ \frac56-\frac7{12}&=\frac{10}{12}-\frac7{12}\\ &=\frac3{12}=\frac14 \end{aligned}\]

Divisor expresado como resta

Calcula:

\[ \frac{3}{4} \div \left(\frac{9}{8} - \frac{3}{8}\right) \]

\[\begin{aligned} \frac98-\frac38&=\frac68=\frac34 \end{aligned}\]

El divisor obtenido es \(\frac34\ne0\); la división está definida.

\[\begin{aligned} \frac34\div\frac34&=\frac34\cdot\frac43\\ &=1 \end{aligned}\]

Comprobación: \(1\cdot\frac34=\frac34\).

Paréntesis y división de fracciones

Calcula:

\[ \left(1 - \frac{2}{5}\right) \div \frac{3}{10} \]

\[\begin{aligned} 1-\frac25&=\frac55-\frac25=\frac35 \end{aligned}\]

Como \(\frac3{10}\ne0\), multiplicamos por su inversa.

\[\begin{aligned} \frac35\div\frac3{10}&=\frac35\cdot\frac{10}{3}\\ &=2 \end{aligned}\]

Comprobación: \(2\cdot\frac3{10}=\frac35\).

Taller 5 · distinguir la parte, el total y lo que queda

Asocia cada fracción con una cantidad concreta. Al terminar, las partes deben reconstruir el total y el resultado debe tener sentido en el contexto.

Parte leída y parte pendiente

Marta ha leído \(\frac{3}{8}\) de un libro por la mañana y \(\frac{1}{4}\) por la tarde. ¿Qué fracción ha leído en total? ¿Qué fracción le queda?

Las dos fracciones se refieren al libro completo y a partes leídas distintas.

Parte leída:

\[\begin{aligned} \frac38+\frac14&=\frac38+\frac28=\frac58 \end{aligned}\]

Parte pendiente:

\[\begin{aligned} 1-\frac58&=\frac88-\frac58=\frac38 \end{aligned}\]

Ha leído \(\frac58\) del libro y le queda \(\frac38\). Comprobación: \(\frac58+\frac38=1\).

Fracción de un grupo

En una excursión participan 36 alumnos. \(\frac{2}{3}\) van en autobús y el resto en coche. ¿Cuántos alumnos van en autobús? ¿Cuántos van en coche?

Autobús:

\[\begin{aligned} \frac23\cdot36\,\mathrm{alumnos}&=2\cdot12\,\mathrm{alumnos}\\ &=24\,\mathrm{alumnos} \end{aligned}\]

Coche:

\[\begin{aligned} 36\,\mathrm{alumnos}-24\,\mathrm{alumnos}&=12\,\mathrm{alumnos} \end{aligned}\]

Comprobación: \(24+12=36\) alumnos.

Fracción de un volumen

Una botella contiene \(1,5\) L de agua. Se beben \(\frac{2}{3}\) del contenido. ¿Cuántos litros se han bebido?

La fracción multiplica el volumen inicial.

\[\begin{aligned} 1{,}5\,\mathrm{L}&=\frac32\,\mathrm{L}\\ \frac23\cdot\frac32\,\mathrm{L}&=1\,\mathrm{L} \end{aligned}\]

Se ha bebido 1 L. Es menor que los 1,5 L iniciales; quedan 0,5 L.

Dos partes del total inicial

En una caja hay 48 bombones. Ana come \(\frac{1}{4}\) y Luis come \(\frac{1}{3}\) de los bombones iniciales. ¿Cuántos bombones quedan?

Las dos fracciones se aplican a los 48 bombones iniciales.

\[\begin{aligned} \frac14\cdot48\,\mathrm{bombones}&=12\,\mathrm{bombones}\\ \frac13\cdot48\,\mathrm{bombones}&=16\,\mathrm{bombones}\\ 48\,\mathrm{bombones}-12\,\mathrm{bombones}-16\,\mathrm{bombones}&=20\,\mathrm{bombones} \end{aligned}\]

Quedan 20 bombones. Comprobación: \(12+16+20=48\).

Tiempo de estudio y tiempo libre

Un alumno dedica \(\frac{2}{5}\) de la tarde a estudiar Matemáticas y \(\frac{1}{3}\) a estudiar Inglés. ¿Qué fracción de la tarde dedica a estudiar? ¿Qué fracción le queda libre?

Las dos fracciones corresponden a la misma tarde, en periodos distintos; el tiempo restante queda libre.

Tiempo de estudio:

\[\begin{aligned} \frac25+\frac13&=\frac6{15}+\frac5{15}=\frac{11}{15} \end{aligned}\]

Tiempo libre:

\[\begin{aligned} 1-\frac{11}{15}&=\frac4{15} \end{aligned}\]

Estudia \(\frac{11}{15}\) de la tarde y le queda libre \(\frac4{15}\). Comprobación: \(\frac{11}{15}+\frac4{15}=1\).

Media receta

Una receta necesita \(\frac{3}{4}\) kg de harina. Queremos hacer la mitad de la receta. ¿Cuánta harina necesitamos?

Hacer media receta reduce a la mitad todas las cantidades.

\[\begin{aligned} \frac12\cdot\frac34\,\mathrm{kg}&=\frac38\,\mathrm{kg} \end{aligned}\]

Se necesitan \(\frac38\) kg de harina. Comprobación: \(2\cdot\frac38=\frac34\) kg.

Consumo y resto de un depósito

Un depósito tiene 120 L de agua. Se consumen \(\frac{3}{5}\). ¿Cuántos litros se consumen? ¿Cuántos quedan?

Los \(\frac35\) se refieren a los 120 L iniciales.

Consumo:

\[\begin{aligned} \frac35\cdot120\,\mathrm{L}&=3\cdot24\,\mathrm{L}\\ &=72\,\mathrm{L} \end{aligned}\]

Resto:

\[\begin{aligned} 120\,\mathrm{L}-72\,\mathrm{L}&=48\,\mathrm{L} \end{aligned}\]

Se consumen 72 L y quedan 48 L. Comprobación: \(72+48=120\) L.

Suma de gastos sobre los ahorros iniciales

Laura gasta \(\frac{2}{7}\) de sus ahorros iniciales en un libro y \(\frac{3}{14}\) en material escolar. ¿Qué fracción de sus ahorros iniciales ha gastado?

Ambos gastos son partes distintas de los ahorros iniciales.

\[\begin{aligned} \frac27+\frac3{14}&=\frac4{14}+\frac3{14}\\ &=\frac7{14}=\frac12 \end{aligned}\]

Ha gastado la mitad de sus ahorros iniciales.

Localiza la primera igualdad incorrecta

No basta con sustituir la respuesta final. Señala el primer paso que deja de ser válido, explica qué regla se ha aplicado mal y rehace el cálculo desde ese punto.

Corrige 1base

Primer paso inválido: restar un negativo

Se propone esta resolución de una resta de enteros:

\[\begin{aligned}\text{(1)}\quad -6-(-13)&=-6-13 \\ \text{(2)}\quad&=-19\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) es el primero inválido: al restar −13 hay que sumar su opuesto, que es 13.

\[\begin{aligned}-6-(-13)&=-6+13 \\ &=7\end{aligned}\]

Comprobación: al resultado de la resta le sumamos el número restado.

\[\begin{aligned}7+(-13)&=-6\end{aligned}\]

Corrige 2base

Primer paso inválido: el producto de dos negativos

Se propone este producto de enteros negativos:

\[\begin{aligned}\text{(1)}\quad (-9)\cdot(-4)&=-(9\cdot4) \\ \text{(2)}\quad&=-36\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) asigna un signo negativo al producto de dos negativos. Ese producto es positivo.

\[\begin{aligned}(-9)\cdot(-4)&=9\cdot4 \\ &=36\end{aligned}\]

Comprobación: dividimos entre el factor −4, que no es cero.

\[\begin{aligned}36\div(-4)&=-9\end{aligned}\]

Corrige 3base

Primer paso inválido: restar antes de multiplicar

Una propuesta de resolución cambia así una expresión sin paréntesis:

\[\begin{aligned}\text{(1)}\quad 28-4\cdot5+6&=24\cdot5+6 \\ \text{(2)}\quad&=126\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) resta 28 − 4 antes de hacer el producto. La multiplicación tiene prioridad.

\[\begin{aligned}28-4\cdot5+6&=28-20+6 \\ &=8+6 \\ &=14\end{aligned}\]

Comprobación: reunimos los sumandos positivos y restamos el producto ya calculado.

\[\begin{aligned}(28+6)-20&=34-20=14\end{aligned}\]

Corrige 4base

Primer paso inválido: multiplicar antes de dividir

Se propone esta resolución de una división seguida de una multiplicación:

\[\begin{aligned}\text{(1)}\quad 72\div6\cdot2&=72\div12 \\ \text{(2)}\quad&=6\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) cambia la agrupación. Multiplicación y división tienen la misma prioridad y se hacen de izquierda a derecha cuando no hay paréntesis.

\[\begin{aligned}72\div6\cdot2&=12\cdot2 \\ &=24\end{aligned}\]

Comprobación: deshacemos la multiplicación y luego la división; sus divisores no son cero.

\[\begin{aligned}24\div2&=12 \\ 12\cdot6&=72\end{aligned}\]

Corrige 5base

Primer paso inválido: sumar denominadores

Se propone esta suma de fracciones:

\[\begin{aligned}\text{(1)}\quad\frac{3}{10}+\frac{2}{15}&=\frac{5}{25} \\ \text{(2)}\quad&=\frac{1}{5}\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) suma denominadores. Para sumar hay que expresar las fracciones como partes del mismo tamaño.

\[\begin{aligned}\frac{3}{10}+\frac{2}{15}&=\frac{9}{30}+\frac{4}{30} \\ &=\frac{13}{30}\end{aligned}\]

Comprobación: restamos uno de los sumandos.

\[\begin{aligned}\frac{13}{30}-\frac{2}{15}&=\frac{13-4}{30} \\ &=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\end{aligned}\]

Corrige 6base

Primer paso inválido: invertir el dividendo

Se propone este cociente de fracciones:

\[\begin{aligned}\text{(1)}\quad\frac{4}{11}\div\frac{6}{11}&=\frac{11}{4}\cdot\frac{6}{11} \\ \text{(2)}\quad&=\frac{3}{2}\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) invierte el dividendo. El divisor es 6/11 y no es cero. Se multiplica por su inversa, 11/6.

\[\begin{aligned}\frac{4}{11}\div\frac{6}{11}&=\frac{4}{11}\cdot\frac{11}{6} \\ &=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}\]

Comprobación: el cociente multiplicado por el divisor recupera el dividendo.

\[\begin{aligned}\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{11}&=\frac{12}{33}=\frac{4}{11}\end{aligned}\]

Corrige 7modelo

Primer paso inválido: cambiar el total inicial

De una cinta de 20 m se cortan \(\frac{3}{10}\) de su longitud inicial y después \(\frac{1}{4}\) de esa misma longitud inicial. Se pregunta cuánto queda. Esta es una propuesta:

\[\begin{aligned}\text{(1) Primer corte}&=\frac{3}{10}\cdot20=6\ \text{m} \\ \text{(2) Segundo corte}&=\frac{1}{4}\cdot(20-6)=\frac{7}{2}\ \text{m} \\ \text{(3) Queda}&=20-6-\frac{7}{2}=\frac{21}{2}\ \text{m}\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) es correcto. El primer paso inválido es (2): el segundo corte también se refiere a los 20 m iniciales, aunque se realice después.

\[\begin{aligned}\text{Segundo corte}&=\frac{1}{4}\cdot20=5\ \text{m} \\ \text{Longitud restante}&=20-6-5=9\ \text{m}\end{aligned}\]

Comprobación: los dos cortes y lo restante reconstruyen la longitud inicial.

\[\begin{aligned}6+5+9&=20\ \text{m}\end{aligned}\]

Corrige 8transferencia

Primer paso inválido: tratar el resto como total

Un archivo clasifica por la mañana \(\frac{1}{6}\) de sus carpetas iniciales y por la tarde \(\frac{2}{5}\) de las que quedaban. Al cerrar hay 27 carpetas sin clasificar. Se pregunta cuántas había al principio y cuántas se clasificaron en cada turno. Se propone:

\[\begin{aligned}\text{(1) Tras la mañana}&=\frac{5}{6}\text{ del total} \\ \text{(2) Al cerrar}&=\frac{5}{6}-\frac{2}{5}=\frac{13}{30}\text{ del total} \\ \text{(3) Total inicial}&=27\div\frac{13}{30}=\frac{810}{13}\end{aligned}\]

Localiza el primer paso inválido de la propuesta. Corrígelo, explica la regla que se ha aplicado mal y verifica la respuesta.

Ver solución y comprobación

El paso (1) es correcto. El primer paso inválido es (2): los 2/5 se aplican a lo que quedaba, no al total inicial. Tras la tarde se conserva 3/5 del resto de la mañana.

\[\begin{aligned}\text{Fracción final}&=\frac{5}{6}\cdot\left(1-\frac{2}{5}\right) \\ &=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1}{2} \\ \text{Total inicial}&=27\div\frac{1}{2}=54 \\ \text{Mañana}&=\frac{1}{6}\cdot54=9 \\ \text{Tarde}&=\frac{2}{5}\cdot(54-9)=18\end{aligned}\]

Los recuentos de carpetas deben ser enteros no negativos: 810/13 no puede ser el total.

Comprobación de los tres grupos y de la parte que quedó:

\[\begin{aligned}9+18+27&=54 \\ \frac{27}{54}&=\frac{1}{2}\end{aligned}\]

Práctica para comprobar la reparación

Resuelve antes de abrir la solución. En la primera tanda hay una pista; la segunda mezcla habilidades y exige elegir el procedimiento.

Consolidación · ejercicios 1 a 8

Ejercicio 1Consolidación

Restar un negativo

Calcula y conserva los signos en cada paso.

\[\begin{aligned}-17-(-9)+6\end{aligned}\]

Ver una pista

Reescribe primero −(−9) como +9; después suma de izquierda a derecha.

Ver solución y comprobación

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto.

\[\begin{aligned}-17-(-9)+6&=-17+9+6\\&=-8+6\\&=-2\end{aligned}\]

Las dos cantidades positivas suman 15; faltan 2 unidades para compensar el −17.

Ejercicio 2Consolidación

Productos y cocientes antes que restas

Calcula.

\[\begin{aligned}42\div(-7)-(-4)\cdot3\end{aligned}\]

Ver una pista

Calcula por separado el cociente y el producto antes de hacer la resta.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}42\div(-7)&=-6\\(-4)\cdot3&=-12\\42\div(-7)-(-4)\cdot3&=-6-(-12)\\&=6\end{aligned}\]

La última resta añade 12; por eso el resultado es mayor que −6.

Ejercicio 3Consolidación

Qué número queda elevado

Calcula e indica por qué los dos primeros términos se anulan.

\[\begin{aligned}-5^2+(-5)^2-(-2)^3\end{aligned}\]

Ver una pista

Escribe primero las tres potencias con su signo; los paréntesis deciden cuál es la base.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-5^2&=-25\\(-5)^2&=25\\(-2)^3&=-8\\-5^2+(-5)^2-(-2)^3&=-25+25-(-8)\\&=8\end{aligned}\]

En el primer término, el signo menos queda fuera de la potencia. En el segundo, la base completa es −5. Son números opuestos.

Ejercicio 4Consolidación

Ordenar fracciones negativas

Ordena de menor a mayor sin convertir a decimal.

\[\begin{aligned}-\frac56,\quad-\frac79,\quad-\frac34\end{aligned}\]

Ver una pista

Convierte las tres fracciones a treintaiseisavos y conserva los signos de sus numeradores.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-\frac56&=-\frac{30}{36}\\-\frac79&=-\frac{28}{36}\\-\frac34&=-\frac{27}{36}\\-30&<-28<-27\\-\frac56&<-\frac79<-\frac34\end{aligned}\]

Con el mismo denominador positivo, comparamos los numeradores enteros.

Ejercicio 5Consolidación

Una suma con signo negativo

Calcula y da una fracción irreducible.

\[\begin{aligned}-\frac7{12}+\frac5{18}\end{aligned}\]

Ver una pista

El mínimo común múltiplo de 12 y 18 es 36. Cambia el tamaño de las partes antes de sumar.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-\frac7{12}+\frac5{18}&=-\frac{21}{36}+\frac{10}{36}\\&=-\frac{11}{36}\end{aligned}\]

El resultado es negativo: se añade una cantidad positiva menor que la cantidad negativa inicial en valor absoluto.

Ejercicio 6Consolidación

Dividir una fracción negativa

Calcula. Comprueba el cociente mediante una multiplicación.

\[\begin{aligned}-\frac9{14}\div\frac37\end{aligned}\]

Ver una pista

El signo del cociente será negativo. Invierte únicamente la fracción por la que divides.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-\frac9{14}\div\frac37&=-\frac9{14}\cdot\frac73\\&=-\frac{3}{2}\end{aligned}\]

Comprobación: cociente por divisor debe recuperar el dividendo.

\[\begin{aligned}-\frac32\cdot\frac37&=-\frac9{14}\end{aligned}\]

Ejercicio 7Consolidación

Primero el paréntesis

Resuelve y simplifica.

\[\begin{aligned}\left(-\frac23+\frac5{12}\right)\div\left(-\frac3{10}\right)\end{aligned}\]

Ver una pista

Termina la suma del paréntesis antes de invertir el divisor; la suma da una fracción negativa.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-\frac23+\frac5{12}&=-\frac8{12}+\frac5{12}=-\frac14\\-\frac14\div\left(-\frac3{10}\right)&=-\frac14\cdot\left(-\frac{10}3\right)\\&=\frac56\end{aligned}\]

El cociente es positivo porque dividimos dos números negativos.

Ejercicio 8Consolidación

Cinta para etiquetas

Una cinta mide \(\frac56\) m. Se corta un tramo de \(\frac13\) m para un rótulo. Con el resto se hacen tiras de \(\frac1{12}\) m. ¿Cuántas tiras completas salen? ¿Sobra cinta?

Ver una pista

Resta primero el tramo del rótulo. Después pregunta cuántas veces cabe 1/12 m en lo que queda.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}L_{\text{resto}}&=\frac56-\frac13=\frac12\text{ m}\\N_{\text{tiras}}&=\frac12\div\frac1{12}=\frac12\cdot12=6\\L_{\text{sobrante}}&=\frac12-6\cdot\frac1{12}=0\text{ m}\end{aligned}\]

Salen 6 tiras completas y no sobra cinta. Reunimos los tramos para comprobar la longitud inicial.

\[\begin{aligned}\frac13+6\cdot\frac1{12}&=\frac13+\frac12=\frac56\text{ m}\end{aligned}\]

Práctica mixta y retos · ejercicios 9 a 16

Ejercicio 9Tipo examen

Prioridad y orden de izquierda a derecha

Calcula. Respeta el orden entre la división y la multiplicación consecutivas.

\[\begin{aligned}63\div(-9)\cdot(-2)-[5-3\cdot(2-6)]\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}63\div(-9)\cdot(-2)&=(-7)\cdot(-2)=14\\5-3\cdot(2-6)&=5-3\cdot(-4)=17\\63\div(-9)\cdot(-2)-[5-3\cdot(2-6)]&=14-17=-3\end{aligned}\]

Multiplicar y dividir tienen la misma prioridad: el primer tramo se resuelve de izquierda a derecha.

Ejercicio 10Tipo examen

Una potencia y un cociente con signo

Calcula sin cambiar el alcance de la potencia.

\[\begin{aligned}-2^4+\left[-3\cdot(5-9)\right]\div(-2)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-2^4&=-16\\\left[-3\cdot(5-9)\right]\div(-2)&=\left[(-3)\cdot(-4)\right]\div(-2)\\&=12\div(-2)=-6\\-2^4+\left[-3\cdot(5-9)\right]\div(-2)&=-16-6=-22\end{aligned}\]

El signo del primer término es negativo porque la base de la potencia es 2.

Ejercicio 11Tipo examen

Dos ramas antes de sumar

Calcula y reduce el resultado.

\[\begin{aligned}-\frac58\div\left(-\frac{15}{16}\right)+\frac13\cdot\left(2-\frac74\right)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-\frac58\div\left(-\frac{15}{16}\right)&=-\frac58\cdot\left(-\frac{16}{15}\right)=\frac23\\\frac13\cdot\left(2-\frac74\right)&=\frac13\cdot\frac14=\frac1{12}\\\frac23+\frac1{12}&=\frac8{12}+\frac1{12}=\frac34\end{aligned}\]

Los dos sumandos finales son positivos; el resultado queda entre 2/3 y 1.

Ejercicio 12Tipo examen

Dividir dos diferencias negativas

Resuelve sin aproximar.

\[\begin{aligned}\left(\frac34-\frac56\right)\div\left(\frac12-\frac78\right)-\left(-\frac29\right)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}\frac34-\frac56&=\frac9{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}\\\frac12-\frac78&=\frac48-\frac78=-\frac38\\-\frac1{12}\div\left(-\frac38\right)&=-\frac1{12}\cdot\left(-\frac83\right)=\frac29\\\frac29-\left(-\frac29\right)&=\frac49\end{aligned}\]

El divisor es −3/8, distinto de cero; la división está definida.

Ejercicio 13Reto

Reconstruir una longitud inicial

De una bobina se retiran \(\frac74\) m. Ese corte representa \(\frac38\) de la longitud inicial. ¿Cuánto medía la bobina? ¿Cuánta cinta conserva?

Ver solución y comprobación

Conocemos tres octavas partes; primero hallamos una octava parte.

\[\begin{aligned}\frac18\text{ del total}&=\frac74\div3=\frac7{12}\text{ m}\\L_{\text{inicial}}&=8\cdot\frac7{12}=\frac{14}3\text{ m}\\L_{\text{conservada}}&=\frac{14}3-\frac74=\frac{56-21}{12}=\frac{35}{12}\text{ m}\end{aligned}\]

Comprobamos la fracción retirada y la longitud que queda.

\[\begin{aligned}\frac38\cdot\frac{14}3&=\frac74\text{ m}\\\frac58\cdot\frac{14}3&=\frac{35}{12}\text{ m}\end{aligned}\]

Ejercicio 14Reto

¿De qué longitud se toma la fracción?

Un rollo tiene \(\frac72\) m de tela. Primero se corta \(\frac27\) de la longitud inicial y después \(\frac35\) de lo que queda. Calcula ambos cortes y la tela final. ¿Cuánta tela quedaría si el segundo corte fuera \(\frac35\) de la longitud inicial?

Ver solución y comprobación

La referencia del segundo corte es la tela que queda tras el primero.

\[\begin{aligned}L_1&=\frac27\cdot\frac72=1\text{ m}\\L_{\text{tras 1}}&=\frac72-1=\frac52\text{ m}\\L_2&=\frac35\cdot\frac52=\frac32\text{ m}\\L_{\text{final}}&=\frac52-\frac32=1\text{ m}\end{aligned}\]

Si se cambiara la referencia al total inicial:

\[\begin{aligned}L'_2&=\frac35\cdot\frac72=\frac{21}{10}\text{ m}\\L'_{\text{final}}&=\frac72-1-\frac{21}{10}=\frac25\text{ m}\end{aligned}\]

Son resultados distintos: tomar la fracción del resto produce un corte menor.

\[\begin{aligned}1+\frac32+1&=\frac72\text{ m}\end{aligned}\]

Ejercicio 15Reto

Comprobar un reparto

Una caja contiene 24 rotuladores, cada uno de un solo color. Su etiqueta afirma que \(\frac58\) son azules y \(\frac7{12}\) son negros. ¿Son compatibles los datos? Si se mantiene el dato de los azules, ¿cuál es la mayor fracción del total que podría ser negra?

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}N_{\text{azules}}&=\frac58\cdot24=15\\N_{\text{negros según etiqueta}}&=\frac7{12}\cdot24=14\\15+14&=29>24\end{aligned}\]

Los dos recuentos son enteros, pero no caben en la caja: los colores no pueden solaparse.

\[\begin{aligned}N_{\text{negros máximo}}&=24-15=9\\f_{\text{negros máximo}}&=\frac9{24}=\frac38\end{aligned}\]

El máximo se alcanza si los 9 rotuladores restantes son negros.

Ejercicio 16Reto

El cociente no siempre cuenta piezas completas

Un rollo mide 5 m. Se corta un extremo dañado que representa \(\frac1{10}\) de su longitud; el resto queda en una sola pieza. Cada banderín requiere una tira de \(\frac7{12}\) m y no se pueden unir trozos. ¿Cuál es el mayor número de banderines completos? ¿Cuánta tela útil sobrará?

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}L_{\text{útil}}&=5\cdot\left(1-\frac1{10}\right)=\frac92\text{ m}\\\frac92\div\frac7{12}&=\frac92\cdot\frac{12}7=\frac{54}7=7+\frac57\\7\cdot\frac7{12}&=\frac{49}{12}\text{ m}\\L_{\text{sobrante}}&=\frac92-\frac{49}{12}=\frac5{12}\text{ m}\end{aligned}\]

Se pueden hacer 7 banderines. La parte fraccionaria del cociente no cuenta como otro banderín completo.

\[\begin{aligned}8\cdot\frac7{12}&=\frac{14}3>\frac92\\\frac5{12}&<\frac7{12}\end{aligned}\]

Ocho exigirían más tela de la disponible; el sobrante no basta para uno más.

Dos simulacros para resolver y corregir

Dos simulacros de elaboración propia, con seis preguntas y diez puntos cada uno. A permite comprobar la base; B añade decisiones y transferencia. Haz primero el intento completo y consulta después las soluciones.

Autocorrección orientativa: reserva la mitad de la puntuación al procedimiento, una cuarta parte al resultado y otra cuarta parte a responder y comprobar. Reparte proporcionalmente los apartados de cada pregunta. Un error aritmético no invalida un razonamiento posterior coherente.

Simulacro A

A1tipo examen · 1 punto

Sumas y restas de enteros

Calcula:

\[ -12 + 5 - 8 + 20 \]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned} -12+5-8+20&=-7-8+20\\ &=-15+20\\ &=5 \end{aligned}\]

Comprobación por signos: \((5+20)-(12+8)=25-20=5\).

A2tipo examen · 1,5 puntos

Producto y cociente con signos

Calcula:

\[ 4 \cdot (-6) - 30 \div (-5) \]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned} 4\cdot(-6)&=-24\\ 30\div(-5)&=-6\\ -24-(-6)&=-24+6=-18 \end{aligned}\]

Comprobación de la resta: \(-18+(-6)=-24\), el minuendo.

A3tipo examen · 1,5 puntos

Tres fracciones con denominador común

Calcula:

\[ \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned} \frac35+\frac12-\frac1{10}&=\frac6{10}+\frac5{10}-\frac1{10}\\ &=\frac{10}{10}=1 \end{aligned}\]

A4tipo examen · 2 puntos

Paréntesis y producto de fracciones

Calcula:

\[ \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{8}\right) \cdot \frac{4}{5} \]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned} \frac34-\frac18&=\frac68-\frac18=\frac58\\ \frac58\cdot\frac45&=\frac{5\cdot4}{8\cdot5}=\frac12 \end{aligned}\]

Comprobación: \(\frac12\div\frac45=\frac58\), que recupera el valor del paréntesis.

A5tipo examen · 2 puntos

Fracción de una clase

En una clase de 30 alumnos, \(\frac{2}{5}\) practican baloncesto. ¿Cuántos alumnos practican baloncesto?

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned} \frac25\cdot30\,\mathrm{alumnos}&=2\cdot6\,\mathrm{alumnos}\\ &=12\,\mathrm{alumnos} \end{aligned}\]

Practican baloncesto 12 alumnos; \(12\div30=\frac25\).

A6tipo examen · 2 puntos

Parte de una tarea y parte pendiente

Un alumno ha hecho \(\frac{5}{12}\) de una tarea por la mañana y \(\frac{1}{3}\) por la tarde. ¿Qué fracción ha hecho? ¿Qué fracción le falta?

Ver solución y comprobación

Las dos fracciones se refieren a la tarea completa y a partes hechas distintas.

Parte terminada:

\[\begin{aligned} \frac5{12}+\frac13&=\frac5{12}+\frac4{12}\\ &=\frac9{12}=\frac34 \end{aligned}\]

Parte pendiente:

\[\begin{aligned} 1-\frac34&=\frac14 \end{aligned}\]

Ha hecho \(\frac34\) de la tarea y le falta \(\frac14\). Comprobación: \(\frac34+\frac14=1\).

Simulacro B

B1Simulacro B · 1 punto

Signos dentro de un corchete

Calcula.

\[\begin{aligned}18-[7-3\cdot(-4)]\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}3\cdot(-4)&=-12\\7-(-12)&=19\\18-[7-3\cdot(-4)]&=18-19=-1\end{aligned}\]

El corchete vale 19; al restarlo de 18 se obtiene un número negativo.

B2Simulacro B · 1,5 puntos

Potencia y divisor compuesto

Calcula respetando el orden de las operaciones.

\[\begin{aligned}(-2)^4-48\div[3\cdot(-2)+2]\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}(-2)^4&=16\\3\cdot(-2)+2&=-6+2=-4\\16-48\div(-4)&=16-(-12)=28\end{aligned}\]

El divisor es −4, distinto de cero. La base negativa elevada a un exponente par da 16.

B3Simulacro B · 1,5 puntos

Fracciones negativas y división

Calcula y reduce.

\[\begin{aligned}\left(-\frac7{10}+\frac14\right)\div\left(-\frac35\right)\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}-\frac7{10}+\frac14&=-\frac{14}{20}+\frac5{20}=-\frac9{20}\\-\frac9{20}\div\left(-\frac35\right)&=-\frac9{20}\cdot\left(-\frac53\right)\\&=\frac34\end{aligned}\]

Comprobación del cociente:

\[\begin{aligned}\frac34\cdot\left(-\frac35\right)&=-\frac9{20}\end{aligned}\]

B4Simulacro B · 2 puntos

Una resta exterior cambia el signo

Calcula exactamente y decide si el resultado supera la unidad.

\[\begin{aligned}\frac34-\left[\left(\frac56-\frac13\right)\div\left(-\frac25\right)\right]\cdot\frac23\end{aligned}\]

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}\frac56-\frac13&=\frac12\\\frac12\div\left(-\frac25\right)&=-\frac54\\-\frac54\cdot\frac23&=-\frac56\\\frac34-\left(-\frac56\right)&=\frac9{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}\\\frac{19}{12}&>\frac{12}{12}=1\end{aligned}\]

Supera la unidad: la resta exterior añade 5/6 a 3/4.

B5Simulacro B · 2 puntos

Montar un mosaico por etapas

Un mosaico tiene 84 piezas. Ya se ha colocado \(\frac5{12}\) del total. Un segundo equipo coloca \(\frac27\) de las que faltaban. Calcula las piezas colocadas por el segundo equipo, las que faltan al final y qué fracción del mosaico sigue pendiente.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}N_{\text{ya colocadas}}&=\frac5{12}\cdot84=35\\N_{\text{faltaban}}&=84-35=49\\N_{\text{segundo equipo}}&=\frac27\cdot49=14\\N_{\text{pendientes}}&=49-14=35\\f_{\text{pendiente}}&=\frac{35}{84}=\frac5{12}\end{aligned}\]

El segundo equipo trabaja sobre las 49 piezas pendientes, no sobre las 84 iniciales.

\[\begin{aligned}35+14+35&=84\end{aligned}\]

B6Simulacro B · 2 puntos

Un informe que debe respetar el recuento

Se ha completado \(\frac7{10}\) de un encargo de etiquetas y faltan 18. Halla el total y cuántas están terminadas. Otro informe mantiene \(\frac7{10}\) completadas, pero dice que faltan 19. ¿Podría describir un encargo con un número entero de etiquetas? Justifica.

Ver solución y comprobación

\[\begin{aligned}f_{\text{pendiente}}&=1-\frac7{10}=\frac3{10}\\\frac1{10}\text{ del encargo}&=18\div3=6\text{ etiquetas}\\N_{\text{total}}&=10\cdot6=60\\N_{\text{terminadas}}&=7\cdot6=42\\42+18&=60\end{aligned}\]

En el segundo informe, tres décimas partes serían 19 etiquetas:

\[\begin{aligned}N'_{\text{total}}&=19\div\frac3{10}=\frac{190}3=63+\frac13\end{aligned}\]

Ese informe es incompatible con un recuento de etiquetas completas: el total no sería entero.

Registra el error y comprueba el reintento

Anota el paso que has corregido. Repite una tarea equivalente sin mirar y explica por qué ahora es válida.

Seguimiento por habilidades
Bloque	Primer intento	Error localizado	Reintento	Qué debo comprobar
Signos y enteros
Jerarquía
Equivalencia y simplificación
Operaciones con fracciones
Parte, total y restante
Práctica mixta
Simulacro A
Simulacro B

Una revisión breve antes de entregar

Signo y operación

Revisa cada resta de un negativo y cada producto. Si agrupas positivos y negativos, mantén el signo de todos los términos.

Prioridad

Los productos no esperan a las sumas. Multiplicación y división tienen la misma prioridad y se resuelven de izquierda a derecha.

Fracción equivalente

Si cambias el denominador, comprueba el factor usado en el numerador. Antes de sumar, todas las fracciones deben contar partes del mismo tamaño.

División

Comprueba cuál es el divisor y que no vale cero. Multiplicar el cociente por el divisor debe devolver el dividendo.

Parte y total

Escribe la cantidad a la que se aplica cada fracción. Si se pide un número de personas u objetos completos, la respuesta debe ser entera.

Respuesta final

Simplifica cuando sea posible, conserva la unidad y responde a todas las preguntas. Contrasta si una parte puede superar el total en ese contexto.

Continúa solo donde necesites más explicación

Unidad completa · enteros y fraccionesPara estudiar los conceptos desde el principio y seguir el desarrollo general del tema.Profundización · orden de las operacionesPara trabajar la jerarquía como dificultad principal, con su banco específico.Apoyo · potencia, base y signoPara distinguir la base negativa del signo situado fuera de la potencia.

Apoyo para preparar la recuperación

Si necesitas revisar el procedimiento con seguimiento, consulta las clases online de Matemáticas para ESO de Marlu Educativa. Indica el curso, los bloques que te cuestan, la fecha del examen y la disponibilidad fuera del horario escolar. La incorporación se valora según las necesidades del alumno y el horario disponible.

Consultar clases online para ESO

Preguntas frecuentes

¿Por dónde empiezo si fallo en varios bloques?

Empieza por el diagnóstico. Repara primero signos y prioridad si esos errores impiden operar con fracciones. Después trabaja la dificultad concreta y compruébala con un ejercicio sin ayuda.

¿Tengo que hacer los ochenta ejercicios?

No. Las ochenta actividades incluyen diagnóstico, modelos, corrección de errores, práctica y simulacros. Selecciona según los bloques que necesites y evita repetir mecánicamente lo que ya sabes justificar.

¿Qué diferencia hay con la unidad completa?

La unidad completa desarrolla el tema. Este cuaderno organiza la recuperación: localizar un fallo, revisar el procedimiento y comprobarlo con otra tarea. Las explicaciones generales se consultan en el recurso enlazado.

¿Cuándo puedo pasar a un simulacro?

Cuando puedas resolver y explicar las tareas de los bloques que te costaban sin consultar el modelo. El simulacro permite detectar qué debes seguir revisando; no garantiza por sí solo el resultado de un examen del centro.

¿Sirve también al empezar 2.º ESO?

Sí, como repaso de la base de enteros y fracciones. No sustituye el programa completo de 2.º ESO ni incorpora todos sus contenidos.

¿Son exámenes oficiales?

No. Los modelos, actividades y simulacros son de elaboración propia de Marlu Educativa. La puntuación es orientativa y puede ajustarla el profesor.

¿Cuánto tiempo necesito para recuperar la base?

Depende del punto de partida y de los bloques que debas reparar. La propuesta de siete sesiones organiza el trabajo, pero no fija una duración universal ni promete aprobar en una semana.

¿Qué conserva el PDF?

Las ochenta actividades con sus soluciones: doce preguntas de diagnóstico, treinta y dos modelos, ocho errores para corregir, dieciséis ejercicios y dos simulacros de seis preguntas. Incluye método, rutas, seguimiento y enlaces útiles.