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Trigonometría 4 ESO y 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

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Trigonometría 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

Marlu Educativa · Matemáticas I · 1.º de Bachillerato

Trigonometría 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

Razones trigonométricas, cuadrantes, resolución de triángulos y medida indirecta, con una primera entrada en identidades y ecuaciones.

70 modelos completosdesde la base de 4.º ESO hasta examen de 1.º
10 ejercicios de prácticacon solución desarrollada y comprobada
8 figuras didácticasy 4 modelos de examen en marrón editorial suave
Ver índice

Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 13 de agosto de 2026.

La trigonometría se vuelve manejable cuando cada dato encuentra su lugar en un dibujo. La fórmula llega después: primero se decide qué triángulo aparece, qué lados se conocen y qué medida tiene sentido obtener.

El comienzo recupera la base necesaria de 4.º ESO. A partir de ahí, el cuaderno entra de lleno en Matemáticas I con circunferencia trigonométrica, teoremas del seno y del coseno, medida indirecta y una introducción final a identidades y ecuaciones.

Diagnóstico inicial

Estas cinco cuestiones permiten localizar el primer punto que conviene reforzar antes de avanzar.

A. Razones

Catetos \(3\) y \(4\). Razones del ángulo opuesto a \(3\).

B. Cuadrante

Signos de seno, coseno y tangente en el II cuadrante.

C. Radianes

Convertir \(150^\circ\).

D. Triángulo

Dos lados y el ángulo comprendido. ¿Qué teorema?

E. Ecuación

Resolver \(\sin x=1/2\) en una vuelta.

Ver corrección y ruta recomendada

A. \(3/5\), \(4/5\), \(3/4\). B. \(+\), \(-\), \(-\). C. \(5\pi/6\). D. Teorema del coseno. E. \(30^\circ\) y \(150^\circ\).

Si A falla, empieza por el bloque 1. Si fallan B o C, ve al bloque 2. D se desarrolla en el bloque 4 y E en el bloque 7.

Qué se trabaja y dónde termina

Base geométrica

Razones trigonométricas, ángulos, radianes, circunferencia unidad, signos y relaciones entre razones.

Resolución y medida

Triángulos rectángulos y oblicuángulos, teoremas del seno y del coseno, áreas, alturas, distancias inaccesibles y doble observación.

Primeros pasos algebraicos

Una selección introductoria de identidades, simplificaciones y ecuaciones en intervalos concretos.

Hasta dónde llega este cuaderno. La periodicidad se utiliza para comprender signos y resolver ecuaciones, pero la representación completa de las funciones trigonométricas se trabaja en Funciones y gráficas. Cuando dos observaciones producen dos ecuaciones, el sistema se emplea solo como herramienta de cálculo: aquí se explica el planteamiento trigonométrico, no los métodos generales de resolución de sistemas.

Cómo elegir el procedimiento

1. DibujarMarca ángulos, lados conocidos, paralelas y perpendiculares.
2. ReconocerDecide si el triángulo es rectángulo u oblicuángulo.
3. CalcularElige la razón o el teorema que utiliza directamente los datos.
4. RevisarComprueba unidades, suma de ángulos, signos y tamaño del resultado.
Datos visiblesHerramienta naturalControl final
Dos catetosTangente o Pitágoras y razonesLa hipotenusa debe ser el lado mayor
Hipotenusa y un catetoSeno o cosenoLa razón queda entre \(-1\) y \(1\)
Dos lados y el ángulo comprendidoTeorema del cosenoEl lado mayor queda frente al ángulo mayor
Un lado con su opuesto y otro datoTeorema del senoRevisar el posible caso ambiguo
Dos visuales del mismo objetoDos ecuaciones con tangenteEl punto más cercano tiene mayor ángulo
IdentidadTransformar un solo miembroConservar las restricciones

Fórmulas y decisiones esenciales

ConceptoExpresiónLectura útil
Razones\(\sin\alpha=o/h\), \(\cos\alpha=c/h\), \(\tan\alpha=o/c\)Los catetos dependen del ángulo elegido
Identidad fundamental\(\sin^2x+\cos^2x=1\)Permite cambiar seno por coseno y al revés
Tangente\(\tan x=\sin x/\cos x\)Exige \(\cos x\ne0\)
Teorema del seno\(a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C\)Emparejar siempre lado y ángulo opuesto
Teorema del coseno\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)Generaliza el teorema de Pitágoras
Área\(\mathcal A=ab\sin C/2\)El ángulo debe estar comprendido entre los lados
Longitud de arco\(s=r\theta\)\(\theta\) debe expresarse en radianes
Circunferencia trigonométrica y signos por cuadrantesCircunferencia unidad con un ángulo del primer cuadrante, sus coordenadas coseno y seno y los signos correctos de las razones en cada cuadrante.P(cos α, sen α)cos αsen ααI + + +II + − −III − − +IV − + −
En cada cuadrante se indican, por este orden, los signos de seno, coseno y tangente.

70 modelos resueltos

  1. 1. En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 cm y 4 cm. Calcula seno, coseno y tangente del ángulo cuyo cateto opuesto mide 3 cm
  2. 2. Un ángulo mide \(30^\circ\) y su cateto opuesto mide 12 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto
  3. 3. Desde un punto situado a 25 m de una torre se observa su parte superior con un ángulo de \(40^\circ\). Calcula la altura
  4. 4. Una escalera de 6 m forma un ángulo de \(70^\circ\) con el suelo. Calcula la altura que alcanza y la distancia a la pared
  5. 5. Un árbol proyecta una sombra de 12 m. El ángulo de elevación del Sol es \(35^\circ\). Calcula la altura del árbol
  6. 6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9 cm y 12 cm. Calcula el ángulo opuesto al cateto de 9 cm
  7. 7. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 10 cm y un ángulo de \(53^\circ\). Calcula sus catetos
  8. 8. Una torre mide 18 m y estamos a 24 m de su base. Calcula el ángulo de elevación
  9. 9. Desde un acantilado de 50 m se observa una barca con un ángulo de depresión de \(25^\circ\). Calcula la distancia horizontal a la barca
  10. 10. Una rampa salva una altura de 1,2 m con una inclinación de \(8^\circ\). Calcula la longitud de la rampa
  11. 11. Pasa \(150^\circ\) a radianes
  12. 12. Pasa \(\frac{7\pi}{6}\) radianes a grados
  13. 13. Calcula \(\sin 120^\circ\), \(\cos 120^\circ\) y \(\tan 120^\circ\)
  14. 14. Reduce \(765^\circ\) a un ángulo entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\)
  15. 15. Calcula \(\sin(-30^\circ)\) y \(\cos(-30^\circ)\)
  16. 16. Si \(\cos \alpha=\frac{3}{5}\) y \(\alpha\) está en el cuarto cuadrante, calcula \(\sin \alpha\) y \(\tan \alpha\)
  17. 17. Si \(\sin \alpha=\frac{5}{13}\) y \(\alpha\) está en el segundo cuadrante, calcula \(\cos \alpha\) y \(\tan \alpha\)
  18. 18. Calcula la longitud de un arco de radio 6 cm y ángulo central \(\frac{2\pi}{3}\)
  19. 19. Anchura de un río con una medición perpendicular
  20. 20. Altura de un árbol y anchura de un río mediante dos tangentes
  21. 21. Desde un punto se ve una torre bajo \(45^\circ\). Al alejarse 20 m, se ve bajo \(30^\circ\). Calcula la altura de la torre
  22. 22. Desde un punto se ve la cima de un árbol con \(30^\circ\). Al acercarnos 10 m, se ve con \(45^\circ\). Calcula la altura
  23. 23. Desde un punto se ve una torre bajo \(60^\circ\). Desde otro punto 30 m más alejado se ve bajo \(30^\circ\). Calcula la altura
  24. 24. Dos observadores separados 50 m miran una torre situada entre ellos. Los ángulos de elevación son \(35^\circ\) y \(48^\circ\). Calcula la altura
  25. 25. Árbol roto: recuperar la altura original
  26. 26. Desde un balcón situado a 12 m de altura se observa un coche con un ángulo de depresión de \(37^\circ\). Calcula la distancia horizontal
  27. 27. Un cable de 20 m sujeta un poste formando \(65^\circ\) con el suelo. Calcula la altura del punto de sujeción y la distancia al poste
  28. 28. Altura de una montaña con cota del observador
  29. 29. Un dron está a 120 m en línea recta del observador y se ve con un ángulo de elevación de \(18^\circ\). Calcula su altura
  30. 30. Altura de un edificio y de su antena desde dos visuales
  31. 31. En un triángulo \(A=40^\circ\), \(B=65^\circ\) y \(a=10\) cm. Calcula \(C\), \(b\) y \(c\)
  32. 32. En un triángulo \(A=50^\circ\), \(a=12\) cm y \(b=9\) cm. Calcula \(B\) y \(C\)
  33. 33. Dos lados de un triángulo miden 7 cm y 9 cm, y el ángulo comprendido mide \(60^\circ\). Calcula el tercer lado
  34. 34. Un triángulo tiene lados 8 cm, 10 cm y 12 cm. Calcula el ángulo opuesto al lado de 12 cm
  35. 35. Dos lados de un triángulo miden 15 cm y 20 cm, y el ángulo comprendido mide \(35^\circ\). Calcula el tercer lado
  36. 36. Dos barcos salen de un puerto. Uno recorre 12 km y otro 18 km formando entre sus trayectorias un ángulo de \(70^\circ\). Calcula la distancia entre los barcos
  37. 37. En un triángulo \(A=30^\circ\), \(B=80^\circ\) y \(a=14\) cm. Calcula \(b\) y \(c\)
  38. 38. Caso ambiguo del teorema del seno: resolver los dos triángulos
  39. 39. Calcula el área de un triángulo con lados 10 cm y 16 cm y ángulo comprendido \(55^\circ\)
  40. 40. Resolver un triángulo a partir de sus tres lados
  41. 41. Un triángulo tiene \(a=9\) cm, \(b=11\) cm y \(C=120^\circ\). Calcula el lado \(c\)
  42. 42. Triangulación entre dos pueblos y una torre
  43. 43. Un triángulo tiene lados 12 cm y 18 cm con ángulo comprendido \(40^\circ\). Calcula su área
  44. 44. Una cometa está sujeta por una cuerda de 80 m que forma \(38^\circ\) con el suelo. Calcula la altura si la mano está a 1,5 m del suelo
  45. 45. Un avión asciende formando \(12^\circ\) con la horizontal. Si recorre 5 km, calcula la altura ganada
  46. 46. Dos caminos salen de un punto formando \(110^\circ\). Una persona recorre 4 km por uno y otra 6 km por el otro. Calcula la distancia entre ellas
  47. 47. Un terreno triangular tiene lados 30 m y 45 m con ángulo comprendido \(75^\circ\). Calcula su superficie
  48. 48. Una antena se sujeta con dos cables de 25 m y 30 m que forman \(50^\circ\) entre sí. Calcula la distancia entre los puntos de anclaje
  49. 49. Demuestra que \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
  50. 50. Demuestra que \(1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
  51. 51. Simplifica \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}\)
  52. 52. Simplifica \((1-\sin x)(1+\sin x)\)
  53. 53. Simplifica \(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)
  54. 54. Demuestra que \(\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x\)
  55. 55. Demuestra que \((1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2 x\)
  56. 56. Simplifica \(\tan x\cdot \cos x\)
  57. 57. Desarrolla y simplifica \((\sin x+\cos x)^2\)
  58. 58. Demostrar una identidad racional encadenada
  59. 59. Resuelve \(\sin x=\frac{1}{2}\)
  60. 60. Resuelve \(\cos x=-\frac{1}{2}\)
  61. 61. Resuelve \(\tan x=1\)
  62. 62. Resuelve \(2\sin x-1=0\)
  63. 63. Resuelve \(\cos^2 x=\frac{1}{4}\)
  64. 64. Resuelve \(\sin^2 x-\sin x=0\)
  65. 65. Resuelve \(2\cos^2 x-3\cos x+1=0\)
  66. 66. Resuelve \(\tan^2 x=3\)
  67. 67. Resuelve \(\sin(2x)=0\)
  68. 68. Resuelve \(\cos(x-30^\circ)=\frac{1}{2}\)
  69. 69. Una torre se observa desde un punto con \(40^\circ\). Al acercarnos 25 m, se observa con \(58^\circ\). Calcula la altura
  70. 70. Ecuación trigonométrica de examen con identidad de ángulo doble

1. Triángulos rectángulos y razones trigonométricas

La base no consiste en memorizar tres cocientes, sino en nombrar los lados respecto del ángulo que se está utilizando.

Ejercicio 1. En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 cm y 4 cm. Calcula seno, coseno y tangente del ángulo cuyo cateto opuesto mide 3 cm

Primero calculamos la hipotenusa con Pitágoras.

\[ h=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 \]

Respecto al ángulo indicado, el cateto opuesto mide 3 cm y el contiguo mide 4 cm.

\[ \sin \alpha=\frac{3}{5} \]
\[ \cos \alpha=\frac{4}{5} \]
\[ \tan \alpha=\frac{3}{4} \]
Resultado. \(\sin \alpha=\frac{3}{5}\), \(\cos \alpha=\frac{4}{5}\), \(\tan \alpha=\frac{3}{4}\).

Ejercicio 2. Un ángulo mide \(30^\circ\) y su cateto opuesto mide 12 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto

Usamos el seno porque relaciona cateto opuesto e hipotenusa.

\[ \sin 30^\circ=\frac{12}{h} \]

Como \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\):

\[ \frac{1}{2}=\frac{12}{h} \]
\[ h=24 \]

Para el cateto contiguo usamos coseno.

\[ \cos 30^\circ=\frac{c}{24} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{24} \]
\[ c=12\sqrt{3} \]
Resultado. Hipotenusa \(24\) cm, cateto contiguo \(12\sqrt{3}\) cm.

Ejercicio 3. Desde un punto situado a 25 m de una torre se observa su parte superior con un ángulo de \(40^\circ\). Calcula la altura

Dibujamos un triángulo rectángulo. La altura es el cateto opuesto y la distancia de 25 m es el cateto contiguo.

\[ \tan 40^\circ=\frac{h}{25} \]
\[ h=25\cdot \tan 40^\circ \]
\[ h\approx 25\cdot 0{,}8391=20{,}98 \]
Resultado. La torre mide aproximadamente \(20,98\) m.

Ejercicio 4. Una escalera de 6 m forma un ángulo de \(70^\circ\) con el suelo. Calcula la altura que alcanza y la distancia a la pared

La escalera es la hipotenusa. La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(70^\circ\).

\[ \sin 70^\circ=\frac{h}{6} \]
\[ h=6\sin 70^\circ\approx 6\cdot 0{,}9397=5{,}64 \]

La distancia a la pared es el cateto contiguo.

\[ \cos 70^\circ=\frac{x}{6} \]
\[ x=6\cos 70^\circ\approx 6\cdot 0{,}3420=2{,}05 \]
Resultado. Altura \(5,64\) m y distancia a la pared \(2,05\) m.

Ejercicio 5. Un árbol proyecta una sombra de 12 m. El ángulo de elevación del Sol es \(35^\circ\). Calcula la altura del árbol

La sombra es el cateto contiguo y la altura es el cateto opuesto.

\[ \tan 35^\circ=\frac{h}{12} \]
\[ h=12\tan 35^\circ \]
\[ h\approx 12\cdot 0{,}7002=8{,}40 \]
Resultado. Altura aproximada \(8,40\) m.

Ejercicio 6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9 cm y 12 cm. Calcula el ángulo opuesto al cateto de 9 cm

Primero calculamos la hipotenusa.

\[ h=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15 \]

Respecto al ángulo buscado:

\[ \sin \alpha=\frac{9}{15}=0{,}6 \]
\[ \alpha=\arcsin(0{,}6) \]
\[ \alpha\approx 36{,}87^\circ \]
Resultado. \(\alpha\approx 36,87^\circ\).

Ejercicio 7. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 10 cm y un ángulo de \(53^\circ\). Calcula sus catetos

El cateto opuesto se calcula con seno.

\[ \sin 53^\circ=\frac{o}{10} \]
\[ o=10\sin 53^\circ\approx 7{,}99 \]

El cateto contiguo se calcula con coseno.

\[ \cos 53^\circ=\frac{c}{10} \]
\[ c=10\cos 53^\circ\approx 6{,}02 \]
Resultado. Catetos aproximados \(7,99\) cm y \(6,02\) cm.

Ejercicio 8. Una torre mide 18 m y estamos a 24 m de su base. Calcula el ángulo de elevación

La altura es el cateto opuesto y la distancia es el cateto contiguo.

\[ \tan \alpha=\frac{18}{24}=0{,}75 \]
\[ \alpha=\arctan(0{,}75) \]
\[ \alpha\approx 36{,}87^\circ \]
Resultado. \(\alpha\approx 36,87^\circ\).

Ejercicio 9. Desde un acantilado de 50 m se observa una barca con un ángulo de depresión de \(25^\circ\). Calcula la distancia horizontal a la barca

El ángulo de depresión coincide con el ángulo de elevación desde la barca. La altura es 50 m.

\[ \tan 25^\circ=\frac{50}{x} \]
\[ x=\frac{50}{\tan 25^\circ} \]
\[ x\approx \frac{50}{0{,}4663}=107{,}23 \]
Resultado. Distancia horizontal aproximada \(107,23\) m.

Ejercicio 10. Una rampa salva una altura de 1,2 m con una inclinación de \(8^\circ\). Calcula la longitud de la rampa

La altura es el cateto opuesto y la rampa es la hipotenusa.

\[ \sin 8^\circ=\frac{1{,}2}{L} \]
\[ L=\frac{1{,}2}{\sin 8^\circ} \]
\[ L\approx \frac{1{,}2}{0{,}1392}=8{,}62 \]
Resultado. Longitud aproximada \(8,62\) m.

2. Grados, radianes, cuadrantes y relaciones entre razones

La circunferencia unidad permite entender los signos, los ángulos equivalentes y por qué una misma razón puede corresponder a varios ángulos.

Ejercicio 11. Pasa \(150^\circ\) a radianes

\[ 150^\circ\cdot \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6} \]
Resultado. \(150^\circ=\frac{5\pi}{6}\).

Ejercicio 12. Pasa \(\frac{7\pi}{6}\) radianes a grados

\[ \frac{7\pi}{6}\cdot \frac{180^\circ}{\pi}=7\cdot 30^\circ=210^\circ \]
Resultado. \(\frac{7\pi}{6}=210^\circ\).

Ejercicio 13. Calcula \(\sin 120^\circ\), \(\cos 120^\circ\) y \(\tan 120^\circ\)

\(120^\circ\) está en el segundo cuadrante. Su ángulo de referencia es \(60^\circ\).

En el segundo cuadrante el seno es positivo, el coseno negativo y la tangente negativa.

\[ \sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos 120^\circ=-\frac{1}{2} \]
\[ \tan 120^\circ=\frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ}=-\sqrt{3} \]
Resultado. \(\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}\), \(\tan 120^\circ=-\sqrt{3}\).

Ejercicio 14. Reduce \(765^\circ\) a un ángulo entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\)

Restamos vueltas completas de \(360^\circ\).

\[ 765^\circ-360^\circ=405^\circ \]
\[ 405^\circ-360^\circ=45^\circ \]
Resultado. \(765^\circ\) equivale a \(45^\circ\).

Ejercicio 15. Calcula \(\sin(-30^\circ)\) y \(\cos(-30^\circ)\)

El seno es una función impar y el coseno es una función par.

\[ \sin(-30^\circ)=-\sin 30^\circ=-\frac{1}{2} \]
\[ \cos(-30^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Resultado. \(\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}\), \(\cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ejercicio 16. Si \(\cos \alpha=\frac{3}{5}\) y \(\alpha\) está en el cuarto cuadrante, calcula \(\sin \alpha\) y \(\tan \alpha\)

Usamos la identidad fundamental.

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \]
\[ \sin^2\alpha+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1 \]
\[ \sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} \]
\[ \sin \alpha=\pm \frac{4}{5} \]

En el cuarto cuadrante el seno es negativo.

\[ \sin \alpha=-\frac{4}{5} \]
\[ \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac{4}{3} \]
Resultado. \(\sin \alpha=-\frac{4}{5}\), \(\tan \alpha=-\frac{4}{3}\).

Ejercicio 17. Si \(\sin \alpha=\frac{5}{13}\) y \(\alpha\) está en el segundo cuadrante, calcula \(\cos \alpha\) y \(\tan \alpha\)

Aplicamos la identidad fundamental.

\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha \]
\[ \cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169} \]
\[ \cos \alpha=\pm \frac{12}{13} \]

En el segundo cuadrante el coseno es negativo.

\[ \cos \alpha=-\frac{12}{13} \]
\[ \tan \alpha=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12} \]
Resultado. \(\cos \alpha=-\frac{12}{13}\), \(\tan \alpha=-\frac{5}{12}\).

Ejercicio 18. Calcula la longitud de un arco de radio 6 cm y ángulo central \(\frac{2\pi}{3}\)

La longitud de arco se calcula con:

\[ s=r\theta \]

El ángulo debe estar en radianes. Ya lo está.

\[ s=6\cdot \frac{2\pi}{3}=4\pi \]
Resultado. \(4\pi\) cm.

3. Medida indirecta y doble observación

Estos problemas convierten alturas y distancias inaccesibles en catetos. Cuando hay dos observaciones, las dos ecuaciones comparten la misma altura.

Problema de doble observaciónDos observadores alineados con la base de un objeto generan dos triángulos rectángulos con la misma altura.BAhdxβα
Las dos visuales comparten la misma altura. La diferencia está en las distancias horizontales x y x + d.

Ejercicio 19. Anchura de un río con una medición perpendicular

Desde un punto \(A\) de una orilla se avanza \(80\) m por la misma orilla hasta \(C\). El punto \(B\) de la orilla opuesta queda justo enfrente de \(C\), y el ángulo \(\widehat{CAB}\) mide \(60^\circ\). Calcula la anchura \(BC\) del río.

Anchura de un río mediante un triángulo rectánguloLos puntos A y C están en la misma orilla, separados 80 metros. El punto B está enfrente de C y la anchura BC es perpendicular a la orilla. El ángulo en A mide 60 grados y el esquema respeta esa proporción.ACB80 mBC = x60°orilla opuestaorilla de medida
Lectura del dibujo. El ancho del río es BC; la perpendicular en C convierte la situación en un triángulo rectángulo.

1. Traducir el dibujo

Como \(BC\) es perpendicular a la orilla, el triángulo \(ACB\) es rectángulo en \(C\). Respecto al ángulo de \(60^\circ\), \(BC\) es el cateto opuesto y \(AC=80\) m es el contiguo.

2. Elegir la razón

\[\tan 60^\circ=\frac{BC}{80}\]

3. Despejar y calcular

\[BC=80\tan 60^\circ=80\sqrt3\approx138{,}56\ \text{m}\]
Resultado. La anchura del río es \(80\sqrt3\) m, aproximadamente \(138{,}56\) m.

Revisión. Un ángulo de \(60^\circ\) produce un cateto opuesto mayor que el contiguo; el resultado es coherente.

Ejercicio 20. Altura de un árbol y anchura de un río mediante dos tangentes

Desde un punto \(A\), situado en una orilla y alineado con un árbol de la orilla opuesta, se observa su copa con un ángulo de \(50^\circ\). Al alejarse \(15\) m de la orilla, siguiendo esa misma perpendicular, el ángulo pasa a \(32^\circ\). Calcula la anchura \(x\) del río y la altura \(h\) del árbol.

Árbol al otro lado de un río observado desde dos puntosDos puntos B y A están alineados con el pie del árbol. La separación BA mide 15 metros, el ancho del río es x y las visuales a la copa forman 32 y 50 grados. Las pendientes se han dibujado de forma proporcional.BAC15 mx32°50°hrío
Lectura del dibujo. Desde A, la distancia horizontal es x; desde B, es x + 15. Las dos visuales llegan a la misma altura h.

1. Leer las distancias y escribir las ecuaciones

Desde \(A\), la distancia horizontal al pie del árbol es \(x\). Desde el punto más alejado, esa distancia es \(x+15\). Las dos observaciones comparten la misma altura.

\[h=x\tan50^\circ\]
\[h=(x+15)\tan32^\circ\]

2. Igualar las dos expresiones de la altura

\[x\tan50^\circ=(x+15)\tan32^\circ\]
\[x=\frac{15\tan32^\circ}{\tan50^\circ-\tan32^\circ}\approx16{,}53\ \text{m}\]

3. Recuperar la altura

\[h=x\tan50^\circ\approx16{,}53\cdot1{,}1918\approx19{,}70\ \text{m}\]
Resultado. El río mide aproximadamente \(16{,}53\) m de ancho y el árbol \(19{,}70\) m de alto.

Comprobación. Al sustituir en la segunda observación, \(19{,}70/(16{,}53+15)\approx\tan32^\circ\).

Ejercicio 21. Desde un punto se ve una torre bajo \(45^\circ\). Al alejarse 20 m, se ve bajo \(30^\circ\). Calcula la altura de la torre

Llamamos \(x\) a la distancia inicial y \(h\) a la altura.

Primer triángulo:

\[ \tan 45^\circ=\frac{h}{x} \]

Como \(\tan 45^\circ=1\):

\[ h=x \]

Segundo triángulo, después de alejarse 20 m:

\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{x+20} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+20} \]
\[ x+20=\sqrt{3}h \]

Como \(h=x\):

\[ x+20=\sqrt{3}x \]
\[ 20=x(\sqrt{3}-1) \]
\[ x=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10(\sqrt{3}+1) \]

Por tanto:

\[ h=10(\sqrt{3}+1)\approx 27{,}32 \]
Resultado. Altura aproximada \(27,32\) m.

Ejercicio 22. Desde un punto se ve la cima de un árbol con \(30^\circ\). Al acercarnos 10 m, se ve con \(45^\circ\). Calcula la altura

Llamamos \(x\) a la distancia inicial y \(h\) a la altura.

Desde el primer punto:

\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{x} \]
\[ h=\frac{x}{\sqrt{3}} \]

Al acercarnos 10 m, la distancia es \(x-10\):

\[ \tan 45^\circ=\frac{h}{x-10} \]
\[ h=x-10 \]

Igualamos:

\[ \frac{x}{\sqrt{3}}=x-10 \]
\[ x=15+5\sqrt{3}\approx 23{,}66 \]

Entonces:

\[ h=x-10=5+5\sqrt{3}\approx 13{,}66 \]
Resultado. Altura aproximada \(13,66\) m.

Ejercicio 23. Desde un punto se ve una torre bajo \(60^\circ\). Desde otro punto 30 m más alejado se ve bajo \(30^\circ\). Calcula la altura

Llamamos \(x\) a la distancia desde el punto más cercano.

Primer punto:

\[ \tan 60^\circ=\frac{h}{x} \]
\[ h=\sqrt{3}x \]

Segundo punto:

\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{x+30} \]
\[ h=\frac{x+30}{\sqrt{3}} \]

Igualamos:

\[ \sqrt{3}x=\frac{x+30}{\sqrt{3}} \]

Multiplicamos por \(\sqrt{3}\):

\[ 3x=x+30 \]
\[ 2x=30 \]
\[ x=15 \]
\[ h=15\sqrt{3}\approx 25{,}98 \]
Resultado. Altura aproximada \(25,98\) m.

Ejercicio 24. Dos observadores separados 50 m miran una torre situada entre ellos. Los ángulos de elevación son \(35^\circ\) y \(48^\circ\). Calcula la altura

Llamamos \(x\) a la distancia desde el primer observador hasta la torre. La otra distancia será \(50-x\).

Primer observador:

\[ h=x\tan 35^\circ \]

Segundo observador:

\[ h=(50-x)\tan 48^\circ \]

Igualamos:

\[ x\tan 35^\circ=(50-x)\tan 48^\circ \]
\[ x=\frac{50\tan 48^\circ}{\tan 35^\circ+\tan 48^\circ} \]
\[ x\approx \frac{50\cdot 1{,}1106}{0{,}7002+1{,}1106}=30{,}67 \]

Calculamos la altura:

\[ h=30{,}67\cdot \tan 35^\circ\approx 21{,}48 \]
Resultado. Altura aproximada \(21,48\) m.

Ejercicio 25. Árbol roto: recuperar la altura original

Un árbol se rompe y su punta toca el suelo a \(8\) m de la base. La parte caída forma un ángulo de \(55^\circ\) con el suelo. Calcula la altura original del árbol.

Árbol roto cuya punta toca el sueloEl árbol conserva un tramo vertical h uno. La parte rota de longitud L desciende hasta un punto del suelo situado a 8 metros de la base y forma 55 grados con el suelo; el triángulo está proporcionado con ese ángulo.8 mh₁L55°
Lectura del dibujo. La altura original no es L: hay que sumar el tramo vertical h1 y la parte caída L.

1. Separar las dos partes del árbol

La altura original es la suma del tramo que permanece vertical, \(h_1\), y la longitud de la parte rota, \(L\). En el triángulo del dibujo, los \(8\) m forman el cateto contiguo.

2. Hallar la altura hasta el punto de rotura

\[\tan55^\circ=\frac{h_1}{8}\qquad\Longrightarrow\qquad h_1=8\tan55^\circ\approx11{,}43\ \text{m}\]

3. Hallar la longitud de la parte caída

\[\cos55^\circ=\frac{8}{L}\qquad\Longrightarrow\qquad L=\frac{8}{\cos55^\circ}\approx13{,}95\ \text{m}\]

4. Reconstruir la altura original

\[H=h_1+L\approx11{,}43+13{,}95=25{,}38\ \text{m}\]
Resultado. El árbol medía aproximadamente \(25{,}38\) m antes de romperse.

Comprobación. La parte caída es la hipotenusa, por eso debe medir más de \(8\) m. Además, la altura original ha de ser mayor que cada uno de sus dos tramos.

Ejercicio 26. Desde un balcón situado a 12 m de altura se observa un coche con un ángulo de depresión de \(37^\circ\). Calcula la distancia horizontal

El ángulo de depresión coincide con el ángulo de elevación desde el coche.

\[ \tan 37^\circ=\frac{12}{x} \]
\[ x=\frac{12}{\tan 37^\circ} \]
\[ x\approx \frac{12}{0{,}7536}=15{,}92 \]
Resultado. Distancia horizontal aproximada \(15,92\) m.

Ejercicio 27. Un cable de 20 m sujeta un poste formando \(65^\circ\) con el suelo. Calcula la altura del punto de sujeción y la distancia al poste

El cable es la hipotenusa.

Altura:

\[ h=20\sin 65^\circ\approx 20\cdot 0{,}9063=18{,}13 \]

Distancia horizontal:

\[ x=20\cos 65^\circ\approx 20\cdot 0{,}4226=8{,}45 \]
Resultado. Altura \(18,13\) m y distancia \(8,45\) m.

Ejercicio 28. Altura de una montaña con cota del observador

Desde un punto situado a \(800\) m en horizontal de una montaña y a una cota de \(620\) m se observa la cima con un ángulo de elevación de \(12^\circ\). Calcula la cota aproximada de la cima.

1. Calcular el desnivel

\[\tan12^\circ=\frac{\Delta h}{800}\qquad\Longrightarrow\qquad \Delta h=800\tan12^\circ\approx170{,}05\ \text{m}\]

2. Sumar la cota de partida

\[H=620+170{,}05=790{,}05\ \text{m}\]
Resultado. La cima está a una cota aproximada de \(790{,}05\) m.

Revisión. El primer cálculo da un desnivel, no la altura sobre el nivel del mar; por eso hay que sumar \(620\) m.

Ejercicio 29. Un dron está a 120 m en línea recta del observador y se ve con un ángulo de elevación de \(18^\circ\). Calcula su altura

La distancia de 120 m es la hipotenusa.

\[ \sin 18^\circ=\frac{h}{120} \]
\[ h=120\sin 18^\circ \]
\[ h\approx 120\cdot 0{,}3090=37{,}08 \]
Resultado. Altura aproximada \(37,08\) m.

Ejercicio 30. Altura de un edificio y de su antena desde dos visuales

Desde un punto situado a \(40\) m de un edificio se observa el borde del tejado con un ángulo de \(35^\circ\) y la punta de una antena vertical con \(42^\circ\). La visual parte a \(1{,}60\) m del suelo. Calcula la altura del edificio y la longitud de la antena.

Edificio y antena observados con dos ángulosUn observador a 1,60 metros del suelo está a 40 metros del edificio. La visual al tejado forma 35 grados y la visual a la punta de la antena forma 42 grados; ambas pendientes se representan de forma proporcional.40 m1,60 m35°42°aH
Lectura del dibujo. Las dos tangentes parten de la misma horizontal. La altura de los ojos se suma al edificio, pero desaparece al restar las visuales.

1. Altura del tejado sobre la visual

\[h_t=40\tan35^\circ\approx28{,}01\ \text{m}\]

La altura total del edificio incluye la altura de los ojos.

\[H=28{,}01+1{,}60=29{,}61\ \text{m}\]

2. Longitud de la antena

\[a=40\tan42^\circ-40\tan35^\circ\approx8{,}01\ \text{m}\]
Resultado. El edificio mide aproximadamente \(29{,}61\) m y la antena \(8{,}01\) m.

Comprobación. La altura de los ojos se suma al edificio, pero se cancela al restar las dos visuales para hallar la antena.

4. Teorema del seno, teorema del coseno y resolución de triángulos

Resolver un triángulo significa obtener todos sus lados y ángulos, no detenerse en el primer dato pedido cuando todavía falta comprobar la figura.

Ejercicio 31. En un triángulo \(A=40^\circ\), \(B=65^\circ\) y \(a=10\) cm. Calcula \(C\), \(b\) y \(c\)

Primero calculamos el tercer ángulo.

\[ C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ \]

Aplicamos el teorema del seno:

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \]
\[ b=\frac{10\sin 65^\circ}{\sin 40^\circ}\approx 14{,}10 \]
\[ c=\frac{10\sin 75^\circ}{\sin 40^\circ}\approx 15{,}03 \]
Resultado. \(C=75^\circ\), \(b\approx 14,10\) cm, \(c\approx 15,03\) cm.

Ejercicio 32. En un triángulo \(A=50^\circ\), \(a=12\) cm y \(b=9\) cm. Calcula \(B\) y \(C\)

Aplicamos teorema del seno.

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \]
\[ \sin B=\frac{b\sin A}{a} \]
\[ \sin B=\frac{9\sin 50^\circ}{12}\approx 0{,}5745 \]
\[ B\approx 35{,}08^\circ \]

El otro posible ángulo sería \(144,92^\circ\), pero \(144,92^\circ+50^\circ\gt 180^\circ\), así que no vale.

\[ C=180^\circ-50^\circ-35{,}08^\circ=94{,}92^\circ \]
Resultado. \(B\approx 35,08^\circ\), \(C\approx 94,92^\circ\).

Ejercicio 33. Dos lados de un triángulo miden 7 cm y 9 cm, y el ángulo comprendido mide \(60^\circ\). Calcula el tercer lado

Usamos el teorema del coseno.

\[ c^2=7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cos 60^\circ \]
\[ c^2=49+81-126\cdot \frac{1}{2} \]
\[ c^2=130-63=67 \]
\[ c=\sqrt{67}\approx 8{,}19 \]
Resultado. \(c=\sqrt{67}\approx 8,19\) cm.

Ejercicio 34. Un triángulo tiene lados 8 cm, 10 cm y 12 cm. Calcula el ángulo opuesto al lado de 12 cm

Usamos el teorema del coseno despejando el coseno del ángulo.

\[ 12^2=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cos C \]
\[ 144=64+100-160\cos C \]
\[ 144=164-160\cos C \]
\[ 160\cos C=20 \]
\[ \cos C=\frac{1}{8} \]
\[ C\approx 82{,}82^\circ \]
Resultado. \(C\approx 82,82^\circ\).

Ejercicio 35. Dos lados de un triángulo miden 15 cm y 20 cm, y el ángulo comprendido mide \(35^\circ\). Calcula el tercer lado

Aplicamos teorema del coseno.

\[ c^2=15^2+20^2-2\cdot 15\cdot 20\cos 35^\circ \]
\[ c^2=225+400-600\cos 35^\circ \]
\[ c^2\approx 625-600\cdot 0{,}8192=133{,}48 \]
\[ c\approx 11{,}55 \]
Resultado. Tercer lado aproximado \(11,55\) cm.

Ejercicio 36. Dos barcos salen de un puerto. Uno recorre 12 km y otro 18 km formando entre sus trayectorias un ángulo de \(70^\circ\). Calcula la distancia entre los barcos

Tenemos dos lados y el ángulo comprendido. Usamos coseno.

\[ d^2=12^2+18^2-2\cdot 12\cdot 18\cos 70^\circ \]
\[ d^2=144+324-432\cos 70^\circ \]
\[ d^2\approx 468-432\cdot 0{,}3420=320{,}26 \]
\[ d\approx 17{,}90 \]
Resultado. Distancia aproximada \(17,90\) km.

Ejercicio 37. En un triángulo \(A=30^\circ\), \(B=80^\circ\) y \(a=14\) cm. Calcula \(b\) y \(c\)

Calculamos \(C\).

\[ C=180^\circ-30^\circ-80^\circ=70^\circ \]

Por el teorema del seno:

\[ b=\frac{14\sin 80^\circ}{\sin 30^\circ} \]
\[ b\approx \frac{14\cdot 0{,}9848}{0{,}5}=27{,}57 \]
\[ c=\frac{14\sin 70^\circ}{\sin 30^\circ} \]
\[ c\approx \frac{14\cdot 0{,}9397}{0{,}5}=26{,}31 \]
Resultado. \(b\approx 27,57\) cm, \(c\approx 26,31\) cm.

Ejercicio 38. Caso ambiguo del teorema del seno: resolver los dos triángulos

En un triángulo se conocen \(a=10\) cm, \(b=14\) cm y \(A=40^\circ\). Determina todos los triángulos posibles.

Dos triángulos posibles en el caso ambiguo del teorema del senoDos triángulos a escala comparten el lado a igual a 10 centímetros, el lado b igual a 14 centímetros y el ángulo A igual a 40 grados. En uno B mide 64,15 grados y en el otro 115,85 grados.A = 40°B₁ = 64,15°b = 14 cma = 10 cmA = 40°B₂ = 115,85°b = 14 cma = 10 cmSolución 1 · B agudoSolución 2 · B obtuso
Lectura del dibujo. El valor de sen B no distingue por sí solo entre un ángulo agudo y su suplementario; por eso deben comprobarse las dos configuraciones.

1. Calcular el seno de \(B\)

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\qquad\Longrightarrow\qquad \sin B=\frac{14\sin40^\circ}{10}\approx0{,}89990\]

2. Considerar los dos ángulos con el mismo seno

\[B_1\approx64{,}15^\circ\qquad B_2=180^\circ-B_1\approx115{,}85^\circ\]

Los dos son posibles porque \(A+B_1<180^\circ\) y \(A+B_2<180^\circ\).

3. Completar ambos triángulos

\[C_1=75{,}85^\circ\qquad C_2=24{,}15^\circ\]
\[c_1=\frac{10\sin75{,}85^\circ}{\sin40^\circ}\approx15{,}09\ \text{cm}\]
\[c_2=\frac{10\sin24{,}15^\circ}{\sin40^\circ}\approx6{,}37\ \text{cm}\]
Resultado. Hay dos soluciones: \((B,C,c)\approx(64{,}15^\circ,75{,}85^\circ,15{,}09\ \text{cm})\) y \((115{,}85^\circ,24{,}15^\circ,6{,}37\ \text{cm})\).

Comprobación. En ambos triángulos los ángulos suman \(180^\circ\) y el lado mayor, \(b=14\) cm, queda frente al ángulo mayor.

Ejercicio 39. Calcula el área de un triángulo con lados 10 cm y 16 cm y ángulo comprendido \(55^\circ\)

Usamos la fórmula del área con dos lados y el ángulo comprendido.

\[ A=\frac{1}{2}ab\sin C \]
\[ A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 16\cdot \sin 55^\circ \]
\[ A=80\sin 55^\circ\approx 65{,}53 \]
Resultado. Área aproximada \(65,53\) cm².

Ejercicio 40. Resolver un triángulo a partir de sus tres lados

Un triángulo tiene lados \(a=13\) cm, \(b=14\) cm y \(c=15\) cm. Calcula sus tres ángulos y su área.

1. Hallar dos ángulos con el teorema del coseno

\[\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{14^2+15^2-13^2}{2\cdot14\cdot15}=\frac35\]
\[A\approx53{,}13^\circ\]
\[\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot13\cdot15}=\frac{33}{65}\]
\[B\approx59{,}49^\circ\qquad C=180^\circ-A-B\approx67{,}38^\circ\]

2. Calcular el área y comprobar

\[s=\frac{13+14+15}{2}=21\qquad \mathcal A=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\ \text{cm}^2\]
Resultado. \(A\approx53{,}13^\circ\), \(B\approx59{,}49^\circ\), \(C\approx67{,}38^\circ\) y área \(84\ \text{cm}^2\).

Revisión. Los ángulos suman \(180^\circ\) y el mayor queda frente al lado mayor.

Ejercicio 41. Un triángulo tiene \(a=9\) cm, \(b=11\) cm y \(C=120^\circ\). Calcula el lado \(c\)

Aplicamos el teorema del coseno.

\[ c^2=9^2+11^2-2\cdot 9\cdot 11\cos 120^\circ \]

Como \(\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}\):

\[ c^2=81+121-198\left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ c^2=202+99=301 \]
\[ c=\sqrt{301}\approx 17{,}35 \]
Resultado. \(c\approx 17,35\) cm.

Ejercicio 42. Triangulación entre dos pueblos y una torre

Dos pueblos \(A\) y \(B\) están separados \(8\) km. Desde \(A\), la dirección hacia una torre \(T\) forma \(50^\circ\) con \(AB\); desde \(B\), la dirección hacia la torre forma \(70^\circ\) con \(BA\). Calcula \(AT\) y \(BT\).

Triangulación de una torre desde dos pueblosLos pueblos A y B forman una base de 8 kilómetros. Las visuales a la torre T forman ángulos interiores de 50 y 70 grados, y el ángulo en T es 60 grados. El triángulo se representa a escala angular.ABT8 km50°70°60°ATBT
Lectura del dibujo. El segmento AB = 8 km queda frente a 60°; AT queda frente a 70° y BT, frente a 50°.

1. Completar el triángulo del dibujo

Los ángulos de \(50^\circ\) y \(70^\circ\) son interiores. El ángulo que queda en la torre vale:

\[T=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\]

El lado conocido, \(AB=8\) km, está frente a ese ángulo de \(60^\circ\).

2. Calcular la distancia desde \(A\)

\[\frac{AT}{\sin70^\circ}=\frac{8}{\sin60^\circ}\]
\[AT=\frac{8\sin70^\circ}{\sin60^\circ}\approx8{,}68\ \text{km}\]

3. Calcular la distancia desde \(B\)

\[\frac{BT}{\sin50^\circ}=\frac{8}{\sin60^\circ}\]
\[BT=\frac{8\sin50^\circ}{\sin60^\circ}\approx7{,}08\ \text{km}\]
Resultado. La torre está aproximadamente a \(8{,}68\) km de \(A\) y a \(7{,}08\) km de \(B\).

Comprobación. Como \(70^\circ\) es mayor que \(50^\circ\), su lado opuesto también debe ser mayor: \(AT>BT\), tal como muestran los resultados.

5. Áreas, alturas, rumbos y aplicaciones

Las fórmulas anteriores se utilizan aquí dentro de situaciones completas, con unidades, interpretación geométrica y una revisión del resultado.

Ejercicio 43. Un triángulo tiene lados 12 cm y 18 cm con ángulo comprendido \(40^\circ\). Calcula su área

\[ A=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 18\cdot \sin 40^\circ \]
\[ A=108\sin 40^\circ\approx 108\cdot 0{,}6428=69{,}42 \]
Resultado. \(69,42\) cm² aproximadamente.

Ejercicio 44. Una cometa está sujeta por una cuerda de 80 m que forma \(38^\circ\) con el suelo. Calcula la altura si la mano está a 1,5 m del suelo

La subida respecto a la mano es:

\[ h_1=80\sin 38^\circ \]
\[ h_1\approx 80\cdot 0{,}6157=49{,}26 \]

Sumamos la altura de la mano:

\[ h=49{,}26+1{,}5=50{,}76 \]
Resultado. Altura aproximada \(50,76\) m.

Ejercicio 45. Un avión asciende formando \(12^\circ\) con la horizontal. Si recorre 5 km, calcula la altura ganada

La trayectoria es la hipotenusa.

\[ h=5\sin 12^\circ \]
\[ h\approx 5\cdot 0{,}2079=1{,}04 \]
Resultado. Altura ganada aproximada \(1,04\) km.

Ejercicio 46. Dos caminos salen de un punto formando \(110^\circ\). Una persona recorre 4 km por uno y otra 6 km por el otro. Calcula la distancia entre ellas

Usamos teorema del coseno.

\[ d^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos 110^\circ \]
\[ d^2=16+36-48\cos 110^\circ \]

Como \(\cos 110^\circ\approx -0,3420\):

\[ d^2\approx 52+16{,}42=68{,}42 \]
\[ d\approx 8{,}27 \]
Resultado. Distancia aproximada \(8,27\) km.

Ejercicio 47. Un terreno triangular tiene lados 30 m y 45 m con ángulo comprendido \(75^\circ\). Calcula su superficie

\[ A=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 45\cdot \sin 75^\circ \]
\[ A=675\sin 75^\circ \]
\[ A\approx 675\cdot 0{,}9659=651{,}98 \]
Resultado. \(651,98\) m² aproximadamente.

Ejercicio 48. Una antena se sujeta con dos cables de 25 m y 30 m que forman \(50^\circ\) entre sí. Calcula la distancia entre los puntos de anclaje

Los cables y la distancia entre anclajes forman un triángulo.

\[ d^2=25^2+30^2-2\cdot 25\cdot 30\cos 50^\circ \]
\[ d^2=625+900-1500\cos 50^\circ \]
\[ d^2\approx 1525-1500\cdot 0{,}6428=560{,}8 \]
\[ d\approx 23{,}68 \]
Resultado. Distancia aproximada \(23,68\) m.

6. Introducción a identidades y simplificación trigonométrica

Una identidad se demuestra transformando con cuidado uno de sus miembros. No se resuelve como si fuera una ecuación y no se pueden olvidar las restricciones de los denominadores.

Ejercicio 49. Demuestra que \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)

Esta es una identidad básica. En un triángulo rectángulo:

\[ \sin x=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \cos x=\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}} \]

Entonces:

\[ \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}{\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}} =\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}=\tan x \]
Comprobación. Los dos miembros representan la misma expresión donde están definidos.

Ejercicio 50. Demuestra que \(1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)

Partimos del primer miembro.

\[ 1+\tan^2 x=1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \]

Escribimos 1 con denominador \(\cos^2 x\).

\[ 1=\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} \]
\[ 1+\tan^2 x=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \]

Como \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\):

\[ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} \]
Comprobación. Los dos miembros representan la misma expresión donde están definidos.

Ejercicio 51. Simplifica \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}\)

Usamos la identidad fundamental.

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]
\[ 1-\cos^2 x=\sin^2 x \]

Entonces:

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \]
Resultado. \(\sin x\), con \(\sin x\neq 0\).

Ejercicio 52. Simplifica \((1-\sin x)(1+\sin x)\)

Es una diferencia de cuadrados.

\[ (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2 x \]

Por la identidad fundamental:

\[ 1-\sin^2 x=\cos^2 x \]
Resultado. \(\cos^2 x\).

Ejercicio 53. Simplifica \(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)

Sumamos con denominador común \(\sin x\cos x\).

\[ \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x} \]

Como \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\):

\[ \frac{1}{\sin x\cos x} \]
Resultado. \(\frac{1}{\sin x\cos x}\), con \(\sin x\neq 0\) y \(\cos x\neq 0\).

Ejercicio 54. Demuestra que \(\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x\)

Partimos del primer miembro.

\[ \cos^2 x-\sin^2 x \]

Usamos \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\).

\[ \cos^2 x-\sin^2 x=(1-\sin^2 x)-\sin^2 x \]
\[ 1-2\sin^2 x \]
Comprobación. Los dos miembros representan la misma expresión donde están definidos.

Ejercicio 55. Demuestra que \((1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2 x\)

Multiplicamos como diferencia de cuadrados.

\[ (1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^2 x \]

Por la identidad fundamental:

\[ 1-\cos^2 x=\sin^2 x \]
Comprobación. Los dos miembros representan la misma expresión donde están definidos.

Ejercicio 56. Simplifica \(\tan x\cdot \cos x\)

Sustituimos la tangente por seno entre coseno.

\[ \tan x\cdot \cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x \]
\[ \tan x\cdot \cos x=\sin x \]
Resultado. \(\sin x\), con \(\cos x\neq 0\).

Ejercicio 57. Desarrolla y simplifica \((\sin x+\cos x)^2\)

Desarrollamos el cuadrado de una suma.

\[ (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x \]

Usamos \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).

\[ (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x \]
Resultado. \(1+2\sin x\cos x\).

Ejercicio 58. Demostrar una identidad racional encadenada

Demuestra, en los valores donde ambos miembros están definidos, que

\[\frac{1}{1-\sin x}-\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2\tan x}{\cos x}\]

1. Transformar solo el primer miembro

\[\frac{1}{1-\sin x}-\frac{1}{1+\sin x}=\frac{(1+\sin x)-(1-\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\]
\[=\frac{2\sin x}{1-\sin^2x}=\frac{2\sin x}{\cos^2x}\]

2. Reconocer la tangente

\[\frac{2\sin x}{\cos^2x}=\frac{2}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2\tan x}{\cos x}\]
Comprobación. La identidad es cierta siempre que los denominadores originales no sean cero.

7. Primeras ecuaciones trigonométricas y modelos de examen

La calculadora puede proporcionar un ángulo, pero el ejercicio termina cuando se han localizado y comprobado todas las soluciones. En los modelos 59 a 70 se trabaja en una vuelta completa, desde 0° incluido hasta 360° excluido, salvo que el enunciado indique otro.

Ejercicio 59. Resuelve \(\sin x=\frac{1}{2}\)

El seno vale \(\frac{1}{2}\) en el primer y segundo cuadrante.

\[ x=30^\circ,\quad x=150^\circ \]
Resultado. \(x=30^\circ\), \(x=150^\circ\).

Ejercicio 60. Resuelve \(\cos x=-\frac{1}{2}\)

El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante.

El ángulo de referencia es \(60^\circ\).

\[ x=120^\circ,\quad x=240^\circ \]
Resultado. \(x=120^\circ\), \(x=240^\circ\).

Ejercicio 61. Resuelve \(\tan x=1\)

La tangente vale 1 cuando seno y coseno tienen el mismo valor y el mismo signo.

\[ x=45^\circ,\quad x=225^\circ \]
Resultado. \(x=45^\circ\), \(x=225^\circ\).

Ejercicio 62. Resuelve \(2\sin x-1=0\)

Despejamos.

\[ 2\sin x=1 \]
\[ \sin x=\frac{1}{2} \]

Entonces:

\[ x=30^\circ,\quad x=150^\circ \]
Resultado. \(x=30^\circ\), \(x=150^\circ\).

Ejercicio 63. Resuelve \(\cos^2 x=\frac{1}{4}\)

Tomamos raíz con ambos signos.

\[ \cos x=\pm \frac{1}{2} \]

Para \(\cos x=\frac{1}{2}\):

\[ x=60^\circ,\quad x=300^\circ \]

Para \(\cos x=-\frac{1}{2}\):

\[ x=120^\circ,\quad x=240^\circ \]
Resultado. \(x=60^\circ\), \(120^\circ\), \(240^\circ\), \(300^\circ\).

Ejercicio 64. Resuelve \(\sin^2 x-\sin x=0\)

Sacamos factor común.

\[ \sin x(\sin x-1)=0 \]

Primera posibilidad:

\[ \sin x=0 \]
\[ x=0^\circ,\quad x=180^\circ \]

Segunda posibilidad:

\[ \sin x=1 \]
\[ x=90^\circ \]
Resultado. \(x=0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\).

Ejercicio 65. Resuelve \(2\cos^2 x-3\cos x+1=0\)

Hacemos el cambio \(t=\cos x\).

\[ 2t^2-3t+1=0 \]

Factorizamos:

\[ (2t-1)(t-1)=0 \]
\[ t=\frac{1}{2}\quad \text{o} \quad t=1 \]

Volvemos a \(x\).

Si \(\cos x=\frac{1}{2}\):

\[ x=60^\circ,\quad x=300^\circ \]

Si \(\cos x=1\):

\[ x=0^\circ \]
Resultado. \(x=0^\circ\), \(60^\circ\), \(300^\circ\).

Ejercicio 66. Resuelve \(\tan^2 x=3\)

Tomamos raíz.

\[ \tan x=\pm \sqrt{3} \]

Para tangente positiva:

\[ x=60^\circ,\quad x=240^\circ \]

Para tangente negativa:

\[ x=120^\circ,\quad x=300^\circ \]
Resultado. \(x=60^\circ\), \(120^\circ\), \(240^\circ\), \(300^\circ\).

Ejercicio 67. Resuelve \(\sin(2x)=0\)

En \([0^\circ,360^\circ)\), \(2x\) recorre \([0^\circ,720^\circ)\).

\[ \sin(2x)=0 \]
\[ 2x=0^\circ,\ 180^\circ,\ 360^\circ,\ 540^\circ \]

Dividimos entre 2:

\[ x=0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ,\ 270^\circ \]
Resultado. \(x=0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\).

Ejercicio 68. Resuelve \(\cos(x-30^\circ)=\frac{1}{2}\)

Sabemos que el coseno vale \(\frac{1}{2}\) en:

\[ 60^\circ,\quad 300^\circ \]

Entonces:

\[ x-30^\circ=60^\circ \]
\[ x=90^\circ \]

Y también:

\[ x-30^\circ=300^\circ \]
\[ x=330^\circ \]
Resultado. \(x=90^\circ\), \(x=330^\circ\).

Ejercicio 69. Una torre se observa desde un punto con \(40^\circ\). Al acercarnos 25 m, se observa con \(58^\circ\). Calcula la altura

Llamamos \(x\) a la distancia inicial y \(h\) a la altura.

Desde el primer punto:

\[ \tan 40^\circ=\frac{h}{x} \]
\[ h=x\tan 40^\circ \]

Desde el segundo punto, la distancia es \(x-25\):

\[ \tan 58^\circ=\frac{h}{x-25} \]
\[ h=(x-25)\tan 58^\circ \]

Igualamos:

\[ x\tan 40^\circ=(x-25)\tan 58^\circ \]
\[ x\cdot 0{,}8391=(x-25)\cdot 1{,}6003 \]
\[ 0{,}8391x=1{,}6003x-40{,}0075 \]
\[ 40{,}0075=0{,}7612x \]
\[ x\approx 52{,}56 \]

Calculamos la altura:

\[ h=52{,}56\cdot \tan 40^\circ \]
\[ h\approx 52{,}56\cdot 0{,}8391=44{,}10 \]
Resultado. Altura aproximada \(44,10\) m.
Síntesis final de examen

Ejercicio 70. Ecuación trigonométrica de examen con identidad de ángulo doble

Resuelve en \([0^\circ,360^\circ)\) la ecuación

\[\cos 2x=\sin x\]

1. Escribir todo con la misma razón

\[\cos2x=1-2\sin^2x\]
\[1-2\sin^2x=\sin x\]

2. Resolver la ecuación algebraica auxiliar

Llamamos \(t=\sin x\).

\[2t^2+t-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad(2t-1)(t+1)=0\]
\[\sin x=\frac12\qquad\text{o}\qquad\sin x=-1\]

3. Recuperar todos los ángulos del intervalo

\[x=30^\circ,\ 150^\circ,\ 270^\circ\]
Resultado. \(x=30^\circ\), \(150^\circ\) o \(270^\circ\).

Comprobación. Al sustituir cada valor, \(\cos2x\) y \(\sin x\) coinciden.

Para profundizar. Este bloque presenta los procedimientos básicos. Para trabajar restricciones, demostraciones encadenadas, soluciones generales, ecuaciones racionales y modelos de mayor nivel, continúa en el cuaderno de ecuaciones trigonométricas e identidades.

Práctica final con soluciones paso a paso

Los diez ejercicios recorren el cuaderno completo. Conviene intentar cada uno antes de abrir su solución.

Consolidación y síntesis

1. Razones de un ángulo

En un triángulo rectángulo los catetos miden \(5\) cm y \(12\) cm. Calcula las tres razones del ángulo opuesto al cateto de \(5\) cm.

Ver solución desarrollada
\[h=13,\quad \sin\alpha=\frac5{13},\quad\cos\alpha=\frac{12}{13},\quad\tan\alpha=\frac5{12}\]
Resultado. Las razones son \(5/13\), \(12/13\) y \(5/12\).

2. Grados y radianes

Expresa \(315^\circ\) en radianes.

Ver solución desarrollada
\[315^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{7\pi}{4}\]
Resultado. \(315^\circ=7\pi/4\).

3. Signos por cuadrantes

Si \(\tan\alpha=-3/4\) y \(\alpha\) está en el segundo cuadrante, calcula seno y coseno.

Ver solución desarrollada
\[\sin\alpha=\frac35,\qquad\cos\alpha=-\frac45\]
Resultado. \(\sin\alpha=3/5\) y \(\cos\alpha=-4/5\).

4. Altura con tangente

Una sombra mide \(18\) m y el ángulo de elevación del Sol es \(28^\circ\). Calcula la altura.

Ver solución desarrollada
\[h=18\tan28^\circ\approx9{,}57\ \text{m}\]
Resultado. Altura aproximada \(9{,}57\) m.

5. Teorema del coseno

Dos lados miden \(8\) cm y \(11\) cm y forman \(70^\circ\). Calcula el tercero.

Ver solución desarrollada
\[c=\sqrt{8^2+11^2-2\cdot8\cdot11\cos70^\circ}\approx11{,}17\ \text{cm}\]
Resultado. \(c\approx11{,}17\) cm.

6. Teorema del seno

En un triángulo \(A=45^\circ\), \(B=70^\circ\) y \(a=9\) cm. Calcula \(b\).

Ver solución desarrollada
\[b=\frac{9\sin70^\circ}{\sin45^\circ}\approx11{,}96\ \text{cm}\]
Resultado. \(b\approx11{,}96\) cm.

7. Identidad

Simplifica \((1-\cos x)(1+\cos x)/\sin x\).

Ver solución desarrollada
\[\frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\frac{\sin^2x}{\sin x}=\sin x\]
Resultado. \(\sin x\), con \(\sin x\ne0\).

8. Ecuación

Resuelve en \([0^\circ,360^\circ)\) \(2\cos^2x-\cos x-1=0\).

Ver solución desarrollada
\[(2\cos x+1)(\cos x-1)=0\]
\[x=0^\circ,\ 120^\circ,\ 240^\circ\]
Resultado. \(x=0^\circ\), \(120^\circ\) o \(240^\circ\).

9. Medida indirecta

Desde dos puntos alineados y separados \(20\) m se observa una torre con \(50^\circ\) y \(35^\circ\). El punto de \(50^\circ\) es el más cercano. Calcula la altura.

Ver solución desarrollada
\[x\tan50^\circ=(x+20)\tan35^\circ\]
\[h\approx33{,}95\ \text{m}\]
Resultado. La altura es aproximadamente \(33{,}95\) m.

10. Síntesis de triángulo

Un triángulo tiene lados \(7\), \(9\) y \(12\) cm. Calcula el ángulo opuesto al lado de \(12\) cm.

Ver solución desarrollada
\[\cos C=\frac{7^2+9^2-12^2}{2\cdot7\cdot9}=-\frac19\]
\[C\approx96{,}38^\circ\]
Resultado. \(C\approx96{,}38^\circ\).

Errores frecuentes y cómo detectarlos

ErrorQué conviene revisar
Nombrar opuesto y contiguo sin fijar el ánguloLos dos catetos intercambian su papel cuando cambia el ángulo de referencia.
Usar grados cuando la calculadora está en radianesComprobar el modo antes de cualquier cálculo decimal.
Asignar el signo al hacer una raíz sin mirar el cuadranteLa identidad da el módulo; el cuadrante decide el signo.
Aplicar seno cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendidoEn ese caso suele empezar el teorema del coseno.
Olvidar la segunda solución del caso ambiguoUn mismo seno puede corresponder a dos ángulos suplementarios.
Tratar una identidad como una ecuaciónTransformar un miembro hasta obtener el otro y conservar restricciones.
Dar solo la solución principal de la calculadoraRevisar cuadrantes, periodicidad e intervalo.
Sumar alturas que deberían restarseDibujar las dos visuales y decidir qué representa cada diferencia.
Redondear tangentes demasiado prontoMantener varios decimales durante el cálculo y redondear al final.

Una idea para llevarse

La trigonometría no empieza en la calculadora. Empieza al convertir una situación en un triángulo y termina cuando la medida obtenida encaja con el dibujo, las unidades y el intervalo del problema.

La decisión central. Antes de calcular, identifica qué datos forman una pareja natural: dos catetos, un lado y su ángulo opuesto, dos lados con el ángulo comprendido o dos observaciones de la misma altura.

Cuando el dibujo está claro, pero no aparece la ecuación

En trigonometría, el atasco suele estar en traducir una medida o una segunda observación. En las clases se puede trabajar sobre el mismo esquema y corregir la elección de cada fórmula mientras se resuelve. Si encaja mejor una franja temprana, también se puede organizar el trabajo en clases online por la mañana, con tiempo para plantear y revisar cada problema.

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Preguntas frecuentes

¿Qué se trabaja en este cuaderno?

Razones trigonométricas, grados y radianes, cuadrantes, resolución de triángulos, teoremas del seno y del coseno, áreas, problemas de medida indirecta y una introducción final a identidades y ecuaciones.

¿Cuándo conviene utilizar la tangente?

Cuando un triángulo rectángulo relaciona una altura o desnivel con una distancia horizontal. También aparece en problemas con dos observaciones del mismo objeto.

¿Cómo se elige entre el teorema del seno y el del coseno?

El teorema del seno resulta natural cuando se conoce una pareja formada por un lado y su ángulo opuesto. El del coseno suele empezar cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido o los tres lados.

¿Por qué una ecuación trigonométrica puede tener varias soluciones?

Porque las razones se repiten periódicamente y pueden tomar el mismo valor en varios cuadrantes. El intervalo del enunciado decide cuántas soluciones hay que escribir.

¿Se estudian aquí las gráficas de seno, coseno y tangente?

Aquí se utiliza la periodicidad necesaria para comprender razones y ecuaciones. El estudio gráfico completo se reserva para el cuaderno de Funciones y gráficas.

Recurso elaborado por José María · Marlu Educativa.

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