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Trigonometría 4 ESO y 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso
Trigonometría con triángulos, seno, coseno, tangente, teoremas y ecuaciones resueltas paso a paso
Este recurso está pensado para estudiar trigonometría desde el dibujo del triángulo hasta los problemas de 1 Bachillerato: razones trigonométricas, ángulos de elevación y depresión, teorema del seno, teorema del coseno, identidades y ecuaciones trigonométricas.
La clave no es memorizar fórmulas sueltas, sino saber qué triángulo se está dibujando, qué dato corresponde a cada lado y qué razón trigonométrica permite avanzar.
Cómo estudiar trigonometría sin perderse
En trigonometría muchos fallos vienen de empezar a calcular demasiado pronto. Antes de usar una fórmula conviene hacer tres cosas: dibujar el triángulo, marcar el ángulo conocido y nombrar los lados respecto a ese ángulo. Si el triángulo es rectángulo, normalmente bastan seno, coseno y tangente. Si no es rectángulo, entran el teorema del seno y el teorema del coseno.
En los problemas de torres, sombras, rampas, drones, barcos o ángulos de visión, el dibujo es casi siempre más importante que la fórmula. Cuando el enunciado dice que nos alejamos y vemos el objeto bajo otro ángulo, suelen aparecer dos triángulos rectángulos y un sistema de ecuaciones.
Índice del recurso
1. Fórmulas necesarias y dibujo del triángulo
Triángulo rectángulo
\[ \sin \alpha=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \cos \alpha=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \tan \alpha=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} \]
Teorema del seno
En un triángulo cualquiera:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \]
Se usa cuando conocemos un lado con su ángulo opuesto y otro dato más.
Teorema del coseno
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \]
Se usa cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido, o los tres lados y queremos un ángulo.
2. Triángulos rectángulos y razones trigonométricas
Ejercicio 1. En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 cm y 4 cm. Calcula seno, coseno y tangente del ángulo cuyo cateto opuesto mide 3 cm
Primero calculamos la hipotenusa con Pitágoras.
\[ h=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 \]
Respecto al ángulo indicado, el cateto opuesto mide 3 cm y el contiguo mide 4 cm.
\[ \sin \alpha=\frac{3}{5} \]
\[ \cos \alpha=\frac{4}{5} \]
\[ \tan \alpha=\frac{3}{4} \]
Ejercicio 2. Un ángulo mide \(30^\circ\) y su cateto opuesto mide 12 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto
Usamos el seno porque relaciona cateto opuesto e hipotenusa.
\[ \sin 30^\circ=\frac{12}{h} \]
Como \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{2}=\frac{12}{h} \]
\[ h=24 \]
Para el cateto contiguo usamos coseno.
\[ \cos 30^\circ=\frac{c}{24} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{24} \]
\[ c=12\sqrt{3} \]
Ejercicio 3. Desde un punto situado a 25 m de una torre se observa su parte superior con un ángulo de \(40^\circ\). Calcula la altura
Dibujamos un triángulo rectángulo. La altura es el cateto opuesto y la distancia de 25 m es el cateto contiguo.
\[ \tan 40^\circ=\frac{h}{25} \]
\[ h=25\cdot \tan 40^\circ \]
\[ h\approx 25\cdot 0.8391=20.98 \]
Ejercicio 4. Una escalera de 6 m forma un ángulo de \(70^\circ\) con el suelo. Calcula la altura que alcanza y la distancia a la pared
La escalera es la hipotenusa. La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(70^\circ\).
\[ \sin 70^\circ=\frac{h}{6} \]
\[ h=6\sin 70^\circ\approx 6\cdot 0.9397=5.64 \]
La distancia a la pared es el cateto contiguo.
\[ \cos 70^\circ=\frac{x}{6} \]
\[ x=6\cos 70^\circ\approx 6\cdot 0.3420=2.05 \]
Ejercicio 5. Un árbol proyecta una sombra de 12 m. El ángulo de elevación del Sol es \(35^\circ\). Calcula la altura del árbol
La sombra es el cateto contiguo y la altura es el cateto opuesto.
\[ \tan 35^\circ=\frac{h}{12} \]
\[ h=12\tan 35^\circ \]
\[ h\approx 12\cdot 0.7002=8.40 \]
Ejercicio 6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9 cm y 12 cm. Calcula el ángulo opuesto al cateto de 9 cm
Primero calculamos la hipotenusa.
\[ h=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15 \]
Respecto al ángulo buscado:
\[ \sin \alpha=\frac{9}{15}=0.6 \]
\[ \alpha=\arcsin(0.6) \]
\[ \alpha\approx 36.87^\circ \]
Ejercicio 7. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 10 cm y un ángulo de \(53^\circ\). Calcula sus catetos
El cateto opuesto se calcula con seno.
\[ \sin 53^\circ=\frac{o}{10} \]
\[ o=10\sin 53^\circ\approx 7.99 \]
El cateto contiguo se calcula con coseno.
\[ \cos 53^\circ=\frac{c}{10} \]
\[ c=10\cos 53^\circ\approx 6.02 \]
Ejercicio 8. Una torre mide 18 m y estamos a 24 m de su base. Calcula el ángulo de elevación
La altura es el cateto opuesto y la distancia es el cateto contiguo.
\[ \tan \alpha=\frac{18}{24}=0.75 \]
\[ \alpha=\arctan(0.75) \]
\[ \alpha\approx 36.87^\circ \]
Ejercicio 9. Desde un acantilado de 50 m se observa una barca con un ángulo de depresión de \(25^\circ\). Calcula la distancia horizontal a la barca
El ángulo de depresión coincide con el ángulo de elevación desde la barca. La altura es 50 m.
\[ \tan 25^\circ=\frac{50}{x} \]
\[ x=\frac{50}{\tan 25^\circ} \]
\[ x\approx \frac{50}{0.4663}=107.23 \]
Ejercicio 10. Una rampa salva una altura de 1.2 m con una inclinación de \(8^\circ\). Calcula la longitud de la rampa
La altura es el cateto opuesto y la rampa es la hipotenusa.
\[ \sin 8^\circ=\frac{1.2}{L} \]
\[ L=\frac{1.2}{\sin 8^\circ} \]
\[ L\approx \frac{1.2}{0.1392}=8.62 \]
3. Grados, radianes y circunferencia trigonométrica
Ejercicio 11. Pasa \(150^\circ\) a radianes
\[ 150^\circ\cdot \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6} \]
Ejercicio 12. Pasa \(\frac{7\pi}{6}\) radianes a grados
\[ \frac{7\pi}{6}\cdot \frac{180^\circ}{\pi}=7\cdot 30^\circ=210^\circ \]
Ejercicio 13. Calcula \(\sin 120^\circ\), \(\cos 120^\circ\) y \(\tan 120^\circ\)
\(120^\circ\) está en el segundo cuadrante. Su ángulo de referencia es \(60^\circ\).
En el segundo cuadrante el seno es positivo, el coseno negativo y la tangente negativa.
\[ \sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos 120^\circ=-\frac{1}{2} \]
\[ \tan 120^\circ=\frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ}=-\sqrt{3} \]
Ejercicio 14. Reduce \(765^\circ\) a un ángulo entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\)
Restamos vueltas completas de \(360^\circ\).
\[ 765^\circ-360^\circ=405^\circ \]
\[ 405^\circ-360^\circ=45^\circ \]
Ejercicio 15. Calcula \(\sin(-30^\circ)\) y \(\cos(-30^\circ)\)
El seno es una función impar y el coseno es una función par.
\[ \sin(-30^\circ)=-\sin 30^\circ=-\frac{1}{2} \]
\[ \cos(-30^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Ejercicio 16. Si \(\cos \alpha=\frac{3}{5}\) y \(\alpha\) está en el cuarto cuadrante, calcula \(\sin \alpha\) y \(\tan \alpha\)
Usamos la identidad fundamental.
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \]
\[ \sin^2\alpha+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1 \]
\[ \sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} \]
\[ \sin \alpha=\pm \frac{4}{5} \]
En el cuarto cuadrante el seno es negativo.
\[ \sin \alpha=-\frac{4}{5} \]
\[ \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac{4}{3} \]
Ejercicio 17. Si \(\sin \alpha=\frac{5}{13}\) y \(\alpha\) está en el segundo cuadrante, calcula \(\cos \alpha\) y \(\tan \alpha\)
Aplicamos la identidad fundamental.
\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha \]
\[ \cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169} \]
\[ \cos \alpha=\pm \frac{12}{13} \]
En el segundo cuadrante el coseno es negativo.
\[ \cos \alpha=-\frac{12}{13} \]
\[ \tan \alpha=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12} \]
Ejercicio 18. Calcula la longitud de un arco de radio 6 cm y ángulo central \(\frac{2\pi}{3}\)
La longitud de arco se calcula con:
\[ s=r\theta \]
El ángulo debe estar en radianes. Ya lo está.
\[ s=6\cdot \frac{2\pi}{3}=4\pi \]
4. Problemas con tangente y doble observación
Ejercicio 19. Desde 30 m de una torre se observa su parte superior con un ángulo de \(52^\circ\). Calcula la altura
Usamos tangente.
\[ \tan 52^\circ=\frac{h}{30} \]
\[ h=30\tan 52^\circ \]
\[ h\approx 30\cdot 1.2799=38.40 \]
Ejercicio 20. Un edificio mide 15 m y se observa su parte superior con un ángulo de \(28^\circ\). Calcula la distancia al edificio
La altura es el cateto opuesto y la distancia es el cateto contiguo.
\[ \tan 28^\circ=\frac{15}{x} \]
\[ x=\frac{15}{\tan 28^\circ} \]
\[ x\approx \frac{15}{0.5317}=28.21 \]
Ejercicio 21. Desde un punto se ve una torre bajo \(45^\circ\). Al alejarse 20 m, se ve bajo \(30^\circ\). Calcula la altura de la torre
Llamamos \(x\) a la distancia inicial y \(h\) a la altura.
Primer triángulo:
\[ \tan 45^\circ=\frac{h}{x} \]
Como \(\tan 45^\circ=1\):
\[ h=x \]
Segundo triángulo, después de alejarse 20 m:
\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{x+20} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+20} \]
\[ x+20=\sqrt{3}h \]
Como \(h=x\):
\[ x+20=\sqrt{3}x \]
\[ 20=x(\sqrt{3}-1) \]
\[ x=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10(\sqrt{3}+1) \]
Por tanto:
\[ h=10(\sqrt{3}+1)\approx 27.32 \]
Ejercicio 22. Desde un punto se ve la cima de un árbol con \(30^\circ\). Al acercarnos 10 m, se ve con \(45^\circ\). Calcula la altura
Llamamos \(x\) a la distancia inicial y \(h\) a la altura.
Desde el primer punto:
\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{x} \]
\[ h=\frac{x}{\sqrt{3}} \]
Al acercarnos 10 m, la distancia es \(x-10\):
\[ \tan 45^\circ=\frac{h}{x-10} \]
\[ h=x-10 \]
Igualamos:
\[ \frac{x}{\sqrt{3}}=x-10 \]
\[ x=15+5\sqrt{3}\approx 23.66 \]
Entonces:
\[ h=x-10=5+5\sqrt{3}\approx 13.66 \]
Ejercicio 23. Desde un punto se ve una torre bajo \(60^\circ\). Desde otro punto 30 m más alejado se ve bajo \(30^\circ\). Calcula la altura
Llamamos \(x\) a la distancia desde el punto más cercano.
Primer punto:
\[ \tan 60^\circ=\frac{h}{x} \]
\[ h=\sqrt{3}x \]
Segundo punto:
\[ \tan 30^\circ=\frac{h}{x+30} \]
\[ h=\frac{x+30}{\sqrt{3}} \]
Igualamos:
\[ \sqrt{3}x=\frac{x+30}{\sqrt{3}} \]
Multiplicamos por \(\sqrt{3}\):
\[ 3x=x+30 \]
\[ 2x=30 \]
\[ x=15 \]
\[ h=15\sqrt{3}\approx 25.98 \]
Ejercicio 24. Dos observadores separados 50 m miran una torre situada entre ellos. Los ángulos de elevación son \(35^\circ\) y \(48^\circ\). Calcula la altura
Llamamos \(x\) a la distancia desde el primer observador hasta la torre. La otra distancia será \(50-x\).
Primer observador:
\[ h=x\tan 35^\circ \]
Segundo observador:
\[ h=(50-x)\tan 48^\circ \]
Igualamos:
\[ x\tan 35^\circ=(50-x)\tan 48^\circ \]
\[ x=\frac{50\tan 48^\circ}{\tan 35^\circ+\tan 48^\circ} \]
\[ x\approx \frac{50\cdot 1.1106}{0.7002+1.1106}=30.67 \]
Calculamos la altura:
\[ h=30.67\cdot \tan 35^\circ\approx 21.48 \]
Ejercicio 25. Un árbol se rompe y la punta toca el suelo a 8 m de la base. El tronco roto forma \(55^\circ\) con el suelo. Calcula la altura original del árbol
La distancia horizontal hasta la punta es 8 m. La parte rota es la hipotenusa.
Altura hasta el punto de rotura:
\[ \tan 55^\circ=\frac{h_1}{8} \]
\[ h_1=8\tan 55^\circ\approx 11.43 \]
Longitud de la parte rota:
\[ \cos 55^\circ=\frac{8}{L} \]
\[ L=\frac{8}{\cos 55^\circ}\approx 13.95 \]
Altura original:
\[ H=h_1+L\approx 11.43+13.95=25.38 \]
Ejercicio 26. Desde un balcón situado a 12 m de altura se observa un coche con un ángulo de depresión de \(37^\circ\). Calcula la distancia horizontal
El ángulo de depresión coincide con el ángulo de elevación desde el coche.
\[ \tan 37^\circ=\frac{12}{x} \]
\[ x=\frac{12}{\tan 37^\circ} \]
\[ x\approx \frac{12}{0.7536}=15.92 \]
Ejercicio 27. Un cable de 20 m sujeta un poste formando \(65^\circ\) con el suelo. Calcula la altura del punto de sujeción y la distancia al poste
El cable es la hipotenusa.
Altura:
\[ h=20\sin 65^\circ\approx 20\cdot 0.9063=18.13 \]
Distancia horizontal:
\[ x=20\cos 65^\circ\approx 20\cdot 0.4226=8.45 \]
Ejercicio 28. Desde una distancia horizontal de 800 m se observa la cima de una montaña con un ángulo de \(12^\circ\). Calcula la altura ganada respecto al observador
Usamos tangente.
\[ \tan 12^\circ=\frac{h}{800} \]
\[ h=800\tan 12^\circ \]
\[ h\approx 800\cdot 0.2126=170.08 \]
Ejercicio 29. Un dron está a 120 m en línea recta del observador y se ve con un ángulo de elevación de \(18^\circ\). Calcula su altura
La distancia de 120 m es la hipotenusa.
\[ \sin 18^\circ=\frac{h}{120} \]
\[ h=120\sin 18^\circ \]
\[ h\approx 120\cdot 0.3090=37.08 \]
Ejercicio 30. Desde un punto situado a 40 m de un edificio se observa el tejado con \(35^\circ\) y la punta de una antena con \(42^\circ\). Calcula la altura de la antena
Altura hasta el tejado:
\[ h_1=40\tan 35^\circ \]
Altura hasta la punta de la antena:
\[ h_2=40\tan 42^\circ \]
La altura de la antena es la diferencia:
\[ h=h_2-h_1=40(\tan 42^\circ-\tan 35^\circ) \]
\[ h\approx 40(0.9004-0.7002)=8.01 \]
Cuando trigonometría empieza a mezclarse con problemas
En 4 ESO y 1 Bachillerato el salto importante aparece cuando el alumno ya sabe calcular seno, coseno y tangente, pero no sabe traducir un enunciado a un dibujo. En Marlu Educativa trabajamos esa traducción: dibujo, datos, ecuación, cálculo y comprobación.
5. Teorema del seno y teorema del coseno
Ejercicio 31. En un triángulo \(A=40^\circ\), \(B=65^\circ\) y \(a=10\) cm. Calcula \(C\), \(b\) y \(c\)
Primero calculamos el tercer ángulo.
\[ C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ \]
Aplicamos el teorema del seno:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \]
\[ b=\frac{10\sin 65^\circ}{\sin 40^\circ}\approx 14.10 \]
\[ c=\frac{10\sin 75^\circ}{\sin 40^\circ}\approx 15.03 \]
Ejercicio 32. En un triángulo \(A=50^\circ\), \(a=12\) cm y \(b=9\) cm. Calcula \(B\) y \(C\)
Aplicamos teorema del seno.
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \]
\[ \sin B=\frac{b\sin A}{a} \]
\[ \sin B=\frac{9\sin 50^\circ}{12}\approx 0.5745 \]
\[ B\approx 35.08^\circ \]
El otro posible ángulo sería \(144.92^\circ\), pero \(144.92^\circ+50^\circ\gt 180^\circ\), así que no vale.
\[ C=180^\circ-50^\circ-35.08^\circ=94.92^\circ \]
Ejercicio 33. Dos lados de un triángulo miden 7 cm y 9 cm, y el ángulo comprendido mide \(60^\circ\). Calcula el tercer lado
Usamos el teorema del coseno.
\[ c^2=7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cos 60^\circ \]
\[ c^2=49+81-126\cdot \frac{1}{2} \]
\[ c^2=130-63=67 \]
\[ c=\sqrt{67}\approx 8.19 \]
Ejercicio 34. Un triángulo tiene lados 8 cm, 10 cm y 12 cm. Calcula el ángulo opuesto al lado de 12 cm
Usamos el teorema del coseno despejando el coseno del ángulo.
\[ 12^2=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cos C \]
\[ 144=64+100-160\cos C \]
\[ 144=164-160\cos C \]
\[ 160\cos C=20 \]
\[ \cos C=\frac{1}{8} \]
\[ C\approx 82.82^\circ \]
Ejercicio 35. Dos lados de un triángulo miden 15 cm y 20 cm, y el ángulo comprendido mide \(35^\circ\). Calcula el tercer lado
Aplicamos teorema del coseno.
\[ c^2=15^2+20^2-2\cdot 15\cdot 20\cos 35^\circ \]
\[ c^2=225+400-600\cos 35^\circ \]
\[ c^2\approx 625-600\cdot 0.8192=133.48 \]
\[ c\approx 11.55 \]
Ejercicio 36. Dos barcos salen de un puerto. Uno recorre 12 km y otro 18 km formando entre sus trayectorias un ángulo de \(70^\circ\). Calcula la distancia entre los barcos
Tenemos dos lados y el ángulo comprendido. Usamos coseno.
\[ d^2=12^2+18^2-2\cdot 12\cdot 18\cos 70^\circ \]
\[ d^2=144+324-432\cos 70^\circ \]
\[ d^2\approx 468-432\cdot 0.3420=320.26 \]
\[ d\approx 17.90 \]
Ejercicio 37. En un triángulo \(A=30^\circ\), \(B=80^\circ\) y \(a=14\) cm. Calcula \(b\) y \(c\)
Calculamos \(C\).
\[ C=180^\circ-30^\circ-80^\circ=70^\circ \]
Por el teorema del seno:
\[ b=\frac{14\sin 80^\circ}{\sin 30^\circ} \]
\[ b\approx \frac{14\cdot 0.9848}{0.5}=27.57 \]
\[ c=\frac{14\sin 70^\circ}{\sin 30^\circ} \]
\[ c\approx \frac{14\cdot 0.9397}{0.5}=26.31 \]
Ejercicio 38. En un triángulo \(a=10\) cm, \(b=14\) cm y \(A=40^\circ\). Estudia las posibles soluciones
Aplicamos teorema del seno.
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \]
\[ \sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{14\sin 40^\circ}{10} \]
\[ \sin B\approx 0.8999 \]
Puede haber dos ángulos con el mismo seno:
\[ B_1\approx 64.15^\circ \]
\[ B_2=180^\circ-64.15^\circ=115.85^\circ \]
Ambos son posibles porque al sumarlos con \(A=40^\circ\) no se supera \(180^\circ\).
Ejercicio 39. Calcula el área de un triángulo con lados 10 cm y 16 cm y ángulo comprendido \(55^\circ\)
Usamos la fórmula del área con dos lados y el ángulo comprendido.
\[ A=\frac{1}{2}ab\sin C \]
\[ A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 16\cdot \sin 55^\circ \]
\[ A=80\sin 55^\circ\approx 65.53 \]
Ejercicio 40. Calcula el área de un triángulo de lados 13 cm, 14 cm y 15 cm
Usamos la fórmula de Herón.
\[ s=\frac{13+14+15}{2}=21 \]
\[ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
\[ A=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \]
\[ A=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} \]
\[ A=\sqrt{7056}=84 \]
Ejercicio 41. Un triángulo tiene \(a=9\) cm, \(b=11\) cm y \(C=120^\circ\). Calcula el lado \(c\)
Aplicamos el teorema del coseno.
\[ c^2=9^2+11^2-2\cdot 9\cdot 11\cos 120^\circ \]
Como \(\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}\):
\[ c^2=81+121-198\left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ c^2=202+99=301 \]
\[ c=\sqrt{301}\approx 17.35 \]
Ejercicio 42. Dos pueblos \(A\) y \(B\) están separados 8 km. Desde \(A\) se ve una torre con un ángulo de \(50^\circ\) respecto a \(AB\), y desde \(B\) con \(70^\circ\). Calcula las distancias a la torre
El triángulo tiene:
\[ A=50^\circ,\quad B=70^\circ \]
\[ C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ \]
El lado \(AB=8\) km es opuesto a \(C=60^\circ\).
Por el teorema del seno:
\[ \frac{8}{\sin 60^\circ}=\frac{AT}{\sin 70^\circ} \]
\[ AT=\frac{8\sin 70^\circ}{\sin 60^\circ}\approx 8.68 \]
\[ \frac{8}{\sin 60^\circ}=\frac{BT}{\sin 50^\circ} \]
\[ BT=\frac{8\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}\approx 7.08 \]
6. Áreas, alturas, rumbos y aplicaciones
Ejercicio 43. Un triángulo tiene lados 12 cm y 18 cm con ángulo comprendido \(40^\circ\). Calcula su área
\[ A=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 18\cdot \sin 40^\circ \]
\[ A=108\sin 40^\circ\approx 108\cdot 0.6428=69.42 \]
Ejercicio 44. Una cometa está sujeta por una cuerda de 80 m que forma \(38^\circ\) con el suelo. Calcula la altura si la mano está a 1.5 m del suelo
La subida respecto a la mano es:
\[ h_1=80\sin 38^\circ \]
\[ h_1\approx 80\cdot 0.6157=49.26 \]
Sumamos la altura de la mano:
\[ h=49.26+1.5=50.76 \]
Ejercicio 45. Un avión asciende formando \(12^\circ\) con la horizontal. Si recorre 5 km, calcula la altura ganada
La trayectoria es la hipotenusa.
\[ h=5\sin 12^\circ \]
\[ h\approx 5\cdot 0.2079=1.04 \]
Ejercicio 46. Dos caminos salen de un punto formando \(110^\circ\). Una persona recorre 4 km por uno y otra 6 km por el otro. Calcula la distancia entre ellas
Usamos teorema del coseno.
\[ d^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos 110^\circ \]
\[ d^2=16+36-48\cos 110^\circ \]
Como \(\cos 110^\circ\approx -0.3420\):
\[ d^2\approx 52+16.42=68.42 \]
\[ d\approx 8.27 \]
Ejercicio 47. Un terreno triangular tiene lados 30 m y 45 m con ángulo comprendido \(75^\circ\). Calcula su superficie
\[ A=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 45\cdot \sin 75^\circ \]
\[ A=675\sin 75^\circ \]
\[ A\approx 675\cdot 0.9659=651.98 \]
Ejercicio 48. Una antena se sujeta con dos cables de 25 m y 30 m que forman \(50^\circ\) entre sí. Calcula la distancia entre los puntos de anclaje
Los cables y la distancia entre anclajes forman un triángulo.
\[ d^2=25^2+30^2-2\cdot 25\cdot 30\cos 50^\circ \]
\[ d^2=625+900-1500\cos 50^\circ \]
\[ d^2\approx 1525-1500\cdot 0.6428=560.8 \]
\[ d\approx 23.68 \]
7. Identidades trigonométricas
Ejercicio 49. Demuestra que \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
Esta es una identidad básica. En un triángulo rectángulo:
\[ \sin x=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \cos x=\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}} \]
Entonces:
\[ \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}{\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}} =\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}=\tan x \]
Ejercicio 50. Demuestra que \(1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
Partimos del primer miembro.
\[ 1+\tan^2 x=1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \]
Escribimos 1 con denominador \(\cos^2 x\).
\[ 1=\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} \]
\[ 1+\tan^2 x=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \]
Como \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\):
\[ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} \]
Ejercicio 51. Simplifica \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}\)
Usamos la identidad fundamental.
\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]
\[ 1-\cos^2 x=\sin^2 x \]
Entonces:
\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \]
Ejercicio 52. Simplifica \((1-\sin x)(1+\sin x)\)
Es una diferencia de cuadrados.
\[ (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2 x \]
Por la identidad fundamental:
\[ 1-\sin^2 x=\cos^2 x \]
Ejercicio 53. Simplifica \(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)
Sumamos con denominador común \(\sin x\cos x\).
\[ \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x} \]
Como \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\):
\[ \frac{1}{\sin x\cos x} \]
Ejercicio 54. Demuestra que \(\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x\)
Partimos del primer miembro.
\[ \cos^2 x-\sin^2 x \]
Usamos \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\).
\[ \cos^2 x-\sin^2 x=(1-\sin^2 x)-\sin^2 x \]
\[ 1-2\sin^2 x \]
Ejercicio 55. Demuestra que \((1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2 x\)
Multiplicamos como diferencia de cuadrados.
\[ (1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^2 x \]
Por la identidad fundamental:
\[ 1-\cos^2 x=\sin^2 x \]
Ejercicio 56. Simplifica \(\tan x\cdot \cos x\)
Sustituimos la tangente por seno entre coseno.
\[ \tan x\cdot \cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x \]
\[ \tan x\cdot \cos x=\sin x \]
Ejercicio 57. Desarrolla y simplifica \((\sin x+\cos x)^2\)
Desarrollamos el cuadrado de una suma.
\[ (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x \]
Usamos \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
\[ (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x \]
Ejercicio 58. Simplifica \(\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}\)
Sumamos con denominador común.
\[ \frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x} = \frac{1-\sin x+1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \]
\[ =\frac{2}{1-\sin^2 x} \]
Como \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\):
\[ \frac{2}{\cos^2 x} \]
8. Ecuaciones trigonométricas
Ejercicio 59. Resuelve \(\sin x=\frac{1}{2}\)
El seno vale \(\frac{1}{2}\) en el primer y segundo cuadrante.
\[ x=30^\circ,\quad x=150^\circ \]
Ejercicio 60. Resuelve \(\cos x=-\frac{1}{2}\)
El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante.
El ángulo de referencia es \(60^\circ\).
\[ x=120^\circ,\quad x=240^\circ \]
Ejercicio 61. Resuelve \(\tan x=1\)
La tangente vale 1 cuando seno y coseno tienen el mismo valor y el mismo signo.
\[ x=45^\circ,\quad x=225^\circ \]
Ejercicio 62. Resuelve \(2\sin x-1=0\)
Despejamos.
\[ 2\sin x=1 \]
\[ \sin x=\frac{1}{2} \]
Entonces:
\[ x=30^\circ,\quad x=150^\circ \]
Ejercicio 63. Resuelve \(\cos^2 x=\frac{1}{4}\)
Tomamos raíz con ambos signos.
\[ \cos x=\pm \frac{1}{2} \]
Para \(\cos x=\frac{1}{2}\):
\[ x=60^\circ,\quad x=300^\circ \]
Para \(\cos x=-\frac{1}{2}\):
\[ x=120^\circ,\quad x=240^\circ \]
Ejercicio 64. Resuelve \(\sin^2 x-\sin x=0\)
Sacamos factor común.
\[ \sin x(\sin x-1)=0 \]
Primera posibilidad:
\[ \sin x=0 \]
\[ x=0^\circ,\quad x=180^\circ \]
Segunda posibilidad:
\[ \sin x=1 \]
\[ x=90^\circ \]
Ejercicio 65. Resuelve \(2\cos^2 x-3\cos x+1=0\)
Hacemos el cambio \(t=\cos x\).
\[ 2t^2-3t+1=0 \]
Factorizamos:
\[ (2t-1)(t-1)=0 \]
\[ t=\frac{1}{2}\quad \text{o} \quad t=1 \]
Volvemos a \(x\).
Si \(\cos x=\frac{1}{2}\):
\[ x=60^\circ,\quad x=300^\circ \]
Si \(\cos x=1\):
\[ x=0^\circ \]
Ejercicio 66. Resuelve \(\tan^2 x=3\)
Tomamos raíz.
\[ \tan x=\pm \sqrt{3} \]
Para tangente positiva:
\[ x=60^\circ,\quad x=240^\circ \]
Para tangente negativa:
\[ x=120^\circ,\quad x=300^\circ \]
Ejercicio 67. Resuelve \(\sin(2x)=0\)
En \([0^\circ,360^\circ)\), \(2x\) recorre \([0^\circ,720^\circ)\).
\[ \sin(2x)=0 \]
\[ 2x=0^\circ,\ 180^\circ,\ 360^\circ,\ 540^\circ \]
Dividimos entre 2:
\[ x=0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ,\ 270^\circ \]
Ejercicio 68. Resuelve \(\cos(x-30^\circ)=\frac{1}{2}\)
Sabemos que el coseno vale \(\frac{1}{2}\) en:
\[ 60^\circ,\quad 300^\circ \]
Entonces:
\[ x-30^\circ=60^\circ \]
\[ x=90^\circ \]
Y también:
\[ x-30^\circ=300^\circ \]
\[ x=330^\circ \]
9. Simulacro final tipo examen
Ejercicio 69. Una torre se observa desde un punto con \(40^\circ\). Al acercarnos 25 m, se observa con \(58^\circ\). Calcula la altura
Llamamos \(x\) a la distancia inicial y \(h\) a la altura.
Desde el primer punto:
\[ \tan 40^\circ=\frac{h}{x} \]
\[ h=x\tan 40^\circ \]
Desde el segundo punto, la distancia es \(x-25\):
\[ \tan 58^\circ=\frac{h}{x-25} \]
\[ h=(x-25)\tan 58^\circ \]
Igualamos:
\[ x\tan 40^\circ=(x-25)\tan 58^\circ \]
\[ x\cdot 0.8391=(x-25)\cdot 1.6003 \]
\[ 0.8391x=1.6003x-40.0075 \]
\[ 40.0075=0.7612x \]
\[ x\approx 52.56 \]
Calculamos la altura:
\[ h=52.56\cdot \tan 40^\circ \]
\[ h\approx 52.56\cdot 0.8391=44.10 \]
Ejercicio 70. Resuelve en \([0^\circ,360^\circ)\) la ecuación \(2\sin^2 x+\sin x-1=0\)
Hacemos el cambio:
\[ t=\sin x \]
La ecuación queda:
\[ 2t^2+t-1=0 \]
Factorizamos:
\[ (2t-1)(t+1)=0 \]
\[ t=\frac{1}{2}\quad \text{o} \quad t=-1 \]
Volvemos a \(x\).
Si \(\sin x=\frac{1}{2}\):
\[ x=30^\circ,\quad x=150^\circ \]
Si \(\sin x=-1\):
\[ x=270^\circ \]
10. Errores reales de alumno y revisión final
Error 1. Usar seno, coseno o tangente sin mirar el dibujo
Antes de escribir una fórmula hay que decidir qué lado es opuesto, qué lado es contiguo y cuál es la hipotenusa. El mismo lado puede ser opuesto o contiguo según el ángulo elegido.
Error 2. Confundir ángulo de elevación y depresión
El ángulo de depresión se mide desde la horizontal hacia abajo, pero suele ser igual al ángulo de elevación visto desde el otro punto. El dibujo evita casi todos los errores.
Error 3. Aplicar teorema del seno cuando toca coseno
Si se conocen dos lados y el ángulo comprendido, normalmente se usa el teorema del coseno. Si se conoce un lado con su ángulo opuesto, suele aparecer el teorema del seno.
Error 4. Perder soluciones en ecuaciones trigonométricas
En \([0^\circ,360^\circ)\) puede haber varias soluciones. No basta con poner la primera que da la calculadora. Hay que mirar cuadrantes y signos.
Recursos relacionados para seguir estudiando Matemáticas
La trigonometría conecta con álgebra, ecuaciones, sistemas, geometría analítica, funciones y problemas de aplicación. Si el alumno falla en trigonometría, muchas veces conviene reforzar también ecuaciones, despejes, radicales y representación gráfica.
Preparar trigonometría con método, dibujo y corrección real
La trigonometría se entiende cuando el alumno aprende a ver el triángulo antes de calcular. En Marlu Educativa trabajamos cada problema desde el dibujo, la elección de fórmula, el desarrollo algebraico y la comprobación final.
Este enfoque es especialmente importante en 4 ESO y 1 Bachillerato, donde los ejercicios dejan de ser mecánicos y empiezan a mezclar razones trigonométricas, ecuaciones, identidades, teoremas y problemas de aplicación.
Preguntas frecuentes sobre trigonometría en 4 ESO y 1 Bachillerato
¿Qué es lo más importante para empezar trigonometría?
Lo más importante es saber dibujar el triángulo y distinguir cateto opuesto, cateto contiguo e hipotenusa respecto al ángulo elegido. Sin ese paso, las fórmulas se aplican al azar.
¿Cuándo se usa la tangente?
La tangente suele usarse cuando conocemos o buscamos una altura y una distancia horizontal. Es muy frecuente en problemas de torres, sombras, rampas, edificios y ángulos de elevación.
¿Cuándo se usa el teorema del seno?
El teorema del seno se usa en triángulos no rectángulos cuando conocemos un lado y su ángulo opuesto, además de otro dato que permita completar el triángulo.
¿Cuándo se usa el teorema del coseno?
El teorema del coseno se usa cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido, o cuando conocemos los tres lados y queremos calcular un ángulo.
¿Por qué las ecuaciones trigonométricas tienen varias soluciones?
Porque seno, coseno y tangente repiten valores en distintos cuadrantes. Por eso no basta con obtener una solución con la calculadora: hay que revisar el intervalo pedido y los signos en cada cuadrante.