Qué métodos hay para resolver sistemas de ecuaciones

Los métodos más habituales son sustitución, igualación, reducción, Gauss, regla de Cramer y, para discutir sistemas, el teorema de Rouché-Frobenius.

Cuándo conviene usar el método de Gauss

El método de Gauss conviene especialmente en sistemas 3x3 o superiores, cuando interesa triangular la matriz ampliada y clasificar el sistema.

Cuándo se puede usar la regla de Cramer

La regla de Cramer puede usarse en sistemas cuadrados cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. En ese caso el sistema tiene solución única.

Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius

El teorema compara el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada. Si coinciden, el sistema es compatible. Si no coinciden, el sistema es incompatible.

Por qué son importantes los sistemas de ecuaciones

Son importantes porque aparecen en ESO, Bachillerato, Matemáticas Sociales, PAU, matrices, problemas económicos y primeros cursos universitarios. Además, entrenan la traducción de enunciados a lenguaje algebraico.

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Sistemas de ecuaciones ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU

Publicado por

JOSE-MARIA

mayo 16, 2026

el mayo 16, 2026

Sistemas de ecuaciones ejercicios resueltos ESO Bachillerato y PAU

Un recurso completo para dominar sistemas de ecuaciones desde ESO hasta Bachillerato, PAU y primeros cursos universitarios.

Los sistemas de ecuaciones aparecen en casi todos los niveles: problemas de 2º y 3º ESO, sistemas más elaborados en 4º ESO, sistemas 3x3 en Bachillerato, matrices, método de Gauss, regla de Cramer, teorema de Rouché-Frobenius, sistemas con parámetro, Matemáticas Sociales, problemas económicos y preparación universitaria.

La clave no es aprender un único método. La clave es saber elegir: sustitución cuando una incógnita se despeja fácil, igualación cuando dos ecuaciones permiten despejar la misma variable, reducción cuando conviene eliminar, Gauss cuando el sistema crece y Rouché-Frobenius cuando hay parámetros y hay que discutir compatibilidad.

En Marlu Educativa trabajamos estos temas en clases online de Matemáticas para Bachillerato, en clases online para toda España y en clases presenciales en Salamanca.

¿Te cuestan los sistemas de ecuaciones?

Si te bloqueas al elegir método, al hacer problemas de enunciado, al resolver sistemas 3x3 o al discutir sistemas con parámetro, puedes preparar este bloque con seguimiento personalizado en Marlu Educativa.

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Índice clicable del recurso

Mapa por cursos y métodos
Cuándo usar sustitución, igualación, reducción, Gauss o Cramer
Ejercicio 1: sustitución básico ESO
Ejercicio 2: igualación básico ESO
Ejercicio 3: reducción básico ESO
Ejercicio 4: problema de edades
Ejercicio 5: problema de entradas
Ejercicio 6: sistema con fracciones
Ejercicio 7: sistema no lineal sencillo
Ejercicio 8: sistema 3x3 por reducción
Ejercicio 9: sistema 3x3 por Gauss
Ejercicio 10: Gauss con solución única
Ejercicio 11: Gauss compatible indeterminado
Ejercicio 12: Gauss incompatible
Ejercicio 13: regla de Cramer 2x2
Ejercicio 14: regla de Cramer 3x3
Rouché-Frobenius explicado
Ejercicio 15: discusión con parámetro 2x2
Ejercicio 16: sistema 3x3 con parámetro
Ejercicio 17: problema económico con sistemas
Ejercicio 18: matrices y sistemas en Matemáticas Sociales
Ejercicio 19: problema de mezclas
Ejercicio 20: sistema aplicado a costes e ingresos
Práctica final por niveles
Errores frecuentes
Recursos relacionados

Mapa por cursos y métodos

Los sistemas de ecuaciones forman una escalera. En ESO se aprende a resolver y traducir problemas. En Bachillerato se sistematiza con matrices, Gauss y Cramer. En PAU y universidad se discuten sistemas con parámetros y se aplica Rouché-Frobenius.

2º y 3º ESO Sistemas 2x2, sustitución, igualación, reducción y problemas sencillos.

4º ESO Sistemas con fracciones, problemas de enunciado, sistemas no lineales sencillos y elección de método.

1º Bachillerato Sistemas 3x3, reducción, Gauss, interpretación geométrica y parámetros básicos.

2º Bachillerato y PAU Matrices, determinantes, Cramer, Gauss, Rouché-Frobenius y discusión con parámetro.

Matemáticas Sociales Sistemas aplicados a precios, producción, costes, ingresos, matrices y problemas económicos.

Universidad Sistemas lineales, rangos, matrices ampliadas, dependencia lineal y discusión general.

Cuándo usar cada método

Sustitución conviene si una ecuación tiene una incógnita despejada o fácil de despejar.
Igualación conviene si ambas ecuaciones permiten despejar la misma incógnita con facilidad.
Reducción conviene si al sumar o restar ecuaciones se elimina una incógnita rápidamente.
Gauss conviene en sistemas 3x3, sistemas grandes o cuando interesa triangular.
Cramer conviene si el sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes no es cero.
Rouché-Frobenius conviene cuando hay que discutir si un sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.

Ejercicio 1. Sustitución básico ESO

Resuelve el sistema por sustitución.

\begin{cases}x+y=9\\x-y=3\end{cases}

Solución paso a paso

De la primera ecuación despejamos:

\[x=9-y\]

Sustituimos en la segunda:

\[(9-y)-y=3\]

\[9-2y=3\]

\[-2y=-6\]

\[y=3\]

Calculamos \(x\):

\[x=9-3=6\]

Resultado: \(x=6\), \(y=3\).

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Ejercicio 2. Igualación básico ESO

Resuelve por igualación.

\begin{cases}2x+y=11\\x+y=7\end{cases}

Solución paso a paso

Despejamos \(y\) en ambas ecuaciones.

\[y=11-2x\]

\[y=7-x\]

Igualamos:

\[11-2x=7-x\]

\[4=x\]

Sustituimos:

\[y=7-4=3\]

Resultado: \(x=4\), \(y=3\).

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Ejercicio 3. Reducción básico ESO

Resuelve por reducción.

\begin{cases}3x+2y=16\\5x-2y=8\end{cases}

Solución paso a paso

Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(y\).

\[(3x+2y)+(5x-2y)=16+8\]

\[8x=24\]

\[x=3\]

Sustituimos en la primera ecuación:

3\cdot3+2y=16

\[9+2y=16\]

\[2y=7\]

y=\frac72

Resultado: \(x=3\), \(y=7/2\).

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Ejercicio 4. Problema de edades

La suma de las edades de una madre y su hijo es 48 años. La madre tiene el triple de edad que el hijo. Calcula las edades.

Solución paso a paso

Sea \(m\) la edad de la madre y \(h\) la edad del hijo.

\begin{cases}m+h=48\\m=3h\end{cases}

Sustituimos \(m=3h\) en la primera ecuación.

\[3h+h=48\]

\[4h=48\]

\[h=12\]

m=3\cdot12=36

Resultado: el hijo tiene 12 años y la madre 36 años.

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Ejercicio 5. Problema de entradas

En un teatro se venden entradas normales y reducidas. Se venden 30 entradas normales y 20 reducidas por 340 euros. Otro día se venden 20 normales y 40 reducidas por 400 euros. Calcula el precio de cada entrada.

Solución paso a paso

Sea \(x\) el precio de una entrada normal y \(y\) el precio de una reducida.

\begin{cases}30x+20y=340\\20x+40y=400\end{cases}

Simplificamos.

\begin{cases}3x+2y=34\\x+2y=20\end{cases}

Restamos la segunda ecuación a la primera.

\[2x=14\]

\[x=7\]

Sustituimos:

\[7+2y=20\]

\[2y=13\]

\[y=6,5\]

Resultado: la entrada normal cuesta 7 euros y la reducida 6,50 euros.

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Los problemas de sistemas se aprenden traduciendo bien el enunciado

En Marlu Educativa insistimos mucho en la fase de traducción: elegir incógnitas, escribir ecuaciones con sentido y comprobar que el resultado encaja. Puedes trabajar este bloque en clases online o pedir información desde la prematrícula de clases particulares.

Ejercicio 6. Sistema con fracciones

Resuelve el sistema.

\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5\\x-y=4\end{cases}

Solución paso a paso

Multiplicamos la primera ecuación por 6 para quitar denominadores.

\[3x+2y=30\]

El sistema queda:

\begin{cases}3x+2y=30\\x-y=4\end{cases}

De la segunda ecuación:

\[x=4+y\]

Sustituimos:

\[3(4+y)+2y=30\]

\[12+5y=30\]

\[5y=18\]

y=\frac{18}{5}

x=4+\frac{18}{5}=\frac{38}{5}

Resultado: \(x=38/5\), \(y=18/5\).

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Ejercicio 7. Sistema no lineal sencillo

Resuelve el sistema.

\begin{cases}x+y=7\\xy=12\end{cases}

Solución paso a paso

De la primera ecuación:

\[y=7-x\]

Sustituimos en \(xy=12\):

\[x(7-x)=12\]

\[7x-x^2=12\]

\[x^2-7x+12=0\]

\[(x-3)(x-4)=0\]

Por tanto:

x=3\quad \text{o}\quad x=4

Si \(x=3\), entonces \(y=4\). Si \(x=4\), entonces \(y=3\).

Resultado: \((3,4)\) y \((4,3)\).

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Ejercicio 8. Sistema 3x3 por reducción

Resuelve el sistema.

\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=4\end{cases}

Solución paso a paso

Sumamos la primera y la tercera ecuación:

\[(x+y+z)+(x+2y-z)=6+4\]

\[2x+3y=10\]

Restamos la segunda menos la primera:

\[(2x-y+z)-(x+y+z)=3-6\]

\[x-2y=-3\]

Resolvemos el sistema 2x2:

\begin{cases}2x+3y=10\\x-2y=-3\end{cases}

De la segunda:

\[x=-3+2y\]

Sustituimos:

\[2(-3+2y)+3y=10\]

\[-6+7y=10\]

y=\frac{16}{7}

x=-3+2\cdot\frac{16}{7}=\frac{11}{7}

Usamos la primera ecuación para hallar \(z\):

\frac{11}{7}+\frac{16}{7}+z=6

\frac{27}{7}+z=\frac{42}{7}

z=\frac{15}{7}

Resultado: \(x=11/7\), \(y=16/7\), \(z=15/7\).

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Ejercicio 9. Sistema 3x3 por Gauss

Resuelve por Gauss.

\begin{cases}x+y+z=6\\2x+3y+z=11\\x+2y+3z=14\end{cases}

Solución paso a paso

Matriz ampliada:

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&11\\1&2&3&14\end{array}\right)

Hacemos \(F_2-2F_1\) y \(F_3-F_1\):

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&1&2&8\end{array}\right)

Hacemos \(F_3-F_2\):

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&0&3&9\end{array}\right)

De la tercera fila:

3z=9,\quad z=3

De la segunda:

\[y-z=-1\]

y-3=-1,\quad y=2

De la primera:

x+2+3=6,\quad x=1

Resultado: \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\).

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Ejercicio 10. Gauss con solución única

Clasifica y resuelve el sistema.

\begin{cases}x+y-z=2\\2x-y+z=3\\x+2y+z=7\end{cases}

Solución paso a paso

Matriz ampliada:

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\2&-1&1&3\\1&2&1&7\end{array}\right)

Hacemos \(F_2-2F_1\), \(F_3-F_1\):

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\0&-3&3&-1\\0&1&2&5\end{array}\right)

Cambiamos el orden de las dos últimas filas para trabajar más cómodo:

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\0&1&2&5\\0&-3&3&-1\end{array}\right)

Hacemos \(F_3+3F_2\):

\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\0&1&2&5\\0&0&9&14\end{array}\right)

De la tercera fila:

9z=14,\quad z=\frac{14}{9}

De la segunda:

\[y+2z=5\]

y=5-\frac{28}{9}=\frac{17}{9}

De la primera:

\[x+y-z=2\]

x+\frac{17}{9}-\frac{14}{9}=2

x=\frac{5}{3}

Resultado: sistema compatible determinado. \(x=5/3\), \(y=17/9\), \(z=14/9\).

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Ejercicio 11. Gauss compatible indeterminado

Clasifica el sistema y expresa sus soluciones.

\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=6\\x-y+z=1\end{cases}

Solución paso a paso

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que no aporta información nueva.

Trabajamos con:

\begin{cases}x+y+z=3\\x-y+z=1\end{cases}

Restamos la segunda a la primera:

\[2y=2\]

\[y=1\]

Sustituimos en la primera:

\[x+1+z=3\]

\[x+z=2\]

Tomamos \(z=t\). Entonces:

\[x=2-t\]

Resultado: sistema compatible indeterminado. Soluciones: \((x,y,z)=(2-t,1,t)\), con \(t\in\mathbb{R}\).

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Ejercicio 12. Gauss incompatible

Clasifica el sistema.

\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=8\\x-y+z=1\end{cases}

Solución paso a paso

La segunda ecuación tiene el mismo lado izquierdo que el doble de la primera, pero el término independiente no coincide.

El doble de la primera sería:

\[2x+2y+2z=6\]

Pero el sistema dice:

\[2x+2y+2z=8\]

Eso genera una contradicción.

Resultado: sistema incompatible. No tiene solución.

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Ejercicio 13. Regla de Cramer 2x2

Resuelve por Cramer.

\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}

Solución paso a paso

Matriz de coeficientes:

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}

\det(A)=2(-1)-1\cdot1=-3

Como el determinante no es cero, hay solución única.

Determinante de \(x\):

D_x=\begin{vmatrix}7&1\\2&-1\end{vmatrix}=7(-1)-1\cdot2=-9

Determinante de \(y\):

D_y=\begin{vmatrix}2&7\\1&2\end{vmatrix}=2\cdot2-7\cdot1=-3

x=\frac{D_x}{D}=\frac{-9}{-3}=3

y=\frac{D_y}{D}=\frac{-3}{-3}=1

Resultado: \(x=3\), \(y=1\).

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Ejercicio 14. Regla de Cramer 3x3

Resuelve por Cramer.

\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=4\end{cases}

Solución paso a paso

Matriz de coeficientes:

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{pmatrix}

Calculamos el determinante:

D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=7

Como \(D\neq0\), el sistema tiene solución única.

Sustituyendo columnas por los términos independientes se obtiene:

D_x=11,\quad D_y=16,\quad D_z=15

Por tanto:

x=\frac{11}{7},\quad y=\frac{16}{7},\quad z=\frac{15}{7}

Resultado: \(x=11/7\), \(y=16/7\), \(z=15/7\).

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Rouché-Frobenius explicado para Bachillerato y PAU

El teorema de Rouché-Frobenius sirve para decidir si un sistema lineal tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna, comparando rangos.

Clasificación por rangos

Si \(rg(A)=rg(A^*)=n\), el sistema es compatible determinado. Tiene solución única.
Si \(rg(A)=rg(A^*)
Si \(rg(A)\neq rg(A^*)\), el sistema es incompatible. No tiene solución.

\(A\) es la matriz de coeficientes. \(A^*\) es la matriz ampliada. \(n\) es el número de incógnitas.

Ejercicio 15. Discusión con parámetro 2x2

Discute el sistema según el valor de \(a\).

\begin{cases}ax+y=1\\x+y=2\end{cases}

Solución paso a paso

Matriz de coeficientes:

A=\begin{pmatrix}a&1\\1&1\end{pmatrix}

Determinante:

D=a\cdot1-1\cdot1=a-1

Si \(a\neq1\), el determinante no es cero y hay solución única.

Estudiamos \(a=1\):

\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}

Las dos ecuaciones tienen el mismo lado izquierdo, pero distinto término independiente. Es una contradicción.

Resultado: si \(a\neq1\), sistema compatible determinado. Si \(a=1\), sistema incompatible.

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Ejercicio 16. Sistema 3x3 con parámetro

Discute el sistema según el valor de \(a\).

\begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+2z=2\\x+y+az=1\end{cases}

Solución paso a paso

Matriz de coeficientes:

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&a&2\\1&1&a\end{pmatrix}

Calculamos el determinante:

\det(A)=a^2-3a+2

\[a^2-3a+2=(a-1)(a-2)\]

Si \(a\neq1\) y \(a\neq2\), el determinante no es cero y hay solución única.

Caso \(a=1\)

\begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+2z=2\\x+y+z=1\end{cases}

La tercera ecuación coincide con la primera. Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas. Hay infinitas soluciones.

Caso \(a=2\)

\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\x+y+2z=1\end{cases}

La segunda ecuación es el doble de la primera. Quedan la primera y la tercera. No hay contradicción y hay dos ecuaciones independientes para tres incógnitas. Hay infinitas soluciones.

Resultado: si \(a\neq1,2\), solución única. Si \(a=1\) o \(a=2\), infinitas soluciones.

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Ejercicio 17. Problema económico con sistemas

Una empresa vende dos productos. El producto A cuesta 12 euros y el producto B cuesta 8 euros. En un día vende 50 productos y recauda 520 euros. ¿Cuántos productos de cada tipo ha vendido?

Solución paso a paso

Sea \(x\) el número de productos A y \(y\) el número de productos B.

\begin{cases}x+y=50\\12x+8y=520\end{cases}

Multiplicamos la primera por 8:

\[8x+8y=400\]

Restamos a la segunda:

\[4x=120\]

\[x=30\]

Entonces:

\[y=20\]

Resultado: ha vendido 30 productos A y 20 productos B.

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Ejercicio 18. Matrices y sistemas en Matemáticas Sociales

Una academia tiene dos tipos de clases: individuales y grupales. En una semana se imparten 10 clases en total y se facturan 260 euros. Cada clase individual cuesta 35 euros y cada clase grupal cuesta 20 euros. Calcula cuántas clases de cada tipo se impartieron.

Solución paso a paso

Sea \(x\) el número de clases individuales y \(y\) el número de clases grupales.

\begin{cases}x+y=10\\35x+20y=260\end{cases}

Multiplicamos la primera por 20:

\[20x+20y=200\]

Restamos:

\[15x=60\]

\[x=4\]

\[y=6\]

Resultado: se impartieron 4 clases individuales y 6 clases grupales.

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Ejercicio 19. Problema de mezclas

Se mezclan dos disoluciones. Una tiene una concentración del 20% y otra del 50%. Se quieren obtener 10 litros de una disolución al 32%. ¿Cuántos litros de cada una hay que mezclar?

Solución paso a paso

Sea \(x\) la cantidad de disolución al 20% y \(y\) la cantidad de disolución al 50%.

\[x+y=10\]

La cantidad de soluto final debe ser el 32% de 10 litros.

0,20x+0,50y=0,32\cdot10

\[0,20x+0,50y=3,2\]

De la primera:

\[x=10-y\]

Sustituimos:

\[0,20(10-y)+0,50y=3,2\]

\[2-0,20y+0,50y=3,2\]

\[0,30y=1,2\]

\[y=4\]

\[x=6\]

Resultado: hay que mezclar 6 litros al 20% y 4 litros al 50%.

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Ejercicio 20. Sistema aplicado a costes e ingresos

Una empresa tiene un coste fijo y un coste variable por unidad. Al producir 20 unidades, el coste total es 500 euros. Al producir 50 unidades, el coste total es 950 euros. Halla el coste fijo y el coste variable por unidad.

Solución paso a paso

Sea \(F\) el coste fijo y \(v\) el coste variable por unidad.

\[C(x)=F+vx\]

Con los datos:

\begin{cases}F+20v=500\\F+50v=950\end{cases}

Restamos la primera ecuación a la segunda:

\[30v=450\]

\[v=15\]

Sustituimos:

F+20\cdot15=500

\[F+300=500\]

\[F=200\]

Resultado: el coste fijo es 200 euros y el coste variable es 15 euros por unidad.

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Práctica final por niveles

Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina los sistemas desde lo básico hasta Bachillerato y PAU.

ESO

Resuelve \(\begin{cases}x+y=12\\x-y=4\end{cases}\)
Resuelve \(\begin{cases}2x+y=10\\x+3y=15\end{cases}\)
La suma de dos números es 30 y uno es el doble del otro. Halla los números.
Dos entradas de adulto y tres infantiles cuestan 31 euros. Tres de adulto y dos infantiles cuestan 34 euros. Halla los precios.

Ver soluciones finales ESO

\(x=8\), \(y=4\)
\(x=3\), \(y=4\)
10 y 20
Adulto 8 euros, infantil 5 euros

Bachillerato

Resuelve por Gauss \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x+y-z=3\\x-y+2z=5\end{cases}\)
Resuelve por Cramer \(\begin{cases}x+y+z=3\\2x-y+z=4\\x+2y-z=1\end{cases}\)
Clasifica \(\begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=4\\x-y+z=0\end{cases}\)

Ver orientación Bachillerato

El objetivo es triangular correctamente, revisar rangos y distinguir solución única de infinitas soluciones.

PAU y universidad inicial

Discute según \(a\) el sistema \(\begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+z=2\\x+y+az=3\end{cases}\)
Aplica Rouché-Frobenius a un sistema 3x3 cuya matriz de coeficientes tenga rango 2 y la ampliada rango 3.
Plantea un sistema para un problema económico de costes fijos y costes variables.

Ver ideas clave

Si \(rg(A)\neq rg(A^*)\), el sistema es incompatible. Si los rangos coinciden y son menores que el número de incógnitas, hay infinitas soluciones. Si coinciden con el número de incógnitas, hay solución única.

Errores frecuentes en sistemas de ecuaciones

Elegir sustitución cuando reducción era mucho más rápida.
Despejar mal una incógnita por no cuidar signos.
No comprobar la solución en las ecuaciones originales.
Traducir mal el enunciado en problemas de edades, precios o mezclas.
Confundir sistema compatible indeterminado con incompatible.
En Gauss, hacer operaciones de fila sin mantener la equivalencia.
Aplicar Cramer cuando el determinante es cero.
Discutir un sistema con parámetro mirando solo un caso.
No distinguir matriz de coeficientes y matriz ampliada.
Aplicar Rouché-Frobenius sin calcular rangos correctamente.

Aprender sistemas de ecuaciones cambia toda la base algebraica

Los sistemas conectan ESO, Bachillerato, Matemáticas Sociales, matrices, problemas económicos y preparación universitaria. Si este bloque se domina, el alumno mejora en álgebra, interpretación de problemas y razonamiento matemático.

En Marlu Educativa puedes preparar sistemas de ecuaciones con clases online para toda España, clases presenciales en Salamanca y seguimiento personalizado.

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