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Regla de Cramer y Método de Gauss Bachillerato y PAU

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Marlu Educativa · Sistemas de ecuaciones · Bachillerato y PAU/EBAU

Sistemas de ecuaciones ejercicios resueltos ESO Bachillerato y PAU

Esta guía reúne la base imprescindible de sistemas y desarrolla con especial profundidad el trabajo propio de Bachillerato: reducción, método de Gauss, regla de Cramer, rangos, teorema de Rouché-Frobenius y discusión con parámetros.

La diferencia entre resolver un sistema y presentar bien un ejercicio de examen está en el orden. Primero se identifica el método, después se justifican los casos y, solo entonces, se calcula. En Cramer se escriben todos los determinantes. En Gauss se muestran las operaciones de fila. En una discusión se estudia cada valor especial del parámetro.

Qué trabaja este recurso. Los primeros ejemplos recuperan la base sin convertir la página en un repaso completo de ESO. El núcleo comienza en los sistemas 3×3 y avanza hasta ejercicios tipo PAU. La discusión exhaustiva de sistemas con parámetros tiene además un recurso específico, enlazado al final para seguir practicando sin repetir aquí todo el bloque.

Si estás preparando este bloque para 2.º de Bachillerato o PAU/EBAU, también puedes trabajarlo con corrección individual en nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato.

ESO y BachilleratoGaussCramerSarrusRouché-FrobeniusSistemas con parámetros20 ejercicios resueltosPAU/EBAU
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El mapa completo de los sistemas

Los métodos no compiten entre sí. Cada uno responde mejor a una situación. En ESO se aprende a traducir y resolver sistemas 2×2. En Bachillerato se incorporan sistemas 3×3, matrices, Gauss y Cramer. En 2.º de Bachillerato y PAU aparece la discusión mediante rangos y parámetros.

Base de ESO Sustitución, igualación, reducción y comprobación en sistemas 2×2.
Puente de 1.º de Bachillerato Sistemas 3×3, reducción ordenada y primeras matrices ampliadas.
Nivel de 2.º y PAU Gauss, Cramer, Sarrus, rangos, parámetros y Rouché-Frobenius.

Cómo elegir el método sin hacer trabajo de más

SituaciónMétodo recomendableRazón
Una incógnita ya está despejadaSustituciónEvita operaciones innecesarias.
Los coeficientes permiten eliminar con facilidadReducciónEs el camino más corto en 2×2.
Sistema 3×3 o matriz ampliadaGaussEscalona, clasifica y resuelve con el mismo procedimiento.
Sistema cuadrado con determinante no nuloCramerDa cada incógnita mediante cocientes de determinantes.
Hay un parámetro o el determinante se anulaRangos y Rouché-FrobeniusDecide si hay una, infinitas o ninguna solución.
Regla práctica. Si aparece un parámetro, no se divide por una expresión que pueda anularse sin separar antes ese caso. Si aparece \(a-2\), se estudia \(a=2\) antes de dividir.

Matriz de coeficientes, matriz ampliada y tipos de sistema

Para el sistema

\[\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\end{cases}\]

la matriz de coeficientes y la matriz ampliada son

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3\end{array}\right)\]
SCD Sistema compatible determinado. Tiene una única solución.
SCI Sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones.
SI Sistema incompatible. No tiene solución.

Método de Gauss escrito como en el examen

Gauss transforma la matriz ampliada mediante operaciones elementales de fila. Esas operaciones no cambian el conjunto de soluciones.

Operaciones válidas Intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra.
Objetivo Obtener una matriz escalonada en la que se vean los pivotes, las variables libres o una posible contradicción.
Fila con pivote en cada variable
SCD y sustitución hacia atrás.
→
Fila nula o contradicción
Comparar rangos y clasificar.
Error que resta puntos. No basta con mostrar tres matrices sucesivas. Conviene indicar al lado qué operación se ha realizado, por ejemplo (F_2\leftarrow F_2-2F_1).

Regla de Cramer y determinantes completos

Cramer se aplica a un sistema cuadrado cuando el determinante de la matriz de coeficientes no es cero.

\[D=\det(A)\neq0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D}\]

En \(D_x\) se sustituye la columna de \(x\) por los términos independientes. En \(D_y\) se sustituye la de \(y\), y en \(D_z\), la de \(z\). No se escribe directamente el valor numérico: primero se muestra cada determinante.

Determinante 2×2 por productos cruzados

\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c\]

Determinante 3×3 por la regla de Sarrus

\[\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\]
Esquema visual de la regla de SarrusLas diagonales descendentes se suman y las ascendentes se restan. Sarrus: copiar las dos primeras columnas abcab defde ghigh sumar restar
Las tres diagonales descendentes se suman. Las tres diagonales ascendentes se restan. En examen conviene escribir los seis productos antes de operar.

Teorema de Rouché-Frobenius

Rouché-Frobenius compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada. Ruffini es otro procedimiento distinto, utilizado con polinomios.

CondiciónClasificaciónNúmero de soluciones
\(rg(A)=rg(A^*)=n\)SCDUna solución.
\(rg(A)=rg(A^*)<n\)SCIInfinitas soluciones.
\(rg(A)\neq rg(A^*)\)SINinguna solución.
Si \(D\neq0\)
\(rg(A)=n\). El sistema es SCD y puede resolverse por Cramer o Gauss.
→
Si \(D=0\)
No se decide todavía. Hay que comparar \(rg(A)\) y \(rg(A^*)\).

Cómo discutir y resolver un sistema con parámetros

  1. Escribir \(A\) y \(A^*\).
  2. Calcular \(D=\det(A)\) si \(A\) es cuadrada.
  3. Resolver \(D=0\) y separar los valores especiales.
  4. Para \(D\neq0\), concluir SCD.
  5. Sustituir cada valor especial en \(A\) y \(A^*\).
  6. Calcular los rangos y aplicar Rouché-Frobenius.
  7. Resolver únicamente los casos solicitados, sin perder los valores excluidos.
  8. Comprobar la solución en el sistema original.
Presentación de PAU. La discusión debe cubrir todos los valores del parámetro. Un determinante factorizado seguido de “para los demás valores, SCD” no basta: los valores que anulan el determinante son precisamente los que hay que estudiar.

Ejercicios resueltos paso a paso

Los tres primeros ejercicios fijan la base. A partir del cuarto, el nivel es el propio de Bachillerato y PAU/EBAU.

1Sustitución 2×2 como recordatorio

Resuelve \(\begin{cases}x+y=7\\2x-y=5\end{cases}\).

\[y=7-x\]
\[2x-(7-x)=5\Longrightarrow3x=12\Longrightarrow x=4\]
\[y=7-4=3\]
Resultado: \((x,y)=(4,3)\). Comprobación: \(4+3=7\) y \(2\cdot4-3=5\).
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2Reducción 2×2

Resuelve \(\begin{cases}3x+2y=16\\5x-2y=8\end{cases}\).

\[(3x+2y)+(5x-2y)=16+8\Longrightarrow8x=24\Longrightarrow x=3\]
\[3\cdot3+2y=16\Longrightarrow2y=7\Longrightarrow y=\frac72\]
Resultado: \(x=3\), \(y=7/2\).
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3Sistema 3×3 por reducción

Resuelve \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=4\end{cases}\).

\[E_1+E_3:\quad2x+3y=10\]
\[E_2-E_1:\quad x-2y=-3\]
\[x=-3+2y\]
\[2(-3+2y)+3y=10\Longrightarrow7y=16\Longrightarrow y=\frac{16}{7}\]
\[x=-3+2\cdot\frac{16}{7}=\frac{11}{7}\]
\[z=6-\frac{11}{7}-\frac{16}{7}=\frac{15}{7}\]
Resultado: \((x,y,z)=(11/7,16/7,15/7)\).
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4Clasificación sin parámetro mediante rangos

Clasifica y resuelve \(\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=6\\x-y+z=1\end{cases}\).

\[A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\2&2&2&6\\1&-1&1&1\end{array}\right)\xrightarrow{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\0&0&0&0\\1&-1&1&1\end{array}\right)\]

Hay dos filas independientes y tres incógnitas.

\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\]

Por Rouché-Frobenius, el sistema es SCI.

\[E_1-E_3:\quad2y=2\Longrightarrow y=1\]
\[x+z=2\]
\[z=t,\qquad x=2-t\]
Resultado: \((x,y,z)=(2-t,1,t)\), con \(t\in\mathbb R\).
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5Gauss con solución única

Resuelve por Gauss \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x+3y+z=11\\x+2y+3z=14\end{cases}\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&11\\1&2&3&14\end{array}\right)\]
\[F_2\leftarrow F_2-2F_1,\quad F_3\leftarrow F_3-F_1\]
\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&1&2&8\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&0&3&9\end{array}\right)\]
\[z=3,\qquad y-z=-1\Longrightarrow y=2,\qquad x+y+z=6\Longrightarrow x=1\]
Resultado: sistema compatible determinado, \((x,y,z)=(1,2,3)\).
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6Gauss con infinitas soluciones

Clasifica y resuelve \(\begin{cases}x+y+z=4\\2x-y+z=1\\3x+2z=5\end{cases}\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\2&-1&1&1\\3&0&2&5\end{array}\right)\]
\[F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-3F_1\]
\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\0&-3&-1&-7\\0&-3&-1&-7\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\0&-3&-1&-7\\0&0&0&0\end{array}\right)\]

Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas, así que una variable es libre.

\[z=t,\qquad -3y-t=-7\Longrightarrow y=\frac{7-t}{3}\]
\[x=4-y-z=4-\frac{7-t}{3}-t=\frac{5-2t}{3}\]
Resultado: SCI, \((x,y,z)=\left(\frac{5-2t}{3},\frac{7-t}{3},t\right)\), con \(t\in\mathbb R\).
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7Gauss con sistema incompatible

Clasifica \(\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=8\\x-y+z=1\end{cases}\).

\[F_2\leftarrow F_2-2F_1\Longrightarrow (0\;0\;0\mid2)\]
\[0=2\]

La fila de contradicción hace que el rango de la ampliada sea mayor.

\[rg(A)=2,\qquad rg(A^*)=3\]
Resultado: SI. El sistema no tiene solución.
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8Gauss con parámetro

Discute y resuelve según \(a\): \(\begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+z=2\\x+y+az=3\end{cases}\).

\[F_2\leftarrow F_2-F_1:\quad(a-1)y=1\]
\[F_3\leftarrow F_3-F_1:\quad(a-1)z=2\]

Caso \(a\neq1\)

\[y=\frac1{a-1},\qquad z=\frac2{a-1}\]
\[x=1-y-z=1-\frac3{a-1}=\frac{a-4}{a-1}\]

Hay tres pivotes, por tanto el sistema es SCD.

Caso \(a=1\)

\[0\cdot y=1,\qquad0\cdot z=2\]

Aparecen contradicciones, luego el sistema es SI.

Resultado: si \(a\neq1\), SCD con \((x,y,z)=\left((a-4)/(a-1),1/(a-1),2/(a-1)\right)\). Si \(a=1\), SI.
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9Cramer 2×2 sin saltos

Resuelve por Cramer \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\).

\[D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3\neq0\]
\[D_x=\begin{vmatrix}7&1\\2&-1\end{vmatrix}=7\cdot(-1)-1\cdot2=-9\]
\[D_y=\begin{vmatrix}2&7\\1&2\end{vmatrix}=2\cdot2-7\cdot1=-3\]
\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{\begin{vmatrix}7&1\\2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}}=\frac{-9}{-3}=3\]
\[y=\frac{D_y}{D}=\frac{\begin{vmatrix}2&7\\1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}}=\frac{-3}{-3}=1\]
Resultado: \((x,y)=(3,1)\). Comprobación: \(2\cdot3+1=7\) y \(3-1=2\).
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10Cramer 3×3 desarrollando Sarrus

Resuelve \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\).

Determinante principal

\[D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}\]
\[D=1\cdot(-1)\cdot(-1)+1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot2-1\cdot(-1)\cdot1-1\cdot2\cdot(-1)-1\cdot1\cdot2=7\]

Determinante de \(x\)

\[D_x=\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}=6+2+6+2+3-12=7\]

Determinante de \(y\)

\[D_y=\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=-3+6+4-3+12-2=14\]

Determinante de \(z\)

\[D_z=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=-2+3+24+6-4-6=21\]

Cocientes de Cramer

\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}}=\frac77=1\]
\[y=\frac{D_y}{D}=\frac{\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}}=\frac{14}{7}=2\]
\[z=\frac{D_z}{D}=\frac{\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}}=\frac{21}{7}=3\]
Resultado: \((x,y,z)=(1,2,3)\). Los tres valores verifican las ecuaciones originales.
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11Cramer y parámetro en un sistema 2×2

Discute y resuelve según \(a\): \(\begin{cases}ax+y=1\\x+ay=1\end{cases}\).

\[D=\begin{vmatrix}a&1\\1&a\end{vmatrix}=a^2-1=(a-1)(a+1)\]

Caso \(a\neq1,-1\)

\[D_x=\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}=a-1,\qquad D_y=\begin{vmatrix}a&1\\1&1\end{vmatrix}=a-1\]
\[x=\frac{D_x}{D}=\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}=\frac1{a+1},\qquad y=\frac1{a+1}\]

Caso \(a=1\)

\[x+y=1,\qquad x+y=1\]

\(rg(A)=rg(A^*)=1<2\). Es SCI.

Caso \(a=-1\)

\[-x+y=1,\qquad x-y=1\]

Al sumar aparece \(0=2\). Como \(rg(A)=1\neq rg(A^*)=2\), es SI.

Resultado: si \(a\neq\pm1\), SCD con \(x=y=1/(a+1)\). Si \(a=1\), SCI. Si \(a=-1\), SI.
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12Rouché-Frobenius sin parámetro

Clasifica \(\begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=4\\x-y+z=0\end{cases}\).

\[F_2\leftarrow F_2-2F_1\Longrightarrow(0\;0\;0\mid0)\]

Las filas primera y tercera son independientes.

\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\]
\[E_1-E_3:\quad2y=2\Longrightarrow y=1\]
\[x+z=1\Longrightarrow z=t,\quad x=1-t\]
Resultado: SCI, \((x,y,z)=(1-t,1,t)\).
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13Un parámetro y los tres tipos de sistema

Retomamos el sistema del ejercicio 11. Allí resolvimos con Cramer el caso regular; ahora dejamos escrita su clasificación completa mediante rangos.

El determinante ya calculado es \(D=(a-1)(a+1)\).

\[a\neq1,-1\Longrightarrow D\neq0\Longrightarrow rg(A)=rg(A^*)=2\Longrightarrow\text{SCD}\]
\[a=1\Longrightarrow rg(A)=rg(A^*)=1<2\Longrightarrow\text{SCI}\]
\[a=-1\Longrightarrow rg(A)=1\neq rg(A^*)=2\Longrightarrow\text{SI}\]
Este es el esquema completo que debe quedar escrito en una discusión: caso general y todos los valores especiales.
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14Sistema simétrico con dos valores especiales

Discute según \(a\): \(\begin{cases}ax+y+z=1\\x+ay+z=1\\x+y+az=1\end{cases}\).

\[D=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)\]

Caso general

\[a\neq1,-2\Longrightarrow D\neq0\Longrightarrow\text{SCD}\]

Por simetría, \(x=y=z\). Sustituyendo:

\[(a+2)x=1\Longrightarrow x=y=z=\frac1{a+2}\]

Caso \(a=1\)

Las tres ecuaciones coinciden:

\[x+y+z=1\]
\[rg(A)=rg(A^*)=1<3\Longrightarrow\text{SCI}\]

Caso \(a=-2\)

Al sumar las tres ecuaciones, el lado izquierdo vale cero y el derecho vale tres.

\[0=3\Longrightarrow rg(A)\neq rg(A^*)\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: SCD si \(a\neq1,-2\); SCI si \(a=1\); SI si \(a=-2\).
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15Parámetro en los términos independientes

Discute \(\begin{cases}x+y+z=1\\x-y+z=2\\2x+2z=k\end{cases}\).

La tercera fila de coeficientes es la suma de las dos primeras.

\[rg(A)=2\]

Para que la misma relación se mantenga en la ampliada, debe cumplirse

\[k=1+2=3\]

Caso \(k=3\)

\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\Longrightarrow\text{SCI}\]
\[y=-\frac12,\qquad z=t,\qquad x=\frac32-t\]

Caso \(k\neq3\)

\[rg(A)=2\neq rg(A^*)=3\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: SCI para \(k=3\), con \((x,y,z)=\left(\frac32-t,-\frac12,t\right)\). Para \(k\neq3\), SI.
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16Dos valores especiales y resolución de cada SCI

Discute y resuelve \(\begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+2z=2\\x+y+az=1\end{cases}\).

\[D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&2\\1&1&a\end{vmatrix}=(a-1)(a-2)\]

Caso \(a\neq1,2\)

\[D\neq0\Longrightarrow\text{SCD}\]
\[(a-2)y=0,\quad(a-1)z=0\Longrightarrow y=0,\ z=0,\ x=1\]

Caso \(a=1\)

\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\Longrightarrow\text{SCI}\]
\[(x,y,z)=(1-t,0,t)\]

Caso \(a=2\)

\[rg(A)=rg(A^*)=2<3\Longrightarrow\text{SCI}\]
\[(x,y,z)=(t,1-t,0)\]
Resultado: SCD con \((1,0,0)\) si \(a\neq1,2\). SCI para \(a=1\) y para \(a=2\), con familias de soluciones distintas.
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17Parámetro con un caso incompatible

Discute y resuelve para los valores posibles \(\begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+z=2\\x+y+az=3\end{cases}\).

\[D=(a-1)^2\]

Caso \(a\neq1\)

\[(a-1)y=1,\qquad(a-1)z=2\]
\[y=\frac1{a-1},\quad z=\frac2{a-1},\quad x=\frac{a-4}{a-1}\]

Caso \(a=1\)

\[x+y+z=1,\quad x+y+z=2,\quad x+y+z=3\]
\[rg(A)=1\neq rg(A^*)=2\Longrightarrow\text{SI}\]
Resultado: SCD si \(a\neq1\). SI si \(a=1\).
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18Modelo PAU: discutir y resolver para un valor

Discute según \(a\) y resuelve para \(a=0\): \(\begin{cases}ax+y+z=2\\x+y+z=3\\x-y+az=0\end{cases}\).

\[D=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&1&1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^2-1=(a-1)(a+1)\]
\[a\neq1,-1\Longrightarrow D\neq0\Longrightarrow\text{SCD}\]

Caso \(a=1\)

Las dos primeras ecuaciones tienen el mismo lado izquierdo y distintos términos independientes. Es SI.

Caso \(a=-1\)

La primera ecuación contradice a la tercera después de cambiar de signo. Es SI.

Resolución para \(a=0\)

\[\begin{cases}y+z=2\\x+y+z=3\\x-y=0\end{cases}\]
\[x=y,\quad z=2-y,\quad y+y+2-y=3\Longrightarrow y=1\]
\[x=1,\qquad z=1\]
Resultado: SCD si \(a\neq\pm1\); SI si \(a=1\) o \(a=-1\). Para \(a=0\), \((x,y,z)=(1,1,1)\).
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19Aplicación 3×3 mediante Gauss

Una empresa produce tres modelos A, B y C. En una jornada fabrica 100 unidades. El consumo ponderado cumple \(2x+y+3z=190\), y una segunda condición de producción es \(x+2y+z=140\). Halla las unidades de cada modelo.

\[\begin{cases}x+y+z=100\\2x+y+3z=190\\x+2y+z=140\end{cases}\]
\[F_2\leftarrow F_2-2F_1:\quad-y+z=-10\]
\[F_3\leftarrow F_3-F_1:\quad y=40\]
\[z=30,\qquad x=100-40-30=30\]
Resultado: 30 unidades de A, 40 de B y 30 de C. La suma es 100 y se verifican las dos condiciones.
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20Modelo final de examen completo

Discute según \(m\) y resuelve cuando sea posible \(\begin{cases}mx+y+z=1\\x+my+z=1\\x+y+mz=1\end{cases}\).

\[D=(m-1)^2(m+2)\]

Caso general

\[m\neq1,-2\Longrightarrow\text{SCD},\qquad x=y=z=\frac1{m+2}\]

Caso \(m=1\)

\[rg(A)=rg(A^*)=1<3\Longrightarrow\text{SCI}\]
\[z=t,\ y=s,\ x=1-s-t\]

Caso \(m=-2\)

\[E_1+E_2+E_3:\quad0=3\Longrightarrow\text{SI}\]
Conclusión final: SCD si \(m\neq1,-2\), SCI si \(m=1\) y SI si \(m=-2\).
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Práctica final graduada

Gauss
  1. Resuelve \(\begin{cases}x+y+z=4\\2x-y+z=1\\x+2y-z=2\end{cases}\).
  2. Clasifica \(\begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=4\\3x+3y+3z=7\end{cases}\).
  3. Expresa las soluciones de \(\begin{cases}x+y+z=1\\2x-y+z=0\\3x+2z=1\end{cases}\).
Cramer
  1. Resuelve \(\begin{cases}3x-y=7\\2x+4y=10\end{cases}\).
  2. Resuelve por Cramer \(\begin{cases}x+y+z=2\\2x-y+z=1\\x+2y-z=3\end{cases}\).
  3. Comprueba cada solución en el sistema original.
Rangos y parámetros
  1. Discute \(\begin{cases}x+y=1\\ax+ay=2\end{cases}\).
  2. Discute \(\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=a\end{cases}\).
  3. Discute \(\begin{cases}ax+y=1\\x+ay=2\end{cases}\).
Presentación de examen
  1. Escribe siempre \(A\), \(A^*\) y el número de incógnitas.
  2. Factoriza el determinante antes de separar casos.
  3. En Cramer, muestra \(D\), \(D_x\), \(D_y\) y \(D_z\).
Orientación de soluciones. En los ejercicios propuestos importa tanto la clasificación como el cálculo. Si aparece \(D=0\), no se aplica Cramer: se estudian los rangos. Si el sistema es SCI, la solución debe expresarse con una o más variables libres.

Errores frecuentes que conviene revisar

En Gauss
  • No escribir la operación de fila.
  • Cambiar solo una parte de la fila.
  • Confundir una fila nula con una contradicción.
  • No expresar las variables libres en un SCI.
En Cramer
  • Aplicarlo cuando \(D=0\).
  • Sustituir la columna equivocada.
  • No desarrollar Sarrus.
  • Dar solo el resultado sin los cocientes \(D_x/D\), \(D_y/D\) y \(D_z/D\).
En Rouché-Frobenius
  • Mirar solo \(rg(A)\).
  • Olvidar el número de incógnitas.
  • Confundir \(rg(A)=rg(A^*)<n\) con un sistema incompatible.
Con parámetros
  • Dividir por \(a-1\) sin estudiar \(a=1\).
  • No analizar todos los ceros del determinante.
  • Clasificar, pero no resolver cuando el enunciado lo pide.

Recursos relacionados para seguir estudiando

La secuencia natural es trabajar primero matrices y determinantes, después elegir entre Gauss y Cramer y, finalmente, profundizar en la discusión completa de sistemas con parámetros.

Matrices, determinantes y rango

Base previa para entender inversas, rangos, Cramer y matrices ampliadas.

Continuar con matrices PAU/EBAU

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