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Matemáticas Sociales II PAU ejercicios resueltos paso a paso
Biblioteca Marlu Educativa® · 2.º Bachillerato y PAU
Saber una fórmula no basta cuando el problema mezcla datos, condiciones y decisiones. Este cuaderno te ayuda a elegir el método, justificar los pasos y comprobar si la respuesta tiene sentido.
Repaso global de álgebra, programación lineal, análisis, probabilidad e inferencia. Encontrarás modelos representativos y problemas combinados; cada monográfico de la biblioteca conserva el entrenamiento detallado de su tema.
37 ejercicios con solución y comprobación, organizados por bloques y con numeración propia. Elaboración propia de Marlu Educativa. Las tres ampliaciones opcionales se consultan en la web.
Ficha de clase · Nombre __________________ Grupo ______ Fecha ______
Antes de calcular
- Traduce la tarea. ¿Se pide una cantidad, un óptimo, una probabilidad o un intervalo?
- Fija las condiciones. Dominio, restricciones, independencia o condiciones de muestreo deciden qué método es válido.
- Resuelve y comprueba. Conserva los datos necesarios, justifica el paso decisivo y vuelve al contexto para revisar unidades, signos y límites.
Matrices y sistemas con interpretación
Organiza los datos, comprueba las dimensiones y traduce la respuesta al contexto. En los sistemas con parámetro se justifica cada tipo de solución.
Ejercicio 1 · Matrices y recaudación
Una empresa vende dos productos en dos ciudades. Las filas de \(A\) corresponden a las ciudades, y sus columnas a los productos en el mismo orden que el vector de precios \(P\), expresados en euros por unidad:
\[A=\begin{pmatrix}20&30\\15&25\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}8\\12\end{pmatrix}.\]Calcula la recaudación de cada ciudad mediante un producto matricial.
Ver solución y comprobación
El producto de una matriz \(2\times2\) por un vector \(2\times1\) da un vector \(2\times1\), con una recaudación por ciudad.
La primera ciudad recauda 520 euros y la segunda, 420 euros. Las unidades vendidas se multiplican por euros por unidad.
Entre las dos ciudades se venden \(20+15=35\) unidades del primer producto y \(30+25=55\) del segundo. Su recaudación conjunta es \(35\cdot8+55\cdot12=940=520+420\) euros.
Ejercicio 2 · Matrices y sistemas económicos
Una empresa vende entradas normales y reducidas a precios constantes. El primer día vende 30 normales y 20 reducidas y recauda 340 euros. El segundo día vende 20 normales y 40 reducidas y recauda 400 euros. Plantea la ecuación matricial y calcula ambos precios mediante la matriz inversa.
Ver solución y comprobación
Sean \(x\) e \(y\) los precios de la entrada normal y la reducida, en euros.
\[AX=b,\qquad A=\begin{pmatrix}30&20\\20&40\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}340\\400\end{pmatrix}.\]Por ello, \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\mid b)=2\), igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y \(A\) tiene inversa.
La entrada normal cuesta 7 euros y la reducida, 6,50 euros.
Los precios reproducen las dos recaudaciones: \(30\cdot7+20\cdot6{,}5=340\) y \(20\cdot7+40\cdot6{,}5=400\).
Ejercicio 3 · Recuperar una matriz a partir de AX = B
Sean \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}11&8\\7&5\end{pmatrix}\). Calcula la matriz \(X\) que cumple \(AX=B\), utilizando la inversa de \(A\).
Ver solución y comprobación
La matriz \(A\) es invertible. Para eliminar el factor de la izquierda, multiplicamos por su inversa también por la izquierda.
Ejercicio 4 · Un sistema con parámetro: solución única, infinitas o ninguna
Discute el siguiente sistema según el parámetro real \(t\). Justifica el rango de la matriz de coeficientes \(A\) y el de la ampliada \(A^*\) en cada caso, y resuelve todos los casos compatibles.
\[\begin{cases}x+y+z=6,\\2x+(t+1)y+2z=12,\\x+y+(t-1)z=7.\end{cases}\]Ver solución y comprobación
Estas operaciones son válidas para todo \(t\). Los valores que separan los casos son \(1\) y \(2\).
Hay tres incógnitas y el sistema es compatible determinado. Las dos últimas filas dan
\[y=0,\qquad z=\frac1{t-2},\qquad x=6-\frac1{t-2}.\]La segunda fila reducida es nula y la tercera da \(-z=1\). El menor de las filas primera y tercera y las columnas de \(x,z\) vale \(-1\); por tanto, el rango de \(A\) es al menos dos. Solo hay dos filas no nulas en la ampliada:
\[\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3=n.\]Es compatible indeterminado. Tomando \(y=\lambda\), con \(\lambda\in\mathbb R\),
\[(x,y,z)=(7-\lambda,\lambda,-1).\]La segunda fila reducida da \(y=0\), pero la tercera es \(0=1\). En \(A\), el menor de filas primera y segunda y columnas de \(x,y\) vale uno; la tercera fila de coeficientes es nula. En \(A^*\), el menor formado por las columnas de \(x,y\) y términos independientes también vale uno.
\[\operatorname{rg}A=2<\operatorname{rg}A^*=3=n.\]Es un sistema incompatible: no tiene solución.
En el caso regular, \(x+y+z=6\), \(2x+(t+1)y+2z=12\) y \(x+y+(t-1)z=6+(t-2)/(t-2)=7\). Para \(t=1\), la familia da \(7-\lambda+\lambda-1=6\), \(2(7-\lambda)+2\lambda-2=12\) y \(7-\lambda+\lambda=7\). Para \(t=2\), las ecuaciones primera y tercera exigirían que la misma suma valiese 6 y 7.
Ejercicio 5 · Dimensiones, orden e interpretación de un producto
Dos centros producen tres artículos. Las filas de \(A\) corresponden a los centros y sus columnas a los artículos. Cada fila de \(X\) indica el consumo de dos recursos por unidad de cada artículo:
\[A=\begin{pmatrix}10&6&4\\8&9&5\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\\1&1\end{pmatrix}.\]Calcula \(AX\) e interpreta sus entradas. Estudia si \(XA\) también existe y si puede sustituir a \(AX\) para calcular los consumos de los centros.
Ver solución y comprobación
\(A\) es \(2\times3\) y \(X\), \(3\times2\). El producto \(AX\) existe y es \(2\times2\): centros por recursos.
El primer centro consume 24 unidades del primer recurso y 22 del segundo; el otro, 21 y 32, respectivamente.
También existe como producto numérico, pero no tiene las dimensiones ni la interpretación de \(AX\). Además, al multiplicar en ese orden se emparejaría el índice de los recursos con el de los centros: que ambos tengan dos valores no convierte sus significados en equivalentes.
Entre ambos centros se fabrican \(18,15,9\) unidades de los artículos. El consumo conjunto del primer recurso es \(2\cdot18+9=45=24+21\); el del segundo es \(3\cdot15+9=54=22+32\).
Ejercicio 6 · Reconstruir tres tarifas a partir de facturas
Una empresa de mensajería mantiene tres tarifas por paquete, según su clase: \(x,y,z\) euros. Tres facturas, sin otros cargos ni descuentos, indican: 3 paquetes de la primera clase, 2 de la segunda y 1 de la tercera cuestan 37 euros; 2, 3 y 2 paquetes, respectivamente, también cuestan 37 euros; y 1, 1 y 4 paquetes cuestan 25 euros. Calcula las tres tarifas.
Ver solución y comprobación
Las incógnitas representan precios, en euros por paquete; los coeficientes son cantidades de paquetes.
Restamos tres veces la tercera ecuación de la primera, y dos veces la tercera de la segunda:
\[-y-11z=-38,\qquad y-6z=-13.\]La primera equivale a \(y+11z=38\). Al restar la segunda, queda \(17z=51\).
Las tarifas son 8, 5 y 3 euros por paquete.
Los tres precios son positivos y reproducen las tres facturas.
Programación lineal: de las restricciones a la decisión
Define las variables y sus unidades, representa la región y compara los vértices. La respuesta debe respetar todas las restricciones.
Ejercicio 7 · Programación lineal con producción
Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada unidad de A deja un beneficio de 30 euros y cada unidad de B, de 20 euros. Si \(x\) e \(y\) son las unidades producidas de A y B, respectivamente, las restricciones son
\[x+y\le100,\qquad2x+y\le140,\qquad x\ge0,\quad y\ge0.\]Determina la producción que maximiza el beneficio.
Ver solución y comprobación
La región factible es un polígono cerrado y acotado del primer cuadrante.
En los ejes se obtienen \((0,0)\), \((70,0)\) y \((0,100)\). La intersección de las dos rectas se calcula restando sus ecuaciones:
\[(2x+y)-(x+y)=140-100\Rightarrow x=40,\quad y=60.\]El mayor beneficio se alcanza con 40 unidades de A y 60 de B; ambas cantidades son enteras.
El beneficio máximo es de 2400 euros.
La producción elegida cumple \(40+60=100\) y \(2\cdot40+60=140\). Además, para cualquier punto factible, \(B=10(x+y)+10(2x+y)\le2400\).
Ejercicio 8 · Programación lineal con dieta
Una dieta utiliza dos alimentos A y B, cuyas cantidades pueden fraccionarse. Cada unidad de A aporta 2 unidades de proteína y 1 de fibra; cada unidad de B, 1 de proteína y 2 de fibra. Se necesitan al menos 8 de proteína y 10 de fibra. El coste es de 3 euros por unidad de A y 4 por unidad de B. Determina las cantidades que minimizan el coste.
Ver solución y comprobación
Sean \(x\) e \(y\) las unidades de A y B.
\[2x+y\ge8,\quad x+2y\ge10,\quad x,y\ge0,\qquad C(x,y)=3x+4y.\]Los vértices sobre los ejes son \((0,8)\) y \((10,0)\). Para la intersección de las rectas:
\[2x+y=8,\quad x+2y=10\quad\Rightarrow\quad x=2,\ y=4.\]La región no está acotada. Aun así, cualquier punto factible cumple
\[C=\frac23(2x+y)+\frac53(x+2y)\ge\frac23\,8+\frac53\,10=22,\]y \((2,4)\) alcanza esa cota.
La dieta de menor coste lleva 2 unidades de A y 4 de B.
Con 2 unidades de A y 4 de B se aportan \(2\cdot2+4=8\) de proteína y \(2+2\cdot4=10\) de fibra. El coste es \(3\cdot2+4\cdot4=22\) euros.
Funciones, límites y condiciones de continuidad
El dominio y la interpretación preceden al cálculo. Los modelos seleccionados reúnen asíntotas, parámetros, derivadas y tasas de cambio.
Ejercicio 9 · Coste medio: dominio y asíntotas
Un taller tiene un coste fijo de 180 € y un coste variable de 12 € por artículo. En un modelo continuo, el coste medio por artículo es:
Indica el dominio matemático y el dominio económico. Halla las asíntotas que afectan al modelo e interpreta la horizontal. La cantidad \(x\) se mide en artículos y \(m(x)\), en euros por artículo.
Ver solución y comprobación
El denominador no puede anularse: \(D_m=\mathbb R\setminus\{0\}\). Como un coste medio exige producir una cantidad positiva, el dominio económico es \(x\gt0\).
La recta \(x=0\) es una asíntota vertical. Al repartir el coste fijo entre una cantidad cada vez menor, el coste medio aumenta sin límite.
La asíntota horizontal es \(y=12\). El coste medio se aproxima a 12 €/artículo desde valores superiores; el coste fijo por artículo tiende a cero.
\(m(15)=24\) y \(m(150)=13,2\) €/artículo: ambos valores superan 12, y el segundo está más cerca de ese límite.
Ejercicio 10 · Un precio por tramos sin salto
Una empresa cobra por reservar un equipo durante \(t\) días. El coste total, en euros, viene dado por:
Halla \(a\) para que el precio sea continuo y calcula el coste de una reserva de 8 días.
Ver solución y comprobación
Los dos tramos son funciones afines y continuas en sus intervalos. En el dominio \([0,10]\), solo hay que comprobar la unión \(t=5\).
\[C(5)=80+12\cdot5=140,\qquad\lim_{t\to5^+}C(t)=a+20.\]Así, el precio no cambia bruscamente al superar los cinco días.
Como \(8>5\), se aplica la segunda expresión:
\[C(8)=120+4\cdot8=\boxed{152\text{ €}}.\]Al sustituir \(t=5\) en las dos expresiones se obtiene 140 €. El tramo de 8 días da 152 €, que son 12 € más por tres días adicionales a 4 €/día.
Ejercicio 11 · Continuidad y derivabilidad con dos parámetros
Determina \(a\) y \(b\) para que la siguiente función sea continua y derivable en todo \(\mathbb R\):
Ver solución y comprobación
En cada tramo hay un polinomio; la única unión que debe estudiarse es \(x=2\).
\[f(2)=7,\qquad\lim_{x\to2^+}f(x)=2a+b\quad\Longrightarrow\quad2a+b=7.\]Una vez asegurada la continuidad, la derivabilidad exige pendientes iguales: \(a=4\).
Con estos valores, la función es continua y derivable en la unión y también en el interior de ambos tramos.
La recta \(4x-1\) pasa por \((2,7)\) y tiene pendiente 4, igual a la tangente de \(x^2+3\) en ese punto.
Ejercicio 12 · Recaudación: tasa instantánea y ritmo de crecimiento
Una campaña estima que la recaudación acumulada después de \(t\) semanas será:
con \(V(t)\) en euros. Calcula la tasa instantánea a las cinco semanas. Justifica si la recaudación crece y si lo hace cada vez más deprisa.
Ver solución y comprobación
La derivada se mide en euros por semana.
En ese instante, la recaudación aumenta a ese ritmo; no significa que durante toda la semana siguiente aumente exactamente 367,88 €.
La recaudación crece, pero su tasa de crecimiento disminuye.
Entre las semanas 5 y 6, el aumento es \(V(6)-V(5)\approx333,43\) €, inferior a 367,88 €; concuerda con una tasa que va disminuyendo.
Ejercicio 13 · Un logaritmo: dominio antes de derivar
Halla el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
Indica también si alcanza un máximo.
Ver solución y comprobación
Por tanto, \(D_f=(-3,3)\). Los extremos \(-3\) y \(3\) no pertenecen al dominio.
En el dominio, el denominador es positivo. La derivada es positiva si \(x\lt0\), se anula en \(x=0\) y es negativa si \(x\gt0\).
La función crece en \((-3,0)\) y decrece en \((0,3)\). Al pasar de creciente a decreciente, alcanza su máximo absoluto en:
\[\boxed{x=0,\qquad f(0)=\ln9}.\]En todo el dominio, \(0<9-x^2\le9\). Como el logaritmo es creciente, \(f(x)\le\ln9\), con igualdad solo en \(x=0\).
Crecimiento, curvatura y optimización
Una derivada nula solo da candidatos. Los signos y los extremos del dominio deciden qué ocurre y dónde se alcanza el óptimo.
Ejercicio 14 · Una cúbica: variación y curvatura
Estudia la monotonía, los extremos relativos y la curvatura de la función:
Da las coordenadas de los extremos y del punto de inflexión.
Ver solución y comprobación
La derivada se anula en \(x=1\) y \(x=3\).
El signo de \(f^{\prime}\) es positivo en \((-\infty,1)\), negativo en \((1,3)\) y positivo en \((3,+\infty)\). Por tanto, la función crece, decrece y vuelve a crecer en esos intervalos.
El cambio de \(+\) a \(-\) da un máximo relativo en \((1,6)\); el cambio de \(-\) a \(+\), un mínimo relativo en \((3,2)\).
La segunda derivada es negativa para \(x\lt2\) y positiva para \(x\gt2\): la curva es cóncava hacia abajo y hacia arriba, respectivamente. Como cambia la curvatura, hay una inflexión en \((2,4)\).
\(f^{\prime}(0)=9\), \(f^{\prime}(2)=-3\) y \(f^{\prime}(4)=9\) confirman los tres signos; \(f^{\prime\prime}(1)=-6\) y \(f^{\prime\prime}(3)=6\) confirman el cambio de curvatura.
Ejercicio 15 · Optimización económica
El beneficio de una empresa, en euros, viene dado por \(B(x)=-2x^2+80x-300\), donde \(x\) es el número de unidades vendidas, con \(x\ge0\). Calcula cuántas unidades debe vender para obtener el beneficio máximo y cuál es ese beneficio.
Ver solución y comprobación
La derivada es positiva para \(0\le x<20\) y negativa para \(x>20\). El beneficio crece hasta 20 y decrece después.
La producción óptima de 20 unidades también es válida si solo se admiten cantidades enteras.
La identidad \(B(x)=500-2(x-20)^2\le500\) confirma el máximo global. Se alcanza la igualdad únicamente cuando \(x=20\).
Ejercicio 16 · Beneficio máximo con una capacidad limitada
El beneficio de una empresa se modeliza mediante:
La variable \(x\) expresa centenares de artículos y \(B(x)\), miles de euros. El modelo es continuo y la capacidad máxima es de 400 artículos. Halla el beneficio máximo permitido y la producción que lo consigue.
Ver solución y comprobación
El polinomio es continuo en el intervalo cerrado \([0,4]\), por lo que alcanza un máximo absoluto. Hay que comparar los puntos críticos interiores y los dos extremos.
\[B^{\prime}(x)=-3x^2+18x-15=-3(x-1)(x-5).\]Los puntos críticos son \(x=1\) y \(x=5\), pero \(5\) queda fuera del intervalo. Los candidatos válidos son \(0\), \(1\) y \(4\).
\[B(0)=-5,\qquad B(1)=-12,\qquad B(4)=15.\]El mayor valor es 15, en \(x=4\). El beneficio máximo es de 15 000 €, con una producción de 400 artículos. Que \(B^{\prime}(4)\ne0\) no lo impide: es un extremo del intervalo permitido.
Para \(1\lt x\le4\), se cumple \(B^{\prime}(x)>0\): el beneficio aumenta hasta la capacidad máxima, de acuerdo con la comparación de candidatos.
Primitivas, acumulación y áreas
Distingue una cantidad acumulada de un área geométrica. Una condición inicial fija la constante y los cambios de signo obligan a separar regiones.
Ejercicio 17 · Del coste marginal al coste total
En un modelo continuo, el coste marginal de producir \(q\) artículos es:
El coste fijo es de 150 €. Obtén el coste total \(C(q)\), en euros, y el coste adicional de aumentar la producción de 50 a 100 artículos.
Ver solución y comprobación
La integral del coste marginal, en €/artículo, respecto a la cantidad de artículos da un coste en euros. El coste fijo no vuelve a cobrarse al aumentar la producción.
Al derivar \(C(q)\) se recupera \(0,04q+6\); además, \(C(0)=150\), \(C(50)=500\) y \(C(100)=950\) €, cuya diferencia es 450 €.
Ejercicio 18 · Área con dos cambios de signo
Calcula el área geométrica comprendida entre la gráfica de \(f\), el eje de abscisas y las rectas \(x=0\) y \(x=4\), siendo:
Las coordenadas se miden en unidades de longitud.
Ver solución y comprobación
La función es positiva en \([0,1)\), negativa en \((1,3)\) y positiva en \((3,4]\). Hay que separar la integral en los ceros \(1\) y \(3\).
La región situada por debajo del eje también aporta un área positiva.
\(\int_0^4f(x)\,dx=4/3\) es la diferencia entre áreas por encima y por debajo del eje. Es menor que el área geométrica 4, como debe ocurrir al haber regiones de ambos signos.
Ejercicio 19 · Área entre una parábola y una recta
Calcula el área de la región cerrada comprendida entre las curvas:
Justifica los límites de integración y qué curva queda por encima. Las coordenadas se miden en unidades de longitud.
Ver solución y comprobación
Los límites son \(x=-4\) y \(x=2\); las curvas se cortan en \((-4,-8)\) y \((2,4)\).
Si \(-4\lt x\lt2\), entonces \(|x+1|\lt3\), de modo que la diferencia es positiva. La parábola es la curva superior en toda la región.
Con \(u=x+1\), la diferencia pasa a ser \(9-u^2\) en \([-3,3]\). Por simetría, \(A=2\int_0^3(9-u^2)\,du=36\text{ u}^2\).
Probabilidad y distribuciones: elegir el modelo
Compara condicionada, Bayes, binomial, normal y aproximación. Aquí se reconoce y aplica cada modelo; el banco específico desarrolla más casos.
Ejercicio 20 · Probabilidad condicionada en una clase
En una clase hay 18 chicas y 12 chicos. De las chicas, 8 estudian Economía; de los chicos, 5. Se elige al azar uno de los 30 alumnos, todos con la misma probabilidad. Calcula la probabilidad de que estudie Economía y la de que sea chica sabiendo que estudia Economía.
Ver solución y comprobación
Sean \(E\), «estudia Economía», y \(C\), «es chica». Hay \(18+12=30\) alumnos y \(8+5=13\) estudian Economía.
Si sabemos que estudia Economía, solo quedan los 13 alumnos de ese grupo; 8 son chicas.
\[P(C\mid E)=\frac{8}{13}.\]Las probabilidades \(P(C\cap E)=8/30\) y \(P(C^c\cap E)=5/30\) suman \(13/30\). Además, \((8/30)/(13/30)=8/13\).
Ejercicio 21 · Bayes con bombillas
Una empresa fabrica el 70 % de sus bombillas en la máquina A y el 30 % en B. Son defectuosas el 2 % de las de A y el 5 % de las de B. Se elige al azar una bombilla entre todas las defectuosas. Calcula la probabilidad de que proceda de B.
Ver solución y comprobación
Sea \(D\), «bombilla defectuosa». Las máquinas A y B abarcan toda la producción y no se solapan.
\[P(A\cap D)=0{,}70\cdot0{,}02=0{,}014,\qquad P(B\cap D)=0{,}30\cdot0{,}05=0{,}015.\]En una producción proporcional de 10 000 bombillas habría 140 defectuosas de A y 150 de B. Entre las 290 defectuosas, la fracción de B es \(150/290=15/29\).
Ejercicio 22 · Binomial exacta
Se presentan seis alumnos a una prueba. Cada uno aprueba con probabilidad \(0{,}8\) y los resultados son independientes. Calcula la probabilidad de que aprueben exactamente cuatro.
Ver solución y comprobación
\(X\) cuenta los aprobados. Hay seis ensayos independientes, dos resultados por alumno y la misma probabilidad de aprobar:
\[X\sim B(6;0{,}8).\]Los cuatro aprobados pueden ocupar \(\binom64=15\) grupos de posiciones. Cada uno tiene probabilidad \(0{,}8^4\cdot0{,}2^2\).
Es el mismo suceso que tener exactamente dos suspensos: \(\binom62\,0{,}2^2\,0{,}8^4=0{,}24576\). El resultado equivale al \(24{,}576\,\%\).
Ejercicio 23 · Normal con tipificación
Las notas de una prueba siguen una distribución normal de media \(6{,}2\) y desviación típica \(1{,}4\). Calcula la probabilidad de obtener menos de 5. Puedes utilizar calculadora o interpolar en una tabla normal.
Ver solución y comprobación
Escribimos \(X\sim N(6{,}2;1{,}4)\): el segundo parámetro es la desviación típica.
La variable \(Z=(X-6{,}2)/1{,}4\) sigue \(N(0;1)\).
\[P(X<5)=P\!\left(Z<\frac{5-6{,}2}{1{,}4}\right)=\Phi\!\left(-\frac67\right).\]Con calculadora, \(\Phi(-6/7)\approx0{,}195683\). En una tabla de centésimas, el valor queda entre \(\Phi(-0{,}86)\approx0{,}1949\) y \(\Phi(-0{,}85)\approx0{,}1977\); una interpolación conduce al mismo redondeo de tres decimales.
La probabilidad es aproximadamente \(0{,}196\), es decir, un \(19{,}6\,\%\).
El umbral 5 está por debajo de la media, por lo que la probabilidad debe ser menor que \(0{,}5\). La simetría da \(1-\Phi(6/7)\approx0{,}195683\).
Ejercicio 24 · Aproximación binomial-normal
En una ciudad, el 40 % de los alumnos utiliza clases online para preparar exámenes. Para una muestra de 200 alumnos, suponemos que las respuestas son independientes y que cada alumno tiene esa misma probabilidad de utilizarlas. Aproxima mediante una normal la probabilidad de que las utilicen más de 90 alumnos.
Ver solución y comprobación
\(X\) cuenta los usuarios y sigue \(B(200;0{,}4)\). Se cumple \(np=80\) y \(n(1-p)=120\); ambos valores son grandes para la aproximación normal.
Más de 90 significa 91 o más. Con \(Y\sim N(80;\sqrt{48})\), aplicamos
\[P(X>90)=P(X\ge91)\approx P(Y>90{,}5).\]Si se redondea antes \(z\) a \(1{,}52\) y se usa una tabla de cuatro decimales, se obtiene \(1-0{,}9357=0{,}0643\). La diferencia procede de ese redondeo.
La corrección \(90{,}5\) separa 90 de 91, los dos enteros decisivos. Como control, el cálculo binomial exacto da aproximadamente \(0{,}06549\), cercano a la aproximación normal.
Inferencia: estimar y controlar el error
Identifica el parámetro, las condiciones de la muestra y el nivel de confianza. Al buscar un tamaño mínimo, comprueba el entero elegido.
Ejercicio 25 · Intervalo de confianza para la media
Una muestra aleatoria de 100 alumnos proporciona una media de 12 horas de estudio semanales. La desviación típica poblacional es 4 horas. Suponemos observaciones independientes y válida la aproximación normal para la media muestral. Calcula un intervalo de confianza aproximado del 95 % para la media poblacional.
Ver solución y comprobación
La media muestral es \(\bar x=12\), con \(\sigma=4\) conocida y \(n=100\).
\[\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac4{10}=0{,}4\text{ horas}.\]El procedimiento produciría intervalos que contendrían la media poblacional en aproximadamente el 95 % de las repeticiones del muestreo.
El centro es \((11{,}216+12{,}784)/2=12\), y la semiamplitud es \((12{,}784-11{,}216)/2=0{,}784\) horas.
Ejercicio 26 · Intervalo para una proporción
En una muestra aleatoria de 400 personas, con respuestas independientes, 240 afirman utilizar clases online para preparar exámenes. Calcula un intervalo de confianza aproximado del 95 % para la proporción poblacional.
Ver solución y comprobación
Hay 240 respuestas afirmativas y 160 negativas; la aproximación normal de la proporción es adecuada.
Los extremos corresponden aproximadamente al \(55{,}2\,\%\) y al \(64{,}8\,\%\) de la población.
El centro del intervalo es \(0{,}6\) y ambos extremos pertenecen a \([0,1]\). El margen es de unos 4,8 puntos porcentuales, no un 4,8 % relativo de \(0{,}6\).
Ejercicio 27 · Tamaño muestral
Se va a estimar una proporción en una población suficientemente grande mediante una muestra aleatoria con observaciones independientes. Se desea una confianza del 95 % y un margen de error máximo de \(0{,}03\), usando la aproximación normal. No hay una estimación previa de la proporción. Calcula el tamaño muestral mínimo de este diseño.
Ver solución y comprobación
Para \(0\le p\le1\), el producto \(p(1-p)\) no supera \(1/4\), alcanzado en \(p=0{,}5\). Así se evita depender de una proporción previa desconocida.
Redondeamos hacia arriba: el tamaño mínimo es \(n=1068\). El margen se refiere al diseño normal aproximado, no a corregir posibles sesgos de selección.
Con \(n=1067\), el margen es aproximadamente \(0{,}0300016>0{,}03\); con \(n=1068\), es \(0{,}0299875<0{,}03\).
Ejercicio 28 · Tamaño de la muestra, selección e interpretación de la confianza
Se quiere estimar la proporción de estudiantes que utiliza la biblioteca de una ciudad con una población estudiantil muy superior al tamaño de las muestras. El plan A recoge 1600 respuestas voluntarias mediante un formulario abierto. El plan B selecciona al azar a 400 estudiantes a partir de un listado completo y hace seguimiento de las personas elegidas para reducir la falta de respuesta.
Si ambos planes fueran muestras aleatorias con observaciones independientes, compara sus márgenes nominales al 95 % usando el caso más desfavorable. ¿Es necesariamente más fiable el plan A por tener más respuestas? Explica qué significa la confianza del 95 %.
Ver solución y comprobación
El formulario voluntario permite que la decisión de responder dependa del uso de la biblioteca. Ese posible sesgo no desaparece por reunir más respuestas. El plan B parte de un listado completo y selección aleatoria; aun así, hay que vigilar la falta de respuesta.
En el caso más desfavorable, \(p(1-p)=0{,}25\). Si las dos muestras fueran aleatorias e independientes:
\[E_{400}=1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{400}}=0{,}049,\qquad E_{1600}=1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{1600}}=0{,}0245.\]Cuadruplicar el tamaño reduce a la mitad el margen nominal: de 4,9 a 2,45 puntos porcentuales.
El menor margen de la muestra de 1600 solo está justificado bajo las condiciones del modelo. No convierte al formulario voluntario en representativo. Entre los planes descritos, el B ofrece una base más defendible para la inferencia, si el listado cubre la población y se controla la falta de respuesta.
Si repitiésemos el mismo muestreo y el mismo procedimiento de intervalo en condiciones válidas, aproximadamente el 95 % de los intervalos contendría la proporción poblacional. No significa que el 95 % de los estudiantes tenga la característica ni que, una vez fijado un intervalo, el parámetro fijo pase a ser aleatorio.
Como \(E\) es proporcional a \(1/\sqrt n\), se cumple \(E_{1600}/E_{400}=\sqrt{400/1600}=1/2\). Esta relación controla el error aleatorio del modelo; no mide el sesgo de una selección voluntaria.
9 ejercicios finales para resolver y comprobar
Primero intenta resolverlos sin desplegar la ayuda. Los tres primeros son tareas breves de repaso; los seis siguientes añaden decisiones y combinaciones de habilidades. Son problemas propios, no un modelo oficial ni una estructura de examen común a todas las comunidades.
Ejercicio 29 · Al menos una de dos asignaturas
En una ciudad, el 60 % de los estudiantes cursa Economía, el 45 % cursa Matemáticas Aplicadas y el 30 % cursa ambas. Se elige un estudiante al azar, con la misma probabilidad para todos. Calcula la probabilidad de que curse al menos una de las dos asignaturas.
Ver solución y comprobación
Sean \(E\) y \(M\) los sucesos de cursar cada asignatura. «Al menos una» incluye a quienes cursan ambas y corresponde a \(E\cup M\).
La probabilidad es \(0{,}75\), equivalente al \(75\,\%\).
Las cuatro regiones valen \(0{,}30\) para ambas, \(0{,}30\) solo Economía, \(0{,}15\) solo Matemáticas Aplicadas y \(0{,}25\) ninguna. Son no negativas y suman uno.
Ejercicio 30 · Producción óptima con dos restricciones
Una empresa fabrica productos A y B. Cada unidad deja un beneficio de 50 y 40 euros, respectivamente. Si \(x\) e \(y\) son sus cantidades, las restricciones son
\[x+2y\le120,\qquad2x+y\le150,\qquad x,y\ge0.\]Determina el beneficio máximo y la producción que lo alcanza.
Ver solución y comprobación
La región factible es cerrada y acotada. Basta comparar los valores de la función lineal en sus vértices.
En los ejes aparecen \((0,0)\), \((75,0)\) y \((0,60)\). Para el vértice restante resolvemos
\[x+2y=120,\quad2x+y=150\quad\Rightarrow\quad x=60,\ y=30.\]El máximo es 4200 euros, con 60 unidades de A y 30 de B.
Se cumple \(60+2\cdot30=120\) y \(2\cdot60+30=150\). La cota \(B=10(x+2y)+20(2x+y)\le4200\) confirma que ningún punto factible mejora el resultado.
Ejercicio 31 · Producción que minimiza el coste
El coste de producir \(x\) unidades, expresado en euros, es \(C(x)=x^2-20x+300\), con \(x\ge0\). Calcula la producción que minimiza el coste y el valor mínimo.
Ver solución y comprobación
Para \(0\le x<10\), la derivada es negativa; para \(x>10\), positiva. El coste disminuye hasta 10 y aumenta después.
El mínimo se obtiene produciendo 10 unidades, también admisible si las cantidades deben ser enteras.
La igualdad \(C(x)=200+(x-10)^2\ge200\) comprueba el mínimo global y el valor que lo alcanza.
Ejercicio 32 · Producción a partir del inventario y beneficio del pedido
Un taller fabrica dos tipos de lote. El primero consume 2 unidades del material A y 1 del B; el segundo, 3 de A y 2 de B. Un pedido consume exactamente 38 unidades de A y 23 de B. Calcula cuántos lotes hay de cada tipo mediante un sistema matricial. Si cada lote deja un margen de 3 y 4 euros, respectivamente, y el pedido tiene un coste fijo adicional de 10 euros, calcula su beneficio.
Ver solución y comprobación
Sean \(x,y\) las cantidades enteras no negativas de lotes de cada tipo.
\[\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}38\\23\end{pmatrix}.\]El determinante es \(4-3=1\), por lo que hay una única solución.
\[\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}38\\23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\8\end{pmatrix}.\]El pedido contiene 7 lotes del primer tipo y 8 del segundo. Las cantidades cumplen el dominio del problema.
El consumo es \(2\cdot7+3\cdot8=38\) unidades de A y \(7+2\cdot8=23\) de B. El margen total es 53 euros; descontar los 10 euros fijos deja 43.
Ejercicio 33 · Traducir capacidades y un pedido mínimo
Un taller fabrica productos A y B, en cantidades enteras. Cada A necesita 2 horas de preparación y 1 de acabado; cada B, 1 y 3 horas. Hay 100 horas de preparación y 90 de acabado. Deben fabricarse al menos 10 unidades de B. Los beneficios unitarios son 40 y 50 euros. Formula el problema y determina la producción que maximiza el beneficio.
Ver solución y comprobación
\(x,y\) son las cantidades de A y B. Primero consideramos la región continua; después comprobaremos que el óptimo es entero.
Sobre \(x=0\), los extremos son \((0,10)\) y \((0,30)\). Sobre \(y=10\), la preparación permite \(x\le45\). Las dos rectas de capacidad se cortan en
\[2x+y=100,\quad x+3y=90\quad\Longrightarrow\quad(x,y)=(42,16).\]Los vértices son \((0,10),(45,10),(42,16),(0,30)\).
Se fabrican 42 unidades de A y 16 de B, con beneficio máximo de 2480 euros. Este óptimo continuo es entero y satisface el pedido mínimo.
Se utilizan \(2\cdot42+16=100\) y \(42+3\cdot16=90\) horas. Además, para cualquier punto factible, \(40x+50y=14(2x+y)+12(x+3y)\le14\cdot100+12\cdot90=2480\). El punto hallado alcanza esa cota.
Ejercicio 34 · De la demanda a dos decisiones enteras óptimas
Una empresa modeliza el precio unitario que puede cobrar al vender \(x\) lotes mediante \(p(x)=41-x\) euros por lote. El coste total es \(C(x)=8x+30\) euros. Puede vender entre 0 y 25 lotes, siempre en cantidades enteras. Obtén la función beneficio, calcula dónde se maximizaría si \(x\) pudiera ser real y decide cuántos lotes debe vender realmente.
Ver solución y comprobación
El dominio económico es \(x\in\{0,1,\ldots,25\}\). En todo él, el precio unitario es positivo.
La derivada es positiva antes de 16,5 y negativa después. Como ese valor está en \([0,25]\), es el máximo continuo.
Por el crecimiento y decrecimiento anterior, basta comparar los dos enteros vecinos:
\[B(16)=242,\qquad B(17)=242.\]La empresa puede vender 16 o 17 lotes: ambas opciones dan el mismo beneficio máximo de 242 euros. La cantidad 16,5 no es una decisión admisible.
Con 16 lotes: ingresos \(16\cdot25=400\) euros y costes \(8\cdot16+30=158\), luego beneficio 242. Con 17: \(17\cdot24-166=242\). La identidad \(B(x)=242{,}25-(x-16{,}5)^2\) confirma que ningún otro entero mejora esas dos opciones.
Ejercicio 35 · Procedencia de las compras y margen esperado
Una campaña recibe el 60 % de sus solicitudes por el canal A y el 40 % por B. Finalizan en compra el 25 % de las solicitudes de A y el 40 % de las de B. Cada compra deja un margen neto de 18 euros en A y 12 euros en B. Calcula la probabilidad de compra, la probabilidad de que una compra proceda de A y el margen total esperado de 1000 solicitudes con esa misma distribución.
Ver solución y comprobación
Sea \(C\) «la solicitud finaliza en compra». Los canales forman dos grupos excluyentes que reúnen todas las solicitudes.
\[P(C)=0{,}6\cdot0{,}25+0{,}4\cdot0{,}40=0{,}31.\]Aunque A aporta más solicitudes, algo menos de la mitad de las compras procede de él.
Por cada 1000 solicitudes se esperan 150 compras de A y 160 de B.
\[M=150\cdot18+160\cdot12=4620\text{ euros}.\]Es un valor esperado; no afirma que todas las campañas produzcan exactamente esas cantidades.
La probabilidad total 0,31 está entre las tasas 0,25 y 0,40. Las procedencias condicionadas suman \(15/31+16/31=1\). Los 310 compradores esperados dejan un margen medio de \(4620/310\approx14{,}90\) euros, situado entre 12 y 18.
Ejercicio 36 · Diseñar un plazo y evaluar seis tareas
El tiempo de una tarea se modeliza por una normal de media 24 minutos y desviación típica 4 minutos. Fija un plazo que se cumpla en el 90 % de las tareas. Para seis tareas independientes con esa misma distribución, calcula la probabilidad de que como máximo una supere el plazo teórico obtenido. Usa calculadora para el percentil o indica la aproximación de la tabla.
Ver solución y comprobación
Si \(T\sim N(24,4)\), buscamos \(a\) con \(P(T\le a)=0{,}90\). Por tanto,
\[\Phi\!\left(\frac{a-24}{4}\right)=0{,}90.\]El plazo es aproximadamente 29,13 minutos. Para el cálculo siguiente conservamos el percentil teórico: la probabilidad de superarlo es 0,10.
Si \(Y\) cuenta cuántas de las seis tareas superan ese plazo, \(Y\sim B(6,0{,}1)\).
\[P(Y\le1)=0{,}9^6+6\cdot0{,}1\cdot0{,}9^5=0{,}885735\approx0{,}8857.\]El percentil 90 está por encima de la media. La probabilidad de ningún incumplimiento es \(0{,}9^6=0{,}531441\); al sumar la de uno, \(0{,}354294\), se obtiene 0,885735, entre cero y uno. Si se usa una tabla, el plazo dependerá del redondeo declarado.
Ejercicio 37 · Intervalo de consumo y precisión exigida
Se seleccionan aleatoriamente 225 hogares, con observaciones independientes. Su consumo semanal medio es 42 kWh. La desviación típica poblacional es conocida y vale 9 kWh; la muestra permite utilizar la aproximación normal para su media. Calcula un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional. ¿Cumple un error máximo de 1 kWh? Si no, determina el tamaño mínimo para lograrlo al mismo nivel de confianza.
Ver solución y comprobación
El error supera 1 kWh, por lo que la muestra actual no cumple la precisión solicitada.
El procedimiento de muestreo y construcción produce intervalos que contienen la media poblacional en aproximadamente el 95 % de las repeticiones. No significa que la media, ya fija, cambie de valor con cada muestra.
El tamaño mínimo es \(n=312\) hogares, bajo las mismas condiciones de muestreo y variabilidad.
Con 311 hogares, el error es aproximadamente 1,00027 kWh, todavía mayor que uno. Con 312 baja a 0,99867 kWh. El intervalo actual es simétrico respecto de 42 y tiene amplitud \(2E=2{,}352\) kWh.
Ampliación opcional: contrastes e interés compuesto
Estos tres ejemplos amplían el repaso. Los contrastes no se presentan aquí como una exigencia común de la PAU de segundo; comprueba tu programa antes de dedicarles tiempo. El interés compuesto básico sirve como recordatorio de primero y contexto económico.
Ejercicio 38 · Contraste unilateral con lámparas
Una empresa afirma que sus lámparas duran de media 1200 horas. Una muestra aleatoria de 64 lámparas, con duraciones independientes, tiene una media de 1170 horas. La desviación típica poblacional es 160 horas. Suponemos válida la aproximación normal de la media muestral. Contrasta al 5 % si la duración media es menor que la anunciada.
Ver solución y comprobación
La pregunta corresponde a un contraste unilateral izquierdo.
Al 5 %, se rechaza si \(z<-1{,}645\). Como \(-1{,}5>-1{,}645\), no se rechaza \(H_0\).
No hay evidencia suficiente al 5 % para afirmar que la duración media sea inferior a 1200 horas. Esto no demuestra que la media sea exactamente 1200 horas.
El valor p es \(\Phi(-1{,}5)\approx0{,}0668>0{,}05\), de acuerdo con la decisión por región crítica.
Ejercicio 39 · Contraste bilateral de medias
Un centro afirma que sus alumnos dedican de media 10 horas semanales al estudio. Una muestra aleatoria de 81 alumnos, con observaciones independientes, proporciona una media de \(10{,}6\) horas. La desviación típica poblacional es \(2{,}7\) horas. Suponemos válida la aproximación normal de la media muestral. Contrasta al 5 % si la media ha cambiado.
Ver solución y comprobación
El contraste es bilateral: se buscan desviaciones en cualquiera de los dos sentidos.
Al 5 %, se rechaza si \(|z|>1{,}96\). Aquí \(2>1{,}96\), por lo que se rechaza \(H_0\).
Hay evidencia suficiente al 5 % para afirmar que la media de horas de estudio difiere de 10 horas.
El valor p bilateral es \(2[1-\Phi(2)]\approx0{,}0455<0{,}05\). No se utiliza solo la cola derecha, pues la alternativa es bilateral.
Ejercicio 40 · Interés compuesto
Se depositan 5000 euros durante tres años a un tipo efectivo anual del 4 %, con capitalización anual y sin aportaciones ni retiradas. Calcula el capital final.
Ver solución y comprobación
Un 4 % anual equivale a multiplicar el capital por \(1+0{,}04=1{,}04\) al terminar cada año.
Los intereses de cada año se incorporan al capital del siguiente.
La secuencia anual es \(5000\to5200\to5408\to5624{,}32\). No se suman tres intereses calculados siempre sobre 5000 euros.
Errores que cambian la respuesta
- Resolver fuera del dominio. Una raíz, un logaritmo o un denominador pueden excluir candidatos.
- Confundir candidato y óptimo. En un intervalo cerrado también se comparan los extremos; en programación lineal se comprueban los vértices factibles.
- Ignorar el orden de un producto matricial. Comprueba las dimensiones y el significado de filas y columnas.
- Integrar sin interpretar. El área necesita magnitudes positivas; la acumulación conserva el signo y las unidades.
- Invertir la condición o suponer independencia. No se cambia el grupo de referencia ni el modelo sin justificación.
- Confundir confianza con porcentaje de datos. Un intervalo estima un parámetro; no contiene necesariamente el porcentaje indicado de observaciones.
- Redondear pronto o hacia abajo. El tamaño muestral mínimo se redondea al entero superior y se verifica.
Comprueba qué paso necesitas reforzar
Después de cada intento, identifica si el error está en traducir el enunciado, elegir el modelo, calcular o interpretar. Repite la tarea con los datos completos y comprueba el paso corregido.
| Ejercicio | Primer intento | Qué corrijo | Segundo intento |
|---|---|---|---|
| ________ | ________ | ________________ | ________ |
| ________ | ________ | ________________ | ________ |
| ________ | ________ | ________________ | ________ |
Preguntas frecuentes
¿Es un curso completo de cada tema?
Es un repaso global con problemas representativos y combinados. El mapa enlaza a los monográficos para ampliar una técnica concreta.
¿Sirve para cualquier comunidad?
Los modelos trabajan habilidades de la asignatura. Cada convocatoria concreta contenidos, formato, optatividad, tablas y calculadora; comprueba sus documentos oficiales.
¿Se incluye Matemáticas II de Ciencias?
La selección está dirigida a Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Algunos métodos se comparten, pero no se presenta como un temario de la modalidad de Ciencias.
¿Qué se imprime?
El PDF de repaso contiene los 37 ejercicios principales con sus soluciones y comprobaciones. La ficha de clase selecciona seis enunciados con espacio de escritura. Las tres ampliaciones opcionales permanecen en la web.
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