Matemáticas, PAU y EBAU

Matemáticas Sociales II PAU ejercicios resueltos paso a paso

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Matemáticas Sociales II PAU 2026 ejercicios resueltos paso a paso

Probabilidad, estadística, programación lineal, matrices, interés compuesto y optimización económica explicados con teoría clara, ejercicios tipo PAU y soluciones paso a paso.

Este bloque forma parte de nuestra biblioteca de recursos para preparar Matemáticas Sociales II PAU con método. Puedes usarlo para repasar los temas más habituales de examen y, si necesitas ayuda personalizada, enlazarlo con clases online o presenciales en Marlu Educativa.o.

En Marlu Educativa trabajamos estos bloques en clases online de Matemáticas para Bachillerato, en clases online para alumnos de toda España y en clases presenciales en Salamanca.

Este recurso repasa lo más importante en un solo bloque de Matemáticas Sociales II PAU.

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Si te cuesta probabilidad, estadística, intervalos de confianza, contrastes, programación lineal, matrices o problemas económicos, puedes trabajar estos bloques con seguimiento paso a paso. Marlu Educativa combina preparación presencial en Salamanca y clases online para toda España.

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Índice clicable del bloque

  1. Mapa del bloque
  2. Probabilidad básica y condicionada
  3. Ejercicio 1: probabilidad condicionada en una clase
  4. Teorema de Bayes
  5. Ejercicio 2: Bayes con bombillas
  6. Distribución binomial
  7. Ejercicio 3: binomial exacta
  8. Distribución normal
  9. Ejercicio 4: normal con tipificación
  10. Ejercicio 5: aproximación binomial-normal
  11. Intervalos de confianza e inferencia
  12. Ejercicio 6: intervalo de confianza para la media
  13. Ejercicio 7: intervalo para una proporción
  14. Ejercicio 8: tamaño muestral
  15. Contrastes de hipótesis
  16. Ejercicio 9: contraste unilateral con lámparas
  17. Ejercicio 10: contraste bilateral de medias
  18. Programación lineal
  19. Ejercicio 11: programación lineal con producción
  20. Ejercicio 12: programación lineal con dieta
  21. Matrices
  22. Ejercicio 13: matrices y recaudación
  23. Ejercicio 14: matrices y sistemas económicos
  24. Interés compuesto y optimización económica
  25. Ejercicio 15: interés compuesto
  26. Ejercicio 16: optimización económica
  27. Simulacro tipo PAU
  28. Errores típicos
  29. Ruta recomendada
  30. Recursos relacionados

Mapa del bloque de Matemáticas Sociales II PAU

Este bloque reúne los temas donde más dudas aparecen en 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales. La idea es trabajar lo que realmente se repite en examen: probabilidad, distribuciones, inferencia, programación lineal, matrices y optimización económica.

1. ProbabilidadSucesos, condicionada, independencia, tablas, árboles y Bayes.
2. DistribucionesBinomial, normal, tipificación y aproximación binomial-normal.
3. InferenciaIntervalos de confianza, error máximo, tamaño muestral y contrastes.
4. Programación linealRegión factible, vértices, restricciones y función objetivo.
5. MatricesOperaciones, productos, interpretación de datos y sistemas.
6. Economía matemáticaInterés compuesto, beneficios, costes, ingresos y optimización.

1. Probabilidad básica y condicionada

La probabilidad en Matemáticas Sociales II no se estudia como una lista de fórmulas. Se estudia como un lenguaje para ordenar información. Antes de calcular, hay que identificar claramente qué se sabe y qué se pregunta.

Palabras clave en los enunciados

  • Y suele indicar intersección.
  • O suele indicar unión.
  • Sabiendo que indica probabilidad condicionada.
  • Al menos suele resolverse con complemento.
  • Exactamente suele ser un caso concreto.
  • Como máximo obliga a sumar varios casos.
\[ P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Ejercicio 1. Probabilidad condicionada en una clase

En una clase hay 18 chicas y 12 chicos. De las chicas, 8 estudian Economía. De los chicos, 5 estudian Economía. Elegimos un alumno al azar.

Calcula la probabilidad de que estudie Economía y la probabilidad de que sea chica sabiendo que estudia Economía.

Solución paso a paso

Total de alumnos:

\[18+12=30\]

Alumnos que estudian Economía:

\[8+5=13\]

Probabilidad de estudiar Economía:

\[P(E)=\frac{13}{30}\]

Para calcular la probabilidad de que sea chica sabiendo que estudia Economía, restringimos el universo a los 13 alumnos que estudian Economía. De ellos, 8 son chicas.

\[P(Chica/E)=\frac{8}{13}\]
Resultado: \(P(E)=13/30\) y \(P(Chica/E)=8/13\).
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2. Teorema de Bayes

Bayes es uno de los ejercicios más típicos de Matemáticas Sociales II. Suele aparecer con fábricas, máquinas, pruebas médicas, defectos, encuestas o grupos de estudiantes.

Estructura típica

Primero se calcula una probabilidad total. Después se usa Bayes para invertir la condición.

\[P(B/D)=\frac{P(B)\cdot P(D/B)}{P(D)}\]

Ejercicio 2. Bayes con bombillas

Una empresa fabrica bombillas en dos máquinas. La máquina A produce el 70% de las bombillas y la máquina B produce el 30%.

La máquina A produce un 2% de bombillas defectuosas y la máquina B produce un 5% de bombillas defectuosas.

Elegimos una bombilla defectuosa. Calcula la probabilidad de que proceda de la máquina B.

Solución paso a paso

\[P(A)=0,70,\quad P(B)=0,30\]
\[P(D/A)=0,02,\quad P(D/B)=0,05\]

Primero calculamos la probabilidad total de que una bombilla sea defectuosa.

\[P(D)=P(A)\cdot P(D/A)+P(B)\cdot P(D/B)\]
\[P(D)=0,70\cdot0,02+0,30\cdot0,05\]
\[P(D)=0,014+0,015=0,029\]

Ahora aplicamos Bayes.

\[P(B/D)=\frac{P(B)\cdot P(D/B)}{P(D)}\]
\[P(B/D)=\frac{0,30\cdot0,05}{0,029}=0,5172\]
Resultado: la probabilidad es aproximadamente \(0,5172\), es decir, \(51,72\%\).
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Probabilidad y Bayes se pueden dominar con método

Muchos alumnos fallan porque no distinguen probabilidad total y probabilidad condicionada. En Marlu Educativa trabajamos estos ejercicios con árboles, tablas y lectura precisa del enunciado. Puedes pedir información en la prematrícula de clases particulares.

3. Distribución binomial

La binomial aparece cuando se repite varias veces un experimento con dos posibles resultados, normalmente éxito o fracaso.

Cuándo usar binomial

  • Hay un número fijo de repeticiones.
  • Cada repetición tiene dos resultados posibles.
  • La probabilidad de éxito es constante.
  • Las repeticiones son independientes.
\[X\sim B(n,p)\]
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

Ejercicio 3. Binomial exacta

La probabilidad de que un alumno apruebe una prueba es \(0,8\). Se presentan 6 alumnos. Calcula la probabilidad de que aprueben exactamente 4.

Solución paso a paso

Definimos la variable:

\[X=\text{número de alumnos que aprueban}\]
\[X\sim B(6,0,8)\]

Queremos calcular:

\[P(X=4)\]
\[P(X=4)=\binom{6}{4}0,8^4\cdot0,2^2\]
\[\binom{6}{4}=15\]
\[P(X=4)=15\cdot0,4096\cdot0,04=0,24576\]
Resultado: \(P(X=4)=0,24576\), es decir, \(24,576\%\).
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4. Distribución normal

La distribución normal conecta probabilidad con estadística e inferencia. El paso esencial es tipificar.

Fórmula de tipificación

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]

Esta fórmula convierte una normal cualquiera en una normal estándar.

Ejercicio 4. Normal con tipificación

Las notas de una prueba siguen una distribución normal de media \(6,2\) y desviación típica \(1,4\). Calcula la probabilidad de que un alumno obtenga menos de \(5\).

Solución paso a paso

\[X\sim N(6,2;1,4)\]

Queremos calcular:

\[P(X<5)\]

Tipificamos:

\[z=\frac{5-6,2}{1,4}=\frac{-1,2}{1,4}=-0,857\]

Buscamos en la tabla normal:

\[P(Z<-0,857)\approx0,196\]
Resultado: la probabilidad es aproximadamente \(0,196\), es decir, \(19,6\%\).
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Ejercicio 5. Aproximación binomial-normal

En una ciudad, el 40% de los alumnos utiliza clases online para preparar exámenes. Se toma una muestra de 200 alumnos. Aproxima la probabilidad de que más de 90 utilicen clases online.

Solución paso a paso

La variable sigue una binomial:

\[X\sim B(200,0,4)\]

Como \(n\) es grande, aproximamos por una normal.

\[\mu=np=200\cdot0,4=80\]
\[\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200\cdot0,4\cdot0,6}=\sqrt{48}=6,928\]

Queremos \(P(X>90)\). Usamos corrección por continuidad:

\[P(X>90)\approx P(Y>90,5)\]

Tipificamos:

\[z=\frac{90,5-80}{6,928}=1,52\]
\[P(Y>90,5)=P(Z>1,52)\approx1-0,9357=0,0643\]
Resultado: la probabilidad aproximada es \(0,0643\), es decir, \(6,43\%\).
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5. Intervalos de confianza e inferencia

Los intervalos de confianza son una de las partes más importantes de Matemáticas Sociales II. En PAU suelen aparecer con medias, proporciones, encuestas, muestras y errores máximos.

Ejercicio 6. Intervalo de confianza para la media

En una muestra de 100 alumnos, la media de horas de estudio semanales es 12 horas. Se sabe que la desviación típica poblacional es 4 horas. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la media.

Solución paso a paso

\[\overline{x}=12,\quad \sigma=4,\quad n=100\]

Para el 95%:

\[z=1,96\]

Error máximo:

\[E=z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\cdot\frac{4}{\sqrt{100}}\]
\[E=1,96\cdot\frac{4}{10}=0,784\]

Intervalo:

\[(12-0,784,\ 12+0,784)\]
Resultado: el intervalo es \((11,216,\ 12,784)\).
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Ejercicio 7. Intervalo para una proporción

En una muestra de 400 personas, 240 afirman utilizar clases online para preparar exámenes. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional.

Solución paso a paso

Proporción muestral:

\[\hat{p}=\frac{240}{400}=0,6\]

Para el 95%:

\[z=1,96\]

Error:

\[E=1,96\sqrt{\frac{0,6\cdot0,4}{400}}\]
\[E=1,96\sqrt{0,0006}=1,96\cdot0,02449=0,048\]

Intervalo:

\[(0,6-0,048,\ 0,6+0,048)\]
Resultado: el intervalo es \((0,552,\ 0,648)\). En porcentaje: entre \(55,2\%\) y \(64,8\%\).
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Ejercicio 8. Tamaño muestral

Se desea estimar una proporción con un nivel de confianza del 95% y un error máximo de 0,03. Si no se conoce la proporción previa, calcula el tamaño muestral mínimo.

Solución paso a paso

Cuando no se conoce \(p\), se toma el caso más desfavorable:

\[p=0,5,\quad q=0,5\]

Para el 95%:

\[z=1,96\]

Fórmula:

\[n=\frac{z^2pq}{E^2}\]
\[n=\frac{1,96^2\cdot0,5\cdot0,5}{0,03^2}\]
\[n=\frac{3,8416\cdot0,25}{0,0009}=1067,11\]

Como el tamaño muestral debe ser entero y debe garantizar el error máximo, redondeamos hacia arriba.

Resultado: se necesitan al menos \(1068\) personas.
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6. Contrastes de hipótesis

Los contrastes son una de las partes que más inseguridad genera. El error habitual es aplicar fórmulas sin entender qué se está comprobando. En PAU la conclusión escrita en contexto es tan importante como el cálculo.

Esquema base

  • Plantear \(H_0\) y \(H_1\).
  • Elegir el nivel de significación.
  • Calcular el estadístico.
  • Comparar con la región crítica o con el p-valor.
  • Tomar la decisión.
  • Redactar la conclusión en el contexto del problema.

Ejercicio 9. Contraste unilateral con lámparas

Una empresa afirma que sus lámparas duran de media 1200 horas. Se analiza una muestra de 64 lámparas y se obtiene una media de 1170 horas. La desviación típica poblacional es 160 horas.

Contrasta al 5% si la duración media es menor que la anunciada.

Solución paso a paso

\[H_0:\mu=1200\]
\[H_1:\mu<1200\]
\[\overline{x}=1170,\quad \sigma=160,\quad n=64\]

Calculamos el estadístico:

\[z=\frac{1170-1200}{160/\sqrt{64}}\]
\[z=\frac{-30}{160/8}=\frac{-30}{20}=-1,5\]

Para un contraste unilateral izquierdo al 5%, el valor crítico es:

\[-1,645\]

Como \(-1,5\) no es menor que \(-1,645\), no rechazamos \(H_0\).

Conclusión: no hay evidencia suficiente al 5% para afirmar que las lámparas duran menos de 1200 horas de media.
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Ejercicio 10. Contraste bilateral de medias

Un centro afirma que sus alumnos dedican de media 10 horas semanales al estudio. En una muestra de 81 alumnos se obtiene una media de 10,6 horas. La desviación típica poblacional es 2,7 horas. Contrasta al 5% si la media ha cambiado.

Solución paso a paso

\[H_0:\mu=10\]
\[H_1:\mu\neq10\]
\[\overline{x}=10,6,\quad \sigma=2,7,\quad n=81\]

Calculamos el estadístico:

\[z=\frac{10,6-10}{2,7/\sqrt{81}}\]
\[z=\frac{0,6}{2,7/9}=\frac{0,6}{0,3}=2\]

En un contraste bilateral al 5%, los valores críticos son \(-1,96\) y \(1,96\).

Como \(2>1,96\), rechazamos \(H_0\).

Conclusión: hay evidencia suficiente al 5% para afirmar que la media de horas semanales ha cambiado.
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Intervalos y contrastes suelen decidir la nota

Muchos alumnos entienden la fórmula, pero fallan al elegir el contraste o al redactar la conclusión. En Marlu Educativa se trabaja este bloque con modelos de examen, corrección paso a paso y preparación online para toda España.

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7. Programación lineal

La programación lineal suele aparecer con producción, beneficios, restricciones, recursos disponibles y función objetivo. La clave es transformar el texto en inecuaciones y evaluar los vértices de la región factible.

Ejercicio 11. Programación lineal con producción

Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada unidad de A da un beneficio de 30 euros y cada unidad de B da un beneficio de 20 euros. Las restricciones son:

\[x+y\le100\]
\[2x+y\le140\]
\[x\ge0,\quad y\ge0\]

Calcula cuántas unidades debe fabricar de cada producto para maximizar el beneficio.

Solución paso a paso

Función objetivo:

\[B=30x+20y\]

Vértices de la región factible:

\[(0,0)\]

Si \(y=0\), en \(2x+y=140\):

\[2x=140,\quad x=70\]
\[(70,0)\]

Intersección de \(x+y=100\) y \(2x+y=140\):

\[(2x+y)-(x+y)=140-100\]
\[x=40\]
\[y=60\]
\[(40,60)\]

Si \(x=0\), queda \(y=100\):

\[(0,100)\]

Evaluamos:

\[B(0,0)=0\]
\[B(70,0)=2100\]
\[B(40,60)=30\cdot40+20\cdot60=2400\]
\[B(0,100)=2000\]
Resultado: el beneficio máximo se obtiene fabricando 40 unidades de A y 60 unidades de B.
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Ejercicio 12. Programación lineal con dieta

Una dieta usa dos alimentos A y B. Cada unidad de A aporta 2 unidades de proteína y 1 de fibra. Cada unidad de B aporta 1 unidad de proteína y 2 de fibra. Se necesitan al menos 8 unidades de proteína y 10 de fibra. El coste de A es 3 euros y el de B es 4 euros. Minimiza el coste.

Solución paso a paso

Variables:

\[x=\text{unidades de A},\quad y=\text{unidades de B}\]

Restricciones:

\[2x+y\ge8\]
\[x+2y\ge10\]
\[x\ge0,\quad y\ge0\]

Función objetivo:

\[C=3x+4y\]

Intersección de las rectas:

\[2x+y=8\]
\[x+2y=10\]

De la primera, \(y=8-2x\). Sustituimos:

\[x+2(8-2x)=10\]
\[x+16-4x=10\]
\[-3x=-6,\quad x=2\]
\[y=8-2\cdot2=4\]

Coste en ese vértice:

\[C=3\cdot2+4\cdot4=22\]

También revisamos los vértices sobre los ejes que cumplen las restricciones: \((0,8)\) y \((10,0)\).

\[C(0,8)=32\]
\[C(10,0)=30\]
Resultado: el coste mínimo se obtiene con 2 unidades de A y 4 unidades de B. Coste mínimo: 22 euros.
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8. Matrices básicas en Matemáticas Sociales

En Matemáticas Sociales II, las matrices suelen aparecer aplicadas a datos, costes, producción, precios o sistemas. No conviene estudiarlas solo como operaciones mecánicas.

Ejercicio 13. Matrices y recaudación

Una empresa vende dos productos en dos ciudades. La matriz de unidades vendidas es:

\[A=\begin{pmatrix}20&30\\15&25\end{pmatrix}\]

La matriz de precios unitarios es:

\[P=\begin{pmatrix}8\\12\end{pmatrix}\]

Calcula la recaudación en cada ciudad.

Solución paso a paso

Multiplicamos \(A\cdot P\):

\[A\cdot P=\begin{pmatrix}20&30\\15&25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\12\end{pmatrix}\]

Primera ciudad:

\[20\cdot8+30\cdot12=160+360=520\]

Segunda ciudad:

\[15\cdot8+25\cdot12=120+300=420\]
Resultado: la recaudación es 520 euros en la primera ciudad y 420 euros en la segunda ciudad.
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Ejercicio 14. Matrices y sistemas económicos

Una empresa vende entradas normales y reducidas. En el primer día vende 30 normales y 20 reducidas, recaudando 340 euros. En el segundo día vende 20 normales y 40 reducidas, recaudando 400 euros. Calcula el precio de cada tipo de entrada usando un sistema matricial.

Solución paso a paso

Sea \(x\) el precio de la entrada normal y \(y\) el precio de la reducida.

\[30x+20y=340\]
\[20x+40y=400\]

Dividimos la primera ecuación entre 10 y la segunda entre 20:

\[3x+2y=34\]
\[x+2y=20\]

Restamos:

\[2x=14,\quad x=7\]

Sustituimos:

\[7+2y=20\]
\[2y=13,\quad y=6,5\]
Resultado: la entrada normal cuesta 7 euros y la reducida cuesta 6,50 euros.
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9. Interés compuesto y optimización económica

El interés compuesto conecta matemáticas con economía real. La optimización económica utiliza funciones para estudiar beneficios, costes e ingresos. Ambos tipos de ejercicios son muy útiles para Matemáticas Sociales II.

Ejercicio 15. Interés compuesto

Depositamos 5000 euros al 4% anual durante 3 años con interés compuesto. Calcula el capital final.

Solución paso a paso

\[C_f=C_0(1+i)^t\]
\[C_0=5000,\quad i=0,04,\quad t=3\]
\[C_f=5000(1+0,04)^3\]
\[C_f=5000\cdot1,04^3=5000\cdot1,124864\]
\[C_f=5624,32\]
Resultado: el capital final será 5624,32 euros.
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Ejercicio 16. Optimización económica

El beneficio de una empresa viene dado por:

\[B(x)=-2x^2+80x-300\]

donde \(x\) representa el número de unidades vendidas. Calcula cuántas unidades debe vender para obtener el beneficio máximo.

Solución paso a paso

Derivamos:

\[B'(x)=-4x+80\]

Igualamos a cero:

\[-4x+80=0\]
\[4x=80\]
\[x=20\]

Como la parábola tiene coeficiente principal negativo, el punto corresponde a un máximo.

Resultado: la empresa debe vender 20 unidades para obtener el beneficio máximo.
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10. Simulacro tipo PAU Matemáticas Sociales II

Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina los bloques principales antes de hacer un examen completo.

Ejercicio A. Probabilidad

En una ciudad, el 60% de los estudiantes cursa Economía, el 45% cursa Matemáticas Aplicadas y el 30% cursa ambas. Calcula la probabilidad de que un estudiante curse al menos una de las dos asignaturas.

Ver solución
\[P(E\cup M)=P(E)+P(M)-P(E\cap M)\]
\[P(E\cup M)=0,60+0,45-0,30=0,75\]

Resultado: \(0,75\), es decir, \(75\%\).

Ejercicio B. Inferencia

En una muestra de 400 personas, 240 afirman utilizar clases online para preparar exámenes. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción.

Ver solución

Es el mismo modelo que el ejercicio 7.

\[\hat{p}=0,6,\quad E=0,048\]

Intervalo: \((0,552,0,648)\).

Ejercicio C. Programación lineal

Una empresa fabrica dos productos. El producto A deja 50 euros de beneficio y el producto B deja 40 euros. Las restricciones son:

\[x+2y\le120\]
\[2x+y\le150\]
\[x\ge0,\quad y\ge0\]

Determina el beneficio máximo.

Ver orientación

Función objetivo: \(B=50x+40y\). Hay que calcular los vértices de la región factible y evaluar la función objetivo en todos ellos.

Ejercicio D. Optimización

El coste de producción de \(x\) unidades viene dado por:

\[C(x)=x^2-20x+300\]

Calcula el nivel de producción que minimiza el coste.

Ver solución
\[C'(x)=2x-20\]
\[2x-20=0\]
\[x=10\]

Como el coeficiente principal es positivo, el mínimo se alcanza en \(x=10\).

11. Errores típicos que hacen perder nota

  • Confundir \(P(A/B)\) con \(P(B/A)\).
  • No dibujar árbol o tabla en Bayes.
  • Usar binomial cuando no hay repeticiones independientes.
  • No aplicar corrección por continuidad al aproximar binomial por normal.
  • Tipificar mal en la normal.
  • Olvidar que un porcentaje debe pasarse a tanto por uno.
  • Confundir intervalo de confianza para media con intervalo para proporción.
  • Redondear hacia abajo un tamaño muestral.
  • No redactar la conclusión de un contraste en contexto.
  • Elegir mal la región crítica.
  • No comprobar todos los vértices en programación lineal.
  • Resolver matrices sin interpretar el resultado.
  • Derivar bien pero no justificar si hay máximo o mínimo.

12. Ruta recomendada para estudiar Matemáticas Sociales II

Semana 1

Probabilidad, tablas, árboles, condicionada y Bayes.

Semana 2

Binomial, normal, tipificación y aproximación binomial-normal.

Semana 3

Intervalos de confianza, tamaño muestral y contrastes.

Semana 4

Programación lineal, matrices, interés compuesto y optimización económica.

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