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Ecuaciones ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso

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Álgebra · 4.º ESO → Matemáticas I

Ecuaciones ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso

Un cuaderno progresivo de ecuaciones escalares para recuperar la base de 4.º ESO y dominar el bloque algebraico de 1.º de Bachillerato con procedimiento, restricciones y comprobación.

Ubicación principal: 1.º de Bachillerato. Los ejercicios 1–10 son base de entrada desde 4.º ESO; los ejercicios 11–21 constituyen el núcleo de Matemáticas I; los problemas 22–26 aplican el lenguaje algebraico. En 2.º de Bachillerato y PAU este material sirve únicamente como repaso prerrequisito.
26ejercicios resueltos
10ejercicios de práctica
5bloques progresivos
1.º Bach.nivel principal
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Fronteras del recurso

IncluyeEcuaciones escalares, factorización como herramienta, restricciones, comprobación y modelización.
No incluyeInecuaciones, sistemas, trigonometría, representación de funciones ni ecuaciones matriciales.
ContinuidadEn 2.º Bachillerato se reutiliza esta base dentro de análisis y problemas, pero el álgebra propia pasa a matrices y sistemas.

Criterio de ubicación: saberes de sentido algebraico de Matemáticas I en el currículo estatal de Bachillerato. La secuenciación concreta puede variar por comunidad autónoma.

Diagnóstico inicial de ecuaciones

Antes de resolver ejercicios conviene saber dónde suele estar el problema. Muchas veces el alumno no falla por no saber la fórmula, sino por llegar a ella con un signo mal puesto o un denominador mal eliminado.

Qué debe dominar un alumno

  • Quitar paréntesis sin cambiar signos incorrectamente.
  • Eliminar denominadores multiplicando toda la ecuación.
  • Agrupar términos con incógnita y términos numéricos.
  • Aplicar la fórmula de segundo grado con seguridad.
  • Distinguir cuándo hay dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real.
  • Usar Ruffini cuando aparece una ecuación polinómica.
  • Comprobar restricciones en racionales, radicales y logaritmos.
  • Traducir un problema de enunciado a una ecuación.

Bloque 1. Primer grado, paréntesis y fracciones

Este tramo recupera la base de 4.º ESO que un alumno necesita antes de entrar en el núcleo de Matemáticas I. Funciona como diagnóstico breve, no como sustituto de los recursos monográficos de cursos anteriores.

Ejercicio 1. Ecuación de primer grado sencilla

Resuelve:

$$3x-5=16$$

Resolución

Pasamos el $-5$ al otro lado sumando.

$$3x=16+5$$
$$3x=21$$

Dividimos entre $3$.

$$x=7$$

Resultado. $x=7$

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Ejercicio 2. Ecuación con paréntesis

Resuelve:

$$2(x-3)+4=3x-5$$

Resolución

Quitamos el paréntesis multiplicando todo lo que hay dentro.

$$2x-6+4=3x-5$$
$$2x-2=3x-5$$

Pasamos las $x$ a un lado y los números al otro.

$$-2+5=3x-2x$$
$$3=x$$

Resultado. $x=3$

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Ejercicio 3. Ecuación con fracciones

Resuelve:

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$$

Resolución

El mínimo común múltiplo de $2$ y $3$ es $6$. Multiplicamos toda la ecuación por $6$.

$$6\cdot\frac{x}{2}+6\cdot\frac{x}{3}=6\cdot10$$
$$3x+2x=60$$
$$5x=60$$
$$x=12$$

Resultado. $x=12$

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Ejercicio 4. Ecuación con paréntesis y denominadores

Resuelve:

$$\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=5$$

Resolución

Multiplicamos toda la ecuación por $6$.

$$2(x-1)+3(x+2)=30$$

Quitamos paréntesis.

$$2x-2+3x+6=30$$
$$5x+4=30$$
$$5x=26$$
$$x=\frac{26}{5}$$

Resultado. $x=\frac{26}{5}$

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Bloque 2. Segundo grado, discriminante y problemas

Segundo grado, discriminante, factorización y bicuadradas forman la consolidación de 4.º ESO y el punto de partida operativo de Matemáticas I. Aquí se repasan porque sostienen los bloques posteriores.

Fórmula de segundo grado

Para una ecuación de la forma:

$$ax^2+bx+c=0$$

con $a≠0$, las soluciones son:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

La expresión $b^2-4ac$ se llama discriminante.

Ejercicio 5. Ecuación de segundo grado con fórmula

Resuelve:

$$2x^2-7x+3=0$$

Resolución

Identificamos los coeficientes.

$$a=2, \quad b=-7, \quad c=3$$

Aplicamos la fórmula.

$$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2}$$
$$x=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}$$
$$x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}$$
$$x=\frac{7\pm5}{4}$$

Primera solución:

$$x=\frac{7+5}{4}=3$$

Segunda solución:

$$x=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$$

Resultado. $x=3$ y $x=\frac{1}{2}$

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Ejercicio 6. Ecuación de segundo grado incompleta

Resuelve:

$$3x^2-27=0$$

Resolución

$$3x^2=27$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm3$$

Resultado. $x=3$ y $x=-3$

Cuando aparece $x^2=9$, hay dos soluciones. No debe escribirse solo $x=3$.

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Ejercicio 7. Discriminante y número de soluciones

Estudia cuántas soluciones reales tiene:

$$x^2+4x+8=0$$

Resolución

Calculamos el discriminante.

$$b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot8$$
$$16-32=-16$$

Como el discriminante es negativo, no hay soluciones reales.

Resultado. La ecuación no tiene soluciones reales.

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Ejercicio 8. Problema que lleva a segundo grado

El área de un rectángulo es $48 cm^2$. El largo mide $4 cm$ más que el ancho. Calcula las dimensiones.

Resolución

Sea $x$ el ancho. Entonces el largo es $x+4$.

$$x(x+4)=48$$
$$x^2+4x-48=0$$

Aplicamos la fórmula.

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-48)}}{2}$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{208}}{2}$$
$$x=-2\pm2\sqrt{13}$$

Como una longitud no puede ser negativa, tomamos:

$$x=-2+2\sqrt{13}$$

El largo es:

$$x+4=2+2\sqrt{13}$$

Resultado. Ancho $-2+2\sqrt{13} cm$ y largo $2+2\sqrt{13} cm$

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Ejercicio 9. Ecuación factorizada

Resuelve:

$$(2x-1)(x+4)=0$$

Resolución

Un producto es cero si alguno de sus factores es cero.

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$
$$x+4=0 \Rightarrow x=-4$$

Resultado. $x=\frac{1}{2}$ y $x=-4$

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Ejercicio 10. Ecuación bicuadrada

Resuelve:

$$x^4-13x^2+36=0$$

Resolución

Hacemos el cambio:

$$t=x^2$$

La ecuación queda:

$$t^2-13t+36=0$$
$$(t-4)(t-9)=0$$
$$t=4 \quad \text{o} \quad t=9$$

Deshacemos el cambio.

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$$

Resultado. $x=-3$, $x=-2$, $x=2$ y $x=3$

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Bloque 3. Ruffini y ecuaciones polinómicas

Ruffini se utiliza aquí con una función concreta: transformar una ecuación polinómica en factores para hallar sus raíces. El desarrollo completo de operaciones, productos notables y factorización pertenece al recurso específico de polinomios.

Ejercicio 11. Ecuación polinómica con Ruffini

Resuelve:

$$x^3-6x^2+11x-6=0$$

Resolución

Probamos raíces enteras entre los divisores de $6$:

$$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$$

Con $x=1$:

$$1-6+11-6=0$$

Por tanto, $x=1$ es raíz y $x-1$ es factor.

Al dividir por Ruffini queda:

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)$$

Factorizamos el segundo grado.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
$$(x-1)(x-2)(x-3)=0$$

Resultado. $x=1$, $x=2$ y $x=3$

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Ejercicio 12. Ruffini con raíz doble

Resuelve:

$$x^3-4x^2+5x-2=0$$

Resolución

Probamos $x=1$.

$$1-4+5-2=0$$

Luego $x=1$ es raíz.

Dividiendo por Ruffini:

$$x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)$$

Factorizamos.

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$
$$(x-1)^2(x-2)=0$$

Resultado. $x=1$ es raíz doble y $x=2$ es otra raíz.

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Bloque 4. Racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas

Este es el núcleo principal de Matemáticas I: ecuaciones racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas, junto con valor absoluto y un caso elemental con parámetro. Hay que resolver y comprobar dominio o restricciones.

Ejercicio 13. Ecuación racional

Resuelve:

$$\frac{2}{x-1}+1=\frac{5}{x-1}$$

Resolución

Primero anotamos la restricción:

$$x\neq1$$

Multiplicamos por $x-1$.

$$2+(x-1)=5$$
$$x+1=5$$
$$x=4$$

Como $4$ no anula el denominador, la solución es válida.

Resultado. $x=4$

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Ejercicio 14. Ecuación racional con restricción

Resuelve:

$$\frac{x+2}{x-3}=2$$

Resolución

Restricción:

$$x\neq3$$

Multiplicamos por $x-3$.

$$x+2=2(x-3)$$
$$x+2=2x-6$$
$$8=x$$

Como $8\neq3$, la solución es válida.

Resultado. $x=8$

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Ejercicio 15. Ecuación radical

Resuelve:

$$\sqrt{x+5}=x-1$$

Resolución

Como una raíz cuadrada no puede dar un número negativo, necesitamos:

$$x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1$$

Elevamos al cuadrado.

$$x+5=(x-1)^2$$
$$x+5=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$(x-4)(x+1)=0$$
$$x=4 \quad \text{o} \quad x=-1$$

Por la condición inicial, solo vale $x=4$. Además, al sustituir se cumple.

Resultado. $x=4$

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Ejercicio 16. Ecuación radical con comprobación

Resuelve:

$$\sqrt{2x+3}=x$$

Resolución

Debe cumplirse $x\ge0$, porque la raíz es no negativa.

Elevamos al cuadrado.

$$2x+3=x^2$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$(x-3)(x+1)=0$$
$$x=3 \quad \text{o} \quad x=-1$$

Como $x\ge0$, solo puede valer $x=3$. Comprobamos:

$$\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt9=3$$

Resultado. $x=3$

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Ejercicio 17. Ecuación exponencial

Resuelve:

$$2^{x+1}=16$$

Resolución

Escribimos $16$ como potencia de $2$.

$$16=2^4$$
$$2^{x+1}=2^4$$

Como las bases son iguales, igualamos exponentes.

$$x+1=4$$
$$x=3$$

Resultado. $x=3$

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Ejercicio 18. Ecuación exponencial con cambio

Resuelve:

$$4^x-5\cdot2^x+4=0$$

Resolución

Como $4^x=(2^x)^2$, hacemos el cambio:

$$t=2^x$$

La ecuación queda:

$$t^2-5t+4=0$$
$$(t-1)(t-4)=0$$
$$t=1 \quad \text{o} \quad t=4$$

Deshacemos el cambio.

$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

Resultado. $x=0$ y $x=2$

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Ejercicio 19. Ecuación logarítmica

Resuelve. Tomamos logaritmo decimal.

$$\log(x-1)=2$$

Resolución

Primero revisamos el dominio.

$$x-1>0 \Rightarrow x>1$$

Pasamos a forma exponencial.

$$x-1=10^2$$
$$x-1=100$$
$$x=101$$

Cumple el dominio.

Resultado. $x=101$

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Ejercicio 20. Ecuación con valor absoluto

Resuelve:

$$|2x-3|=5$$

Resolución

Un valor absoluto vale $5$ si lo de dentro vale $5$ o $-5$.

$$2x-3=5$$
$$2x=8$$
$$x=4$$

Segundo caso:

$$2x-3=-5$$
$$2x=-2$$
$$x=-1$$

Resultado. $x=4$ y $x=-1$

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Ejercicio 21. Ecuación con parámetro

Resuelve según el valor de $a$:

$$ax=6$$

Resolución

Si $a\neq0$, podemos dividir entre $a$.

$$x=\frac{6}{a}$$

Si $a=0$, la ecuación queda:

$$0x=6$$

Eso es imposible.

Resultado. Si $a\neq0$, $x=\frac{6}{a}$. Si $a=0$, no tiene solución.

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Bloque 5. Problemas aplicados

La modelización cierra el recorrido de Matemáticas I: elegir la incógnita, traducir relaciones, resolver, revisar unidades y contestar exactamente a lo preguntado.

Ejercicio 22. Problema de edades

Dentro de $5$ años, la edad de un padre será el triple que la de su hijo. Actualmente el padre tiene $35$ años. ¿Qué edad tiene ahora el hijo?

Resolución

Sea $x$ la edad actual del hijo.

Dentro de $5$ años, el hijo tendrá $x+5$ y el padre tendrá $40$.

$$40=3(x+5)$$
$$40=3x+15$$
$$25=3x$$
$$x=\frac{25}{3}$$

Resultado. El hijo tiene $\frac{25}{3}$ años, es decir, $8$ años y $4$ meses.

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Ejercicio 23. Problema económico

Una tienda compra un producto por 40 euros y fija un beneficio del 25 % sobre el coste. Plantea una ecuación para hallar el precio de venta $p$.

Resolución

La diferencia entre el precio de venta y el coste debe ser el 25 % de 40.

$$p-40=0,25\cdot40$$
$$p-40=10$$
$$p=50$$

Resultado. Lo vende por 50 euros.

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Ejercicio 24. Problema de mezclas

Se mezclan $4$ litros de una disolución al $20%$ con cierta cantidad de otra disolución al $50%$. Se quiere obtener una mezcla al $35%$. ¿Cuántos litros de la segunda disolución hay que añadir?

Resolución

Sea $x$ la cantidad de disolución al $50%$.

Soluto de la primera disolución:

$$0,20\cdot4=0,8$$

Soluto de la segunda:

$$0,50x$$

La mezcla final tiene $4+x$ litros y concentración $35%$.

$$0,8+0,50x=0,35(4+x)$$
$$0,8+0,50x=1,4+0,35x$$
$$0,15x=0,6$$
$$x=4$$

Resultado. Hay que añadir $4$ litros de la disolución al $50%$.

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Ejercicio 25. Ecuación aplicada a Física

Un móvil tiene posición $s=5+3t$, con $s$ en metros y $t$ en segundos. ¿En qué instante alcanza la posición $s=26\,m$?

Resolución

Sustituimos $s$ por $26$.

$$26=5+3t$$
$$21=3t$$
$$t=7$$

Resultado. Alcanza la posición a los $7 s$.

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Ejercicio 26. Ecuación aplicada a Química

Se disuelven $n$ moles de soluto en $0,5 L$ de disolución. Si la molaridad es $0,8 mol/L$, calcula $n$.

Resolución

Usamos la fórmula de la molaridad.

$$M=\frac{n}{V}$$

Sustituimos.

$$0,8=\frac{n}{0,5}$$
$$n=0,8\cdot0,5$$
$$n=0,4$$

Resultado. Hay $0,4 mol$ de soluto.

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Práctica final

Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina los casos más habituales.

Ejercicios finales sin resolver

  1. Resuelve $4x-7=21$
  2. Resuelve $3(x-2)=2x+5$
  3. Resuelve $\frac{x}{4}+\frac{x}{2}=9$
  4. Resuelve $x^2-9x+20=0$
  5. Resuelve $x^4-10x^2+9=0$
  6. Resuelve $\frac{3}{x+2}=1$
  7. Resuelve $\sqrt{x+1}=x-1$
  8. Resuelve $3^{x-1}=27$
  9. Resuelve $x^3-7x+6=0$ usando Ruffini
  10. Una función de beneficio es $B(x)=-x^2+12x-20$. Halla cuándo el beneficio es cero
Ver soluciones finales
  1. $x=7$
  2. $x=11$
  3. $x=12$
  4. $x=4$ y $x=5$
  5. $x=-3$, $x=-1$, $x=1$ y $x=3$
  6. $x=1$
  7. $x=3$
  8. $x=4$
  9. $x=1$, $x=2$ y $x=-3$
  10. $x=2$ y $x=10$

Errores frecuentes en ecuaciones

  • Cambiar un término de lado sin cambiar el signo.
  • Quitar paréntesis multiplicando solo el primer término.
  • Multiplicar por el denominador solo una parte de la ecuación.
  • Olvidar que $x^2=9$ tiene dos soluciones.
  • Usar la fórmula de segundo grado con el signo de $b$ cambiado.
  • No mirar el discriminante antes de interpretar las soluciones.
  • Aplicar Ruffini sin comprobar que el número probado es raíz.
  • No revisar restricciones en ecuaciones racionales.
  • Elevar al cuadrado en radicales y no comprobar después.
  • Resolver bien el cálculo y contestar mal el problema de enunciado.

Cuando el procedimiento no basta

En Marlu Educativa trabajamos el diagnóstico del error, la elección del método y la comprobación final con seguimiento personalizado.

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Ruta entre recursos sin solapamientos

Cada enlace amplía una intención distinta; este cuaderno conserva la visión general de ecuaciones escalares de entrada a Matemáticas I.

Base algebraica de 1.º ESOLenguaje algebraico y ecuaciones elementales desde el inicio. Segundo grado y bicuadradasPráctica monográfica de ESO sin invadir el núcleo de Matemáticas I. Polinomios y factorizaciónOperaciones, identidades, productos notables y Ruffini a fondo. Ecuaciones trigonométricasIdentidades y resolución trigonométrica de 1.º de Bachillerato. Sistemas de ecuacionesDe sustitución y reducción a Gauss, Cramer y Rouché-Frobenius. Puente hacia 2.º BachilleratoRepaso global de Matemáticas I antes de comenzar Matemáticas II.

Para cambiar de bloque o nivel: biblioteca de recursos educativos de Marlu.

José María · Marlu Educativa
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