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Polinomios, productos notables y factorización ejercicios resueltos ESO y Bachillerato
Polinomios, productos notables y factorización ejercicios resueltos ESO y Bachillerato
Los polinomios son una parte central del álgebra. Aparecen en 3º ESO, 4º ESO, 1º Bachillerato y siguen estando presentes en funciones, límites, derivadas, ecuaciones, inecuaciones, fracciones algebraicas y problemas de PAU.
Este recurso está preparado para estudiar el bloque completo con orden: monomios, operaciones con polinomios, productos notables, factor común, factorización, Ruffini, teorema del resto, teorema del factor, raíces de polinomios, fracciones algebraicas y ejercicios propios de 1º de Bachillerato.
No se trata de memorizar reglas sueltas. Lo importante es saber qué conviene hacer en cada caso: operar, sacar factor común, reconocer una identidad notable, usar Ruffini o simplificar antes de resolver.
Este bloque encaja con ecuaciones ejercicios resueltos, sistemas de ecuaciones, Matemáticas online Bachillerato y clases online para toda España.
Monomios, polinomios, productos notables, factor común, identidades y factorización básica.
Ruffini, teorema del resto, raíces, dominio, fracciones algebraicas y simplificación.
Base para funciones polinómicas, racionales, límites, derivadas, ecuaciones y optimización.
Cuando el álgebra se atasca, casi siempre hay un problema de base
Muchos alumnos llegan a Bachillerato sabiendo hacer ejercicios sueltos, pero sin tener claro cuándo factorizar, cuándo usar Ruffini o cómo simplificar una fracción algebraica. En Marlu Educativa trabajamos este bloque paso a paso, tanto en clases presenciales en Salamanca como en clases online.
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Índice clicable de ejercicios
- Diagnóstico inicial
- Monomios semejantes
- Operaciones con monomios
- Suma y resta de polinomios
- Multiplicación de polinomios
- División entre monomio
- Cuadrado de una suma
- Cuadrado de una diferencia
- Suma por diferencia
- Producto notable mezclado
- Factor común
- Factor común y producto notable
- Factorización por agrupación
- Trinomio de segundo grado
- Diferencia de cuadrados
- Ruffini básico
- Ruffini con raíces enteras
- Teorema del resto
- Teorema del factor
- Factorización completa
- Fracción algebraica simplificada
- Operaciones con fracciones algebraicas
- Ecuación polinómica
- Inecuación polinómica
- Problema aplicado
- Álgebra combinada de 1º Bachillerato
- Dominio de una fracción algebraica
- Simplificación antes de límites
- Parámetro en un polinomio
- Práctica final
- Errores frecuentes
- Recursos relacionados
Diagnóstico inicial
Antes de empezar conviene tener clara una idea: los polinomios no son un tema aislado. Son la base de muchas partes de Matemáticas. Si el alumno no factoriza bien, después suele fallar en ecuaciones, funciones racionales, límites, derivadas y problemas de Bachillerato.
Cómo usar este recurso
- Si fallan signos y paréntesis, empezar por los ejercicios 1 a 5.
- Si fallan identidades notables, trabajar los ejercicios 6 a 9.
- Si cuesta factorizar, repetir los ejercicios 10 a 14.
- Si el problema está en Bachillerato, reforzar Ruffini, teorema del resto, fracciones algebraicas y ecuaciones polinómicas.
Bloque 1. Monomios y operaciones con polinomios
Este bloque es la entrada natural al álgebra. Si aquí hay inseguridad, después los productos notables y la factorización se vuelven mucho más difíciles.
Ejercicio 1. Reducir monomios semejantes
Reduce la expresión:
Resolución
Agrupamos los términos semejantes.
Resultado. $10x^2-3x-4$
Ejercicio 2. Operaciones con monomios
Simplifica:
Resolución
Multiplicamos coeficientes y sumamos exponentes de la misma base.
Resultado. $-8x^5y^3$
Ejercicio 3. Suma y resta de polinomios
Dados $P(x)=3x^3-2x^2+5x-1$ y $Q(x)=x^3+4x^2-3x+6$, calcula $P(x)-Q(x)$.
Resolución
Restar $Q(x)$ significa cambiar el signo de todos sus términos.
Resultado. $2x^3-6x^2+8x-7$
Ejercicio 4. Multiplicación de polinomios
Multiplica:
Resolución
Resultado. $2x^3+5x^2-22x+15$
Ejercicio 5. División de polinomio entre monomio
Divide:
Resolución
Dividimos cada término entre $4x^2$.
Resultado. $3x^2-2x+5$
Operar bien no es secundario. Muchos errores de factorización y Ruffini vienen de una suma mal hecha o de un signo perdido al restar polinomios.
Bloque 2. Productos notables
Los productos notables ahorran tiempo, pero solo si se usan bien. El error más frecuente es olvidar el doble producto.
Identidades notables básicas
Ejercicio 6. Cuadrado de una suma
Desarrolla:
Resolución
Resultado. $9x^2+12x+4$
Ejercicio 7. Cuadrado de una diferencia
Desarrolla:
Resolución
Resultado. $25x^2-30x+9$
Ejercicio 8. Suma por diferencia
Desarrolla:
Resolución
Resultado. $16x^2-49$
Ejercicio 9. Producto notable mezclado
Simplifica:
Resolución
Resultado. $20x$
Productos notables y ecuaciones. Este bloque conecta directamente con ecuaciones, porque muchas ecuaciones se simplifican antes de resolverlas.
Bloque 3. Factorización
Factorizar significa escribir una expresión como producto. Es una herramienta clave para resolver ecuaciones, simplificar fracciones algebraicas y estudiar funciones.
Ejercicio 10. Sacar factor común
Factoriza:
Resolución
Todos los términos tienen $3x$.
Resultado. $3x(2x^2-3x+1)$
Ejercicio 11. Factor común y producto notable
Factoriza completamente:
Resolución
Resultado. $2x(x+3)^2$
Ejercicio 12. Factorización por agrupación
Factoriza:
Resolución
Resultado. $(x+2)(x^2+3)$
Ejercicio 13. Factorización de trinomio de segundo grado
Factoriza:
Resolución
Buscamos dos números que multiplicados den $6$ y sumados den $5$. Son $2$ y $3$.
Resultado. $(x-2)(x-3)$
Ejercicio 14. Diferencia de cuadrados
Factoriza:
Resolución
Resultado. $(5x-6)(5x+6)$
Factorizar abre muchas puertas. En Bachillerato se usa para simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones, estudiar signos y preparar límites.
Bloque 4. Ruffini, raíces y teorema del resto
Ruffini suele ser uno de los puntos clave de 4º ESO y 1º Bachillerato. Primero se buscan raíces posibles y después se factoriza.
Ejercicio 15. Ruffini básico
Divide $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ entre $x-1$.
Resolución
Usamos Ruffini con $1$, porque el divisor es $x-1$. El cociente es:
y el resto es $0$.
Resultado. Cociente $x^2-5x+6$ y resto $0$.
Ejercicio 16. Ruffini con raíces enteras
Resuelve:
Resolución
Probamos raíces enteras entre los divisores de $6$.
Con $x=1$:
Luego $x=1$ es raíz.
Resultado. $x=1$, $x=2$ y $x=3$.
Ejercicio 17. Teorema del resto
Calcula el resto de dividir $P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$ entre $x-2$.
Resolución
Por el teorema del resto, el resto es $P(2)$.
Resultado. El resto es $7$.
Ejercicio 18. Teorema del factor
Determina si $x+2$ es factor de $P(x)=x^3+3x^2-4x-12$.
Resolución
Si el factor es $x+2$, probamos $x=-2$.
Resultado. Sí, $x+2$ es factor del polinomio.
Ejercicio 19. Factorización completa de un polinomio
Factoriza completamente:
Resolución
Probamos $x=2$:
Luego $x=2$ es raíz.
Resultado. $(x-2)(x-3)(x+1)$
Ruffini y ecuaciones van juntos. Después de aprender a factorizar polinomios, el siguiente paso natural es resolver ecuaciones polinómicas. Puedes reforzarlo con ecuaciones ejercicios resueltos paso a paso.
Bloque 5. Fracciones algebraicas y álgebra de 1º Bachillerato
Las fracciones algebraicas son una de las partes donde más se nota si el alumno sabe factorizar. Antes de simplificar, casi siempre hay que descomponer en factores.
Ejercicio 20. Fracción algebraica simplificada
Simplifica:
Resolución
Resultado. $(x-3)/x$, con $x≠0$ y $x≠-3$.
Ejercicio 21. Operaciones con fracciones algebraicas
Simplifica:
Resolución
El denominador común es $x(x+1)$.
Resultado. $(5x+2)/(x(x+1))$, con $x≠0$ y $x≠-1$.
Ejercicio 22. Ecuación polinómica
Resuelve:
Resolución
Ya hemos factorizado:
Resultado. $x=2$, $x=3$ y $x=-1$.
Ejercicio 23. Inecuación polinómica sencilla
Resuelve:
Resolución
Los puntos que anulan los factores son $x=2$ y $x=-1$. Dividen la recta en tres intervalos.
Probando signos, el producto es positivo en el primer y tercer intervalo.
Resultado. $(-∞,-1) ∪ (2,∞)$
Ejercicio 24. Problema aplicado con polinomios
El área de un rectángulo viene dada por $x^2+7x+12$. Si uno de sus lados mide $x+3$, calcula el otro lado.
Resolución
Si un lado mide $x+3$, el otro lado debe medir $x+4$.
Resultado. El otro lado mide $x+4$.
Ejercicio 25. Álgebra combinada de 1º Bachillerato
Simplifica y resuelve:
Resolución
Primero anotamos la restricción:
Factorizamos el numerador.
Como $x≠2$, podemos simplificar.
Esto es imposible.
Resultado. La ecuación no tiene solución.
Ejercicio 26. Dominio de una fracción algebraica
Determina el dominio:
Resolución
Una fracción algebraica no existe cuando el denominador vale cero.
Resultado. El dominio es todos los reales salvo $2$ y $3$.
Ejercicio 27. Simplificación antes de límites
Simplifica:
Resolución
Resultado. $x+2$, con $x≠2$.
Este paso aparece mucho en límites. Por eso la factorización vuelve con fuerza en Bachillerato.
Ejercicio 28. Parámetro en un polinomio
Calcula $a$ para que $x=2$ sea raíz de:
Resolución
Si $x=2$ es raíz, entonces $P(2)=0$.
Resultado. $a=1$.
Conexión con límites y funciones. La simplificación de fracciones algebraicas y el estudio del dominio aparecen de nuevo al trabajar funciones racionales, límites y continuidad. Si el alumno prepara Bachillerato, puede reforzarlo en Matemáticas online Bachillerato.
Práctica final
Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina operaciones, productos notables, factorización, Ruffini y fracciones algebraicas.
Ejercicios finales sin resolver
- Reduce $5x^2-3x+2x^2+7x-1$
- Multiplica $(x-4)(x^2+2x+3)$
- Desarrolla $(2x+5)^2$
- Desarrolla $(3x-1)^2$
- Factoriza $x^2-16$
- Factoriza $x^2+8x+16$
- Factoriza $4x^3-8x^2$
- Divide $x^3-5x^2+8x-4$ entre $x-1$ usando Ruffini
- Calcula el resto de dividir $2x^3+x-7$ entre $x-2$
- Simplifica $(x^2-1)/(x^2+x)$
- Determina el dominio de $(x-4)/(x^2-9)$
- Calcula $a$ para que $x=1$ sea raíz de $P(x)=x^3+ax-2$
Ver soluciones finales
- $7x^2+4x-1$
- $x^3-2x^2-5x-12$
- $4x^2+20x+25$
- $9x^2-6x+1$
- $(x-4)(x+4)$
- $(x+4)^2$
- $4x^2(x-2)$
- Cociente $x^2-4x+4$, resto $0$
- $11$
- $(x-1)/x$, con $x≠0$ y $x≠-1$
- Todos los reales salvo $-3$ y $3$
- $a=1$
Errores frecuentes en polinomios
- Sumar términos que no son semejantes.
- Restar un polinomio sin cambiar todos los signos.
- Olvidar el doble producto en $(a+b)^2$ o $(a-b)^2$.
- Confundir $(a-b)^2$ con $a^2-b^2$.
- No sacar factor común antes de intentar Ruffini.
- Aplicar Ruffini sin comprobar que el número probado es raíz.
- Olvidar las restricciones en fracciones algebraicas.
- Simplificar sumas como si fueran productos.
- Resolver una ecuación polinómica sin factorizar completamente.
- No interpretar el resultado cuando el ejercicio tiene contexto.
Dominar polinomios mejora todo el álgebra
Los polinomios están detrás de ecuaciones, sistemas, funciones, límites, derivadas, fracciones algebraicas y problemas de Bachillerato. Por eso conviene trabajarlos con orden y no como una lista de trucos aislados.
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