Polinomios, productos notables y factorización ejercicios resueltos ESO y Bachillerato

Solo juntamos términos con la misma parte literal.

En $x=1$, la expresión original y la reducida valen $3$. Esta sustitución detecta errores, aunque por sí sola no demuestra una identidad.

Multiplicamos coeficientes y sumamos los exponentes de cada base.

El signo debe ser negativo. La suma de los grados de los factores es $5+3=8$, igual que el grado total del producto.

$$P-Q=3x^3-2x^2+5x-1-x^3-4x^2+3x-6.$$$$P-Q=2x^3-6x^2+8x-7.$$

El menos cambia todos los signos de $Q$. Para comprobar, suma de nuevo $Q$ al resultado y recupera $P$.

$$(2x-3)(x^2+4x-5)$$$$=2x^3+8x^2-10x-3x^2-12x+15.$$$$=2x^3+5x^2-22x+15.$$

El producto debe tener grado $3$, coeficiente principal $2$ y término independiente $15$. Los tres controles se cumplen.

La fracción original exige $x\ne 0$. Dividimos cada término.

La igualdad es válida para $x\ne 0$. Multiplicar el resultado por $4x^2$ devuelve el numerador.

$$x^3-2x+1-x^3-4x^2+5x+2=-4x^2+3x+3.$$

Los términos cúbicos se cancelan. El resultado tiene grado $2$, coeficiente principal $-4$ y término independiente $3$.

El denominador exige $x\ne 0$ e $y\ne 0$. Restamos exponentes solo dentro de cada cociente.

Con esas restricciones, $$6x^2{y}^2(3x^{2}y-2x)=18x^4{y}^3-12x^3{y}^2$$.

Los extremos son $(3x{)}^2$ y $2^2$. El término central coincide con $2\cdot 3x\cdot 2=12x$.

La comprobación decisiva es el doble producto. Que los extremos sean cuadrados no basta.

$$25x^2=(5x{)}^2,$$$$9=3^2,$$$$-30x=-2\cdot 5x\cdot 3.$$$$25x^2-30x+9=(5x-3{)}^2.$$

Al desarrollar el factor se recupera el signo negativo del término central y el positivo del último término.

$$16x^2-49=(4x{)}^2-7^2=(4x-7)(4x+7).$$

Los términos cruzados se cancelan. Una suma $16x^2+49$ no admite esta misma descomposición real.

Tomamos el bloque $x+5$ como una sola base.

En $x=-3$, la expresión inicial vale $2^2-4=0$, como exige el primer factor.

$$6x^3-9x^2+3x=3x(2x^2-3x+1).$$

El trinomio restante aún se puede descomponer.

El producto tiene grado $3$ y coeficiente principal $6$. Al desarrollar recuperamos también $-9x^2+3x$.

$$2x^3+12x^2+18x$$$$=2x(x^2+6x+9)$$$$=2x(x+3{)}^2.$$

El factor $x$ aporta una raíz simple en $0$; el cuadrado aporta una raíz doble en $-3$. Las multiplicidades suman $3$.

$$x^2(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x^2+3).$$

Ambos grupos contienen $x+2$. El factor $x^2+3$ es siempre positivo en $\mathbb{R}$, así que ya no tiene factores lineales reales.

Buscamos dos números cuya suma sea $-5$ y cuyo producto sea $6$. Son $-2$ y $-3$.

Desarrollando, $-3x-2x=-5x$ y $(-2)(-3)=6$.

$$25x^2-36=(5x{)}^2-6^2=(5x-6)(5x+6).$$

Las raíces son $\frac{6}{5}$ y $-\frac{6}{5}$. Sustituir cualquiera de ellas anula el polinomio.

Sacar $-4x$ deja un trinomio con coeficiente principal positivo.

El signo negativo exterior es necesario para conservar el término $-8x^3$.

El máximo común divisor de $18$ y $12$ es $6$. En cada letra elegimos el exponente menor.

No imponemos $x\ne 0$ ni $y\ne 0$, porque estamos reescribiendo un polinomio, no dividiendo una fracción definida solo fuera de cero.

$$\frac{1}{2}{x}^3-2x^2+2x$$$$=\frac{1}{2}x(x^2-4x+4).$$$$=\frac{1}{2}x(x-2{)}^2.$$

Al distribuir, $$\frac{1}{2}x\cdot (-4x)=-2x^2$$; ese término controla la extracción del factor.

$$x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4).$$$$=(x-3)(x-2)(x+2).$$

Después de agrupar quedaba una diferencia de cuadrados. Las tres raíces $3,2,-2$ anulan la expresión original.

Buscamos dos términos que sumen $x$ y cuyo producto de coeficientes sea $6\cdot (-2)=-12$: sirven $4x$ y $-3x$.

El término central se comprueba con $-3x+4x=x$.

Completamos el cuadrado.

No tiene raíces reales y, por ello, no se descompone en dos factores lineales reales. Esto no significa que todos los polinomios de segundo grado sean irreducibles.

Con $t=x^2$, aparece $t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$. Volvemos a $x$.

Son cuatro factores lineales y el grado total es $4$.

$$x^4-4x^2+4=(x^2-2{)}^2.$$

Sobre $\mathbb{R}$, $$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$.

Las raíces $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ son dobles. Sobre los racionales, el factor $x^2-2$ no se descompone en factores lineales.

Los tres primeros términos forman $(x-y{)}^2$. Después aparece una diferencia de cuadrados.

Al multiplicar estos factores, los términos cruzados con $z$ se cancelan y se recupera la expresión original.

El factor repetido es $2x-1$. El menos afecta al segundo bloque completo.

Dentro del corchete queda $x+3-x+2=5$, no $1$.

$$x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4).$$

El segundo factor es $(x-1{)}^2+3$, siempre positivo. La única raíz real es $-2$. Desarrollar el producto confirma que los términos intermedios se cancelan.

$$x^5-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1).$$$$=x(x-1)(x+1)(x^2+1).$$

Primero factor común; después dos diferencias de cuadrados. $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$, porque nunca vale cero.

$$x^2-2$$$$=x^2-(\sqrt{2}{)}^2$$$$=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$

Las raíces son irracionales. Por eso esta descomposición es real, pero no tiene coeficientes racionales. Al multiplicar los factores desaparecen los términos con $\sqrt{2}$.

Usamos $1$ y los coeficientes $1,-6,11,-6$.

Bajamos $1$. Multiplicamos por $1$ y sumamos en la columna siguiente: salen $-5$, $6$ y $0$.

Comprobación: $$(x-1)(x^2-5x+6)=x^3-6x^2+11x-6$$.

Las posibles raíces enteras son divisores de $-6$: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Como $P(1)=0$, dividimos entre $x-1$.

Las raíces son $1,2,3$, todas simples. Su suma es $6$, opuesta al coeficiente de $x^2$ porque el polinomio es mónico.

El teorema del resto permite sustituir $x=2$.

El resto es $7$. Al ser distinto de cero, $x-2$ no es factor de $P$.

El divisor es $x-(-2)$, así que probamos $-2$.

Ruffini deja $x^2+x-6$.

Las raíces $-2,-3,2$ y el coeficiente principal $1$ concuerdan con los tres factores.

Escribimos $P=2x^4-3x^3+0x^2+5x-6$. El primer término del cociente es $2x^2$.

El siguiente término es $-x$.

Terminamos con $-5$.

El grado del resto es $1<2$. Además, $$(x^2-x+2)(2x^2-x-5)+(2x+4)=P$$.

Como $P(1)=0$, una división por $x-1$ deja $x^3-2x^2-5x+6$. Ese cociente también vale cero en $1$.

La raíz $1$ es doble; $3$ y $-2$ son simples. La suma $2+1+1=4$ coincide con el grado.

La división general empieza con $\frac{2x^3}{2x}=x^2$.

El siguiente término es $\frac{-8x}{2x}=-4$, que elimina el resto completo.

Comprobación: $$(2x-3)(x^2-4)=2x^3-3x^2-8x+12$$. Si se usara Ruffini con $\frac{3}{2}$, aún habría que ajustar el cociente por el factor $2$ del divisor.

Las raíces son $1$, doble, y $-2$, simple. Fuera de $x=1$, el cuadrado es positivo; decide el signo de $x+2$.

En $-2$ cambia el signo; en $1$ no cambia. En ambas raíces, $P(x)=0$.

La fila de coeficientes debe ser $1,0,-4,3$.

Comprobación: $$(x-1)(x^2+x-3)=x^3-4x+3$$. Omitir el cero habría desplazado todas las columnas.

Con $-2$, Ruffini produce la fila final $2,-5,5,-6$.

También $P(-2)=-6$. La división es correcta, pero $-2$ no es raíz.

Las candidatas racionales son $\pm 1,\pm 2,\pm \frac{1}{2}$. Probamos $\frac{1}{2}$: $P(\frac{1}{2})=0$.

El factor $2$ conserva el coeficiente principal original. Las raíces son $\frac{1}{2},2,-1$.

El dividendo ya tiene grado menor que el divisor. No hay ningún término que extraer al cociente.

Se cumple $$2x+3=(x^2+1)\cdot 0+(2x+3)$$, con $1<2$.

Completamos el término $0x^2$. Los términos sucesivos del cociente son $x^2$, $x$ y $-2$.

El producto $DQ$ da $x^4+2x^3-x-2$; al sumar $3$, recuperamos $P$.

Primero $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. El divisor pedido es $2(x-1)$, el doble.

Multiplicar $2(x-1)$ por ese cociente recupera $x^3-1$. Usar $x^2+x+1$ como cociente daría el doble del dividendo.

Antes de probar candidatas, extraemos $x^2$.

La raíz $0$ es doble; $1$ y $2$ son simples. Buscar divisores de un término independiente nulo no organiza la búsqueda.

Usamos la identidad de la división.

El resto propuesto es admisible porque su grado es $1$, menor que el grado $2$ del divisor.

$$P(-1)=-1-a+2=1-a.$$$$1-a=5$$$$⟹a=-4.$$

Con $a=-4$, $P(-1)=-1+4+2=5$. La condición pide resto $5$, por lo que no debemos imponer $P(-1)=0$.

Como $x+3=x-(-3)$, usamos $-3$. La fila final es $1,-5,16,-53$.

Control independiente: $P(-3)=-27-18-3-5=-53$. Poner $3$ habría calculado la división entre $x-3$.

El grado es $3+2=5$. La raíz $2$ es triple y cambia el signo; $-1$ es doble y no lo cambia.

En las raíces vale cero. Fuera de $-1$, el cuadrado es positivo y el cubo tiene el signo de $x-2$.

Antes de cancelar, el denominador $x(x+3)$ exige $x\ne 0,-3$.

La forma final existe en $-3$, pero la original no. Por eso esa exclusión se conserva.

Como $P(2)=8-16+2+6=0$, Ruffini con $2$ deja $x^2-2x-3$.

Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero.

Son tres raíces distintas de un polinomio de grado $3$, por lo que no faltan otras raíces reales.

Los ceros son $-1$ y $2$. En los tres intervalos, los signos de los factores son respectivamente $(-,-)$, $(-,+)$ y $(+,+)$.

Los extremos se excluyen porque la desigualdad es estricta. Con $x=0$, el producto vale $-2$, fuera de la solución.

$$x^2+7x+12=(x+3)(x+4).$$

Al dividir el área entre el lado conocido, el otro lado mide $(x+4)\mathrm{m}$. Ambos deben ser positivos.

Las unidades son coherentes: $$\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}$$$$=\mathrm{m}$$. En $x=0$, los lados son $3\mathrm{m}$ y $4\mathrm{m}$, con área $12{\mathrm{m}}^2$.

$$P(2)=0$$$$⟹8+4a+2b-6=0$$$$⟹2a+b=-1.$$$$P(-1)=-12$$$$⟹-1+a-b-6=-12$$$$⟹a-b=-5.$$

De la segunda igualdad, $b=a+5$. Sustituyendo en la primera:

Comprobación: $P(2)=8-8+6-6=0$ y $P(-1)=-1-2-3-6=-12$.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

El denominador se anula exactamente en $2$ y $3$.

El numerador no modifica estas exclusiones: una fracción no está definida cuando su denominador es cero.

$$\frac{x^2-4}{x-2}$$$$=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$$$=x+2,$$$$x\ne 2.$$

En $x=2$, la fracción inicial no existe. La simplificación prepara el trabajo con funciones y límites, pero no rellena el punto excluido del dominio original.

Ser raíz significa anular el polinomio.

Con ese valor, $$P(x)=x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$$. El factor $x-2$ confirma la condición.

El dominio original excluye $0$ y $-1$. El denominador común es $x(x+1)$.

Se mantienen $x\ne 0,-1$. En $x=1$, ambas formas valen $\frac{7}{2}$.

El dominio exige $x\ne 2$. En ese dominio, cancelamos el factor $x-2$.

La contradicción aparece para cualquier valor admisible. La ecuación no tiene solución. El valor excluido $2$ tampoco puede recuperarse.