Polinomios productos notables y factorización ejercicios resueltos ESO y Bachillerato

Los términos son $3x$ y $2$. El término central es el doble de su producto.

Con $x=1$, el binomio da $5^2=25$ y el desarrollo da $9+12+4=25$.

El doble producto se resta. El último término es $(-3{)}^2=9$.

En $x=1$, la expresión inicial da $2^2=4$ y el desarrollo da $25-30+9=4$.

Los factores solo difieren en el signo de $7$. Sus términos cruzados se cancelan.

Para $x=1$, el producto da $11\cdot (-3)=-33$ y la diferencia da $16-49=-33$.

$$(2a+3b{)}^2$$$$=(2a{)}^2+2\cdot 2a\cdot 3b+(3b{)}^2$$$$=4a^2+12ab+9b^2$$

Con $a=b=1$, se obtiene $25=4+12+9$.

El binomio es el opuesto de $x+4$. El cuadrado elimina ese signo global.

Con $x=1$, el original es $(-5{)}^2=25$, igual que $1+8+16$.

$$(6-y{)}^2=36-12y+y^2=y^2-12y+36$$

En $y=6$, el resultado debe anularse. En efecto, $36-72+36=0$.

$$(a-2b{)}^2=a^2-4ab+4b^2$$$$(a-2b)(a+2b)=a^2-4b^2$$

El primero tiene doble producto y un último término positivo. El segundo no tiene término cruzado y resta el segundo cuadrado. Con $a=0,b=1$ dan $4$ y $-4$, respectivamente.

Los binomios no son iguales ni tienen los mismos términos con un signo cambiado. Se aplica la distributiva.

El término independiente $10$ coincide con $2\cdot 5$.

$${(\frac{x}{2}+3)}^2$$$$=\frac{x^2}{4}+2\cdot \frac{x}{2}\cdot 3+9$$$$=\frac{x^2}{4}+3x+9$$

Con $x=2$, ambos lados valen $16$.

$${(\frac{2x}{3}-\frac{3y}{4})}^2$$$$=\frac{4x^2}{9}-2\cdot \frac{2x}{3}\cdot \frac{3y}{4}+\frac{9y^2}{16}$$$$=\frac{4x^2}{9}-xy+\frac{9y^2}{16}$$

El coeficiente cruzado es $$-2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=-1$$.

$$(\frac{a}{2}+\frac{b}{3})(\frac{a}{2}-\frac{b}{3})$$$$={\left(\frac{a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{b}{3}\right)}^2$$$$=\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{9}$$

Los productos cruzados son opuestos, $-\frac{ab}{6}$ y $\frac{ab}{6}$.

$$(x^2+3x{)}^2$$$$=(x^2{)}^2+2\cdot x^2\cdot 3x+(3x{)}^2$$$$=x^4+6x^3+9x^2$$

El grado final es $4$, el doble del grado $2$ del binomio inicial.

$$(3xy-2y^2{)}^2=9x^2{y}^2-12x{y}^3+4y^4$$

En el doble producto se suman los exponentes de $y$. Así, $y\cdot y^2=y^3$. Con $x=0$ queda $4y^4$, como en el original.

$$(2a^{2}b-3a{b}^2{)}^2$$$$=4a^4{b}^2-12a^3{b}^3+9a^2{b}^4$$

Cada término del desarrollo tiene grado total $6$. Esa coincidencia permite detectar un exponente perdido.

Se puede extraer un signo menos global antes de aplicar la identidad.

Con $a=b=1$, $(-7{)}^2=49=4+20+25$.

$$(\sqrt{2}x+\sqrt{3}{)}^2$$$$=2x^2+2\sqrt{6}x+3$$

Solo se simplifican los cuadrados de los radicales. El doble producto conserva $$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$$.

Los extremos son $x^2$ y $7^2$. El doble producto vale $2\cdot x\cdot 7=14x$.

Las dos posibilidades son $14$ y $-14$, según el signo pedido.

Los términos del binomio son $3x$ y $4$.

El $24$ es coeficiente del término lineal, no del cuadrado.

$$(2x+c{)}^2=4x^2+4cx+c^2$$

Al comparar el término lineal, $4c=-20$, luego $c=-5$. También se cumple $c^2=25$.

El primer término del binomio es $6x$. Para que $-2\cdot 6x\cdot b=-60xy$, debe ser $b=5y$.

En la casilla va $25$, el cuadrado de $5$.

Del primer término sale $k^2=25$, pero aún hay dos signos posibles. El término cruzado exige $-6k=-30$.

Con $k=-5$ el término central sería $+30ab$ y no serviría.

Los extremos son $(x^2{)}^2$ y $3^2$. El término central coincide con $2\cdot x^2\cdot 3$.

No es $(x+3{)}^2$, que tendría grado $2$.

$$16x^2=(4x{)}^2,$$$$4=2^2$$$$2\cdot 4x\cdot 2=16x$$$$16x^2+16x+4=(4x+2{)}^2$$

Coinciden los tres términos; esa es la comprobación completa.

El término independiente obliga a que el segundo término del binomio sea $4$ o $-4$.

Se obtiene $m=8$ o $m=-8$. No hay otros valores, pues el coeficiente de $x^2$ ya está fijado en $1$.

$$(x+5{)}^2=x^2+10x+25$$$$(x-5{)}^2=x^2-10x+25$$$$(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)=20x$$

Los cuadrados de los extremos desaparecen. Para $x=1$, $36-16=20$.

$$(2x-3{)}^2-(x+1)(x-1)$$$$=(4x^2-12x+9)-(x^2-1)$$$$=3x^2-12x+10$$

El $-1$ del segundo desarrollo pasa a $+1$. En $x=0$, el valor es $10$.

$$(x+2{)}^2+(x-2{)}^2$$$$=(x^2+4x+4)+(x^2-4x+4)$$$$=2x^2+8$$

Los términos lineales se anulan porque se suman con signos contrarios. En $x=2$, $16+0=16$.

$$3(x^2-2x+1)-2(x^2+2x+1)$$$$=3x^2-6x+3-2x^2-4x-2=x^2-10x+1$$

Con $x=1$, el original da $-8$ y el desarrollo $1-10+1=-8$.

$$(x^2-2x+1)-(x^2-4)=5-2x$$

Se cancelan los términos $x^2$. Con $x=0$, $1-(-4)=5$.

$$(x^2+4xy+4y^2)-(x^2-4xy+4y^2)=8xy$$

Al restar el segundo paréntesis, el término $-4xy$ se convierte en $+4xy$. Si $y=0$, ambos cuadrados son iguales y el resultado es cero.

$$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$$$$\frac{(a+b{)}^2-(a-b{)}^2}{4}=ab$$

El denominador es la constante $4$, así que no impone restricciones sobre $a$ ni $b$.

$$(x^2+2x+1)-(x^2+2x)=1$$

El resultado es $1$ para todo número real $x$. Por ejemplo, con $x=-1$ se obtiene $0-(-1)=1$.

Falta el doble producto $2\cdot x\cdot 6=12x$.

Con $x=1$, la propuesta errónea daría $37$ en lugar de $49$.

El cuadrado de $-4$ vale $+16$. Solo el doble producto es negativo.

En $a=4$ debe resultar cero y $16-32+16=0$.

$$2\cdot 3x\cdot y=6xy$$$$(3x+y{)}^2=9x^2+6xy+y^2$$

Al aplicar la distributiva aparecen dos productos $3xy$, no uno.

$$(2x+3)(2x-3)=4x^2-6x+6x-9=4x^2-9$$

Con $x=0$, el producto $3\cdot (-3)$ es negativo. Ese valor descubre el signo incorrecto.

El primer término del binomio es $x^2$ completo. Su cuadrado es $x^4$.

Si $y=0$, la expresión inicial queda $(x^2{)}^2=x^4$, y no $x^2$.

Primero se desarrolla el cuadrado. Después el signo exterior cambia los tres signos.

Con $x=3$, debe obtenerse cero. El resultado corregido da $-9+18-9=0$.

$${101}^2=(100+1{)}^2=10000+200+1=10201$$

El resultado supera ${100}^2$ en $201$, no en $1$.

$${99}^2=(100-1{)}^2=10000-200+1=9801$$

Está entre $98\cdot 100=9800$ y $10000$, coherente con un número próximo a $100$.

$$1003\cdot 997$$$$=(1000+3)(1000-3)$$$$=1000000-9$$$$=999991$$

El resultado queda $9$ por debajo del millón, el cuadrado de la distancia $3$.

$$51\cdot 49=(50+1)(50-1)=2500-1=2499$$

Los términos $+50$ y $-50$ se cancelan; solo queda restar $1$.

$$9,8^2$$$$=(10-0,2{)}^2$$$$=100-4+0,04$$$$=96,04$$

El término central es $2\cdot 10\cdot 0,2=4$. La parte decimal $0,04$ procede de $0,2^2$.

$$(20-0,5)(20+0,5)$$$$=400-0,25$$$$=399,75$$

El producto es ligeramente menor que ${20}^2$, como corresponde a dos factores simétricos alrededor de $20$.

$$A_{\mathrm{nueva}}$$$$=(x+3{)}^2$$$$=x^2+6x+9{\mathrm{cm}}^2$$$$\mathrm{\Delta }A$$$$=(x+3{)}^2-x^2$$$$=6x+9{\mathrm{cm}}^2$$

El aumento incluye dos franjas de área $3x$ y una esquina de $9$ cm². Con $x=5$, pasa de $25$ a $64$ cm².

El nuevo lado mide $x-2$ cm, de modo que se exige $x>2$.

En $x=5$, el lado final es $3$ cm y el área $9$ cm², igual que $25-20+4$.

$$P_{\mathrm{rect}}$$$$=2(x+2)+2(x-2)$$$$=4x\mathrm{cm}$$$$A_{\mathrm{rect}}$$$$=(x+2)(x-2)$$$$=x^2-4{\mathrm{cm}}^2$$

El perímetro coincide con el del cuadrado, pero el área disminuye $4$ cm². Para $x=5$, las áreas son $21$ y $25$ cm².

El marco añade $1$ cm por cada extremo, así que el lado exterior es $x+2$ cm.

Con $x=10$, el marco ocupa $144-100=44$ cm². Usar $x+1$ solo ampliaría uno de los extremos.

$$\mathrm{\Delta }A$$$$=(x+1{)}^2-(x-1{)}^2$$$$=4x{\mathrm{m}}^2$$

También se puede usar suma por diferencia sobre los lados completos $$\mathrm{\Delta }A$$$$=[(x+1)-(x-1)][(x+1)+(x-1)]$$$$=2\cdot 2x$$. Con $x=3$, $16-4=12$ m².

$$A_{\mathrm{total}}=(x+1{)}^2+(2x-1{)}^2$$$$=(x^2+2x+1)+(4x^2-4x+1)$$$$=5x^2-2x+2{\mathrm{cm}}^2$$

Aquí los términos lineales no se cancelan, porque sus coeficientes son distintos. En $x=2$, $9+9=18$ cm², igual que $20-4+2$.

$$\mathrm{\Delta }A$$$$=(20+0,1{)}^2-{20}^2$$$$=2\cdot 20\cdot 0,1+0,1^2$$$$=4,01{\mathrm{m}}^2$$

El aumento no es exactamente $4$ m²; la pequeña esquina añade $0,01$ m².

$$9x^2+12x+4=(3x+2{)}^2$$

La longitud del lado es $|3x+2|$ cm. Como $x\ge 0$, $3x+2>0$ y queda $3x+2$ cm.

En $x=1$, el lado es $5$ cm y su cuadrado es $25$ cm².

Multiplicamos el cuadrado conocido por $x+2$.

En $x=1$, $27=1+6+12+8$.

$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$$$(2x-1{)}^3=8x^3-12x^2+6x-1$$

Los signos alternan. Para $x=0$, el resultado es $-1$, el cubo de $-1$.

En un cubo, el signo menos global se conserva.

Con $x=1$, da $(-2{)}^3=-8$, igual que $-1-3-3-1$.

Hay tres cuadrados y los dobles productos de cada pareja distinta.

Con $x=y=1$, los seis sumandos dan $9$, como $3^2$.

$$(x-1{)}^4=(x^2-2x+1{)}^2$$$$=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$$

En $x=1$, $1-4+6-4+1=0$. El coeficiente central es $6$, no $4$.

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$$$(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1$$

Se usan dos veces los conjugados. El resultado tiene grado $4$ y término independiente $-1$, iguales a los del producto inicial.

$$(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$$$$(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$$$$(x+1{)}^3-(x-1{)}^3=6x^2+2$$

Se cancelan los términos de grado impar. En $x=0$, $1-(-1)=2$.

Agrupamos primero las bases, porque tienen el mismo exponente.

Con $a=b$, ambos lados valen cero. Cada término final tiene grado total $6$.