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Estadística ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso
Estadística ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso
Un cuaderno progresivo para comprender los datos: media, mediana, moda, frecuencias, posición, dispersión y gráficos, con una introducción representativa a la normal y a la estimación.
Qué estudia este recurso
Diagnóstico inicial de estadística
Antes de empezar conviene separar dos partes. La primera es la estadística descriptiva: ordenar, resumir e interpretar datos. La segunda es la inferencia estadística: usar una muestra para estimar algo sobre una población.
Qué debe saber un alumno
- Calcular media, mediana y moda sin confundirlas.
- Construir tablas de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
- Interpretar gráficos de barras, histogramas y diagramas sencillos.
- Calcular cuartiles y entender qué significa dividir los datos en cuatro partes.
- Calcular varianza y desviación típica, y saber interpretar si los datos están muy dispersos o poco dispersos.
- Tipificar en una distribución normal.
- Calcular intervalos de confianza para medias y proporciones.
- Hallar tamaños muestrales cuando se fija un error máximo.
- Redactar la conclusión en contexto, que suele ser donde más nota se pierde.
Bloque 1. Media, mediana, moda y tablas
Esta parte es la base de la estadística. Parece mecánica, pero si no se domina, luego la inferencia se vuelve mucho más confusa.
Ejercicio 1. Media aritmética sencilla
Las notas de un alumno en cinco controles son \(6\), \(7\), \(5\), \(8\) y \(9\). Calcula la media.
Resolución
La media se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el número de datos.
Resultado. La media es \(7\).
Ejercicio 2. Media ponderada
En una asignatura, el examen vale el \(70\%\) y los trabajos el \(30\%\). Un alumno obtiene un \(8\) en el examen y un \(6\) en los trabajos. Calcula la nota final.
Resolución
Usamos una media ponderada.
Resultado. La nota final es \(7,4\).
Ejercicio 3. Mediana y moda
Dados los datos \(4\), \(6\), \(6\), \(7\), \(9\), \(10\), \(10\), \(10\), calcula la mediana y la moda.
Resolución
Los datos ya están ordenados. Hay \(8\) datos, así que la mediana es la media de los dos centrales.
La moda es el dato que más se repite. En este caso, \(10\) aparece tres veces.
Resultado. Mediana \(8\) y moda \(10\).
Ejercicio 4. Tabla de frecuencias
En una clase se pregunta cuántos libros ha leído cada alumno este trimestre. Los resultados son:
Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
Resolución
| Libros | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1/10 = 0,10 |
| 1 | 2 | 2/10 = 0,20 |
| 2 | 3 | 3/10 = 0,30 |
| 3 | 2 | 2/10 = 0,20 |
| 4 | 2 | 2/10 = 0,20 |
La suma de las frecuencias absolutas debe ser \(10\), y la suma de las relativas debe ser \(1\).
Resultado. La tabla queda construida y las frecuencias relativas suman \(1\).
Ejercicio 5. Media con tabla de frecuencias
Calcula la media de la siguiente tabla.
| Valor \(x_i\) | Frecuencia \(f_i\) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
| 4 | 6 |
Resolución
Usamos la fórmula de la media con frecuencias.
Calculamos el numerador.
Calculamos el total de datos.
Resultado. La media es \(2,85\).
Media, mediana y moda no dicen lo mismo. La media reparte, la mediana deja la mitad de los datos a cada lado y la moda indica lo más repetido. Si esta diferencia no está clara, después cuesta interpretar tablas, gráficos y problemas de PAU.
Bloque 2. Cuartiles, varianza, desviación típica y gráficos
Aquí empieza la interpretación de verdad. Ya no basta con obtener un número: hay que saber qué dice ese número sobre los datos.
Ejercicio 6. Cuartiles y rango intercuartílico
Dados los datos ordenados, usando el convenio de la mediana de cada mitad:
Calcula \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) y el rango intercuartílico.
Resolución
La mediana \(Q_2\) es la media de los dos valores centrales.
La mitad inferior es \(2,3,4,5\). Su mediana es:
La mitad superior es \(6,7,8,9\). Su mediana es:
El rango intercuartílico es:
Resultado. \(Q_1=3,5\), \(Q_2=5,5\), \(Q_3=7,5\) y \(RI=4\).
Ejercicio 7. Varianza y desviación típica
Calcula la varianza y la desviación típica de los datos \(2\), \(4\), \(6\) y \(8\).
Resolución
Primero calculamos la media.
Calculamos las desviaciones al cuadrado.
| Dato | \(x_i-\overline{x}\) | \((x_i-\overline{x})^2\) |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 |
| 8 | 3 | 9 |
Resultado. Varianza \(5\) y desviación típica \(\sqrt5\approx2,24\).
Ejercicio 8. Coeficiente de variación
Un grupo A tiene media \(70\) y desviación típica \(7\). Un grupo B tiene media \(40\) y desviación típica \(6\). ¿En qué grupo hay más dispersión relativa?
Resolución
El coeficiente de variación compara la desviación típica con la media.
Para el grupo A:
Para el grupo B:
Como \(0,15>0,10\), el grupo B tiene mayor dispersión relativa.
Resultado. El grupo B es más disperso en términos relativos.
Ejercicio 9. Interpretación de un gráfico de barras
Una encuesta pregunta cuántas horas estudian al día varios alumnos. El gráfico de barras muestra estos resultados: \(1\) hora, \(4\) alumnos; \(2\) horas, \(7\) alumnos; \(3\) horas, \(5\) alumnos; \(4\) horas, \(2\) alumnos.
Resolución
| Horas | Alumnos |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 5 |
| 4 | 2 |
Total de alumnos:
La moda es \(2\) horas, porque es el valor con mayor frecuencia.
La media es:
Resultado. La media es aproximadamente \(2,28\) horas y la moda es \(2\) horas.
Ejercicio 10. Histograma y clases agrupadas
Las edades de un grupo se agrupan en intervalos. Calcula una media aproximada.
| Intervalo | Marca de clase | Frecuencia |
|---|---|---|
| [10, 20) | 15 | 4 |
| [20, 30) | 25 | 9 |
| [30, 40) | 35 | 5 |
| [40, 50) | 45 | 2 |
Resolución
Con datos agrupados usamos las marcas de clase.
Resultado. La media aproximada es \(27,5\) años.
Tablas y gráficos. En un examen no basta con calcular. Hay que leer bien qué representa cada columna y cada frecuencia. Cuando los datos están agrupados, se trabaja con marcas de clase y el resultado es aproximado.
Bloque 3. Distribución normal
La distribución normal es el puente entre probabilidad e inferencia. En 2º Bachillerato es fundamental saber tipificar y leer correctamente la tabla normal.
Tipificación
Si \(X\) sigue una normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\), escribimos:
Para pasar a la normal estándar:
Ejercicio 11. Distribución normal y tipificación
Las notas de una prueba siguen una distribución normal de media \(6,5\) y desviación típica \(1,2\). Calcula el valor tipificado correspondiente a \(x=8\).
Resolución
Aplicamos la fórmula:
Resultado. El valor tipificado es \(Z=1,25\).
Ejercicio 12. Probabilidad en una normal
Una variable \(X\) sigue una normal \(N(100,15)\). Calcula aproximadamente \(P(X<130)\).
Resolución
Tipificamos.
Entonces:
En la tabla normal:
Resultado. \(P(X<130)\approx0,9772\), es decir, aproximadamente \(97,72\%\).
Bloque 4. Intervalos de confianza y tamaño muestral
Esta es la parte más importante para 2º Bachillerato y Matemáticas Sociales. No basta con sustituir en una fórmula: hay que saber qué se estima y cómo se interpreta.
Ejercicio 13. Intervalo de confianza para una media
En una muestra de \(100\) alumnos, la media de horas de estudio semanales es \(12\). Se sabe que la desviación típica poblacional es \(4\). Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) para la media.
Resolución
Para un nivel de confianza del \(95\%\), usamos \(z=1,96\).
El intervalo es:
Resultado. El intervalo de confianza es \((11,216,\ 12,784)\).
Ejercicio 14. Error máximo de estimación
Una muestra tiene tamaño \(n=64\), desviación típica poblacional \(\sigma=12\) y nivel de confianza del \(95\%\). Calcula el error máximo.
Resolución
Para el \(95\%\), usamos \(z=1,96\).
Resultado. El error máximo es \(2,94\).
Ejercicio 15. Tamaño muestral para una media
Queremos estimar una media con desviación típica poblacional \(\sigma=10\), confianza del \(95\%\) y error máximo \(E=2\). Calcula el tamaño mínimo de la muestra.
Resolución
Usamos la fórmula:
Para el \(95\%\), \(z=1,96\).
Como el tamaño de la muestra debe ser entero y hay que garantizar el error máximo, redondeamos hacia arriba.
Resultado. Se necesitan al menos \(97\) personas.
Ejercicio 16. Intervalo de confianza para una proporción
En una muestra de \(400\) personas, \(240\) afirman usar clases online para preparar exámenes. Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) para la proporción.
Resolución
La proporción muestral es:
Para el \(95\%\), \(z=1,96\). El error es:
El intervalo es:
Resultado. El intervalo de confianza es \((0,552,\ 0,648)\), es decir, entre \(55,2\%\) y \(64,8\%\).
Ejercicio 17. Tamaño muestral para una proporción
Queremos estimar una proporción con confianza del \(95\%\) y error máximo \(0,04\). Si no conocemos una estimación previa de \(p\), calcula el tamaño mínimo de la muestra.
Resolución
Si no conocemos \(p\), se toma el caso más desfavorable:
Usamos:
Para el \(95\%\), \(z=1,96\).
Redondeamos hacia arriba.
Resultado. Se necesitan al menos \(601\) personas.
Ejercicio 18. Problema tipo PAU completo
Una empresa quiere estimar el gasto medio mensual de sus clientes. En una muestra de \(81\) clientes obtiene una media de \(120\) euros. Se sabe que la desviación típica poblacional es \(18\) euros. Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) e interpreta el resultado.
Resolución
Datos:
Para el \(95\%\), \(z=1,96\).
El intervalo es:
Resultado. Con un \(95\%\) de confianza, el gasto medio mensual de los clientes está entre \(116,08\) euros y \(123,92\) euros.
Ejercicio 19. Interpretación de resultados estadísticos
Un intervalo de confianza para una proporción es \((0,32,\ 0,40)\). Explica qué significa y cuál es el error máximo.
Resolución
El intervalo indica que la proporción poblacional estimada está entre \(0,32\) y \(0,40\). En porcentaje:
El centro del intervalo es:
El error máximo es la distancia desde el centro a uno de los extremos:
Resultado. La estimación central es \(0,36\), es decir, \(36\%\), y el error máximo es \(0,04\), es decir, \(4\%\).
Práctica final
Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina los bloques principales: descriptiva, normal e inferencia.
Ejercicios finales sin resolver
- Calcula la media de \(5,7,9,10,14\).
- Calcula mediana y moda de \(2,3,3,4,6,8,8,8,10\).
- Construye una tabla de frecuencias para \(1,1,2,2,2,3,4,4\).
- Calcula la varianza y desviación típica de \(3,5,7,9\).
- Si \(X\sim N(50,10)\), calcula el valor tipificado para \(x=65\).
- En una muestra de \(64\) personas, la media es \(30\) y \(\sigma=8\). Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\).
- En una muestra de \(500\) personas, \(300\) responden afirmativamente. Calcula \(\hat p\).
- Calcula el tamaño muestral para estimar una media con \(\sigma=12\), \(E=3\) y confianza del \(95\%\).
Ver soluciones finales
- \(9\)
- Mediana \(6\), moda \(8\)
- Frecuencias: \(1\to2\), \(2\to3\), \(3\to1\), \(4\to2\)
- Media \(6\), varianza \(5\), desviación típica \(\sqrt5\)
- \(Z=1,5\)
- Error \(1,96\), intervalo \((28,04,31,96)\)
- \(\hat p=0,6\)
- \(n\ge61,47\), luego \(62\)
Errores frecuentes en estadística
- Confundir media, mediana y moda.
- Calcular la media sin tener en cuenta las frecuencias.
- Usar mal las frecuencias acumuladas.
- Interpretar un histograma como si fuera un gráfico de barras normal.
- Olvidar que la desviación típica mide dispersión.
- Tipificar con el signo cambiado.
- Usar \(n\) donde debería usarse \(\sqrt n\).
- No redondear hacia arriba cuando se calcula un tamaño muestral.
- Confundir intervalo para una media con intervalo para una proporción.
- Dar el intervalo sin explicar qué significa en el contexto del problema.
Preparar estadística con método cambia el resultado
En Marlu Educativa trabajamos la lectura de datos, la elección del procedimiento y la interpretación final con ejercicios corregidos paso a paso.
El siguiente recurso depende de lo que quieras practicar
Para cambiar de bloque o nivel: biblioteca de recursos educativos de Marlu.