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Estadística ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso

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Estadística ejercicios resueltos ESO, Bachillerato y PAU paso a paso

La estadística aparece en ESO, en Bachillerato, en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales y en la PAU. A veces parece un tema sencillo porque empieza con medias y tablas, pero se complica cuando entran varianza, desviación típica, cuartiles, distribución normal, intervalos de confianza, tamaño muestral e interpretación de resultados.

Este recurso está pensado para estudiar estadística de forma ordenada. Primero trabajamos la estadística descriptiva, después las tablas y gráficos, y finalmente entramos en la parte más importante de 2º Bachillerato y PAU: normal, intervalos de confianza, error máximo y tamaño muestral.

La clave no es solo aplicar fórmulas. En estadística hay que saber leer los datos, elegir bien el procedimiento y redactar una conclusión con sentido.

Este bloque se puede complementar con las clases online de Matemáticas para Bachillerato, las clases online de Matemáticas, Física y Química y la biblioteca de recursos educativos de Marlu Educativa.

ESO

Media, mediana, moda, tablas, gráficos, rango, cuartiles y lectura de datos.

Bachillerato

Varianza, desviación típica, normal, tipificación y problemas contextualizados.

PAU y Sociales

Intervalos de confianza, error máximo, tamaño muestral e interpretación final.

La estadística se gana entendiendo qué representa cada dato

Muchos errores no vienen de no saber la fórmula, sino de no interpretar bien la tabla, la muestra, la proporción o el intervalo. En Marlu Educativa trabajamos estos ejercicios paso a paso, tanto en clases presenciales en Salamanca como en clases online para alumnos de toda España.

Puede solicitarse información desde la prematrícula de clases particulares, consultar las clases online o ver la opción de clases online por la mañana.

Índice clicable de ejercicios

  1. Diagnóstico inicial de estadística
  2. Media aritmética sencilla
  3. Media ponderada
  4. Mediana y moda
  5. Tabla de frecuencias
  6. Media con tabla de frecuencias
  7. Cuartiles y rango intercuartílico
  8. Varianza y desviación típica
  9. Coeficiente de variación
  10. Interpretación de un gráfico de barras
  11. Histograma y clases agrupadas
  12. Distribución normal y tipificación
  13. Probabilidad en una normal
  14. Intervalo de confianza para una media
  15. Error máximo de estimación
  16. Tamaño muestral para una media
  17. Intervalo de confianza para una proporción
  18. Tamaño muestral para una proporción
  19. Problema tipo PAU completo
  20. Interpretación de resultados estadísticos
  21. Práctica final
  22. Errores frecuentes
  23. Recursos relacionados

Diagnóstico inicial de estadística

Antes de empezar conviene separar dos partes. La primera es la estadística descriptiva: ordenar, resumir e interpretar datos. La segunda es la inferencia estadística: usar una muestra para estimar algo sobre una población.

Qué debe saber un alumno

  • Calcular media, mediana y moda sin confundirlas.
  • Construir tablas de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
  • Interpretar gráficos de barras, histogramas y diagramas sencillos.
  • Calcular cuartiles y entender qué significa dividir los datos en cuatro partes.
  • Calcular varianza y desviación típica, y saber interpretar si los datos están muy dispersos o poco dispersos.
  • Tipificar en una distribución normal.
  • Calcular intervalos de confianza para medias y proporciones.
  • Hallar tamaños muestrales cuando se fija un error máximo.
  • Redactar la conclusión en contexto, que suele ser donde más nota se pierde.

Bloque 1. Media, mediana, moda y tablas

Esta parte es la base de la estadística. Parece mecánica, pero si no se domina, luego la inferencia se vuelve mucho más confusa.

Ejercicio 1. Media aritmética sencilla

Las notas de un alumno en cinco controles son \(6\), \(7\), \(5\), \(8\) y \(9\). Calcula la media.

Resolución

La media se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el número de datos.

\[ \overline{x}=\frac{6+7+5+8+9}{5} \]
\[ \overline{x}=\frac{35}{5}=7 \]

Resultado. La media es \(7\).

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Ejercicio 2. Media ponderada

En una asignatura, el examen vale el \(70\%\) y los trabajos el \(30\%\). Un alumno obtiene un \(8\) en el examen y un \(6\) en los trabajos. Calcula la nota final.

Resolución

Usamos una media ponderada.

\[ \text{Nota}=0,70\cdot8+0,30\cdot6 \]
\[ \text{Nota}=5,6+1,8=7,4 \]

Resultado. La nota final es \(7,4\).

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Ejercicio 3. Mediana y moda

Dados los datos \(4\), \(6\), \(6\), \(7\), \(9\), \(10\), \(10\), \(10\), calcula la mediana y la moda.

Resolución

Los datos ya están ordenados. Hay \(8\) datos, así que la mediana es la media de los dos centrales.

\[ \text{Mediana}=\frac{7+9}{2}=8 \]

La moda es el dato que más se repite. En este caso, \(10\) aparece tres veces.

Resultado. Mediana \(8\) y moda \(10\).

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Ejercicio 4. Tabla de frecuencias

En una clase se pregunta cuántos libros ha leído cada alumno este trimestre. Los resultados son:

\[ 0,1,1,2,2,2,3,3,4,4 \]

Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

Resolución

LibrosFrecuencia absolutaFrecuencia relativa
011/10 = 0,10
122/10 = 0,20
233/10 = 0,30
322/10 = 0,20
422/10 = 0,20

La suma de las frecuencias absolutas debe ser \(10\), y la suma de las relativas debe ser \(1\).

Resultado. La tabla queda construida y las frecuencias relativas suman \(1\).

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Ejercicio 5. Media con tabla de frecuencias

Calcula la media de la siguiente tabla.

Valor \(x_i\)Frecuencia \(f_i\)
12
25
37
46

Resolución

Usamos la fórmula de la media con frecuencias.

\[ \overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} \]

Calculamos el numerador.

\[ 1\cdot2+2\cdot5+3\cdot7+4\cdot6=2+10+21+24=57 \]

Calculamos el total de datos.

\[ 2+5+7+6=20 \]
\[ \overline{x}=\frac{57}{20}=2,85 \]

Resultado. La media es \(2,85\).

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Media, mediana y moda no dicen lo mismo. La media reparte, la mediana deja la mitad de los datos a cada lado y la moda indica lo más repetido. Si esta diferencia no está clara, después cuesta interpretar tablas, gráficos y problemas de PAU.

Bloque 2. Cuartiles, varianza, desviación típica y gráficos

Aquí empieza la interpretación de verdad. Ya no basta con obtener un número: hay que saber qué dice ese número sobre los datos.

Ejercicio 6. Cuartiles y rango intercuartílico

Dados los datos ordenados:

\[ 2,3,4,5,6,7,8,9 \]

Calcula \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) y el rango intercuartílico.

Resolución

La mediana \(Q_2\) es la media de los dos valores centrales.

\[ Q_2=\frac{5+6}{2}=5,5 \]

La mitad inferior es \(2,3,4,5\). Su mediana es:

\[ Q_1=\frac{3+4}{2}=3,5 \]

La mitad superior es \(6,7,8,9\). Su mediana es:

\[ Q_3=\frac{7+8}{2}=7,5 \]

El rango intercuartílico es:

\[ RI=Q_3-Q_1=7,5-3,5=4 \]

Resultado. \(Q_1=3,5\), \(Q_2=5,5\), \(Q_3=7,5\) y \(RI=4\).

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Ejercicio 7. Varianza y desviación típica

Calcula la varianza y la desviación típica de los datos \(2\), \(4\), \(6\) y \(8\).

Resolución

Primero calculamos la media.

\[ \overline{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=5 \]

Calculamos las desviaciones al cuadrado.

Dato\(x_i-\overline{x}\)\((x_i-\overline{x})^2\)
2-39
4-11
611
839
\[ \sigma^2=\frac{9+1+1+9}{4}=5 \]
\[ \sigma=\sqrt5\approx2,24 \]

Resultado. Varianza \(5\) y desviación típica \(\sqrt5\approx2,24\).

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Ejercicio 8. Coeficiente de variación

Un grupo A tiene media \(70\) y desviación típica \(7\). Un grupo B tiene media \(40\) y desviación típica \(6\). ¿En qué grupo hay más dispersión relativa?

Resolución

El coeficiente de variación compara la desviación típica con la media.

\[ CV=\frac{\sigma}{\overline{x}} \]

Para el grupo A:

\[ CV_A=\frac{7}{70}=0,10 \]

Para el grupo B:

\[ CV_B=\frac{6}{40}=0,15 \]

Como \(0,15>0,10\), el grupo B tiene mayor dispersión relativa.

Resultado. El grupo B es más disperso en términos relativos.

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Ejercicio 9. Interpretación de un gráfico de barras

Una encuesta pregunta cuántas horas estudian al día varios alumnos. El gráfico de barras muestra estos resultados: \(1\) hora, \(4\) alumnos; \(2\) horas, \(7\) alumnos; \(3\) horas, \(5\) alumnos; \(4\) horas, \(2\) alumnos.

Resolución

HorasAlumnos
14
27
35
42

Total de alumnos:

\[ 4+7+5+2=18 \]

La moda es \(2\) horas, porque es el valor con mayor frecuencia.

La media es:

\[ \overline{x}=\frac{1\cdot4+2\cdot7+3\cdot5+4\cdot2}{18} \]
\[ \overline{x}=\frac{4+14+15+8}{18}=\frac{41}{18}\approx2,28 \]

Resultado. La media es aproximadamente \(2,28\) horas y la moda es \(2\) horas.

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Ejercicio 10. Histograma y clases agrupadas

Las edades de un grupo se agrupan en intervalos. Calcula una media aproximada.

IntervaloMarca de claseFrecuencia
[10, 20)154
[20, 30)259
[30, 40)355
[40, 50)452

Resolución

Con datos agrupados usamos las marcas de clase.

\[ \overline{x}=\frac{15\cdot4+25\cdot9+35\cdot5+45\cdot2}{4+9+5+2} \]
\[ \overline{x}=\frac{60+225+175+90}{20}=\frac{550}{20}=27,5 \]

Resultado. La media aproximada es \(27,5\) años.

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Tablas y gráficos. En un examen no basta con calcular. Hay que leer bien qué representa cada columna y cada frecuencia. Cuando los datos están agrupados, se trabaja con marcas de clase y el resultado es aproximado.

Bloque 3. Distribución normal

La distribución normal es el puente entre probabilidad e inferencia. En 2º Bachillerato es fundamental saber tipificar y leer correctamente la tabla normal.

Tipificación

Si \(X\) sigue una normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\), escribimos:

\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]

Para pasar a la normal estándar:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

Ejercicio 11. Distribución normal y tipificación

Las notas de una prueba siguen una distribución normal de media \(6,5\) y desviación típica \(1,2\). Calcula el valor tipificado correspondiente a \(x=8\).

Resolución

Aplicamos la fórmula:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]
\[ Z=\frac{8-6,5}{1,2}=\frac{1,5}{1,2}=1,25 \]

Resultado. El valor tipificado es \(Z=1,25\).

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Ejercicio 12. Probabilidad en una normal

Una variable \(X\) sigue una normal \(N(100,15)\). Calcula aproximadamente \(P(X<130)\).

Resolución

Tipificamos.

\[ Z=\frac{130-100}{15}=2 \]

Entonces:

\[ P(X<130)=P(Z<2) \]

En la tabla normal:

\[ P(Z<2)\approx0,9772 \]

Resultado. \(P(X<130)\approx0,9772\), es decir, aproximadamente \(97,72\%\).

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Normal y PAU. En la normal hay tres puntos delicados: tipificar bien, buscar correctamente en la tabla y no perder el sentido de la desigualdad. Si esta parte se mezcla con intervalos de confianza, conviene trabajarla con mucho orden en clases online por la mañana o en clases de Bachillerato.

Bloque 4. Intervalos de confianza y tamaño muestral

Esta es la parte más importante para 2º Bachillerato y Matemáticas Sociales. No basta con sustituir en una fórmula: hay que saber qué se estima y cómo se interpreta.

Ejercicio 13. Intervalo de confianza para una media

En una muestra de \(100\) alumnos, la media de horas de estudio semanales es \(12\). Se sabe que la desviación típica poblacional es \(4\). Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) para la media.

Resolución

Para un nivel de confianza del \(95\%\), usamos \(z=1,96\).

\[ E=z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n} \]
\[ E=1,96\cdot\frac{4}{\sqrt{100}} \]
\[ E=1,96\cdot\frac{4}{10}=0,784 \]

El intervalo es:

\[ (12-0,784,\ 12+0,784) \]
\[ (11,216,\ 12,784) \]

Resultado. El intervalo de confianza es \((11,216,\ 12,784)\).

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Ejercicio 14. Error máximo de estimación

Una muestra tiene tamaño \(n=64\), desviación típica poblacional \(\sigma=12\) y nivel de confianza del \(95\%\). Calcula el error máximo.

Resolución

Para el \(95\%\), usamos \(z=1,96\).

\[ E=z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n} \]
\[ E=1,96\cdot\frac{12}{\sqrt{64}} \]
\[ E=1,96\cdot\frac{12}{8}=1,96\cdot1,5=2,94 \]

Resultado. El error máximo es \(2,94\).

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Ejercicio 15. Tamaño muestral para una media

Queremos estimar una media con desviación típica poblacional \(\sigma=10\), confianza del \(95\%\) y error máximo \(E=2\). Calcula el tamaño mínimo de la muestra.

Resolución

Usamos la fórmula:

\[ n\ge\left(\frac{z\sigma}{E}\right)^2 \]

Para el \(95\%\), \(z=1,96\).

\[ n\ge\left(\frac{1,96\cdot10}{2}\right)^2 \]
\[ n\ge(9,8)^2=96,04 \]

Como el tamaño de la muestra debe ser entero y hay que garantizar el error máximo, redondeamos hacia arriba.

Resultado. Se necesitan al menos \(97\) personas.

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Ejercicio 16. Intervalo de confianza para una proporción

En una muestra de \(400\) personas, \(240\) afirman usar clases online para preparar exámenes. Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) para la proporción.

Resolución

La proporción muestral es:

\[ \hat p=\frac{240}{400}=0,6 \]

Para el \(95\%\), \(z=1,96\). El error es:

\[ E=z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \]
\[ E=1,96\sqrt{\frac{0,6\cdot0,4}{400}} \]
\[ E=1,96\sqrt{0,0006}\approx1,96\cdot0,0245=0,048 \]

El intervalo es:

\[ (0,6-0,048,\ 0,6+0,048) \]
\[ (0,552,\ 0,648) \]

Resultado. El intervalo de confianza es \((0,552,\ 0,648)\), es decir, entre \(55,2\%\) y \(64,8\%\).

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Ejercicio 17. Tamaño muestral para una proporción

Queremos estimar una proporción con confianza del \(95\%\) y error máximo \(0,04\). Si no conocemos una estimación previa de \(p\), calcula el tamaño mínimo de la muestra.

Resolución

Si no conocemos \(p\), se toma el caso más desfavorable:

\[ p=0,5,\quad q=0,5 \]

Usamos:

\[ n\ge\frac{z^2pq}{E^2} \]

Para el \(95\%\), \(z=1,96\).

\[ n\ge\frac{1,96^2\cdot0,5\cdot0,5}{0,04^2} \]
\[ n\ge\frac{3,8416\cdot0,25}{0,0016} \]
\[ n\ge600,25 \]

Redondeamos hacia arriba.

Resultado. Se necesitan al menos \(601\) personas.

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Ejercicio 18. Problema tipo PAU completo

Una empresa quiere estimar el gasto medio mensual de sus clientes. En una muestra de \(81\) clientes obtiene una media de \(120\) euros. Se sabe que la desviación típica poblacional es \(18\) euros. Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\) e interpreta el resultado.

Resolución

Datos:

\[ \overline{x}=120,\quad \sigma=18,\quad n=81 \]

Para el \(95\%\), \(z=1,96\).

\[ E=1,96\cdot\frac{18}{\sqrt{81}} \]
\[ E=1,96\cdot\frac{18}{9}=1,96\cdot2=3,92 \]

El intervalo es:

\[ (120-3,92,\ 120+3,92) \]
\[ (116,08,\ 123,92) \]

Resultado. Con un \(95\%\) de confianza, el gasto medio mensual de los clientes está entre \(116,08\) euros y \(123,92\) euros.

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Ejercicio 19. Interpretación de resultados estadísticos

Un intervalo de confianza para una proporción es \((0,32,\ 0,40)\). Explica qué significa y cuál es el error máximo.

Resolución

El intervalo indica que la proporción poblacional estimada está entre \(0,32\) y \(0,40\). En porcentaje:

\[ 32\%\le p\le40\% \]

El centro del intervalo es:

\[ \frac{0,32+0,40}{2}=0,36 \]

El error máximo es la distancia desde el centro a uno de los extremos:

\[ E=0,40-0,36=0,04 \]

Resultado. La estimación central es \(0,36\), es decir, \(36\%\), y el error máximo es \(0,04\), es decir, \(4\%\).

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Intervalos y tamaño muestral. Esta parte suele decidir mucha nota en Matemáticas Sociales II. En Marlu Educativa se trabaja no solo la fórmula, sino también la redacción final: qué se estima, con qué confianza y qué significa el resultado. Puedes ver las clases online de Matemáticas para Bachillerato o solicitar información en la prematrícula.

Práctica final

Estos ejercicios sirven para comprobar si el alumno domina los bloques principales: descriptiva, normal e inferencia.

Ejercicios finales sin resolver

  1. Calcula la media de \(5,7,9,10,14\).
  2. Calcula mediana y moda de \(2,3,3,4,6,8,8,8,10\).
  3. Construye una tabla de frecuencias para \(1,1,2,2,2,3,4,4\).
  4. Calcula la varianza y desviación típica de \(3,5,7,9\).
  5. Si \(X\sim N(50,10)\), calcula el valor tipificado para \(x=65\).
  6. En una muestra de \(64\) personas, la media es \(30\) y \(\sigma=8\). Calcula un intervalo de confianza del \(95\%\).
  7. En una muestra de \(500\) personas, \(300\) responden afirmativamente. Calcula \(\hat p\).
  8. Calcula el tamaño muestral para estimar una media con \(\sigma=12\), \(E=3\) y confianza del \(95\%\).
Ver soluciones finales
  1. \(9\)
  2. Mediana \(6\), moda \(8\)
  3. Frecuencias: \(1\to2\), \(2\to3\), \(3\to1\), \(4\to2\)
  4. Media \(6\), varianza \(5\), desviación típica \(\sqrt5\)
  5. \(Z=1,5\)
  6. Error \(1,96\), intervalo \((28,04,31,96)\)
  7. \(\hat p=0,6\)
  8. \(n\ge61,47\), luego \(62\)

Errores frecuentes en estadística

  • Confundir media, mediana y moda.
  • Calcular la media sin tener en cuenta las frecuencias.
  • Usar mal las frecuencias acumuladas.
  • Interpretar un histograma como si fuera un gráfico de barras normal.
  • Olvidar que la desviación típica mide dispersión.
  • Tipificar con el signo cambiado.
  • Usar \(n\) donde debería usarse \(\sqrt n\).
  • No redondear hacia arriba cuando se calcula un tamaño muestral.
  • Confundir intervalo para una media con intervalo para una proporción.
  • Dar el intervalo sin explicar qué significa en el contexto del problema.

Preparar estadística con método cambia mucho el resultado

La estadística no se estudia solo memorizando fórmulas. Hay que leer bien el enunciado, distinguir si se trabaja con media o proporción, calcular el error correctamente y redactar la conclusión.

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