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Ecuaciones trigonométricas e identidades 1 Bachillerato: ejercicios resueltos paso a paso
Marlu Educativa · Matemáticas I · 1.º de Bachillerato
Ecuaciones trigonométricas, identidades y simplificación en 1 Bachillerato
Un cuaderno para aprender a transformar expresiones sin perder el dominio, demostrar identidades con orden y resolver ecuaciones hasta llegar a una solución completa y comprobada.
Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 13 de agosto de 2026.
En este tema el error rara vez está en una cuenta aislada. Suele aparecer antes: se cancela un factor que podía valer cero, se trabaja en grados cuando el ejercicio está en radianes o se encuentran dos ángulos y se olvida la periodicidad. Por eso cada solución mantiene el mismo hilo: dominio, transformación, familias, intervalo y comprobación.
El cuaderno empieza donde termina la explicación general de razones y triángulos. Si todavía cuesta reducir ángulos, decidir signos por cuadrantes o interpretar la circunferencia, conviene repasar primero Trigonometría de 1 Bachillerato. Aquí esas ideas se usan, pero no se vuelven a desarrollar.
Diagnóstico inicial
Estos cinco minutos sirven para saber dónde conviene detenerse. No hace falta hacer cuentas largas.
1. Dominio
¿Cuándo deja de existir \(\tan x\)?
2. Identidad
Completa: \(1-\sin^2x=\ldots\)
3. Periodo
¿Qué periodo tiene la tangente?
4. Intervalo
¿Pertenece \(2\pi\) a \([0,2\pi)\)?
5. Equivalencia
¿Elevar al cuadrado conserva siempre las mismas soluciones?
La base que sí hace falta
No se necesita repetir toda la teoría de trigonometría. Para trabajar este cuaderno bastan unas pocas relaciones, bien elegidas y siempre acompañadas de su dominio.
| Familia | Relaciones | Cuándo resultan útiles |
|---|---|---|
| Fundamental | \(\sin^2x+\cos^2x=1\) | Para cambiar seno al cuadrado por coseno al cuadrado, o al revés. |
| Cocientes | \(\tan x=\sin x/\cos x\), \(\cot x=\cos x/\sin x\) | Para dejar toda la expresión en seno y coseno. |
| Pitagóricas | \(1+\tan^2x=\sec^2x\) | Cuando aparecen tangentes al cuadrado o secantes. |
| Ángulo doble | \(\sin2x=2\sin x\cos x\), \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\) | Para unificar ángulos o convertir una ecuación en cuadrática. |
| Suma y diferencia | \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\) | Para desarrollar, reagrupar o reconocer una combinación. |
Tres decisiones antes de operar
| Ecuación | Solución general | Periodo que se añade |
|---|---|---|
| \(\sin x=\sin\alpha\) | \(x=\alpha+2k\pi\) o \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) | \(2\pi\) |
| \(\cos x=\cos\alpha\) | \(x=\pm\alpha+2k\pi\) | \(2\pi\) |
| \(\tan x=\tan\alpha\) | \(x=\alpha+k\pi\) | \(\pi\) |
Mapa de método
36 modelos resueltos
- Simplificar sin perder el dominio
- Dividir por una razón trigonométrica
- Reconocer secante al cuadrado
- Restar fracciones con conjugados
- Racionalizar antes de sumar
- Simplificar secante, coseno y tangente
- Convertir una suma en una identidad fundamental
- Usar el ángulo doble para reducir
- Detectar dos expresiones equivalentes
- Simplificación encadenada con ángulo doble
- Identidad con racionalización
- Suma de tangente y cotangente
- Producto de conjugados con secante y tangente
- Dos formas de la tangente del ángulo mitad
- Suma de senos con dos ángulos
- Coseno doble escrito con tangente
- Ángulo doble y tangente
- Inversa de la identidad de la secante
- Diferencia de cuartas potencias
- Identidad racional encadenada
- Ecuación seno en una vuelta
- Ecuación coseno con solución general
- Ecuación tangente en un intervalo centrado
- Producto nulo con seno y coseno
- Cambio de variable con seno
- Cambio de variable con coseno
- Pasar toda la ecuación a coseno
- Factorizar antes de dividir
- Ecuación con ángulo doble
- Ecuación con desplazamiento
- Convertir coseno doble en una cuadrática
- Ecuación homogénea de segundo grado
- Comprobar candidatos después de elevar al cuadrado
- Combinar seno y coseno en una sola razón
- Ecuación racional con soluciones no válidas
- Parámetro y resolución completa
Simplificación paso a paso
Los diez primeros modelos enseñan a escoger la transformación mínima. El resultado importa, pero el dominio que se conserva forma parte de la respuesta.
Modelo 1. Simplificar sin perder el dominio
Simplifica \(\dfrac{1-\cos^2x}{\sin x}\).
1. Anota la restricción
El denominador obliga a trabajar con \(\sin x\ne0\).
2. Usa la identidad fundamental
El numerador es una diferencia conocida.
3. Reduce
Ahora sí puede simplificarse un factor seno.
Modelo 2. Dividir por una razón trigonométrica
Simplifica \(\dfrac{\sin x}{\tan x}\).
1. Revisa dónde existe
Deben cumplirse \(\cos x\ne0\) para que exista la tangente y \(\tan x\ne0\) porque está en el denominador. Por tanto, también \(\sin x\ne0\).
2. Pasa todo a seno y coseno
Sustituimos la tangente por su cociente.
3. Simplifica
Se cancela el factor seno dentro del dominio indicado.
Modelo 3. Reconocer secante al cuadrado
Simplifica \((1+\tan^2x)\cos^2x\).
1. Localiza la identidad
La expresión \(1+\tan^2x\) es \(\sec^2x\).
2. Sustituye
Escribimos secante como el inverso del coseno.
3. Reduce
El producto vale \(1\) siempre que la expresión inicial exista.
Modelo 4. Restar fracciones con conjugados
Simplifica \(\dfrac1{1-\sin x}-\dfrac1{1+\sin x}\).
1. Fija el dominio
Se excluyen los valores con \(\sin x=1\) o \(\sin x=-1\).
2. Usa denominador común
Los denominadores son conjugados.
3. Aplica la identidad fundamental
El numerador es \(2\sin x\) y el denominador es \(1-\sin^2x=\cos^2x\).
Modelo 5. Racionalizar antes de sumar
Simplifica \(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\).
1. Anota la restricción
La expresión inicial exige \(\sin x\ne0\).
2. Racionaliza la primera fracción
Multiplicamos por el conjugado.
3. Suma
Las dos fracciones ya tienen el mismo denominador.
Modelo 6. Simplificar secante, coseno y tangente
Simplifica \(\dfrac{\sec x-\cos x}{\tan x}\).
1. Revisa el dominio
Deben cumplirse \(\cos x\ne0\) y \(\tan x\ne0\); por tanto, \(\sin x\ne0\).
2. Reduce el numerador
Pasamos secante a coseno.
3. Divide por la tangente
Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.
Modelo 7. Convertir una suma en una identidad fundamental
Simplifica \((\tan x+\cot x)\sin x\cos x\).
1. Anota el dominio
Tangente y cotangente exigen \(\sin x\ne0\) y \(\cos x\ne0\).
2. Pasa a seno y coseno
Sumamos las dos fracciones.
3. Termina
La suma de cuadrados vale uno y se cancela el producto exterior.
Modelo 8. Usar el ángulo doble para reducir
Simplifica \(\dfrac{1-\cos 2x}{\sin 2x}\).
1. Conserva la restricción
La fracción inicial exige \(\sin 2x\ne0\).
2. Escribe las dos fórmulas útiles
Usamos expresiones compatibles en seno y coseno de \(x\).
3. Reduce
Dentro del dominio original se simplifica un factor seno.
Modelo 9. Detectar dos expresiones equivalentes
Simplifica \(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}-\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\).
1. Marca el dominio
La expresión inicial exige \(\sin x\ne0\).
2. Racionaliza
La primera fracción se multiplica por el conjugado.
3. Resta
Los dos términos son iguales.
Modelo 10. Simplificación encadenada con ángulo doble
Simplifica \(\dfrac{(\sin x+\cos x)^2-1}{\sin 2x}\).
1. Anota la restricción
Debe cumplirse \(\sin 2x\ne0\).
2. Desarrolla solo el numerador
Aplicamos el cuadrado de una suma.
3. Reconoce el ángulo doble
La identidad fundamental elimina los términos uno y queda \(2\sin x\cos x=\sin2x\).
Demostración de identidades
Una identidad no se prueba empezando con un signo igual y transformando ambos lados a la vez. Se parte del miembro más complejo, se encadenan equivalencias justificadas y se llega al otro.
Modelo 11. Identidad con racionalización
Demuestra que \(\dfrac1{1-\sin x}=\dfrac{1+\sin x}{\cos^2x}\).
1. Trabaja desde un solo miembro
Partimos del miembro izquierdo y multiplicamos por el conjugado.
2. Usa la identidad fundamental
El denominador se convierte en coseno al cuadrado.
Modelo 12. Suma de tangente y cotangente
Demuestra que \(\tan x+\cot x=\dfrac1{\sin x\cos x}\).
1. Pasa a seno y coseno
Así aparece un denominador común natural.
2. Aplica la identidad fundamental
El numerador vale uno.
Modelo 13. Producto de conjugados con secante y tangente
Demuestra que \((\sec x-\tan x)(\sec x+\tan x)=1\).
1. Reconoce una diferencia de cuadrados
Los factores son conjugados.
2. Usa la identidad pitagórica
De \(1+\tan^2x=\sec^2x\) se obtiene \(\sec^2x-\tan^2x=1\).
Modelo 14. Dos formas de la tangente del ángulo mitad
Demuestra que \(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\).
1. Parte del miembro izquierdo
Multiplicamos numerador y denominador por \(1+\cos x\).
2. Sustituye y reduce
Como \(1-\cos^2x=\sin^2x\), se cancela un factor seno.
Modelo 15. Suma de senos con dos ángulos
Demuestra que \(\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y\).
1. Desarrolla las dos sumas
Aplicamos las fórmulas de suma y diferencia.
2. Resta el término que se cancela
En la segunda expresión cambia el signo del término con \(\sin y\).
3. Suma
Los términos opuestos desaparecen.
Modelo 16. Coseno doble escrito con tangente
Demuestra que \(\cos2x=\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\).
1. Introduce un cociente equivalente
Usamos que \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
2. Divide entre coseno al cuadrado
Esta operación exige \(\cos x\ne0\).
Modelo 17. Ángulo doble y tangente
Demuestra que \(\dfrac{\sin2x}{1+\cos2x}=\tan x\).
1. Escribe las fórmulas compatibles
Conviene expresar numerador y denominador con seno y coseno de \(x\).
2. Reduce
Al sustituir, queda \(\dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\).
Modelo 18. Inversa de la identidad de la secante
Demuestra que \(\dfrac1{1+\tan^2x}=\cos^2x\).
1. Usa la identidad pitagórica
Sabemos que \(1+\tan^2x=\sec^2x\).
2. Toma el inverso
La secante es el inverso del coseno.
Modelo 19. Diferencia de cuartas potencias
Demuestra que \(\sin^4x-\cos^4x=\sin^2x-\cos^2x\).
1. Factoriza
Es una diferencia de cuadrados.
2. Aplica la identidad fundamental
El segundo factor vale uno.
Modelo 20. Identidad racional encadenada
Demuestra que \(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}+\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=\dfrac2{\sin x}\).
1. Usa un denominador común
No hace falta transformar ambos sumandos por separado.
2. Simplifica el numerador
Desarrollamos y agrupamos la identidad fundamental.
3. Reduce
Se cancela \(1-\cos x\) dentro del dominio original.
Ecuaciones trigonométricas
La secuencia estable es transformar, resolver las razones básicas, añadir periodicidad, filtrar el intervalo y comprobar cuando alguna operación puede haber cambiado el conjunto de soluciones.
Modelo 21. Ecuación seno en una vuelta
Resuelve \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) en \([0,2\pi)\).
1. Encuentra el ángulo de referencia
El seno de \(\pi/3\) vale \(\sqrt3/2\).
2. Mira el signo
El seno es positivo en los cuadrantes primero y segundo.
3. Comprueba el intervalo
Las dos soluciones pertenecen a la vuelta pedida.
Modelo 22. Ecuación coseno con solución general
Resuelve \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) en \(\mathbb R\).
1. Localiza las soluciones de una vuelta
El coseno es negativo en los cuadrantes segundo y tercero.
2. Añade la periodicidad
El periodo del coseno es \(2\pi\).
Modelo 23. Ecuación tangente en un intervalo centrado
Resuelve \(\tan x=-1\) en \([-\pi,\pi)\).
1. Escribe la familia
La solución de referencia es \(-\pi/4\) y la tangente tiene periodo \(\pi\).
2. Filtra
Para \(k=0\) se obtiene \(-\pi/4\); para \(k=1\), \(3\pi/4\). Los demás valores quedan fuera.
Modelo 24. Producto nulo con seno y coseno
Resuelve \(\sin x(2\cos x-1)=0\) en \([0,2\pi)\).
1. Separa las ramas
Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero.
2. Resuelve cada ecuación
La primera da \(x=0,\pi\). La segunda equivale a \(\cos x=1/2\), de donde \(x=\pi/3,5\pi/3\).
3. Reúne sin duplicar
Las cuatro soluciones son distintas y pertenecen al intervalo.
Modelo 25. Cambio de variable con seno
Resuelve \(2\sin^2x+\sin x-1=0\) en \([0,2\pi)\).
1. Trata el seno como incógnita
Tomamos \(s=\sin x\).
2. Recupera las razones
Se obtiene \(\sin x=1/2\) o \(\sin x=-1\).
3. Resuelve en el intervalo
Para \(1/2\): \(x=\pi/6,5\pi/6\). Para \(-1\): \(x=3\pi/2\).
Modelo 26. Cambio de variable con coseno
Resuelve \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\) en \([0,2\pi)\).
1. Factoriza
Con \(c=\cos x\), queda \((2c-1)(c-1)=0\).
2. Vuelve a la ecuación trigonométrica
Las ramas son \(\cos x=1/2\) y \(\cos x=1\).
3. Filtra la vuelta
La primera aporta \(\pi/3\) y \(5\pi/3\); la segunda, \(0\).
Modelo 27. Pasar toda la ecuación a coseno
Resuelve \(\sin^2x=1-\cos x\) en \([0,2\pi)\).
1. Elige una sola razón
Sustituimos \(\sin^2x\) por \(1-\cos^2x\).
2. Factoriza
Al simplificar queda \(\cos^2x-\cos x=0\).
3. Resuelve las dos ramas
\(\cos x=0\) da \(\pi/2,3\pi/2\); \(\cos x=1\) da \(0\).
Modelo 28. Factorizar antes de dividir
Resuelve \(\sin x=\sin x\cos x\) en \([0,2\pi)\).
1. Lleva todo al mismo miembro
\(\sin x-\sin x\cos x=0\).
2. Saca factor común
No dividimos entre seno porque podría ser cero.
3. Resuelve
\(\sin x=0\) aporta \(0,\pi\). La rama \(\cos x=1\) aporta \(0\), que ya estaba incluida.
Modelo 29. Ecuación con ángulo doble
Resuelve \(\sin2x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) en \([0,2\pi)\).
1. Cambia temporalmente de variable
Sea \(y=2x\). Como \(x\in[0,2\pi)\), entonces \(y\in[0,4\pi)\).
2. Resuelve dos vueltas
En \([0,4\pi)\): \(y=\pi/3,2\pi/3,7\pi/3,8\pi/3\).
3. Deshaz el cambio
Dividimos cada valor entre dos.
Modelo 30. Ecuación con desplazamiento
Resuelve \(\cos(x-\pi/6)=1/2\) en \([0,2\pi)\).
1. Aísla el ángulo completo
Con \(y=x-\pi/6\), las familias son \(y=\pm\pi/3+2k\pi\).
2. Recupera x
\(x=\pi/2+2k\pi\) o \(x=-\pi/6+2k\pi\).
3. Filtra
En la vuelta pedida quedan \(\pi/2\) y \(11\pi/6\).
Modelo 31. Convertir coseno doble en una cuadrática
Resuelve \(\cos2x=\sin x\) en \([0,2\pi)\).
1. Pasa todo a seno
Usamos \(\cos2x=1-2\sin^2x\).
2. Factoriza
\(2\sin^2x+\sin x-1=0\).
3. Resuelve
Las ramas son \(\sin x=1/2\) y \(\sin x=-1\).
Modelo 32. Ecuación homogénea de segundo grado
Resuelve \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\) en \([0,2\pi)\).
1. Comprueba el caso que podría perderse
Si \(\cos x=0\), el miembro izquierdo vale \(1\), así que no hay solución en esa rama.
2. Divide entre coseno al cuadrado
Ya es seguro dividir.
3. Factoriza y recupera el ángulo
\((\tan x-1)(\tan x-2)=0\). Por tanto, \(\tan x=1\) o \(\tan x=2\).
Modelo 33. Comprobar candidatos después de elevar al cuadrado
Modelo de examenResuelve \(\sin x+\cos x=1\) en \([0,2\pi)\).
1. Eleva al cuadrado con cautela
La nueva ecuación dará candidatos, no soluciones definitivas.
2. Obtén los candidatos
\(\sin x\cos x=0\), así que aparecen \(0,\pi/2,\pi,3\pi/2\).
3. Comprueba en la ecuación inicial
Solo \(0\) y \(\pi/2\) hacen que la suma sea \(1\).
Modelo 34. Combinar seno y coseno en una sola razón
Modelo de examenResuelve \(\sqrt3\sin x+\cos x=1\) en \([0,2\pi)\).
1. Calcula la amplitud
\(R=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2\).
2. Reescribe la combinación
Elegimos un desplazamiento cuyas componentes reproduzcan los coeficientes.
3. Resuelve y filtra
\(\sin(x+\pi/6)=1/2\), de donde en el intervalo quedan \(x=0\) y \(x=2\pi/3\).
Modelo 35. Ecuación racional con soluciones no válidas
Modelo de examenResuelve \(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=1\) en \([0,2\pi)\).
1. Fija la restricción
Debe cumplirse \(1+\cos x\ne0\), por lo que \(x\ne\pi\).
2. Elimina el denominador y genera candidatos
\(\sin x=1+\cos x\). Al cuadrar: \(1-\cos^2x=(1+\cos x)^2\), y queda \(2\cos x(1+\cos x)=0\).
3. Comprueba
\(\cos x=-1\) corresponde a \(x=\pi\), que estaba excluido. Con \(\cos x=0\), solo \(x=\pi/2\) cumple la ecuación inicial; \(3\pi/2\) no la cumple.
Modelo 36. Parámetro y resolución completa
Modelo de examenDetermina \(m\) para que \(x=\pi/6\) sea solución de \(2\sin^2x+(m-2)\sin x-m=0\). Después resuelve la ecuación obtenida en \([0,2\pi)\).
1. Impone la condición
Como \(\sin(\pi/6)=1/2\), sustituimos ese valor.
2. Calcula el parámetro
La igualdad se reduce a \(-\dfrac12-\dfrac m2=0\), luego \(m=-1\).
3. Resuelve la ecuación resultante
Con \(m=-1\): \(2\sin^2x-3\sin x+1=0=(2\sin x-1)(\sin x-1)\).
Práctica final con soluciones completas
Los doce ejercicios mezclan los tres bloques. Conviene intentar cada uno y abrir después el desarrollo para comparar el procedimiento, no solo el resultado.
1. Simplificación con identidad fundamental
Simplifica \(\dfrac{1-\sin^2x}{\cos x}\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
2. Simplificación con secante
Simplifica \(\dfrac{\sec^2x-1}{\tan x}\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
3. Suma de fracciones conjugadas
Simplifica \(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
4. Identidad con tangente
Demuestra que \(\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}=\cos2x\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
5. Identidad con conjugados
Demuestra que \(\dfrac1{\sec x+\tan x}=\sec x-\tan x\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
6. Identidad de ángulo doble
Demuestra que \(\dfrac{\sin2x}{1-\cos2x}=\cot x\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
7. Ecuación coseno
Resuelve \(\cos x=\sqrt3/2\) en \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
8. Ecuación cuadrática en seno
Resuelve \(2\sin^2x-\sin x-1=0\) en \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
9. Producto nulo
Resuelve \(\sin x(2\cos x+1)=0\) en \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
10. Coseno doble
Resuelve \(\cos2x=\cos x\) en \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
11. Ángulo desplazado
Resuelve \(\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2\) en \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
12. Suma de seno y coseno
Resuelve \(\sin x+\cos x=0\) en \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
Primero se conserva el dominio de la expresión original y después se opera:
Errores frecuentes y cómo corregirlos
| Error | Qué provoca | Corrección práctica |
|---|---|---|
| Cancelar sin mirar el dominio | Se aceptan valores que no pertenecían a la expresión. | Anota las restricciones antes de operar y mantenlas en el resultado. |
| Dividir entre \(\sin x\) o \(\cos x\) | Se pierden las soluciones que anulan el divisor. | Lleva todo a un miembro y factoriza siempre que sea posible. |
| Dar solo el arco principal | Faltan cuadrantes o familias completas. | Escribe las dos ramas del seno y coseno, o la familia de la tangente. |
| Filtrar demasiado pronto | Se omiten soluciones cuando aparece \(2x\) o un ángulo desplazado. | Resuelve primero el ángulo completo y filtra al final. |
| No comprobar después de cuadrar | Quedan soluciones extrañas. | Sustituye todos los candidatos en la ecuación original. |
Repaso de una página
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre simplificar y demostrar una identidad?
Simplificar busca una forma equivalente más manejable. Demostrar exige transformar un miembro hasta obtener el otro sin utilizar como paso la igualdad que se quiere probar.
¿Por qué se anotan las restricciones al principio?
Porque una cancelación puede ocultar valores en los que la expresión inicial no existía. La forma simplificada se interpreta siempre sobre el dominio original.
¿Cuándo hay que escribir \(k\in\mathbb Z\)?
Cuando se pide la solución general. Si el enunciado fija un intervalo, se generan las familias y después se seleccionan sus representantes dentro de ese intervalo.
¿Qué operaciones obligan a comprobar?
Especialmente elevar al cuadrado, multiplicar por una expresión que podría anularse y eliminar denominadores. La comprobación se hace siempre en la ecuación original.
Cuando el atasco no está en una fórmula
Si cuesta decidir el procedimiento o detectar en qué paso se pierde una solución, en las clases se trabaja el razonamiento completo sobre ejercicios del nivel correspondiente. Si encaja mejor una franja temprana, también hay clases online por la mañana para preparar exámenes con más calma.
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