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Ecuaciones trigonométricas e identidades 1 Bachillerato: ejercicios resueltos paso a paso

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Ecuaciones trigonométricas, identidades y simplificación en 1 Bachillerato

Nivel: 1 Bachillerato, Matemáticas I y preparación sólida para 2 Bachillerato.

La trigonometría de 1 Bachillerato tiene una parte muy bonita y una parte muy peligrosa. La bonita es que casi todo se apoya en pocas identidades. La peligrosa es que, si no se domina el signo, el cuadrante, el periodo y las equivalencias entre seno, coseno y tangente, los ejercicios se convierten en una pelea de fórmulas sin dirección.

En este recurso vamos a trabajar tres bloques que suelen aparecer juntos: ecuaciones trigonométricas, demostración de igualdades trigonométricas y simplificación de expresiones. La idea no es aprender trucos sueltos, sino construir un método de trabajo que sirva para examen.

Frontera del recurso: este bloque no sustituye a un recurso básico de razones trigonométricas ni a uno de resolución de triángulos. Aquí trabajamos álgebra trigonométrica: transformar, simplificar, demostrar y resolver ecuaciones.

Ecuaciones trigonométricas Identidades trigonométricas Simplificación 1 Bachillerato Ejercicios resueltos Trigonometría

Si en trigonometría te sabes las fórmulas pero no sabes cuándo usarlas, este recurso está pensado justo para eso. En Marlu Educativa trabajamos la parte técnica con mucho orden: identidad fundamental, reducción a seno y coseno, cuadrantes, periodo y revisión final.

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Índice del recurso

1. Qué hay que dominar antes

Antes de meterse en ecuaciones e identidades trigonométricas, conviene tener bien colocadas cuatro ideas. Sin ellas, uno puede hacer cuentas, sí, pero no controla el ejercicio.

Seno, coseno y tangente

El seno y el coseno se leen en la circunferencia goniométrica. La tangente se relaciona con ellos mediante \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), siempre que \(\cos x\neq0\).

Cuadrantes

El signo de \(\sin x\), \(\cos x\) y \(\tan x\) depende del cuadrante. Esto es básico para no perder soluciones.

Periodo

Las soluciones trigonométricas se repiten. Seno y coseno tienen periodo \(2\pi\). La tangente tiene periodo \(\pi\).

Identidad fundamental

La identidad \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) es la pieza central. Muchísimos ejercicios se resuelven a partir de ella.

Idea de profesor: en trigonometría no gana quien memoriza más fórmulas, sino quien sabe reducir el ejercicio a pocas fórmulas bien usadas.

2. Grados, radianes y circunferencia goniométrica

En Bachillerato se trabaja mucho con radianes. La equivalencia básica es:

\[ 180^\circ=\pi \text{ rad} \]

Algunos ángulos importantes son:

Grados Radianes Seno Coseno
\(0^\circ\)\(0\)01
\(30^\circ\)\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac12\)\(\frac{\sqrt3}{2}\)
\(45^\circ\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\sqrt2}{2}\)\(\frac{\sqrt2}{2}\)
\(60^\circ\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\sqrt3}{2}\)\(\frac12\)
\(90^\circ\)\(\frac{\pi}{2}\)10
\(180^\circ\)\(\pi\)0-1
\(270^\circ\)\(\frac{3\pi}{2}\)-10
\(360^\circ\)\(2\pi\)01
0, 2π π/2 π 3π/2 ángulo x cos x sin x

3. Signos por cuadrantes

En la circunferencia goniométrica, el coseno corresponde a la coordenada \(x\) y el seno a la coordenada \(y\). Por eso sus signos cambian según el cuadrante.

Cuadrante Intervalo \(\sin x\) \(\cos x\) \(\tan x\)
I \(0 + + +
II \(\frac{\pi}{2} + - -
III \(\pi - - +
IV \(\frac{3\pi}{2} - + -
Esto evita muchos fallos: si \(\sin x=\frac12\), no hay una sola solución en \([0,2\pi)\). Hay dos: una en el primer cuadrante y otra en el segundo.

4. Fórmulas imprescindibles

Estas son las identidades que más se usan en 1 Bachillerato. No hace falta sacar una lista infinita. Hay que dominar estas y saber transformarlas.

Identidad fundamental

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]

Tangente

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{si } \cos x\neq0 \]

Secante, cosecante y cotangente

\[ \sec x=\frac1{\cos x} \] \[ \csc x=\frac1{\sin x} \] \[ \cot x=\frac1{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x} \]

Identidades derivadas de la fundamental

Dividiendo \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) entre \(\cos^2 x\):

\[ \tan^2 x+1=\sec^2 x \]

Dividiendo entre \(\sin^2 x\):

\[ 1+\cot^2 x=\csc^2 x \]

Ángulos opuestos y complementarios

\[ \sin(-x)=-\sin x \] \[ \cos(-x)=\cos x \] \[ \tan(-x)=-\tan x \]

Periodo

\[ \sin(x+2\pi)=\sin x \] \[ \cos(x+2\pi)=\cos x \] \[ \tan(x+\pi)=\tan x \]

5. Simplificación trigonométrica

Simplificar una expresión trigonométrica significa transformarla en otra más sencilla, normalmente usando identidades. El objetivo no es cambiar por cambiar, sino reducir el número de funciones o llegar a una forma más clara.

Una estrategia bastante segura es:

  1. Pasar todo a seno y coseno si aparecen tangentes, secantes, cosecantes o cotangentes.
  2. Usar \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) cuando aparezcan cuadrados.
  3. Factorizar si hay términos comunes.
  4. Reducir fracciones con cuidado, sin cancelar sumas indebidamente.
  5. Revisar restricciones si se ha dividido por \(\sin x\), \(\cos x\) o una expresión trigonométrica.
Error típico: cancelar mal. No se puede simplificar \(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\) diciendo que queda \(1+\cos x\). La suma del numerador no permite cancelar así.

Ejemplo rápido

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} \]

Usamos la identidad fundamental:

\[ 1-\cos^2 x=\sin^2 x \]

Entonces:

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x \]

6. Demostración de identidades trigonométricas

Demostrar una identidad trigonométrica consiste en probar que dos expresiones son iguales para los valores donde tienen sentido. La forma más segura es transformar un lado hasta llegar al otro.

Regla práctica: no empieces transformando los dos lados a la vez si el alumno está aprendiendo. Mejor elegir el lado más complicado y llevarlo al lado más sencillo.

Método para demostrar identidades

  1. Elige el lado más complicado. Normalmente el que tiene fracciones, tangentes o cuadrados.
  2. Pasa a seno y coseno si no ves un camino claro.
  3. Usa la identidad fundamental para cambiar \(1-\sin^2 x\) por \(\cos^2 x\), o \(1-\cos^2 x\) por \(\sin^2 x\).
  4. Opera con calma. Primero común denominador, luego factorizar, luego simplificar.
  5. No inventes pasos. Cada transformación debe ser una igualdad válida.
  6. Cuando llegues al otro lado, cierra la demostración.

Ejemplo guiado

Demuestra:

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x}=\sin x \]

Trabajamos el lado izquierdo:

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x \]

Queda demostrada la identidad.

7. Ecuaciones trigonométricas básicas

Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los ángulos que cumplen una igualdad. Hay que decidir si se trabaja en un intervalo concreto, por ejemplo \([0,2\pi)\), o si se piden todas las soluciones reales.

Ecuaciones con seno

\[ \sin x=a \]

Si se trabaja en \([0,2\pi)\), hay que mirar los cuadrantes donde el seno tiene ese signo.

Ejemplo:

\[ \sin x=\frac12 \]

En \([0,2\pi)\):

\[ x=\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{5\pi}{6} \]

Todas las soluciones:

\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \] \[ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \] \[ k\in\mathbb{Z} \]

Ecuaciones con coseno

\[ \cos x=a \]

Ejemplo:

\[ \cos x=-\frac12 \]

En \([0,2\pi)\):

\[ x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3} \]

Ecuaciones con tangente

\[ \tan x=a \]

La tangente tiene periodo \(\pi\), no \(2\pi\). Por ejemplo:

\[ \tan x=1 \]

Todas las soluciones son:

\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \]

8. Ecuaciones con cambio de variable

Muchas ecuaciones trigonométricas parecen de segundo grado. Por ejemplo:

\[ 2\sin^2 x-3\sin x+1=0 \]

Se resuelve como una ecuación de segundo grado haciendo:

\[ t=\sin x \]

Entonces:

\[ 2t^2-3t+1=0 \]

Factorizamos:

\[ (2t-1)(t-1)=0 \]

Por tanto:

\[ t=\frac12,\quad t=1 \]

Volvemos a la variable trigonométrica:

\[ \sin x=\frac12 \] \[ \sin x=1 \]

En \([0,2\pi)\):

\[ x=\frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2} \]
Revisión obligatoria: si al resolver sale \(\sin x=2\) o \(\cos x=-3\), se descarta. Seno y coseno solo pueden estar entre -1 y 1.

9. Método general de resolución

  1. Lee el intervalo de solución. No es lo mismo resolver en \([0,2\pi)\) que dar todas las soluciones reales.
  2. Identifica la función principal. Seno, coseno, tangente o mezcla.
  3. Si hay mezcla, intenta pasar a una sola función. Usa \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) o \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
  4. Si hay cuadrados, prueba cambio de variable. Por ejemplo \(t=\sin x\) o \(t=\cos x\).
  5. Resuelve la ecuación algebraica resultante.
  6. Vuelve a la trigonometría. Si \(t=\sin x\), resuelve \(\sin x=t\).
  7. Usa cuadrantes y periodo. Aquí es donde se pierden muchas soluciones.
  8. Descarta valores imposibles. Seno y coseno no pueden ser mayores que 1 ni menores que -1.
  9. Comprueba restricciones. Si había tangente o denominadores, revisa que no se anule lo que no puede anularse.
  10. Ordena la respuesta. En intervalos, da las soluciones en orden creciente.

10. Errores frecuentes reales

Dar una sola solución

Si \(\sin x=\frac12\), en \([0,2\pi)\) hay dos soluciones, no una.

Olvidar el periodo

Para todas las soluciones reales hay que añadir \(2k\pi\) en seno y coseno, y \(k\pi\) en tangente.

Cancelar mal

No se puede cancelar un término que está sumando. Antes hay que factorizar.

Dividir por \(\sin x\) o \(\cos x\) sin cuidado

Si divides por una expresión que puede ser cero, puedes perder soluciones.

No revisar valores imposibles

\(\sin x=2\) no tiene solución real. \(\cos x=-4\) tampoco.

Confundir seno y coseno

El seno corresponde a la coordenada vertical. El coseno, a la horizontal.

Usar \(2\pi\) en tangente siempre

La tangente tiene periodo \(\pi\). Usar \(2\pi\) puede dejar soluciones fuera.

No comprobar identidades

En demostraciones, cada paso debe ser una igualdad válida. No se puede cambiar una expresión porque “se parece”.

11. Ejercicios resueltos de ecuaciones, identidades y simplificación

Los ejercicios están organizados por dificultad. Primero simplificación, después identidades y finalmente ecuaciones trigonométricas. Es exactamente el orden que suele funcionar mejor en clase.

Ejercicio 1. Simplificar usando la identidad fundamental

Simplifica:

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} \]

Usamos:

\[ 1-\cos^2 x=\sin^2 x \]

Entonces:

\[ \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x \]

Resultado: \(\sin x\), con \(\sin x\neq0\) en la expresión inicial.

Ejercicio 2. Simplificar una expresión con tangente

Simplifica:

\[ \tan x\cdot\cos x \]

Pasamos la tangente a seno y coseno:

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]

Entonces:

\[ \tan x\cdot\cos x= \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x= \sin x \]

Resultado: \(\sin x\), con \(\cos x\neq0\).

Ejercicio 3. Simplificar con secante

Simplifica:

\[ \sec^2 x-\tan^2 x \]

Usamos la identidad:

\[ 1+\tan^2 x=\sec^2 x \]

Por tanto:

\[ \sec^2 x-\tan^2 x=1 \]

Resultado: \(1\).

Ejercicio 4. Demostrar una identidad sencilla

Demuestra:

\[ \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x \]

Por definición de tangente:

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]

Por tanto, la igualdad queda demostrada.

Ejercicio 5. Demostrar identidad con fracciones

Demuestra:

\[ \frac{1}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos^2 x} \]

Trabajamos el lado izquierdo multiplicando por el conjugado:

\[ \frac{1}{1-\sin x}\cdot\frac{1+\sin x}{1+\sin x} = \frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x} \]

Como:

\[ 1-\sin^2 x=\cos^2 x \]

queda:

\[ \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} \]

Identidad demostrada.

Ejercicio 6. Demostrar identidad con tangente y secante

Demuestra:

\[ 1+\tan^2 x=\sec^2 x \]

Partimos de la identidad fundamental:

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]

Dividimos entre \(\cos^2 x\):

\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac1{\cos^2 x} \]

Así:

\[ \tan^2 x+1=\sec^2 x \]

Identidad demostrada.

Ejercicio 7. Ecuación básica con seno

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \sin x=\frac12 \]

El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante. El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{6}\).

\[ x=\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{5\pi}{6} \]

Resultado: \(\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}\).

Ejercicio 8. Ecuación básica con coseno

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \cos x=-\frac12 \]

El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante. El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{3}\).

\[ x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3} \]

Resultado: \(\left\{\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}\).

Ejercicio 9. Ecuación básica con tangente

Resuelve en \(\mathbb{R}\):

\[ \tan x=1 \]

La tangente vale 1 en \(\frac{\pi}{4}\) y se repite cada \(\pi\).

\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Resultado: \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\).

Ejercicio 10. Ecuación con seno negativo

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \sin x=-\frac{\sqrt3}{2} \]

El seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrante. El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{3}\).

\[ x=\frac{4\pi}{3},\quad x=\frac{5\pi}{3} \]

Resultado: \(\left\{\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}\).

Ejercicio 11. Ecuación con coseno positivo

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2} \]

El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante. El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{4}\).

\[ x=\frac{\pi}{4},\quad x=\frac{7\pi}{4} \]

Resultado: \(\left\{\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}\).

Ejercicio 12. Ecuación cuadrática en seno

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ 2\sin^2 x-3\sin x+1=0 \]

Hacemos \(t=\sin x\):

\[ 2t^2-3t+1=0 \] \[ (2t-1)(t-1)=0 \]

Por tanto:

\[ \sin x=\frac12,\quad \sin x=1 \]

Soluciones:

\[ x=\frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2} \]

Resultado: \(\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}\).

Ejercicio 13. Ecuación cuadrática en coseno

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ 2\cos^2 x+\cos x-1=0 \]

Hacemos \(t=\cos x\):

\[ 2t^2+t-1=0 \] \[ (2t-1)(t+1)=0 \]

Así:

\[ \cos x=\frac12,\quad \cos x=-1 \]

Soluciones:

\[ x=\frac{\pi}{3},\quad \frac{5\pi}{3},\quad \pi \]

Resultado: \(\left\{\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}\right\}\).

Ejercicio 14. Ecuación con valor imposible

Resuelve:

\[ 3\sin x=6 \]

Dividimos entre 3:

\[ \sin x=2 \]

Pero el seno solo puede tomar valores entre -1 y 1.

Resultado: no tiene solución real.

Ejercicio 15. Ecuación factorizada

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \sin x(\cos x-1)=0 \]

Producto nulo:

\[ \sin x=0 \quad \text{o} \quad \cos x=1 \]

Soluciones:

\[ \sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi \] \[ \cos x=1 \Rightarrow x=0 \]

Resultado: \(\{0,\pi\}\).

Ejercicio 16. Ecuación usando identidad fundamental

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \sin^2 x=1-\cos x \]

Usamos:

\[ \sin^2 x=1-\cos^2 x \]

Entonces:

\[ 1-\cos^2 x=1-\cos x \]

Cancelamos 1:

\[ -\cos^2 x=-\cos x \] \[ \cos^2 x=\cos x \] \[ \cos x(\cos x-1)=0 \]

Así:

\[ \cos x=0 \quad \text{o} \quad \cos x=1 \]

Soluciones:

\[ x=\frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{2},\quad 0 \]

Resultado: \(\left\{0,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}\).

Ejercicio 17. Identidad con cotangente y cosecante

Demuestra:

\[ 1+\cot^2 x=\csc^2 x \]

Partimos de:

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]

Dividimos entre \(\sin^2 x\):

\[ \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac1{\sin^2 x} \]

Queda:

\[ 1+\cot^2 x=\csc^2 x \]

Identidad demostrada.

Ejercicio 18. Simplificación con denominador común

Simplifica:

\[ \frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x} \]

Como tienen el mismo denominador:

\[ \frac{1-\sin^2 x}{\cos x} \]

Usamos \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\):

\[ \frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x \]

Resultado: \(\cos x\), con \(\cos x\neq0\).

Ejercicio 19. Ecuación con tangente cuadrática

Resuelve en \(\mathbb{R}\):

\[ \tan^2 x=1 \]

Entonces:

\[ \tan x=1 \quad \text{o} \quad \tan x=-1 \]

Soluciones:

\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \] \[ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \]

Resultado: \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) o \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).

Ejercicio 20. Ecuación con cambio a coseno

Resuelve en \([0,2\pi)\):

\[ \sin^2 x+\cos x=1 \]

Sustituimos \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\[ 1-\cos^2 x+\cos x=1 \]

Cancelamos 1:

\[ -\cos^2 x+\cos x=0 \] \[ \cos x(1-\cos x)=0 \]

Entonces:

\[ \cos x=0 \quad \text{o} \quad \cos x=1 \]

Soluciones:

\[ x=\frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{2},\quad 0 \]

Resultado: \(\left\{0,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}\).

12. Ejercicios para practicar

Hazlos sin mirar las soluciones al principio. Lo importante es que escribas el camino: fórmula usada, transformación y revisión.

Simplificación

  1. Simplifica \(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}\).
  2. Simplifica \(\frac{\sin x}{\tan x}\).
  3. Simplifica \((1+\tan^2 x)\cos^2 x\).
  4. Simplifica \(\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos x}\).
  5. Simplifica \(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos^2 x}{\sin x}\).

Identidades

  1. Demuestra \(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}=\cos x\).
  2. Demuestra \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\).
  3. Demuestra \((1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2 x\).
  4. Demuestra \(\frac{\tan x}{\sec x}=\sin x\).
  5. Demuestra \(\frac{1+\tan^2 x}{\sec x}=\sec x\).

Ecuaciones trigonométricas

  1. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).
  2. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\).
  3. Resuelve en \(\mathbb{R}\): \(\tan x=\sqrt3\).
  4. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(2\cos^2 x-1=0\).
  5. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\sin x(\sin x-1)=0\).
  6. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(2\sin^2 x+\sin x-1=0\).
  7. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\cos^2 x-\cos x=0\).
  8. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\tan^2 x-3=0\).
  9. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\sin^2 x=\cos^2 x\).
  10. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(1-\cos^2 x=\frac14\).

13. Soluciones rápidas

Ejercicio Resultado Clave
1\(\cos x\)\(1-\sin^2 x=\cos^2 x\)
2\(\cos x\)\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
31\(1+\tan^2 x=\sec^2 x\)
4\(\sec x\)Identidad fundamental
5\(\sin x\)Común denominador
6DemostradaUsar \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\)
7DemostradaPasar a seno y coseno
8DemostradaDiferencia de cuadrados
9DemostradaTangente y secante
10DemostradaIdentidad de secante
11\(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\)Seno positivo
12\(\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\)Coseno negativo
13\(\frac{\pi}{3}+k\pi\)Periodo de tangente
14\(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)\(\cos^2 x=\frac12\)
15\(0,\pi,\frac{\pi}{2}\)Producto nulo
16\(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\)Segundo grado en seno
17\(0,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\)Factorizar coseno
18\(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)\(\tan x=\pm\sqrt3\)
19\(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)\(|\sin x|=|\cos x|\)
20\(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\)\(\sin^2 x=\frac14\)

14. Simulacro tipo examen

Tiempo recomendado: 60 minutos.

Instrucción: justifica las fórmulas usadas. En ecuaciones, indica si resuelves en un intervalo o en \(\mathbb{R}\).

  1. Simplifica \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}+\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}\).
  2. Demuestra \(\frac{1}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos^2 x}\).
  3. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(2\sin^2 x-3\sin x+1=0\).
  4. Resuelve en \([0,2\pi)\): \(\cos^2 x=\sin^2 x\).
  5. Resuelve en \(\mathbb{R}\): \(\tan^2 x=3\).

Criterio de corrección

Parte Puntuación Qué se valora
Fórmulas básicas2 puntosUso correcto de identidad fundamental, tangente y recíprocas
Simplificación2 puntosTransformar sin cancelar mal
Demostración2 puntosPasos equivalentes y cierre claro de la identidad
Ecuaciones2 puntosResolución algebraica y trigonométrica
Cuadrantes y periodo1 puntoNo perder soluciones
Presentación y revisión1 puntoOrden, restricciones y respuesta final clara

Diagnóstico rápido si te equivocas

Solo te sale una solución. Revisa cuadrantes. Seno y coseno suelen dar dos soluciones en \([0,2\pi)\), salvo casos especiales como \(0\), \(1\) o \(-1\).

Te salen valores imposibles. Si aparece \(\sin x=2\) o \(\cos x=-3\), esa rama no tiene solución real.

La identidad no avanza. Pasa todo a seno y coseno. Es el camino más seguro cuando no se ve la transformación.

Has dividido por una función trigonométrica. Comprueba si podías hacerlo. Si podía ser cero, quizá has perdido soluciones.

En tangente te faltan soluciones. Recuerda que la tangente tiene periodo \(\pi\), no \(2\pi\).

15. Qué estudiar antes y después

Este recurso debe estar colocado dentro del bloque de Matemáticas de Bachillerato, como pieza fuerte de trigonometría de 1 Bachillerato. No debe quedar aislado, porque conecta con funciones, derivadas, geometría analítica y preparación posterior de Matemáticas II.

Página de Matemáticas

Debe enlazar desde clases de Matemáticas en Marlu Educativa, porque es un recurso claro para alumnos de Bachillerato.

Biblioteca de recursos

Debe aparecer en recursos educativos, dentro de Matemáticas Bachillerato.

Blog

Debe enlazarse desde el blog de Marlu Educativa, especialmente si se está construyendo un clúster de 1 Bachillerato.

Matemáticas online Bachillerato

Para captación nacional, el enlace principal de conversión debe ser Matemáticas online Bachillerato y PAU.

Clases online generales

También conecta con clases particulares online de Matemáticas, Física y Química, para alumnos de fuera de Salamanca.

Página madre Matemáticas II EBAU

Aunque este recurso es de 1 Bachillerato, puede enlazar de forma natural hacia Matemáticas II EBAU 2026 Castilla y León, como continuidad para alumnos que van a pasar a 2 Bachillerato.

Prematrícula

Para organizar clases presenciales u online, el cierre natural es prematrícula de Marlu Educativa.

Recursos relacionados pendientes

Si existen en WordPress, enlazar a razones trigonométricas 1 Bachillerato, resolución de triángulos, fórmulas trigonométricas, geometría analítica 1 Bachillerato y funciones trigonométricas. Si no existen, dejarlos como pendientes de crear para cerrar el clúster.

La trigonometría se domina cuando dejas de ver fórmulas sueltas y empiezas a ver transformaciones. Identidad fundamental, cuadrantes, periodo y reducción a seno y coseno son las cuatro piezas que más ordenan este bloque.

Clases online de Matemáticas Bachillerato y PAU Clases de Matemáticas Clases online Prematrícula

Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de 1 Bachillerato que necesitan trabajar ecuaciones trigonométricas, demostración de identidades y simplificación con un método claro, muchas fórmulas guiadas y ejercicios de examen.

16. Preguntas frecuentes sobre ecuaciones e identidades trigonométricas

¿Cuál es la identidad trigonométrica más importante?

La identidad fundamental es \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\). A partir de ella se obtienen muchas otras fórmulas.

¿Cómo se demuestra una identidad trigonométrica?

Normalmente se transforma el lado más complicado hasta llegar al otro lado. Suele ayudar pasar todo a seno y coseno.

¿Cómo se resuelve \(\sin x=a\)?

Se busca el ángulo de referencia y después se miran los cuadrantes donde el seno tiene el signo de \(a\). Si se piden todas las soluciones, se añade el periodo \(2k\pi\).

¿Cuál es el periodo de la tangente?

La tangente tiene periodo \(\pi\). Por eso \(\tan x=a\) se escribe normalmente como \(x=\alpha+k\pi\).

¿Qué hago si aparece una ecuación como \(2\sin^2 x-3\sin x+1=0\)?

Se hace el cambio \(t=\sin x\), se resuelve la ecuación de segundo grado y después se vuelve a resolver cada ecuación trigonométrica resultante.

¿Por qué no puedo cancelar siempre en una fracción trigonométrica?

Porque solo se pueden cancelar factores, no términos que están sumando. Antes de cancelar, hay que factorizar correctamente.

¿Qué valores puede tomar seno y coseno?

El seno y el coseno solo pueden tomar valores entre -1 y 1. Si aparece \(\sin x=2\) o \(\cos x=-3\), no hay solución real.

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