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Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso

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Matemáticas · 3.º ESO · Álgebra
De reconocer la ecuación a justificar cada raíz

El punto difícil no suele ser memorizar la fórmula, sino decidir qué método conviene, ordenar sin perder signos y comprobar si todas las soluciones sirven. Este recurso construye esa decisión desde las ecuaciones incompletas hasta los problemas y las bicuadradas.

Alcance. El núcleo corresponde a ecuaciones cuadráticas de 3.º ESO. Las bicuadradas y el parámetro aparecen como ampliación y puente hacia 4.º ESO. Las demás familias de ecuaciones continúan en su guía específica.

52 modelosResueltos y comprobados
36 ejerciciosPráctica graduada
2 exámenes20 tareas y 10 puntos cada uno
108 tareasBase, transferencia y ampliación

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Empiezo desde cero

Lee la forma general, aprende a reconocer los coeficientes y sigue el árbol de decisión.

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Tengo examen pronto

Repasa el método, resuelve la práctica sin mirar y termina con uno de los dos exámenes.

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Trabaja raíces irracionales, parámetros y bicuadradas manteniendo las restricciones de cada cambio.

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1. Conceptos esenciales

Una ecuación de segundo grado puede escribirse, después de ordenar y reducir, en la forma

\[ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq0\]

a · coeficiente cuadrático

Acompaña a x² y nunca puede ser cero en una ecuación de segundo grado.

b · coeficiente lineal

Acompaña a x. Si falta ese término, b=0.

c · término independiente

No contiene x. Si falta, c=0 y suele aparecer un factor común.

Precisión. Que aparezca x² no basta: antes hay que desarrollar, eliminar denominadores constantes, reducir términos e igualar a cero. Solo entonces se leen a, b y c.
M01Base

Leer los tres coeficientes

Enunciado. Identifica a, b y c sin perder ningún signo.

\[3x^2-5x+2=0\]
Qué vemos. La ecuación ya está ordenada como ax^2+bx+c=0.
  1. \[a=3\]
  2. \[b=-5\]
  3. \[c=2\]
Conclusión.

Los coeficientes son a=3, b=-5 y c=2.

Control rápido. El signo menos pertenece al coeficiente lineal completo.
M02Base

Reconocer un coeficiente que no está escrito

Enunciado. Identifica a, b y c.

\[-x^2+7x-10=0\]
Qué vemos. Delante de x² hay un −1 implícito.
  1. \[a=-1\]
  2. \[b=7\]
  3. \[c=-10\]
Conclusión.

Los coeficientes son a=−1, b=7 y c=−10.

Control rápido. Al reconstruir ax²+bx+c se recupera exactamente la ecuación inicial.
M03Base

Clasificar una incompleta sin término lineal

Enunciado. Clasifica la ecuación y anticipa el método.

\[x^2-9=0\]
Qué vemos. No aparece término en x, así que b=0.
  1. \[a=1\]
  2. \[b=0\]
  3. \[c=-9\]
Conclusión.

Es incompleta sin b y conviene despejar x² o usar diferencia de cuadrados.

Control rápido. No hace falta aplicar la fórmula general.
M04Base

Clasificar una incompleta sin término independiente

Enunciado. Clasifica la ecuación y anticipa el método.

\[2x^2-6x=0\]
Qué vemos. No hay término independiente, así que c=0.
  1. \[a=2\]
  2. \[b=-6\]
  3. \[c=0\]
Conclusión.

Es incompleta sin c y conviene sacar factor común x.

Control rápido. Todos los términos visibles contienen x.
M05Base

Clasificar una ecuación completa

Enunciado. Clasifica la ecuación.

\[x^2-3x-10=0\]
Qué vemos. Aparecen el término cuadrático, el lineal y el independiente.
  1. \[a=1\]
  2. \[b=-3\]
  3. \[c=-10\]
Conclusión.

Es una ecuación completa.

Control rápido. Puede resolverse por factorización o por la fórmula general.

2. Método Marlu para elegir sin adivinar

Ordenar → clasificar → elegir → resolver → comprobar → responder.

La fórmula general es una herramienta universal para las cuadráticas, pero no siempre es el camino más corto. La clasificación evita cálculos innecesarios y reduce los errores de signo.

Árbol de decisión para ecuaciones de segundo grado.
Lo que ves después de ordenarMétodo preferenteControl imprescindible
ax²=0x=0Reconocer la raíz doble, aunque el conjunto solución escriba 0 una sola vez.
ax²+c=0Despejar x²Escribir ± y comprobar que −c/a≥0 si trabajamos en reales.
ax²+bx=0Sacar factor común xNo dividir entre x, porque se perdería la solución x=0.
Trinomio reconocibleFactorizarComprobar suma y producto o desarrollar los factores.
Ecuación completa no reconocibleFórmula generalSustituir b y c con signo y simplificar el radical.
Solo x⁴, x² y término independientet=x²Imponer t≥0 y volver siempre de t a x.
Autodiagnóstico. Si una raíz falla al sustituirla en la ecuación original, no se corrige el resultado a ojo: se vuelve al primer paso en el que cambió un signo, se desarrolló un paréntesis o se eliminó un denominador.

3. Ecuaciones incompletas

Las incompletas permiten aprender dos ideas que después aparecen en todo el álgebra: al resolver x²=a se obtienen x=±√a cuando a>0, y un producto es cero cuando se anula al menos uno de sus factores.

M06Base

Incompleta por raíz cuadrada

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^2-25=0\]
Qué vemos. Es de la forma ax²+c=0. Despejamos x².
  1. \[x^2=25\]
  2. \[x=\pm5\]
Conclusión.
\[S=\{-5,5\}\]
Control rápido. 5²=25 y (−5)²=25. Las dos raíces son necesarias.
M07Base

Simplificar antes de extraer la raíz

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[3x^2-48=0\]
Qué vemos. Aislamos x² y simplificamos antes de calcular la raíz.
  1. \[3x^2=48\]
  2. \[x^2=16\]
  3. \[x=\pm4\]
Conclusión.
\[S=\{-4,4\}\]
Control rápido. 3·4²−48=0 y 3·(−4)²−48=0.
M08Base

Detectar que no hay raíces reales

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[2x^2+18=0\]
Qué vemos. Despejamos x² y examinamos el signo del resultado.
  1. \[2x^2=-18\]
  2. \[x^2=-9\]
Conclusión.

No tiene solución real.

Control rápido. Todo cuadrado real es mayor o igual que cero, por lo que no puede valer −9.
M09Base

Incompleta por factor común

Enunciado. Resuelve.

\[x^2-7x=0\]
Qué vemos. Los dos términos contienen x. Sacamos factor común.
  1. \[x(x-7)=0\]
  2. \[x=0\quad\text{o}\quad x-7=0\]
  3. \[x=0\quad\text{o}\quad x=7\]
Conclusión.
\[S=\{0,7\}\]
Control rápido. El producto es cero porque se anula uno de los factores.
M10Base

Factor común con coeficiente

Enunciado. Resuelve.

\[3x^2+12x=0\]
Qué vemos. Extraemos el factor común máximo 3x.
  1. \[3x(x+4)=0\]
  2. \[3x=0\quad\text{o}\quad x+4=0\]
  3. \[x=0\quad\text{o}\quad x=-4\]
Conclusión.
\[S=\{-4,0\}\]
Control rápido. Sustituir 0 y −4 hace cero el primer miembro.
M11Base

Factor común con signo negativo

Enunciado. Resuelve.

\[-2x^2+10x=0\]
Qué vemos. Extraemos −2x para que el segundo factor quede sencillo.
  1. \[-2x(x-5)=0\]
  2. \[x=0\quad\text{o}\quad x-5=0\]
  3. \[x=0\quad\text{o}\quad x=5\]
Conclusión.
\[S=\{0,5\}\]
Control rápido. −2·5²+10·5=−50+50=0.

4. Fórmula general y discriminante

Para ax²+bx+c=0 con a≠0, la fórmula general es

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

La expresión situada bajo la raíz es el discriminante.

\[\Delta=b^2-4ac\]

Δ>0

Dos soluciones reales distintas. La parábola corta dos veces el eje x.

Δ=0

Una raíz real doble. La parábola toca el eje x en un punto.

Δ<0

No hay soluciones reales. La parábola no corta el eje x.

Frontera con funciones. Aquí usamos la parábola solo para interpretar el número de raíces. El estudio completo de vértice, ejes, crecimiento y representación pertenece al recurso de funciones.
M12Consolidación

Fórmula general con dos raíces enteras

Enunciado. Resuelve mediante la fórmula general.

\[x^2-5x+6=0\]
Elección. Es completa. Identificamos los coeficientes con su signo.
  1. \[a=1,\quad b=-5,\quad c=6\]
  2. \[\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=1\]
  3. \[x=\frac{5\pm1}{2}\]
  4. \[x_1=3,\quad x_2=2\]
Resultado.
\[S=\{2,3\}\]
Comprobación. Por Viète, 2+3=5=−b/a y 2·3=6=c/a.
M13Consolidación

Fórmula general con una raíz fraccionaria

Enunciado. Resuelve.

\[2x^2-7x+3=0\]
Elección. La ecuación es completa y no conviene dividir todos los términos.
  1. \[a=2,\quad b=-7,\quad c=3\]
  2. \[\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=25\]
  3. \[x=\frac{7\pm5}{4}\]
  4. \[x_1=3,\quad x_2=\frac12\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac12,3\right\}\]
Comprobación. La suma es 7/2 y el producto 3/2, como indican −b/a y c/a.
M14Consolidación

Cuidar el signo de c

Enunciado. Resuelve.

\[3x^2+2x-1=0\]
Elección. Como c=−1, el término −4ac se convierte en una suma.
  1. \[a=3,\quad b=2,\quad c=-1\]
  2. \[\Delta=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16\]
  3. \[x=\frac{-2\pm4}{6}\]
  4. \[x_1=\frac13,\quad x_2=-1\]
Resultado.
\[S=\left\{-1,\frac13\right\}\]
Comprobación. 3·(1/3)²+2·(1/3)−1=0 y 3−2−1=0 para x=−1.
M15Consolidación

Una raíz doble

Enunciado. Resuelve y explica qué significa el resultado.

\[x^2+4x+4=0\]
Elección. El discriminante decide cuántas raíces reales distintas existen.
  1. \[\Delta=4^2-4\cdot1\cdot4=0\]
  2. \[x=\frac{-4}{2}=-2\]
Resultado.
\[S=\{-2\}\quad\text{raíz doble}\]
Comprobación. x²+4x+4=(x+2)², por eso el mismo factor aparece dos veces.
M16Consolidación

Discriminante negativo

Enunciado. Estudia el número de soluciones reales sin terminar la fórmula.

\[x^2-2x+5=0\]
Elección. Basta calcular Δ porque solo se pregunta el número de soluciones.
  1. \[\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=-16\]
  2. \[\Delta<0\]
Resultado.

No tiene soluciones reales.

Comprobación. La parábola asociada no corta al eje x.
M17Consolidación

Discriminante nulo

Enunciado. Estudia el número de soluciones reales y localiza la raíz.

\[4x^2-4x+1=0\]
Elección. Calculamos Δ y, al ser cero, obtenemos una raíz doble.
  1. \[\Delta=(-4)^2-4\cdot4\cdot1=0\]
  2. \[x=\frac{-(-4)}{2\cdot4}=\frac12\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac12\right\}\quad\text{raíz doble}\]
Comprobación. 4x²−4x+1=(2x−1)².

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5. Factorización, Viète y comprobación

Si las raíces son x₁ y x₂, una cuadrática puede escribirse como a(x−x₁)(x−x₂)=0. Además,

\[x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca\]

Estas relaciones sirven para reconocer factores, construir una ecuación y detectar resultados imposibles sin repetir toda la resolución.

M18Consolidación

Factorizar un trinomio mónico

Enunciado. Resuelve sin fórmula general.

\[x^2-8x+15=0\]
Elección. Buscamos dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea −8.
  1. \[-3\cdot(-5)=15,\quad -3+(-5)=-8\]
  2. \[x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\]
  3. \[x-3=0\quad\text{o}\quad x-5=0\]
Resultado.
\[S=\{3,5\}\]
Comprobación. 3+5=8 y 3·5=15, de acuerdo con Viète.
M19Consolidación

Factorizar con raíces de signos distintos

Enunciado. Resuelve por factorización.

\[x^2+x-12=0\]
Elección. El producto es negativo, así que los dos números buscados tienen signos distintos.
  1. \[4\cdot(-3)=-12,\quad 4+(-3)=1\]
  2. \[x^2+x-12=(x+4)(x-3)\]
  3. \[x+4=0\quad\text{o}\quad x-3=0\]
Resultado.
\[S=\{-4,3\}\]
Comprobación. (−4)²−4−12=0 y 3²+3−12=0.
M20Consolidación

Reconocer una diferencia de cuadrados

Enunciado. Resuelve por el camino más corto.

\[x^2-16=0\]
Elección. 16=4². Aplicamos A²−B²=(A−B)(A+B).
  1. \[x^2-16=(x-4)(x+4)\]
  2. \[x-4=0\quad\text{o}\quad x+4=0\]
Resultado.
\[S=\{-4,4\}\]
Comprobación. Es equivalente a despejar x²=16 y escribir x=±4.
M21Ampliación

Construir una ecuación a partir de sus raíces

Enunciado. Construye una ecuación de segundo grado mónica cuyas raíces sean 3 y −2.

Estrategia. Cada raíz r produce un factor x−r.
  1. \[(x-3)[x-(-2)]=0\]
  2. \[(x-3)(x+2)=0\]
Conclusión.
\[x^2-x-6=0\]
Control. Por Viète, 3+(−2)=1=−b/a y 3·(−2)=−6=c/a.

6. Ecuaciones con paréntesis, cuadrados y fracciones

La ecuación no siempre llega preparada. Primero se simplifica con operaciones equivalentes; después se clasifica. Si un cuadrado ya está aislado, desarrollarlo puede ser un rodeo. Si hay denominadores numéricos, se eliminan multiplicando todos los términos por el mcm.

M22Consolidación

Desarrollar productos antes de resolver

Enunciado. Resuelve.

\[(x+3)(x-2)=10\]
Elección. Primero desarrollamos, reducimos e igualamos a cero.
  1. \[x^2+x-6=10\]
  2. \[x^2+x-16=0\]
  3. \[\Delta=1+64=65\]
  4. \[x=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2}\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{-1-\sqrt{65}}2,\frac{-1+\sqrt{65}}2\right\}\]
Comprobación. Las raíces son aproximadamente −4,531 y 3,531; su suma es −1 y su producto −16.
M23Consolidación

Aprovechar un cuadrado ya aislado

Enunciado. Resuelve por el camino más corto.

\[(x-4)^2=25\]
Elección. No desarrollamos: extraemos la raíz en los dos sentidos.
  1. \[x-4=\pm5\]
  2. \[x=4\pm5\]
  3. \[x=9\quad\text{o}\quad x=-1\]
Resultado.
\[S=\{-1,9\}\]
Comprobación. (9−4)²=25 y (−1−4)²=25.
M24Consolidación

Aislar un binomio al cuadrado

Enunciado. Resuelve.

\[2(x+1)^2-8=0\]
Elección. Aislamos el cuadrado antes de desarrollar.
  1. \[2(x+1)^2=8\]
  2. \[(x+1)^2=4\]
  3. \[x+1=\pm2\]
  4. \[x=1\quad\text{o}\quad x=-3\]
Resultado.
\[S=\{-3,1\}\]
Comprobación. En ambos casos (x+1)²=4.
M25Consolidación

Eliminar un denominador constante

Enunciado. Resuelve.

\[\frac{x^2-9}{3}=0\]
Elección. Multiplicamos ambos miembros por 3, que es distinto de cero.
  1. \[x^2-9=0\]
  2. \[x^2=9\]
  3. \[x=\pm3\]
Resultado.
\[S=\{-3,3\}\]
Comprobación. El denominador no contiene x, por lo que no introduce restricciones.
M26Consolidación

Despejar con coeficiente fraccionario

Enunciado. Resuelve.

\[\frac{x^2}{2}-8=0\]
Elección. Aislamos x² y multiplicamos por 2.
  1. \[\frac{x^2}{2}=8\]
  2. \[x^2=16\]
  3. \[x=\pm4\]
Resultado.
\[S=\{-4,4\}\]
Comprobación. 16/2−8=0 para x=4 y para x=−4.
M27Consolidación

Ordenar después de quitar denominadores

Enunciado. Resuelve.

\[\frac{x^2-5x}{2}=3\]
Elección. Multiplicamos por 2, pasamos todo al primer miembro y factorizamos.
  1. \[x^2-5x=6\]
  2. \[x^2-5x-6=0\]
  3. \[(x-6)(x+1)=0\]
  4. \[x=6\quad\text{o}\quad x=-1\]
Resultado.
\[S=\{-1,6\}\]
Comprobación. Para x=6, (36−30)/2=3; para x=−1, (1+5)/2=3.
M28Transferencia

Reducir una aparente ecuación complicada

Enunciado. Resuelve.

\[3(x-2)^2=2x^2+12\]
Modelo y dominio. Desarrollamos con cuidado y reducimos antes de elegir método.
  1. \[3(x^2-4x+4)=2x^2+12\]
  2. \[3x^2-12x+12=2x^2+12\]
  3. \[x^2-12x=0\]
  4. \[x(x-12)=0\]
Respuesta.
\[S=\{0,12\}\]
Revisión del contexto. Para x=0 ambos miembros valen 12; para x=12 ambos valen 300.
M29Ampliación

Coeficientes fraccionarios

Enunciado. Resuelve y da las soluciones exactas.

\[\frac{x^2}{3}-\frac{5x}{6}=1\]
Estrategia. El mcm de 3 y 6 es 6. Multiplicamos toda la ecuación por 6.
  1. \[2x^2-5x=6\]
  2. \[2x^2-5x-6=0\]
  3. \[\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-6)=73\]
  4. \[x=\frac{5\pm\sqrt{73}}4\]
Conclusión.
\[S=\left\{\frac{5-\sqrt{73}}4,\frac{5+\sqrt{73}}4\right\}\]
Control. La suma de las raíces es 5/2 y el producto −3, como exigen −b/a y c/a.
M30Ampliación

Simplificar una raíz no exacta

Enunciado. Resuelve y simplifica el radical.

\[2x^2-4x-3=0\]
Estrategia. Aplicamos la fórmula y simplificamos √40 antes de dar el resultado.
  1. \[\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-3)=40\]
  2. \[x=\frac{4\pm\sqrt{40}}4\]
  3. \[\sqrt{40}=2\sqrt{10}\]
  4. \[x=1\pm\frac{\sqrt{10}}2\]
Conclusión.
\[S=\left\{1-\frac{\sqrt{10}}2,1+\frac{\sqrt{10}}2\right\}\]
Control. Las raíces suman 2 y multiplican −3/2.

7. Problemas con ecuaciones de segundo grado

Datos → incógnita y dominio → relación → ecuación → raíces → filtro contextual → comprobación.

Una raíz puede resolver la ecuación y, aun así, no responder al problema. Longitudes y tiempos del fenómeno suelen exigir valores no negativos; un problema puramente numérico puede admitir raíces negativas.

M31Transferencia

Dos enteros consecutivos

Enunciado. El producto de dos números enteros consecutivos es 72. Halla todas las parejas.

Modelo y dominio. Si el primero es x, el siguiente es x+1.
  1. \[x(x+1)=72\]
  2. \[x^2+x-72=0\]
  3. \[(x+9)(x-8)=0\]
  4. \[x=-9\quad\text{o}\quad x=8\]
Respuesta.

Las parejas son (−9, −8) y (8, 9).

Revisión del contexto. (−9)·(−8)=72 y 8·9=72.
M32Transferencia

Dimensiones de un rectángulo

Enunciado. El área de un rectángulo es 48 cm² y la base mide 4 cm más que la altura. Halla sus dimensiones.

Modelo y dominio. Tomamos x>0 como altura; la base es x+4. La ecuación no factoriza con enteros.
  1. \[x(x+4)=48\]
  2. \[x^2+4x-48=0\]
  3. \[\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-48)=208\]
  4. \[x=\frac{-4\pm4\sqrt{13}}2=-2\pm2\sqrt{13}\]
Respuesta.

Se descarta la raíz negativa. La altura mide −2+2√13 cm, aproximadamente 5,21 cm, y la base 2+2√13 cm, aproximadamente 9,21 cm.

Revisión del contexto. (−2+2√13)(2+2√13)=52−4=48 cm².
M33Transferencia

Un número y su cuadrado

Enunciado. Un número aumentado en su cuadrado da 30. Halla todos los números.

Modelo y dominio. La frase se traduce como x+x²=30.
  1. \[x^2+x-30=0\]
  2. \[(x+6)(x-5)=0\]
  3. \[x=-6\quad\text{o}\quad x=5\]
Respuesta.
\[S=\{-6,5\}\]
Revisión del contexto. −6+(−6)²=30 y 5+5²=30.
M34Transferencia

Lado de un cuadrado a partir de la diagonal

Enunciado. La diagonal de un cuadrado mide 10 cm. Halla el lado.

Modelo y dominio. El lado x es positivo y forma un triángulo rectángulo con otro lado igual.
  1. \[x^2+x^2=10^2\]
  2. \[2x^2=100\]
  3. \[x^2=50\]
  4. \[x=\pm5\sqrt2\]
Respuesta.

Por ser una longitud, x>0. El lado mide 5√2 cm, aproximadamente 7,07 cm.

Revisión del contexto. (5√2)²+(5√2)²=50+50=100=10².
M35Transferencia

Dos soluciones válidas en un problema numérico

Enunciado. La suma de un número y su cuadrado es 56. Halla todos los números.

Modelo y dominio. No hay condición de positividad, así que debemos conservar las dos raíces si cumplen.
  1. \[x^2+x-56=0\]
  2. \[(x+8)(x-7)=0\]
  3. \[x=-8\quad\text{o}\quad x=7\]
Respuesta.
\[S=\{-8,7\}\]
Revisión del contexto. −8+64=56 y 7+49=56.
M36Transferencia

Rectángulo con condición de dominio

Enunciado. La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura y el área es 84 cm². Halla sus dimensiones.

Modelo y dominio. Sea x>0 la altura. Entonces la base es x+5.
  1. \[x(x+5)=84\]
  2. \[x^2+5x-84=0\]
  3. \[(x+12)(x-7)=0\]
  4. \[x=-12\quad\text{o}\quad x=7\]
Respuesta.

La altura mide 7 cm y la base 12 cm.

Revisión del contexto. 7·12=84 cm²; la raíz −12 se descarta por el contexto.
M37Transferencia

Suma de cuadrados de consecutivos

Enunciado. La suma de los cuadrados de dos enteros consecutivos es 365. Halla todas las parejas.

Modelo y dominio. Los enteros son x y x+1; se elevan al cuadrado por separado.
  1. \[x^2+(x+1)^2=365\]
  2. \[2x^2+2x-364=0\]
  3. \[x^2+x-182=0\]
  4. \[(x+14)(x-13)=0\]
  5. \[x=-14\quad\text{o}\quad x=13\]
Respuesta.

Las parejas son (−14, −13) y (13, 14).

Revisión del contexto. 196+169=365 en los dos casos.
M38Transferencia

Área final de un jardín cuadrado

Enunciado. Al aumentar en 3 m el lado de un jardín cuadrado, su área pasa a ser 100 m². ¿Cuánto medía inicialmente el lado?

Modelo y dominio. Sea x>0 el lado inicial; el nuevo lado es x+3.
  1. \[(x+3)^2=100\]
  2. \[x+3=\pm10\]
  3. \[x=7\quad\text{o}\quad x=-13\]
Respuesta.

El lado inicial medía 7 m.

Revisión del contexto. 7+3=10 y 10²=100 m²; −13 no representa una longitud.
M39Transferencia

Triángulo rectángulo 5-12-13

Enunciado. Un triángulo rectángulo tiene catetos x y x+7 e hipotenusa 13. Halla los catetos.

Modelo y dominio. Los catetos son positivos y satisfacen el teorema de Pitágoras.
  1. \[x^2+(x+7)^2=13^2\]
  2. \[2x^2+14x-120=0\]
  3. \[x^2+7x-60=0\]
  4. \[(x+12)(x-5)=0\]
  5. \[x=-12\quad\text{o}\quad x=5\]
Respuesta.

Los catetos miden 5 y 12.

Revisión del contexto. 5²+12²=25+144=169=13².
M40Transferencia

Elegir la raíz que pide el enunciado

Enunciado. Un número positivo cumple que su cuadrado menos el triple del número es 40. Hállalo.

Modelo y dominio. La condición x>0 forma parte del modelo y se aplica al final.
  1. \[x^2-3x=40\]
  2. \[x^2-3x-40=0\]
  3. \[(x-8)(x+5)=0\]
  4. \[x=8\quad\text{o}\quad x=-5\]
Respuesta.

El número positivo es 8.

Revisión del contexto. 8²−3·8=64−24=40.

8. Ecuaciones bicuadradas · ampliación y puente a 4.º ESO

Una bicuadrada tiene la forma ax⁴+bx²+c=0, con a≠0. El cambio t=x² la convierte en una cuadrática, pero incorpora una condición que no puede olvidarse.

\[t=x^2\quad\Longrightarrow\quad t\ge0\]
Vuelta de la variable auxiliar t a la incógnita x.
Valor obtenido para tConsecuencia en números reales
t>0x=±√t, dos raíces opuestas.
t=0x=0, una raíz en el conjunto solución.
t<0Se descarta porque x² no puede ser negativo.
M41Ampliación

Bicuadrada con cuatro raíces enteras

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^4-5x^2+4=0\]
Estrategia. Solo aparecen x⁴ y x². Hacemos t=x², con la condición t≥0.
  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2-5t+4=0\]
  3. \[(t-1)(t-4)=0\]
  4. \[t=1\quad\text{o}\quad t=4\]
  5. \[x^2=1\Rightarrow x=\pm1\]
  6. \[x^2=4\Rightarrow x=\pm2\]
Conclusión.
\[S=\{-2,-1,1,2\}\]
Control. Cada raíz elevada a la cuarta menos cinco veces su cuadrado más cuatro vale cero.
M42Ampliación

Bicuadrada con dos valores positivos de t

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^4-10x^2+9=0\]
Estrategia. Sustituimos t=x² y resolvemos la cuadrática auxiliar.
  1. \[t^2-10t+9=0\]
  2. \[(t-1)(t-9)=0\]
  3. \[t=1\quad\text{o}\quad t=9\]
  4. \[x=\pm1\quad\text{o}\quad x=\pm3\]
Conclusión.
\[S=\{-3,-1,1,3\}\]
Control. Las raíces aparecen por pares opuestos porque la ecuación solo contiene potencias pares.
M43Ampliación

Bicuadrada factorizable

Enunciado. Resuelve.

\[x^4-13x^2+36=0\]
Estrategia. El cambio t=x² reduce el grado y permite factorizar.
  1. \[t^2-13t+36=0\]
  2. \[(t-4)(t-9)=0\]
  3. \[t=4\quad\text{o}\quad t=9\]
  4. \[x=\pm2\quad\text{o}\quad x=\pm3\]
Conclusión.
\[S=\{-3,-2,2,3\}\]
Control. 2⁴−13·2²+36=0 y 3⁴−13·3²+36=0; los opuestos también cumplen.
M44Ampliación

Bicuadrada incompleta por factor común

Enunciado. Resuelve sin hacer un cambio innecesario.

\[x^4-4x^2=0\]
Estrategia. Los dos términos contienen x². El factor común es el camino más directo.
  1. \[x^2(x^2-4)=0\]
  2. \[x^2=0\quad\text{o}\quad x^2-4=0\]
  3. \[x=0\quad\text{o}\quad x=\pm2\]
Conclusión.
\[S=\{-2,0,2\}\]
Control. x=0 anula el primer factor y x=±2 anula el segundo.
M45Ampliación

Descartar un valor negativo de t

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^4+3x^2-4=0\]
Estrategia. Con t=x² debemos conservar la restricción t≥0.
  1. \[t^2+3t-4=0\]
  2. \[(t+4)(t-1)=0\]
  3. \[t=-4\quad\text{o}\quad t=1\]
  4. \[t=-4\;\text{se descarta}\]
  5. \[x^2=1\Rightarrow x=\pm1\]
Conclusión.
\[S=\{-1,1\}\]
Control. No existe ningún real cuyo cuadrado sea −4.
M46Ampliación

Bicuadrada con valores alejados

Enunciado. Resuelve.

\[x^4-20x^2+64=0\]
Estrategia. Usamos t=x² y conservamos t≥0.
  1. \[t^2-20t+64=0\]
  2. \[(t-16)(t-4)=0\]
  3. \[t=16\quad\text{o}\quad t=4\]
  4. \[x=\pm4\quad\text{o}\quad x=\pm2\]
Conclusión.
\[S=\{-4,-2,2,4\}\]
Control. La suma de los valores de t es 20 y su producto 64.
M47Ampliación

Una rama auxiliar no produce raíces reales

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^4-2x^2-8=0\]
Estrategia. El cambio t=x² conduce a una cuadrática con una raíz negativa.
  1. \[t^2-2t-8=0\]
  2. \[(t-4)(t+2)=0\]
  3. \[t=4\quad\text{o}\quad t=-2\]
  4. \[t=-2\;\text{se descarta}\]
  5. \[x^2=4\Rightarrow x=\pm2\]
Conclusión.
\[S=\{-2,2\}\]
Control. 2⁴−2·2²−8=16−8−8=0.
M48Ampliación

Factor común antes del cambio

Enunciado. Resuelve.

\[2x^4-18x^2=0\]
Estrategia. Extraer 2x² evita resolver una cuadrática auxiliar.
  1. \[2x^2(x^2-9)=0\]
  2. \[x^2=0\quad\text{o}\quad x^2=9\]
  3. \[x=0\quad\text{o}\quad x=\pm3\]
Conclusión.
\[S=\{-3,0,3\}\]
Control. La multiplicidad de x=0 no obliga a escribirla dos veces en el conjunto solución.
M49Ampliación

Bicuadrada sin solución real

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^4+5x^2+4=0\]
Estrategia. El cambio t=x² produce dos valores negativos, incompatibles con t≥0.
  1. \[t^2+5t+4=0\]
  2. \[(t+1)(t+4)=0\]
  3. \[t=-1\quad\text{o}\quad t=-4\]
Conclusión.

No tiene soluciones reales.

Control. Además, x⁴≥0 y 5x²≥0, por lo que el primer miembro es siempre al menos 4.
M50Ampliación

Bicuadrada con raíces irracionales

Enunciado. Resuelve.

\[x^4-6x^2+8=0\]
Estrategia. Los dos valores de t son positivos, pero uno no es un cuadrado perfecto.
  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2-6t+8=0\]
  3. \[(t-2)(t-4)=0\]
  4. \[t=2\quad\text{o}\quad t=4\]
  5. \[x=\pm\sqrt2\quad\text{o}\quad x=\pm2\]
Conclusión.
\[S=\{-2,-\sqrt2,\sqrt2,2\}\]
Control. No se debe aproximar √2 si el enunciado pide soluciones exactas.
M51Ampliación

Diferencia de cuadrados en cuarto grado

Enunciado. Resuelve en números reales.

\[x^4-25=0\]
Estrategia. Vemos x⁴−5² como una diferencia de cuadrados.
  1. \[(x^2-5)(x^2+5)=0\]
  2. \[x^2=5\quad\text{o}\quad x^2=-5\]
  3. \[x^2=-5\;\text{no tiene raíz real}\]
  4. \[x=\pm\sqrt5\]
Conclusión.
\[S=\{-\sqrt5,\sqrt5\}\]
Control. (±√5)⁴=25.

Transferencia con parámetro

Este último modelo es de ampliación. No se usa para convertir el recurso en una guía general de 4.º ESO, sino para mostrar qué información aporta el discriminante cuando un coeficiente no es numérico.

M52Ampliación

Parámetro para obtener una raíz doble

Enunciado. Determina m para que la ecuación tenga una raíz real doble y halla esa raíz.

\[x^2-2(m+1)x+m^2=0\]
Estrategia. Una raíz doble exige Δ=0.
  1. \[\Delta=[-2(m+1)]^2-4m^2\]
  2. \[\Delta=4[(m+1)^2-m^2]=4(2m+1)\]
  3. \[4(2m+1)=0\Rightarrow m=-\frac12\]
  4. \[x^2-x+\frac14=0\]
  5. \[\left(x-\frac12\right)^2=0\]
Conclusión.

m=−1/2 y la raíz doble es x=1/2.

Control. Con m=−1/2 el discriminante vale exactamente cero.

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9. Práctica final graduada

Resuelve primero sin abrir las soluciones. En las tareas de nivel 3 y en los problemas, escribe la decisión que tomas antes de operar; esa línea permite distinguir un error de método de un error de cálculo.

  1. P01 · Raíz directa

    Resuelve.

    \[x^2-81=0\]
  2. P02 · Simplificación

    Resuelve.

    \[5x^2-45=0\]
  3. P03 · Sin solución real

    Resuelve en números reales.

    \[3x^2+12=0\]
  4. P04 · Factor común

    Resuelve.

    \[2x^2-10x=0\]
  5. P05 · Factor común negativo

    Resuelve.

    \[-4x^2-20x=0\]
  6. P06 · Factor común sin coeficiente

    Resuelve.

    \[x^2-11x=0\]
  7. P07 · Clasificación

    Indica a, b, c, el tipo y el método preferente.

    \[4x^2-1=0\]
  8. P08 · Clasificación

    Indica a, b, c, el tipo y el método preferente.

    \[-x^2+6x=0\]
  9. P09 · Factorización

    Resuelve.

    \[x^2-7x+10=0\]
  10. P10 · Raíz fraccionaria

    Resuelve.

    \[2x^2+x-6=0\]
  11. P11 · Dos signos distintos

    Resuelve.

    \[3x^2-5x-2=0\]
  12. P12 · Raíz doble fraccionaria

    Resuelve.

    \[4x^2+4x+1=0\]
  13. P13 · Discriminante negativo

    Resuelve en números reales.

    \[2x^2+3x+5=0\]
  14. P14 · Simplificar primero

    Resuelve.

    \[5x^2-20x+15=0\]
  15. P15 · Raíces irracionales

    Resuelve exactamente.

    \[x^2-2x-7=0\]
  16. P16 · Factorización no mónica

    Resuelve.

    \[6x^2-x-2=0\]
  17. P17 · Trinomio cuadrado perfecto

    Resuelve.

    \[9x^2-12x+4=0\]
  18. P18 · Soluciones exactas no simplificables

    Resuelve.

    \[3x^2+7x+1=0\]
  19. P19 · Producto de binomios

    Resuelve.

    \[(x+1)(x-6)=14\]
  20. P20 · Producto con coeficiente

    Resuelve.

    \[(2x-1)(x+3)=5\]
  21. P21 · Cuadrado y término lineal

    Resuelve.

    \[(x-2)^2=2x+3\]
  22. P22 · Cuadrado desarrollado

    Resuelve.

    \[(x+4)^2=3x+28\]
  23. P23 · Denominador común

    Resuelve.

    \[\frac{x^2-3x}{4}=1\]
  24. P24 · Dos denominadores

    Resuelve.

    \[\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}=1\]
  25. P25 · Fracción frente a expresión lineal

    Resuelve.

    \[\frac{x^2+2x}{3}=\frac{x+4}{2}\]
  26. P26 · Reducir tras desarrollar

    Resuelve.

    \[2(x-3)^2=x^2+1\]
  27. P27 · Bicuadrada con cuatro enteras

    Resuelve en números reales.

    \[x^4-17x^2+16=0\]
  28. P28 · Bicuadrada con una rama descartada

    Resuelve en números reales.

    \[x^4-8x^2-9=0\]
  29. P29 · Bicuadrada cuadrado perfecto

    Resuelve en números reales.

    \[x^4-10x^2+25=0\]
  30. P30 · Bicuadrada con factor común

    Resuelve.

    \[2x^4-10x^2=0\]
  31. P31 · Cambio de variable

    Resuelve.

    \[x^4+x^2-12=0\]
  32. P32 · Bicuadrada sin raíces reales

    Resuelve en números reales.

    \[3x^4+6x^2+3=0\]
  33. P33 · Rectángulo

    La base de un rectángulo mide 4 cm más que la altura y su área es 96 cm². Halla sus dimensiones.

  34. P34 · Consecutivos al cuadrado

    La suma de los cuadrados de dos enteros consecutivos es 313. Halla todas las parejas.

  35. P35 · Modelo temporal

    La altura de una pelota viene dada por h(t)=−5t²+20t+25, con t en s y h en m. ¿Cuándo llega al suelo?

  36. P36 · Triángulo rectángulo

    Un triángulo rectángulo tiene catetos x y x+7 e hipotenusa 17. Halla los catetos.

Ver las 36 soluciones razonadas

P01 · Raíz directa

  1. \[x^2=81\]
  2. \[x=\pm9\]
Resultado.
\[S=\{-9,9\}\]
Control. Ambas raíces tienen cuadrado 81.

P02 · Simplificación

  1. \[x^2=9\]
  2. \[x=\pm3\]
Resultado.
\[S=\{-3,3\}\]
Control. 5·9−45=0.

P03 · Sin solución real

  1. \[x^2=-4\]
Resultado.

No tiene solución real.

Control. Un cuadrado real no es negativo.

P04 · Factor común

  1. \[2x(x-5)=0\]
  2. \[x=0\;\text{o}\;x=5\]
Resultado.
\[S=\{0,5\}\]
Control. Las dos raíces anulan un factor.

P05 · Factor común negativo

  1. \[-4x(x+5)=0\]
  2. \[x=0\;\text{o}\;x=-5\]
Resultado.
\[S=\{-5,0\}\]
Control. Sustitución directa correcta.

P06 · Factor común sin coeficiente

  1. \[x(x-11)=0\]
  2. \[x=0\;\text{o}\;x=11\]
Resultado.
\[S=\{0,11\}\]
Control. Producto nulo.

P07 · Clasificación

  1. \[a=4,\;b=0,\;c=-1\]
Resultado.

Incompleta sin b; raíz directa o diferencia de cuadrados.

Control. 4x²−1=(2x−1)(2x+1).

P08 · Clasificación

  1. \[a=-1,\;b=6,\;c=0\]
Resultado.

Incompleta sin c; factor común x.

Control. El coeficiente principal es −1.

P09 · Factorización

  1. \[(x-2)(x-5)=0\]
Resultado.
\[S=\{2,5\}\]
Control. 2+5=7 y 2·5=10.

P10 · Raíz fraccionaria

  1. \[(2x-3)(x+2)=0\]
Resultado.
\[S=\left\{-2,\frac32\right\}\]
Control. La suma es −1/2 y el producto −3.

P11 · Dos signos distintos

  1. \[(3x+1)(x-2)=0\]
Resultado.
\[S=\left\{-\frac13,2\right\}\]
Control. La suma es 5/3 y el producto −2/3.

P12 · Raíz doble fraccionaria

  1. \[(2x+1)^2=0\]
Resultado.
\[S=\left\{-\frac12\right\}\]
Control. Δ=0.

P13 · Discriminante negativo

  1. \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot5=-31\]
Resultado.

No tiene solución real.

Control. Δ<0.

P14 · Simplificar primero

  1. \[x^2-4x+3=0\]
  2. \[(x-1)(x-3)=0\]
Resultado.
\[S=\{1,3\}\]
Control. Dividir por 5 conserva las soluciones.

P15 · Raíces irracionales

  1. \[\Delta=32\]
  2. \[x=\frac{2\pm4\sqrt2}{2}=1\pm2\sqrt2\]
Resultado.
\[S=\{1-2\sqrt2,1+2\sqrt2\}\]
Control. La suma es 2 y el producto −7.

P16 · Factorización no mónica

  1. \[(3x-2)(2x+1)=0\]
Resultado.
\[S=\left\{-\frac12,\frac23\right\}\]
Control. El producto es −1/3=c/a.

P17 · Trinomio cuadrado perfecto

  1. \[(3x-2)^2=0\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac23\right\}\]
Control. Δ=0.

P18 · Soluciones exactas no simplificables

  1. \[\Delta=37\]
  2. \[x=\frac{-7\pm\sqrt{37}}6\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{-7-\sqrt{37}}6,\frac{-7+\sqrt{37}}6\right\}\]
Control. La suma es −7/3 y el producto 1/3.

P19 · Producto de binomios

  1. \[x^2-5x-6=14\]
  2. \[x^2-5x-20=0\]
  3. \[x=\frac{5\pm\sqrt{105}}2\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{5-\sqrt{105}}2,\frac{5+\sqrt{105}}2\right\}\]
Control. La suma es 5 y el producto −20.

P20 · Producto con coeficiente

  1. \[2x^2+5x-3=5\]
  2. \[2x^2+5x-8=0\]
  3. \[x=\frac{-5\pm\sqrt{89}}4\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{-5-\sqrt{89}}4,\frac{-5+\sqrt{89}}4\right\}\]
Control. La suma es −5/2 y el producto −4.

P21 · Cuadrado y término lineal

  1. \[x^2-4x+4=2x+3\]
  2. \[x^2-6x+1=0\]
  3. \[x=3\pm2\sqrt2\]
Resultado.
\[S=\{3-2\sqrt2,3+2\sqrt2\}\]
Control. La suma es 6 y el producto 1.

P22 · Cuadrado desarrollado

  1. \[x^2+8x+16=3x+28\]
  2. \[x^2+5x-12=0\]
  3. \[x=\frac{-5\pm\sqrt{73}}2\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{-5-\sqrt{73}}2,\frac{-5+\sqrt{73}}2\right\}\]
Control. La suma es −5 y el producto −12.

P23 · Denominador común

  1. \[x^2-3x=4\]
  2. \[x^2-3x-4=0\]
  3. \[(x-4)(x+1)=0\]
Resultado.
\[S=\{-1,4\}\]
Control. Para ambas raíces el numerador vale 4.

P24 · Dos denominadores

  1. \[2x^2-3x=6\]
  2. \[2x^2-3x-6=0\]
  3. \[x=\frac{3\pm\sqrt{57}}4\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{3-\sqrt{57}}4,\frac{3+\sqrt{57}}4\right\}\]
Control. Multiplicar por 6 elimina todos los denominadores.

P25 · Fracción frente a expresión lineal

  1. \[2x^2+4x=3x+12\]
  2. \[2x^2+x-12=0\]
  3. \[x=\frac{-1\pm\sqrt{97}}4\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{-1-\sqrt{97}}4,\frac{-1+\sqrt{97}}4\right\}\]
Control. El mcm 6 se aplicó a los dos miembros completos.

P26 · Reducir tras desarrollar

  1. \[2x^2-12x+18=x^2+1\]
  2. \[x^2-12x+17=0\]
  3. \[x=6\pm\sqrt{19}\]
Resultado.
\[S=\{6-\sqrt{19},6+\sqrt{19}\}\]
Control. La suma es 12 y el producto 17.

P27 · Bicuadrada con cuatro enteras

  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2-17t+16=0\]
  3. \[t=1\;\text{o}\;t=16\]
  4. \[x=\pm1\;\text{o}\;x=\pm4\]
Resultado.
\[S=\{-4,-1,1,4\}\]
Control. Los dos valores de t son no negativos.

P28 · Bicuadrada con una rama descartada

  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2-8t-9=0\]
  3. \[t=9\;\text{o}\;t=-1\]
  4. \[t=-1\;\text{se descarta}\]
  5. \[x=\pm3\]
Resultado.
\[S=\{-3,3\}\]
Control. t=−1 no es un cuadrado real.

P29 · Bicuadrada cuadrado perfecto

  1. \[(x^2-5)^2=0\]
  2. \[x^2=5\]
  3. \[x=\pm\sqrt5\]
Resultado.
\[S=\{-\sqrt5,\sqrt5\}\]
Control. Cada raíz de x es doble en el polinomio de cuarto grado.

P30 · Bicuadrada con factor común

  1. \[2x^2(x^2-5)=0\]
  2. \[x=0\;\text{o}\;x=\pm\sqrt5\]
Resultado.
\[S=\{-\sqrt5,0,\sqrt5\}\]
Control. No se pierde la raíz x=0 al dividir.

P31 · Cambio de variable

  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2+t-12=0\]
  3. \[t=3\;\text{o}\;t=-4\]
  4. \[t=-4\;\text{se descarta}\]
  5. \[x=\pm\sqrt3\]
Resultado.
\[S=\{-\sqrt3,\sqrt3\}\]
Control. Solo t=3 cumple t≥0.

P32 · Bicuadrada sin raíces reales

  1. \[3(x^2+1)^2=0\]
  2. \[x^2=-1\]
Resultado.

No tiene solución real.

Control. El primer miembro es positivo para todo x real.

P33 · Rectángulo

  1. \[x(x+4)=96\]
  2. \[x^2+4x-96=0\]
  3. \[(x+12)(x-8)=0\]
  4. \[x=-12\quad\text{o}\quad x=8\]
  5. \[x=-12\;\text{se descarta como longitud}\]
Resultado.

Altura 8 cm y base 12 cm.

Control. 8·12=96 cm².

P34 · Consecutivos al cuadrado

  1. \[x^2+(x+1)^2=313\]
  2. \[x^2+x-156=0\]
  3. \[(x+13)(x-12)=0\]
Resultado.

Parejas (−13, −12) y (12, 13).

Control. 169+144=313.

P35 · Modelo temporal

  1. \[-5t^2+20t+25=0\]
  2. \[t^2-4t-5=0\]
  3. \[(t-5)(t+1)=0\]
  4. \[t=5\;\text{o}\;t=-1\]
Resultado.

Llega al suelo a los 5 s.

Control. Se descarta t=−1 s porque el modelo comienza en t=0.

P36 · Triángulo rectángulo

  1. \[x^2+(x+7)^2=17^2\]
  2. \[x^2+7x-120=0\]
  3. \[(x+15)(x-8)=0\]
  4. \[x=-15\quad\text{o}\quad x=8\]
  5. \[x=-15\;\text{se descarta como longitud}\]
Resultado.

Los catetos miden 8 y 15.

Control. 8²+15²=64+225=289=17².

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10. Hoja de seguimiento

Marca solo como dominado un bloque si puedes explicar el método y repetir el ejercicio sin copiar la corrección.

Registro imprimible para la práctica P01–P36.
EjerciciosPrimer intentoCorrecciónSegundo intento y error a evitar
P01, P02, P03
P04, P05, P06
P07, P08, P09
P10, P11, P12
P13, P14, P15
P16, P17, P18
P19, P20, P21
P22, P23, P24
P25, P26, P27
P28, P29, P30
P31, P32, P33
P34, P35, P36

11. Dos exámenes de elaboración propia

No son pruebas oficiales. Reproducen habilidades habituales de 3.º ESO y reservan la bicuadrada como ampliación. Cada examen suma exactamente 10 puntos.

Examen A · consolidación

Tiempo orientativo 55 minutos. Se valora el método, la exactitud, la comprobación y la interpretación de los problemas.
  1. A01 · Incompleta0,75 puntos

    Resuelve.

    \[3x^2-27=0\]
  2. A02 · Factor común0,75 puntos

    Resuelve.

    \[2x^2+10x=0\]
  3. A03 · Factorización1,00 puntos

    Resuelve.

    \[x^2-9x+20=0\]
  4. A04 · Fórmula general1,25 puntos

    Resuelve exactamente.

    \[2x^2-3x-7=0\]
  5. A05 · Número de raíces0,75 puntos

    Estudia cuántas soluciones reales tiene.

    \[5x^2+2x+3=0\]
  6. A06 · Cuadrado y término lineal1,00 puntos

    Resuelve.

    \[(x-2)^2=3x+4\]
  7. A07 · Denominador1,00 puntos

    Resuelve.

    \[\frac{x^2-2x}{3}=8\]
  8. A08 · Bicuadrada1,25 puntos

    Resuelve en números reales.

    \[x^4-25x^2+144=0\]
  9. A09 · Problema de consecutivos1,25 puntos

    El producto de dos enteros consecutivos es 156. Halla todas las parejas.

  10. A10 · Problema de área1,00 puntos

    La base de un rectángulo mide 3 cm más que la altura y el área es 70 cm². Halla sus dimensiones.

Ver solución y criterio del examen A

A01 · Incompleta

  1. \[x^2=9\]
  2. \[x=\pm3\]
Resultado.
\[S=\{-3,3\}\]
Control. Dos raíces.

A02 · Factor común

  1. \[2x(x+5)=0\]
Resultado.
\[S=\{-5,0\}\]
Control. Producto nulo.

A03 · Factorización

  1. \[(x-4)(x-5)=0\]
Resultado.
\[S=\{4,5\}\]
Control. 4+5=9 y 4·5=20.

A04 · Fórmula general

  1. \[\Delta=65\]
  2. \[x=\frac{3\pm\sqrt{65}}4\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{3-\sqrt{65}}4,\frac{3+\sqrt{65}}4\right\}\]
Control. Suma 3/2 y producto −7/2.

A05 · Número de raíces

  1. \[\Delta=2^2-4\cdot5\cdot3=-56\]
Resultado.

No tiene soluciones reales.

Control. Δ<0.

A06 · Cuadrado y término lineal

  1. \[x^2-4x+4=3x+4\]
  2. \[x^2-7x=0\]
  3. \[x(x-7)=0\]
Resultado.
\[S=\{0,7\}\]
Control. Ambas sustituciones cumplen.

A07 · Denominador

  1. \[x^2-2x-24=0\]
  2. \[(x-6)(x+4)=0\]
Resultado.
\[S=\{-4,6\}\]
Control. El numerador vale 24.

A08 · Bicuadrada

  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2-25t+144=0\]
  3. \[(t-9)(t-16)=0\]
  4. \[t=9\;\text{o}\;t=16\]
  5. \[x=\pm3\;\text{o}\;x=\pm4\]
Resultado.
\[S=\{-4,-3,3,4\}\]
Control. Los dos valores de t son positivos.

A09 · Problema de consecutivos

  1. \[x(x+1)=156\]
  2. \[x^2+x-156=0\]
  3. \[(x+13)(x-12)=0\]
Resultado.

Parejas (−13, −12) y (12, 13).

Control. Los dos productos valen 156.

A10 · Problema de área

  1. \[x(x+3)=70\]
  2. \[x^2+3x-70=0\]
  3. \[(x+10)(x-7)=0\]
  4. \[x=-10\quad\text{o}\quad x=7\]
  5. \[x=-10\;\text{se descarta como longitud}\]
Resultado.

Altura 7 cm y base 10 cm.

Control. 7·10=70 cm².

Examen B · transferencia

Tiempo orientativo 60 minutos. Las respuestas exactas con radicales no deben sustituirse por decimales salvo que se solicite.
  1. B01 · Clasificación0,75 puntos

    Indica a, b, c, el tipo y el método preferente.

    \[-2x^2+8=0\]
  2. B02 · Raíz directa0,75 puntos

    Resuelve.

    \[x^2-121=0\]
  3. B03 · Factor común0,75 puntos

    Resuelve.

    \[4x^2-12x=0\]
  4. B04 · Completa no mónica1,00 puntos

    Resuelve.

    \[3x^2+x-2=0\]
  5. B05 · Raíz doble0,75 puntos

    Resuelve y clasifica las raíces.

    \[9x^2+12x+4=0\]
  6. B06 · Paréntesis1,25 puntos

    Resuelve exactamente.

    \[(2x+1)(x-4)=3\]
  7. B07 · Fracciones1,00 puntos

    Resuelve.

    \[\frac{x^2}{2}-\frac{x}{3}=4\]
  8. B08 · Bicuadrada1,25 puntos

    Resuelve en números reales.

    \[x^4-7x^2+12=0\]
  9. B09 · Pitágoras1,25 puntos

    Un triángulo rectángulo tiene catetos x y x+4 e hipotenusa 20. Halla los catetos.

  10. B10 · Condición positiva1,25 puntos

    Un número positivo cumple que su cuadrado menos cinco veces el número es 84. Hállalo.

Ver solución y criterio del examen B

B01 · Clasificación

  1. \[a=-2,\;b=0,\;c=8\]
Resultado.

Incompleta sin b; conviene despejar x².

Control. El signo de a es negativo.

B02 · Raíz directa

  1. \[x^2=121\]
  2. \[x=\pm11\]
Resultado.
\[S=\{-11,11\}\]
Control. 11²=121.

B03 · Factor común

  1. \[4x(x-3)=0\]
Resultado.
\[S=\{0,3\}\]
Control. Producto nulo.

B04 · Completa no mónica

  1. \[(3x-2)(x+1)=0\]
Resultado.
\[S=\left\{-1,\frac23\right\}\]
Control. Suma −1/3 y producto −2/3.

B05 · Raíz doble

  1. \[(3x+2)^2=0\]
Resultado.
\[S=\left\{-\frac23\right\}\;\text{raíz doble}\]
Control. Δ=0.

B06 · Paréntesis

  1. \[2x^2-7x-4=3\]
  2. \[2x^2-7x-7=0\]
  3. \[x=\frac{7\pm\sqrt{105}}4\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{7-\sqrt{105}}4,\frac{7+\sqrt{105}}4\right\}\]
Control. Suma 7/2 y producto −7/2.

B07 · Fracciones

  1. \[3x^2-2x-24=0\]
  2. \[x=\frac{2\pm\sqrt{292}}6\]
  3. \[x=\frac{1\pm\sqrt{73}}3\]
Resultado.
\[S=\left\{\frac{1-\sqrt{73}}3,\frac{1+\sqrt{73}}3\right\}\]
Control. El radical se simplifica antes de responder.

B08 · Bicuadrada

  1. \[t=x^2\]
  2. \[t^2-7t+12=0\]
  3. \[(t-3)(t-4)=0\]
  4. \[t=3\;\text{o}\;t=4\]
  5. \[x=\pm\sqrt3\;\text{o}\;x=\pm2\]
Resultado.
\[S=\{-2,-\sqrt3,\sqrt3,2\}\]
Control. Cuatro raíces reales, dos de ellas irracionales.

B09 · Pitágoras

  1. \[x^2+(x+4)^2=400\]
  2. \[x^2+4x-192=0\]
  3. \[(x+16)(x-12)=0\]
  4. \[x=-16\quad\text{o}\quad x=12\]
  5. \[x=-16\;\text{se descarta como longitud}\]
Resultado.

Catetos 12 y 16.

Control. 12²+16²=144+256=400=20².

B10 · Condición positiva

  1. \[x^2-5x-84=0\]
  2. \[(x-12)(x+7)=0\]
  3. \[x=12\quad\text{o}\quad x=-7\]
  4. \[x=-7\;\text{se descarta por la condición positiva}\]
Resultado.

El número positivo es 12.

Control. 12²−5·12=84.

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12. Errores frecuentes y control final

Leer b sin su signo

En x²−5x+6=0, b=−5. Escribe los coeficientes antes de sustituir.

No igualar a cero

La fórmula y la factorización se aplican después de llevar todos los términos al mismo miembro.

Olvidar el ±

√25 es la raíz principal 5; al resolver la ecuación x²=25, las soluciones son x=5 y x=−5.

Dividir entre x

En x(x−7)=0, dividir por x elimina indebidamente la solución x=0.

Dar solo decimales

Si la raíz es irracional, conserva primero el valor exacto y aproxima después si aporta información.

Confundir ecuación y contexto

Una raíz negativa puede cumplir la ecuación y ser imposible como longitud o tiempo del fenómeno.

Quedarse en t

En una bicuadrada, t es auxiliar. Hay que imponer t≥0 y volver a x.

No comprobar

Una sustitución breve o las relaciones de Viète detectan muchos fallos de signo.

Forzar la fórmula

Despejar, factorizar o mantener un cuadrado aislado suele ser más claro cuando la estructura lo permite.

13. Ruta de estudio y frontera del clúster

Qué no se duplica. Este recurso profundiza en un único territorio: cuadráticas de 3.º ESO y bicuadradas como ampliación. La guía general conserva ecuaciones racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y el repaso de niveles superiores.

Cuando el error no está en la fórmula

Si el bloqueo aparece al ordenar, elegir método o interpretar las raíces, en las clases online de Marlu Educativa se trabaja sobre la resolución real del alumno con pizarra compartida y corrección paso a paso.

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14. Preguntas frecuentes

¿Hay que usar siempre la fórmula general?

No. Si falta el término lineal conviene despejar x²; si falta el término independiente suele ser mejor sacar factor común; y si el polinomio se reconoce con facilidad, factorizar ahorra cálculo.

¿Cómo se sabe si habrá dos, una o ninguna solución real?

Se calcula el discriminante Δ=b²−4ac. Si es positivo hay dos soluciones reales distintas, si vale cero hay una raíz real doble y si es negativo no hay soluciones reales.

¿Una solución negativa es siempre incorrecta?

No. Una raíz negativa es perfectamente válida en una ecuación. Solo se descarta cuando contradice el contexto, por ejemplo si representa una longitud, un tiempo posterior al inicio o una cantidad que debe ser positiva.

¿Por qué de x²=25 salen dos soluciones?

Porque 5²=25 y también (−5)²=25. Al extraer una raíz cuadrada en una ecuación debe escribirse x=±5.

¿Qué valores se descartan en una ecuación bicuadrada?

Tras hacer t=x², cualquier valor t<0 se descarta si trabajamos en números reales. Cada valor t>0 produce dos raíces opuestas y t=0 produce la raíz x=0.

¿Qué queda fuera de este recurso?

Aquí se profundiza en ecuaciones de segundo grado y, como ampliación, en bicuadradas. Las ecuaciones racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas pertenecen al recurso general de ecuaciones de ESO y Bachillerato.

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