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Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso

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Ecuaciones de segundo grado 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso

Recurso completo de Matemáticas de 3 ESO sobre ecuaciones de segundo grado, ecuaciones incompletas, fórmula general, factorización, problemas y primeras ecuaciones bicuadradas. Incluye ejercicios resueltos paso a paso, errores frecuentes y simulacro final.

Las ecuaciones de segundo grado son uno de los temas más importantes de la ESO. Si se entienden bien, después resulta mucho más fácil avanzar hacia 4 ESO, funciones, polinomios, factorización y Bachillerato.

Clases online de Matemáticas Clases online por la mañana

Este recurso está elaborado por José María de Marlu Educativa para alumnos que necesitan aprender a resolver ecuaciones cuadráticas con orden. En clase se ve muy a menudo que el alumno sabe una fórmula, pero no sabe cuándo usarla, cómo simplificar antes o cómo comprobar si las soluciones tienen sentido.

En las clases online trabajamos sobre una pizarra digital compartida en tiempo real. Esto permite ver el razonamiento del alumno mientras resuelve la ecuación, corregir signos y evitar que memorice sin entender.

Índice

1. Qué es una ecuación de segundo grado 2. Tipos de ecuaciones cuadráticas 3. Ecuaciones incompletas 4. Fórmula general 5. Número de soluciones 6. Ecuaciones por factorización 7. Problemas de segundo grado 8. Ecuaciones bicuadradas 9. Errores frecuentes 10. Simulacro final 11. Recursos relacionados

1. Qué es una ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado.

Su forma general es:

\[ ax^2+bx+c=0 \]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números y \(a\neq0\).

Coeficiente principal

\[ a \]

Es el número que acompaña a \(x^2\).

Coeficiente lineal

\[ b \]

Es el número que acompaña a \(x\).

Término independiente

\[ c \]

Es el número sin \(x\).

Ejercicio 1

Identifica \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:

\[ 3x^2-5x+2=0 \]
\[ a=3 \] \[ b=-5 \] \[ c=2 \]

Ejercicio 2

Identifica \(a\), \(b\) y \(c\):

\[ -x^2+7x-10=0 \]

El coeficiente de \(x^2\) es \(-1\), aunque no aparezca escrito el número 1.

\[ a=-1 \] \[ b=7 \] \[ c=-10 \]

Error frecuente: olvidar el signo del coeficiente. En \(x^2-4x-5=0\), el valor de \(b\) es \(-4\), no \(4\).

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2. Tipos de ecuaciones de segundo grado

Antes de resolver una ecuación de segundo grado conviene mirar qué tipo es. Muchas ecuaciones no necesitan fórmula general.

Completa

\[ ax^2+bx+c=0 \]

Aparecen los tres términos.

Incompleta sin \(c\)

\[ ax^2+bx=0 \]

Se resuelve sacando factor común.

Incompleta sin \(b\)

\[ ax^2+c=0 \]

Se despeja \(x^2\).

Ejercicio 3

Clasifica:

\[ x^2-9=0 \]

No aparece término con \(x\), por tanto es incompleta sin \(b\).

Ejercicio 4

Clasifica:

\[ 2x^2-6x=0 \]

No aparece término independiente, por tanto es incompleta sin \(c\).

Ejercicio 5

Clasifica:

\[ x^2-3x-10=0 \]

Aparecen \(x^2\), \(x\) y término independiente. Es completa.

3. Ecuaciones incompletas

Las ecuaciones incompletas suelen ser más rápidas que las completas. Conviene resolverlas con métodos sencillos antes de usar la fórmula general.

Tipo 1. Ecuaciones de la forma \(ax^2+c=0\)

Ejercicio 6

Resuelve:

\[ x^2-25=0 \]
\[ x^2=25 \] \[ x=\pm5 \]

Soluciones:

\[ x=5 \] \[ x=-5 \]

Ejercicio 7

Resuelve:

\[ 3x^2-48=0 \]
\[ 3x^2=48 \] \[ x^2=16 \] \[ x=\pm4 \]

Ejercicio 8

Resuelve:

\[ 2x^2+18=0 \]
\[ 2x^2=-18 \] \[ x^2=-9 \]

No tiene solución real, porque ningún número real al cuadrado da negativo.

Tipo 2. Ecuaciones de la forma \(ax^2+bx=0\)

Ejercicio 9

Resuelve:

\[ x^2-7x=0 \]

Sacamos factor común:

\[ x(x-7)=0 \]

Un producto es cero si alguno de los factores es cero.

\[ x=0 \] \[ x-7=0 \] \[ x=7 \]

Soluciones:

\[ x=0,\quad x=7 \]

Ejercicio 10

Resuelve:

\[ 3x^2+12x=0 \]
\[ 3x(x+4)=0 \] \[ 3x=0 \] \[ x=0 \] \[ x+4=0 \] \[ x=-4 \]

Soluciones:

\[ x=0,\quad x=-4 \]

Ejercicio 11

Resuelve:

\[ -2x^2+10x=0 \]
\[ -2x(x-5)=0 \] \[ x=0 \] \[ x-5=0 \] \[ x=5 \]

Si todos los términos tienen \(x\), probablemente hay que sacar factor común. Muchos alumnos se complican usando la fórmula general cuando no hace falta.

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4. Fórmula general de la ecuación de segundo grado

Para resolver una ecuación completa:

\[ ax^2+bx+c=0 \]

se usa la fórmula:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Es importante sustituir \(a\), \(b\) y \(c\) con sus signos.

Ejercicio 12

Resuelve:

\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \] \[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1} \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \] \[ x=\frac{5\pm1}{2} \] \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3 \] \[ x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]

Soluciones:

\[ x=3,\quad x=2 \]

Ejercicio 13

Resuelve:

\[ 2x^2-7x+3=0 \]
\[ a=2,\quad b=-7,\quad c=3 \] \[ x=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2} \] \[ x=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{4} \] \[ x=\frac{7\pm5}{4} \] \[ x_1=\frac{12}{4}=3 \] \[ x_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

Ejercicio 14

Resuelve:

\[ 3x^2+2x-1=0 \]
\[ a=3,\quad b=2,\quad c=-1 \] \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} \] \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6} \] \[ x=\frac{-2\pm4}{6} \] \[ x_1=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3} \] \[ x_2=\frac{-2-4}{6}=-1 \]

Ejercicio 15

Resuelve:

\[ x^2+4x+4=0 \]
\[ a=1,\quad b=4,\quad c=4 \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot4}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2} \] \[ x=\frac{-4}{2} \] \[ x=-2 \]

Hay una solución doble.

5. Número de soluciones y discriminante

La parte que aparece dentro de la raíz se llama discriminante:

\[ \Delta=b^2-4ac \]

Permite saber cuántas soluciones reales tiene la ecuación.

Si \(\Delta>0\)

Hay dos soluciones reales.

Si \(\Delta=0\)

Hay una solución real doble.

Si \(\Delta<0\)

No hay soluciones reales.

Ejercicio 16

Estudia el número de soluciones:

\[ x^2-2x+5=0 \]
\[ a=1,\quad b=-2,\quad c=5 \] \[ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot5 \] \[ \Delta=4-20=-16 \]

Como \(\Delta<0\), no tiene soluciones reales.

Ejercicio 17

Estudia el número de soluciones:

\[ 4x^2-4x+1=0 \]
\[ \Delta=(-4)^2-4\cdot4\cdot1 \] \[ \Delta=16-16=0 \]

Tiene una solución real doble.

6. Resolver por factorización

Algunas ecuaciones completas pueden resolverse factorizando. Este método es muy útil cuando se reconocen dos números cuya suma y producto encajan con el polinomio.

Ejercicio 18

Resuelve:

\[ x^2-8x+15=0 \]

Buscamos dos números que sumen \(-8\) y multipliquen \(15\).

\[ -3\quad y\quad -5 \] \[ x^2-8x+15=(x-3)(x-5) \] \[ (x-3)(x-5)=0 \] \[ x=3,\quad x=5 \]

Ejercicio 19

Resuelve:

\[ x^2+x-12=0 \]

Buscamos dos números que sumen 1 y multipliquen \(-12\).

\[ 4\quad y\quad -3 \] \[ x^2+x-12=(x+4)(x-3) \] \[ x=-4,\quad x=3 \]

Ejercicio 20

Resuelve:

\[ x^2-16=0 \]

Es una diferencia de cuadrados.

\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \] \[ x=4,\quad x=-4 \]
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7. Problemas con ecuaciones de segundo grado

En los problemas lo más importante es traducir bien el enunciado. La ecuación no aparece escrita, hay que construirla.

Problema 1

El producto de dos números consecutivos es 72. Halla los números.

Llamamos \(x\) al primer número.

El siguiente es:

\[ x+1 \]

Planteamos:

\[ x(x+1)=72 \] \[ x^2+x-72=0 \]

Factorizamos:

\[ (x+9)(x-8)=0 \] \[ x=-9,\quad x=8 \]

Si \(x=8\), los números son 8 y 9.

Si \(x=-9\), los números son -9 y -8.

Problema 2

El área de un rectángulo es 48 cm2. La base mide 4 cm más que la altura. Halla sus dimensiones.

Altura:

\[ x \]

Base:

\[ x+4 \]

Área:

\[ x(x+4)=48 \] \[ x^2+4x-48=0 \] \[ (x+8)(x-6)=0 \] \[ x=-8,\quad x=6 \]

La altura no puede ser negativa, por tanto:

\[ x=6 \]

Altura 6 cm y base 10 cm.

Problema 3

Un número aumentado en su cuadrado da 30. Halla el número.

\[ x^2+x=30 \] \[ x^2+x-30=0 \] \[ (x+6)(x-5)=0 \] \[ x=-6,\quad x=5 \]

Problema 4

La diagonal de un cuadrado mide 10 cm. Halla el lado.

Por Pitágoras:

\[ x^2+x^2=10^2 \] \[ 2x^2=100 \] \[ x^2=50 \] \[ x=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \]

El lado mide:

\[ 5\sqrt{2}\ cm \]
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8. Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación que tiene \(x^4\), \(x^2\) y término independiente, pero no tiene \(x^3\) ni \(x\).

Su forma habitual es:

\[ ax^4+bx^2+c=0 \]

Se resuelve haciendo el cambio:

\[ t=x^2 \]

Entonces:

\[ x^4=t^2 \]

y la ecuación se convierte en una ecuación de segundo grado en \(t\).

Ejercicio 21

Resuelve:

\[ x^4-5x^2+4=0 \]

Hacemos:

\[ t=x^2 \]

Entonces:

\[ t^2-5t+4=0 \]

Factorizamos:

\[ (t-1)(t-4)=0 \] \[ t=1,\quad t=4 \]

Volvemos a \(x\):

\[ x^2=1 \] \[ x=\pm1 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

Soluciones:

\[ x=-2,\ -1,\ 1,\ 2 \]

Ejercicio 22

Resuelve:

\[ x^4-10x^2+9=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2-10t+9=0 \] \[ (t-1)(t-9)=0 \] \[ t=1,\quad t=9 \] \[ x^2=1 \] \[ x=\pm1 \] \[ x^2=9 \] \[ x=\pm3 \]

Soluciones:

\[ x=-3,\ -1,\ 1,\ 3 \]

Ejercicio 23

Resuelve:

\[ x^4-13x^2+36=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2-13t+36=0 \] \[ (t-4)(t-9)=0 \] \[ t=4,\quad t=9 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \] \[ x^2=9 \] \[ x=\pm3 \]

Soluciones:

\[ x=-3,\ -2,\ 2,\ 3 \]

Ejercicio 24

Resuelve:

\[ x^4-4x^2=0 \]

Sacamos factor común:

\[ x^2(x^2-4)=0 \] \[ x^2=0 \] \[ x=0 \] \[ x^2-4=0 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

Soluciones:

\[ x=-2,\ 0,\ 2 \]

Ejercicio 25

Resuelve:

\[ x^4+3x^2-4=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2+3t-4=0 \] \[ (t+4)(t-1)=0 \] \[ t=-4,\quad t=1 \]

Como \(t=x^2\), no puede ser negativo en números reales.

\[ x^2=1 \] \[ x=\pm1 \]

Soluciones reales:

\[ x=-1,\quad x=1 \]

En bicuadradas, después de hallar \(t\), hay que volver a \(x\). Muchos alumnos se quedan en \(t=4\) y olvidan que \(x^2=4\) da dos soluciones.

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9. Ecuaciones de segundo grado con paréntesis y denominadores

En los exámenes no siempre aparece la ecuación ya ordenada como \(ax^2+bx+c=0\). Muchas veces hay que quitar paréntesis, reducir términos, eliminar denominadores y después decidir el método.

Este es el punto donde más se nota si el alumno entiende o solo aplica fórmulas de memoria.

Ejercicio 26

Resuelve:

\[ (x+3)(x-2)=10 \]
\[ x^2-2x+3x-6=10 \] \[ x^2+x-6=10 \] \[ x^2+x-16=0 \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+64}}{2} \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2} \]

Ejercicio 27

Resuelve:

\[ (x-4)^2=25 \]

Podemos resolver directamente:

\[ x-4=\pm5 \] \[ x=9 \] \[ x=-1 \]

También podría desarrollarse, pero aquí el camino directo es más limpio.

Ejercicio 28

Resuelve:

\[ 2(x+1)^2-8=0 \]
\[ 2(x+1)^2=8 \] \[ (x+1)^2=4 \] \[ x+1=\pm2 \] \[ x=1 \] \[ x=-3 \]

Ejercicio 29

Resuelve:

\[ \frac{x^2-9}{3}=0 \]
\[ x^2-9=0 \] \[ x^2=9 \] \[ x=\pm3 \]

Ejercicio 30

Resuelve:

\[ \frac{x^2}{2}-8=0 \]
\[ \frac{x^2}{2}=8 \] \[ x^2=16 \] \[ x=\pm4 \]

Ejercicio 31

Resuelve:

\[ \frac{x^2-5x}{2}=3 \]
\[ x^2-5x=6 \] \[ x^2-5x-6=0 \] \[ (x-6)(x+1)=0 \] \[ x=6 \] \[ x=-1 \]

Ejercicio 32

Resuelve:

\[ 3(x-2)^2=2x^2+12 \]
\[ 3(x^2-4x+4)=2x^2+12 \] \[ 3x^2-12x+12=2x^2+12 \] \[ x^2-12x=0 \] \[ x(x-12)=0 \] \[ x=0 \] \[ x=12 \]

Consejo de clase: antes de usar la fórmula general, mira si la ecuación puede resolverse por raíz directa, factor común o factorización. No siempre gana quien usa la fórmula; gana quien elige el camino más claro.

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10. Más ecuaciones bicuadradas resueltas

Las bicuadradas son muy útiles para entrenar el cambio de variable. La idea es siempre la misma: convertir una ecuación de cuarto grado en una ecuación de segundo grado.

\[ t=x^2 \] \[ x^4=t^2 \]

Ejercicio 33

Resuelve:

\[ x^4-20x^2+64=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2-20t+64=0 \] \[ (t-16)(t-4)=0 \] \[ t=16,\quad t=4 \] \[ x^2=16 \] \[ x=\pm4 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

Soluciones:

\[ x=-4,\ -2,\ 2,\ 4 \]

Ejercicio 34

Resuelve:

\[ x^4-2x^2-8=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2-2t-8=0 \] \[ (t-4)(t+2)=0 \] \[ t=4,\quad t=-2 \]

Como \(t=x^2\), descartamos \(t=-2\) en números reales.

\[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

Ejercicio 35

Resuelve:

\[ 2x^4-18x^2=0 \]

Aquí no hace falta cambio de variable. Sacamos factor común.

\[ 2x^2(x^2-9)=0 \] \[ 2x^2=0 \] \[ x=0 \] \[ x^2-9=0 \] \[ x=\pm3 \]

Soluciones:

\[ x=-3,\ 0,\ 3 \]

Ejercicio 36

Resuelve:

\[ x^4+5x^2+4=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2+5t+4=0 \] \[ (t+1)(t+4)=0 \] \[ t=-1,\quad t=-4 \]

Como \(t=x^2\), no puede ser negativo en números reales.

No tiene soluciones reales.

Ejercicio 37

Resuelve:

\[ x^4-6x^2+8=0 \]
\[ t=x^2 \] \[ t^2-6t+8=0 \] \[ (t-2)(t-4)=0 \] \[ t=2,\quad t=4 \] \[ x^2=2 \] \[ x=\pm\sqrt{2} \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

Soluciones:

\[ x=-2,\ -\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 2 \]

Ejercicio 38

Resuelve:

\[ x^4-25=0 \]
\[ x^4=25 \] \[ x^2=\pm5 \]

En números reales solo sirve:

\[ x^2=5 \] \[ x=\pm\sqrt{5} \]

Cuidado: en una bicuadrada no todas las soluciones de \(t\) sirven. Si \(t=x^2\), entonces \(t\) debe ser mayor o igual que cero para que haya soluciones reales.

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11. Problemas de examen con ecuaciones de segundo grado

Estos problemas son los que más se parecen a lo que suele aparecer en controles. La clave es definir bien la incógnita y comprobar que la solución tiene sentido.

Problema 5

La suma de un número y su cuadrado es 56. Halla el número.

\[ x+x^2=56 \] \[ x^2+x-56=0 \] \[ (x+8)(x-7)=0 \] \[ x=-8 \] \[ x=7 \]

Los dos números cumplen la ecuación.

Problema 6

La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Su área es 84 cm2. Halla sus dimensiones.

Altura:

\[ x \]

Base:

\[ x+5 \] \[ x(x+5)=84 \] \[ x^2+5x-84=0 \] \[ (x+12)(x-7)=0 \] \[ x=-12 \] \[ x=7 \]

La altura no puede ser negativa.

\[ x=7 \]

Altura 7 cm y base 12 cm.

Problema 7

La suma de dos números consecutivos al cuadrado es 365. Halla los números.

Números:

\[ x,\quad x+1 \] \[ x^2+(x+1)^2=365 \] \[ x^2+x^2+2x+1=365 \] \[ 2x^2+2x-364=0 \] \[ x^2+x-182=0 \] \[ (x+14)(x-13)=0 \] \[ x=-14 \] \[ x=13 \]

Los números pueden ser 13 y 14, o -14 y -13.

Problema 8

Un jardín cuadrado aumenta su lado en 3 m y entonces su área pasa a ser 100 m2. ¿Cuánto medía inicialmente el lado?

Lado inicial:

\[ x \]

Lado nuevo:

\[ x+3 \] \[ (x+3)^2=100 \] \[ x+3=\pm10 \] \[ x=7 \] \[ x=-13 \]

Una longitud no puede ser negativa, por tanto el lado inicial medía:

\[ 7\ m \]

Problema 9

Un triángulo rectángulo tiene catetos \(x\) y \(x+7\), e hipotenusa 13. Halla los catetos.

\[ x^2+(x+7)^2=13^2 \] \[ x^2+x^2+14x+49=169 \] \[ 2x^2+14x-120=0 \] \[ x^2+7x-60=0 \] \[ (x+12)(x-5)=0 \] \[ x=-12 \] \[ x=5 \]

El cateto no puede ser negativo.

\[ x=5 \]

Los catetos miden 5 y 12.

Problema 10

Un número positivo es tal que su cuadrado menos el triple del número es 40. Halla el número.

\[ x^2-3x=40 \] \[ x^2-3x-40=0 \] \[ (x-8)(x+5)=0 \] \[ x=8 \] \[ x=-5 \]

Como piden un número positivo:

\[ x=8 \]

En problemas de geometría, después de resolver la ecuación hay que rechazar soluciones negativas si representan longitudes, áreas, edades o cantidades reales.

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12. Entrenamiento extra sin resolver

Estos ejercicios sirven para practicar después de estudiar los resueltos. La idea es hacerlos en limpio y comprobar después con el profesor o con la calculadora.

Nivel 1

\(x^2-49=0\)

\(4x^2-100=0\)

\(x^2+9x=0\)

\(3x^2-12x=0\)

Nivel 2

\(x^2-9x+20=0\)

\(x^2+x-30=0\)

\(2x^2-3x-2=0\)

\(3x^2+10x+3=0\)

Nivel 3

\((x+2)(x-5)=18\)

\((x-1)^2=3x+7\)

\(\frac{x^2-4x}{2}=6\)

\(2(x+3)^2=x^2+30\)

Bicuadradas

\(x^4-29x^2+100=0\)

\(x^4-3x^2-4=0\)

\(x^4+2x^2-8=0\)

\(3x^4-12x^2=0\)

9. Errores frecuentes en ecuaciones de segundo grado

Olvidar signos

En la fórmula, \(b\) debe sustituirse con su signo.

No igualar a cero

La fórmula general solo se aplica cuando la ecuación está igualada a cero.

Usar fórmula siempre

A veces es mejor factorizar o sacar factor común.

Raíces negativas

En números reales, \(x^2=-9\) no tiene solución.

Olvidar el \(\pm\)

Al resolver \(x^2=25\), las soluciones son \(5\) y \(-5\).

Bicuadradas incompletas

No siempre hace falta cambio de variable. A veces basta factor común.

10. Simulacro final

Mini examen de ecuaciones de segundo grado y bicuadradas

  1. Resuelve \(x^2-16=0\)
  2. Resuelve \(2x^2-18=0\)
  3. Resuelve \(x^2-6x=0\)
  4. Resuelve \(x^2-7x+12=0\)
  5. Resuelve \(2x^2-5x-3=0\)
  6. Estudia el número de soluciones de \(x^2+2x+5=0\)
  7. Resuelve \(x^4-5x^2+4=0\)
  8. Resuelve \(x^4-17x^2+16=0\)
  9. El producto de dos números consecutivos es 110. Halla los números.
  10. Un rectángulo tiene base \(x+6\), altura \(x\) y área 72 cm2. Halla sus dimensiones.

Resultados del simulacro

1

\[ x=\pm4 \]

2

\[ x=\pm3 \]

3

\[ x=0,\quad x=6 \]

4

\[ x=3,\quad x=4 \]

5

\[ x=3,\quad x=-\frac{1}{2} \]

6

No tiene soluciones reales porque el discriminante es negativo.

7

\[ x=-2,\ -1,\ 1,\ 2 \]

8

\[ x=-4,\ -1,\ 1,\ 4 \]

9

\[ 10\ y\ 11 \]

o también:

\[ -11\ y\ -10 \]

10

\[ x=6 \]

Altura 6 cm y base 12 cm.

11. Recursos relacionados

Álgebra y ecuaciones 1 ESO

Recurso útil si el alumno necesita reforzar el lenguaje algebraico antes de trabajar ecuaciones cuadráticas.

Ver álgebra 1 ESO

Operaciones combinadas 1 ESO

Muy recomendable si hay errores de signos, paréntesis o jerarquía de operaciones.

Repasar operaciones

Ecuaciones ESO Bachillerato PAU

Para seguir practicando ecuaciones de distintos tipos con ejercicios resueltos paso a paso.

Ver ecuaciones

Sistemas de ecuaciones 2 ESO 3 ESO 4 ESO

El siguiente paso natural cuando el alumno ya controla ecuaciones individuales.

Ver sistemas

Polinomios productos notables y factorización

Muy útil para entender mejor la factorización de ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

Ver polinomios

Álgebra 4 ESO para preparar 1 Bachillerato

Recurso puente para alumnos que quieren avanzar hacia un álgebra más completa.

Ver álgebra 4 ESO

Clases de Matemáticas en Marlu Educativa

En Marlu Educativa trabajamos Matemáticas de ESO, Bachillerato y PAU con explicación clara, ejercicios graduados y corrección paso a paso. Las ecuaciones de segundo grado se entienden mucho mejor cuando el alumno ve por qué se usa cada método y no solo memoriza una fórmula.

En las clases online profesor y alumno pueden escribir a la vez sobre la misma pizarra digital compartida. Esto ayuda a corregir signos, paréntesis y pasos intermedios justo cuando aparece el error.

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