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Progresiones aritméticas y geométricas 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso

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Progresiones aritméticas y geométricas 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso

Recurso completo de Matemáticas de 3 ESO sobre sucesiones, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Incluye término general, diferencia, razón, suma de términos, problemas reales, ejercicios tipo examen y una ruta clara para no confundir fórmulas.

Las progresiones son uno de esos temas que parecen fáciles al principio, pero se complican cuando el alumno tiene que decidir si debe sumar, multiplicar, hallar el término general, calcular una suma o interpretar un problema. Aquí vamos a trabajarlo con calma, como se haría en clase.

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Este recurso está elaborado por José María de Marlu Educativa para alumnos de 3 ESO que necesitan entender sucesiones y progresiones de verdad, no solo repetir una fórmula. También sirve para repasar antes de 4 ESO, Bachillerato o una recuperación.

En las clases online de Marlu Educativa podemos trabajar estos ejercicios sobre una pizarra digital compartida en tiempo real. El profesor ve el razonamiento mientras el alumno escribe, y eso ayuda mucho cuando el fallo está en el signo, en el exponente \(n-1\) o en elegir mal la fórmula.

Índice

1. Sucesiones 2. Progresiones aritméticas 3. Término general aritmético 4. Suma aritmética 5. Progresiones geométricas 6. Término general geométrico 7. Suma geométrica 8. Problemas reales 9. Errores frecuentes 10. Simulacro final 11. Recursos relacionados

1. Qué es una sucesión

Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla. Cada número de la lista se llama término.

Por ejemplo:

\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ldots \]

Aquí cada término aumenta 4 unidades.

Otro ejemplo:

\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]

Aquí cada término se obtiene multiplicando por 3.

Sucesión aritmética

Se suma o se resta siempre la misma cantidad.

\[ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots \]

Sucesión geométrica

Se multiplica o se divide siempre por la misma cantidad.

\[ 4,\ 12,\ 36,\ 108,\ldots \]

No siempre es progresión

Hay sucesiones con otra regla.

\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ldots \]

Ejercicio 1

Indica si la sucesión es aritmética, geométrica o ninguna de las dos.

\[ 6,\ 10,\ 14,\ 18,\ 22,\ldots \]

Restamos términos consecutivos.

\[ 10-6=4 \] \[ 14-10=4 \] \[ 18-14=4 \]

La diferencia es constante. Es una progresión aritmética de diferencia \(d=4\).

Ejercicio 2

Clasifica la sucesión.

\[ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ldots \]

Dividimos un término entre el anterior.

\[ 9/3=3 \] \[ 27/9=3 \] \[ 81/27=3 \]

La razón es constante. Es una progresión geométrica de razón \(r=3\).

Ejercicio 3

Clasifica la sucesión.

\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ldots \]

No se suma siempre lo mismo.

\[ 4-1=3 \] \[ 9-4=5 \] \[ 16-9=7 \]

Tampoco se multiplica siempre por lo mismo. No es progresión aritmética ni geométrica. Es la sucesión de los cuadrados.

Ejercicio 4

Escribe los cinco primeros términos de la sucesión definida por:

\[ a_n=2n+1 \]
\[ a_1=2\cdot1+1=3 \] \[ a_2=2\cdot2+1=5 \] \[ a_3=2\cdot3+1=7 \] \[ a_4=2\cdot4+1=9 \] \[ a_5=2\cdot5+1=11 \]

Los cinco primeros términos son:

\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11 \]

Ejercicio 5

Escribe los cinco primeros términos de:

\[ a_n=3\cdot2^{n-1} \]
\[ a_1=3\cdot2^0=3 \] \[ a_2=3\cdot2^1=6 \] \[ a_3=3\cdot2^2=12 \] \[ a_4=3\cdot2^3=24 \] \[ a_5=3\cdot2^4=48 \]

La sucesión es:

\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48 \]

Primer filtro rápido: si las restas son constantes, es aritmética. Si los cocientes son constantes, es geométrica. Si no ocurre ninguna de las dos cosas, no fuerces una fórmula.

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2. Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando siempre una misma cantidad al término anterior.

Esa cantidad se llama diferencia y se representa por \(d\).

\[ a_n=a_1+(n-1)d \]

Esta es la fórmula principal.

Lectura de la fórmula:

\[ a_n \]

es el término que queremos hallar.

\[ a_1 \]

es el primer término.

\[ n-1 \]

es el número de saltos desde el primer término hasta el término \(n\).

\[ d \]

es lo que se suma en cada salto.

Ejercicio 6

Halla el término general de la progresión:

\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ldots \]

Primer término:

\[ a_1=4 \]

Diferencia:

\[ d=9-4=5 \]

Fórmula:

\[ a_n=a_1+(n-1)d \] \[ a_n=4+(n-1)5 \] \[ a_n=4+5n-5 \] \[ a_n=5n-1 \]

Ejercicio 7

Halla el término 30 de la progresión:

\[ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ldots \]
\[ a_1=7 \] \[ d=4 \] \[ a_{30}=7+(30-1)\cdot4 \] \[ a_{30}=7+116 \] \[ a_{30}=123 \]

Ejercicio 8

En una progresión aritmética:

\[ a_1=18 \] \[ d=-3 \]

Calcula \(a_{25}\).

\[ a_{25}=18+(25-1)(-3) \] \[ a_{25}=18-72 \] \[ a_{25}=-54 \]

Ejercicio 9

Halla el término general de:

\[ 30,\ 24,\ 18,\ 12,\ldots \]
\[ a_1=30 \] \[ d=24-30=-6 \] \[ a_n=30+(n-1)(-6) \] \[ a_n=30-6n+6 \] \[ a_n=36-6n \]

Ejercicio 10

Una progresión aritmética tiene:

\[ a_5=22 \] \[ d=4 \]

Halla \(a_1\).

\[ a_5=a_1+(5-1)d \] \[ 22=a_1+4\cdot4 \] \[ 22=a_1+16 \] \[ a_1=6 \]

Ejercicio 11

En una progresión aritmética:

\[ a_3=12 \] \[ a_9=42 \]

Halla la diferencia y el término general.

Entre \(a_3\) y \(a_9\) hay 6 saltos.

\[ 42-12=30 \] \[ d=30/6=5 \]

Usamos \(a_3=12\):

\[ a_3=a_1+2d \] \[ 12=a_1+2\cdot5 \] \[ a_1=2 \]

Término general:

\[ a_n=2+(n-1)5 \] \[ a_n=5n-3 \]

Ejercicio 12

¿Qué lugar ocupa el número 86 en la progresión?

\[ 5,\ 14,\ 23,\ 32,\ldots \]
\[ a_1=5 \] \[ d=9 \] \[ 86=5+(n-1)9 \] \[ 81=9(n-1) \] \[ 9=n-1 \] \[ n=10 \]

El número 86 ocupa el lugar 10.

Error muy frecuente: usar \(n\cdot d\) en lugar de \((n-1)d\). Desde \(a_1\) hasta \(a_n\) no hay \(n\) saltos, hay \(n-1\) saltos.

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3. Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los \(n\) primeros términos de una progresión aritmética se calcula con:

\[ S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2} \]

Se suma el primero con el último, se multiplica por el número de términos y se divide entre 2.

Ejercicio 13

Calcula la suma de los 20 primeros términos de:

\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
\[ a_1=3 \] \[ d=4 \]

Primero hallamos \(a_{20}\).

\[ a_{20}=3+(20-1)\cdot4 \] \[ a_{20}=3+76=79 \]

Ahora sumamos:

\[ S_{20}=\frac{(3+79)\cdot20}{2} \] \[ S_{20}=82\cdot10 \] \[ S_{20}=820 \]

Ejercicio 14

Calcula:

\[ 10+13+16+\cdots+70 \]
\[ a_1=10 \] \[ d=3 \] \[ a_n=70 \]

Primero calculamos cuántos términos hay.

\[ 70=10+(n-1)3 \] \[ 60=3(n-1) \] \[ 20=n-1 \] \[ n=21 \]

Ahora:

\[ S_{21}=\frac{(10+70)\cdot21}{2} \] \[ S_{21}=40\cdot21 \] \[ S_{21}=840 \]

Ejercicio 15

Un alumno lee 12 páginas el primer día y cada día lee 3 páginas más que el día anterior. ¿Cuántas páginas habrá leído en total durante 15 días?

\[ a_1=12 \] \[ d=3 \] \[ n=15 \] \[ a_{15}=12+(15-1)\cdot3 \] \[ a_{15}=12+42=54 \] \[ S_{15}=\frac{(12+54)\cdot15}{2} \] \[ S_{15}=33\cdot15 \] \[ S_{15}=495 \]

Habrá leído 495 páginas.

Ejercicio 16

Calcula la suma de todos los múltiplos de 6 comprendidos entre 30 y 210.

La sucesión es:

\[ 30,\ 36,\ 42,\ldots,\ 210 \] \[ a_1=30 \] \[ d=6 \] \[ a_n=210 \] \[ 210=30+(n-1)6 \] \[ 180=6(n-1) \] \[ 30=n-1 \] \[ n=31 \] \[ S_{31}=\frac{(30+210)\cdot31}{2} \] \[ S_{31}=120\cdot31 \] \[ S_{31}=3720 \]

En problemas de suma, casi siempre hay dos pasos. Primero calcular el último término o el número de términos. Después aplicar la fórmula de la suma.

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4. Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una misma cantidad.

Esa cantidad se llama razón y se representa por \(r\).

\[ a_n=a_1\cdot r^{n-1} \]

Si la razón es mayor que 1, la sucesión crece muy rápido. Si está entre 0 y 1, los términos se hacen cada vez más pequeños.

Razón positiva

\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]

Cada término se multiplica por 3.

Razón decimal

\[ 80,\ 40,\ 20,\ 10,\ldots \]

Cada término se multiplica por 0,5.

Razón negativa

\[ 3,\ -6,\ 12,\ -24,\ldots \]

Cada término cambia de signo.

Ejercicio 17

Indica si la sucesión es geométrica y calcula la razón.

\[ 5,\ 15,\ 45,\ 135,\ldots \]
\[ 15/5=3 \] \[ 45/15=3 \] \[ 135/45=3 \]

Sí es geométrica y la razón es:

\[ r=3 \]

Ejercicio 18

Calcula el término general de:

\[ 4,\ 12,\ 36,\ 108,\ldots \]
\[ a_1=4 \] \[ r=12/4=3 \]

Aplicamos:

\[ a_n=a_1\cdot r^{n-1} \] \[ a_n=4\cdot3^{n-1} \]

Ejercicio 19

Calcula el término 8 de:

\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
\[ a_1=2 \] \[ r=3 \] \[ a_8=2\cdot3^{7} \] \[ a_8=2\cdot2187 \] \[ a_8=4374 \]

Ejercicio 20

Calcula el término general de:

\[ 320,\ 160,\ 80,\ 40,\ldots \]
\[ a_1=320 \] \[ r=160/320=0,5 \] \[ a_n=320\cdot0,5^{n-1} \]

Ejercicio 21

En una progresión geométrica:

\[ a_1=7 \] \[ r=2 \]

Calcula:

\[ a_{12} \]
\[ a_{12}=7\cdot2^{11} \] \[ a_{12}=7\cdot2048 \] \[ a_{12}=14336 \]

Ejercicio 22

¿En qué lugar aparece el número 486?

\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
\[ a_n=2\cdot3^{n-1} \]

Igualamos:

\[ 486=2\cdot3^{n-1} \] \[ 243=3^{n-1} \] \[ 243=3^5 \] \[ n-1=5 \] \[ n=6 \]

El número 486 ocupa el lugar 6.

Muchos alumnos olvidan que el exponente es \(n-1\). Ese error hace que todos los resultados salgan desplazados.

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5. Suma de términos en progresiones geométricas

La suma de los \(n\) primeros términos de una progresión geométrica se calcula con:

\[ S_n=a_1\cdot\frac{r^n-1}{r-1} \]

Esta fórmula se utiliza cuando:

\[ r\neq1 \]

Ejercicio 23

Calcula la suma:

\[ 2+6+18+54+162 \]

Es una progresión geométrica:

\[ a_1=2 \] \[ r=3 \] \[ n=5 \]

Aplicamos:

\[ S_5=2\cdot\frac{3^5-1}{3-1} \] \[ S_5=2\cdot\frac{243-1}{2} \] \[ S_5=242 \]

Ejercicio 24

Calcula la suma de los 8 primeros términos de:

\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots \]
\[ a_1=1 \] \[ r=2 \] \[ n=8 \] \[ S_8=1\cdot\frac{2^8-1}{2-1} \] \[ S_8=256-1 \] \[ S_8=255 \]

Ejercicio 25

Una bacteria se triplica cada hora. Si inicialmente hay 5 bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 7 horas?

Es una progresión geométrica:

\[ a_1=5 \] \[ r=3 \] \[ a_7=5\cdot3^{6} \] \[ a_7=5\cdot729 \] \[ a_7=3645 \]

Ejercicio 26

Un capital de 2000 € aumenta un 5 % anual. ¿Cuánto habrá después de 6 años?

La razón es:

\[ r=1,05 \] \[ a_1=2000 \] \[ a_6=2000\cdot1,05^5 \] \[ a_6\approx2552,56 \]

Después de 6 años habrá aproximadamente:

\[ 2552,56\ € \]

Ejercicio 27

Una pelota cae desde 10 m y rebota siempre hasta la mitad de la altura anterior. ¿Qué altura alcanzará en el quinto rebote?

La sucesión es geométrica:

\[ a_1=10 \] \[ r=0,5 \] \[ a_5=10\cdot0,5^4 \] \[ a_5=10\cdot0,0625 \] \[ a_5=0,625 \]

La altura será:

\[ 0,625\ m \]

Ejercicio 28

Calcula:

\[ 1+0,5+0,25+0,125 \]
\[ a_1=1 \] \[ r=0,5 \] \[ n=4 \] \[ S_4=1\cdot\frac{0,5^4-1}{0,5-1} \] \[ S_4=\frac{0,0625-1}{-0,5} \] \[ S_4=1,875 \]

6. Problemas tipo examen

Aquí aparecen los ejercicios donde más se bloquean los alumnos. Lo importante no es memorizar fórmulas, sino detectar primero qué tipo de progresión aparece.

Ejercicio 29

En un teatro, la primera fila tiene 18 asientos y cada fila tiene 4 más que la anterior. ¿Cuántos asientos tendrá la fila 25?

\[ a_1=18 \] \[ d=4 \] \[ a_{25}=18+(25-1)\cdot4 \] \[ a_{25}=18+96 \] \[ a_{25}=114 \]

Ejercicio 30

Una persona ahorra 15 € el primer mes y cada mes aumenta el ahorro en 5 €. ¿Cuánto ahorrará en total durante un año?

\[ a_1=15 \] \[ d=5 \] \[ n=12 \] \[ a_{12}=15+11\cdot5 \] \[ a_{12}=70 \] \[ S_{12}=\frac{(15+70)\cdot12}{2} \] \[ S_{12}=85\cdot6 \] \[ S_{12}=510 \]

Ahorrará:

\[ 510\ € \]

Ejercicio 31

Un vídeo en internet duplica sus visitas cada día. Si el primer día tuvo 120 visitas, ¿cuántas tendrá el día 10?

\[ a_1=120 \] \[ r=2 \] \[ a_{10}=120\cdot2^9 \] \[ a_{10}=120\cdot512 \] \[ a_{10}=61440 \]

Ejercicio 32

Calcula la suma de todos los números impares desde 1 hasta 99.

La sucesión es:

\[ 1,\ 3,\ 5,\ldots,\ 99 \] \[ a_1=1 \] \[ d=2 \] \[ 99=1+(n-1)\cdot2 \] \[ 98=2(n-1) \] \[ 49=n-1 \] \[ n=50 \] \[ S_{50}=\frac{(1+99)\cdot50}{2} \] \[ S_{50}=100\cdot25 \] \[ S_{50}=2500 \]

Ejercicio 33

Una máquina pierde un 20 % de su valor cada año. Si inicialmente cuesta 9000 €, ¿cuánto valdrá después de 5 años?

Cada año conserva:

\[ 80\%=0,8 \] \[ a_1=9000 \] \[ r=0,8 \] \[ a_5=9000\cdot0,8^4 \] \[ a_5=9000\cdot0,4096 \] \[ a_5=3686,4 \]

Valdrá aproximadamente:

\[ 3686,4\ € \]

Ejercicio 34

Calcula el término general de:

\[ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ldots \]
\[ a_1=-2 \] \[ r=-2 \] \[ a_n=-2\cdot(-2)^{n-1} \]

Ejercicio 35

Una escalera tiene 14 peldaños. El primero mide 18 cm y cada uno mide 2 cm más que el anterior. ¿Cuánto medirán todos juntos?

\[ a_1=18 \] \[ d=2 \] \[ n=14 \] \[ a_{14}=18+13\cdot2 \] \[ a_{14}=44 \] \[ S_{14}=\frac{(18+44)\cdot14}{2} \] \[ S_{14}=62\cdot7 \] \[ S_{14}=434 \]

La suma total será:

\[ 434\ cm \]

7. Errores frecuentes en progresiones

Error 1

Confundir progresión aritmética con geométrica.

En aritmética se suma. En geométrica se multiplica.

Error 2

Olvidar el \(n-1\).

\[ a_n=a_1+(n-1)d \] \[ a_n=a_1\cdot r^{n-1} \]

Error 3

Usar la fórmula de la suma sin conocer antes el último término o el número de términos.

Consejo Marlu Educativa:

Antes de hacer ninguna cuenta, escribe siempre:

\[ a_1 \] \[ d\ \text{o}\ r \] \[ n \]

Ese pequeño esquema evita muchísimos errores.

8. Simulacro final 3 ESO

Mini examen

  1. Halla el término general de \(7,\ 12,\ 17,\ 22,\ldots\)
  2. Calcula \(a_{40}\) de una progresión aritmética con \(a_1=5\) y \(d=6\)
  3. Calcula la suma de los 30 primeros múltiplos de 4
  4. Halla el término general de \(3,\ 9,\ 27,\ 81,\ldots\)
  5. Calcula el término 12 de una progresión geométrica con \(a_1=2\) y \(r=5\)
  6. Una población aumenta un 3 % anual. Si actualmente tiene 25000 habitantes, ¿cuántos tendrá dentro de 8 años?
  7. Calcula: \[ 1+3+9+27+81 \]
  8. Una pelota rebota siempre hasta un tercio de la altura anterior. Si cae desde 27 m, ¿qué altura alcanzará en el cuarto rebote?

9. Recursos relacionados para seguir avanzando

Álgebra y ecuaciones 1 ESO

Muy recomendable si todavía cuesta trabajar con letras, expresiones algebraicas y operaciones básicas.

Ver recurso

Sistemas de ecuaciones ESO

Recurso muy útil para preparar 3 ESO y 4 ESO con ejercicios resueltos paso a paso.

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Polinomios y factorización

Perfecto para seguir avanzando en álgebra y prepararse para cursos superiores.

Ir al recurso

Recuperación Matemáticas ESO

Colección de ejercicios para repasar lo más importante antes de exámenes o recuperaciones.

Repasar ESO

Clases online de Matemáticas en Marlu Educativa

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