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Progresiones aritméticas y geométricas 3 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Reconocer la regla, elegir la fórmula y comprobar el índice. Aquí se trabajan las sucesiones desde los primeros términos hasta los problemas de sumas, crecimiento y reparto, con desarrollos que puedes seguir y revisar.
Núcleo de 3.º ESO y repaso para 4.º: términos, sumas finitas y problemas. Los retos se distinguen del nivel básico. La suma geométrica infinita aparece al final como ampliación opcional, sin desarrollar límites formales ni logaritmos.
Índice del recurso
Cómo elegir la fórmula
1. Identifica el cambio
Calcula diferencias. Si son constantes, trabaja con una PA. Para comprobar una PG, busca un factor común y verifica que reproduce todos los pasos.
2. Decide qué se pide
Un término es una cantidad en una posición. Una suma es el acumulado de varios términos. Señala los extremos y cuenta cuántos términos intervienen.
3. Ordena los datos
Anota el primer término, diferencia o razón, y el índice. Si hay tiempo, decide si el dato inicial corresponde a \(a_0\) o a \(a_1\).
4. Comprueba
El índice debe ser entero y admisible. Reproduce un término conocido y verifica las unidades, el signo y el tamaño de la respuesta.
En el núcleo del recurso, \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\). Un resultado no entero para \(n\) no señala un término de la sucesión.
Formulario esencial
PA · término en una posición
PA · suma de los primeros términos
PG · término en una posición
Para \(r=0\), conserva \(a_1\) y usa la recurrencia. El cociente \(a_{n+1}/a_n\) solo puede calcularse si \(a_n\ne0\).
PG · suma finita
De la posición p a la q
Para \(1\le p\le q\) con \(p,q\) enteros, se cuentan \(q-p+1\) términos.
Se usa \(S_0=0\) si el tramo empieza en \(a_1\).
Después de k periodos
El dato inicial corresponde al instante 0. Después de \(k\) periodos se han aplicado \(k\) factores, no \(k-1\). En estos modelos temporales la razón es positiva.
Sucesiones: regla, posición y representación
Una sucesión asigna un número a cada posición natural. Puede describirse con una fórmula, una tabla o una regla que permita obtener el término siguiente.
Unos pocos términos admiten muchas continuaciones. En los ejercicios se indica la regla o se supone que continúa el patrón de PA o PG; comprobar un prefijo no demuestra por sí solo cómo seguirá toda una sucesión.
Progresión aritmética
Se suma siempre la misma diferencia, que puede ser positiva, negativa o cero.
Progresión geométrica
Se multiplica siempre por el mismo factor. Esta definición también sirve cuando aparecen ceros.
Los puntos corresponden a posiciones enteras. La gráfica ayuda a comparar términos, pero no convierte la sucesión en una función definida para todos los valores intermedios de \(n\).
Diferencias constantes
Base · elaboración propia
¿Los términos dados son compatibles con una progresión aritmética, con una geométrica o con ninguna de ellas? Si mantienen ese patrón, indica la diferencia o la razón.
Comparamos las diferencias entre términos consecutivos.
Son compatibles con una PA de diferencia \(d=4\). Los cocientes no son constantes, así que no forman una PG. Para afirmar que toda la sucesión es aritmética debemos suponer que continúa sumando 4.
Cocientes constantes
Base · elaboración propia
Clasifica los términos dados. Si se mantiene el mismo patrón, indica la diferencia o la razón.
Son compatibles con una PG de razón \(r=3\). No forman una PA: las diferencias son 6, 18 y 54. Bajo la hipótesis de que se sigue multiplicando por 3, la sucesión completa es geométrica.
Una sucesión que no es progresión
Base · elaboración propia
¿Los términos dados son compatibles con una PA, con una PG o con ninguna? ¿Con qué números conocidos coinciden?
Dos diferencias distintas descartan la PA y dos cocientes distintos descartan la PG. Los términos coinciden con los cinco primeros cuadrados: \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\). Si se prescribe esa continuación, \(a_n=n^2\); los cinco datos por sí solos no determinan una regla única.
Sustituir el índice
Base · elaboración propia
Escribe los cinco primeros términos de \(a_n=2n+1\), con \(n=1,2,3,\ldots\).
Los términos son 3, 5, 7, 9 y 11. La diferencia entre ellos es 2.
Sustituir en una potencia
Base · elaboración propia
Escribe los cinco primeros términos de \(a_n=3\cdot2^{n-1}\), con \(n\ge1\).
La sucesión empieza en 3, 6, 12, 24 y 48. Cada término es el doble del anterior.
Progresiones aritméticas
Restamos un término menos el anterior. Si la diferencia es constante y se mantiene la regla, es una PA.
Término general de una progresión aritmética
Desde la posición 1 hasta la posición \(n\) hay \(n-1\) saltos. Para reconstruir la progresión desde dos términos conocidos, compara sus posiciones: la diferencia de valores se reparte entre el número de saltos.
Si \(d>0\) es creciente; si \(d<0\) es decreciente; si \(d=0\) es constante.
Término general de una PA
Base · elaboración propia
Halla el término general de la progresión aritmética:
Comprobación: \(a_1=5-1=4\) y \(a_4=20-1=19\).
Un término lejano
Base · elaboración propia
Halla el término 30 de la progresión aritmética:
Se han sumado 29 diferencias, desde el término 1 hasta el 30.
Diferencia negativa
Base · elaboración propia
Una PA tiene \(a_1=18\) y \(d=-3\). Calcula \(a_{25}\).
La diferencia negativa hace decrecer la sucesión. Como comprobación, \(a_{24}=-51\) y al restar 3 resulta \(-54\).
Una PA decreciente
Base · elaboración propia
Halla el término general de la progresión aritmética:
Para \(n=1\) se obtiene 30; para \(n=4\), 12.
Recuperar el primer término
Modelo · elaboración propia
Una PA tiene \(a_5=22\) y \(d=4\). Halla \(a_1\).
Comprobación: \(6,10,14,18,22\).
Dos términos no consecutivos
Modelo · elaboración propia
En una PA, \(a_3=12\) y \(a_9=42\). Halla la diferencia y el término general.
Entre las posiciones 3 y 9 hay seis incrementos iguales.
Comprobación: \(a_3=15-3=12\) y \(a_9=45-3=42\).
Buscar la posición
Modelo · elaboración propia
¿Qué lugar ocupa 86 en la progresión aritmética?
El índice es un entero positivo y \(a_{10}=5+9\cdot9=86\): ocupa el lugar 10.
Sumas de términos de una PA
Emparejamos el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente. Cada pareja suma lo mismo.
La fórmula necesita el número de términos y los dos extremos. Si se suman solo los términos del \(p\) al \(q\), el número de términos es \(q-p+1\), incluidos ambos extremos.
Sumar los primeros términos de una PA
Base · elaboración propia
Calcula la suma de los 20 primeros términos de la PA:
Comprobación: los 20 términos tienen media \((3+79)/2=41\), y \(20\cdot41=820\).
Contar antes de sumar
Modelo · elaboración propia
Calcula la suma de esta progresión aritmética:
Hay 20 incrementos, pero 21 términos. El último es \(10+20\cdot3=70\).
Lectura acumulada
Modelo · elaboración propia
Un alumno lee 12 páginas el primer día y cada día lee 3 páginas más que el día anterior. ¿Cuántas páginas habrá leído en total durante 15 días?
Sea \(a_n\) el número de páginas que lee el día \(n\). Las cantidades diarias forman una PA.
En total habrá leído 495 páginas. Se suman las lecturas de los quince días, no solo las 54 páginas del último.
Múltiplos en un intervalo
Modelo · elaboración propia
Calcula la suma de todos los múltiplos de 6 comprendidos entre 30 y 210, ambos incluidos.
Los extremos son múltiplos de 6 y están incluidos: se cuentan 31 términos.
Progresiones geométricas
Buscamos el factor que transforma un término en el siguiente. Si el término anterior es distinto de cero, se obtiene con un cociente.
Término general de una progresión geométrica
Con \(a_1>0\), una razón mayor que 1 produce crecimiento; una razón entre 0 y 1 produce términos positivos cada vez menores. Si \(a_1<0\), hay que estudiar el signo: multiplicar una cantidad negativa por un factor mayor que 1 la hace más negativa.
Una razón negativa alterna los signos cuando \(a_1\ne0\). Con \(r=1\) la progresión es constante; con \(r=0\) el primer término se conserva y los siguientes son cero. Una sucesión constante también es una PA con diferencia cero.
Reconocer una PG
Base · elaboración propia
Comprueba si los términos dados son compatibles con una PG. Si mantienen esa regla, calcula la razón.
El prefijo es compatible con una PG de razón \(r=3\). La continuación geométrica supone seguir multiplicando cada término por 3.
Término general geométrico
Base · elaboración propia
Halla el término general de la progresión geométrica:
Comprobación: \(a_1=4\) y \(a_4=4\cdot27=108\).
Calcular un término de una PG
Base · elaboración propia
Calcula el término 8 de la PG:
Comprobación: \(a_7=1458\) y \(3\cdot1458=4374\).
Una PG con razón menor que uno
Base · elaboración propia
Halla el término general de la PG:
Como el primer término es positivo y \(0<r<1\), los términos decrecen. Para \(n=4\), \(a_4=320/8=40\).
Potencias y posición
Base · elaboración propia
En una PG, \(a_1=7\) y \(r=2\). Calcula \(a_{12}\).
Del primer término al duodécimo hay once multiplicaciones por 2.
Localizar un término geométrico
Modelo · elaboración propia
¿En qué lugar aparece 486 en la PG?
Comprobación: \(a_6=2\cdot243=486\). Ocupa el lugar 6.
Sumas finitas de una PG
Al multiplicar toda la suma por la razón y restar las dos expresiones se cancelan los términos intermedios.
Si \(r=1\), sumamos \(n\) veces el mismo número: \(S_n=na_1\). Comprueba el número de términos antes de elevar la razón.
Una suma geométrica finita
Base · elaboración propia
Calcula la suma:
La suma directa también da \(2+6+18+54+162=242\).
Sumar ocho términos
Modelo · elaboración propia
Calcula la suma de los ocho primeros términos de la PG:
El octavo término es \(2^7=128\); la suma incluye desde \(2^0\) hasta \(2^7\).
Problemas, periodos y cantidades acumuladas
Un dato inicial y un primer día observado son situaciones distintas. Si la cantidad se conoce antes de que transcurra tiempo, escríbela en el instante 0. Si se da el valor del primer día, ese dato puede ser \(a_1\).
| Instante | Periodos aplicados | Valor |
|---|---|---|
| 0 | 0 | \(V_0\) |
| 1 | 1 | \(V_0r\) |
| 2 | 2 | \(V_0r^2\) |
| 3 | 3 | \(V_0r^3\) |
En crecimientos o pérdidas porcentuales, el factor se aplica a la cantidad del periodo anterior: un aumento del \(p\,\%\) usa \(1+p/100\); una disminución usa \(1-p/100\). La cantidad al final y la suma de cantidades de varios periodos responden a preguntas diferentes.
Crecimiento desde el instante inicial
Modelo · elaboración propia
Una población de bacterias se triplica cada hora. Si inicialmente hay 5 bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 7 horas? Supón que el factor de crecimiento se mantiene durante esas siete horas.
El instante inicial corresponde a cero horas transcurridas. Sea \(B_t\) la población tras \(t\) horas enteras.
Al cabo de 7 horas habrá 10 935 bacterias en este modelo. Comprobación del índice: tras una hora, \(B_1=15\); se aplican siete triplicaciones, no seis.
Interés compuesto anual
Modelo · elaboración propia
Un capital de 2000 € aumenta un 5 % anual. ¿Cuánto habrá después de 6 años? Supón que el aumento se aplica al capital acumulado, sin aportaciones ni retiradas, y redondea solo el resultado final a céntimos.
Cada año se conserva el capital anterior y se añade su 5 %: el factor es \(1+0{,}05=1{,}05\).
Son seis aumentos desde el estado inicial. Como comprobación, \(C_1=2100\) € y el capital final supera los 2000 € iniciales.
Contar los rebotes
Modelo · elaboración propia
Una pelota cae desde 10 m y rebota siempre hasta la mitad de la altura anterior. ¿Qué altura alcanzará en el quinto rebote?
Sea \(h_k\) la altura máxima después del rebote \(k\). La altura de caída es \(h_0\); todavía no se ha producido ningún rebote.
Comprobación: los cinco rebotes alcanzan 5; 2,5; 1,25; 0,625 y 0,3125 m.
Sumar con una razón fraccionaria
Modelo · elaboración propia
Calcula:
El resultado coincide con la suma directa de los cuatro sumandos.
Asientos por fila
Examen · elaboración propia
En un teatro, la primera fila tiene 18 asientos y cada fila tiene 4 más que la anterior. ¿Cuántos asientos tendrá la fila 25?
La fila 25 tiene 114 asientos. La fila 1 ya tiene 18: hasta la 25 se añaden 24 incrementos.
Ahorro de un año
Examen · elaboración propia
Una persona ahorra 15 € el primer mes y cada mes aumenta el ahorro en 5 €. ¿Cuánto ahorrará en total durante un año?
Ahorra 510 € durante los doce meses. Los 70 € son solo el ahorro del último mes.
Visitas durante el décimo día
Examen · elaboración propia
Las visitas que recibe un vídeo durante cada día duplican las del día anterior. Si durante el primer día recibió 120 visitas, ¿cuántas recibirá durante el día 10? Supón que se mantiene ese crecimiento.
Recibirá 61 440 visitas durante el día 10. Aquí el primer dato ya corresponde al día 1; hasta el día 10 hay nueve duplicaciones.
Suma de números impares
Examen · elaboración propia
Calcula la suma de todos los números impares desde 1 hasta 99.
Comprobación: hay 25 parejas de suma 100, desde \(1+99\) hasta \(49+51\); en total, 2500.
Depreciación anual
Examen · elaboración propia
Una máquina pierde un 20 % de su valor cada año. Si inicialmente cuesta 9000 €, ¿cuánto valdrá después de 5 años? Supón que cada pérdida se calcula sobre el valor del año anterior.
Tras cinco depreciaciones valdrá 2949,12 € en el modelo. Como comprobación, \(V_1=7200\) € y los valores disminuyen al multiplicar por 0,8.
Razón negativa
Examen · elaboración propia
Halla el término general de la PG:
La razón negativa alterna los signos: \(a_1=-2\), \(a_2=4\) y \(a_3=-8\). La sucesión no es monótona.
Sumar las longitudes de los peldaños
Examen · elaboración propia
Una escalera tiene 14 peldaños de longitudes distintas. El primero mide 18 cm de largo y cada uno mide 2 cm más que el anterior. ¿Cuál es la suma de las longitudes de las 14 piezas?
La suma de las longitudes es 434 cm, es decir, 4,34 m. Esta suma mide la longitud total de las piezas, no la altura de la escalera.
Reconstruir, interpolar y comprobar
Estos modelos amplían el trabajo básico. Exigen decidir qué información determina la progresión, interpretar todas las posibilidades y comprobar que el índice o la solución tienen sentido.
Interpolar medios aritméticos
Base guiada · elaboración propia
Intercala tres números entre \(-6\) y \(18\) para que los cinco términos formen una progresión aritmética. Escribe la progresión completa.
Cuenta los saltos. Tres términos intermedios producen cinco términos y cuatro saltos iguales.
Completa y comprueba.
Los números que se intercalan son \(0\), \(6\) y \(12\). Las cuatro diferencias consecutivas valen \(6\).
Dos términos de una PG: dos razones posibles
Reto de examen · ampliación de 3.º ESO · elaboración propia
Una progresión geométrica de términos reales cumple \(a_2=6\) y \(a_4=54\). Halla todas las razones posibles y escribe los cuatro primeros términos de cada solución. ¿Qué números pueden intercalarse entre \(6\) y \(54\) para obtener tres términos consecutivos de una PG real? ¿Qué solución queda si se exige que todos los términos sean positivos?
Relaciona las posiciones. De \(a_2\) a \(a_4\) hay dos multiplicaciones por \(r\). Como ambos términos son distintos de cero, \(r\ne0\).
La raíz positiva no agota las soluciones: \((-3)^2=9\).
Reconstruye cada rama.
Los términos intermedios posibles son \(18\) y \(-18\): en cada caso, los dos saltos usan la misma razón. Si todos los términos deben ser positivos, solo sirve \(r=3\); la rama \(r=-3\) alterna el signo.
Pertenencia: una ecuación no siempre da un término
Modelo · elaboración propia
Decide, justificándolo, si \(51\) pertenece a la progresión aritmética \(a_n=8+6(n-1)\) y si \(120\) pertenece a la progresión geométrica \(b_n=5\cdot2^{n-1}\). En ambas sucesiones, \(n\) debe ser un entero positivo.
PA: despeja el índice y comprueba su dominio.
Como \(49/6\) no es un entero positivo, \(51\) no pertenece a la PA. Comprobación: \(a_8=50<51<56=a_9\).
PG: compara potencias enteras.
No hay un exponente entero entre \(4\) y \(5\). Por tanto, \(120\) tampoco pertenece a la PG. Se confirma con \(b_5=80<120<160=b_6\).
Sumar un tramo de una progresión
Reto de examen · ampliación de 3.º ESO · elaboración propia
Calcula: a) \(a_4+a_5+\cdots+a_{10}\), si \(a_n=7+3(n-1)\); b) \(b_3+b_4+\cdots+b_7\), si \(b_n=3\cdot2^{n-1}\).
a) PA. El tramo comienza en \(a_4\), termina en \(a_{10}\) y contiene \(10-4+1=7\) términos.
Comprobación: \(16+19+22+25+28+31+34=175\).
b) PG. El primer término del tramo es \(b_3\); su razón sigue siendo \(2\) y hay \(7-3+1=5\) términos.
Comprobación: \(12+24+48+96+192=372\). En los dos apartados se cuenta también el término de cada extremo.
Número de semanas a partir del ahorro total
Modelo · elaboración propia
Una alumna ahorra \(4\,\text{euros}\) la primera semana y, en cada semana siguiente, ahorra \(2\,\text{euros}\) más que en la anterior. ¿Tras cuántas semanas habrá ahorrado en total \(180\,\text{euros}\)?
Modela el ahorro semanal. Es una PA con \(a_1=4\,\text{euros}\), \(d=2\,\text{euros}\) y \(n\) entero positivo. Expresamos las cantidades de dinero en euros.
Iguala al total y resuelve.
Se descarta \(n=-15\): no puede haber un número negativo de semanas.
Alcanza exactamente \(180\,\text{euros}\) al terminar la semana \(12\).
Número de filas a partir de una suma geométrica
Modelo · elaboración propia
En un panel se colocan \(3\) fichas en la primera fila. Cada fila siguiente contiene el doble de fichas que la anterior. Si en total se han colocado \(189\) fichas, ¿cuántas filas completas tiene el panel?
Las fichas de cada fila forman una PG con \(a_1=3\), \(r=2\) y \(n\) entero positivo.
Se reconoce una potencia conocida de \(2\); también puede comprobarse generando las sumas parciales.
El panel tiene \(6\) filas completas. La última contiene \(96\) fichas; \(189\) es el total de todas las filas.
Razones especiales: uno y cero
Modelo conceptual · elaboración propia
Usamos la definición recurrente de PG: un número fijo \(r\) cumple \(a_{n+1}=r\,a_n\). Considera A: \(a_1=7\), \(a_{n+1}=a_n\); y B: \(b_1=7\), \(b_{n+1}=0\cdot b_n\). Para cada sucesión, escribe los cuatro primeros términos, da una expresión válida para cualquier índice positivo, calcula la suma de los ocho primeros términos y decide si también es una PA.
A: razón \(1\).
También es una PA de diferencia \(0\). La fórmula de suma que divide por \(r-1\) no se utiliza aquí, porque su denominador sería cero.
B: razón \(0\). La recurrencia fija primero \(b_1\) y después genera los ceros.
No es una PA: las dos primeras diferencias son \(-7\) y \(0\). Es PG según la definición recurrente indicada, aunque los cocientes \(0/0\) no estén definidos. La expresión por casos evita escribir \(0^0\).
Ceros: lo observado y lo que impone el modelo
Razonamiento · elaboración propia
a) De una sucesión solo se han observado los cuatro primeros términos: \(0,0,0,0\). ¿Basta para afirmar que toda la sucesión es geométrica? b) Si además se sabe que es una PG definida por \(a_{n+1}=r\,a_n\), ¿cómo continúa y qué puede decirse de \(r\)? c) ¿Puede \(5,0,0,2\) ser el comienzo de una PG con esa definición?
a) Un prefijo no fija la ley. No basta: tanto \(0,0,0,0,0,\ldots\) como \(0,0,0,0,1,1,\ldots\) tienen los cuatro términos observados. La segunda no puede ser una PG, porque un término cero multiplicado por un número real sigue siendo cero.
b) La hipótesis de PG sí fija los términos siguientes.
La razón no es única: cualquier número real \(r\) satisface la recurrencia. No se obtiene una razón calculando \(0/0\). La sucesión nula también es una PA con \(d=0\).
c) El cero no puede ir seguido más adelante de un término no nulo.
Por tanto, \(5,0,0,2\) no puede ser el comienzo de una PG.
Valor inicial y tres periodos completos
Reto de examen · ampliación de 3.º ESO · elaboración propia
Un depósito contiene inicialmente \(200\,\mathrm{L}\). Al terminar cada jornada se extrae el \(25\,\%\) del agua que contiene en ese momento y no se repone agua. Calcula: a) el volumen que queda después de tres jornadas completas; b) el volumen total extraído durante esas tres jornadas. Usa \(a_0\) para el volumen inicial y explica qué posición correspondería al resultado del apartado a) si se llamase \(b_1\) al volumen inicial.
a) Cuenta periodos transcurridos. Cada jornada queda el \(75\,\%\), por lo que la razón es \(3/4\). El instante inicial lleva índice \(0\).
Si se usa \(b_1=200\,\mathrm{L}\), tras tres jornadas se llega a \(b_4\): desde el primer término se han dado tres saltos.
b) Suma lo extraído, no los volúmenes restantes. Las extracciones forman otra PG, cuyo primer término es \(e_1=\tfrac14\cdot200=50\,\mathrm{L}\) y cuya razón es \(3/4\).
Comprobación por conservación del agua.
Quedan \(84{,}375\,\mathrm{L}\) y se han extraído \(115{,}625\,\mathrm{L}\) en las tres jornadas.
Ampliación opcional: suma geométrica infinita
En algunas PG, las sumas de cada vez más términos se acercan a un número finito. Para un primer término distinto de cero esto ocurre cuando \(|r|<1\). La explicación formal mediante límites queda para cursos posteriores.
La potencia \(r^n\) se hace cada vez más pequeña en valor absoluto. Por eso, en la expresión de \(S_n\), el factor \(1-r^n\) se acerca a 1. Si \(a_1=0\), todos los términos de una PG definida por la recurrencia son cero y su suma es cero.
Una suma finita y una infinita no son intercambiables. Para sumar solo los primeros \(n\) términos, conserva el factor \(1-r^n\).
Suma infinita: total y resto de una suma parcial
Ampliación opcional de 3.º ESO · elaboración propia
Ampliación opcional. Calcula la suma infinita de la PG de razón \(1/3\): \(18+6+2+\tfrac23+\cdots\). Halla también la suma de sus cuatro primeros términos y la suma de todos los términos que quedan después del cuarto. Comprueba que ambas partes dan el total.
Comprueba la condición. Es una PG con \(a_1=18\) y \(r=1/3\). Como \(|r|<1\), las sumas parciales se acercan a un total finito.
El resto empieza en el quinto término.
Comprobación exacta:
Ninguna de estas sumas parciales es ya \(27\): queda una suma positiva, cada vez menor, por añadir.
| Términos sumados | Suma parcial | Hasta 27 faltan |
|---|---|---|
| 1 | \(18\) | \(9\) |
| 2 | \(24\) | \(3\) |
| 4 | \(80/3\) | \(1/3\) |
Áreas de bandas sin solapamiento
Ampliación opcional de 3.º ESO · elaboración propia
Ampliación opcional. En una composición geométrica ideal se colocan bandas rectangulares verticales una junto a otra, sin solaparse. Todas tienen \(2\,\mathrm{m}\) de altura y sus anchuras son \(1\,\mathrm{m}\), \(\tfrac12\,\mathrm{m}\), \(\tfrac14\,\mathrm{m}\), y así sucesivamente, siempre la mitad de la anterior. a) Calcula el área total de todas las bandas si el patrón continúa indefinidamente. b) Calcula el área de las cinco primeras y el área que falta por añadir. c) Comprueba que la composición no sobrepasa un rectángulo de \(2\,\mathrm{m}\) de altura y \(2\,\mathrm{m}\) de anchura.
a) Suma áreas de piezas disjuntas. Al no solaparse, sus áreas se suman. La altura es fija y las anchuras se dividen entre \(2\), por lo que las áreas forman una PG de razón \(1/2\).
b) Separa cinco bandas del resto.
c) Comprueba la anchura y la cota de área.
Las anchuras acumuladas no rebasan \(2\,\mathrm{m}\). El área total coincide con los \(2\cdot2=4\,\mathrm{m}^2\) del rectángulo. Después de cinco bandas queda un hueco de área \(1/8\,\mathrm{m}^2\), que corresponde exactamente al área de las bandas restantes.
24 ejercicios para practicar
Resuelve antes de abrir la solución. En el nivel de consolidación puedes consultar la pista; en los retos tendrás que decidir el procedimiento. El PDF conserva cada enunciado con su desarrollo y comprobación.
Base · ejercicios 1 a 8
Tres reglas, tres comportamientos
Estas tres sucesiones se prolongan con la regla indicada: A resta siempre 3; B multiplica siempre por \(-\frac12\); C suma sucesivamente \(4,6,8,10,\ldots\).
A: \(10,7,4,1,\ldots\). B: \(24,-12,6,-3,\ldots\). C: \(1,5,11,19,\ldots\).
Clasifica cada una como aritmética, geométrica o ninguna de las dos y escribe sus dos términos siguientes. Justifica la clasificación.
Ver solución Ejercicio 1
En A se conserva la diferencia; en B, el factor.
A es aritmética y B, geométrica. En C las diferencias son distintas y tampoco hay un factor constante:
C no es aritmética ni geométrica.
Comprobación: los nuevos términos mantienen las reglas dadas: \(-5-(-2)=-3\), \((-\frac34)/(\frac32)=-\frac12\) y \(41-29=12\).
La regla cambia con la posición
Una sucesión está definida por \(a_1=-1\) y \(a_{n+1}=a_n+2n+1\), para \(n\ge1\). Calcula desde \(a_2\) hasta \(a_5\). ¿Es aritmética? ¿Es geométrica?
Ver solución Ejercicio 2
Para pasar de \(a_n\) a \(a_{n+1}\) se usa el índice del término del que partimos.
No es aritmética: los incrementos son \(3,5,7,9\). Tampoco es geométrica:
Comprobación: al volver de \(a_5\) a \(a_4\), \(23-9=14\).
Leer el término general
Sea \(a_n=\frac{3n-1}{2}\), con \(n=1,2,3,\ldots\). Calcula \(a_1\), \(a_2\), \(a_6\) y \(a_{10}\). Decide si es una progresión aritmética y determina su diferencia.
Ver solución Ejercicio 3
La diferencia no depende de la posición:
Es aritmética, con \(d=\frac32\).
Comprobación: \(a_6=a_1+5d=1+5\cdot\frac32=\frac{17}{2}\).
Volver al primer término
En una progresión aritmética, \(a_4=-2\) y \(d=2{,}5\). Halla \(a_1\), escribe \(a_n\) y calcula \(a_{10}\). La numeración empieza en \(n=1\).
Ver solución Ejercicio 4
Entre el primer y el cuarto término hay tres saltos.
Comprobación: al avanzar seis saltos desde \(a_4\), \(-2+6\cdot2{,}5=13\).
Corregir el salto de más
Una progresión aritmética tiene \(a_1=7\) y \(d=-2\). Una alumna propone \(a_n=7-2n\). Comprueba si su fórmula respeta el primer término, corrígela y calcula \(a_6\).
Ver solución Ejercicio 5
La propuesta ya ha restado un salto cuando \(n=1\). La expresión correcta usa \(n-1\) saltos:
Comprobación: \(a_1=9-2=7\) y la lista \(7,5,3,1,-1,-3\) llega a \(-3\) en el sexto lugar.
Una suma con términos negativos
Calcula la suma de los nueve primeros términos de la progresión aritmética \(-9,-6,-3,0,\ldots\). Puedes agrupar términos para comprobar el resultado.
Ver solución Ejercicio 6
Comprobación. Los términos de −9 a 9 se cancelan por parejas.
Los signos también siguen una regla
Una sucesión empieza en \(a_1=5\) y cada término es el anterior multiplicado por \(-2\). Escribe sus cinco primeros términos, su término general y \(a_8\). Explica el signo de \(a_8\).
Ver solución Ejercicio 7
El exponente \(7\) es impar; por eso \((-2)^7\) y \(a_8\) son negativos.
Comprobación: \(a_7=320\) y \(a_8=-2\cdot320=-640\).
Una progresión constante
En la sucesión \(4{,}5,4{,}5,4{,}5,\ldots\), calcula \(a_{25}\) y \(S_{12}\). Justifica por qué es a la vez aritmética y geométrica y explica cómo sumarla sin dividir entre cero.
Ver solución Ejercicio 8
Es PA de diferencia cero y PG de razón uno. La fórmula geométrica con denominador \(r-1\) no se puede usar cuando \(r=1\); aquí se suman doce términos iguales.
Comprobación: la fórmula aritmética también da \(\frac{12(4{,}5+4{,}5)}2=54\).
Consolidación · ejercicios 9 a 16
Dos posiciones determinan la PA
Una progresión aritmética cumple \(a_3=14\) y \(a_8=-1\). Halla \(d\), \(a_1\), el término general y \(a_{12}\).
Pista: Cuenta los saltos entre los índices antes de restar los valores.
Ver solución Ejercicio 9
De la posición 3 a la 8 hay cinco saltos iguales.
Comprobación: \(a_3=23-9=14\) y \(a_8=23-24=-1\).
Resolver una ecuación no basta
En la progresión aritmética de primer término \(a_1=5{,}5\) y diferencia \(d=1{,}5\), decide si aparecen los números \(25\) y \(26\). Si alguno aparece, indica su posición. Los índices admitidos son \(1,2,3,\ldots\).
Pista: La solución de la ecuación debe ser un número natural positivo.
Ver solución Ejercicio 10
Probamos cada valor:
El 25 es \(a_{14}\). El 26 no pertenece a la progresión porque \(\frac{44}{3}\) no es un índice natural.
Comprobación: \(a_{14}=25\) y \(a_{15}=26{,}5\); el 26 queda entre dos términos consecutivos.
Todos los índices de un intervalo
Sea \(a_n=52-4n\), con \(n\ge1\) entero. Determina todos los términos que cumplen \(-10\le a_n\lt 15\). Indica sus índices y cuántos hay.
Pista: Resuelve por separado cada extremo del intervalo y reúne las condiciones.
Ver solución Ejercicio 11
Tomamos únicamente los índices enteros:
Comprobación de frontera: \(a_9=16\) y \(a_{16}=-12\) quedan fuera; \(a_{10}=12\) y \(a_{15}=-8\) sí cumplen ambas condiciones.
Una suma que no empieza en a₁
En una progresión aritmética, \(a_1=8\) y \(d=5\). Calcula \(a_6+a_7+\cdots+a_{14}\). No se pide la suma de los catorce primeros términos.
Pista: El número de sumandos incluye los dos extremos: último índice menos primero más uno.
Ver solución Ejercicio 12
Comprobación: \(S_{14}=567\), \(S_5=90\) y \(S_{14}-S_5=477\). Se resta hasta \(a_5\), porque \(a_6\) sí entra en la suma.
Reconstruir una PG desde el centro
En una progresión geométrica, \(a_4=-54\) y \(a_5=162\). Calcula la razón, el primer término y \(a_7\).
Pista: Para hallar la razón usa el término posterior dividido entre el anterior.
Ver solución Ejercicio 13
Los términos dados son consecutivos, así que su cociente determina la razón.
Comprobación desde el otro dato: \(a_7=a_5r^2=162\cdot9=1458\).
Localizar términos sin logaritmos
Una progresión geométrica tiene \(a_1=625\) y \(r=0{,}2\). Escribe su término general y encuentra las posiciones en las que aparecen \(1\) y \(0{,}04\). Trabaja con potencias o con términos consecutivos, sin logaritmos.
Pista: Escribe 0,2 como 1/5; cada salto divide el término entre cinco.
Ver solución Ejercicio 14
Dividir entre cinco en cada salto permite localizar los valores:
Comprobación: \(625\left(\frac15\right)^4=1\) y \(625\left(\frac15\right)^6=\frac1{25}=0{,}04\). Los términos son positivos y disminuyen, así que cada valor aparece una sola vez.
Sumar con razón negativa
Calcula la suma de los seis primeros términos de \(18,-9,4{,}5,-2{,}25,\ldots\), que continúa multiplicando por \(-\frac12\). Conserva el valor exacto y compruébalo agrupando parejas.
Pista: El exponente 6 afecta también al signo menos de la razón.
Ver solución Ejercicio 15
Comprobación por parejas:
El instante inicial no es la primera transformación
Un depósito contiene inicialmente 243 litros. En cada operación se retira exactamente un tercio del líquido que haya en ese momento. No se añade líquido. Sea \(V_t\) el volumen después de \(t\) operaciones, de modo que \(V_0=243\). Escribe \(V_t\), calcula el volumen tras cuatro operaciones y explica qué término representa ese mismo volumen si se llama \(a_1\) al volumen inicial.
Pista: Cuenta transformaciones realizadas, no estados escritos en la lista.
Ver solución Ejercicio 16
Después de cada operación quedan dos tercios del volumen anterior.
Si la lista empieza con \(a_1=243\), hacen falta cuatro saltos para alcanzar el mismo estado:
Comprobación: \(243\to162\to108\to72\to48\) contiene cuatro operaciones y cinco estados.
Examen · ejercicios 17 a 24
Fijar un ahorro que alcance el objetivo
Un grupo dispone ya de 80 € para comprar una impresora de 520 €. Hará ocho aportaciones semanales: la primera será de \(x\) euros y cada semana aportará 4 € más que la anterior. Las aportaciones deben ser cantidades enteras de euros. ¿Cuál es el menor valor posible de \(x\) para llegar al precio al terminar la octava semana? Indica también la última aportación.
Ver solución Ejercicio 17
Los 80 € iniciales no son una de las ocho aportaciones.
La menor primera aportación entera es 41 € y la última será \(41+28=69\) €.
Comprobación de suficiencia y mínimo: con \(x=41\), \(80+\frac{8(41+69)}2=520\) €; con \(x=40\), solo se reunirían \(512\) €.
Una grada montada por bloques
Se monta una grada temporal con tres bloques iguales de sillas en cada fila. En la primera fila hay 4 sillas por bloque; en cada fila siguiente se añade una silla a cada bloque. Hay 280 sillas disponibles y solo se montan filas completas. ¿Cuál es el mayor número de filas que se puede montar? ¿Cuántas sillas quedan sin colocar?
Ver solución Ejercicio 18
En la fila \(n\), cada bloque tiene \(4+(n-1)\) sillas. El total por fila es una PA:
Probamos dos cantidades consecutivas de filas cerca del límite:
Diez filas caben y once requieren más de 280 sillas. Como todas las filas tienen un número positivo de sillas, añadir más filas solo aumenta el total. Por eso el máximo es diez.
Comprobación: la undécima fila necesitaría 42 sillas y solo quedan 25.
Más en un día o más en total
Dos talleres proponen fabricar piezas durante cinco días, sin existencias previas. El plan A produce 14 piezas el primer día y aumenta la producción diaria en 4 piezas cada día. El plan B produce 2 piezas el primer día y duplica la producción diaria después de cada jornada. ¿Qué plan produce más el quinto día? ¿Cuál produce más en los cinco días juntos? Para un pedido de 80 piezas que debe estar completo al final del quinto día, ¿qué planes sirven?
Ver solución Ejercicio 19
Distinguimos la producción de un día y la producción acumulada.
B produce más el quinto día: 32 frente a 30 piezas. A produce más en el conjunto de los cinco días: 110 frente a 62. Solo A completa el pedido de 80 piezas a tiempo.
Comprobación con las listas:
La capacidad cuenta todos los niveles
Una aplicación crea carpetas por niveles. El nivel 1 tiene 4 carpetas; cada carpeta crea 3 carpetas nuevas en el nivel siguiente. Las carpetas de niveles anteriores se conservan. El sistema admite como máximo 450 carpetas en total, contando todos los niveles creados y sin contar ninguna carpeta raíz adicional. ¿Cuál es el mayor número de niveles completos que admite? ¿Cuántas plazas quedan libres entonces?
Ver solución Ejercicio 20
Las carpetas nuevas por nivel forman una PG, pero la capacidad limita la suma de todos los niveles.
Se admiten cuatro niveles completos. Un quinto supera el límite; cualquier nivel posterior añade más carpetas.
Comprobación: \(4+12+36+108=160\). El quinto nivel añadiría \(324\) carpetas, más que las \(290\) plazas disponibles.
El dato desconocido también entra en la diferencia
Los números \(x-3\), \(2x+1\) y \(5x-5\), en ese orden, son tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Halla \(x\), escribe los tres términos y determina la diferencia. Justifica que la solución es única.
Ver solución Ejercicio 21
Los dos saltos deben ser iguales:
La ecuación lineal tiene una única solución. Al sustituir:
Comprobación independiente: el término central es la media de los extremos, \(11=\frac{2+20}{2}\).
Dos términos no siempre deciden el signo
Una progresión geométrica de términos reales cumple \(a_2=12\) y \(a_4=108\). Un alumno afirma que la razón solo puede ser 3 porque ambos términos son positivos. Determina todas las razones posibles y, para cada una, calcula \(a_1\) y \(a_5\). Explica el error del alumno.
Ver solución Ejercicio 22
Entre los datos hay dos multiplicaciones por la razón:
Las dos posibilidades producen los términos dados.
El alumno ha olvidado que dos saltos con razón negativa vuelven a dar el mismo signo. Que \(a_2\) y \(a_4\) sean positivos no informa del signo de los términos intermedios.
Comprobación: las listas empiezan \(4,12,36,108,324\) y \(-4,12,-36,108,-324\).
Un intervalo en una PG
Sea \(a_n=3\cdot2^{n-1}\), con \(n=1,2,3,\ldots\). Encuentra todos los términos que cumplen \(40\lt a_n\le200\) e indica sus índices. Después calcula la suma de esos términos. No utilices logaritmos.
Ver solución Ejercicio 23
Como la razón es 2 y los términos son positivos, la progresión crece. Calculamos potencias alrededor de los límites:
Los únicos índices admisibles son 5, 6 y 7.
Comprobación con una suma geométrica de tres términos: \(48\frac{2^3-1}{2-1}=336\). La monotonía y los términos vecinos descartan otros índices.
Qué ocurre cuando aparece el cero
Se define una progresión geométrica como una sucesión que cumple \(a_{n+1}=r\,a_n\) para todo \(n\ge1\), con una razón real fija. Con esta definición, analiza las afirmaciones:
- «\(6,0,0,0,\ldots\) no puede ser geométrica, porque aparece el cociente \(0/0\)».
- «En \(0,0,0,0,\ldots\), la única razón posible es \(r=0\)».
Justifica ambas respuestas y calcula la suma de los diez primeros términos de la primera sucesión.
Ver solución Ejercicio 24
La primera afirmación es falsa. El cociente no siempre permite calcular la razón, pero la regla multiplicativa sí se cumple:
Una escritura que evita \(0^0\) es \(a_1=6\) y \(a_n=0\) para \(n\ge2\). Entonces:
La segunda afirmación también es falsa: para cualquier número real \(r\), se verifica \(r\cdot0=0\). La sucesión nula admite cualquier razón real y, por eso, la razón no queda determinada de forma única.
Comprobación: tanto \(r=2\) como \(r=-5\) generan la sucesión nula, mientras que en la primera sucesión el salto \(6\to0\) obliga a \(r=0\).
Dos simulacros de examen con soluciones
Dos simulacros de elaboración propia. Cada uno tiene ocho preguntas y vale 10 puntos: 1,25 por pregunta. Reserva tiempo para revisar el índice, la fórmula elegida y las unidades. Las soluciones se abren después de resolver.
Autocorrección orientativa por pregunta: 0,5 puntos por el modelo y la estrategia, 0,5 por el desarrollo correcto y 0,25 por responder y comprobar. En preguntas con varios apartados se reparte de forma proporcional. Un error aritmético no invalida un razonamiento posterior coherente.
Simulacro A
Término general aritmético
Halla el término general de la PA:
Ver solución A1
Comprobación: \(a_1=7\) y \(a_4=22\).
Un término de una PA
Calcula \(a_{40}\) de una PA con \(a_1=5\) y \(d=6\).
Ver solución A2
Se cuentan 39 incrementos desde la posición 1.
Suma de múltiplos positivos
Calcula la suma de los 30 primeros múltiplos positivos de 4.
Ver solución A3
El cero no se incluye: los términos son 4, 8, …, 120.
Término general geométrico
Halla el término general de la PG:
Ver solución A4
Para \(n=1\) se obtiene 3, y para \(n=4\), 81.
Término duodécimo de una PG
Calcula el término 12 de una PG con \(a_1=2\) y \(r=5\).
Ver solución A5
El primer término ya está dado: se multiplica por 5 once veces.
Población en ocho años
Una población aumenta un 3 % anual. Si actualmente tiene 25 000 habitantes, ¿cuántos tendrá dentro de 8 años? Usa un modelo de crecimiento compuesto con tasa constante y da una aproximación al habitante más próximo.
Ver solución A6
El modelo ideal aplica ocho aumentos desde el presente. Se redondea al final: aproximadamente 31 669 habitantes.
Una suma de cinco términos
Calcula:
Ver solución A7
También es válido sumar directamente los cinco números.
Cuarto rebote
Una pelota rebota siempre hasta un tercio de la altura anterior. Si cae desde 27 m, ¿qué altura alcanzará en el cuarto rebote?
Ver solución A8
Comprobación: los cuatro rebotes alcanzan 9, 3, 1 y \(1/3\) m. La respuesta exacta es \(1/3\) m.
Simulacro B
Reconocer y continuar
La sucesión A se prolonga restando siempre 5: \(17,12,7,2,\ldots\). La sucesión B se prolonga multiplicando siempre por \(\frac14\): \(64,16,4,1,\ldots\). Clasifica cada una como aritmética o geométrica, indica su diferencia o su razón y escribe el término siguiente de cada una.
Ver solución B1
A es aritmética y B es geométrica.
Comprobación: \(-3-2=-5\) y \(\frac{1/4}{1}=\frac14\).
Escribir una PA
Una progresión aritmética tiene \(a_1=-4\) y \(d=3\). Escribe su término general y calcula \(a_9\). La numeración comienza en \(n=1\).
Ver solución B2
Comprobación: \(a_1=3-7=-4\) y \(-4+8\cdot3=20\).
Reconstruir los datos que faltan
En una progresión aritmética, \(a_2=13\) y \(a_6=29\). Halla la diferencia, el primer término y \(a_{10}\).
Ver solución B3
Comprobación: \(a_6=9+5\cdot4=29\).
Pertenecer exige un índice admisible
La sucesión \(a_n=7n-2\) está definida para \(n=1,2,3,\ldots\). Decide si los números 96 y 100 son términos de la sucesión. En cada caso, muestra el cálculo que justifica tu respuesta.
Ver solución B4
El 96 sí aparece, en la posición 14. El 100 no aparece porque \(\frac{102}{7}\) no es un número natural.
Comprobación: \(a_{14}=96\) y \(a_{15}=103\); 100 queda entre ambos.
Sumar solo un tramo
Una progresión aritmética tiene \(a_1=5\) y \(d=2\). Calcula \(a_4+a_5+\cdots+a_9\), incluyendo ambos extremos.
Ver solución B5
Comprobación: \(11+13+15+17+19+21=96\).
Tres transformaciones desde el inicio
Una animación parte de 2 figuras en el instante inicial. En cada paso sustituye cada figura por 3 figuras nuevas. Sea \(F_t\) el número de figuras después de \(t\) pasos, con \(F_0=2\). Escribe \(F_t\) y calcula \(F_3\). Si se enumera la lista de estados llamando \(a_1\) al estado inicial, ¿qué término coincide con \(F_3\)?
Ver solución B6
Comprobación: \(2\to6\to18\to54\) son tres pasos y cuatro estados.
Una PG que alterna signos
Una progresión geométrica tiene \(a_1=-48\) y \(r=-0{,}5\). Calcula \(a_5\) y la suma de los cinco primeros términos. Explica por qué \(a_5\) es negativo.
Ver solución B7
La potencia de exponente 4 es positiva; multiplicada por \(-48\) da un término negativo.
Comprobación: \(-48+24-12+6-3=-33\).
Comparar dos planes con la pregunta adecuada
Dos planes de montaje empiezan sin piezas montadas. El plan A monta 9 piezas el primer día y añade 6 piezas a la producción diaria cada día. El plan B monta 2 piezas el primer día y triplica la producción diaria después de cada jornada. ¿Qué plan monta más piezas el tercer día? ¿Cuál lleva más piezas montadas al acabar el cuarto día? Justifica por qué las dos respuestas pueden ser distintas.
Ver solución B8
A produce más el tercer día, pero B lleva más al acabar el cuarto. La primera pregunta compara un término y la segunda, una suma de cuatro términos; además, en el cuarto día B añade 54 piezas.
Comprobación: A acumula \(9+15+21+27=72\); B acumula \(2+6+18+54=80\).
Hoja de seguimiento
Anota las tareas que necesitas repetir y el error concreto que has corregido.
| Habilidad | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error que debo evitar |
|---|---|---|---|---|
| Reconocer la regla | ||||
| Término y posición | ||||
| Sumas aritméticas | ||||
| Razón y término geométrico | ||||
| Sumas geométricas | ||||
| Periodos y contexto | ||||
| Retos de reconstrucción | ||||
| Simulacros |
Errores que cambian la respuesta
Confundir término y suma
\(a_n\) es un término; \(S_n\) acumula los primeros \(n\). No representan la misma cantidad.
Contar un salto de más
Entre las posiciones 1 y \(n\) hay \(n-1\) saltos. Entre el instante 0 y el instante \(t\) han transcurrido \(t\) periodos.
Aceptar cualquier índice
Una posición debe ser entera y admisible. Comprueba el resultado sustituyéndolo en la fórmula.
Dividir entre cero
Para calcular la razón por cocientes, el denominador no puede ser cero. Usa la definición recurrente si aparecen ceros.
Olvidar casos posibles
Una potencia par puede admitir razones de ambos signos. Contrasta cada caso con todos los datos.
Redondear antes de tiempo
Conserva la precisión de las potencias y redondea la respuesta final según las unidades y el contexto.
Continúa según la dificultad que necesites trabajar
Apoyo de Matemáticas para ESO
Si te cuesta elegir la fórmula o comprobar el índice, podemos trabajar el planteamiento sobre una pizarra compartida. Consulta las clases online de Marlu Educativa para ESO e indica el curso, los temas, la fecha del próximo examen y la disponibilidad fuera del horario escolar.
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¿Cómo distingo una PA de una PG?
En una PA se conserva la diferencia entre términos consecutivos. En una PG se conserva el factor que transforma un término en el siguiente. Si hay ceros, verifica la regla multiplicativa sin dividir entre cero.
¿Por qué aparece n−1 en el término general?
Porque desde la primera posición hasta la posición n hay n−1 pasos. Si se parte del instante 0 y se cuentan periodos, el exponente indica los periodos transcurridos.
¿Cuándo uso una fórmula de suma?
Cuando se pide el acumulado de varios términos. Si se pregunta por una fila, un día o una posición concreta, primero identifica si se quiere solo ese término o también los anteriores.
¿Puede una progresión ser aritmética y geométrica?
Una sucesión constante es aritmética de diferencia cero y admite una razón que mantiene su valor. En la sucesión de ceros, los cocientes no definen la razón, pero la recurrencia puede comprobarse.
¿Necesito logaritmos para estos ejercicios?
No. Cuando hay que encontrar un índice de una PG, se utilizan potencias conocidas, una tabla o un tanteo comprobado. El tratamiento con logaritmos corresponde a una continuación posterior.
¿La suma infinita forma parte del nivel básico?
Se presenta como ampliación opcional. Algunos materiales de 3.º ESO la trabajan; la programación concreta puede variar. Aquí se explica de forma intuitiva y con dos modelos propios, sin desarrollar límites formales.
¿Los simulacros son exámenes oficiales?
No. Los dos simulacros son de elaboración propia de Marlu Educativa y permiten practicar y corregir procedimientos del tema.
¿Qué incluye la versión imprimible?
Teoría esencial, formulario, 46 modelos, 24 ejercicios y los dos simulacros con sus soluciones completas. Las respuestas se abren para imprimir y cada actividad conserva enunciado, desarrollo y comprobación en el mismo folio.