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Funciones y gráficas ESO ejercicios resueltos paso a paso
Funciones y gráficas ESO ejercicios resueltos paso a paso
Recurso completo de Matemáticas ESO sobre funciones y gráficas. Incluye tablas de valores, puntos en el plano, dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, función lineal, función afín, pendiente, cortes con los ejes, parábolas sencillas, funciones a trozos e interpretación de gráficas reales.
Las funciones son uno de los temas que más conectan con todo lo demás: álgebra, proporcionalidad, ecuaciones, sistemas, geometría analítica, Física y Bachillerato. Si un alumno entiende bien este bloque, gana mucha seguridad para cursos posteriores.
Clases online de Matemáticas Clases online por la mañanaEste recurso está elaborado por José María de Marlu Educativa para alumnos de ESO que necesitan entender las funciones con claridad, no solo aprender a colocar puntos en una gráfica. La idea es que el alumno sepa leer una gráfica, construirla, interpretarla y relacionarla con situaciones reales.
En las clases online de Marlu Educativa trabajamos con pizarra digital compartida en tiempo real. En funciones esto ayuda muchísimo, porque profesor y alumno pueden dibujar ejes, tablas, rectas y parábolas mientras se corrigen los errores en el momento.
Índice
1. Qué es una función
Una función relaciona dos magnitudes. A cada valor de la variable independiente \(x\) le corresponde un único valor de la variable dependiente \(y\).
Se suele escribir así:
\[ y=f(x) \]Esto significa que el valor de \(y\) depende del valor que demos a \(x\).
Variable independiente
Es la que elegimos o controlamos.
\[ x \]Variable dependiente
Es la que cambia según el valor de \(x\).
\[ y \]Ejemplo real
Si un taxi cobra según los kilómetros, el precio depende de los kilómetros.
Ejercicio 1
Una entrada de cine cuesta 8 €. Si \(x\) es el número de entradas, escribe la función que da el precio total.
El precio total depende del número de entradas.
\[ y=8x \]Si se compran 3 entradas:
\[ y=8\cdot3=24 \]El precio sería 24 €.
Ejercicio 2
Un gimnasio cobra 20 € de matrícula y 15 € al mes. Si \(x\) es el número de meses, escribe la función del coste total.
Hay una cantidad fija de 20 € y después se suman 15 € por cada mes.
\[ y=15x+20 \]Error frecuente: pensar que todas las funciones pasan por el origen. Si hay una cuota fija, un precio inicial o una cantidad de salida, la función no empieza en \(0\).
2. Tabla de valores
Una tabla de valores sirve para calcular varios puntos de una función. Después esos puntos se pueden representar en una gráfica.
El procedimiento es sencillo:
- Elegimos varios valores de \(x\)
- Sustituimos en la función
- Calculamos el valor de \(y\)
- Representamos los puntos \((x,y)\)
Ejercicio 3
Completa una tabla de valores para:
\[ y=2x+1 \]usando \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2x+1\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) |
Los puntos son:
\[ (-2,-3),\ (-1,-1),\ (0,1),\ (1,3),\ (2,5) \]Ejercicio 4
Haz una tabla para:
\[ y=x^2 \]con \(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=x^2\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
Observa que valores opuestos de \(x\) dan el mismo resultado.
En una tabla de valores, conviene elegir valores pequeños de \(x\): \(-2,-1,0,1,2\). Así los cálculos son más limpios y se ve mejor la forma de la gráfica.
3. Ejes coordenados y puntos
Un punto del plano se escribe como:
\[ (x,y) \]El primer número indica el movimiento horizontal y el segundo número indica el movimiento vertical.
Primer cuadrante
\[ (+,+) \]Derecha y arriba.
Segundo cuadrante
\[ (-,+) \]Izquierda y arriba.
Tercer cuadrante
\[ (-,-) \]Izquierda y abajo.
Cuarto cuadrante
\[ (+,-) \]Derecha y abajo.
Ejercicio 5
Indica en qué cuadrante está cada punto.
\[ A(3,4),\quad B(-2,5),\quad C(-1,-6),\quad D(7,-3) \]\(A(3,4)\) está en el primer cuadrante.
\(B(-2,5)\) está en el segundo cuadrante.
\(C(-1,-6)\) está en el tercer cuadrante.
\(D(7,-3)\) está en el cuarto cuadrante.
Ejercicio 6
¿Pertenece el punto \(P(2,5)\) a la función \(y=2x+1\)?
Sustituimos \(x=2\):
\[ y=2\cdot2+1 \] \[ y=5 \]Como el valor obtenido es 5, el punto \(P(2,5)\) sí pertenece a la función.
Ejercicio 7
¿Pertenece el punto \(Q(3,4)\) a la función \(y=x+2\)?
Pero el punto tiene \(y=4\). Por tanto, \(Q(3,4)\) no pertenece a la función.
4. Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar \(x\).
El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar \(y\).
Dominio
Valores posibles de entrada.
\[ x \]Recorrido
Valores posibles de salida.
\[ y \]Ejercicio 8
Una máquina vende botellas de agua por 1 €. Si solo puede vender entre 0 y 10 botellas, ¿cuál es el dominio?
El número de botellas no puede ser negativo y no puede superar 10.
\[ 0\leq x\leq10 \]Además, en este caso \(x\) solo puede tomar valores enteros.
Ejercicio 9
La función \(y=x^2\) se estudia para \(x=-2,-1,0,1,2\). Indica dominio y recorrido.
Dominio:
\[ \{-2,-1,0,1,2\} \]Calculamos los valores de \(y\):
\[ 4,\ 1,\ 0,\ 1,\ 4 \]Recorrido:
\[ \{0,1,4\} \]Error frecuente: repetir valores en el recorrido. Si \(y=4\) aparece dos veces, en el recorrido se escribe una sola vez.
5. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos
Una función es creciente cuando, al avanzar hacia la derecha, la gráfica sube.
Una función es decreciente cuando, al avanzar hacia la derecha, la gráfica baja.
Un máximo es un punto alto de la gráfica. Un mínimo es un punto bajo.
Ejercicio 10
Observa esta tabla y di si la función crece o decrece.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(10\) | \(7\) | \(4\) | \(1\) |
Al aumentar \(x\), los valores de \(y\) disminuyen.
La función es decreciente.
Ejercicio 11
En la función \(y=x^2\), usando \(x=-2,-1,0,1,2\), indica dónde está el mínimo.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
El menor valor de \(y\) es 0.
El mínimo está en:
\[ (0,0) \]Para leer una gráfica, siempre se mira de izquierda a derecha. No desde arriba hacia abajo ni desde el origen hacia fuera.
6. Función lineal
Una función lineal tiene la forma:
\[ y=mx \]Su gráfica es una recta que pasa por el origen.
El número \(m\) indica la pendiente.
Ejercicio 12
Representa la función:
\[ y=2x \]| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
La recta pasa por el origen porque cuando \(x=0\), entonces \(y=0\).
Ejercicio 13
Una panadería vende barras de pan a 1,20 €. Escribe la función que relaciona número de barras y precio.
Si \(x\) es el número de barras:
\[ y=1,20x \]Es una función lineal porque no hay coste fijo.
Ejercicio 14
Indica si la función es lineal:
\[ y=3x+5 \]No es lineal en sentido estricto porque no tiene la forma \(y=mx\). Tiene un término independiente \(5\).
Es una función afín.
7. Función afín
Una función afín tiene la forma:
\[ y=mx+n \]Su gráfica es una recta. El número \(m\) es la pendiente y el número \(n\) indica el corte con el eje \(y\).
Pendiente positiva
\[ y=2x+1 \]La recta sube.
Pendiente negativa
\[ y=-3x+4 \]La recta baja.
Término independiente
\[ y=5x-2 \]Corta el eje \(y\) en \(-2\).
Ejercicio 15
Representa:
\[ y=x+3 \]| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=x+3\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Corta el eje \(y\) en:
\[ (0,3) \]Ejercicio 16
Representa:
\[ y=-2x+4 \]| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-2x+4\) | \(6\) | \(4\) | \(2\) | \(0\) | \(-2\) |
La recta es decreciente porque la pendiente es negativa.
8. Pendiente y cortes con los ejes
La pendiente indica la inclinación de una recta.
En una función afín:
\[ y=mx+n \]la pendiente es \(m\) y el corte con el eje \(y\) es \(n\).
Ejercicio 17
Indica pendiente y corte con el eje \(y\):
\[ y=4x-7 \]Pendiente:
\[ m=4 \]Corte con el eje \(y\):
\[ n=-7 \]La recta corta el eje \(y\) en:
\[ (0,-7) \]Ejercicio 18
Halla el corte con el eje \(x\) de:
\[ y=2x-6 \]En el eje \(x\), el valor de \(y\) es 0.
\[ 0=2x-6 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]Corte con el eje \(x\):
\[ (3,0) \]Ejercicio 19
Halla los cortes con los ejes de:
\[ y=-x+5 \]Corte con el eje \(y\):
\[ x=0 \] \[ y=5 \] \[ (0,5) \]Corte con el eje \(x\):
\[ y=0 \] \[ 0=-x+5 \] \[ x=5 \] \[ (5,0) \]Ejercicio 20
Una recta pasa por los puntos \(A(1,3)\) y \(B(4,9)\). Calcula su pendiente.
La pendiente también se puede leer como “lo que sube o baja la recta por cada unidad que avanzamos hacia la derecha”.
9. Función constante
Una función constante tiene siempre el mismo valor de \(y\), aunque cambie \(x\).
\[ y=k \]Su gráfica es una recta horizontal.
Ejercicio 21
Representa:
\[ y=3 \]Para cualquier valor de \(x\), siempre tenemos:
\[ y=3 \]Algunos puntos son:
\[ (-2,3),\ (0,3),\ (2,3) \]10. Función cuadrática sencilla
Una función cuadrática tiene \(x^2\). Su gráfica es una parábola.
La más sencilla es:
\[ y=x^2 \]Esta parábola tiene un mínimo en:
\[ (0,0) \]Ejercicio 22
Completa la tabla de:
\[ y=x^2-1 \]para \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=x^2-1\) | \(3\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) |
El mínimo está en:
\[ (0,-1) \]Ejercicio 23
Indica si la parábola \(y=x^2+4\) tiene mínimo y dónde está.
La función \(y=x^2\) tiene mínimo en \((0,0)\). Al sumar 4, la parábola sube 4 unidades.
El mínimo está en:
\[ (0,4) \]Ejercicio 24
Calcula los puntos de corte con el eje \(x\) de:
\[ y=x^2-9 \]En el eje \(x\), \(y=0\).
\[ 0=x^2-9 \] \[ x^2=9 \] \[ x=\pm3 \]Los cortes son:
\[ (-3,0),\quad (3,0) \]Error frecuente: pensar que todas las parábolas cortan al eje \(x\). Por ejemplo, \(y=x^2+4\) no corta al eje \(x\) porque siempre vale como mínimo 4.
11. Funciones a trozos sencillas
Una función a trozos tiene fórmulas distintas según el valor de \(x\).
En ESO suelen aparecer de forma sencilla, especialmente en tarifas, descuentos o situaciones por tramos.
Ejercicio 25
Un aparcamiento cobra 2 € si se está hasta 1 hora, y 1 € más por cada hora adicional. Completa la tabla.
| Horas | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Precio | 2 € | 3 € | 4 € | 5 € |
La función no es simplemente proporcional porque la primera hora ya tiene un precio fijo.
Para \(x\geq1\), una expresión posible sería:
\[ y=x+1 \]donde \(x\) representa las horas completas.
Ejercicio 26
Una tarifa de teléfono cobra 10 € fijos y 0,05 € por minuto. Escribe la función.
donde \(x\) es el número de minutos.
12. Interpretación de gráficas reales
Interpretar una gráfica significa explicar qué está pasando sin limitarse a hacer cálculos. Es una habilidad muy importante en Matemáticas, Física, Economía y muchas pruebas académicas.
Ejercicio 27
En una gráfica distancia-tiempo, la línea sube, luego queda horizontal y después baja. Explica qué significa.
Si la gráfica sube, la distancia aumenta. La persona se aleja.
Si queda horizontal, la distancia no cambia. La persona está parada.
Si baja, la distancia disminuye. La persona vuelve hacia el punto de partida.
Ejercicio 28
Una gráfica de temperatura empieza en 5 grados, sube hasta 18 grados y luego baja hasta 12 grados. ¿Cuál es el máximo?
El valor más alto alcanzado es 18 grados.
El máximo es:
\[ 18\ ^\circ C \]Ejercicio 29
Una gráfica de velocidad-tiempo es horizontal en \(v=60\). ¿Qué significa?
Significa que la velocidad es constante.
\[ v=60 \]No está parado, sino moviéndose siempre a la misma velocidad.
En gráficas reales, una línea horizontal no siempre significa “parado”. Depende de qué magnitud esté en el eje vertical. Si el eje vertical es distancia, sí puede significar parado. Si es velocidad, significa velocidad constante.
13. Problemas tipo examen
Problema 1
Un taxi cobra 3 € de bajada de bandera y 1,20 € por kilómetro. Escribe la función del precio y calcula cuánto cuesta un viaje de 15 km.
Para \(x=15\):
\[ y=1,20\cdot15+3 \] \[ y=18+3 \] \[ y=21 \]El viaje cuesta 21 €.
Problema 2
Un depósito contiene 500 litros de agua y se vacía a razón de 25 litros por minuto. Escribe la función que expresa los litros restantes.
donde \(x\) es el tiempo en minutos.
Para saber cuándo se vacía:
\[ 0=500-25x \] \[ 25x=500 \] \[ x=20 \]Se vacía en 20 minutos.
Problema 3
Una empresa cobra 40 € por desplazamiento y 18 € por cada hora de trabajo. Escribe la función y calcula el coste de 5 horas.
El coste es 130 €.
Problema 4
La altura de una pelota se modela de forma sencilla con:
\[ y=-x^2+6x \]Calcula su altura para \(x=0,1,2,3,4,5,6\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-x^2+6x\) | \(0\) | \(5\) | \(8\) | \(9\) | \(8\) | \(5\) | \(0\) |
La altura máxima es 9.
Problema 5
Una tarifa de internet cobra 25 € al mes. Otra cobra 10 € fijos y 3 € por cada 10 GB consumidos. Si \(x\) son bloques de 10 GB, compara ambas funciones.
Primera tarifa:
\[ y=25 \]Segunda tarifa:
\[ y=10+3x \]Igualamos para ver cuándo cuestan lo mismo:
\[ 25=10+3x \] \[ 15=3x \] \[ x=5 \]Con 5 bloques de 10 GB, es decir 50 GB, cuestan lo mismo.
14. Errores frecuentes en funciones y gráficas
Confundir \(x\) e \(y\)
El punto \((2,5)\) no es lo mismo que \((5,2)\).
Leer la gráfica al revés
Las gráficas se leen de izquierda a derecha.
Olvidar el corte con \(y\)
En \(y=mx+n\), el número \(n\) indica dónde corta la recta al eje vertical.
Pensar que horizontal es siempre parado
Depende de la magnitud representada en el eje vertical.
Hacer tablas sin orden
Conviene ordenar los valores de \(x\) de menor a mayor.
No comprobar puntos
Para saber si un punto pertenece a una función hay que sustituir.
El error más grave en funciones no suele ser de cálculo, sino de interpretación. Muchos alumnos calculan bien una tabla, pero no saben explicar qué significa la gráfica.
15. Simulacro final de funciones ESO
Ejercicios para practicar
- Completa una tabla para \(y=3x-2\) usando \(x=-1,0,1,2,3\)
- Indica pendiente y corte con el eje \(y\) en \(y=-4x+6\)
- Calcula los cortes con los ejes de \(y=2x-8\)
- Comprueba si \(P(3,10)\) pertenece a \(y=3x+1\)
- Representa \(y=x^2\) con \(x=-2,-1,0,1,2\)
- Indica el mínimo de \(y=x^2+2\)
- Un taxi cobra 2,50 € fijos y 1,10 € por km. Escribe la función
- Un depósito tiene 300 litros y pierde 15 litros por minuto. ¿Cuándo se vacía?
- Una recta pasa por \(A(1,2)\) y \(B(4,8)\). Calcula la pendiente
- Explica qué significa una gráfica distancia-tiempo horizontal
Soluciones del simulacro
1
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=3x-2\) | \(-5\) | \(-2\) | \(1\) | \(4\) | \(7\) |
2
\[ m=-4,\quad n=6 \]3
Corte con \(y\):
\[ (0,-8) \]Corte con \(x\):
\[ 0=2x-8 \] \[ x=4 \] \[ (4,0) \]4
\[ y=3\cdot3+1=10 \]Sí pertenece.
5
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=x^2\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
6
\[ (0,2) \]7
\[ y=1,10x+2,50 \]8
\[ 0=300-15x \] \[ x=20 \]Se vacía en 20 minutos.
9
\[ m=\frac{8-2}{4-1} \] \[ m=2 \]10
Significa que la distancia al punto de partida no cambia. La persona está parada.
16. Recursos relacionados
Para dominar funciones, conviene reforzar antes álgebra, ecuaciones y sistemas. Las funciones no son un tema aislado: aparecen en problemas, gráficas, Física, proporcionalidad y Bachillerato.
Álgebra y ecuaciones 1 ESO
Ideal para repasar letras, expresiones y ecuaciones sencillas antes de trabajar funciones.
Ver álgebra 1 ESOSistemas de ecuaciones 2 ESO 3 ESO 4 ESO
Muy útil para entender cortes entre rectas y resolver problemas con dos incógnitas.
Ver sistemasEcuaciones ESO Bachillerato PAU
Recurso amplio para seguir practicando ecuaciones, base directa para funciones y gráficas.
Ver ecuacionesÁlgebra 4 ESO preparar 1 Bachillerato
Puente natural para avanzar hacia funciones más completas, parábolas, dominio y Bachillerato.
Ver álgebra 4 ESOGeometría analítica 1 Bachillerato
Para alumnos que quieren continuar con rectas, puntos, vectores y representación en el plano.
Ver geometría analíticaRecursos educativos
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Si las funciones se atascan, lo normal es que haya varios puntos mezclados: álgebra, lectura de gráficas, tablas, signos, pendiente e interpretación del enunciado. En Marlu Educativa trabajamos todo esto paso a paso, con ejercicios graduados y explicación clara.
Las clases online permiten trabajar sobre la misma pizarra digital compartida. El alumno puede escribir con tableta o iPad con lápiz si lo desea, y el profesor corrige el razonamiento mientras se construye la gráfica.
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