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Funciones y gráficas ESO ejercicios resueltos paso a paso
De una tabla a una gráfica hay algo más que colocar puntos. Hay que entender qué cambia, qué valores tienen sentido y qué cuenta cada tramo.
Aquí empezamos por las entradas y las salidas de una función. Después construimos rectas, interpretamos pendientes y estudiamos parábolas sencillas. Cada ejercicio tiene una solución que puedes abrir cuando hayas probado por tu cuenta.
La base sirve para los primeros cursos de ESO. Las parábolas y las tarifas por tramos permiten avanzar un poco más. Este cuaderno no desarrolla el estudio algebraico de todas las familias de funciones de 4.º de ESO ni utiliza límites o derivadas.
Antes de dibujar, decide qué estás representando
Una gráfica correcta tiene que contar la misma historia que el enunciado, la fórmula y la tabla. El Método Marlu ordena el trabajo para que puedas comprobar esa correspondencia.
- Lee las variables. Di qué mide cada eje y en qué unidades.
- Fija el dominio. ¿Se admiten fracciones, números negativos o solo cantidades enteras?
- Elige el modelo. Reconoce si hay proporcionalidad, coste fijo, una curva o distintas reglas por tramos.
- Calcula y representa. Conserva los signos, usa una escala visible y distingue los puntos aislados de una curva continua.
- Vuelve al problema. Comprueba un punto y explica el resultado. Un precio, una altura y una pendiente no responden a la misma pregunta.
Si el bloqueo aparece al sustituir números o despejar una letra, vuelve un momento a álgebra y ecuaciones de base. Una gráfica no arregla por sí sola un signo cambiado en la cuenta.
Una comprobación rápida antes de empezar
¿Pueden dos entradas distintas tener la misma salida? Sí. En \(f(x)=x^2,\) las entradas \(-2\) y \(2\) dan \(4.\)
¿Se pueden unir los precios de una, dos y tres entradas de cine con una recta continua? La fórmula admite esa extensión, pero la compra de entradas enteras se representa con puntos separados.
¿Estar por debajo del eje horizontal significa que la función decrece? No. \(y=x-5\) es creciente aunque sus valores sean negativos para \(x<5.\)
1. Qué es una función y qué representan sus variables
Imagina una máquina que recibe un número y devuelve otro. Para que la relación sea una función, cada entrada admitida debe tener una sola salida. Dos entradas distintas sí pueden dar el mismo resultado. Lo que no puede ocurrir es que la misma entrada tenga dos salidas diferentes.
Escribimos \(y=f(x).\) La letra \(x\) representa la variable independiente, la entrada del modelo, y \(y\) representa la variable dependiente. El conjunto de entradas admitidas se llama dominio. En un problema, empezar por decir qué mide cada letra evita muchas confusiones después.
La relación \(\{(1,3),(2,3),(3,5)\}\) es una función. Repetir la salida \(3\) no es un problema. La relación \(\{(1,3),(1,5)\}\) no lo es, porque a la entrada \(1\) le asigna dos valores.
Ejercicio 1. El precio de las entradas
Una entrada de cine cuesta 8 €. Si \(x\) es el número de entradas compradas, escribe la función del precio total y calcula el coste de tres entradas.
Ver solución razonada
El precio total se obtiene multiplicando el precio de una entrada por la cantidad. Si llamamos \(P(x)\) al precio en euros, tenemos
Tres entradas cuestan 24 €. El dominio es \(\{0,1,2,3,\ldots\},\) mientras no se imponga una limitación de aforo. No tiene sentido comprar \(2{,}4\) entradas. Por eso la gráfica está formada por puntos separados, aunque todos estén alineados.
Comprobación. Con cero entradas el coste es cero. Cada entrada adicional aumenta el precio en 8 €.
Ejercicio 2. Una matrícula y varias mensualidades
Un gimnasio cobra 20 € de matrícula y 15 € por cada mes contratado. Escribe el coste acumulado de la matrícula y \(x\) mensualidades. ¿Cuánto se paga en total al contratar cuatro meses?
Ver solución razonada
Los 20 € se pagan una sola vez. Las mensualidades aportan \(15x\) euros. La función, con \(x\) entero no negativo, es
Para cuatro meses, \(C(4)=20+15\cdot4=80.\) El coste total es 80 €. El valor \(C(0)=20\) representa solo la matrícula, antes de añadir mensualidades.
La gráfica no pasa por el origen, porque el coste inicial es distinto de cero. Eso no impide que sea una función.
2. Construir una tabla de valores sin perder los signos
Una tabla reúne parejas \((x,y)\) de la función. Se elige una entrada, se sustituye en la fórmula y se calcula la salida. Después se repite el proceso. Al sustituir un número negativo, escríbelo entre paréntesis.
No existe una lista de valores que sirva siempre. Para una recta bastan dos puntos distintos. Para una parábola interesa elegir puntos a ambos lados del vértice. Si el contexto solo admite cantidades enteras, no añadimos entradas fraccionarias.
Ejercicio 3. Una tabla para una función afín
Calcula los valores de \(f(x)=2x+1\) para \(x=-2,-1,0,1,2\) y representa los puntos obtenidos.
Ver solución razonada
Para la primera entrada, \(f(-2)=2\cdot(-2)+1=-3.\) Para la siguiente, \(f(-1)=2\cdot(-1)+1=-1.\) Al continuar se obtiene
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) |
Los puntos son \((-2,-3),\) \((-1,-1),\) \((0,1),\) \((1,3)\) y \((2,5).\) Como la fórmula define una función afín para todos los números reales, su gráfica es la recta que pasa por ellos.
Al aumentar \(x\) en una unidad, \(f(x)\) aumenta en dos. La tabla concuerda con la pendiente \(2.\)
Ejercicio 4. El cuadrado de un número negativo
Haz una tabla de \(g(x)=x^2\) para \(x=-3,-2,-1,0,1,2,3.\)
Ver solución razonada
La sustitución \(g(-3)=(-3)^2=9\) muestra por qué hay que conservar los paréntesis. El cuadrado de un número real nunca es negativo.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
Entradas opuestas producen la misma salida. Por ejemplo, \(g(-2)=g(2)=4.\) Esa igualdad se refleja en la simetría de la parábola respecto del eje vertical.
Una tabla no demuestra por sí sola qué ocurre entre sus puntos. La unión mediante una recta o una curva necesita estar justificada por la fórmula o por el modelo. En el cine, por ejemplo, unir los puntos daría precios de fracciones de entrada que no se venden.
3. Coordenadas, cuadrantes y pertenencia a una gráfica
En el punto \((x,y),\) la primera coordenada indica la posición horizontal y la segunda la vertical. Desde el origen, una coordenada positiva lleva a la derecha o hacia arriba. Una negativa lleva a la izquierda o hacia abajo.
Los cuadrantes se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Sus signos son I \((+,+),\) II \((-,+),\) III \((-,-)\) y IV \((+,-).\) Los puntos situados sobre los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
Ejercicio 5. Localizar puntos, incluidos los que están en los ejes
Indica dónde se encuentran \(A(3,4),\) \(B(-2,5),\) \(C(-1,-6),\) \(D(7,-3),\) \(E(0,3)\) y \(F(2,0).\)
Ver solución razonada
Por el signo de sus coordenadas, \(A\) está en el primer cuadrante, \(B\) en el segundo, \(C\) en el tercero y \(D\) en el cuarto.
En \(E(0,3),\) la coordenada horizontal es cero. El punto está en el eje \(y.\) En \(F(2,0),\) la coordenada vertical es cero y el punto está en el eje \(x.\) Ninguno de los dos está en un cuadrante.
Ejercicio 6. Un punto que sí pertenece
Comprueba si \(P(2,5)\) pertenece a la gráfica de \(y=2x+1.\)
Ver solución razonada
La entrada del punto es \(x=2.\) Al sustituirla, la función da
Coincide con la segunda coordenada de \(P.\) El punto sí pertenece a la gráfica. La comprobación exige que ambas coordenadas satisfagan la ecuación al mismo tiempo.
Ejercicio 7. Un punto que no pertenece
¿Pertenece \(Q(3,4)\) a la gráfica de \(y=x+2?\)
Ver solución razonada
Para \(x=3,\) la salida debería ser \(3+2=5.\) El punto propuesto tiene salida \(4.\) Como \(4\ne5,\) no pertenece. El punto de la gráfica con esa misma primera coordenada es \((3,5).\)
4. Dominio y recorrido. Entradas posibles y salidas alcanzadas
El dominio recoge los valores de entrada para los que se considera la función. El recorrido recoge las salidas que realmente se obtienen. Al leer una gráfica, el dominio se busca en dirección horizontal y el recorrido en dirección vertical.
Un intervalo incluye todos los números entre sus extremos. Así, \([0,3]\) contiene también \(0{,}5,\) \(1{,}7\) y todos los demás valores intermedios. El conjunto \(\{0,1,2,3\}\) contiene solo esos cuatro números. Los corchetes indican que se incluye el extremo. Los paréntesis indican que se excluye.
Ejercicio 8. El dominio de una máquina de botellas
Una máquina vende botellas de agua a 1 € cada una y tiene diez botellas. Si \(x\) es la cantidad comprada en una operación, indica el dominio y el recorrido del precio.
Ver solución razonada
Se pueden comprar cantidades enteras desde cero hasta diez botellas. La expresión \(0\le x\le10\) no basta si no se aclara que \(x\) es entero. Es más preciso escribir
El precio en euros es \(P(x)=x.\) Por tanto, los valores numéricos del recorrido son \(\{0,1,2,\ldots,10\},\) expresados en euros. No aparecen 3,50 €, porque no se venden medias botellas.
Ejercicio 9. La misma fórmula con dos dominios distintos
Estudia \(f(x)=x^2\) primero para el dominio \(D_1=\{-2,-1,0,1,2\}\) y después para el intervalo \(D_2=[-2,2].\) Indica el recorrido en cada caso.
Ver solución razonada
En el primer caso solo se calculan cinco entradas. Sus salidas son \(4,1,0,1,4.\) El recorrido es \(\{0,1,4\}.\) Los valores repetidos se escriben una sola vez.
En el segundo caso también están admitidas las entradas intermedias. Como \(x^2\) no es negativo y \(|x|\le2,\) se cumple \(0\le x^2\le4.\) Además, cada número \(r\) entre 0 y 4 se obtiene tomando \(x=\sqrt r,\) que está entre 0 y 2. Por ello, el recorrido completo es \([0,4].\)
Cambiar el dominio cambia la función que estamos estudiando, aunque la fórmula sea la misma. Una tabla de cinco entradas no representa todo el intervalo.
En \(y=2x+1,\) sin restricciones de contexto, dominio y recorrido son \(\mathbb R.\) En \(y=x^2,\) el dominio es \(\mathbb R,\) pero el recorrido es \([0,+\infty).\) La parábola nunca produce valores negativos.
5. Crecimiento, decrecimiento y extremos sin derivadas
El crecimiento se estudia por intervalos. Avanzamos de izquierda a derecha. Si las salidas aumentan, la función es creciente en ese tramo. Si disminuyen, es decreciente. Si permanecen iguales, es constante.
Un máximo relativo es un valor de la función mayor o igual que los valores próximos. Un máximo absoluto es el mayor de todo el dominio considerado. Para los mínimos se invierte la comparación. Es útil distinguir el lugar donde ocurre, el valor alcanzado y el punto de la gráfica.
En esta gráfica, definida en \([0,6],\) la función crece entre 0 y 2, decrece entre 2 y 4 y vuelve a crecer entre 4 y 6. En \(x=2\) alcanza el máximo absoluto, de valor 5. En \(x=4\) hay un mínimo relativo de valor 2. El mínimo absoluto es 1 y se alcanza en el extremo \(x=0.\)
Ejercicio 10. Lo que permite concluir una tabla
Una función tiene como dominio exactamente \(D=\{0,1,2,3\}\) y sus valores son \(f(0)=10,\) \(f(1)=7,\) \(f(2)=4\) y \(f(3)=1.\) ¿Crece o decrece?
Ver solución razonada
Cuando las entradas pasan de 0 a 1, a 2 y a 3, las salidas bajan de 10 a 7, a 4 y a 1. La función es decreciente en ese dominio discreto. Su máximo es 10, en \(x=0,\) y su mínimo es 1, en \(x=3.\)
Si la tabla fuera solo una muestra de una función definida en todo \([0,3],\) estos cuatro datos no permitirían asegurar qué ocurre entre ellos. Podría haber subidas y bajadas que no aparecen en la tabla.
Ejercicio 11. El mínimo de una parábola
Estudia dónde crece y decrece \(f(x)=x^2,\) definida en \(\mathbb R,\) e indica su mínimo.
Ver solución razonada
En la parte negativa, al avanzar hacia cero, disminuye el valor absoluto de \(x,\) así que también disminuye su cuadrado. Por ejemplo, \((-3)^2=9,\) \((-2)^2=4\) y \((-1)^2=1.\) La función decrece en \((-\infty,0].\)
A partir de cero, al aumentar \(x,\) aumenta \(x^2.\) La función crece en \([0,+\infty).\)
Esta desigualdad justifica el mínimo para todos los números reales, no solo para los valores de una tabla. El valor mínimo es 0, se alcanza en \(x=0\) y el punto mínimo es \((0,0).\) No tiene máximo.
6. Función lineal y proporcionalidad directa
En la terminología habitual de ESO, una función lineal tiene la forma \(y=mx.\) Su gráfica es una recta que pasa por el origen. El número \(m\) es su pendiente. En una relación de proporcionalidad directa, la razón entre salida y entrada es constante para las entradas distintas de cero.
Si \(m>0,\) la función crece. Si \(m<0,\) decrece. Para \(m=0,\) la salida es siempre cero. Una relación proporcional en un contexto real puede tener un dominio restringido, como ocurre al contar objetos.
Ejercicio 12. Representar \(y=2x\)
Representa \(f(x)=2x\) para \(x\in\mathbb R.\) Indica su pendiente y comprueba dos puntos de la gráfica.
Ver solución razonada
La función tiene pendiente \(m=2.\) Podemos usar el origen \((0,0)\) y el punto \((1,2).\) Dos puntos distintos determinan la recta. Otro punto de control es \((-1,-2).\)
Las sustituciones \(f(1)=2\cdot1=2\) y \(f(-1)=2\cdot(-1)=-2\) comprueban los puntos. La recta es creciente en todo \(\mathbb R.\) Su dominio y su recorrido son \(\mathbb R.\)
Ejercicio 13. El precio del pan y los puntos separados
Una panadería vende barras a 1,20 € cada una. Escribe el precio \(P(x)\) de \(x\) barras y calcula cuánto cuestan cinco.
Ver solución razonada
Cinco barras cuestan 6 €. La relación es de proporcionalidad directa. Las cantidades admitidas son \(x=0,1,2,\ldots,\) por lo que su gráfica contiene puntos alineados y separados. La recta completa corresponde a ampliar la fórmula a entradas reales, una extensión que no representa la venta de barras enteras.
Ejercicio 14. ¿Todas las rectas representan proporcionalidad?
Decide si \(y=3x+5\) es lineal en el sentido de proporcionalidad directa.
Ver solución razonada
Al tomar \(x=0,\) obtenemos \(y=5.\) La gráfica no pasa por el origen. Por eso no es una función de proporcionalidad directa. Es una función afín, con pendiente 3 y término independiente 5.
La prueba de duplicar la entrada confirma la diferencia. Para \(x=1,\) la salida es 8. Para \(x=2,\) es 11, no 16.
7. Función afín. Pendiente y valor inicial
La expresión general es \(y=mx+n.\) El término \(mx\) describe el cambio y \(n\) indica la salida para \(x=0,\) siempre que esa entrada pertenezca al dominio. La pendiente responde a la pregunta «¿cuánto cambia \(y\) por cada unidad que aumenta \(x?\)».
Una pendiente negativa no significa que todos los valores de la función sean negativos. Significa que las salidas disminuyen al aumentar las entradas. Tampoco el término independiente es una pendiente. En \(y=-2x+4,\) la recta baja, pero corta el eje vertical por encima del origen.
Ejercicio 15. Una recta que sube y no pasa por el origen
Representa \(f(x)=x+3.\) Indica su pendiente y sus cortes con los ejes.
Ver solución razonada
La pendiente es \(1.\) El punto \((0,3)\) se obtiene haciendo \(x=0.\) Para encontrar el corte con el eje horizontal, imponemos \(y=0.\)
La recta pasa por \((-3,0)\) y \((0,3).\) Al avanzar tres unidades en horizontal, sube tres en vertical, de acuerdo con su pendiente.
En toda la recta se cumple \(y-x=3.\) En particular, \(f(-3)=0\) y \(f(0)=3.\)
Ejercicio 16. Una recta decreciente
Representa \(g(x)=-2x+4\) y explica qué indica el signo de la pendiente.
Ver solución razonada
La pendiente es \(-2,\) de modo que cada unidad de aumento en \(x\) reduce \(y\) en dos unidades. Los puntos \((0,4),\) \((1,2)\) y \((2,0)\) permiten dibujarla y comprobar el trazado.
La función es decreciente en todo \(\mathbb R.\) Tiene salidas positivas para \(x<2,\) vale cero para \(x=2\) y tiene salidas negativas para \(x>2.\) Ser decreciente y ser negativa son propiedades distintas.
8. Calcular la pendiente y los cortes con los ejes
Si una recta pasa por \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2),\) su pendiente es el cambio vertical dividido por el horizontal. Los dos puntos deben tener distinta primera coordenada.
El orden de las restas debe coincidir arriba y abajo. Si intercambias los dos puntos en ambas restas, el cociente no cambia. Si lo haces solo en una, cambias el signo por error. En un contexto de precios y distancias, la pendiente puede expresarse, por ejemplo, en euros por kilómetro.
Para los cortes basta recordar qué coordenada es cero. En el eje \(y,\) \(x=0.\) En el eje \(x,\) \(y=0.\) Si dos puntos distintos tienen la misma coordenada \(x,\) la recta es vertical y no es la gráfica de una función \(y=f(x).\)
Ejercicio 17. Leer los parámetros de una recta
Indica la pendiente y el corte con el eje \(y\) de \(f(x)=4x-7.\)
Ver solución razonada
Al comparar con \(y=mx+n,\) se obtiene \(m=4\) y \(n=-7.\) El corte es el punto \((0,-7)\), no solamente el número \(-7.\) La comprobación es \(f(0)=4\cdot0-7=-7.\) La pendiente positiva indica que la recta es creciente.
Ejercicio 18. Cortar el eje horizontal
Encuentra el corte con el eje \(x\) de \(y=2x-6.\)
Ver solución razonada
Sobre el eje horizontal la segunda coordenada vale cero.
La recta corta el eje \(x\) en \((3,0)\). Sustituir \(x=3\) devuelve \(2\cdot3-6=0,\) tal como exige el corte.
Ejercicio 19. Obtener los dos cortes
Calcula los cortes de \(y=-x+5\) con ambos ejes.
Ver solución razonada
En el eje vertical, \(x=0,\) por lo que \(y=5.\) El corte es \((0,5).\) En el horizontal, \(y=0,\) y la ecuación \(0=-x+5\) da \(x=5.\) El segundo corte es \((5,0).\)
La pendiente entre esos puntos es \(\frac{0-5}{5-0}=-1.\) Coincide con el coeficiente de \(x\) en la fórmula.
Ejercicio 20. La pendiente a partir de dos puntos
Una recta pasa por \(A(1,3)\) y \(B(4,9).\) Calcula su pendiente y encuentra una ecuación que permita comprobar ambos puntos.
Ver solución razonada
La salida aumenta seis unidades mientras la entrada aumenta tres. Son dos unidades de subida por cada unidad horizontal. Como la recta tiene forma \(y=2x+n,\) usamos \(A(1,3)\) para obtener \(3=2+n.\) De ahí sale \(n=1.\)
La ecuación es \(y=2x+1\). Para \(x=1\) da \(y=3,\) y para \(x=4\) da \(y=9.\) Se cumplen los dos datos iniciales.
9. Función constante. Una salida que no cambia
Una función constante tiene la forma \(y=k.\) Su pendiente es cero y su gráfica es una recta horizontal. Que la salida no cambie tiene una interpretación distinta en cada contexto. Una temperatura constante no significa movimiento ni reposo. Una velocidad constante puede corresponder a un vehículo en marcha.
Ejercicio 21. Representar \(y=3\)
Dibuja la función \(f(x)=3,\) definida para todos los números reales, e indica su dominio, su recorrido y sus cortes con los ejes.
Ver solución razonada
Los puntos \((-2,3),\) \((0,3)\) y \((2,3)\) tienen la misma altura. La recta horizontal que pasa por ellos es su gráfica.
El dominio es \(\mathbb R\) y el recorrido contiene un único número, \(\{3\}.\) Corta el eje \(y\) en \((0,3).\) No corta el eje \(x,\) porque su salida nunca es cero.
La recta vertical \(x=3\) es otra cosa. Contiene muchas salidas para una misma entrada y no representa una función \(y=f(x).\)
10. Parábolas sencillas. Vértice, simetría y cortes
Una función cuadrática tiene la forma \(f(x)=ax^2+bx+c,\) con \(a\ne0.\) Su gráfica es una parábola. Si \(a>0,\) abre hacia arriba y tiene mínimo. Si \(a<0,\) abre hacia abajo y tiene máximo. No basta con que aparezca una \(x^2\) en una expresión para llamarla cuadrática. Por ejemplo, \(x^3+x^2\) también contiene un término cúbico.
El vértice es el punto donde la parábola cambia de decreciente a creciente, o al revés. Una tabla resulta más útil si se organiza alrededor de ese punto. Para las funciones \(x^2+c,\) el vértice es \((0,c).\) El término \(c\) desplaza la parábola hacia arriba o hacia abajo.
Ejercicio 22. Una parábola desplazada hacia abajo
Completa la tabla de \(f(x)=x^2-1\) para \(x=-2,-1,0,1,2.\) Represéntala e indica mínimo, dominio y recorrido.
Ver solución razonada
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(3\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) |
Como \(x^2\ge0,\) se cumple \(x^2-1\ge-1.\) El mínimo es \(-1,\) se alcanza para \(x=0\) y el vértice es \((0,-1).\) La gráfica pasa por los cinco puntos de la tabla y es simétrica respecto del eje \(y.\)
Para la función definida en todos los reales, el dominio es \(\mathbb R\) y el recorrido es \([-1,+\infty).\) La tabla es una muestra del trazado, no una restricción del dominio. Los cortes con el eje horizontal son \((-1,0)\) y \((1,0).\)
Ejercicio 23. Una parábola que no corta el eje horizontal
Estudia si \(g(x)=x^2+4\) tiene mínimo y si corta el eje \(x.\)
Ver solución razonada
Para cualquier número real, \(x^2+4\ge4.\) La igualdad se cumple en \(x=0.\) El mínimo es 4 y el vértice es \((0,4).\)
Un corte con el eje \(x\) exigiría \(x^2+4=0,\) es decir, \(x^2=-4.\) Ningún número real tiene cuadrado negativo. No hay cortes reales con ese eje. El dominio es \(\mathbb R\) y el recorrido es \([4,+\infty).\)
Cuando el vértice no está en el eje vertical
En los cursos superiores de ESO aparece una herramienta útil para justificar el vértice sin derivadas. En \(f(x)=x^2-4x+1,\) agrupamos los términos para formar un cuadrado.
Se comprueba desarrollando \((x-2)^2=x^2-4x+4.\) Como \((x-2)^2\ge0,\) se tiene \(f(x)\ge-3,\) y la igualdad ocurre en \(x=2.\) El vértice es \((2,-3),\) el eje de simetría es \(x=2\) y el recorrido es \([-3,+\infty).\) Para una cuadrática general, la primera coordenada del vértice es \(x_v=-\frac{b}{2a}\) y la segunda se obtiene calculando \(f(x_v).\) Aquí, \(-\frac{-4}{2\cdot1}=2,\) de acuerdo con el razonamiento anterior.
Ejercicio 24. Dos cortes de una parábola
Calcula los puntos de corte de \(y=x^2-9\) con el eje \(x\) y compruébalos.
Ver solución razonada
Al imponer \(y=0,\) obtenemos una ecuación de segundo grado sencilla.
Hay dos cortes, \((-3,0)\) y \((3,0)\). Las dos comprobaciones son \(3^2-9=0\) y \((-3)^2-9=0.\) Olvidar la raíz negativa dejaría fuera la mitad simétrica de la solución.
Una parábola puede tener dos cortes, uno o ninguno con el eje horizontal. Los ejemplos \(x^2-9,\) \(x^2\) y \(x^2+4\) muestran los tres casos.
11. Funciones a trozos sencillas
Hay situaciones en las que una sola fórmula no sirve para todos los valores. El precio de un aparcamiento puede cambiar al superar una hora, aunque solo nos pasemos un minuto. En una función a trozos debemos mirar primero en qué intervalo está el dato y después aplicar la regla de ese tramo.
25. Un aparcamiento que cobra por hora o fracción
Un aparcamiento cobra 2 € por la primera hora o fracción y 1 € por cada hora adicional o fracción. Estudia estancias de hasta 4 h. Si no se entra, el coste es 0 €. Escribe la función del precio y calcula cuánto se paga por 1 h, 1,5 h, 2 h, 3 h y 4 h.
Ver solución razonada
Llamamos \(t\) al tiempo de estancia, expresado en horas, y \(P(t)\) al precio en euros. El detalle que cambia el problema es o fracción. Una estancia de 1,5 h ya ocupa parte de la segunda hora y cuesta 3 €.
La función está definida aquí para \(0\leq t\leq4.\) Los extremos merecen atención. En \(t=1\) se aplica el primer tramo de pago y en \(t=2,\) el segundo.
| Tiempo en h | 1 | 1,5 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio en € | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
La gráfica tiene escalones. Cada segmento termina con un punto incluido a la derecha y empieza con un punto excluido a la izquierda. El punto \((0,0)\) se representa aparte.
La fórmula \(P(t)=t+1\) coincide con los precios de las horas enteras positivas de la tabla, pero falla entre ellas. Daría 2,5 € para 1,5 h, cuando la tarifa exige 3 €. Una tabla con pocos datos no determina por sí sola la regla de cobro.
26. Una tarifa de teléfono que sí es afín
Una tarifa mensual cobra 10 € fijos y 0,05 € por cada minuto hablado. El coste variable es proporcional al tiempo, sin redondear a minutos enteros. Escribe la función y calcula la factura de 60 min.
Ver solución razonada
Sea \(t\geq0\) el tiempo en minutos y \(C(t)\) el coste en euros. La cuota se paga incluso sin hacer llamadas. A ella sumamos el consumo.
La factura es de 13 €. Esta función es afín, no necesita una definición a trozos. Su pendiente es 0,05 euros por minuto y su ordenada en el origen es 10 €.
Al pasar de 60 min a 80 min se añaden 20 min y el precio aumenta \(0{,}05\cdot20=1\) €. Esa variación constante encaja con una recta.
12. Interpretación de gráficas reales
Antes de decir que una gráfica sube o baja, lee los ejes y sus unidades. La misma línea horizontal puede representar una persona parada, una temperatura constante o un vehículo que sigue avanzando. Lo decide la magnitud representada.
27. Alejarse, detenerse y volver
Una persona camina por un camino recto desde su casa y permanece siempre en el mismo lado de ella. La gráfica representa su distancia a casa. Parte de 0 m, llega a 100 m a los 2 min, permanece a esa distancia hasta el minuto 4 y vuelve a casa en el minuto 6. Los tres tramos son rectos. Explica el movimiento y calcula la distancia total recorrida.
Ver solución razonada
Entre 0 y 2 min la distancia a casa aumenta de 0 m a 100 m. Se aleja con rapidez constante. Entre 2 y 4 min la distancia no cambia. Como se mueve por una recta y permanece en el mismo lado de la casa, está parada. Entre 4 y 6 min la distancia disminuye hasta cero y regresa con rapidez constante.
La distancia recorrida suma los dos desplazamientos de 100 m, uno de ida y otro de vuelta.
Al final está a 0 m de casa, pero ha caminado 200 m. Son dos preguntas distintas.
La gráfica puede bajar porque representa distancia a casa. Si representara distancia total recorrida, nunca bajaría. Además, en un movimiento por el plano, mantener la distancia a un punto no demuestra reposo. Se podría caminar alrededor de él.
28. Máximo de temperatura
Durante una observación, la temperatura empieza en 5 °C, sube hasta 18 °C y después baja hasta 12 °C. No supera los 18 °C. ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿Es lo mismo que el aumento de temperatura?
Ver solución razonada
El máximo es el mayor valor alcanzado por la temperatura, 18 °C. El aumento desde el comienzo hasta ese máximo es otra magnitud.
Ha aumentado 13 °C, pero la temperatura máxima es 18 °C. Para decir cuándo se alcanza ese máximo haría falta conocer el tiempo correspondiente.
29. Una línea horizontal a 60
La gráfica de velocidad frente al tiempo de un vehículo que circula por una carretera recta es horizontal en \(v=60\ \mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}.\) ¿Está parado? ¿Qué distancia recorre si mantiene esa velocidad durante 30 min?
Ver solución razonada
No está parado. Lo que se mantiene constante es la velocidad, que además es distinta de cero. En media hora recorre la mitad de los 60 km que recorrería en una hora.
Recorre 30 km. La gráfica de su posición frente al tiempo sería una recta creciente, aunque la gráfica de su velocidad sea horizontal.
En una gráfica de velocidad, el reposo corresponde a \(v=0.\) No basta con que la línea sea horizontal.
13. Problemas tipo examen
En estos cinco problemas hay que elegir variables, construir una función y explicar qué significan sus valores. Escribe las unidades y comprueba el modelo con un dato sencillo antes de darlo por válido.
Problema 1. El precio de un taxi
Un taxi cobra 3 € de bajada de bandera y 1,20 € por kilómetro. En este modelo no hay otros suplementos y el coste variable es proporcional a la distancia. Escribe la función del precio, calcula cuánto cuesta un viaje de 15 km y averigua cuántos kilómetros se pueden recorrer con 21 €.
Ver solución razonada
Si \(x\) es la distancia en kilómetros y \(P(x)\) el precio en euros, la parte fija se suma a la parte que depende de los kilómetros.
El viaje de 15 km cuesta 21 €. Para recorrer el camino inverso, conocemos el precio y despejamos la distancia.
Con 21 € se recorren 15 km según esta tarifa. Ambos cálculos se comprueban entre sí.
Problema 2. Un depósito que se vacía
Un depósito contiene 500 L de agua y pierde 25 L cada minuto, con caudal constante hasta vaciarse. Escribe la función del volumen restante, indica su dominio físico y calcula cuándo se vacía.
Ver solución razonada
Llamamos \(t\) al tiempo en minutos y \(V(t)\) al volumen en litros. Cada minuto se restan 25 L del contenido inicial.
El vaciado termina cuando el volumen llega a cero.
Durante el vaciado, el dominio físico es \([0,20]\) min y el recorrido es \([0,500]\) L. La recta es decreciente en ese intervalo.
\(V(0)=500\) L y \(V(20)=0\) L. No prolongamos este modelo con volúmenes negativos. Si quisiéramos describir también el tiempo posterior al vaciado, habría que añadir el tramo \(V(t)=0\) para \(t>20.\)
Problema 3. Un presupuesto de trabajo
Una empresa cobra 40 € por desplazamiento y 18 € por hora de trabajo. Las fracciones de hora se cobran proporcionalmente. Escribe la función del coste, calcula el precio de 5 h y determina cuántas horas de trabajo incluye un presupuesto de 130 €.
Ver solución razonada
Para un servicio contratado, si \(t\geq0\) es el tiempo de trabajo en horas, el coste en euros es
El trabajo de 5 h cuesta 130 €. Al despejar el tiempo desde ese precio recuperamos el mismo dato.
La pendiente, 18 euros por hora, describe cuánto aumenta el presupuesto al añadir una hora. Los 40 € no son una pendiente, sino un coste fijo.
Problema 4. Una altura máxima sin derivadas
En un modelo simplificado, la altura de una pelota viene dada por \(h(t)=-t^2+6t,\) donde \(t\) es el valor numérico del tiempo en segundos y \(h(t),\) el de la altura en metros. El modelo se estudia desde el lanzamiento hasta que la pelota vuelve al suelo. Completa la tabla para los tiempos enteros entre 0 s y 6 s y demuestra cuál es la altura máxima.
Ver solución razonada
Sustituimos cada tiempo en la misma expresión. Por ejemplo, \(h(2)=-2^2+6\cdot2=8.\)
| \(t\) en s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) en m | 0 | 5 | 8 | 9 | 8 | 5 | 0 |
La tabla sugiere un máximo de 9 m, pero falta demostrar que entre dos tiempos enteros no se alcanza una altura mayor. Para eso escribimos la misma función completando el cuadrado.
Un cuadrado nunca es negativo. Al restarlo de 9, el resultado nunca supera 9. La igualdad se alcanza cuando \(t-3=0.\)
La altura máxima es 9 m a los 3 s. La pelota sube entre 0 s y 3 s y baja entre 3 s y 6 s.
El dominio físico es \([0,6]\) s y el recorrido, \([0,9]\) m. Los dos ceros corresponden al lanzamiento desde el suelo y a la vuelta al suelo. La simetría de la tabla también concuerda con el eje \(t=3.\)
Problema 5. Elegir entre dos tarifas
Una tarifa de internet cuesta 25 € al mes, cualquiera que sea el consumo. Otra cobra 10 € fijos y 3 € por cada 10 GB, de forma proporcional al consumo y sin redondeos a bloques. Escribe ambas funciones y decide cuál resulta más barata según los gigabytes consumidos.
Ver solución razonada
Sea \(g\geq0\) el consumo mensual en GB. La segunda tarifa cobra por cada GB
Los precios mensuales, en euros, quedan así.
El punto donde dejan de ser distintas se obtiene igualando los dos precios.
Por debajo de 50 GB es más barata la tarifa B. Con 50 GB cuestan lo mismo, 25 €. Por encima de 50 GB es más barata la tarifa A.
Con 20 GB, B cuesta 16 € y gana frente a los 25 € de A. Con 80 GB, B cuesta 34 € y ya sale más cara. La comparación confirma el cambio en 50 GB.
14. Errores que conviene detectar a tiempo
| Error | Cómo corregirlo |
|---|---|
| Intercambiar las coordenadas. | En \((2,5),\) primero avanza hasta \(x=2\) y después busca \(y=5.\) No es el mismo punto que \((5,2).\) |
| Decidir el crecimiento mirando si la curva está por encima del eje. | Recórrela de izquierda a derecha. Una función puede ser negativa y creciente a la vez. |
| Confundir ordenada en el origen con un punto. | En \(y=mx+n,\) la ordenada es el número \(n.\) El punto de corte con el eje vertical es \((0,n).\) |
| Calcular la pendiente en distinto orden arriba y abajo. | Si restas \(y_2-y_1,\) debes restar \(x_2-x_1.\) Comprueba después si el signo coincide con la inclinación. |
| Unir siempre los puntos con segmentos. | Una recta permite ese trazado. Una parábola se dibuja con curva suave. Los datos de una tabla aislada no autorizan a inventar lo que ocurre entre ellos. |
| Dar por completo un máximo a partir de una tabla corta. | La tabla puede sugerirlo. Una expresión como \(9-(t-3)^2\) lo demuestra para todos los valores del intervalo. |
| Prolongar un modelo fuera de su contexto. | Un depósito no tiene litros negativos ni una duración negativa. Indica el dominio físico. |
| Interpretar toda línea horizontal como reposo. | Lee la magnitud del eje vertical. Una velocidad constante no nula describe movimiento. |
| Tratar una tarifa por tramos como si fuera una recta. | Prueba un valor entre dos horas enteras y revisa qué tramo incluye cada extremo. |
15. Práctica final con soluciones
Resuelve primero sin abrir las respuestas. Los ejercicios 1 a 4 consolidan tablas, rectas y pertenencia. Del 5 al 8 tendrás que representar o interpretar un modelo. Los dos últimos piden justificar, no solo calcular.
1. Una tabla y su gráfica
Completa la tabla de \(y=3x-2\) para \(x=-1,0,1,2,3.\) Indica si la función es creciente y cómo representarías su gráfica.
Ver solución razonada
Al sustituir cada valor obtenemos, en el mismo orden, \(-5,-2,1,4,7.\) Por ejemplo, para \(x=-1,\) \(y=3\cdot(-1)-2=-5.\)
| \(x\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | −5 | −2 | 1 | 4 | 7 |
Es creciente porque su pendiente es \(3>0.\) Para representarla, colocamos dos de los puntos, por ejemplo \((0,-2)\) y \((1,1),\) trazamos la recta que pasa por ellos y comprobamos un tercero. Como no hay restricciones en el enunciado, su dominio y su recorrido son \(\mathbb R.\)
2. Pendiente y ordenada
Indica la pendiente y el punto de corte con el eje \(y\) de \(y=-4x+6.\) ¿La función crece o decrece?
Ver solución razonada
Al compararla con \(y=mx+n,\) resulta \(m=-4\) y \(n=6.\) Corta al eje \(y\) en \((0,6)\) y es decreciente. Por cada unidad que aumenta \(x,\) \(y\) disminuye 4 unidades. Se comprueba con \(f(0)=6\) y \(f(1)=2.\)
3. Cortes con los dos ejes
Calcula los puntos de corte de \(y=2x-8\) con los ejes y explica qué coordenada debe anularse en cada caso.
Ver solución razonada
En el eje vertical se cumple \(x=0,\) así que \(y=-8.\) El primer corte es \((0,-8).\) En el eje horizontal se cumple \(y=0.\)
El segundo corte es \((4,0).\) Al sustituir \(x=4\) en la función sale \(y=0,\) como exige el eje horizontal.
4. Un punto que hay que comprobar
¿Pertenece \(P(3,10)\) a la gráfica de \(y=3x+1?\) ¿Y el punto \(Q(10,3)?\)
Ver solución razonada
P sí pertenece. Para Q hay que usar su primera coordenada, \(x=10.\) Entonces \(f(10)=31,\) que no coincide con su segunda coordenada, 3. Q no pertenece. Intercambiar las coordenadas cambia el punto.
5. Representar una parábola
Representa \(y=x^2\) usando \(x=-2,-1,0,1,2.\) Indica su eje de simetría, su mínimo, su dominio y su recorrido.
Ver solución razonada
Los puntos son \((-2,4),\) \((-1,1),\) \((0,0),\) \((1,1)\) y \((2,4).\) La gráfica es una curva suave en forma de U, no una línea quebrada que una esos cinco puntos.
Su eje de simetría es \(x=0\) y el mínimo se alcanza en \((0,0).\) Está definida para cualquier número real y sus valores nunca son negativos, por lo que el dominio es \(\mathbb R\) y el recorrido, \([0,+\infty).\)
6. Un mínimo que se puede demostrar
Indica el mínimo de \(y=x^2+2.\) Justifica por qué no corta al eje \(x.\)
Ver solución razonada
Como \(x^2\geq0,\) siempre se cumple \(x^2+2\geq2.\) El valor mínimo es 2 y se alcanza cuando \(x=0,\) en el punto \((0,2).\) La función nunca vale cero, así que no tiene cortes con el eje \(x.\) Su recorrido es \([2,+\infty).\)
7. Construir una tarifa
Un taxi cobra 2,50 € fijos y 1,10 € por kilómetro, sin otros suplementos. Escribe la función del precio y calcula el coste de 8 km.
Ver solución razonada
Si \(x\geq0\) es la distancia en kilómetros, el precio en euros es \(P(x)=2{,}50+1{,}10x.\)
La parte fija permanece al cambiar los kilómetros. Un kilómetro adicional aumenta el precio en 1,10 €.
8. El final de un vaciado
Un depósito tiene 300 L y pierde 15 L por minuto con caudal constante. ¿Cuándo se vacía? Da la función y el intervalo de tiempo en que describe el vaciado.
Ver solución razonada
Si \(t\) se mide en minutos, el volumen en litros es \(V(t)=300-15t.\) Para encontrar el final, imponemos \(V(t)=0.\)
El intervalo del modelo de vaciado es \(0\leq t\leq20.\) En sus extremos quedan 300 L y 0 L, respectivamente.
9. De dos puntos a la función
Una recta pasa por \(A(1,2)\) y \(B(4,8).\) Calcula su pendiente y su ecuación. Comprueba los dos puntos.
Ver solución razonada
La ecuación tiene la forma \(y=2x+n.\) Usamos A para calcular lo que falta.
La recta es \(y=2x.\) Para \(x=1\) se obtiene 2 y para \(x=4,\) 8. Ambos puntos cumplen la ecuación.
10. Dos líneas horizontales, dos significados
Una persona se mueve por un camino recto y permanece en el mismo lado de su casa. Su gráfica de distancia a casa es horizontal a 80 m durante 2 min. En otro caso, la gráfica de velocidad de un ciclista que circula por un camino recto es horizontal a \(12\ \mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}.\) Explica qué ocurre en cada situación.
Ver solución razonada
La persona mantiene la misma posición en el camino, a 80 m de casa, y está parada durante esos 2 min. El ciclista sí se mueve, con velocidad constante de \(12\ \mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}.\) En una hora recorrería 12 km si mantuviera ese movimiento.
El razonamiento empieza leyendo el eje vertical. Una línea horizontal significa que esa magnitud no cambia. No significa siempre reposo.
Una segunda vuelta que sí ayuda
Marca cada ejercicio como correcto, corregido o pendiente. Si falla una tabla o un signo, vuelve a los modelos de cálculo. Si el número está bien pero no sabes explicar qué representa, repasa el contexto y escribe una frase con unidades. Antes de repetir un ejercicio, apunta qué vas a comprobar esta vez.
Una hoja para volver sobre tus errores
Agrupa aquí los ejercicios que te hayan costado. Escribe el paso que debes vigilar antes del segundo intento.
| Ejercicio | Primer intento | Qué debo corregir | Segundo intento |
|---|---|---|---|
| 1–2 | |||
| 3–4 | |||
| 5–6 | |||
| 7–8 | |||
| 9–10 |
16. Dónde continuar
Cuando ya puedas pasar de una fórmula a una gráfica y explicar su dominio, el paso siguiente es estudiar restricciones, transformaciones y otras familias de funciones. Mantén separadas las dos tareas. Primero entender la base, después ampliar las herramientas.
Para resolver con más profundidad el punto donde se cruzan dos rectas, continúa con sistemas de ecuaciones de ESO. Allí se comparan los métodos algebraicos; aquí hemos aprendido a interpretar las rectas y sus cortes.
↑ Volver al índiceTrabajar las funciones con ayuda
Si haces las cuentas pero la gráfica sigue sin encajar, podemos revisar el razonamiento contigo. En las clases online de Marlu Educativa® compartimos la pizarra para construir la tabla, dibujar y corregir el paso que necesita revisión.
Consultar clases online para ESO ↑ Volver al índiceDudas frecuentes al estudiar funciones
¿Una tabla de valores determina toda la gráfica?
No siempre. La tabla muestra los puntos calculados. Para decidir qué pasa entre ellos necesitamos conocer la fórmula, el dominio o una regla del modelo. Si solo se admiten cantidades enteras, la gráfica puede estar formada por puntos aislados.
¿Qué diferencia hay entre dominio y recorrido?
El dominio reúne las entradas admitidas. El recorrido reúne las salidas que se obtienen. En la función \(f(x)=x^2,\) definida en todos los reales, el dominio es \(\mathbb R\) y el recorrido es \([0,+\infty).\)
¿Una función afín es también lineal?
En la terminología escolar que usamos aquí, la función lineal tiene forma \(y=mx\) y pasa por el origen. La afín tiene forma \(y=mx+n.\) La lineal es el caso en que \(n=0.\) Algunos textos usan la palabra lineal para cualquier gráfica recta. Mira siempre la fórmula y el contexto.
¿Cómo guardo el cuaderno en PDF con sus soluciones?
Pulsa Imprimir o guardar PDF y elige Guardar como PDF en el navegador. La edición imprimible abre las soluciones y compone folios completos. Los enlaces del índice y de los pies se conservan en la salida comprobada de Chrome o Edge; la numeración se calcula al preparar cada impresión.
Sobre este cuaderno
Las explicaciones, los ejercicios y las figuras son de elaboración propia. Los problemas tipo examen son propuestas de práctica, no enunciados de una convocatoria oficial. El alcance se apoya en los saberes de relaciones y funciones de Matemáticas del Real Decreto 217/2022, anexo II. La distribución concreta de contenidos depende del curso y del currículo autonómico.
↑ Volver al índice.