Blog
Funciones y gráficas 4 ESO y 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso
Marlu Educativa · Matemáticas · 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
Estudio de funciones en 4.º ESO y 1.º de Bachillerato
Dominio, recorrido, lectura de gráficas, transformaciones, funciones a trozos y familias elementales explicados desde el significado hasta la comprobación.
Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 13 de agosto de 2026.
Una función se entiende de verdad cuando una fórmula, una tabla y una gráfica cuentan la misma historia. Este cuaderno empieza con el lenguaje imprescindible y avanza hacia el estudio algebraico y gráfico propio de la transición entre 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato.
Quien todavía necesite practicar tablas, puntos y rectas muy sencillas encontrará esa base en funciones y gráficas de ESO. Aquí damos un paso más: justificamos restricciones, relacionamos propiedades y aprendemos a transformar e interpretar funciones sin utilizar todavía límites ni derivadas.
1. Hablar el lenguaje de las funciones
Antes de calcular conviene distinguir cuatro preguntas: qué valores puede tomar \(x\), qué resultados produce la función, qué imagen corresponde a un valor y qué valores tienen una imagen dada.
Ejercicio 1. Comprobar si un punto pertenece a una función
Decide si \(P(2,3)\) pertenece a \(f(x)=x^2-2x+3\).
1. Sustituir la abscisa
2. Comparar con la ordenada
La función produce \(3\), que coincide con la segunda coordenada de \(P\).
Ejercicio 2. Calcular una imagen y una preimagen
Para \(f(x)=2x-5\), calcula la imagen de \(4\) y la preimagen de \(7\).
Imagen de 4
Preimagen de 7
Ahora conocemos el resultado y buscamos el valor de entrada.
Ejercicio 3. Decidir si una tabla define una función
Observa las parejas \((-1,2)\), \((0,3)\), \((1,4)\) y \((1,5)\). ¿Definen una función de \(x\)?
Revisar cada valor de entrada
El valor \(x=1\) aparece asociado a dos resultados diferentes: \(4\) y \(5\). Una función no puede asignar dos imágenes a la misma entrada.
Idea clave. Una misma imagen puede proceder de varios valores de \(x\); lo que no puede ocurrir es que un mismo valor de \(x\) tenga dos imágenes distintas.
2. Dominio y recorrido: restricciones con sentido
El dominio no se adivina mirando la forma de la expresión. Se obtiene imponiendo las condiciones que permiten realizar todas sus operaciones. Si el manejo algebraico todavía cuesta, conviene reforzar antes el álgebra de 4.º de ESO para preparar 1.º de Bachillerato.
| Tipo | Condición | Qué se excluye |
|---|---|---|
| Polinomio | No tiene operaciones problemáticas | Nada: dominio \(\mathbb R\) |
| Cociente | Denominador distinto de cero | Sus ceros |
| Raíz par | Radicando mayor o igual que cero | Donde sea negativo |
| Raíz par en denominador | Radicando estrictamente positivo | Donde sea cero o negativo |
| Logaritmo | Argumento estrictamente positivo | Donde sea cero o negativo |
Ejercicio 4. Dominio de una función polinómica
Halla el dominio de \(f(x)=2x^3-5x+1\).
Sumas, productos y potencias enteras no negativas están definidos para cualquier número real.
Ejercicio 5. Dominio de una función racional
Halla el dominio de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-9}\).
1. Impedir que el denominador se anule
Ejercicio 6. Dominio de una raíz cuadrada
Halla el dominio de \(f(x)=\sqrt{2x-6}\).
1. Imponer que el radicando no sea negativo
Ejercicio 7. Raíz cuadrada en el denominador
Halla el dominio de \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{x+4}}\).
La raíz exige \(x+4\ge0\), pero el denominador obliga además a excluir el cero. Por tanto, la condición conjunta es estricta.
Ejercicio 8. Dominio de una raíz con cociente
Halla el dominio de \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}\).
1. Puntos que separan signos
El numerador se anula en \(x=1\) y el denominador en \(x=-2\). Estudiamos los intervalos que determinan.
| Intervalo | Signo de \(x-1\) | Signo de \(x+2\) | Cociente |
|---|---|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | − | − | + |
| \((-2,1)\) | − | + | − |
| \((1,+\infty)\) | + | + | + |
El punto \(x=1\) se admite porque hace cero el radicando. El punto \(x=-2\) nunca se admite porque anula el denominador.
Ejercicio 9. Dominio de un logaritmo
Halla el dominio de \(f(x)=\log(5-2x)\).
El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo.
Ejercicio 10. Recorrido de una parábola trasladada
Halla el recorrido de \(f(x)=(x-3)^2-4\).
Como un cuadrado nunca es negativo, \((x-3)^2\ge0\). El menor valor aparece cuando \(x=3\).
Sobre el recorrido. Cuando la fórmula es sencilla puede deducirse algebraicamente; cuando la función se presenta mediante una gráfica, se lee proyectando todos sus puntos sobre el eje \(y\). Los extremos abiertos no se incluyen y los cerrados sí.
3. Leer una gráfica completa
Leer no es describir “sube y baja”. Hay que escribir intervalos, distinguir valores de puntos y relacionar ceros, signo, extremos y recorrido.
Ejercicio 11. Dominio y recorrido a partir de la gráfica
Usa la figura anterior. La curva empieza en \(x=-4\) con círculo abierto y termina en \(x=4\) con punto cerrado. Sus valores de \(y\) van desde \(-1\) hasta \(3\), ambos alcanzados.
Ejercicio 12. Intervalos de crecimiento y extremos relativos
En la figura, la función sube desde \(x=-4\) hasta \(x=-2\), baja hasta \(x=1\) y vuelve a subir hasta \(x=4\).
Ejercicio 13. Cortes y signo de una función
Para \(f(x)=x^2-5x+6\), calcula cortes con los ejes y estudia el signo.
1. Corte con el eje \(y\)
2. Cortes con el eje \(x\)
Los ceros \(2\) y \(3\) pertenecen al dominio. Como la parábola abre hacia arriba, es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas.
Ejercicio 14. Máximo, mínimo y punto donde se alcanzan
Estudia el extremo de \(f(x)=-x^2+4x+1\).
La parábola abre hacia abajo, por lo que su vértice determina un máximo.
Ejercicio 15. Simetría par e impar
Decide si \(f(x)=x^4-3x^2\) es par, impar o ninguna de las dos.
Ejercicio 16. Reconocer el periodo en una gráfica
En una función periódica, un máximo aparece en \(x=1\) y el siguiente máximo equivalente en \(x=5\). El resto del dibujo también se repite.
4. Transformar una gráfica sin empezar de cero
Una transformación cambia la posición o la orientación de una gráfica, pero conserva información de la función de partida. El signo que aparece dentro del argumento actúa horizontalmente y se lee al revés; el cambio exterior actúa verticalmente.
| Expresión | Efecto sobre \(y=f(x)\) |
|---|---|
| \(f(x)+k\) | Sube \(k\) unidades si \(k>0\) |
| \(f(x)-k\) | Baja \(k\) unidades |
| \(f(x-a)\) | Se desplaza \(a\) unidades a la derecha |
| \(f(x+a)\) | Se desplaza \(a\) unidades a la izquierda |
| \(-f(x)\) | Se refleja respecto del eje \(x\) |
| \(f(-x)\) | Se refleja respecto del eje \(y\) |
Ejercicio 17. Trasladar una parábola
A partir de \(f(x)=x^2\), describe \(g(x)=(x-3)^2+2\).
El cambio \(x\mapsto x-3\) desplaza la gráfica tres unidades a la derecha. El \(+2\) exterior la sube dos unidades.
Ejercicio 18. Reflejar una función
La gráfica de \(f\) pasa por \((-2,3)\), \((0,-1)\) y \((4,2)\). Escribe tres puntos de \(g(x)=-f(x)\).
Reflejar respecto del eje \(x\) mantiene cada abscisa y cambia el signo de la ordenada.
Ejercicio 19. Combinar traslación y reflexión
Describe \(h(x)=-|x+1|+4\) a partir de \(y=|x|\).
- \(x+1\): una unidad a la izquierda.
- Signo menos exterior: reflexión respecto del eje \(x\).
- \(+4\): cuatro unidades hacia arriba.
Ejercicio 20. Obtener una expresión después de mover una gráfica
La gráfica de \(f(x)=\sqrt{x}\) se desplaza dos unidades a la derecha y una hacia abajo. Escribe la nueva función y su dominio.
La raíz empieza cuando \(x-2=0\).
5. Funciones a trozos y valor absoluto
En una función a trozos no se elige la fórmula que parece más cómoda. Se utiliza la que corresponde al intervalo donde está el valor de \(x\). Los símbolos \(<\), \(\le\), \(>\) y \(\ge\) deciden qué punto está incluido.
Ejercicio 21. Calcular valores en una función a trozos
Sea
Calcula \(f(-3)\), \(f(-1)\), \(f(1)\) y \(f(2)\).
Elegir el tramo correcto
En \(x=-1\), el primer tramo no se usa porque exige \(x<-1\). En \(x=2\), el segundo tampoco se usa porque exige \(x<2\).
Ejercicio 22. Dominio y recorrido de una función a trozos
Usa la función del ejercicio anterior. Sus tres condiciones cubren todos los números reales, sin dejar huecos.
El primer tramo aporta el valor \(2\). El segundo toma valores desde \(0\) hasta valores menores que \(3\). El tercero empieza en \(2\) y disminuye sin cota inferior.
Ejercicio 23. Escribir un valor absoluto por tramos
Expresa \(f(x)=|x-2|+1\) como función a trozos.
El interior cambia de signo en \(x=2\).
Ejercicio 24. Resolver una ecuación con valor absoluto desde la gráfica
Resuelve \(|x-2|+1=4\).
Buscamos dónde la gráfica corta a la recta horizontal \(y=4\).
6. Reconocer familias elementales
Este bloque sirve para comparar formas y propiedades. Las técnicas específicas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas se desarrollan en el cuaderno de logaritmos y exponenciales de 1.º de Bachillerato.
Ejercicio 25. Función afín: pendiente, corte y cero
Estudia \(f(x)=2x-4\).
La pendiente \(m=2>0\) indica que es creciente. La ordenada en el origen es \(-4\).
Ejercicio 26. Parábola: estudio conjunto
Estudia \(f(x)=x^2-4x+3\).
Factorizamos para hallar los ceros y calculamos el vértice.
- Dominio: \(\mathbb R\).
- Recorrido: \([-1,+\infty)\).
- Cortes: \((0,3)\), \((1,0)\), \((3,0)\).
- Decrece en \((-\infty,2)\) y crece en \((2,+\infty)\).
Ejercicio 27. Función racional: distinguir asíntota y hueco
Compara
Primera función
En \(x=5\), el denominador se anula y el numerador vale \(2\); no hay factor que cancelar. La gráfica se aproxima a la recta \(x=5\) y sus valores crecen en valor absoluto.
Segunda función
Para \(x\ne5\), \(g(x)=1\). En \(x=5\) la expresión original no está definida, de modo que la gráfica tiene un hueco en \((5,1)\), no una asíntota vertical.
Ejercicio 28. Función irracional: punto inicial y recorrido
Estudia \(f(x)=\sqrt{x+3}-2\).
La condición de la raíz da \(x\ge-3\). Como la raíz es no negativa, \(f(x)\ge-2\). El punto inicial aparece cuando el radicando vale cero.
Ejercicio 29. Comparar una exponencial y una logarítmica
Compara \(f(x)=2^x\) y \(g(x)=\log_2x\).
Son funciones inversas: intercambian sus papeles de entrada y salida, por lo que sus gráficas son simétricas respecto de \(y=x\).
| Función | Dominio | Recorrido | Punto notable |
|---|---|---|---|
| \(2^x\) | \(\mathbb R\) | \((0,+\infty)\) | \((0,1)\) |
| \(\log_2x\) | \((0,+\infty)\) | \(\mathbb R\) | \((1,0)\) |
Ejercicio 30. Reconocer una función periódica
Una gráfica repite exactamente su forma cada \(6\) unidades. Además, \(f(1)=4\). Calcula \(f(7)\), \(f(13)\) y \(f(-5)\).
Hasta dónde llega este cuaderno. Aquí se reconocen y comparan las familias y se estudian sus propiedades elementales. El cálculo sistemático de límites, continuidad y derivadas pertenece a los recursos posteriores.
7. Modelizar y medir cómo cambia una función
En un problema real, el dominio no viene dado solo por la fórmula. Lo decide también el significado de la variable: no tiene sentido hablar de kilómetros negativos, de litros por debajo de cero o de tiempos posteriores al final del fenómeno.
Ejercicio 31. Tarifa de taxi con dominio contextual
Un taxi cobra \(3{,}50\) € de bajada de bandera y \(1{,}25\) € por kilómetro. Escribe la función y calcula el coste de \(18\) km.
Llamamos \(x\) a los kilómetros recorridos, de modo que \(x\ge0\).
Ejercicio 32. Depósito que se vacía
Un depósito contiene \(800\) litros y pierde \(40\) litros por minuto. Escribe la función y determina cuándo se vacía.
El modelo físico termina cuando el depósito se vacía; después no puede contener litros negativos.
Ejercicio 33. Pelota: máximo y dominio físico
La altura de una pelota viene dada por \(h(t)=-t^2+6t\), con \(h\) en metros y \(t\) en segundos.
1. Intervalo real del vuelo
2. Altura máxima
Ejercicio 34. Tasa de variación media
La temperatura de un horno es \(T(t)=20+15t-2t^2\), con \(t\) en minutos. Calcula la tasa de variación media entre \(t=2\) y \(t=5\).
1. Calcular los valores extremos
2. Dividir el cambio de temperatura entre el tiempo transcurrido
Ejercicio 35. Comparar dos tarifas
La empresa A cobra \(25x+60\) euros y la empresa B, \(30x+40\), donde \(x\ge0\) son horas de trabajo. ¿Para cuántas horas cuestan lo mismo y cuál conviene antes y después?
Para \(x=0\), A cuesta \(60\) € y B, \(40\) €: antes de \(4\) horas conviene B. Después de \(4\), la pendiente de B es mayor, por lo que conviene A.
Ejercicio 36. Interpretar una gráfica distancia-tiempo
Una gráfica distancia-tiempo sube durante \(5\) minutos, permanece horizontal \(3\) minutos y luego baja hasta cero.
- Primer tramo: la persona se aleja del origen.
- Tramo horizontal: permanece parada.
- Último tramo: regresa al origen.
Una pendiente más pronunciada representa mayor rapidez, pero no permite saber la velocidad exacta sin escalas numéricas.
8. Modelos de examen resueltos
Estos ejercicios combinan varias ideas y exigen justificar cada decisión. El sombreado marrón los distingue del entrenamiento ordinario.
Ejercicio 37. Estudio completo de una función racional
Estudia dominio, cortes, signo y asíntotas de
1. Dominio
2. Cortes
3. Signo
Los puntos \(-1\) y \(2\) separan los intervalos.
4. Asíntotas
No se cancela ningún factor, por lo que \(x=-1\) es vertical. Dividiendo numerador y denominador por \(x\), la función se aproxima a \(1\) cuando \(|x|\) crece.
Ejercicio 38. Transformación y propiedades de una función radical
Estudia \(g(x)=-\sqrt{x-1}+3\): indica transformación, dominio, recorrido, punto inicial y corte con el eje \(x\).
1. Transformar \(y=\sqrt{x}\)
Una unidad a la derecha, reflexión respecto del eje \(x\) y tres unidades hacia arriba.
2. Dominio y recorrido
3. Corte con el eje \(x\)
Ejercicio 39. Función a trozos: lectura y coherencia en los puntos de cambio
Sea
Calcula \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(2)\) y \(f(4)\), y analiza qué ocurre en los cambios de fórmula.
En \(x=0\)
El tramo izquierdo se acerca a \(2\), pero el valor de la función es \(0\), dado por el tramo central.
En \(x=2\)
El tramo central da \(4\), y el tramo derecho se aproxima también a \(4\). Las dos piezas encajan en ese punto.
Ejercicio 40. Modelo cuadrático con interpretación y control
El beneficio, en miles de euros, de producir \(x\) centenas de unidades es \(B(x)=-x^2+12x-20\), con \(0\le x\le10\). Determina cuándo es positivo y calcula su máximo.
1. Umbral de beneficio
La parábola abre hacia abajo, así que \(B(x)>0\) entre las raíces.
2. Máximo
9. Simulacro final con soluciones paso a paso
Conviene intentar cada cuestión antes de abrir su desarrollo. El orden recorre las decisiones principales del cuaderno, no una lista de cálculos repetidos.
1. Dominio con dos valores prohibidos
Halla el dominio de \(f(x)=\dfrac{x+4}{x^2-x-6}\).
Ver solución desarrollada
2. Dominio de raíz en denominador
Halla el dominio de \(f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{5-x}}\).
Ver solución desarrollada
3. Imágenes y preimágenes
Para \(f(x)=x^2-1\), calcula \(f(-3)\) y todas las preimágenes de \(8\).
Ver solución desarrollada
4. Signo de una parábola
Estudia el signo de \(f(x)=x^2-16\).
Ver solución desarrollada
5. Traslación de una gráfica
Describe \(g(x)=(x+2)^2-5\) a partir de \(y=x^2\) e indica su vértice y recorrido.
Ver solución desarrollada
El \(+2\) interior desplaza dos unidades a la izquierda; el \(-5\) exterior, cinco hacia abajo.
6. Valor absoluto por tramos
Escribe \(f(x)=|2x-4|\) como función a trozos.
Ver solución desarrollada
7. Función a trozos
Sea \(f(x)=\begin{cases}x-1,&x<2\\5,&x=2\\x+1,&x>2.\end{cases}\) Calcula \(f(1)\), \(f(2)\) y \(f(3)\).
Ver solución desarrollada
8. Tasa de variación media
Calcula la tasa de variación media de \(f(x)=x^2\) entre \(x=1\) y \(x=4\).
Ver solución desarrollada
9. Asíntota o hueco
Decide qué ocurre en \(x=2\) para \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\).
Ver solución desarrollada
La expresión original no está definida en \(x=2\), aunque el factor se simplifique.
10. Modelo contextual
Una tarifa cobra \(12\) € fijos y \(0{,}08\) € por minuto. Escribe la función, calcula el precio de \(75\) minutos e interpreta la pendiente.
Ver solución desarrollada
10. Errores frecuentes y cómo detectarlos
| Error | Qué conviene revisar |
|---|---|
| Confundir dominio y recorrido | Dominio sobre \(x\); recorrido sobre \(y\). |
| Anular el denominador para hallar un corte | Ese valor queda fuera del dominio. |
| Olvidar comprobar un cero del numerador | Solo corta si el denominador no se anula. |
| Llamar asíntota a todo cero del denominador | Descartar antes un factor común y un hueco. |
| Llamar máximo al punto completo | El máximo es el valor de \(y\); el punto indica dónde se alcanza. |
| Leer crecimiento sin intervalos | Escribir los valores de \(x\) que delimitan cada tramo. |
| Elegir mal una fórmula a trozos | Mirar primero la condición que cumple \(x\). |
| Mover \(f(x-a)\) hacia la izquierda | El cambio interior desplaza a la derecha. |
| Extender un modelo fuera de su contexto | Respetar tiempos, distancias y cantidades posibles. |
| Redondear antes del final | Conservar exactos o varios decimales. |
Una idea para llevarse
Estudiar una función no es completar una lista de propiedades aisladas. Dominio, cortes, signo, crecimiento, extremos y recorrido tienen que describir una misma gráfica sin contradicciones.
La comprobación más útil. Al terminar, imagina la forma global: ¿puede la gráfica atravesar un valor prohibido?, ¿coinciden los ceros con los cambios de signo?, ¿encaja el recorrido con sus extremos?
Mapa de decisión
Control antes de entregar
Todo punto escrito pertenece al dominio. Un cero del numerador solo corta si el denominador no se anula.
Los intervalos respetan ceros y valores prohibidos. Máximo o mínimo es un valor de \(y\), no el punto completo.
La forma dibujada admite exactamente los valores indicados y respeta puntos abiertos, cerrados y transformaciones.
Incluye unidades, intervalo físico y una frase que responda a la pregunta del problema.
Cuando la fórmula sale, pero la gráfica no encaja
En funciones, muchos errores aparecen al conectar el cálculo con el dibujo. En las clases online de Matemáticas para Bachillerato se puede estudiar la gráfica sobre la misma pizarra y corregir dominio, intervalos y transformaciones mientras se resuelve. Si encaja mejor una franja temprana, también se puede continuar en clases online por la mañana.
Preguntas frecuentes
¿Qué se trabaja en este cuaderno?
El lenguaje de funciones, dominio y recorrido, cortes, signo, crecimiento, extremos, simetría, periodicidad, transformaciones, funciones a trozos, valor absoluto, familias elementales, modelización y tasa de variación media.
¿Cómo se halla el dominio de una función?
Se imponen a la vez todas las condiciones de su expresión: denominadores distintos de cero, radicandos de raíces pares no negativos y argumentos de logaritmos positivos.
¿Un cero del denominador siempre produce una asíntota vertical?
No. Si se cancela un factor común puede aparecer un hueco. Hay asíntota vertical cuando, al acercarse al valor prohibido, la función crece en valor absoluto sin quedar limitada.
¿Se utilizan derivadas para estudiar el crecimiento?
No. En este cuaderno el crecimiento se lee en gráficas o se deduce en familias elementales. Las técnicas de derivación pertenecen a un recurso posterior.
¿Por qué se incluyen funciones a trozos?
Porque permiten modelizar reglas que cambian según el intervalo y obligan a leer con precisión qué fórmula corresponde a cada valor.
Recurso elaborado por José María · Marlu Educativa.