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Geometría analítica 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

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Geometría analítica 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

Marlu Educativa · Matemáticas I · 1.º de Bachillerato

Geometría analítica 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

Vectores, rectas, distancias y problemas del plano explicados con un orden que permite saber qué calcular, qué forma elegir y cómo comprobar el resultado.

46 modelos completosdesde la base hasta problemas de examen
18 ejercicios de prácticacon soluciones desarrolladas y comprobadas
4 figuras didácticasmás método, errores y síntesis final
Ver índice

Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 13 de agosto de 2026.

En geometría analítica, la dificultad rara vez está en una sola fórmula. Está en reconocer qué representa cada dato y escoger la forma de la recta que deja el cálculo más limpio.

El cuaderno empieza con vectores y puntos, continúa con las ecuaciones de la recta y termina en distancias, ángulos, proyecciones, triángulos y problemas de circunferencia. Los primeros modelos fijan la base; los últimos mezclan varias ideas como ocurre en un examen.

Diagnóstico inicial

Intenta estas cinco cuestiones sin mirar la teoría. Sirven para localizar el primer paso que aún no sale con seguridad.

A. Vector

De \(A(1,-2)\) a \(B(4,2)\).

B. Recta

Por \(P(1,3)\), dirección \((2,-1)\).

C. Posición

\(x-2y=0\) y \(2x-4y+3=0\).

D. Distancia

De \(O\) a \(3x+4y-10=0\).

E. Circunferencia

Centro de \(x^2+y^2-4x+6y=0\).

Ver corrección y ruta recomendada

A. \((3,4)\). B. \(x=1+2t, y=3-t\). C. Paralelas distintas. D. \(2\). E. \(C=(2,-3)\), radio \(\sqrt{13}\).

Si A o B no salen, empieza por los bloques 1 y 2. Si el problema aparece en C o D, ve a los bloques 3 y 4. La cuestión E se desarrolla al final del bloque 5.

Qué se trabaja aquí

El lenguaje del plano

Vectores, coordenadas, módulos, producto escalar, puntos y distintas ecuaciones de la recta.

Relaciones y medidas

Paralelismo, perpendicularidad, cortes, distancias, ángulos, proyecciones, simetrías y lugares geométricos sencillos.

Problemas completos

Triángulos y circunferencias cuando se combinan con rectas, distancias, tangencias o varios puntos.

Dónde termina este cuaderno. La clasificación y el estudio completo de parábolas, elipses e hipérbolas se desarrollan en Cónicas de 1.º de Bachillerato. Los sistemas aparecen aquí solo cuando ayudan a calcular una intersección, y la geometría del espacio se reserva para 2.º.

Cómo elegir el procedimiento

1. TraducirSeñala puntos, vectores, direcciones, perpendiculares y distancias.
2. Elegir la formaUsa la ecuación de recta que aproveche mejor los datos.
3. CalcularOpera sin cambiar de representación más veces de las necesarias.
4. ComprobarSustituye puntos y revisa dirección, signo y sentido geométrico.
Datos del problemaElección útilComprobación
Punto y vector directorVectorial o paramétricaEl punto aparece con \(t=0\)
Punto y vector normal\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\)El normal coincide con \((A,B)\)
Distancia a una rectaForma generalDistancia no negativa
ÁnguloVectores directores o pendientesElegir el ángulo menor salvo indicación
Centro y radioForma reducida de la circunferenciaEl radio debe ser positivo

Teoría y fórmulas esenciales

ConceptoExpresiónLectura
Vector entre puntos\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\)Destino menos origen
Módulo\(|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\)Longitud del vector
Producto escalar\(\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2\)Vale cero si son perpendiculares
Recta general\(Ax+By+C=0\)Normal \((A,B)\), director \((-B,A)\)
Distancia punto-recta\(\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)La recta debe estar en forma general
Ángulo entre vectores\(\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\)Revisar que los módulos no sean cero
Circunferencia\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)Centro \((a,b)\), radio \(r\)
Vector entre dos puntos del planoEjes cartesianos con los puntos A y B y el vector que va de A hacia B.xyA(x₁,y₁)B(x₂,y₂)AB = (x₂−x₁, y₂−y₁)
Un vector entre dos puntos se obtiene siempre como destino menos origen.

46 ejercicios resueltos

  1. 1. Vector determinado por dos puntos
  2. 2. Módulo de un vector
  3. 3. Operaciones con vectores
  4. 4. Punto medio de un segmento
  5. 5. Punto simétrico respecto de otro punto
  6. 6. Vector director y vector normal
  7. 7. Ecuación vectorial y paramétrica
  8. 8. Ecuación continua y general
  9. 9. Pendiente y ordenada en el origen
  10. 10. Recta que pasa por dos puntos
  11. 11. Pertenencia de un punto
  12. 12. Leer punto, director y normal
  13. 13. Paralela por un punto
  14. 14. Perpendicular por un punto
  15. 15. Posición relativa de dos rectas
  16. 16. Punto de corte
  17. 17. Distancia entre dos puntos
  18. 18. Distancia de punto a recta
  19. 19. Producto escalar y ángulo
  20. 20. Perpendicularidad con parámetro
  21. 21. Ángulo entre rectas
  22. 22. Rectas que forman 45°
  23. 23. Proyección ortogonal
  24. 24. Simétrico respecto de una recta
  25. 25. Distancia entre paralelas
  26. 26. Circunferencia: centro y radio
  27. 27. Circunferencia con diámetro
  28. 28. Circunferencia por tres puntos
  29. 29. Problema completo de triángulo
  30. 30. Vector unitario
  31. 31. Combinación lineal
  32. 32. Alineación con parámetro
  33. 33. Recta por una intersección
  34. 34. Posición con parámetro
  35. 35. Distancia con parámetro
  36. 36. Mediatriz
  37. 37. Alturas y ortocentro
  38. 38. Lugar geométrico
  39. 39. Recta y circunferencia
  40. 40. Tangente en un punto
  41. 41. Circunferencia tangente a un eje
  42. 42. Síntesis final
  43. 43. Circuncentro y circunferencia circunscrita
  44. 44. Baricentro y medianas
  45. 45. Recta de Euler
  46. 46. Triángulo rectángulo con parámetro

1. Vectores y puntos

Esta primera parte fija el significado de las coordenadas. Cada cálculo debe poder leerse también como un desplazamiento, una longitud o una relación entre puntos.

Ejercicio 1. Vector determinado por dos puntos

Dados los puntos \(A(-2,3)\) y \(B(4,-1)\), calcula el vector \(\overrightarrow{AB}\).

Primer paso. Recordamos la fórmula

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A) \]

Segundo paso. Sustituimos los datos

\[ \overrightarrow{AB}=(4-(-2),\ -1-3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(6,\ -4) \]

Resultado.

\[ \overrightarrow{AB}=(6,-4) \]

El vector indica que para ir de \(A\) a \(B\) avanzamos 6 unidades en horizontal y bajamos 4 unidades en vertical.

Ejercicio 2. Módulo de un vector

Calcula el módulo del vector

\[ \vec u=(6,-8) \]

Primer paso. Aplicamos la fórmula del módulo

\[ |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ |\vec u|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \]
\[ |\vec u|=\sqrt{36+64} \]
\[ |\vec u|=\sqrt{100}=10 \]

Resultado.

\[ |\vec u|=10 \]

El módulo representa la longitud del vector.

Ejercicio 3. Operaciones con vectores

Dados los vectores

\[ \vec u=(2,-3),\quad \vec v=(-1,5) \]

calcula \(\vec u+\vec v\) y \(2\vec u-\vec v\).

Primer paso. Sumamos coordenada a coordenada

\[ \vec u+\vec v=(2+(-1),\ -3+5) \]
\[ \vec u+\vec v=(1,2) \]

Segundo paso. Calculamos \(2\vec u\)

\[ 2\vec u=2(2,-3)=(4,-6) \]

Tercer paso. Restamos \(\vec v\)

\[ 2\vec u-\vec v=(4,-6)-(-1,5) \]
\[ 2\vec u-\vec v=(4+1,\ -6-5) \]
\[ 2\vec u-\vec v=(5,-11) \]

Resultado.

\[ \vec u+\vec v=(1,2) \]
\[ 2\vec u-\vec v=(5,-11) \]

Ejercicio 4. Punto medio de un segmento

Calcula el punto medio del segmento de extremos \(A(-3,5)\) y \(B(7,-1)\).

Primer paso. Usamos la fórmula del punto medio

\[ M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ M=\left(\frac{-3+7}{2},\frac{5+(-1)}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{4}{2},\frac{4}{2}\right) \]
\[ M=(2,2) \]

Resultado.

\[ M=(2,2) \]

Ejercicio 5. Punto simétrico respecto de otro punto

Halla el punto simétrico de \(A(2,-5)\) respecto del punto \(M(1,3)\).

Primer paso. Interpretamos el problema

Si \(A'\) es el simétrico de \(A\) respecto de \(M\), entonces \(M\) es el punto medio de \(AA'\).

\[ M=\left(\frac{x_A+x_{A'}}{2},\frac{y_A+y_{A'}}{2}\right) \]

Segundo paso. Planteamos las coordenadas

\[ 1=\frac{2+x_{A'}}{2} \]
\[ 2=2+x_{A'} \]
\[ x_{A'}=0 \]

Para la segunda coordenada:

\[ 3=\frac{-5+y_{A'}}{2} \]
\[ 6=-5+y_{A'} \]
\[ y_{A'}=11 \]

Resultado.

\[ A'=(0,11) \]

El punto \(M\) queda justo en medio de \(A\) y \(A'\).

2. Ecuaciones de la recta

Una recta no cambia porque cambie su forma de escritura. Lo importante es reconocer qué datos quedan visibles en cada ecuación y pasar de una a otra sin perder signos.

Vector director y vector normal de una rectaUna recta con un vector director paralelo y un vector normal perpendicular.director unormal nr: Ax + By + C = 0
El vector director sigue la recta; el normal es perpendicular. En \(Ax+By+C=0\), puede tomarse \(\vec n=(A,B)\).

Ejercicio 6. Vector director y vector normal de una recta

Dada la recta \(r:3x-2y+5=0\), halla un vector normal y un vector director.

1. Leer el vector normal

En una ecuación general \(Ax+By+C=0\), los coeficientes de \(x\) e \(y\) forman un vector normal.

\[\vec n=(A,B)=(3,-2)\]

2. Construir un vector director

Un vector perpendicular a \((A,B)\) es \((-B,A)\). En este caso:

\[\vec u=(-B,A)=(2,3)\]

3. Comprobar la perpendicularidad

\[\vec n\cdot\vec u=(3,-2)\cdot(2,3)=6-6=0\]

Resultado. \(\vec n=(3,-2)\) y \(\vec u=(2,3)\).

Los vectores opuestos o cualquier múltiplo no nulo representan la misma dirección.

Ejercicio 7. Ecuación vectorial y paramétrica de una recta

Halla la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por \(P(1,-2)\) y tiene vector director \(\vec u=(3,4)\).

Primer paso. Ecuación vectorial

\[ (x,y)=(1,-2)+t(3,4),\quad t\in\mathbb{R} \]

Segundo paso. Ecuaciones paramétricas

Igualamos coordenadas.

\[ \begin{cases} x=1+3t\\ y=-2+4t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R} \]

Resultado.

\[ (x,y)=(1,-2)+t(3,4) \]
\[ \begin{cases} x=1+3t\\ y=-2+4t \end{cases} \]

Ejercicio 8. Ecuación continua y general de una recta

Halla la ecuación continua y general de la recta que pasa por \(P(2,-1)\) y tiene vector director \(\vec u=(-3,5)\).

Primer paso. Ecuación continua

Si la recta pasa por \(P(x_0,y_0)\) y tiene vector director \((u_1,u_2)\), entonces

\[ \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2} \]

Sustituimos:

\[ \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{5} \]

Segundo paso. Pasamos a general

\[ 5(x-2)=-3(y+1) \]
\[ 5x-10=-3y-3 \]
\[ 5x+3y-7=0 \]

Resultado.

\[ \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{5} \]
\[ 5x+3y-7=0 \]

Ejercicio 9. Ecuación explícita, pendiente y ordenada en el origen

Dada la recta

\[ 2x-3y+6=0 \]

escríbela en forma explícita y halla su pendiente y su ordenada en el origen.

Primer paso. Despejamos \(y\)

\[ 2x-3y+6=0 \]
\[ -3y=-2x-6 \]
\[ y=\frac{2}{3}x+2 \]

Segundo paso. Identificamos pendiente y ordenada

En la forma \(y=mx+n\), \(m\) es la pendiente y \(n\) la ordenada en el origen.

Resultado.

\[ y=\frac{2}{3}x+2 \]
\[ m=\frac{2}{3},\quad n=2 \]

Ejercicio 10. Recta que pasa por dos puntos

Halla la ecuación general de la recta que pasa por \(A(-1,2)\) y \(B(3,-4)\).

Primer paso. Calculamos un vector director

\[ \overrightarrow{AB}=(3-(-1),-4-2) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4,-6) \]

Podemos simplificarlo dividiendo entre 2:

\[ \vec u=(2,-3) \]

Segundo paso. Buscamos un vector normal

Un vector perpendicular a \((2,-3)\) es

\[ \vec n=(3,2) \]

porque

\[ (2,-3)\cdot(3,2)=6-6=0 \]

Tercer paso. Usamos punto y normal

\[ 3(x+1)+2(y-2)=0 \]
\[ 3x+3+2y-4=0 \]
\[ 3x+2y-1=0 \]

Resultado.

\[ 3x+2y-1=0 \]

Ejercicio 11. Comprobar si un punto pertenece a una recta

Comprueba si los puntos \(P(5,8)\) y \(Q(4,6)\) pertenecen a la recta

\[ r: \begin{cases} x=2+t\\ y=-1+3t \end{cases} \]

Primer paso. Probamos el punto \(P(5,8)\)

De la primera ecuación:

\[ 5=2+t \]
\[ t=3 \]

Comprobamos en la segunda:

\[ y=-1+3\cdot3=8 \]

Coincide.

Segundo paso. Probamos el punto \(Q(4,6)\)

De la primera ecuación:

\[ 4=2+t \]
\[ t=2 \]

Comprobamos en la segunda:

\[ y=-1+3\cdot2=5 \]

Pero el punto tiene \(y=6\), así que no coincide.

Resultado.

El punto \(P(5,8)\) sí pertenece a la recta. El punto \(Q(4,6)\) no pertenece.

Ejercicio 12. Hallar punto, vector director y vector normal

Dada la recta

\[ r:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-5} \]

halla un punto y un vector director. Después, dada la recta \(s:4x-y+7=0\), halla un vector normal y un vector director.

Primer paso. Recta en forma continua

\[ \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-5} \]

El punto es

\[ P=(3,-1) \]

y el vector director es

\[ \vec u=(2,-5) \]

Segundo paso. Recta en forma general

\[ s:4x-y+7=0 \]

Un vector normal es

\[ \vec n=(4,-1) \]

Un vector director puede ser

\[ \vec u=(1,4) \]

Resultado.

\[ r:\quad P=(3,-1),\quad \vec u=(2,-5) \]
\[ s:\quad \vec n=(4,-1),\quad \vec u=(1,4) \]

3. Paralelismo, perpendicularidad y posiciones relativas

Aquí se decide cómo se colocan dos rectas y se construyen nuevas rectas a partir de una condición geométrica.

Ejercicio 13. Recta paralela a otra pasando por un punto

Halla la recta paralela a

\[ r:3x-2y+1=0 \]

que pasa por \(P(2,-3)\).

Primer paso. Una recta paralela conserva \(A\) y \(B\)

Las rectas paralelas tienen la misma dirección. Por tanto, buscamos una recta de la forma

\[ 3x-2y+C=0 \]

Segundo paso. Imponemos que pase por \(P(2,-3)\)

\[ 3\cdot2-2(-3)+C=0 \]
\[ 6+6+C=0 \]
\[ C=-12 \]

Resultado.

\[ 3x-2y-12=0 \]

Ejercicio 14. Recta perpendicular a otra pasando por un punto

Halla la recta perpendicular a

\[ r:2x+y-5=0 \]

que pasa por \(P(-1,4)\).

Primer paso. Hallamos la pendiente de \(r\)

\[ 2x+y-5=0 \]
\[ y=-2x+5 \]

Por tanto, la pendiente de \(r\) es

\[ m_r=-2 \]

Segundo paso. Pendiente de una perpendicular

Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes cumplen

\[ m_r\cdot m_s=-1 \]
\[ -2\cdot m_s=-1 \]
\[ m_s=\frac{1}{2} \]

Tercer paso. Ecuación punto pendiente

\[ y-4=\frac{1}{2}(x+1) \]

Multiplicamos por 2:

\[ 2y-8=x+1 \]
\[ x-2y+9=0 \]

Resultado.

\[ x-2y+9=0 \]

Ejercicio 15. Posición relativa de dos rectas

Estudia la posición relativa de las rectas

\[ r:2x-y+3=0 \]
\[ s:4x-2y+1=0 \]

Primer paso. Comparamos los coeficientes

\[ \frac{A}{A'}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ \frac{B}{B'}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \]

Los coeficientes de \(x\) y de \(y\) son proporcionales.

Segundo paso. Comparamos el término independiente

\[ \frac{C}{C'}=\frac{3}{1}=3 \]

No coincide con \(1/2\).

Resultado.

Las rectas son paralelas distintas.

Si \(A\) y \(B\) son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección. Si \(C\) no guarda la misma proporción, no son coincidentes.

Ejercicio 16. Punto de corte de dos rectas

Halla el punto de corte de las rectas

\[ r:x+2y-5=0 \]
\[ s:3x-y+1=0 \]

Primer paso. Resolvemos el sistema

\[ \begin{cases} x+2y=5\\ 3x-y=-1 \end{cases} \]

Segundo paso. Despejamos \(y\) de la segunda ecuación

\[ 3x-y=-1 \]
\[ y=3x+1 \]

Tercer paso. Sustituimos en la primera

\[ x+2(3x+1)=5 \]
\[ x+6x+2=5 \]
\[ 7x=3 \]
\[ x=\frac{3}{7} \]

Cuarto paso. Calculamos \(y\)

\[ y=3\cdot\frac{3}{7}+1 \]
\[ y=\frac{9}{7}+\frac{7}{7}=\frac{16}{7} \]

Resultado.

\[ P=\left(\frac{3}{7},\frac{16}{7}\right) \]

4. Distancias, producto escalar y ángulos

Antes de aplicar una fórmula, conviene decidir si el problema está hablando de puntos, vectores o rectas. Esa lectura evita la mayoría de los errores de signo.

Ejercicio 17. Distancia entre dos puntos

Calcula la distancia entre \(A(-2,1)\) y \(B(4,9)\).

Primer paso. Aplicamos la fórmula

\[ d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ d(A,B)=\sqrt{(4-(-2))^2+(9-1)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]

Resultado.

\[ d(A,B)=10 \]

Ejercicio 18. Distancia de un punto a una recta

Calcula la distancia del punto \(P(3,-2)\) a la recta

\[ r:4x-3y+6=0 \]

Primer paso. Fórmula de distancia punto recta

\[ d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ d(P,r)=\frac{|4\cdot3-3(-2)+6|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \]
\[ d(P,r)=\frac{|12+6+6|}{\sqrt{16+9}} \]
\[ d(P,r)=\frac{24}{5} \]

Resultado.

\[ d(P,r)=\frac{24}{5} \]

Ejercicio 19. Producto escalar y ángulo entre vectores

Dados los vectores

\[ \vec u=(4,3),\quad \vec v=(-1,7) \]

calcula su producto escalar y el ángulo que forman.

Primer paso. Producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec v=4(-1)+3\cdot7 \]
\[ \vec u\cdot\vec v=-4+21=17 \]

Segundo paso. Módulos

\[ |\vec u|=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]
\[ |\vec v|=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2 \]

Tercer paso. Coseno del ángulo

\[ \cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|} \]
\[ \cos\alpha=\frac{17}{5\cdot5\sqrt2} \]
\[ \cos\alpha=\frac{17}{25\sqrt2} \]

Resultado.

\[ \vec u\cdot\vec v=17 \]
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{17}{25\sqrt2}\right)\approx61{,}26^\circ \]

Si el producto escalar fuera cero, los vectores serían perpendiculares.

Ejercicio 20. Parámetro para que dos vectores sean perpendiculares

Halla \(a\) para que los vectores

\[ \vec u=(a,2),\quad \vec v=(3,-6) \]

sean perpendiculares.

Primer paso. Condición de perpendicularidad

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar vale cero.

\[ \vec u\cdot\vec v=0 \]

Segundo paso. Calculamos el producto escalar

\[ (a,2)\cdot(3,-6)=3a+2(-6) \]
\[ 3a-12=0 \]

Tercer paso. Resolvemos

\[ 3a=12 \]
\[ a=4 \]

Resultado.

\[ a=4 \]

Ejercicio 21. Ángulo entre dos rectas

Calcula el ángulo que forman las rectas

\[ r:2x-y+1=0 \]
\[ s:x+3y-4=0 \]

Primer paso. Hallamos sus pendientes

Para \(r\):

\[ 2x-y+1=0 \]
\[ y=2x+1 \]
\[ m_r=2 \]

Para \(s\):

\[ x+3y-4=0 \]
\[ 3y=-x+4 \]
\[ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3} \]
\[ m_s=-\frac{1}{3} \]

Segundo paso. Fórmula del ángulo entre rectas

\[ \tan\alpha=\left|\frac{m_s-m_r}{1+m_rm_s}\right| \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ \tan\alpha= \left| \frac{-\frac13-2}{1+2\left(-\frac13\right)} \right| \]
\[ \tan\alpha= \left| \frac{-\frac73}{\frac13} \right| =7 \]

Resultado.

\[ \alpha=\arctan(7)\approx81{,}87^\circ \]

Ejercicio 22. Recta que forma 45 grados con otra recta

Halla las rectas que pasan por \(P(1,2)\) y forman un ángulo de \(45^\circ\) con la recta

\[ r:y=2x-3 \]

Primer paso. Llamamos \(m\) a la pendiente buscada

La pendiente de la recta dada es

\[ m_r=2 \]

La pendiente de la nueva recta será \(m\).

Segundo paso. Usamos la fórmula del ángulo

\[ \tan45^\circ=\left|\frac{m-2}{1+2m}\right| \]

Como \(\tan45^\circ=1\), tenemos

\[ \left|\frac{m-2}{1+2m}\right|=1 \]

Tercer paso. Resolvemos los dos casos

Primer caso:

\[ m-2=1+2m \]
\[ -m=3 \]
\[ m=-3 \]

Segundo caso:

\[ m-2=-(1+2m) \]
\[ m-2=-1-2m \]
\[ 3m=1 \]
\[ m=\frac13 \]

Cuarto paso. Escribimos las rectas pasando por \(P(1,2)\)

\[ y-2=-3(x-1) \]
\[ y-2=\frac13(x-1) \]

Resultado.

\[ y-2=-3(x-1) \]
\[ y-2=\frac13(x-1) \]

Hay dos rectas porque desde un punto pueden trazarse dos direcciones que formen \(45^\circ\) con una recta dada.

5. Proyección, simetría y circunferencia

Son problemas de varias etapas: construir una perpendicular, hallar un corte y traducir después el resultado a una distancia, una simetría o una circunferencia.

Proyección ortogonal y punto simétricoEl punto H está sobre la recta y es el punto medio entre P y su simétrico P prima.PHP′rH es proyección y punto medio de PP′
Para hallar el simétrico respecto de una recta, primero se calcula la proyección \(H\) y después se usa \(P'=2H-P\).

Ejercicio 23. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

Halla la proyección ortogonal del punto \(P(3,4)\) sobre la recta

\[ r:x-2y+1=0 \]

Primer paso. Hallamos una recta perpendicular a \(r\) que pase por \(P\)

La recta \(r\) tiene pendiente

\[ x-2y+1=0 \]
\[ y=\frac12x+\frac12 \]
\[ m_r=\frac12 \]

Una perpendicular tendrá pendiente

\[ m=-2 \]

Pasando por \(P(3,4)\):

\[ y-4=-2(x-3) \]
\[ y=-2x+10 \]

Segundo paso. Cortamos con la recta original

Sustituimos \(y=-2x+10\) en \(r\):

\[ x-2(-2x+10)+1=0 \]
\[ x+4x-20+1=0 \]
\[ 5x=19 \]
\[ x=\frac{19}{5} \]

Tercer paso. Calculamos \(y\)

\[ y=-2\cdot\frac{19}{5}+10 \]
\[ y=-\frac{38}{5}+\frac{50}{5}=\frac{12}{5} \]

Resultado.

La proyección ortogonal es

\[ H=\left(\frac{19}{5},\frac{12}{5}\right) \]

La proyección ortogonal es el punto donde la perpendicular desde \(P\) corta a la recta.

Ejercicio 24. Punto simétrico respecto de una recta

Halla el punto simétrico de \(P(3,4)\) respecto de la recta

\[ r:x-2y+1=0 \]

Primer paso. Usamos la proyección ortogonal

En el ejercicio anterior hemos obtenido la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\):

\[ H=\left(\frac{19}{5},\frac{12}{5}\right) \]

Ese punto \(H\) es el punto medio entre \(P\) y su simétrico \(P'\).

Segundo paso. Planteamos punto medio

\[ H=\left(\frac{x_P+x_{P'}}{2},\frac{y_P+y_{P'}}{2}\right) \]

Tercer paso. Calculamos coordenadas

\[ x_{P'}=2x_H-x_P \]
\[ x_{P'}=2\cdot\frac{19}{5}-3 \]
\[ x_{P'}=\frac{38}{5}-\frac{15}{5}=\frac{23}{5} \]

Para la coordenada \(y\):

\[ y_{P'}=2y_H-y_P \]
\[ y_{P'}=2\cdot\frac{12}{5}-4 \]
\[ y_{P'}=\frac{24}{5}-\frac{20}{5}=\frac45 \]

Resultado.

\[ P'=\left(\frac{23}{5},\frac45\right) \]

Para hallar un simétrico respecto de una recta, primero se busca la proyección ortogonal. Después se usa que esa proyección es punto medio.

Ejercicio 25. Distancia entre dos rectas paralelas

Calcula la distancia entre las rectas paralelas

\[ r:2x-y+1=0 \]
\[ s:2x-y-4=0 \]

Primer paso. Comprobamos que son paralelas

Tienen los mismos coeficientes de \(x\) y de \(y\), por tanto son paralelas.

Segundo paso. Usamos la fórmula para rectas paralelas

Si las rectas son \(Ax+By+C_1=0\) y \(Ax+By+C_2=0\), entonces

\[ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ d=\frac{|1-(-4)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \]
\[ d=\frac{5}{\sqrt5} \]
\[ d=\sqrt5 \]

Resultado.

\[ d=\sqrt5 \]

Ejercicio 26. Circunferencia con centro y radio

Halla la ecuación de la circunferencia de centro \(C(2,-1)\) y radio \(r=3\).

Primer paso. Ecuación reducida

La ecuación de una circunferencia de centro \(C(a,b)\) y radio \(r\) es

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]

Tercer paso. Forma general

\[ x^2-4x+4+y^2+2y+1=9 \]
\[ x^2+y^2-4x+2y-4=0 \]

Resultado.

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]
\[ x^2+y^2-4x+2y-4=0 \]

Ejercicio 27. Circunferencia con diámetro conocido

Halla la circunferencia que tiene como diámetro el segmento de extremos \(A(-1,2)\) y \(B(5,4)\).

Primer paso. El centro es el punto medio

\[ C=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right) \]
\[ C=(2,3) \]

Segundo paso. Calculamos el radio

El radio es la mitad de la distancia entre \(A\) y \(B\).

\[ AB=\sqrt{(5-(-1))^2+(4-2)^2} \]
\[ AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \]
\[ r=\sqrt{10} \]

Tercer paso. Ecuación de la circunferencia

\[ (x-2)^2+(y-3)^2=10 \]

Resultado.

\[ (x-2)^2+(y-3)^2=10 \]

Ejercicio 28. Circunferencia que pasa por tres puntos

Halla la circunferencia que pasa por los puntos \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) y \(C(0,2)\).

Primer paso. Partimos de la forma general

\[ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \]

Segundo paso. Sustituimos \(A(0,0)\)

\[ 0+0+0+0+F=0 \]
\[ F=0 \]

Tercer paso. Sustituimos \(B(4,0)\)

\[ 4^2+0^2+4D+0+0=0 \]
\[ 16+4D=0 \]
\[ D=-4 \]

Cuarto paso. Sustituimos \(C(0,2)\)

\[ 0^2+2^2+0+2E+0=0 \]
\[ 4+2E=0 \]
\[ E=-2 \]

Quinto paso. Escribimos la circunferencia

\[ x^2+y^2-4x-2y=0 \]

Resultado.

\[ x^2+y^2-4x-2y=0 \]

Este método es muy útil cuando se conocen tres puntos de la circunferencia.

Ejercicio 29. Problema completo tipo examen

Dados los puntos \(A(1,1)\), \(B(5,3)\) y \(C(2,7)\), calcula:

  • El punto medio de \(BC\)
  • La recta mediana que pasa por \(A\)
  • La longitud del lado \(AB\)
  • El ángulo del vértice \(A\)
  • El área del triángulo \(ABC\)

Primer paso. Punto medio de \(BC\)

\[ M=\left(\frac{5+2}{2},\frac{3+7}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac72,5\right) \]

Segundo paso. Recta mediana desde \(A\)

La mediana pasa por \(A(1,1)\) y por \(M\left(\frac72,5\right)\). Un vector director es

\[ \overrightarrow{AM}=\left(\frac72-1,5-1\right) \]
\[ \overrightarrow{AM}=\left(\frac52,4\right) \]

Multiplicamos por 2 para evitar fracciones:

\[ \vec u=(5,8) \]

La ecuación paramétrica de la mediana es

\[ \begin{cases} x=1+5t\\ y=1+8t \end{cases} \]

Tercer paso. Longitud del lado \(AB\)

\[ AB=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2} \]
\[ AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 \]

Cuarto paso. Ángulo del vértice \(A\)

Tomamos los vectores

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2) \]
\[ \overrightarrow{AC}=(1,6) \]

Producto escalar:

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot1+2\cdot6=16 \]

Módulos:

\[ |\overrightarrow{AB}|=2\sqrt5 \]
\[ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37} \]

Por tanto:

\[ \cos A=\frac{16}{2\sqrt5\sqrt{37}} \]
\[ \cos A=\frac{8}{\sqrt{185}} \]

Quinto paso. Área del triángulo

Usamos el determinante formado por \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\).

\[ Área=\frac12\left| \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 1 & 6 \end{vmatrix} \right| \]
\[ Área=\frac12|4\cdot6-2\cdot1| \]
\[ Área=\frac12|24-2| \]
\[ Área=11 \]

Resultado final.

\[ M=\left(\frac72,5\right) \]
\[ \begin{cases} x=1+5t\\ y=1+8t \end{cases} \]
\[ AB=2\sqrt5 \]
\[ A=\arccos\left(\frac{8}{\sqrt{185}}\right) \]
\[ Área=11 \]

Este ejercicio resume muy bien el tema: puntos, vectores, rectas, distancia, ángulo y área.

6. Consolidación y modelos de examen

Esta parte reúne parámetros, dependencia de vectores, puntos notables del triángulo, lugares geométricos y relaciones entre rectas y circunferencias. Los dos últimos modelos combinan varias decisiones propias de un examen exigente.

Vectores y parámetros

Ejercicio 30. Vector unitario en la dirección de dos puntos

Dados \(A(-1,2)\) y \(B(2,6)\), calcula un vector unitario que tenga el sentido de \(A\) hacia \(B\).

1. Obtener el vector

\[\overrightarrow{AB}=(2-(-1),6-2)=(3,4)\]

2. Calcular su módulo

\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

3. Dividir cada componente entre el módulo

\[\widehat{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\left(\frac35,\frac45\right)\]

Resultado. \(\widehat{AB}=\left(\frac35,\frac45\right)\).

Comprobación. Su módulo es \(\sqrt{9/25+16/25}=1\).

Ejercicio 31. Escribir un vector como combinación lineal

Expresa \(\vec w=(5,0)\) como combinación de \(\vec u=(1,2)\) y \(\vec v=(2,-1)\).

1. Plantear la combinación

\[a\vec u+b\vec v=\vec w\]
\[a(1,2)+b(2,-1)=(5,0)\]

2. Igualar coordenadas

\[\begin{cases}a+2b=5\\2a-b=0\end{cases}\]

De \(2a-b=0\) resulta \(b=2a\). Sustituyendo en la primera ecuación:

\[a+4a=5\quad\Longrightarrow\quad a=1,\qquad b=2\]

Resultado. \(\vec w=\vec u+2\vec v\).

Comprobación. \((1,2)+2(2,-1)=(5,0)\).

Ejercicio 32. Parámetro para que tres puntos estén alineados

Halla \(k\) para que \(A(1,2)\), \(B(3,5)\) y \(C(k,8)\) estén alineados.

1. Formar dos vectores con el mismo origen

\[\overrightarrow{AB}=(2,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(k-1,6)\]

2. Imponer dependencia lineal

Dos vectores del plano son paralelos cuando su determinante es cero.

\[\begin{vmatrix}2&3\\k-1&6\end{vmatrix}=0\]
\[12-3(k-1)=0\quad\Longrightarrow\quad 15-3k=0\]
\[k=5\]

Resultado. Los tres puntos están alineados cuando \(k=5\).

Ejercicio 33. Recta por la intersección de otras dos y un punto

Halla la recta que pasa por el punto de corte de \(r:x+y-3=0\) y \(s:2x-y=0\), y además por \(Q(3,4)\).

1. Calcular el punto de corte

De \(s\) obtenemos \(y=2x\). Sustituimos en \(r\):

\[x+2x-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=1,\ y=2\]

El punto común es \(P(1,2)\).

2. Construir la recta por \(P\) y \(Q\)

\[\overrightarrow{PQ}=(3-1,4-2)=(2,2)\sim(1,1)\]
\[y-2=x-1\]

Resultado. \(x-y+1=0\).

Ejercicio 34. Posición relativa de dos rectas con parámetro

Estudia según \(a\) la posición de \(r_a:ax+2y-1=0\) y \(s:3x+6y+4=0\).

1. Buscar cuándo tienen la misma dirección

\[\frac{a}{3}=\frac{2}{6}=\frac13\quad\Longrightarrow\quad a=1\]

2. Distinguir paralelas de coincidentes

Con \(a=1\), los coeficientes de \(x\) e \(y\) guardan razón \(1/3\), pero los términos independientes no:

\[\frac{-1}{4}\ne\frac13\]

Resultado. Si \(a=1\), son paralelas distintas. Si \(a\ne1\), son secantes. No existe ningún valor de \(a\) para el que sean coincidentes.

Ejercicio 35. Parámetro fijado por una distancia

Halla \(k\) para que la distancia de \(P(2,-1)\) a \(r_k:3x+4y+k=0\) sea \(2\).

1. Sustituir en la fórmula de distancia

\[\frac{|3\cdot2+4(-1)+k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\]
\[\frac{|k+2|}{5}=2\quad\Longrightarrow\quad |k+2|=10\]

2. Resolver los dos casos del valor absoluto

\[k+2=10\quad\text{o}\quad k+2=-10\]

Resultado. \(k=8\) o \(k=-12\).

Aparecen dos rectas paralelas, una a cada lado del punto.

Triángulos y lugares geométricos

Ejercicio 36. Mediatriz de un segmento

Halla la mediatriz del segmento de extremos \(A(-2,1)\) y \(B(4,5)\).

1. Calcular el punto medio

\[M=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(1,3)\]

2. Usar la dirección de \(AB\) como vector normal

\[\overrightarrow{AB}=(6,4)\sim(3,2)\]

La mediatriz es perpendicular a \(AB\), así que \((3,2)\) puede utilizarse como vector normal.

\[3(x-1)+2(y-3)=0\]

Resultado. \(3x+2y-9=0\).

Ejercicio 37. Alturas y ortocentro de un triángulo

Dados \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) y \(C(1,3)\), calcula el ortocentro.

1. Altura que parte de \(A\)

La recta \(BC\) tiene pendiente \(-1\), por lo que su perpendicular tiene pendiente \(1\). Como pasa por \(A\):

\[h_A:y=x\]

2. Altura que parte de \(B\)

La recta \(AC\) tiene pendiente \(3\); una perpendicular tiene pendiente \(-1/3\).

\[h_B:y=-\frac13(x-4)\]

3. Cortar las dos alturas

\[x=-\frac13(x-4)\quad\Longrightarrow\quad 4x=4\quad\Longrightarrow\quad x=1\]
\[y=x=1\]

Resultado. El ortocentro es \(H(1,1)\).

Ejercicio 38. Lugar geométrico de los puntos equidistantes

Halla el lugar geométrico de los puntos \(P(x,y)\) que están a la misma distancia de \(A(-2,0)\) y \(B(4,2)\).

1. Igualar las distancias al cuadrado

\[(x+2)^2+y^2=(x-4)^2+(y-2)^2\]

2. Desarrollar y simplificar

\[x^2+4x+4+y^2=x^2-8x+16+y^2-4y+4\]
\[12x+4y-16=0\]

Resultado. \(3x+y-4=0\), que es la mediatriz de \(AB\).

Comprobación. El punto medio \(M(1,1)\) pertenece a la recta.

Rectas y circunferencias
Posición de una recta respecto de una circunferenciaTres miniaturas muestran una recta exterior, una tangente y una secante.ExteriorTangenteSecante
Comparar la distancia del centro a la recta con el radio permite anticipar si habrá cero, uno o dos puntos de corte.

Ejercicio 39. Posición e intersección de una recta y una circunferencia

Estudia la posición de \(r:y=1\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2-4x-2y-4=0\) y calcula sus puntos comunes.

1. Leer centro y radio

\[(x-2)^2+(y-1)^2=9\]

El centro es \(C(2,1)\) y el radio es \(3\). La recta \(y=1\) pasa por el centro, así que será secante.

2. Sustituir la ecuación de la recta

\[x^2+1-4x-2-4=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x-5=0\]
\[(x-5)(x+1)=0\]

Resultado. La recta es secante y corta en \((-1,1)\) y \((5,1)\).

Ejercicio 40. Recta tangente a una circunferencia en un punto

Halla la tangente a \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) en \(P(5,3)\).

1. Comprobar el punto

\[(5-2)^2+(3+1)^2=9+16=25\]

2. Usar el radio como vector normal

El centro es \(C(2,-1)\). El radio que llega a \(P\) tiene vector:

\[\overrightarrow{CP}=(3,4)\]

La tangente es perpendicular al radio, de modo que \((3,4)\) es un vector normal de la tangente.

\[3(x-5)+4(y-3)=0\]

Resultado. \(3x+4y-27=0\).

Ejercicio 41. Circunferencia tangente a un eje

Una circunferencia es tangente al eje \(X\) en \(T(2,0)\) y su centro pertenece a \(x+y=5\). Halla su ecuación.

1. Situar el centro

El radio en el punto de tangencia es perpendicular al eje \(X\). Por tanto, el centro está en la vertical de \(T\): \(C=(2,b)\).

2. Imponer que el centro pertenezca a la recta

\[2+b=5\quad\Longrightarrow\quad b=3\]

Así, \(C=(2,3)\) y la distancia de \(C\) al eje \(X\) es el radio: \(r=3\).

Resultado. \((x-2)^2+(y-3)^2=9\).

Ejercicio 42. Síntesis de recta, mediatriz y circunferencia

Dados \(A(-1,1)\) y \(B(5,3)\), calcula el punto medio, la mediatriz, la circunferencia de diámetro \(AB\) y sus cortes con \(y=x\).

1. Punto medio y radio

\[M=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{1+3}{2}\right)=(2,2)\]
\[AB=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{10}\]

2. Mediatriz

El vector \(\overrightarrow{AB}=(6,2)\sim(3,1)\) es normal a la mediatriz.

\[3(x-2)+(y-2)=0\quad\Longrightarrow\quad 3x+y-8=0\]

3. Circunferencia

\[(x-2)^2+(y-2)^2=10\]

4. Cortes con \(y=x\)

\[2(x-2)^2=10\quad\Longrightarrow\quad x=2\pm\sqrt5\]

Resultado. La mediatriz es \(3x+y-8=0\), la circunferencia es \((x-2)^2+(y-2)^2=10\) y los cortes son \((2+\sqrt5,2+\sqrt5)\) y \((2-\sqrt5,2-\sqrt5)\).

Puntos notables del triángulo

Ejercicio 43. Circuncentro y circunferencia circunscrita

Dados los vértices \(A(-2,1)\), \(B(4,1)\) y \(C(0,5)\), calcula el circuncentro del triángulo y la ecuación de su circunferencia circunscrita.

1. Mediatriz del lado \(AB\)

El punto medio de \(AB\) es

\[M_{AB}=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{1+1}{2}\right)=(1,1)\]

Como \(AB\) es horizontal, su mediatriz es vertical.

\[m_{AB}:x=1\]

2. Mediatriz del lado \(AC\)

\[M_{AC}=\left(\frac{-2+0}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(-1,3)\]
\[\overrightarrow{AC}=(2,4)\sim(1,2)\]

El vector \((1,2)\) es normal a la mediatriz de \(AC\).

\[(x+1)+2(y-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x+2y-5=0\]

3. Cortar las dos mediatrices

\[x=1\quad\Longrightarrow\quad 1+2y-5=0\quad\Longrightarrow\quad y=2\]
\[O=(1,2)\]

4. Calcular el radio y comprobar

\[OA^2=(-2-1)^2+(1-2)^2=10\]
\[OB^2=(4-1)^2+(1-2)^2=10,\qquad OC^2=(0-1)^2+(5-2)^2=10\]

Resultado. El circuncentro es \(O=(1,2)\), el radio es \(r=\sqrt{10}\) y la circunferencia circunscrita es \((x-1)^2+(y-2)^2=10\).

La igualdad \(OA=OB=OC\) confirma que el punto hallado es el circuncentro.

Ejercicio 44. Baricentro mediante la intersección de medianas

Calcula el baricentro del triángulo de vértices \(A(-1,4)\), \(B(5,1)\) y \(C(2,-2)\) utilizando dos medianas.

1. Mediana que parte de \(A\)

El punto medio del lado \(BC\) es

\[M_{BC}=\left(\frac{5+2}{2},\frac{1-2}{2}\right)=\left(\frac72,-\frac12\right)\]
\[\overrightarrow{AM_{BC}}=\left(\frac92,-\frac92\right)\sim(1,-1)\]
\[m_A:y-4=-(x+1)\quad\Longrightarrow\quad x+y-3=0\]

2. Mediana que parte de \(B\)

El punto medio de \(AC\) es

\[M_{AC}=\left(\frac{-1+2}{2},\frac{4-2}{2}\right)=\left(\frac12,1\right)\]

La recta que pasa por \(B(5,1)\) y \(M_{AC}\) es horizontal.

\[m_B:y=1\]

3. Intersección de las medianas

\[y=1,\qquad x+y-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\]
\[G=(2,1)\]

4. Comprobar la razón de la mediana

\[\overrightarrow{AG}=(3,-3),\qquad \overrightarrow{GM_{BC}}=\left(\frac32,-\frac32\right)\]
\[\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM_{BC}}\]

Resultado. El baricentro es \(G=(2,1)\). Divide cada mediana en razón \(2:1\), contando desde el vértice.

Comprobación rápida. También se obtiene promediando las coordenadas de los tres vértices: \(G=\left(\frac{-1+5+2}{3},\frac{4+1-2}{3}\right)=(2,1)\).

Modelos difíciles de examen

Ejercicio 45. Recta de Euler de un triángulo

En el triángulo \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) y \(C(2,4)\), calcula el circuncentro, el ortocentro y el baricentro. Demuestra después que los tres puntos están alineados.

1. Circuncentro

La mediatriz de \(AB\) es \(x=3\). Para el lado \(AC\):

\[M_{AC}=(1,2),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,4)\sim(1,2)\]
\[(x-1)+2(y-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x+2y-5=0\]
\[x=3\quad\Longrightarrow\quad y=1\quad\Longrightarrow\quad O=(3,1)\]

2. Ortocentro

Como \(AB\) es horizontal, la altura que parte de \(C\) es \(x=2\). La recta \(BC\) tiene pendiente \(-1\), así que la altura que parte de \(A\) tiene pendiente \(1\).

\[h_A:y=x,\qquad h_C:x=2\]
\[H=(2,2)\]

3. Baricentro

\[G=\left(\frac{0+6+2}{3},\frac{0+0+4}{3}\right)=\left(\frac83,\frac43\right)\]

4. Ecuación de la recta y comprobación

Los tres puntos verifican la misma ecuación:

\[O(3,1):3+1=4,\quad H(2,2):2+2=4,\quad G\left(\frac83,\frac43\right):\frac83+\frac43=4\]
\[\text{Recta de Euler}:x+y-4=0\]

Además,

\[\overrightarrow{OG}=\left(-\frac13,\frac13\right),\qquad \overrightarrow{GH}=\left(-\frac23,\frac23\right)=2\overrightarrow{OG}\]

Resultado. \(O=(3,1)\), \(H=(2,2)\) y \(G=(8/3,4/3)\) están alineados en \(x+y-4=0\). El baricentro queda entre los otros dos puntos.

Ejercicio 46. Triángulo rectángulo con parámetro

Sean \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) y \(C(k,2)\). Halla los valores de \(k\) para los que el triángulo es rectángulo en \(C\). Calcula después su área y la circunferencia circunscrita.

1. Construir los vectores que forman el ángulo en \(C\)

\[\overrightarrow{CA}=(-k,-2),\qquad \overrightarrow{CB}=(6-k,-2)\]

2. Imponer perpendicularidad

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\]
\[(-k)(6-k)+(-2)(-2)=0\]
\[k^2-6k+4=0\]

3. Resolver la ecuación

\[k=\frac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt5}{2}=3\pm\sqrt5\]

Hay dos posiciones posibles del vértice:

\[C_1=(3+\sqrt5,2),\qquad C_2=(3-\sqrt5,2)\]

4. Área de los dos triángulos

La base \(AB\) mide \(6\) y la altura respecto de esa base es \(2\).

\[\text{Área}=\frac{6\cdot2}{2}=6\]

5. Circunferencia circunscrita

Como el ángulo recto está en \(C\), \(AB\) es el diámetro. Por tanto, el centro es \(O=(3,0)\) y el radio es \(3\).

\[(x-3)^2+y^2=9\]

6. Comprobación de los dos puntos

\[(3\pm\sqrt5-3)^2+2^2=5+4=9\]

Resultado. \(k=3+\sqrt5\) o \(k=3-\sqrt5\). En ambos casos el área es \(6\) y la circunferencia circunscrita es \((x-3)^2+y^2=9\).

Práctica final con soluciones paso a paso

Los doce primeros ejercicios consolidan técnicas concretas. Los seis últimos forman un recorrido tipo examen. Intenta resolver cada uno antes de abrir la solución.

Base y consolidación

1. Vector entre dos puntos

Dados \(A(-3,2)\) y \(B(1,-4)\), calcula \(\overrightarrow{AB}\).

Ver solución desarrollada
\[\overrightarrow{AB}=(1-(-3),-4-2)=(4,-6)\]

Resultado. \(\overrightarrow{AB}=(4,-6)\).

2. Módulo y vector unitario

Calcula el módulo de \(\vec u=(8,6)\) y un vector unitario de su misma dirección.

Ver solución desarrollada
\[|\vec u|=\sqrt{8^2+6^2}=10\]
\[\widehat u=\frac1{10}(8,6)=\left(\frac45,\frac35\right)\]

Resultado. \(|\vec u|=10\) y \(\widehat u=(4/5,3/5)\).

3. Simetría respecto de un punto

Halla el simétrico de \(A(2,-1)\) respecto de \(M(5,3)\).

Ver solución desarrollada

Como \(M\) es el punto medio, \(A'=2M-A\).

\[A'=(10,6)-(2,-1)=(8,7)\]

Resultado. \(A'=(8,7)\).

4. Ecuaciones de una recta

Escribe las ecuaciones paramétricas y general de la recta que pasa por \(P(-1,2)\) y tiene dirección \((2,3)\).

Ver solución desarrollada
\[\begin{cases}x=-1+2t\\y=2+3t\end{cases}\]

Un vector normal es \((3,-2)\).

\[3(x+1)-2(y-2)=0\]

Resultado. \(3x-2y+7=0\).

5. Pertenencia a una recta

Comprueba si \(P(3,3)\) y \(Q(2,3)\) pertenecen a \(x=1+t, y=-1+2t\).

Ver solución desarrollada

Para \(P\), la primera ecuación da \(t=2\) y la segunda da \(y=3\): pertenece. Para \(Q\), \(t=1\) y entonces \(y=1\), no \(3\).

Resultado. Solo \(P(3,3)\) pertenece.

6. Paralela por un punto

Halla la paralela a \(2x-3y+4=0\) que pasa por \(P(1,-2)\).

Ver solución desarrollada
\[2x-3y+C=0\]
\[2\cdot1-3(-2)+C=0\Longrightarrow C=-8\]

Resultado. \(2x-3y-8=0\).

7. Posición de dos rectas

Estudia \(r:x-2y+1=0\) y \(s:2x-4y+5=0\).

Ver solución desarrollada
\[\frac12=\frac{-2}{-4}\ne\frac15\]

Resultado. Son paralelas distintas.

8. Punto de corte

Halla la intersección de \(x+y=4\) y \(x-y=2\).

Ver solución desarrollada
\[\begin{cases}x+y=4\\x-y=2\end{cases}\Longrightarrow 2x=6\Longrightarrow x=3, y=1\]

Resultado. \(P=(3,1)\).

9. Distancia de punto a recta

Calcula la distancia de \(P(1,1)\) a \(3x-4y+5=0\).

Ver solución desarrollada
\[d=\frac{|3-4+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac45\]

Resultado. \(d=4/5\).

10. Ángulo entre vectores

Halla el ángulo entre \(\vec u=(1,0)\) y \(\vec v=(1,\sqrt3)\).

Ver solución desarrollada
\[\cos\alpha=\frac{1}{1\cdot2}=\frac12\]

Resultado. \(\alpha=60^\circ\).

11. Proyección ortogonal

Proyecta \(P(1,4)\) sobre \(r:2x-y=0\).

Ver solución desarrollada

La recta tiene pendiente \(2\); la perpendicular por \(P\) tiene pendiente \(-1/2\): \(y-4=-\frac12(x-1)\).

\[2x-4=-\frac12(x-1)\Longrightarrow 5x=9\]

Resultado. \(H=(9/5,18/5)\).

12. Simétrico respecto de una recta

Con la proyección anterior, halla el simétrico de \(P(1,4)\) respecto de \(2x-y=0\).

Ver solución desarrollada
\[P'=2H-P=2\left(\frac95,\frac{18}5\right)-(1,4)\]

Resultado. \(P'=(13/5,16/5)\).

Simulacro final

13. Alineación con parámetro

Halla \(k\) para que \(A(0,1)\), \(B(2,5)\) y \(C(3,k)\) estén alineados.

Ver solución desarrollada
\[\begin{vmatrix}2&4\\3&k-1\end{vmatrix}=0\Longrightarrow 2(k-1)-12=0\]

Resultado. \(k=7\).

14. Paralelismo con parámetro

Halla \(a\) para que \((a-1)x+2y+1=0\) sea paralela a \(3x-6y+4=0\).

Ver solución desarrollada
\[\frac{a-1}{3}=\frac2{-6}=-\frac13\]

Resultado. \(a=0\); las rectas son paralelas distintas.

15. Mediatriz

Halla la mediatriz del segmento \(A(0,0)\), \(B(4,2)\).

Ver solución desarrollada
\[M=(2,1),\qquad \overrightarrow{AB}=(4,2)\sim(2,1)\]
\[2(x-2)+(y-1)=0\]

Resultado. \(2x+y-5=0\).

16. Ortocentro

Calcula el ortocentro del triángulo \(A(0,2)\), \(B(-2,0)\), \(C(4,0)\).

Ver solución desarrollada

Como \(BC\) es horizontal, la altura desde \(A\) es \(x=0\). La pendiente de \(AC\) es \(-1/2\); la altura desde \(B\) tiene pendiente \(2\): \(y=2(x+2)\).

\[x=0\Longrightarrow y=4\]

Resultado. \(H=(0,4)\).

17. Recta y circunferencia

Halla los cortes de \(y=-1\) con \(x^2+y^2-6x+2y-6=0\).

Ver solución desarrollada
\[(x-3)^2+(y+1)^2=16\]
\[y=-1\Longrightarrow (x-3)^2=16\]

Resultado. \((-1,-1)\) y \((7,-1)\).

18. Tangente a una circunferencia

Halla la tangente a \((x-1)^2+(y-2)^2=10\) en \(P(4,3)\).

Ver solución desarrollada

El radio \(CP=(3,1)\) es normal a la tangente.

\[3(x-4)+(y-3)=0\]

Resultado. \(3x+y-15=0\).

Errores frecuentes y cómo detectarlos

ErrorQué conviene revisar
Restar las coordenadas en el orden contrarioEn \(\overrightarrow{AB}\), siempre se calcula \(B-A\).
Confundir director y normalEl director sigue la recta; el normal es perpendicular.
Cambiar de ecuación sin necesidadElegir al principio la forma que utiliza directamente los datos.
Decir “paralelas” sin comprobar coincidenciaComparar también los términos independientes.
Olvidar el valor absoluto en una distanciaUna distancia nunca puede ser negativa.
Tomar el ángulo obtuso cuando se pide el menorRevisar la convención del enunciado y el valor obtenido.
Buscar un simétrico sin hallar antes la proyecciónLa proyección es el punto medio entre el punto y su imagen.
Resolver recta-circunferencia sin anticipar la posiciónComparar primero la distancia del centro a la recta con el radio.
No comprobar un punto de tangenciaDebe pertenecer a la circunferencia y el radio debe ser normal a la tangente.

Qué conviene recordar

La misma figura puede resolverse de varias maneras, pero no todas son igual de limpias. Una buena solución traduce primero el dibujo, elige después la representación adecuada y termina comprobando el resultado en el enunciado.

La idea central. En geometría analítica, una ecuación no es solo una cuenta: describe una posición, una dirección o una distancia en el plano.

Cuando el dibujo se entiende, pero el procedimiento no termina de salir

En geometría es frecuente saber qué pide el ejercicio y atascarse al elegir la recta, organizar un sistema o interpretar el resultado. En las clases online de Matemáticas para Bachillerato se puede trabajar sobre el mismo dibujo y corregir cada paso mientras se resuelve. Si encaja mejor una franja temprana, también hay clases online por la mañana para preparar exámenes con más calma.

Preguntas frecuentes

¿Qué se trabaja en este cuaderno?

Vectores y puntos, ecuaciones de la recta, posiciones relativas, distancias, ángulos, proyecciones, simetrías, mediatrices, circuncentro, baricentro, ortocentro, lugares geométricos sencillos y problemas de circunferencia ligados a rectas o puntos.

¿Cuál es la diferencia entre vector director y vector normal?

El vector director sigue la dirección de la recta. El vector normal es perpendicular y aparece directamente en los coeficientes \(A\) y \(B\) de \(Ax+By+C=0\).

¿Qué forma de la recta conviene utilizar?

Depende de los datos. Con un punto y un director suele ser cómoda la forma paramétrica; con un punto y un normal, la general; para pendientes y ángulos, la explícita puede resultar más rápida.

¿Cómo se calcula la distancia de un punto a una recta?

Se escribe la recta como \(Ax+By+C=0\), se sustituye el punto en el numerador con valor absoluto y se divide entre \(\sqrt{A^2+B^2}\).

¿Qué circunferencias se estudian aquí y cuáles quedan en Cónicas?

Aquí se trabajan las circunferencias que se construyen con centros, diámetros, puntos, rectas y tangencias. El estudio conjunto de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola corresponde al cuaderno de Cónicas.

Recurso elaborado por José María · Marlu Educativa.

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