Matemáticas

Geometría analítica 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

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Geometría analítica 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

La geometría analítica de 1º Bachillerato suele ser uno de los bloques donde más alumnos se bloquean. Aparecen vectores, puntos, rectas, pendientes, distancias, ángulos, posiciones relativas, proyecciones, puntos simétricos y circunferencias. Si no se ordena bien, el tema parece una lista de fórmulas desconectadas.

En este recurso trabajamos geometría analítica paso a paso, con ejercicios reales de examen y explicaciones pensadas para estudiar. La idea es que el alumno entienda qué representa cada objeto: un vector, una recta, una pendiente, un vector director, un vector normal, una distancia o una proyección ortogonal.

El bloque está ordenado de menor a mayor dificultad. Primero se trabajan vectores y puntos, después las distintas formas de la recta, luego posiciones relativas, distancias y ángulos, y finalmente problemas más completos con proyección ortogonal, punto simétrico y circunferencia.

Material elaborado por José María para Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que quieren preparar Matemáticas con método, claridad y ejercicios bien resueltos.

Vectores y puntos

Coordenadas, módulo, punto medio, simétricos, operaciones y producto escalar.

Rectas

Vectorial, paramétrica, continua, general, explícita, paralelismo y perpendicularidad.

Problemas completos

Distancias, ángulos, proyección ortogonal, punto simétrico y circunferencia.

Índice clicable de ejercicios

  1. Ejercicio 1. Vector determinado por dos puntos
  2. Ejercicio 2. Módulo de un vector
  3. Ejercicio 3. Operaciones con vectores
  4. Ejercicio 4. Punto medio de un segmento
  5. Ejercicio 5. Punto simétrico respecto de otro punto
  6. Ejercicio 6. Vector director y vector normal de una recta
  7. Ejercicio 7. Ecuación vectorial y paramétrica de una recta
  8. Ejercicio 8. Ecuación continua y general de una recta
  9. Ejercicio 9. Ecuación explícita, pendiente y ordenada en el origen
  10. Ejercicio 10. Recta que pasa por dos puntos
  11. Ejercicio 11. Comprobar si un punto pertenece a una recta
  12. Ejercicio 12. Hallar punto, vector director y vector normal
  13. Ejercicio 13. Recta paralela a otra pasando por un punto
  14. Ejercicio 14. Recta perpendicular a otra pasando por un punto
  15. Ejercicio 15. Posición relativa de dos rectas
  16. Ejercicio 16. Punto de corte de dos rectas
  17. Ejercicio 17. Distancia entre dos puntos
  18. Ejercicio 18. Distancia de un punto a una recta
  19. Ejercicio 19. Producto escalar y ángulo entre vectores
  20. Ejercicio 20. Parámetro para que dos vectores sean perpendiculares
  21. Ejercicio 21. Ángulo entre dos rectas
  22. Ejercicio 22. Recta que forma 45 grados con otra recta
  23. Ejercicio 23. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
  24. Ejercicio 24. Punto simétrico respecto de una recta
  25. Ejercicio 25. Distancia entre dos rectas paralelas
  26. Ejercicio 26. Circunferencia con centro y radio
  27. Ejercicio 27. Circunferencia con diámetro conocido
  28. Ejercicio 28. Circunferencia que pasa por tres puntos
  29. Ejercicio 29. Problema completo tipo examen

Antes de empezar: fórmulas que conviene tener claras

  • Vector entre dos puntos: si \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), entonces \(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)\).
  • Módulo de un vector: si \(\vec u=(u_1,u_2)\), entonces \(|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\).
  • Punto medio: \(M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).
  • Recta general: \(Ax+By+C=0\).
  • Vector normal de \(Ax+By+C=0\): \(\vec n=(A,B)\).
  • Vector director de \(Ax+By+C=0\): se puede tomar \(\vec u=(-B,A)\).
  • Distancia punto recta: \(d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
  • Producto escalar: \(\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2\).
  • Ángulo entre vectores: \(\cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\).

Idea clave. En geometría analítica no conviene memorizar fórmulas sin saber qué representan. Un vector director marca la dirección de la recta. Un vector normal es perpendicular a la recta. Una proyección ortogonal es el pie de la perpendicular. Un punto simétrico se obtiene usando esa proyección como punto medio.

Bloque 1. Vectores y puntos

Empezamos con vectores, módulos, punto medio y simetría respecto de un punto. Esta parte es la base para rectas, distancias y ángulos.

Ejercicio 1. Vector determinado por dos puntos

Dados los puntos \(A(-2,3)\) y \(B(4,-1)\), calcula el vector \(\overrightarrow{AB}\).

Primer paso. Recordamos la fórmula

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A) \]

Segundo paso. Sustituimos los datos

\[ \overrightarrow{AB}=(4-(-2),\ -1-3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(6,\ -4) \]

Resultado.

\[ \overrightarrow{AB}=(6,-4) \]

El vector indica que para ir de \(A\) a \(B\) avanzamos 6 unidades en horizontal y bajamos 4 unidades en vertical.

Ejercicio 2. Módulo de un vector

Calcula el módulo del vector

\[ \vec u=(6,-8) \]

Primer paso. Aplicamos la fórmula del módulo

\[ |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ |\vec u|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \]
\[ |\vec u|=\sqrt{36+64} \]
\[ |\vec u|=\sqrt{100}=10 \]

Resultado.

\[ |\vec u|=10 \]

El módulo representa la longitud del vector.

Ejercicio 3. Operaciones con vectores

Dados los vectores

\[ \vec u=(2,-3),\quad \vec v=(-1,5) \]

calcula \(\vec u+\vec v\) y \(2\vec u-\vec v\).

Primer paso. Sumamos coordenada a coordenada

\[ \vec u+\vec v=(2+(-1),\ -3+5) \]
\[ \vec u+\vec v=(1,2) \]

Segundo paso. Calculamos \(2\vec u\)

\[ 2\vec u=2(2,-3)=(4,-6) \]

Tercer paso. Restamos \(\vec v\)

\[ 2\vec u-\vec v=(4,-6)-(-1,5) \]
\[ 2\vec u-\vec v=(4+1,\ -6-5) \]
\[ 2\vec u-\vec v=(5,-11) \]

Resultado.

\[ \vec u+\vec v=(1,2) \]
\[ 2\vec u-\vec v=(5,-11) \]

Ejercicio 4. Punto medio de un segmento

Calcula el punto medio del segmento de extremos \(A(-3,5)\) y \(B(7,-1)\).

Primer paso. Usamos la fórmula del punto medio

\[ M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ M=\left(\frac{-3+7}{2},\frac{5+(-1)}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac{4}{2},\frac{4}{2}\right) \]
\[ M=(2,2) \]

Resultado.

\[ M=(2,2) \]

Ejercicio 5. Punto simétrico respecto de otro punto

Halla el punto simétrico de \(A(2,-5)\) respecto del punto \(M(1,3)\).

Primer paso. Interpretamos el problema

Si \(A'\) es el simétrico de \(A\) respecto de \(M\), entonces \(M\) es el punto medio de \(AA'\).

\[ M=\left(\frac{x_A+x_{A'}}{2},\frac{y_A+y_{A'}}{2}\right) \]

Segundo paso. Planteamos las coordenadas

\[ 1=\frac{2+x_{A'}}{2} \]
\[ 2=2+x_{A'} \]
\[ x_{A'}=0 \]

Para la segunda coordenada:

\[ 3=\frac{-5+y_{A'}}{2} \]
\[ 6=-5+y_{A'} \]
\[ y_{A'}=11 \]

Resultado.

\[ A'=(0,11) \]

El punto \(M\) queda justo en medio de \(A\) y \(A'\).

Bloque 2. Ecuaciones de la recta

Una recta puede escribirse de varias formas. Lo importante es saber pasar de una a otra y reconocer qué información aporta cada expresión.

Ejercicio 6. Vector director y vector normal de una recta

Dada la recta

\[ r: 3x-2y+5=0 \]

halla un vector normal y un vector director.

Primer paso. Vector normal

En una recta general \(Ax+By+C=0\), un vector normal es

\[ \vec n=(A,B) \]

En este caso:

\[ \vec n=(3,-2) \]

Segundo paso. Vector director

Un vector director puede tomarse como

\[ \vec u=(-B,A) \]

Como \(A=3\) y \(B=-2\):

\[ \vec u=(2,3) \]

Resultado.

\[ \vec n=(3,-2),\quad \vec u=(2,3) \]

El vector normal es perpendicular a la recta. El vector director marca la dirección de la recta.

Ejercicio 7. Ecuación vectorial y paramétrica de una recta

Halla la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por \(P(1,-2)\) y tiene vector director \(\vec u=(3,4)\).

Primer paso. Ecuación vectorial

\[ (x,y)=(1,-2)+t(3,4),\quad t\in\mathbb{R} \]

Segundo paso. Ecuaciones paramétricas

Igualamos coordenadas.

\[ \begin{cases} x=1+3t\\ y=-2+4t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R} \]

Resultado.

\[ (x,y)=(1,-2)+t(3,4) \]
\[ \begin{cases} x=1+3t\\ y=-2+4t \end{cases} \]

Ejercicio 8. Ecuación continua y general de una recta

Halla la ecuación continua y general de la recta que pasa por \(P(2,-1)\) y tiene vector director \(\vec u=(-3,5)\).

Primer paso. Ecuación continua

Si la recta pasa por \(P(x_0,y_0)\) y tiene vector director \((u_1,u_2)\), entonces

\[ \frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2} \]

Sustituimos:

\[ \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{5} \]

Segundo paso. Pasamos a general

\[ 5(x-2)=-3(y+1) \]
\[ 5x-10=-3y-3 \]
\[ 5x+3y-7=0 \]

Resultado.

\[ \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{5} \]
\[ 5x+3y-7=0 \]

Ejercicio 9. Ecuación explícita, pendiente y ordenada en el origen

Dada la recta

\[ 2x-3y+6=0 \]

escríbela en forma explícita y halla su pendiente y su ordenada en el origen.

Primer paso. Despejamos \(y\)

\[ 2x-3y+6=0 \]
\[ -3y=-2x-6 \]
\[ y=\frac{2}{3}x+2 \]

Segundo paso. Identificamos pendiente y ordenada

En la forma \(y=mx+n\), \(m\) es la pendiente y \(n\) la ordenada en el origen.

Resultado.

\[ y=\frac{2}{3}x+2 \]
\[ m=\frac{2}{3},\quad n=2 \]

Ejercicio 10. Recta que pasa por dos puntos

Halla la ecuación general de la recta que pasa por \(A(-1,2)\) y \(B(3,-4)\).

Primer paso. Calculamos un vector director

\[ \overrightarrow{AB}=(3-(-1),-4-2) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4,-6) \]

Podemos simplificarlo dividiendo entre 2:

\[ \vec u=(2,-3) \]

Segundo paso. Buscamos un vector normal

Un vector perpendicular a \((2,-3)\) es

\[ \vec n=(3,2) \]

porque

\[ (2,-3)\cdot(3,2)=6-6=0 \]

Tercer paso. Usamos punto y normal

\[ 3(x+1)+2(y-2)=0 \]
\[ 3x+3+2y-4=0 \]
\[ 3x+2y-1=0 \]

Resultado.

\[ 3x+2y-1=0 \]

Ejercicio 11. Comprobar si un punto pertenece a una recta

Comprueba si los puntos \(P(5,8)\) y \(Q(4,6)\) pertenecen a la recta

\[ r: \begin{cases} x=2+t\\ y=-1+3t \end{cases} \]

Primer paso. Probamos el punto \(P(5,8)\)

De la primera ecuación:

\[ 5=2+t \]
\[ t=3 \]

Comprobamos en la segunda:

\[ y=-1+3\cdot3=8 \]

Coincide.

Segundo paso. Probamos el punto \(Q(4,6)\)

De la primera ecuación:

\[ 4=2+t \]
\[ t=2 \]

Comprobamos en la segunda:

\[ y=-1+3\cdot2=5 \]

Pero el punto tiene \(y=6\), así que no coincide.

Resultado.

El punto \(P(5,8)\) sí pertenece a la recta. El punto \(Q(4,6)\) no pertenece.

Ejercicio 12. Hallar punto, vector director y vector normal

Dada la recta

\[ r:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-5} \]

halla un punto y un vector director. Después, dada la recta \(s:4x-y+7=0\), halla un vector normal y un vector director.

Primer paso. Recta en forma continua

\[ \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-5} \]

El punto es

\[ P=(3,-1) \]

y el vector director es

\[ \vec u=(2,-5) \]

Segundo paso. Recta en forma general

\[ s:4x-y+7=0 \]

Un vector normal es

\[ \vec n=(4,-1) \]

Un vector director puede ser

\[ \vec u=(1,4) \]

Resultado.

\[ r:\quad P=(3,-1),\quad \vec u=(2,-5) \]
\[ s:\quad \vec n=(4,-1),\quad \vec u=(1,4) \]

Bloque 3. Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa

En estos ejercicios se estudia cómo se colocan unas rectas respecto a otras: si son paralelas, coincidentes, secantes o perpendiculares.

Ejercicio 13. Recta paralela a otra pasando por un punto

Halla la recta paralela a

\[ r:3x-2y+1=0 \]

que pasa por \(P(2,-3)\).

Primer paso. Una recta paralela conserva \(A\) y \(B\)

Las rectas paralelas tienen la misma dirección. Por tanto, buscamos una recta de la forma

\[ 3x-2y+C=0 \]

Segundo paso. Imponemos que pase por \(P(2,-3)\)

\[ 3\cdot2-2(-3)+C=0 \]
\[ 6+6+C=0 \]
\[ C=-12 \]

Resultado.

\[ 3x-2y-12=0 \]

Ejercicio 14. Recta perpendicular a otra pasando por un punto

Halla la recta perpendicular a

\[ r:2x+y-5=0 \]

que pasa por \(P(-1,4)\).

Primer paso. Hallamos la pendiente de \(r\)

\[ 2x+y-5=0 \]
\[ y=-2x+5 \]

Por tanto, la pendiente de \(r\) es

\[ m_r=-2 \]

Segundo paso. Pendiente de una perpendicular

Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes cumplen

\[ m_r\cdot m_s=-1 \]
\[ -2\cdot m_s=-1 \]
\[ m_s=\frac{1}{2} \]

Tercer paso. Ecuación punto pendiente

\[ y-4=\frac{1}{2}(x+1) \]

Multiplicamos por 2:

\[ 2y-8=x+1 \]
\[ x-2y+9=0 \]

Resultado.

\[ x-2y+9=0 \]

Ejercicio 15. Posición relativa de dos rectas

Estudia la posición relativa de las rectas

\[ r:2x-y+3=0 \]
\[ s:4x-2y+1=0 \]

Primer paso. Comparamos los coeficientes

\[ \frac{A}{A'}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ \frac{B}{B'}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \]

Los coeficientes de \(x\) y de \(y\) son proporcionales.

Segundo paso. Comparamos el término independiente

\[ \frac{C}{C'}=\frac{3}{1}=3 \]

No coincide con \(1/2\).

Resultado.

Las rectas son paralelas distintas.

Si \(A\) y \(B\) son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección. Si \(C\) no guarda la misma proporción, no son coincidentes.

Ejercicio 16. Punto de corte de dos rectas

Halla el punto de corte de las rectas

\[ r:x+2y-5=0 \]
\[ s:3x-y+1=0 \]

Primer paso. Resolvemos el sistema

\[ \begin{cases} x+2y=5\\ 3x-y=-1 \end{cases} \]

Segundo paso. Despejamos \(y\) de la segunda ecuación

\[ 3x-y=-1 \]
\[ y=3x+1 \]

Tercer paso. Sustituimos en la primera

\[ x+2(3x+1)=5 \]
\[ x+6x+2=5 \]
\[ 7x=3 \]
\[ x=\frac{3}{7} \]

Cuarto paso. Calculamos \(y\)

\[ y=3\cdot\frac{3}{7}+1 \]
\[ y=\frac{9}{7}+\frac{7}{7}=\frac{16}{7} \]

Resultado.

\[ P=\left(\frac{3}{7},\frac{16}{7}\right) \]

Bloque 4. Distancias, producto escalar y ángulos

En esta parte aparecen los ejercicios que suelen diferenciar un repaso básico de un dominio real del tema.

Ejercicio 17. Distancia entre dos puntos

Calcula la distancia entre \(A(-2,1)\) y \(B(4,9)\).

Primer paso. Aplicamos la fórmula

\[ d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ d(A,B)=\sqrt{(4-(-2))^2+(9-1)^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{6^2+8^2} \]
\[ d(A,B)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]

Resultado.

\[ d(A,B)=10 \]

Ejercicio 18. Distancia de un punto a una recta

Calcula la distancia del punto \(P(3,-2)\) a la recta

\[ r:4x-3y+6=0 \]

Primer paso. Fórmula de distancia punto recta

\[ d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ d(P,r)=\frac{|4\cdot3-3(-2)+6|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \]
\[ d(P,r)=\frac{|12+6+6|}{\sqrt{16+9}} \]
\[ d(P,r)=\frac{24}{5} \]

Resultado.

\[ d(P,r)=\frac{24}{5} \]

Ejercicio 19. Producto escalar y ángulo entre vectores

Dados los vectores

\[ \vec u=(4,3),\quad \vec v=(-1,7) \]

calcula su producto escalar y el ángulo que forman.

Primer paso. Producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec v=4(-1)+3\cdot7 \]
\[ \vec u\cdot\vec v=-4+21=17 \]

Segundo paso. Módulos

\[ |\vec u|=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]
\[ |\vec v|=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2 \]

Tercer paso. Coseno del ángulo

\[ \cos\alpha=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|} \]
\[ \cos\alpha=\frac{17}{5\cdot5\sqrt2} \]
\[ \cos\alpha=\frac{17}{25\sqrt2} \]

Resultado.

\[ \vec u\cdot\vec v=17 \]
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{17}{25\sqrt2}\right) \]

Si el producto escalar fuera cero, los vectores serían perpendiculares.

Ejercicio 20. Parámetro para que dos vectores sean perpendiculares

Halla \(a\) para que los vectores

\[ \vec u=(a,2),\quad \vec v=(3,-6) \]

sean perpendiculares.

Primer paso. Condición de perpendicularidad

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar vale cero.

\[ \vec u\cdot\vec v=0 \]

Segundo paso. Calculamos el producto escalar

\[ (a,2)\cdot(3,-6)=3a+2(-6) \]
\[ 3a-12=0 \]

Tercer paso. Resolvemos

\[ 3a=12 \]
\[ a=4 \]

Resultado.

\[ a=4 \]

Ejercicio 21. Ángulo entre dos rectas

Calcula el ángulo que forman las rectas

\[ r:2x-y+1=0 \]
\[ s:x+3y-4=0 \]

Primer paso. Hallamos sus pendientes

Para \(r\):

\[ 2x-y+1=0 \]
\[ y=2x+1 \]
\[ m_r=2 \]

Para \(s\):

\[ x+3y-4=0 \]
\[ 3y=-x+4 \]
\[ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3} \]
\[ m_s=-\frac{1}{3} \]

Segundo paso. Fórmula del ángulo entre rectas

\[ \tan\alpha=\left|\frac{m_s-m_r}{1+m_rm_s}\right| \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ \tan\alpha= \left| \frac{-\frac13-2}{1+2\left(-\frac13\right)} \right| \]
\[ \tan\alpha= \left| \frac{-\frac73}{\frac13} \right| =7 \]

Resultado.

\[ \alpha=\arctan(7) \]

Ejercicio 22. Recta que forma 45 grados con otra recta

Halla las rectas que pasan por \(P(1,2)\) y forman un ángulo de \(45^\circ\) con la recta

\[ r:y=2x-3 \]

Primer paso. Llamamos \(m\) a la pendiente buscada

La pendiente de la recta dada es

\[ m_r=2 \]

La pendiente de la nueva recta será \(m\).

Segundo paso. Usamos la fórmula del ángulo

\[ \tan45^\circ=\left|\frac{m-2}{1+2m}\right| \]

Como \(\tan45^\circ=1\), tenemos

\[ \left|\frac{m-2}{1+2m}\right|=1 \]

Tercer paso. Resolvemos los dos casos

Primer caso:

\[ m-2=1+2m \]
\[ -m=3 \]
\[ m=-3 \]

Segundo caso:

\[ m-2=-(1+2m) \]
\[ m-2=-1-2m \]
\[ 3m=1 \]
\[ m=\frac13 \]

Cuarto paso. Escribimos las rectas pasando por \(P(1,2)\)

\[ y-2=-3(x-1) \]
\[ y-2=\frac13(x-1) \]

Resultado.

\[ y-2=-3(x-1) \]
\[ y-2=\frac13(x-1) \]

Hay dos rectas porque desde un punto pueden trazarse dos direcciones que formen \(45^\circ\) con una recta dada.

Bloque 5. Proyección ortogonal, simetría y circunferencia

Esta parte da mucho nivel al recurso. Son ejercicios que suelen costar porque obligan a combinar varias ideas a la vez.

Ejercicio 23. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

Halla la proyección ortogonal del punto \(P(3,4)\) sobre la recta

\[ r:x-2y+1=0 \]

Primer paso. Hallamos una recta perpendicular a \(r\) que pase por \(P\)

La recta \(r\) tiene pendiente

\[ x-2y+1=0 \]
\[ y=\frac12x+\frac12 \]
\[ m_r=\frac12 \]

Una perpendicular tendrá pendiente

\[ m=-2 \]

Pasando por \(P(3,4)\):

\[ y-4=-2(x-3) \]
\[ y=-2x+10 \]

Segundo paso. Cortamos con la recta original

Sustituimos \(y=-2x+10\) en \(r\):

\[ x-2(-2x+10)+1=0 \]
\[ x+4x-20+1=0 \]
\[ 5x=19 \]
\[ x=\frac{19}{5} \]

Tercer paso. Calculamos \(y\)

\[ y=-2\cdot\frac{19}{5}+10 \]
\[ y=-\frac{38}{5}+\frac{50}{5}=\frac{12}{5} \]

Resultado.

La proyección ortogonal es

\[ H=\left(\frac{19}{5},\frac{12}{5}\right) \]

La proyección ortogonal es el punto donde la perpendicular desde \(P\) corta a la recta.

Ejercicio 24. Punto simétrico respecto de una recta

Halla el punto simétrico de \(P(3,4)\) respecto de la recta

\[ r:x-2y+1=0 \]

Primer paso. Usamos la proyección ortogonal

En el ejercicio anterior hemos obtenido la proyección ortogonal de \(P\) sobre \(r\):

\[ H=\left(\frac{19}{5},\frac{12}{5}\right) \]

Ese punto \(H\) es el punto medio entre \(P\) y su simétrico \(P'\).

Segundo paso. Planteamos punto medio

\[ H=\left(\frac{x_P+x_{P'}}{2},\frac{y_P+y_{P'}}{2}\right) \]

Tercer paso. Calculamos coordenadas

\[ x_{P'}=2x_H-x_P \]
\[ x_{P'}=2\cdot\frac{19}{5}-3 \]
\[ x_{P'}=\frac{38}{5}-\frac{15}{5}=\frac{23}{5} \]

Para la coordenada \(y\):

\[ y_{P'}=2y_H-y_P \]
\[ y_{P'}=2\cdot\frac{12}{5}-4 \]
\[ y_{P'}=\frac{24}{5}-\frac{20}{5}=\frac45 \]

Resultado.

\[ P'=\left(\frac{23}{5},\frac45\right) \]

Para hallar un simétrico respecto de una recta, primero se busca la proyección ortogonal. Después se usa que esa proyección es punto medio.

Ejercicio 25. Distancia entre dos rectas paralelas

Calcula la distancia entre las rectas paralelas

\[ r:2x-y+1=0 \]
\[ s:2x-y-4=0 \]

Primer paso. Comprobamos que son paralelas

Tienen los mismos coeficientes de \(x\) y de \(y\), por tanto son paralelas.

Segundo paso. Usamos la fórmula para rectas paralelas

Si las rectas son \(Ax+By+C_1=0\) y \(Ax+By+C_2=0\), entonces

\[ d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ d=\frac{|1-(-4)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \]
\[ d=\frac{5}{\sqrt5} \]
\[ d=\sqrt5 \]

Resultado.

\[ d=\sqrt5 \]

Ejercicio 26. Circunferencia con centro y radio

Halla la ecuación de la circunferencia de centro \(C(2,-1)\) y radio \(r=3\).

Primer paso. Ecuación reducida

La ecuación de una circunferencia de centro \(C(a,b)\) y radio \(r\) es

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]

Tercer paso. Forma general

\[ x^2-4x+4+y^2+2y+1=9 \]
\[ x^2+y^2-4x+2y-4=0 \]

Resultado.

\[ (x-2)^2+(y+1)^2=9 \]
\[ x^2+y^2-4x+2y-4=0 \]

Ejercicio 27. Circunferencia con diámetro conocido

Halla la circunferencia que tiene como diámetro el segmento de extremos \(A(-1,2)\) y \(B(5,4)\).

Primer paso. El centro es el punto medio

\[ C=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right) \]
\[ C=(2,3) \]

Segundo paso. Calculamos el radio

El radio es la mitad de la distancia entre \(A\) y \(B\).

\[ AB=\sqrt{(5-(-1))^2+(4-2)^2} \]
\[ AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \]
\[ r=\sqrt{10} \]

Tercer paso. Ecuación de la circunferencia

\[ (x-2)^2+(y-3)^2=10 \]

Resultado.

\[ (x-2)^2+(y-3)^2=10 \]

Ejercicio 28. Circunferencia que pasa por tres puntos

Halla la circunferencia que pasa por los puntos \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) y \(C(0,2)\).

Primer paso. Partimos de la forma general

\[ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \]

Segundo paso. Sustituimos \(A(0,0)\)

\[ 0+0+0+0+F=0 \]
\[ F=0 \]

Tercer paso. Sustituimos \(B(4,0)\)

\[ 4^2+0^2+4D+0+0=0 \]
\[ 16+4D=0 \]
\[ D=-4 \]

Cuarto paso. Sustituimos \(C(0,2)\)

\[ 0^2+2^2+0+2E+0=0 \]
\[ 4+2E=0 \]
\[ E=-2 \]

Quinto paso. Escribimos la circunferencia

\[ x^2+y^2-4x-2y=0 \]

Resultado.

\[ x^2+y^2-4x-2y=0 \]

Este método es muy útil cuando se conocen tres puntos de la circunferencia.

Ejercicio 29. Problema completo tipo examen

Dados los puntos \(A(1,1)\), \(B(5,3)\) y \(C(2,7)\), calcula:

  • El punto medio de \(BC\)
  • La recta mediana que pasa por \(A\)
  • La longitud del lado \(AB\)
  • El ángulo del vértice \(A\)
  • El área del triángulo \(ABC\)

Primer paso. Punto medio de \(BC\)

\[ M=\left(\frac{5+2}{2},\frac{3+7}{2}\right) \]
\[ M=\left(\frac72,5\right) \]

Segundo paso. Recta mediana desde \(A\)

La mediana pasa por \(A(1,1)\) y por \(M\left(\frac72,5\right)\). Un vector director es

\[ \overrightarrow{AM}=\left(\frac72-1,5-1\right) \]
\[ \overrightarrow{AM}=\left(\frac52,4\right) \]

Multiplicamos por 2 para evitar fracciones:

\[ \vec u=(5,8) \]

La ecuación paramétrica de la mediana es

\[ \begin{cases} x=1+5t\\ y=1+8t \end{cases} \]

Tercer paso. Longitud del lado \(AB\)

\[ AB=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2} \]
\[ AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 \]

Cuarto paso. Ángulo del vértice \(A\)

Tomamos los vectores

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2) \]
\[ \overrightarrow{AC}=(1,6) \]

Producto escalar:

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot1+2\cdot6=16 \]

Módulos:

\[ |\overrightarrow{AB}|=2\sqrt5 \]
\[ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37} \]

Por tanto:

\[ \cos A=\frac{16}{2\sqrt5\sqrt{37}} \]
\[ \cos A=\frac{8}{\sqrt{185}} \]

Quinto paso. Área del triángulo

Usamos el determinante formado por \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\).

\[ Área=\frac12\left| \begin{vmatrix} 4 & 2\\ 1 & 6 \end{vmatrix} \right| \]
\[ Área=\frac12|4\cdot6-2\cdot1| \]
\[ Área=\frac12|24-2| \]
\[ Área=11 \]

Resultado final.

\[ M=\left(\frac72,5\right) \]
\[ \begin{cases} x=1+5t\\ y=1+8t \end{cases} \]
\[ AB=2\sqrt5 \]
\[ A=\arccos\left(\frac{8}{\sqrt{185}}\right) \]
\[ Área=11 \]

Este ejercicio resume muy bien el tema: puntos, vectores, rectas, distancia, ángulo y área.

Errores frecuentes en geometría analítica de 1 Bachillerato

  • Restar mal las coordenadas al calcular un vector entre dos puntos.
  • Confundir vector director y vector normal.
  • Olvidar que el vector normal de \(Ax+By+C=0\) es \((A,B)\).
  • Pasar de ecuación continua a general sin cuidar los signos.
  • Confundir rectas paralelas con coincidentes.
  • Calcular un punto de corte sin resolver el sistema completo.
  • Usar mal la fórmula de distancia punto recta.
  • Olvidar el valor absoluto en la distancia punto recta.
  • Confundir ángulo entre vectores con ángulo entre rectas.
  • No considerar las dos soluciones cuando una recta debe formar un ángulo dado con otra.
  • Hallar el punto simétrico respecto de una recta sin calcular antes la proyección ortogonal.
  • Escribir una circunferencia sin revisar centro y radio.

Cómo estudiar geometría analítica para un examen

  • Primero domina vectores, módulo, punto medio y producto escalar.
  • Después aprende todas las formas de la recta y cómo pasar de una a otra.
  • Luego trabaja paralelismo, perpendicularidad y posición relativa.
  • Más tarde estudia distancias y ángulos.
  • Después practica proyección ortogonal y punto simétrico.
  • Finalmente resuelve problemas completos que mezclen varias ideas.

La clave es no estudiar el tema como una lista de fórmulas. Cada ejercicio tiene una interpretación geométrica. Cuando se entiende esa interpretación, los cálculos son mucho más seguros.

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