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Cinemática 1º Bachillerato: ejercicios resueltos de MRU, MRUA, tiros y movimiento circular

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Física · 1º de Bachillerato · Mecánica

Del dibujo al modelo, y del modelo a una respuesta comprobada

La dificultad de la cinemática no está en memorizar muchas fórmulas. Está en elegir el sistema de referencia, reconocer qué magnitudes cambian y decidir qué ecuaciones describen el movimiento.

Esta guía reúne los fundamentos vectoriales, la lectura de gráficas y 35 ejercicios resueltos de MRU, MRUA, caída libre, tiros, MCU y MCUA. Describe cómo se mueve un cuerpo. Las fuerzas que causan ese movimiento se estudian después, en dinámica.

35 ejerciciosResueltos y comprobados uno a uno
7 bloquesDe MRU a movimiento circular
5 retos finalesPara practicar sin copiar el modelo
Empezar desde ceroFundamentos y gráficas

Posición, desplazamiento, velocidad, aceleración y lectura de \(x-t\), \(v-t\) y \(a-t\).

Examen próximoMétodo y ejercicios

Clasifica el movimiento, revisa las fórmulas y entra directamente en el bloque que necesitas.

Corregir un bloqueoErrores y práctica final

Localiza el signo, la unidad o la decisión que falla y prueba después sin mirar la solución.

Método Marlu para resolver cinemática

Antes de escribir una ecuación, deja fijado el dibujo físico. La misma velocidad puede ser positiva o negativa según el eje elegido. El signo no lo decide el movimiento por sí solo, sino el sistema de referencia.

  1. Dibuja y sitúa el origen. Señala el móvil, la trayectoria y el instante inicial.
  2. Elige los ejes y su sentido positivo. En tiros conviene usar \(+x\) horizontal y \(+y\) hacia arriba.
  3. Escribe datos e incógnitas con unidades. Pasa al Sistema Internacional antes de sustituir.
  4. Clasifica el movimiento. Decide si \(a=0\), si \(a\) es constante, si se componen dos ejes o si la trayectoria es circular.
  5. Escribe la ecuación general. Sustituye después, no antes, y conserva los signos.
  6. Resuelve y filtra. Descarta tiempos negativos o raíces incompatibles con el intervalo físico.
  7. Comprueba. Revisa dimensiones, dirección, orden de magnitud y coherencia con el dibujo.
  8. Responde lo preguntado. Incluye unidad, sentido y una frase de interpretación cuando proceda.
Secuencia de decisión
Dibujo → referencia → datos → modelo → ecuaciones → cálculo → comprobación → respuesta.

Fundamentos vectoriales que no conviene saltarse

Dónde estáPosición

El vector \(\vec r(t)\) localiza el móvil respecto al origen elegido.

Qué ha cambiadoDesplazamiento

\(\Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1\). Une la posición inicial con la final y no coincide necesariamente con la distancia recorrida.

Con qué rapidez cambiaVelocidad y aceleración

\(\vec v_m=\Delta\vec r/\Delta t\) y \(\vec a_m=\Delta\vec v/\Delta t\).

Trayectoria y vector desplazamiento Un móvil recorre una trayectoria curva desde A hasta B. El desplazamiento es la flecha recta que une ambas posiciones. x y A · inicial B · final desplazamiento Δr La distancia sigue la trayectoria. El desplazamiento solo depende de A y B.
Trayectoria y desplazamiento no son lo mismo. Si el móvil vuelve al punto de partida, el desplazamiento es cero aunque haya recorrido una distancia.
Magnitudes básicas y su interpretación.
MagnitudDefiniciónUnidad SIControl conceptual
Posición\(\vec r(t)\)mDepende del origen y de los ejes.
Desplazamiento\(\Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1\)mVector desde la posición inicial a la final.
Velocidad media\(\vec v_m=\Delta\vec r/\Delta t\)m/sUsa desplazamiento, no distancia total.
Rapidez media\(v_{m,\,esc}=s_{total}/\Delta t\)m/sEs escalar y nunca negativa.
Aceleración media\(\vec a_m=\Delta\vec v/\Delta t\)m/s²Mide el cambio del vector velocidad.
Modelo vectorial breve. Si \(\vec r_1=(1,2)\ \text{m}\) y tres segundos después \(\vec r_2=(7,-1)\ \text{m}\), entonces \(\Delta\vec r=(6,-3)\ \text{m}\) y \(\vec v_m=(2,-1)\ \text{m/s}\). Con solo esas dos posiciones no puede saberse la distancia real recorrida.

Gráficas de posición, velocidad y aceleración

Una gráfica no es un dibujo decorativo. Su pendiente y su área contienen información física. En una gráfica \(x-t\), la pendiente es la velocidad. En una gráfica \(v-t\), la pendiente es la aceleración y el área algebraica es el desplazamiento.

Comparación de gráficas de MRU y MRUA En MRU la posición es una recta y la velocidad es constante. En MRUA la posición es una parábola y la velocidad una recta. MRU · x frente a t t x pendiente constante MRUA · v frente a t t v pendiente = a área = Δx
En MRU, una recta horizontal en \(x-t\) significaría reposo. En \(v-t\), un área bajo el eje cuenta como desplazamiento negativo.
Cómo leer cada gráfica sin memorizar frases aisladas.
GráficaPendienteÁreaSeñal útil
\(x-t\)VelocidadNo tiene uso cinemático directo en este nivelPendiente negativa implica movimiento hacia \(-x\), no necesariamente que frene.
\(v-t\)AceleraciónDesplazamientoCruzar \(v=0\) indica cambio de sentido.
\(a-t\)Variación de la aceleraciónCambio de velocidadÁrea positiva aumenta \(v\), pero el móvil puede seguir moviéndose hacia \(-x\).
Ejemplo de área. Un móvil acelera desde \(0\) hasta \(8\ \text{m/s}\) en \(4\ \text{s}\), mantiene esa velocidad \(3\ \text{s}\) y frena hasta detenerse en \(2\ \text{s}\). El desplazamiento es \(\tfrac12\cdot4\cdot8+3\cdot8+\tfrac12\cdot2\cdot8=48\ \text{m}\).

Selector de modelos y fórmulas esenciales

Elige el modelo por sus condiciones, no por una palabra suelta del enunciado.
ModeloCondiciónEcuaciones baseComprobación
MRUTrayectoria recta y \(a=0\)\(x=x_0+vt\)La gráfica \(x-t\) es una recta.
MRUATrayectoria recta y \(a\) constante\(v=v_0+at\)
\(x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2\)
\(v^2=v_0^2+2a\Delta x\)		La gráfica \(v-t\) es una recta.
Caída y verticalMRUA con \(\vec a=\vec g\)Con \(+y\) hacia arriba
\(y=y_0+v_0t-\tfrac12gt^2\)
\(v=v_0-gt\)		En el punto más alto, \(v=0\), pero \(a=-g\).
TiroComposición de MRU horizontal y MRUA vertical\(v_{0x}=v_0\cos\alpha\)
\(v_{0y}=v_0\sin\alpha\)		El mismo tiempo sirve en ambos ejes.
MCU\(\omega\) constante\(\omega=2\pi/T=2\pi f\)
\(v=\omega R\)
\(a_n=v^2/R=\omega^2R\)		El módulo de \(\vec v\) es constante, su dirección no.
MCUA\(\alpha\) constante\(\omega=\omega_0+\alpha t\)
\(\theta=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\)		\(a_t=\alpha R\) y \(a_n=\omega^2R\).

Encuentros y alcances

Escribe una ecuación de posición para cada móvil en el mismo eje y con el mismo origen. El encuentro se obtiene de \(x_1(t)=x_2(t)\).

Frenada con reacción

Separa dos fases. Durante la reacción hay MRU. Durante el frenado hay MRUA. La distancia de parada es \(d_r+d_f\).

Tiro horizontal y parabólico

Resuelve primero el eje que contiene la incógnita temporal. No mezcles las componentes de la velocidad hasta calcular su módulo o su dirección.

Movimiento circular

Los radianes conectan magnitudes angulares y lineales. Usa \(s=R\theta\), \(v=R\omega\) y \(a_t=R\alpha\).

Descomposición del tiro y vectores del movimiento circular A la izquierda, una velocidad inicial se divide en componentes horizontal y vertical. A la derecha, la velocidad circular es tangente y la aceleración normal apunta al centro. Tiro parabólico α v₀ v₀x v₀y Movimiento circular v tangente aₙ R
En los tiros, las componentes se estudian por separado. En el movimiento circular, la velocidad es tangente y la aceleración normal apunta hacia el centro.
Frontera del recurso. Aquí se describe el movimiento. Para explicar por qué un coche acelera, qué fuerza lo frena o qué energía interviene, continúa después con dinámica y energía. El movimiento armónico simple se reserva para su monográfico de 2º de Bachillerato.

Bloque 1. Movimiento rectilíneo uniforme, MRU

La trayectoria es recta, la velocidad vectorial permanece constante y la aceleración es cero. En encuentros y persecuciones, el paso decisivo es escribir todas las posiciones desde el mismo origen.

Ejercicio 1. MRU. Distancia recorrida por un coche

Un coche circula a \(72\ \text{km/h}\). Calcula qué distancia recorre en \(3\) minutos.

Datos e incógnitas

\(v=72\ \text{km/h}\), \(t=3\ \text{min}\)

Modelo y cálculo

Pasamos la velocidad al Sistema Internacional.

\[ 72\ \text{km/h}=72\cdot\frac{1000}{3600}=20\ \text{m/s} \]

Pasamos el tiempo a segundos.

\[ 3\ \text{min}=180\ \text{s} \]

Aplicamos MRU.

\[ x=v\cdot t=20\cdot180=3600\ \text{m} \]

Resultado. El coche recorre \(3600\ \text{m}\), es decir, \(3,6\ \text{km}\).

Revisión. Las unidades se reducen a metros y 20 m/s · 180 s = 3600 m.
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Ejercicio 2. MRU. Dos móviles que se encuentran

Dos coches salen al mismo tiempo desde dos ciudades separadas \(120\ \text{km}\). El primero va a \(80\ \text{km/h}\) y el segundo a \(70\ \text{km/h}\), uno hacia el otro. Calcula cuándo se encuentran y qué distancia recorre el primero.

Datos e incógnitas

\(d=120\ \text{km}\), \(v_1=80\ \text{km/h}\), \(v_2=70\ \text{km/h}\)

Modelo y cálculo

Como van uno hacia el otro, se suma la velocidad.

\[ v_{\text{relativa}}=80+70=150\ \text{km/h} \]
\[ t=\frac{120}{150}=0,8\ \text{h}=48\ \text{min} \]

Distancia recorrida por el primer coche:

\[ x_1=80\cdot0,8=64\ \text{km} \]

Resultado. Se encuentran a los \(48\) minutos. El primer coche recorre \(64\ \text{km}\).

Revisión. El segundo coche recorre 56 km y 64 km + 56 km = 120 km, la separación inicial.
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Ejercicio 3. MRU. Problema de persecución

Un corredor lleva \(300\ \text{m}\) de ventaja y corre a \(4\ \text{m/s}\). Un ciclista sale detrás de él a \(10\ \text{m/s}\). Calcula cuánto tarda en alcanzarlo y a qué distancia ocurre.

Datos e incógnitas

Ventaja \(300\ \text{m}\), \(v_1=4\ \text{m/s}\), \(v_2=10\ \text{m/s}\)

Modelo y cálculo

Posición del corredor:

\[ x_1=300+4t \]

Posición del ciclista:

\[ x_2=10t \]

Igualamos posiciones.

\[ 10t=300+4t \]
\[ 6t=300 \]
\[ t=50\ \text{s} \]

Distancia:

\[ x=10\cdot50=500\ \text{m} \]

Resultado. El ciclista lo alcanza a los \(50\ \text{s}\), a \(500\ \text{m}\) de su salida.

Revisión. A los 50 s, corredor y ciclista ocupan x = 500 m. Las dos ecuaciones coinciden.
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Ejercicio 4. MRU. Rapidez media con parada

Una alumna camina \(3\ \text{km}\) en \(10\) minutos, descansa \(5\) minutos y después camina \(2\ \text{km}\) en \(5\) minutos. Calcula la rapidez media total.

Datos e incógnitas

Distancia total \(5\ \text{km}\), tiempo total \(20\ \text{min}\)

Modelo y cálculo

\[ 20\ \text{min}=\frac{20}{60}\ \text{h}=\frac13\ \text{h} \]
\[ v_{\text{media}}=\frac{5}{1/3}=15\ \text{km/h} \]

Resultado. La rapidez media es \(15\ \text{km/h}\).

Revisión. Se incluye la parada. La rapidez media es menor que la rapidez de cualquiera de los dos tramos caminando.

Atención. En la velocidad media total también cuenta el tiempo de parada.

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Ejercicio 5. MRU. Tren que atraviesa un túnel

Un tren de \(100\ \text{m}\) atraviesa un túnel de \(500\ \text{m}\) a \(20\ \text{m/s}\). Calcula cuánto tarda en salir completamente.

Datos e incógnitas

Longitud tren \(100\ \text{m}\), túnel \(500\ \text{m}\), \(v=20\ \text{m/s}\)

Modelo y cálculo

Para salir completamente, la cabeza del tren recorre túnel más tren.

\[ x=500+100=600\ \text{m} \]
\[ t=\frac{x}{v}=\frac{600}{20}=30\ \text{s} \]

Resultado. Tarda \(30\ \text{s}\).

Revisión. La cabeza del tren debe recorrer 500 m + 100 m = 600 m para que el último vagón abandone el túnel.
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Bloque 2. MRUA

En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado la aceleración es constante. La velocidad cambia siempre al mismo ritmo.

Ejercicio 6. MRUA. Coche que acelera desde el reposo

Un coche parte del reposo con aceleración \(2,5\ \text{m/s}^2\). Calcula su velocidad y el espacio recorrido al cabo de \(8\ \text{s}\).

Datos e incógnitas

\(v_0=0\), \(a=2,5\ \text{m/s}^2\), \(t=8\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ v=v_0+at=0+2,5\cdot8=20\ \text{m/s} \]
\[ x=v_0t+\frac12at^2 \]
\[ x=0+\frac12\cdot2,5\cdot8^2=80\ \text{m} \]

Resultado. La velocidad final es \(20\ \text{m/s}\) y el espacio recorrido es \(80\ \text{m}\).

Revisión. La velocidad media del MRUA es 10 m/s y 10 m/s · 8 s = 80 m.
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Ejercicio 7. MRUA. Frenada de un vehículo

Un coche circula a \(90\ \text{km/h}\) y frena con aceleración de módulo \(5\ \text{m/s}^2\). Calcula el tiempo que tarda en detenerse y la distancia de frenado.

Datos e incógnitas

\(v_0=90\ \text{km/h}=25\ \text{m/s}\), \(v=0\), \(a=-5\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ 0=25-5t \]
\[ t=5\ \text{s} \]
\[ 0^2=25^2+2(-5)\Delta x \]
\[ 0=625-10\Delta x \]
\[ \Delta x=62,5\ \text{m} \]

Resultado. Tarda \(5\ \text{s}\) y recorre \(62,5\ \text{m}\) durante la frenada.

Revisión. Con velocidad media 12,5 m/s durante 5 s, la distancia vuelve a ser 62,5 m.
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Ejercicio 8. MRUA. Conductor, reacción y obstáculo

Un conductor circula a \(72\ \text{km/h}\). De repente se le cruza un conejo a \(45\ \text{m}\). El tiempo de reacción es \(0,8\ \text{s}\) y la desaceleración al frenar es de módulo \(6\ \text{m/s}^2\). Calcula la distancia total de parada, el tiempo total y decide si choca.

Datos e incógnitas

\(v_0=72\ \text{km/h}=20\ \text{m/s}\), \(t_r=0,8\ \text{s}\), \(a=-6\ \text{m/s}^2\), obstáculo a \(45\ \text{m}\)

Modelo y cálculo

Durante el tiempo de reacción todavía no frena.

\[ x_r=v\cdot t_r=20\cdot0,8=16\ \text{m} \]

Después frena con MRUA.

\[ 0^2=20^2+2(-6)x_f \]
\[ 0=400-12x_f \]
\[ x_f=33,3\ \text{m} \]

Distancia total:

\[ x_{\text{total}}=16+33,3=49,3\ \text{m} \]

Tiempo de frenado:

\[ 0=20-6t_f \]
\[ t_f=3,33\ \text{s} \]
\[ t_{\text{total}}=0,8+3,33=4,13\ \text{s} \]

Resultado. Necesita \(49,3\ \text{m}\) para detenerse y tarda \(4,13\ \text{s}\). Como el obstáculo está a \(45\ \text{m}\), no logra parar a tiempo.

Revisión. La distancia necesaria, 49,3 m, supera los 45 m disponibles. La conclusión es coherente.

Conclusión. Sí chocaría. Este problema es típico porque obliga a sumar distancia de reacción y distancia de frenado.

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Ejercicio 9. MRUA. Calcular aceleración desde espacio y tiempo

Un móvil parte del reposo y recorre \(100\ \text{m}\) en \(10\ \text{s}\) con aceleración constante. Calcula la aceleración y la velocidad final.

Datos e incógnitas

\(v_0=0\), \(x=100\ \text{m}\), \(t=10\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ x=v_0t+\frac12at^2 \]
\[ 100=0+\frac12a\cdot10^2 \]
\[ 100=50a \]
\[ a=2\ \text{m/s}^2 \]
\[ v=v_0+at=0+2\cdot10=20\ \text{m/s} \]

Resultado. La aceleración es \(2\ \text{m/s}^2\) y la velocidad final es \(20\ \text{m/s}\).

Revisión. Al sustituir a = 2 m/s² y t = 10 s, la ecuación de posición recupera exactamente 100 m.
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Ejercicio 10. MRUA y MRU. Alcance entre dos móviles

Un coche parte desde un semáforo desde el reposo con aceleración \(2\ \text{m/s}^2\). En el mismo instante, un autobús pasa por el semáforo con velocidad constante de \(10\ \text{m/s}\). Calcula cuándo alcanza el coche al autobús y a qué distancia ocurre.

Datos e incógnitas

Coche \(x_c=\frac12at^2\), autobús \(x_b=10t\)

Modelo y cálculo

\[ x_c=\frac12\cdot2\cdot t^2=t^2 \]
\[ x_b=10t \]

Igualamos posiciones.

\[ t^2=10t \]
\[ t(t-10)=0 \]

La solución útil es \(t=10\ \text{s}\).

\[ x=10\cdot10=100\ \text{m} \]

Resultado. El coche alcanza al autobús a los \(10\ \text{s}\), a \(100\ \text{m}\) del semáforo.

Revisión. La raíz t = 0 corresponde al instante inicial. El segundo encuentro ocurre en t = 10 s.
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Ejercicio 11. MRUA. Tren que no consigue frenar a tiempo

Un tren circula a \(108\ \text{km/h}\) y comienza a frenar con desaceleración de módulo \(1,5\ \text{m/s}^2\). La estación está a \(250\ \text{m}\). ¿Consigue detenerse antes de llegar? Si no se detiene, calcula con qué velocidad pasa por la estación.

Datos e incógnitas

\(v_0=108\ \text{km/h}=30\ \text{m/s}\), \(a=-1,5\ \text{m/s}^2\), \(\Delta x=250\ \text{m}\)

Modelo y cálculo

Distancia necesaria para detenerse:

\[ 0=30^2+2(-1,5)\Delta x \]
\[ 0=900-3\Delta x \]
\[ \Delta x=300\ \text{m} \]

Como necesita \(300\ \text{m}\) y solo hay \(250\ \text{m}\), no se detiene. Calculamos la velocidad en la estación.

\[ v^2=30^2+2(-1,5)\cdot250 \]
\[ v^2=900-750=150 \]
\[ v=\sqrt{150}=12,2\ \text{m/s} \]

Resultado. No se detiene antes de la estación. Pasa por ella con velocidad \(12,2\ \text{m/s}\).

Revisión. La distancia de parada es 300 m, mayor que 250 m, y v² = 150 confirma que aún se mueve.
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Bloque 3. Caída libre y lanzamiento vertical

En estos problemas la aceleración es la gravedad. Hay que elegir un sentido positivo y respetar los signos.

Ejercicio 12. Caída libre desde una altura

Se deja caer una piedra desde \(80\ \text{m}\). Calcula el tiempo de caída y la velocidad de impacto.

Datos e incógnitas

\(h=80\ \text{m}\), \(v_0=0\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ h=\frac12gt^2 \]
\[ 80=4,9t^2 \]
\[ t=\sqrt{\frac{80}{4,9}}=4,04\ \text{s} \]
\[ v=gt=9,8\cdot4,04=39,6\ \text{m/s} \]

Resultado. Tarda \(4,04\ \text{s}\) y llega con velocidad \(39,6\ \text{m/s}\) hacia abajo.

Revisión. También se cumple v² = 2 · g · h. Con h = 80 m, resulta v ≈ 39,6 m/s.
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Ejercicio 13. Lanzamiento vertical hacia arriba

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad inicial \(24,5\ \text{m/s}\). Calcula la altura máxima, el tiempo de subida y el tiempo total hasta volver al punto de lanzamiento.

Datos e incógnitas

\(v_0=24,5\ \text{m/s}\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

En la altura máxima la velocidad es cero.

\[ 0=24,5-9,8t \]
\[ t=2,5\ \text{s} \]
\[ h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{24,5^2}{2\cdot9,8}=30,6\ \text{m} \]
\[ t_{\text{total}}=2\cdot2,5=5,0\ \text{s} \]

Resultado. Altura máxima \(30,6\ \text{m}\), tiempo de subida \(2,5\ \text{s}\) y tiempo total \(5,0\ \text{s}\).

Revisión. El tiempo de bajada iguala al de subida porque vuelve a la misma altura y se desprecia el rozamiento del aire.
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Ejercicio 14. Piedra en un pozo y sonido que sube

Se deja caer una piedra en un pozo. El sonido del impacto se oye \(2,0\ \text{s}\) después de soltarla. Calcula la profundidad del pozo. Toma \(g=9,8\ \text{m/s}^2\) y velocidad del sonido \(v_s=340\ \text{m/s}\).

Datos e incógnitas

\(t_{\text{total}}=2,0\ \text{s}\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\), \(v_s=340\ \text{m/s}\)

Modelo y cálculo

Hay dos movimientos. La piedra baja con caída libre. El sonido sube con velocidad constante. El tiempo total es la suma del tiempo de caída y del tiempo de subida del sonido.

Llamamos \(t\) al tiempo de caída de la piedra. Entonces el sonido tarda \(2-t\).

Profundidad por caída libre:

\[ h=\frac12gt^2=4,9t^2 \]

Profundidad por el sonido:

\[ h=v_s(2-t)=340(2-t) \]

Igualamos:

\[ 4,9t^2=340(2-t) \]
\[ 4,9t^2+340t-680=0 \]
\[ t=\frac{-340+\sqrt{340^2+4\cdot4,9\cdot680}}{2\cdot4,9} \]
\[ t=1,945\ \text{s} \]
\[ h=4,9(1,945)^2=18,55\ \text{m} \]

Resultado. La profundidad del pozo es aproximadamente \(18,5\ \text{m}\).

Revisión. El sonido tarda 18,55 m / 340 m/s = 0,0546 s. Sumado a 1,945 s, recupera los 2,00 s medidos.
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Ejercicio 15. Lanzamiento vertical hacia abajo

Desde \(60\ \text{m}\) se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con velocidad inicial \(5\ \text{m/s}\). Calcula el tiempo de caída y la velocidad de impacto.

Datos e incógnitas

\(h=60\ \text{m}\), \(v_0=5\ \text{m/s}\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

Tomamos positivo hacia abajo.

\[ 60=5t+4,9t^2 \]
\[ 4,9t^2+5t-60=0 \]
\[ t=3,03\ \text{s} \]
\[ v=5+9,8\cdot3,03=34,7\ \text{m/s} \]

Resultado. Tarda \(3,03\ \text{s}\) y llega con velocidad \(34,7\ \text{m/s}\) hacia abajo.

Revisión. La relación v² = v0² + 2 · g · h da de nuevo 34,7 m/s.
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Ejercicio 16. Lanzamiento vertical desde un balcón

Desde un balcón situado a \(20\ \text{m}\) del suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con \(10\ \text{m/s}\). Calcula cuánto tarda en llegar al suelo y con qué velocidad impacta.

Datos e incógnitas

\(y_0=20\ \text{m}\), \(v_0=10\ \text{m/s}\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

Tomamos positivo hacia arriba y el suelo como \(y=0\).

\[ 0=20+10t-4,9t^2 \]
\[ 4,9t^2-10t-20=0 \]
\[ t=3,28\ \text{s} \]
\[ v=10-9,8\cdot3,28=-22,1\ \text{m/s} \]

Resultado. Tarda \(3,28\ \text{s}\) e impacta con velocidad \(22,1\ \text{m/s}\) hacia abajo.

Revisión. El signo negativo de la velocidad confirma que el impacto ocurre hacia abajo con el convenio +y hacia arriba.
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Bloque 4. Tiro horizontal

En el tiro horizontal el cuerpo sale con velocidad horizontal, pero sin velocidad vertical inicial. El tiempo lo marca la caída vertical.

Ejercicio 17. Tiro horizontal desde un acantilado

Desde un acantilado de \(45\ \text{m}\) se lanza una piedra horizontalmente con \(12\ \text{m/s}\). Calcula el tiempo de caída, el alcance horizontal y la velocidad de impacto.

Datos e incógnitas

\(h=45\ \text{m}\), \(v_x=12\ \text{m/s}\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ 45=4,9t^2 \]
\[ t=3,03\ \text{s} \]
\[ x=v_xt=12\cdot3,03=36,4\ \text{m} \]
\[ v_y=gt=9,8\cdot3,03=29,7\ \text{m/s} \]
\[ v=\sqrt{12^2+29,7^2}=32,0\ \text{m/s} \]

Resultado. Tiempo \(3,03\ \text{s}\), alcance \(36,4\ \text{m}\) y velocidad de impacto \(32,0\ \text{m/s}\).

Revisión. El módulo de la velocidad de impacto es mayor que cada componente por separado, como exige la suma vectorial.
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Ejercicio 18. Tiro horizontal. Velocidad necesaria para llegar a un punto

Desde \(20\ \text{m}\) de altura se lanza horizontalmente una bola. Debe caer a \(25\ \text{m}\) de la base. Calcula la velocidad inicial necesaria.

Datos e incógnitas

\(h=20\ \text{m}\), \(x=25\ \text{m}\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ 20=4,9t^2 \]
\[ t=2,02\ \text{s} \]
\[ v_x=\frac{x}{t}=\frac{25}{2,02}=12,4\ \text{m/s} \]

Resultado. La velocidad horizontal inicial debe ser \(12,4\ \text{m/s}\).

Revisión. La comprobación horizontal da 12,4 m/s · 2,02 s ≈ 25,0 m.
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Ejercicio 19. Tiro horizontal desde un avión

Un avión vuela horizontalmente a \(180\ \text{km/h}\) y deja caer un paquete desde \(125\ \text{m}\). Calcula el tiempo de caída y la distancia horizontal recorrida.

Datos e incógnitas

\(v_x=180\ \text{km/h}=50\ \text{m/s}\), \(h=125\ \text{m}\)

Modelo y cálculo

\[ 125=4,9t^2 \]
\[ t=5,05\ \text{s} \]
\[ x=50\cdot5,05=252,5\ \text{m} \]

Resultado. El paquete tarda \(5,05\ \text{s}\) y recorre \(252,5\ \text{m}\) horizontalmente.

Revisión. Sin rozamiento del aire, la componente horizontal permanece en 50 m/s durante toda la caída.
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Ejercicio 20. Tiro horizontal. Velocidad de impacto y ángulo

Desde \(30\ \text{m}\) se lanza horizontalmente un objeto con \(15\ \text{m/s}\). Calcula el alcance, la velocidad de impacto y el ángulo con la horizontal.

Datos e incógnitas

\(h=30\ \text{m}\), \(v_x=15\ \text{m/s}\)

Modelo y cálculo

\[ 30=4,9t^2 \]
\[ t=2,47\ \text{s} \]
\[ x=15\cdot2,47=37,1\ \text{m} \]
\[ v_y=9,8\cdot2,47=24,2\ \text{m/s} \]
\[ v=\sqrt{15^2+24,2^2}=28,5\ \text{m/s} \]
\[ \tan\alpha=\frac{24,2}{15} \]
\[ \alpha=58,2^\circ \]

Resultado. Alcance \(37,1\ \text{m}\), velocidad de impacto \(28,5\ \text{m/s}\) y ángulo \(58,2^\circ\) por debajo de la horizontal.

Revisión. La componente vertical apunta hacia abajo, por eso el ángulo se expresa por debajo de la horizontal.
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Bloque 5. Tiro parabólico

En el tiro parabólico la velocidad inicial tiene una componente horizontal y una componente vertical. El tiempo es común a los dos ejes.

Ejercicio 21. Tiro parabólico. Tiempo, altura máxima y alcance

Se lanza un proyectil desde el suelo con \(20\ \text{m/s}\) formando \(30^\circ\) con la horizontal. Calcula el tiempo total, la altura máxima y el alcance.

Datos e incógnitas

\(v_0=20\ \text{m/s}\), \(\alpha=30^\circ\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ v_{0x}=20\cos30^\circ=17,3\ \text{m/s} \]
\[ v_{0y}=20\sin30^\circ=10\ \text{m/s} \]
\[ t_{\text{total}}=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{20}{9,8}=2,04\ \text{s} \]
\[ h_{\text{max}}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{10^2}{19,6}=5,10\ \text{m} \]
\[ R=v_{0x}t=17,3\cdot2,04=35,3\ \text{m} \]

Resultado. Tiempo total \(2,04\ \text{s}\), altura máxima \(5,10\ \text{m}\) y alcance \(35,3\ \text{m}\).

Revisión. Las fórmulas directas son válidas porque lanzamiento y llegada se producen a la misma altura.
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Ejercicio 22. Tiro parabólico con ángulo de 40 grados

Un balón se lanza desde el suelo con \(25\ \text{m/s}\) y ángulo \(40^\circ\). Calcula el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance.

Datos e incógnitas

\(v_0=25\ \text{m/s}\), \(\alpha=40^\circ\)

Modelo y cálculo

\[ v_{0x}=25\cos40^\circ=19,2\ \text{m/s} \]
\[ v_{0y}=25\sin40^\circ=16,1\ \text{m/s} \]
\[ t_{\text{total}}=\frac{2\cdot16,1}{9,8}=3,28\ \text{s} \]
\[ h_{\text{max}}=\frac{16,1^2}{2\cdot9,8}=13,2\ \text{m} \]
\[ R=19,2\cdot3,28=63,0\ \text{m} \]

Resultado. Tiempo de vuelo \(3,28\ \text{s}\), altura máxima \(13,2\ \text{m}\) y alcance \(63,0\ \text{m}\).

Revisión. Con las componentes sin redondear, velocidad horizontal · tiempo reproduce aproximadamente 63,0 m.
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Ejercicio 23. Tiro parabólico. Posición y velocidad en un instante

Un proyectil se lanza desde el suelo con \(18\ \text{m/s}\) y ángulo \(45^\circ\). Calcula su posición y su velocidad vertical cuando han pasado \(1,2\ \text{s}\).

Datos e incógnitas

\(v_0=18\ \text{m/s}\), \(\alpha=45^\circ\), \(t=1,2\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ v_{0x}=18\cos45^\circ=12,728\ \text{m/s} \]
\[ v_{0y}=18\sin45^\circ=12,728\ \text{m/s} \]
\[ x=12,728\cdot1,2=15,27\ \text{m} \]
\[ y=12,728\cdot1,2-4,9\cdot1,2^2 \]
\[ y=15,27-7,06=8,22\ \text{m} \]
\[ v_y=12,728-9,8\cdot1,2=0,97\ \text{m/s} \]

Resultado. A los \(1,2\ \text{s}\), está en \(x=15,27\ \text{m}\), \(y=8,22\ \text{m}\), y todavía sube con \(v_y=0,97\ \text{m/s}\).

Revisión. El punto más alto se alcanza en t = 1,30 s. A 1,2 s la componente vertical aún es positiva.
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Ejercicio 24. Tiro parabólico. Velocidad inicial para alcanzar una distancia

Un proyectil se lanza desde el suelo con ángulo \(45^\circ\). Calcula la velocidad inicial necesaria para alcanzar \(40\ \text{m}\).

Datos e incógnitas

\(R=40\ \text{m}\), \(\alpha=45^\circ\), \(g=9,8\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ R=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} \]

Como \(2\alpha=90^\circ\), \(\sin90^\circ=1\).

\[ 40=\frac{v_0^2}{9,8} \]
\[ v_0^2=392 \]
\[ v_0=19,8\ \text{m/s} \]

Resultado. La velocidad inicial necesaria es \(19,8\ \text{m/s}\).

Revisión. A 45°, sen(2 · 45°) = 1 y el alcance es máximo para una rapidez inicial dada.
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Ejercicio 25. Tiro parabólico. Comprobar si supera un muro

Un balón se lanza desde el suelo con \(20\ \text{m/s}\) y ángulo \(37^\circ\). A \(20\ \text{m}\) hay un muro de \(8\ \text{m}\). ¿Lo supera?

Datos e incógnitas

\(v_0=20\ \text{m/s}\), \(\alpha=37^\circ\), \(x=20\ \text{m}\), muro \(8\ \text{m}\)

Modelo y cálculo

\[ v_{0x}=20\cos37^\circ=15,97\ \text{m/s} \]
\[ v_{0y}=20\sin37^\circ=12,04\ \text{m/s} \]
\[ 20=15,97t \]
\[ t=1,252\ \text{s} \]
\[ y=12,04\cdot1,252-4,9\cdot1,252^2 \]
\[ y=15,07-7,68=7,39\ \text{m} \]

Resultado. No supera el muro, porque a \(20\ \text{m}\) está a \(7,39\ \text{m}\), por debajo de \(8\ \text{m}\).

Revisión. Como 7,39 m < 8,00 m, la decisión no depende del redondeo y el balón golpea el muro.

Este ejercicio no se resuelve mirando solo la altura máxima. Hay que calcular la altura exactamente en la posición horizontal del muro.

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Ejercicio 26. Tiro parabólico desde una altura inicial

Desde una plataforma de \(10\ \text{m}\) se lanza un objeto con \(16\ \text{m/s}\) y ángulo \(25^\circ\). Calcula el tiempo hasta el suelo y el alcance horizontal.

Datos e incógnitas

\(y_0=10\ \text{m}\), \(v_0=16\ \text{m/s}\), \(\alpha=25^\circ\)

Modelo y cálculo

\[ v_{0x}=16\cos25^\circ=14,5\ \text{m/s} \]
\[ v_{0y}=16\sin25^\circ=6,76\ \text{m/s} \]

Movimiento vertical:

\[ 0=10+6,76t-4,9t^2 \]
\[ 4,9t^2-6,76t-10=0 \]
\[ t=2,28\ \text{s} \]
\[ x=14,5\cdot2,28=33,1\ \text{m} \]

Resultado. Tarda \(2,28\ \text{s}\) y alcanza \(33,1\ \text{m}\) horizontalmente.

Revisión. La raíz negativa corresponde a la prolongación matemática anterior al lanzamiento y se descarta.
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Bloque 6. Movimiento circular uniforme, MCU

En el MCU el móvil gira en una circunferencia con velocidad angular constante. Aunque el módulo de la velocidad no cambie, hay aceleración centrípeta.

Ejercicio 27. MCU. Frecuencia, periodo, velocidad angular y velocidad lineal

Una rueda de radio \(0,30\ \text{m}\) da \(120\) vueltas en \(60\ \text{s}\). Calcula frecuencia, periodo, velocidad angular, velocidad lineal y aceleración centrípeta.

Datos e incógnitas

\(R=0,30\ \text{m}\), \(N=120\), \(t=60\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ f=\frac{N}{t}=\frac{120}{60}=2\ \text{Hz} \]
\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2}=0,50\ \text{s} \]
\[ \omega=2\pi f=4\pi=12,57\ \text{rad/s} \]
\[ v=\omega R=12,57\cdot0,30=3,77\ \text{m/s} \]
\[ a_c=\omega^2R=(12,57)^2\cdot0,30=47,4\ \text{m/s}^2 \]

Resultado. \(f=2\ \text{Hz}\), \(T=0,50\ \text{s}\), \(\omega=12,57\ \text{rad/s}\), \(v=3,77\ \text{m/s}\) y \(a_c=47,4\ \text{m/s}^2\).

Revisión. Se cumple f · T = 2 Hz · 0,50 s = 1 y ambas expresiones de la aceleración centrípeta coinciden.
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Ejercicio 28. MCU. Coche en una curva circular

Un coche toma una curva circular de radio \(25\ \text{m}\) con velocidad constante de \(36\ \text{km/h}\). Calcula velocidad angular, aceleración centrípeta y periodo.

Datos e incógnitas

\(R=25\ \text{m}\), \(v=36\ \text{km/h}=10\ \text{m/s}\)

Modelo y cálculo

\[ \omega=\frac{v}{R}=\frac{10}{25}=0,40\ \text{rad/s} \]
\[ a_c=\frac{v^2}{R}=\frac{10^2}{25}=4,0\ \text{m/s}^2 \]
\[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{0,40}=15,7\ \text{s} \]

Resultado. \(\omega=0,40\ \text{rad/s}\), \(a_c=4,0\ \text{m/s}^2\) y \(T=15,7\ \text{s}\).

Revisión. La relación v = ω · R devuelve 0,40 rad/s · 25 m = 10 m/s, el dato inicial.
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Ejercicio 29. MCU. Aguja de un reloj

La aguja segundera de un reloj mide \(10\ \text{cm}\). Calcula la velocidad angular, la velocidad lineal del extremo y su aceleración centrípeta.

Datos e incógnitas

\(R=0,10\ \text{m}\), \(T=60\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{60}=0,1047\ \text{rad/s} \]
\[ v=\omega R=0,1047\cdot0,10=0,0105\ \text{m/s} \]
\[ a_c=\omega^2R=(0,1047)^2\cdot0,10=0,00110\ \text{m/s}^2 \]

Resultado. \(\omega=0,1047\ \text{rad/s}\), \(v=0,0105\ \text{m/s}\) y \(a_c=0,00110\ \text{m/s}^2\).

Revisión. El periodo de la segundera es exactamente 60 s, por lo que completa 2π radianes cada minuto.
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Ejercicio 30. MCU. Velocidad máxima en una curva

Un coche toma una curva de radio \(80\ \text{m}\). Para que sea seguro, la aceleración centrípeta no debe superar \(5,0\ \text{m/s}^2\). Calcula la velocidad máxima en m/s y km/h.

Datos e incógnitas

\(R=80\ \text{m}\), \(a_c=5,0\ \text{m/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ a_c=\frac{v^2}{R} \]
\[ v=\sqrt{a_cR} \]
\[ v=\sqrt{5,0\cdot80}=20\ \text{m/s} \]
\[ 20\ \text{m/s}=20\cdot3,6=72\ \text{km/h} \]

Resultado. La velocidad máxima es \(20\ \text{m/s}\), es decir, \(72\ \text{km/h}\).

Revisión. Al sustituir v = 20 m/s, se obtiene v² / R = 5,0 m/s², justo el límite.
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Bloque 7. Movimiento circular uniformemente acelerado, MCUA

En el MCUA existe aceleración angular constante. La velocidad angular cambia de forma uniforme.

Ejercicio 31. MCUA. Disco que parte del reposo

Un disco parte del reposo y gira con aceleración angular constante \(2,0\ \text{rad/s}^2\) durante \(5,0\ \text{s}\). Calcula velocidad angular final, ángulo girado y número de vueltas.

Datos e incógnitas

\(\omega_0=0\), \(\alpha=2,0\ \text{rad/s}^2\), \(t=5,0\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ \omega=\omega_0+\alpha t=0+2,0\cdot5,0=10\ \text{rad/s} \]
\[ \theta=\omega_0t+\frac12\alpha t^2=0+\frac12\cdot2,0\cdot5,0^2=25\ \text{rad} \]
\[ N=\frac{\theta}{2\pi}=\frac{25}{2\pi}=3,98\ \text{vueltas} \]

Resultado. \(\omega=10\ \text{rad/s}\), \(\theta=25\ \text{rad}\) y \(N=3,98\) vueltas.

Revisión. La velocidad angular media es 5 rad/s y, durante 5 s, produce un ángulo de 25 rad.
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Ejercicio 32. MCUA. Rueda que frena hasta detenerse

Una rueda gira inicialmente a \(20\ \text{rad/s}\) y frena con aceleración angular constante \(\alpha=-4,0\ \text{rad/s}^2\). Calcula el tiempo de frenado y el ángulo girado.

Datos e incógnitas

\(\omega_0=20\ \text{rad/s}\), \(\omega=0\), \(\alpha=-4,0\ \text{rad/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ 0=20-4,0t \]
\[ t=5,0\ \text{s} \]
\[ 0^2=20^2+2(-4,0)\theta \]
\[ 0=400-8\theta \]
\[ \theta=50\ \text{rad} \]
\[ N=\frac{50}{2\pi}=7,96\ \text{vueltas} \]

Resultado. Tarda \(5,0\ \text{s}\) en detenerse y gira \(50\ \text{rad}\), unas \(7,96\) vueltas.

Revisión. Durante la frenada, la velocidad angular media es 10 rad/s y el ángulo girado es 50 rad.
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Ejercicio 33. MCUA. Número de vueltas durante una aceleración

Una rueda pasa de \(4,0\ \text{rad/s}\) a \(16,0\ \text{rad/s}\) en \(6,0\ \text{s}\). Calcula la aceleración angular, el ángulo girado y el número de vueltas.

Datos e incógnitas

\(\omega_0=4,0\ \text{rad/s}\), \(\omega=16,0\ \text{rad/s}\), \(t=6,0\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ 16,0=4,0+\alpha\cdot6,0 \]
\[ \alpha=2,0\ \text{rad/s}^2 \]
\[ \theta=4,0\cdot6,0+\frac12\cdot2,0\cdot6,0^2 \]
\[ \theta=24+36=60\ \text{rad} \]
\[ N=\frac{60}{2\pi}=9,55\ \text{vueltas} \]

Resultado. \(\alpha=2,0\ \text{rad/s}^2\), \(\theta=60\ \text{rad}\) y \(N=9,55\) vueltas.

Revisión. La velocidad angular media es 10 rad/s y, en 6 s, gira 60 rad.
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Ejercicio 34. MCUA. Aceleración tangencial, normal y total

Una partícula gira en una circunferencia de radio \(0,50\ \text{m}\). En cierto instante tiene \(\omega=6,0\ \text{rad/s}\) y \(\alpha=2,0\ \text{rad/s}^2\). Calcula aceleración tangencial, normal y total.

Datos e incógnitas

\(R=0,50\ \text{m}\), \(\omega=6,0\ \text{rad/s}\), \(\alpha=2,0\ \text{rad/s}^2\)

Modelo y cálculo

\[ a_t=\alpha R=2,0\cdot0,50=1,0\ \text{m/s}^2 \]
\[ a_n=\omega^2R=6,0^2\cdot0,50=18,0\ \text{m/s}^2 \]
\[ a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}=\sqrt{1,0^2+18,0^2}=18,03\ \text{m/s}^2 \]

Resultado. \(a_t=1,0\ \text{m/s}^2\), \(a_n=18,0\ \text{m/s}^2\) y \(a=18,03\ \text{m/s}^2\).

Revisión. Las aceleraciones tangencial y normal son perpendiculares, por eso el módulo total se obtiene con Pitágoras.

En MCUA hay dos aceleraciones. La tangencial cambia el módulo de la velocidad. La normal cambia la dirección.

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Ejercicio 35. MCUA. Problema completo de rueda con radio

Una rueda de radio \(0,40\ \text{m}\) parte del reposo y alcanza \(\omega=12\ \text{rad/s}\) en \(8,0\ \text{s}\). Calcula aceleración angular, ángulo girado, número de vueltas, velocidad lineal final y aceleración centrípeta final.

Datos e incógnitas

\(R=0,40\ \text{m}\), \(\omega_0=0\), \(\omega=12\ \text{rad/s}\), \(t=8,0\ \text{s}\)

Modelo y cálculo

\[ 12=0+\alpha\cdot8,0 \]
\[ \alpha=1,5\ \text{rad/s}^2 \]
\[ \theta=0+\frac12\cdot1,5\cdot8,0^2=48\ \text{rad} \]
\[ N=\frac{48}{2\pi}=7,64\ \text{vueltas} \]
\[ v=\omega R=12\cdot0,40=4,8\ \text{m/s} \]
\[ a_c=\omega^2R=12^2\cdot0,40=57,6\ \text{m/s}^2 \]

Resultado. \(\alpha=1,5\ \text{rad/s}^2\), \(\theta=48\ \text{rad}\), \(N=7,64\) vueltas, \(v=4,8\ \text{m/s}\) y \(a_c=57,6\ \text{m/s}^2\).

Revisión. Se cumple α · t = 12 rad/s y la velocidad angular media, 6 rad/s, produce 48 rad en 8 s.
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Práctica final. Cinco retos para comprobar el método

Intenta cada problema con esta secuencia escrita al margen. Referencia, datos, modelo, ecuaciones, cálculo y comprobación. Las soluciones están plegadas en pantalla y se abren automáticamente al imprimir.

Reto 1. Posición y velocidad media vectorial

En \(t_1=1\ \text{s}\), un móvil ocupa la posición \(\vec r_1=(-2,1)\ \text{m}\). En \(t_2=4\ \text{s}\), ocupa \(\vec r_2=(7,5)\ \text{m}\). Calcula el vector desplazamiento, la velocidad media y su módulo. ¿Puede conocerse la distancia recorrida con esos datos?

Ver solución razonada del reto 1

El intervalo de tiempo es \(\Delta t=4-1=3\ \text{s}\).

\[\Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1=(7-(-2),5-1)=(9,4)\ \text{m}\]
\[\vec v_m=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}=\left(3,\frac43\right)\ \text{m/s}\]
\[|\vec v_m|=\sqrt{3^2+\left(\frac43\right)^2}=3,28\ \text{m/s}\]

Comprobación. Las componentes tienen unidad m/s y el módulo es positivo. No puede obtenerse la distancia recorrida porque se desconoce la trayectoria entre ambas posiciones.

Reto 2. Interpretar una gráfica velocidad-tiempo

La velocidad de un móvil cambia linealmente desde \(-4\ \text{m/s}\) en \(t=0\) hasta \(8\ \text{m/s}\) en \(t=6\ \text{s}\). Calcula la aceleración, el instante en que cambia de sentido, el desplazamiento y la distancia recorrida.

Ver solución razonada del reto 2
\[a=\frac{8-(-4)}{6}=2\ \text{m/s}^2\]

La ecuación es \(v=-4+2t\). El cambio de sentido ocurre cuando \(v=0\).

\[0=-4+2t\Rightarrow t=2\ \text{s}\]

El desplazamiento es el área algebraica bajo \(v-t\).

\[\Delta x=\frac{-4+8}{2}\cdot6=12\ \text{m}\]

Para la distancia se suman los valores absolutos de las dos áreas.

\[s=\frac12\cdot2\cdot4+\frac12\cdot4\cdot8=4+16=20\ \text{m}\]

Comprobación. Distancia \(20\ \text{m}\) y desplazamiento \(12\ \text{m}\) no coinciden porque el móvil cambia de sentido.

Reto 3. Reacción, frenada e impacto

Un coche circula a \(90\ \text{km/h}\). El conductor tarda \(0,70\ \text{s}\) en reaccionar y después frena con \(a=-7,0\ \text{m/s}^2\). Hay un obstáculo a \(55\ \text{m}\). Decide si se detiene y, si no lo hace, calcula la velocidad de impacto.

Ver solución razonada del reto 3
\[90\ \text{km/h}=25\ \text{m/s}\]
\[d_r=25\cdot0,70=17,5\ \text{m}\]
\[0=25^2+2(-7)d_f\Rightarrow d_f=44,6\ \text{m}\]

Necesitaría \(17,5+44,6=62,1\ \text{m}\), más de los \(55\ \text{m}\) disponibles. Durante el frenado recorre \(55-17,5=37,5\ \text{m}\).

\[v^2=25^2+2(-7)(37,5)=100\Rightarrow v=10,0\ \text{m/s}\]

Resultado. Choca a \(10,0\ \text{m/s}\), equivalentes a \(36,0\ \text{km/h}\). La raíz negativa no representa el módulo de la velocidad.

Reto 4. Tiro parabólico y obstáculo

Se lanza una pelota desde el suelo con \(24\ \text{m/s}\) y \(35^\circ\). A \(30\ \text{m}\) hay una valla de \(8,0\ \text{m}\). Sin rozamiento del aire, comprueba si la supera y calcula el margen.

Ver solución razonada del reto 4
\[v_{0x}=24\cos35^\circ=19,66\ \text{m/s}\]
\[v_{0y}=24\sin35^\circ=13,77\ \text{m/s}\]

El instante en que llega a la vertical de la valla sale del movimiento horizontal.

\[t=\frac{30}{19,66}=1,526\ \text{s}\]
\[y=13,77(1,526)-4,9(1,526)^2=9,60\ \text{m}\]

Resultado. La supera por \(9,60-8,00=1,60\ \text{m}\). Se han conservado cifras internas para evitar un error por redondeo prematuro.

Reto 5. Rueda que gira y frena

Una rueda de radio \(0,25\ \text{m}\) gira a \(300\ \text{rpm}\). Comienza a frenar con aceleración angular constante \(\alpha=-5,0\ \text{rad/s}^2\). Calcula la velocidad angular inicial, la aceleración centrípeta inicial, el tiempo de parada y las vueltas que da hasta detenerse.

Ver solución razonada del reto 5
\[\omega_0=300\frac{\text{vueltas}}{\text{min}}\cdot\frac{2\pi\ \text{rad}}{1\ \text{vuelta}}\cdot\frac{1\ \text{min}}{60\ \text{s}}=10\pi=31,42\ \text{rad/s}\]
\[a_{n0}=\omega_0^2R=(10\pi)^2(0,25)=246,7\ \text{m/s}^2\]
\[0=31,42-5t\Rightarrow t=6,28\ \text{s}\]
\[0=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta\Rightarrow\Delta\theta=98,70\ \text{rad}\]
\[N=\frac{98,70}{2\pi}=15,71\ \text{vueltas}\]

Comprobación. La aceleración tangencial tiene signo negativo porque reduce la rapidez. La aceleración normal disminuye desde su valor inicial hasta cero.

Hoja breve de seguimiento para el primer y el segundo intento.
RetoPrimer intentoError localizadoSegundo intento
1 · Vectores□□
2 · Gráficas□□
3 · Frenada□□
4 · Tiro□□
5 · Circular□□

Errores que cambian la respuesta

  • No fijar el sistema de referencia. Un signo solo tiene significado después de elegir origen, ejes y sentido positivo.
  • Confundir distancia con desplazamiento. La rapidez media usa distancia. La velocidad media usa desplazamiento.
  • Mezclar km/h con m y s. Convierte antes de sustituir y deja que las unidades formen parte del cálculo.
  • Creer que velocidad negativa significa frenar. El signo indica sentido. Frenar significa que disminuye el módulo de la velocidad.
  • Asignar siempre \(g=-9,8\ \text{m/s}^2\). Ese signo corresponde a haber elegido hacia arriba como positivo.
  • Aceptar todas las raíces de una ecuación cuadrática. Un tiempo negativo suele pertenecer a una prolongación matemática ajena al proceso descrito.
  • Mezclar los ejes de un tiro. La aceleración horizontal es cero y la vertical es \(-g\) cuando \(+y\) apunta hacia arriba.
  • Redondear demasiado pronto. Conserva cifras internas y redondea al final, como muestran los ejercicios 23 y 25.
  • Usar grados dentro de fórmulas angulares sin comprobar. Las relaciones \(s=R\theta\), \(v=R\omega\) y \(a_t=R\alpha\) exigen radianes.
  • Decir que en MCU no hay aceleración. El módulo de la velocidad es constante, pero su dirección cambia y aparece \(a_n\).
  • Entregar solo un número. La unidad, el sentido y la coherencia física forman parte de la respuesta.

Ruta de estudio dentro de la biblioteca

Más adelante. La proyección de un MCU sobre un diámetro conduce al movimiento armónico simple de 2º de Bachillerato. Se enlaza aquí como profundización, no como parte del temario desarrollado en esta guía.

Cuando entender el método no basta con leerlo

En las clases de Física de Marlu Educativa trabajamos el dibujo, la elección de ejes, el planteamiento y la comprobación sobre los ejercicios reales del alumno. La pizarra compartida permite corregir el razonamiento en el punto exacto en el que se desvía.

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Preguntas frecuentes sobre cinemática

¿Qué diferencia hay entre rapidez y velocidad?

La rapidez es escalar y se calcula con la distancia recorrida. La velocidad es vectorial y utiliza el desplazamiento, por lo que incluye dirección y sentido.

¿Cómo sé si un movimiento es MRU o MRUA?

En MRU la aceleración es cero y la velocidad permanece constante. En MRUA la aceleración es constante y la velocidad cambia linealmente con el tiempo.

¿La gravedad es siempre negativa?

No. El vector gravedad apunta hacia abajo. Su componente es negativa si se elige hacia arriba como sentido positivo y positiva si el eje positivo apunta hacia abajo.

¿Por qué se separan los ejes en un tiro?

Porque horizontalmente el movimiento es uniforme y verticalmente es acelerado por la gravedad. Ambos movimientos comparten el mismo tiempo.

¿Qué significan la pendiente y el área en una gráfica velocidad-tiempo?

La pendiente representa la aceleración y el área algebraica entre la gráfica y el eje temporal representa el desplazamiento.

¿Por qué hay aceleración en el movimiento circular uniforme?

Porque cambia continuamente la dirección del vector velocidad. Esa variación produce una aceleración normal o centrípeta dirigida hacia el centro.

¿Cómo puedo guardar este recurso como PDF?

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Biblioteca Marlu Educativa. Recurso revisado por el equipo académico y editorial de Marlu Educativa, conforme al Método Marlu y con coordinación docente de José María.

Ejercicios de elaboración propia para aprender a razonar el movimiento, comprobar resultados y preparar Física de Bachillerato con mayor autonomía.

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