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Movimiento armónico simple de 2.º de Bachillerato

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Representación del movimiento armónico simple con sistema masa-muelle, onda sinusoidal y fórmulas para 2.º de Bachillerato
Movimiento armónico simple 2.º Bachillerato | Marlu Educativa
Física · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU

Movimiento armónico simple

Teoría completa, fórmulas razonadas, interpretación de gráficas, energía, sistemas masa-muelle, péndulo simple y 58 ejercicios resueltos paso a paso con revisión física y dimensional.

58 ejercicios resueltos 10 ejercicios propuestos Nivel progresivo Preparación PAU/EBAU
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El movimiento armónico simple aparece cuando una fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento y apunta siempre hacia la posición de equilibrio. La definición es breve, pero los problemas exigen coordinar varias ideas a la vez. Hay que distinguir elongación y amplitud, controlar la fase, relacionar posición, velocidad y aceleración, y decidir cuándo resulta más eficaz trabajar con energía.

En este recurso se parte de la interpretación física y se avanza hasta problemas completos de examen. Cada solución mantiene un orden estable con datos, modelo, ecuaciones, cálculo, resultado y revisión. Así se evita el error más frecuente del tema, que no suele ser una operación difícil, sino usar una fase incorrecta o perder el signo de la velocidad y de la aceleración.

El MAS se entiende mejor después de revisar el movimiento circular uniforme, porque puede interpretarse como la proyección de un MCU sobre un diámetro. También conecta directamente con dinámica, trabajo y energía y sirve de base para estudiar ondas y óptica de 2.º de Bachillerato.

Resumen del movimiento armónico simple

Posición

La elongación varía de forma sinusoidal entre \(-A\) y \(+A\). Una forma habitual es \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).

Velocidad

La rapidez es máxima en el equilibrio y nula en los extremos. Su valor máximo es \(v_{\max}=A\omega\).

Aceleración

Siempre apunta hacia el equilibrio y cumple \(a=-\omega^2x\). Su módulo máximo es \(A\omega^2\).

Energía

En ausencia de rozamiento, la energía mecánica permanece constante y se intercambia entre cinética y potencial.

La relación que identifica al MAS es \(a=-\omega^2x\). No basta con que el movimiento sea periódico. La aceleración debe ser proporcional a la elongación y de sentido contrario.

Magnitudes y ecuación del MAS

La posición de equilibrio se toma como origen. La elongación \(x\) es la posición instantánea respecto a ese punto. La amplitud \(A\) es el mayor valor de \(|x|\). El periodo \(T\) es el tiempo de una oscilación completa y la frecuencia \(f\) indica cuántas oscilaciones se realizan cada segundo.

\[x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\]
\[\omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T},\qquad f=\dfrac1T\]
MagnitudSímboloUnidad SIInterpretación
Elongación\(x\)mPosición respecto al equilibrio
Amplitud\(A\)mMáxima elongación
Periodo\(T\)sTiempo de una oscilación
Frecuencia\(f\)HzOscilaciones por segundo
Pulsación\(\omega\)rad/sRitmo de cambio de fase
Fase inicial\(\varphi_0\)radEstado del oscilador en \(t=0\)

Puede utilizarse seno o coseno. Las dos expresiones describen el mismo tipo de movimiento si se ajusta correctamente la fase. Lo importante es comprobar siempre las condiciones iniciales.

Velocidad y aceleración

La velocidad se obtiene derivando la posición y la aceleración derivando la velocidad.

\[v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\]
\[a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2x\]
\[v^2=\omega^2(A^2-x^2)\]

En el equilibrio

\(x=0\), \(a=0\) y \(|v|=v_{\max}=A\omega\).

En los extremos

\(|x|=A\), \(v=0\) y \(|a|=a_{\max}=A\omega^2\).

La aceleración no tiene siempre signo negativo. Su signo es contrario al de \(x\). Si el móvil está a la derecha del equilibrio, \(a<0\). Si está a la izquierda, \(a>0\).

Fase y condiciones iniciales

La fase \(\theta=\omega t+\varphi_0\) determina el estado del oscilador. Para fijar correctamente \(\varphi_0\), hay que utilizar a la vez la posición y el sentido de la velocidad.

\[x_0=A\cos\varphi_0,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi_0\]
\[A=\sqrt{x_0^2+\left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2}\]
Condición inicialEcuación cómodaComprobación en \(t=0\)
Parte de \(+A\)\(x=A\cos\omega t\)\(x_0=A\), \(v_0=0\)
Parte de \(-A\)\(x=-A\cos\omega t\)\(x_0=-A\), \(v_0=0\)
Cruza el equilibrio hacia \(+x\)\(x=A\sin\omega t\)\(x_0=0\), \(v_0=+A\omega\)
Cruza el equilibrio hacia \(-x\)\(x=-A\sin\omega t\)\(x_0=0\), \(v_0=-A\omega\)

Relación entre movimiento circular uniforme y MAS

La proyección sobre un diámetro de un punto que realiza movimiento circular uniforme es un movimiento armónico simple. El radio de la circunferencia se convierte en la amplitud y la velocidad angular del MCU se convierte en la pulsación del MAS.

MCUProyección armónicaR=Ax=A cos(ωt+φ₀)
La coordenada horizontal del punto circular oscila entre \(-A\) y \(+A\).

Esta construcción explica por qué posición, velocidad y aceleración son funciones sinusoidales y por qué la fase aumenta uniformemente con el tiempo.

Sistema masa-muelle

Un muelle ideal cumple la ley de Hooke. Si el origen se sitúa en el equilibrio, la fuerza recuperadora es

\[F=-kx\]

Al combinarla con la segunda ley de Newton se obtiene

\[ma=-kx\Rightarrow a=-\dfrac{k}{m}x\]

Comparando con \(a=-\omega^2x\)

\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\]

El periodo aumenta al aumentar la masa y disminuye al aumentar la rigidez del muelle. En el modelo ideal no depende de la amplitud.

Energía en el movimiento armónico simple

En un sistema sin rozamiento la energía mecánica es constante.

\[E=K+U=\dfrac12kA^2=\dfrac12m\omega^2A^2\]
\[U=\dfrac12kx^2\]
\[K=\dfrac12mv^2=\dfrac12k(A^2-x^2)\]
E totalUK−A0+A
La energía potencial es máxima en los extremos y la cinética es máxima en el equilibrio.

Péndulo simple

Para oscilaciones de pequeña amplitud, \(\sin\theta\approx\theta\) y el péndulo se comporta aproximadamente como un MAS angular.

\[\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}},\qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]

El periodo no depende de la masa. En la aproximación elemental tampoco depende de la amplitud, pero esta afirmación solo es válida para ángulos pequeños. A amplitudes grandes, el periodo aumenta ligeramente.

Muelle vertical

El peso alarga el muelle hasta una nueva posición de equilibrio.

\[k\Delta l_{eq}=mg\]

Si la coordenada se mide desde ese equilibrio, la ecuación dinámica vuelve a ser la misma que en un muelle horizontal.

\[m\ddot y=-ky,\qquad \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]

No deben mezclarse la elongación respecto a la longitud natural y el desplazamiento respecto al equilibrio. El peso fija el origen de la oscilación, pero no aparece en la ecuación final cuando se usa la coordenada correcta.

Gráficas e interpretación

En una gráfica \(x-t\), la amplitud se lee como la máxima distancia vertical al equilibrio y el periodo como la separación horizontal entre dos máximos consecutivos, dos mínimos o dos estados idénticos.

Pendiente de \(x(t)\)

La pendiente es la velocidad. En máximos y mínimos la pendiente es cero. En el equilibrio su módulo es máximo.

Curvatura de \(x(t)\)

Está relacionada con la aceleración. La gráfica se curva hacia el equilibrio porque \(a=-\omega^2x\).

xva
Posición y aceleración están en oposición de fase. La velocidad está desfasada un cuarto de periodo.

Amortiguamiento y resonancia

En un sistema real hay pérdidas de energía. La amplitud disminuye con el tiempo y el movimiento se denomina amortiguado. Si actúa una fuerza periódica externa, el sistema realiza oscilaciones forzadas. La respuesta alcanza un máximo cerca de la frecuencia natural y aparece la resonancia.

Amortiguamiento

Reduce la amplitud y ensancha el máximo de resonancia. Cuanto mayor es, menos intensa resulta la respuesta resonante.

Resonancia

No significa que la amplitud crezca sin límite en cualquier sistema real. Las pérdidas y la no linealidad limitan el crecimiento.

Método para resolver problemas de MAS

  1. Fija el origen en la posición de equilibrio y establece el sentido positivo.
  2. Pasa amplitudes, longitudes, masas y tiempos al Sistema Internacional.
  3. Identifica qué magnitudes se conocen. Periodo, frecuencia, pulsación, constante del muelle, masa o energía.
  4. Elige la ecuación de posición y determina la fase con posición y sentido de velocidad.
  5. Usa relaciones sin tiempo cuando resulten más directas, como \(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\).
  6. En problemas de energía, calcula primero la energía total a partir de la amplitud.
  7. En muelles verticales, separa el alargamiento estático del desplazamiento respecto al equilibrio.
  8. Revisa unidades, signos, límites \(|x|\le A\), \(|v|\le A\omega\) y \(|a|\le A\omega^2\).

Una comprobación especialmente útil es verificar \(a=-\omega^2x\). Si posición y aceleración tienen el mismo signo, existe un error de planteamiento o de signos.

58 ejercicios resueltos paso a paso

Los ejercicios están ordenados desde la lectura de ecuaciones y las relaciones básicas hasta problemas completos de examen con condiciones iniciales, energía, muelles verticales y péndulos.

Bloque 1. Magnitudes básicas, ecuación y periodicidad

1

Ecuación del movimiento y posición en un cuarto de periodo

Una partícula oscila con amplitud de \(8{,}0\ \text{cm}\), periodo de \(0{,}50\ \text{s}\) y parte del extremo positivo. Escribe la ecuación y calcula su posición al cabo de \(0{,}125\ \text{s}\).

Datos e incógnitas

\(A=0{,}080\ \text{m}\), \(T=0{,}50\ \text{s}\), \(x(0)=A\). Se pide \(\omega\), \(x(t)\) y \(x(0{,}125)\).

Modelo e idea clave

Al comenzar en el extremo positivo con velocidad nula se usa una función coseno sin fase inicial.

Ecuaciones

\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]
\[x=A\cos(\omega t)\]

Cálculo paso a paso

Calculamos la pulsación.

\[\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}50}=4\pi=12{,}57\ \text{rad/s}\]

La ecuación queda

\[x=0{,}080\cos(4\pi t)\]

El instante dado es \(T/4\), por lo que la fase vale \(\pi/2\).

\[x(0{,}125)=0{,}080\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\]
Resultado. \(x(t)=0{,}080\cos(4\pi t)\ \text{m}\) y a los \(0{,}125\ \text{s}\) pasa por el equilibrio.
Revisión. La amplitud está en metros y \(\omega t\) es adimensional. Tras un cuarto de periodo debe ir desde \(+A\) hasta \(0\), por lo que el resultado es coherente.
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2

Lectura completa de una ecuación armónica

Dada la ecuación \(x=0{,}060\cos(5\pi t+\pi/3)\), identifica amplitud, pulsación, periodo, frecuencia y fase inicial.

Datos e incógnitas

Ecuación en unidades SI. Se piden \(A\), \(\omega\), \(T\), \(f\) y \(\varphi_0\).

Modelo e idea clave

Se compara directamente con \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).

Ecuaciones

\[T=\dfrac{2\pi}{\omega}\]
\[f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}\]

Cálculo paso a paso

Por comparación directa

\[A=0{,}060\ \text{m},\qquad \omega=5\pi\ \text{rad/s},\qquad \varphi_0=\dfrac{\pi}{3}\]

Calculamos periodo y frecuencia.

\[T=\dfrac{2\pi}{5\pi}=0{,}40\ \text{s}\]
\[f=\dfrac{1}{0{,}40}=2{,}5\ \text{Hz}\]
Resultado. \(A=6{,}0\ \text{cm}\), \(\omega=5\pi\ \text{rad/s}\), \(T=0{,}40\ \text{s}\), \(f=2{,}5\ \text{Hz}\) y \(\varphi_0=\pi/3\).
Revisión. Se cumple \(fT=1\) y \(\omega=2\pi f=5\pi\ \text{rad/s}\).
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3

Oscilaciones contadas en un intervalo

Un cuerpo realiza \(30\) oscilaciones completas en \(12\ \text{s}\). Calcula frecuencia, periodo y pulsación.

Datos e incógnitas

\(N=30\), \(\Delta t=12\ \text{s}\). Se piden \(f\), \(T\) y \(\omega\).

Modelo e idea clave

La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo.

Ecuaciones

\[f=\dfrac{N}{\Delta t}\]
\[T=\dfrac{1}{f}\]
\[\omega=2\pi f\]

Cálculo paso a paso

\[f=\dfrac{30}{12}=2{,}5\ \text{Hz}\]
\[T=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}40\ \text{s}\]
\[\omega=2\pi\cdot2{,}5=5\pi=15{,}71\ \text{rad/s}\]
Resultado. \(f=2{,}5\ \text{Hz}\), \(T=0{,}40\ \text{s}\) y \(\omega=15{,}71\ \text{rad/s}\).
Revisión. En \(12\ \text{s}\), una frecuencia de \(2{,}5\ \text{Hz}\) produce exactamente \(30\) oscilaciones.
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4

Velocidad y aceleración máximas

Un oscilador tiene amplitud \(0{,}12\ \text{m}\) y frecuencia \(3{,}0\ \text{Hz}\). Calcula la velocidad máxima y la aceleración máxima.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}12\ \text{m}\), \(f=3{,}0\ \text{Hz}\). Se piden \(v_{\max}\) y \(a_{\max}\).

Modelo e idea clave

Los máximos de velocidad y aceleración dependen de la amplitud y de la pulsación.

Ecuaciones

\[\omega=2\pi f\]
\[v_{\max}=A\omega\]
\[a_{\max}=A\omega^2\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=2\pi\cdot3=6\pi=18{,}85\ \text{rad/s}\]
\[v_{\max}=0{,}12\cdot18{,}85=2{,}26\ \text{m/s}\]
\[a_{\max}=0{,}12\cdot(18{,}85)^2=42{,}64\ \text{m/s}^2\]
Resultado. \(v_{\max}=2{,}26\ \text{m/s}\) y \(a_{\max}=42{,}64\ \text{m/s}^2\).
Revisión. Las unidades son \(\text{m/s}\) y \(\text{m/s}^2\). La aceleración máxima es grande porque depende de \(\omega^2\).
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5

Posición y velocidad con una ecuación seno

El movimiento viene dado por \(x=0{,}050\sin(2\pi t/0{,}80)\). Calcula posición y velocidad en \(t=0{,}10\ \text{s}\).

Datos e incógnitas

\(A=0{,}050\ \text{m}\), \(T=0{,}80\ \text{s}\), \(t=0{,}10\ \text{s}\).

Modelo e idea clave

Se deriva la posición para obtener la velocidad. La fase en ese instante es \(\pi/4\).

Ecuaciones

\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]
\[x=A\sin(\omega t)\]
\[v=A\omega\cos(\omega t)\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}80}=7{,}854\ \text{rad/s}\]
\[\omega t=7{,}854\cdot0{,}10=0{,}7854=\dfrac{\pi}{4}\]
\[x=0{,}050\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0{,}0354\ \text{m}\]
\[v=0{,}050\cdot7{,}854\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0{,}278\ \text{m/s}\]
Resultado. \(x=3{,}54\ \text{cm}\) y \(v=0{,}278\ \text{m/s}\), en sentido positivo.
Revisión. En el primer octavo de periodo el móvil se aleja del equilibrio. Por eso posición y velocidad son positivas.
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6

Pulsación a partir de la velocidad máxima

Un oscilador de amplitud \(6{,}0\ \text{cm}\) alcanza una velocidad máxima de \(1{,}20\ \text{m/s}\). Calcula pulsación, periodo y frecuencia.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}060\ \text{m}\), \(v_{\max}=1{,}20\ \text{m/s}\).

Modelo e idea clave

En el equilibrio la rapidez es máxima y vale \(A\omega\).

Ecuaciones

\[v_{\max}=A\omega\]
\[T=\dfrac{2\pi}{\omega}\]
\[f=\dfrac{1}{T}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\dfrac{1{,}20}{0{,}060}=20\ \text{rad/s}\]
\[T=\dfrac{2\pi}{20}=0{,}314\ \text{s}\]
\[f=\dfrac{1}{0{,}314}=3{,}18\ \text{Hz}\]
Resultado. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(T=0{,}314\ \text{s}\) y \(f=3{,}18\ \text{Hz}\).
Revisión. Al multiplicar \(A\omega\) se recuperan \(1{,}20\ \text{m/s}\).
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7

Pulsación a partir de la aceleración máxima

La amplitud de un MAS es \(0{,}080\ \text{m}\) y su aceleración máxima vale \(32\ \text{m/s}^2\). Calcula pulsación, frecuencia y velocidad máxima.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}080\ \text{m}\), \(a_{\max}=32\ \text{m/s}^2\).

Modelo e idea clave

En los extremos \(|a|\) es máximo y vale \(A\omega^2\).

Ecuaciones

\[a_{\max}=A\omega^2\]
\[f=\dfrac{\omega}{2\pi}\]
\[v_{\max}=A\omega\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{32}{0{,}080}}=20\ \text{rad/s}\]
\[f=\dfrac{20}{2\pi}=3{,}18\ \text{Hz}\]
\[v_{\max}=0{,}080\cdot20=1{,}60\ \text{m/s}\]
Resultado. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(f=3{,}18\ \text{Hz}\) y \(v_{\max}=1{,}60\ \text{m/s}\).
Revisión. La relación \(a_{\max}=\omega v_{\max}\) da \(20\cdot1{,}60=32\ \text{m/s}^2\).
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8

Estado del móvil cuando la elongación es la mitad de la amplitud

Un móvil cumple \(x=A\cos\theta\). En cierto instante está en \(x=A/2\) y se mueve en sentido positivo. Determina una fase posible, la velocidad y la aceleración.

Datos e incógnitas

\(x=A/2\), \(v>0\). Se piden \(\theta\), \(v\) y \(a\) en función de \(A\) y \(\omega\).

Modelo e idea clave

El signo de la velocidad selecciona el cuadrante correcto. Como \(v=-A\omega\sin\theta\), para que \(v>0\) debe cumplirse \(\sin\theta<0\).

Ecuaciones

\[\cos\theta=\dfrac12\]
\[v=-A\omega\sin\theta\]
\[a=-\omega^2x\]

Cálculo paso a paso

Una fase con coseno positivo y seno negativo es

\[\theta=\dfrac{5\pi}{3}\]

Entonces

\[v=-A\omega\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}A\omega\]
\[a=-\omega^2\dfrac{A}{2}=-\dfrac12A\omega^2\]
Resultado. \(\theta=5\pi/3\), \(v=(\sqrt3/2)A\omega\) y \(a=-A\omega^2/2\).
Revisión. La velocidad es positiva, mientras que la aceleración apunta hacia el equilibrio y es negativa al estar \(x>0\).
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9

Tiempo desde un extremo hasta el equilibrio

Un oscilador tiene periodo \(1{,}20\ \text{s}\). Parte del extremo positivo. ¿Cuánto tarda por primera vez en llegar al equilibrio?

Datos e incógnitas

\(T=1{,}20\ \text{s}\). Se pide el primer tiempo hasta \(x=0\).

Modelo e idea clave

Del extremo al equilibrio se recorre un cuarto de oscilación.

Ecuaciones

\[\Delta t=\dfrac{T}{4}\]

Cálculo paso a paso

\[\Delta t=\dfrac{1{,}20}{4}=0{,}300\ \text{s}\]
Resultado. Tarda \(0{,}300\ \text{s}\).
Revisión. Cuatro intervalos iguales de \(0{,}300\ \text{s}\) completan el periodo de \(1{,}20\ \text{s}\).
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10

Distancia recorrida en varios periodos

Una partícula de amplitud \(6{,}0\ \text{cm}\) parte de \(+A\). Calcula la distancia total recorrida durante \(1{,}75\) periodos.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}060\ \text{m}\), tiempo \(1{,}75T\). Se pide distancia, no desplazamiento.

Modelo e idea clave

En un periodo completo recorre \(4A\). En tres cuartos de periodo adicionales recorre \(3A\).

Ecuaciones

\[s_{1T}=4A\]
\[s_{0{,}75T}=3A\]

Cálculo paso a paso

\[s=4A+3A=7A\]
\[s=7\cdot0{,}060=0{,}420\ \text{m}\]
Resultado. La distancia total es \(0{,}420\ \text{m}\).
Revisión. El desplazamiento final no coincide con la distancia. La distancia acumula todos los tramos recorridos.
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Bloque 2. Fase, velocidad, aceleración y lectura temporal

11

Posición, velocidad y aceleración en un instante

La elongación es \(x=0{,}10\cos(4t-\pi/6)\ \text{m}\). Calcula \(x\), \(v\) y \(a\) en \(t=0{,}50\ \text{s}\).

Datos e incógnitas

\(A=0{,}10\ \text{m}\), \(\omega=4\ \text{rad/s}\), \(\varphi_0=-\pi/6\), \(t=0{,}50\ \text{s}\).

Modelo e idea clave

Se evalúan la función y sus dos primeras derivadas en la misma fase.

Ecuaciones

\[v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\]
\[a=-\omega^2x\]

Cálculo paso a paso

\[\theta=4\cdot0{,}50-\dfrac{\pi}{6}=1{,}476\ \text{rad}\]
\[x=0{,}10\cos(1{,}476)=9{,}43\cdot10^{-3}\ \text{m}\]
\[v=-0{,}10\cdot4\sin(1{,}476)=-0{,}398\ \text{m/s}\]
\[a=-16x=-0{,}151\ \text{m/s}^2\]
Resultado. \(x=9{,}43\ \text{mm}\), \(v=-0{,}398\ \text{m/s}\) y \(a=-0{,}151\ \text{m/s}^2\).
Revisión. Como \(x>0\), la aceleración debe ser negativa. La rapidez está próxima a la máxima porque el móvil está cerca del equilibrio.
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12

Instantes de paso por el equilibrio

Un móvil parte de \(+A\) y tiene periodo \(2{,}0\ \text{s}\). Determina los instantes del primer periodo en los que pasa por el equilibrio.

Datos e incógnitas

\(x=A\cos(\omega t)\), \(T=2{,}0\ \text{s}\), \(0\le t<T\).

Modelo e idea clave

El coseno se anula en las fases \(\pi/2\) y \(3\pi/2\).

Ecuaciones

\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi\ \text{rad/s}\]
\[\omega t=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\]

Cálculo paso a paso

\[t_1=\dfrac{\pi/2}{\pi}=0{,}50\ \text{s}\]
\[t_2=\dfrac{3\pi/2}{\pi}=1{,}50\ \text{s}\]
Resultado. Pasa por el equilibrio en \(t=0{,}50\ \text{s}\) y \(t=1{,}50\ \text{s}\).
Revisión. Los dos pasos están separados por \(T/2=1{,}0\ \text{s}\), como debe ocurrir.
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13

Primer instante con una elongación dada

La ecuación es \(x=0{,}040\sin(10t)\ \text{m}\). Calcula el primer instante en que \(x=0{,}020\ \text{m}\) y el móvil se mueve en sentido positivo.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}040\ \text{m}\), \(\omega=10\ \text{rad/s}\), \(x=A/2\), \(v>0\).

Modelo e idea clave

En el primer cuadrante seno y coseno son positivos, por lo que la velocidad también lo es.

Ecuaciones

\[\sin(10t)=\dfrac12\]
\[v=A\omega\cos(10t)\]

Cálculo paso a paso

\[10t=\dfrac{\pi}{6}\]
\[t=\dfrac{\pi}{60}=0{,}0524\ \text{s}\]

En esa fase \(\cos(\pi/6)>0\), de modo que \(v>0\).

Resultado. El primer instante es \(t=0{,}0524\ \text{s}\).
Revisión. La fase elegida satisface simultáneamente la elongación y el sentido del movimiento.
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14

Desfase entre posición, velocidad y aceleración

Determina el desfase entre las magnitudes \(x\), \(v\) y \(a\) en un MAS.

Datos e incógnitas

Se parte de \(x=A\cos\theta\). Se pide comparar las fases de \(v\) y \(a\).

Modelo e idea clave

Derivar una función sinusoidal desplaza su fase un cuarto de ciclo. Además, \(a=-\omega^2x\).

Ecuaciones

\[x=A\cos\theta\]
\[v=A\omega\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\]
\[a=A\omega^2\cos(\theta+\pi)\]

Cálculo paso a paso

La velocidad está adelantada \(\pi/2\) respecto a la posición en esta escritura. La aceleración está en oposición de fase con la posición.

\[\Delta\varphi_{xv}=\dfrac{\pi}{2},\qquad \Delta\varphi_{va}=\dfrac{\pi}{2},\qquad \Delta\varphi_{xa}=\pi\]
Resultado. Posición y velocidad están desfasadas un cuarto de periodo. Posición y aceleración están en oposición de fase.
Revisión. Cuando \(x\) es máximo, \(v=0\) y \(a\) tiene valor máximo en sentido contrario. Cuando \(x=0\), la rapidez es máxima y \(a=0\).
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15

Pulsación a partir de posición y velocidad

En cierto instante un móvil tiene \(x=0{,}030\ \text{m}\), \(v=0{,}240\ \text{m/s}\) y amplitud \(A=0{,}050\ \text{m}\). Calcula la pulsación y la aceleración.

Datos e incógnitas

\(x=0{,}030\ \text{m}\), \(v=0{,}240\ \text{m/s}\), \(A=0{,}050\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

La relación sin tiempo \(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\) permite hallar \(\omega\) directamente.

Ecuaciones

\[v^2=\omega^2(A^2-x^2)\]
\[a=-\omega^2x\]

Cálculo paso a paso

\[A^2-x^2=0{,}050^2-0{,}030^2=0{,}0016\ \text{m}^2\]
\[\omega=\dfrac{0{,}240}{\sqrt{0{,}0016}}=6{,}0\ \text{rad/s}\]
\[a=-6^2\cdot0{,}030=-1{,}08\ \text{m/s}^2\]
Resultado. \(\omega=6{,}0\ \text{rad/s}\) y \(a=-1{,}08\ \text{m/s}^2\).
Revisión. La aceleración es negativa porque la posición es positiva. La unidad de \(\omega\) es \(\text{s}^{-1}\), equivalente a \(\text{rad/s}\).
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16

Velocidad posible a partir de la aceleración

En un instante \(x=0{,}050\ \text{m}\) y \(a=-2{,}0\ \text{m/s}^2\). La amplitud es \(0{,}080\ \text{m}\). Calcula la pulsación y el módulo de la velocidad.

Datos e incógnitas

\(x=0{,}050\ \text{m}\), \(a=-2{,}0\ \text{m/s}^2\), \(A=0{,}080\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

Primero se usa \(a=-\omega^2x\). Después se aplica la relación entre velocidad y posición.

Ecuaciones

\[\omega=\sqrt{-\dfrac{a}{x}}\]
\[|v|=\omega\sqrt{A^2-x^2}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{2{,}0}{0{,}050}}=\sqrt{40}=6{,}32\ \text{rad/s}\]
\[|v|=6{,}32\sqrt{0{,}080^2-0{,}050^2}=0{,}395\ \text{m/s}\]
Resultado. \(\omega=6{,}32\ \text{rad/s}\) y \(|v|=0{,}395\ \text{m/s}\).
Revisión. El enunciado no indica el sentido del movimiento, por lo que hay dos velocidades posibles, \(+0{,}395\) y \(-0{,}395\ \text{m/s}\).
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17

Velocidad media en un sexto de periodo

Un móvil parte de \(+A\). Calcula su velocidad media durante el primer sexto de periodo si \(A=0{,}12\ \text{m}\) y \(T=1{,}20\ \text{s}\).

Datos e incógnitas

\(x(0)=A\), \(A=0{,}12\ \text{m}\), \(T=1{,}20\ \text{s}\), \(\Delta t=T/6\).

Modelo e idea clave

La velocidad media depende del desplazamiento, no de la distancia recorrida.

Ecuaciones

\[x=A\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\]
\[\bar v=\dfrac{x_f-x_i}{\Delta t}\]

Cálculo paso a paso

En \(t=T/6\), la fase es \(\pi/3\).

\[x_f=A\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{A}{2}=0{,}060\ \text{m}\]
\[\Delta t=\dfrac{1{,}20}{6}=0{,}20\ \text{s}\]
\[\bar v=\dfrac{0{,}060-0{,}120}{0{,}20}=-0{,}300\ \text{m/s}\]
Resultado. La velocidad media es \(-0{,}300\ \text{m/s}\).
Revisión. El signo negativo indica que el desplazamiento durante ese intervalo se produce hacia el equilibrio.
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18

Rapidez media durante medio periodo

Una partícula parte de un extremo, tiene amplitud \(0{,}10\ \text{m}\) y periodo \(1{,}0\ \text{s}\). Calcula su rapidez media durante el primer medio periodo.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}10\ \text{m}\), \(T=1{,}0\ \text{s}\), intervalo \(T/2\).

Modelo e idea clave

Durante medio periodo va de un extremo al opuesto y recorre una distancia \(2A\).

Ecuaciones

\[v_{\text{media, rapidez}}=\dfrac{s}{\Delta t}\]
\[s=2A\]

Cálculo paso a paso

\[s=2\cdot0{,}10=0{,}20\ \text{m}\]
\[\Delta t=\dfrac{T}{2}=0{,}50\ \text{s}\]
\[v_{\text{media, rapidez}}=\dfrac{0{,}20}{0{,}50}=0{,}40\ \text{m/s}\]
Resultado. La rapidez media es \(0{,}40\ \text{m/s}\).
Revisión. La velocidad media en ese mismo intervalo sería \(-0{,}40\ \text{m/s}\) si el eje positivo apunta hacia el extremo inicial. La rapidez, en cambio, es siempre positiva.
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19

Número de pasos por el equilibrio

Un oscilador de frecuencia \(2{,}0\ \text{Hz}\) parte de un extremo. ¿Cuántas veces atraviesa el equilibrio en \(5{,}0\ \text{s}\)?

Datos e incógnitas

\(f=2{,}0\ \text{Hz}\), \(t=5{,}0\ \text{s}\).

Modelo e idea clave

Cada oscilación completa contiene dos pasos por el equilibrio.

Ecuaciones

\[N_{\text{osc}}=ft\]
\[N_{x=0}=2N_{\text{osc}}\]

Cálculo paso a paso

\[N_{\text{osc}}=2{,}0\cdot5{,}0=10\]
\[N_{x=0}=2\cdot10=20\]
Resultado. Atraviesa el equilibrio \(20\) veces.
Revisión. Al partir de un extremo, no hay un paso por el equilibrio en \(t=0\). Los \(20\) cruces aparecen dentro de las diez oscilaciones completas.
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20

Fase reducida y elongación

Un MAS tiene fase inicial \(\pi/4\), frecuencia \(4{,}0\ \text{Hz}\) y amplitud \(A\). Calcula la fase reducida y la elongación en \(t=0{,}30\ \text{s}\), usando coseno.

Datos e incógnitas

\(\varphi_0=\pi/4\), \(f=4{,}0\ \text{Hz}\), \(t=0{,}30\ \text{s}\).

Modelo e idea clave

Las fases que difieren en múltiplos de \(2\pi\) representan el mismo estado.

Ecuaciones

\[\theta=2\pi ft+\varphi_0\]
\[x=A\cos\theta\]

Cálculo paso a paso

\[\theta=2\pi\cdot4\cdot0{,}30+\dfrac{\pi}{4}=2{,}65\pi\]

Restamos \(2\pi\).

\[\theta_{\text{red}}=0{,}65\pi=\dfrac{13\pi}{20}\]
\[x=A\cos\left(\dfrac{13\pi}{20}\right)=-0{,}454A\]
Resultado. La fase reducida es \(13\pi/20\) y la elongación vale aproximadamente \(-0{,}454A\).
Revisión. El valor está entre \(-A\) y \(+A\). La fase pertenece al segundo cuadrante, donde el coseno es negativo.
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Bloque 3. Sistema masa-muelle y condiciones iniciales

21

Periodo de un sistema masa-muelle

Una masa de \(0{,}50\ \text{kg}\) está unida a un muelle de constante \(200\ \text{N/m}\). Calcula pulsación, periodo y frecuencia.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(k=200\ \text{N/m}\).

Modelo e idea clave

El sistema ideal masa-muelle realiza MAS alrededor de su posición de equilibrio.

Ecuaciones

\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\]
\[f=\dfrac{1}{T}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{200}{0{,}50}}=20\ \text{rad/s}\]
\[T=\dfrac{2\pi}{20}=0{,}314\ \text{s}\]
\[f=3{,}18\ \text{Hz}\]
Resultado. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(T=0{,}314\ \text{s}\) y \(f=3{,}18\ \text{Hz}\).
Revisión. La unidad \(k/m\) es \(\text{s}^{-2}\), por lo que su raíz tiene unidad \(\text{s}^{-1}\).
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22

Constante del muelle a partir del periodo

Una masa de \(0{,}30\ \text{kg}\) oscila con periodo \(0{,}60\ \text{s}\). Calcula la constante elástica.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}30\ \text{kg}\), \(T=0{,}60\ \text{s}\). Se pide \(k\).

Modelo e idea clave

Se despeja \(k\) de la expresión del periodo del sistema masa-muelle.

Ecuaciones

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\]
\[k=\dfrac{4\pi^2m}{T^2}\]

Cálculo paso a paso

\[k=\dfrac{4\pi^2\cdot0{,}30}{0{,}60^2}=32{,}9\ \text{N/m}\]
Resultado. La constante elástica es \(k=32{,}9\ \text{N/m}\).
Revisión. Un muelle relativamente blando y una masa de \(0{,}30\ \text{kg}\) son compatibles con un periodo de varias décimas de segundo.
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23

Masa desconocida a partir de la frecuencia

Un muelle de constante \(80\ \text{N/m}\) oscila con frecuencia \(2{,}0\ \text{Hz}\). Calcula la masa unida al muelle.

Datos e incógnitas

\(k=80\ \text{N/m}\), \(f=2{,}0\ \text{Hz}\).

Modelo e idea clave

La pulsación se obtiene de la frecuencia y se iguala a \(\sqrt{k/m}\).

Ecuaciones

\[\omega=2\pi f\]
\[m=\dfrac{k}{\omega^2}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=2\pi\cdot2=4\pi\ \text{rad/s}\]
\[m=\dfrac{80}{(4\pi)^2}=0{,}507\ \text{kg}\]
Resultado. La masa es \(m=0{,}507\ \text{kg}\).
Revisión. Al sustituir esta masa en \(\sqrt{k/m}\) se recupera \(4\pi\ \text{rad/s}\).
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24

Fuerza y aceleración en una elongación

Una masa de \(0{,}40\ \text{kg}\) está unida a un muelle de constante \(100\ \text{N/m}\). Calcula fuerza recuperadora y aceleración cuando \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Datos e incógnitas

\(m=0{,}40\ \text{kg}\), \(k=100\ \text{N/m}\), \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

La fuerza de Hooke se opone a la elongación. Después se aplica la segunda ley de Newton.

Ecuaciones

\[F=-kx\]
\[a=\dfrac{F}{m}=-\dfrac{k}{m}x\]

Cálculo paso a paso

\[F=-100\cdot0{,}030=-3{,}0\ \text{N}\]
\[a=\dfrac{-3{,}0}{0{,}40}=-7{,}5\ \text{m/s}^2\]
Resultado. \(F=-3{,}0\ \text{N}\) y \(a=-7{,}5\ \text{m/s}^2\).
Revisión. El signo negativo confirma que fuerza y aceleración apuntan hacia el equilibrio.
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25

Fuerza recuperadora máxima

Un muelle de constante \(150\ \text{N/m}\) oscila con amplitud \(6{,}0\ \text{cm}\). Calcula el módulo máximo de la fuerza recuperadora.

Datos e incógnitas

\(k=150\ \text{N/m}\), \(A=0{,}060\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

La fuerza tiene módulo máximo en los extremos, donde \(|x|=A\).

Ecuaciones

\[F_{\max}=kA\]

Cálculo paso a paso

\[F_{\max}=150\cdot0{,}060=9{,}0\ \text{N}\]
Resultado. El módulo máximo de la fuerza es \(9{,}0\ \text{N}\).
Revisión. En el equilibrio la fuerza es cero. El máximo debe aparecer en los extremos, no en el centro.
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26

Muelle comprimido y liberado

Una masa de \(0{,}75\ \text{kg}\) unida a un muelle de \(48\ \text{N/m}\) se comprime \(12\ \text{cm}\) y se suelta desde el reposo. Escribe la ecuación tomando positiva la compresión inicial y calcula la velocidad máxima.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}75\ \text{kg}\), \(k=48\ \text{N/m}\), \(A=0{,}12\ \text{m}\), \(x(0)=A\), \(v(0)=0\).

Modelo e idea clave

Al soltarse desde un extremo conviene usar coseno con fase cero.

Ecuaciones

\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[x=A\cos(\omega t)\]
\[v_{\max}=A\omega\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{48}{0{,}75}}=8{,}0\ \text{rad/s}\]
\[x=0{,}12\cos(8t)\ \text{m}\]
\[v_{\max}=0{,}12\cdot8=0{,}96\ \text{m/s}\]
Resultado. \(x=0{,}12\cos(8t)\ \text{m}\) y \(v_{\max}=0{,}96\ \text{m/s}\).
Revisión. En \(t=0\), la ecuación da \(x=A\) y su derivada da \(v=0\), exactamente las condiciones iniciales.
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27

Ecuación desde el equilibrio con velocidad inicial

Una masa de \(0{,}25\ \text{kg}\) está unida a un muelle de \(25\ \text{N/m}\). En \(t=0\) pasa por el equilibrio con velocidad \(+0{,}60\ \text{m/s}\). Escribe la ecuación del movimiento.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}25\ \text{kg}\), \(k=25\ \text{N/m}\), \(x_0=0\), \(v_0=+0{,}60\ \text{m/s}\).

Modelo e idea clave

Al pasar por el equilibrio en sentido positivo resulta natural usar \(x=A\sin(\omega t)\).

Ecuaciones

\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[v(0)=A\omega\]
\[x=A\sin(\omega t)\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{25}{0{,}25}}=10\ \text{rad/s}\]
\[A=\dfrac{v_0}{\omega}=\dfrac{0{,}60}{10}=0{,}060\ \text{m}\]
\[x=0{,}060\sin(10t)\ \text{m}\]
Resultado. La ecuación es \(x=0{,}060\sin(10t)\ \text{m}\).
Revisión. En \(t=0\), \(x=0\) y \(v=A\omega=+0{,}60\ \text{m/s}\).
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28

Ecuación desde un extremo

Una masa de \(0{,}20\ \text{kg}\) unida a un muelle de \(50\ \text{N/m}\) se encuentra en \(x=+4{,}0\ \text{cm}\) con velocidad nula en \(t=0\). Escribe la ecuación.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}20\ \text{kg}\), \(k=50\ \text{N/m}\), \(A=0{,}040\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

La condición \(x_0=A\), \(v_0=0\) fija una ecuación coseno sin fase.

Ecuaciones

\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[x=A\cos(\omega t)\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{50}{0{,}20}}=15{,}81\ \text{rad/s}\]
\[x=0{,}040\cos(15{,}81t)\ \text{m}\]
Resultado. \(x=0{,}040\cos(15{,}81t)\ \text{m}\).
Revisión. La amplitud coincide con la elongación inicial y la derivada se anula en \(t=0\).
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29

Amplitud y fase desde dos condiciones iniciales

Un sistema masa-muelle tiene \(m=0{,}50\ \text{kg}\) y \(k=50\ \text{N/m}\). En \(t=0\), \(x_0=0{,}030\ \text{m}\) y \(v_0=-0{,}40\ \text{m/s}\). Escribe \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).

Datos e incógnitas

\(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(k=50\ \text{N/m}\), \(x_0=0{,}030\ \text{m}\), \(v_0=-0{,}40\ \text{m/s}\).

Modelo e idea clave

Las condiciones iniciales determinan amplitud y fase. Se usan \(x_0=A\cos\varphi_0\) y \(v_0=-A\omega\sin\varphi_0\).

Ecuaciones

\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[A=\sqrt{x_0^2+\left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\sqrt{\dfrac{50}{0{,}50}}=10\ \text{rad/s}\]
\[A=\sqrt{0{,}030^2+\left(\dfrac{-0{,}40}{10}\right)^2}=0{,}050\ \text{m}\]
\[\cos\varphi_0=\dfrac{0{,}030}{0{,}050}=0{,}6,\qquad \sin\varphi_0=0{,}8\]
\[\varphi_0=0{,}927\ \text{rad}\]
\[x=0{,}050\cos(10t+0{,}927)\]
Resultado. \(A=0{,}050\ \text{m}\), \(\varphi_0=0{,}927\ \text{rad}\) y \(x=0{,}050\cos(10t+0{,}927)\ \text{m}\).
Revisión. La fase está en el primer cuadrante. Con ella, \(v_0=-A\omega\sin\varphi_0=-0{,}40\ \text{m/s}\).
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30

Cambio de masa en el mismo muelle

Una masa \(m\) oscila con periodo \(0{,}40\ \text{s}\). Se sustituye por otra masa \(4m\) sin cambiar el muelle. Calcula el nuevo periodo.

Datos e incógnitas

\(T_1=0{,}40\ \text{s}\), \(m_2=4m_1\), mismo \(k\).

Modelo e idea clave

El periodo del muelle es proporcional a la raíz cuadrada de la masa.

Ecuaciones

\[\dfrac{T_2}{T_1}=\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac{T_2}{0{,}40}=\sqrt{4}=2\]
\[T_2=0{,}80\ \text{s}\]
Resultado. El nuevo periodo es \(0{,}80\ \text{s}\).
Revisión. Cuadruplicar la masa no cuadruplica el periodo. Solo lo duplica por la dependencia con la raíz cuadrada.
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Bloque 4. Energía en el movimiento armónico simple

31

Energía mecánica total

Una masa de \(0{,}50\ \text{kg}\) realiza MAS con \(\omega=12\ \text{rad/s}\) y amplitud \(0{,}040\ \text{m}\). Calcula la energía mecánica.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(\omega=12\ \text{rad/s}\), \(A=0{,}040\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

La energía total permanece constante y puede expresarse con \(m\), \(\omega\) y \(A\).

Ecuaciones

\[E=\dfrac12m\omega^2A^2\]

Cálculo paso a paso

\[E=\dfrac12\cdot0{,}50\cdot12^2\cdot0{,}040^2=0{,}0576\ \text{J}\]
Resultado. La energía mecánica es \(5{,}76\cdot10^{-2}\ \text{J}\).
Revisión. La unidad es \(\text{kg·m}^2/\text{s}^2=\text{J}\).
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32

Energías y velocidad en una posición

Un bloque de \(0{,}50\ \text{kg}\) oscila unido a un muelle de \(200\ \text{N/m}\) con amplitud \(0{,}050\ \text{m}\). Calcula \(U\), \(K\) y la rapidez cuando \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Datos e incógnitas

\(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(k=200\ \text{N/m}\), \(A=0{,}050\ \text{m}\), \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

La energía total se fija por la amplitud. La diferencia entre total y potencial es cinética.

Ecuaciones

\[E=\dfrac12kA^2\]
\[U=\dfrac12kx^2\]
\[K=E-U=\dfrac12mv^2\]

Cálculo paso a paso

\[E=\dfrac12\cdot200\cdot0{,}050^2=0{,}250\ \text{J}\]
\[U=\dfrac12\cdot200\cdot0{,}030^2=0{,}090\ \text{J}\]
\[K=0{,}250-0{,}090=0{,}160\ \text{J}\]
\[v=\sqrt{\dfrac{2K}{m}}=\sqrt{\dfrac{0{,}320}{0{,}50}}=0{,}800\ \text{m/s}\]
Resultado. \(U=0{,}090\ \text{J}\), \(K=0{,}160\ \text{J}\) y \(|v|=0{,}800\ \text{m/s}\).
Revisión. Se cumple \(U+K=0{,}250\ \text{J}=E\). El signo de la velocidad no puede conocerse solo con la posición.
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33

Punto donde las energías son iguales

¿En qué posiciones de un MAS son iguales la energía cinética y la potencial elástica?

Datos e incógnitas

Amplitud \(A\). Se pide \(x\) cuando \(K=U\).

Modelo e idea clave

Si \(K=U\), cada una representa la mitad de la energía total.

Ecuaciones

\[E=\dfrac12kA^2\]
\[U=\dfrac12kx^2=\dfrac{E}{2}\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac12kx^2=\dfrac14kA^2\]
\[x^2=\dfrac{A^2}{2}\]
\[x=\pm\dfrac{A}{\sqrt2}\]
Resultado. Las energías son iguales en \(x=\pm A/\sqrt2\).
Revisión. Existen dos posiciones simétricas porque la energía potencial depende de \(x^2\).
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34

Rapidez en tres cuartos de la amplitud

Un oscilador tiene velocidad máxima \(1{,}50\ \text{m/s}\). Calcula su rapidez cuando \(|x|=0{,}75A\).

Datos e incógnitas

\(v_{\max}=1{,}50\ \text{m/s}\), \(|x|/A=0{,}75\).

Modelo e idea clave

Se usa la relación entre rapidez y posición, dividiéndola por \(v_{\max}=A\omega\).

Ecuaciones

\[\dfrac{|v|}{v_{\max}}=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2}}\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac{|v|}{1{,}50}=\sqrt{1-0{,}75^2}=0{,}6614\]
\[|v|=1{,}50\cdot0{,}6614=0{,}992\ \text{m/s}\]
Resultado. La rapidez es \(0{,}992\ \text{m/s}\).
Revisión. Es menor que la rapidez máxima porque el móvil ya está relativamente cerca de un extremo.
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35

Posiciones donde la energía cinética triplica a la potencial

Determina las posiciones en las que \(K=3U\).

Datos e incógnitas

Amplitud \(A\). Se pide \(x\).

Modelo e idea clave

Como \(E=K+U\), la condición implica \(E=4U\).

Ecuaciones

\[U=\dfrac{E}{4}\]
\[\dfrac12kx^2=\dfrac14\left(\dfrac12kA^2\right)\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac12kx^2=\dfrac18kA^2\]
\[x^2=\dfrac{A^2}{4}\]
\[x=\pm\dfrac{A}{2}\]
Resultado. \(K=3U\) en \(x=\pm A/2\).
Revisión. En esas posiciones \(U=E/4\) y \(K=3E/4\), por lo que la condición se cumple.
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36

Efecto de duplicar la amplitud

En el mismo sistema masa-muelle se duplica la amplitud. ¿Cómo cambian energía total, velocidad máxima y aceleración máxima?

Datos e incógnitas

Mismo \(m\), mismo \(k\) y por tanto misma \(\omega\). \(A_2=2A_1\).

Modelo e idea clave

Se comparan las dependencias de cada magnitud con la amplitud.

Ecuaciones

\[E\propto A^2\]
\[v_{\max}\propto A\]
\[a_{\max}\propto A\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac{E_2}{E_1}=\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2=4\]
\[\dfrac{v_{\max,2}}{v_{\max,1}}=2,\qquad \dfrac{a_{\max,2}}{a_{\max,1}}=2\]
Resultado. La energía se cuadruplica. La velocidad máxima y la aceleración máxima se duplican.
Revisión. La pulsación no cambia porque depende de \(k/m\), no de la amplitud en el régimen ideal.
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37

Energía a partir de la fuerza máxima

Un oscilador unido a un muelle de \(300\ \text{N/m}\) alcanza una fuerza recuperadora máxima de \(12\ \text{N}\). Calcula la amplitud y la energía total.

Datos e incógnitas

\(k=300\ \text{N/m}\), \(F_{\max}=12\ \text{N}\).

Modelo e idea clave

En el extremo \(F_{\max}=kA\) y toda la energía es potencial elástica.

Ecuaciones

\[A=\dfrac{F_{\max}}{k}\]
\[E=\dfrac12kA^2=\dfrac{F_{\max}^2}{2k}\]

Cálculo paso a paso

\[A=\dfrac{12}{300}=0{,}040\ \text{m}\]
\[E=\dfrac{12^2}{2\cdot300}=0{,}240\ \text{J}\]
Resultado. \(A=4{,}0\ \text{cm}\) y \(E=0{,}240\ \text{J}\).
Revisión. La energía obtenida coincide con \(\frac12kA^2\).
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38

Amplitud a partir de energía y frecuencia

Una masa de \(0{,}20\ \text{kg}\) oscila con frecuencia \(2{,}0\ \text{Hz}\) y energía mecánica \(0{,}18\ \text{J}\). Calcula amplitud y velocidad máxima.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}20\ \text{kg}\), \(f=2{,}0\ \text{Hz}\), \(E=0{,}18\ \text{J}\).

Modelo e idea clave

Se expresa la energía como \(E=\frac12m\omega^2A^2\).

Ecuaciones

\[\omega=2\pi f\]
\[A=\sqrt{\dfrac{2E}{m\omega^2}}\]
\[v_{\max}=A\omega\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=4\pi=12{,}57\ \text{rad/s}\]
\[A=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}18}{0{,}20\cdot(12{,}57)^2}}=0{,}1068\ \text{m}\]
\[v_{\max}=0{,}1068\cdot12{,}57=1{,}342\ \text{m/s}\]
Resultado. \(A=0{,}107\ \text{m}\) y \(v_{\max}=1{,}34\ \text{m/s}\).
Revisión. También puede obtenerse \(v_{\max}=\sqrt{2E/m}=1{,}34\ \text{m/s}\), lo que confirma el cálculo.
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Bloque 5. Péndulo simple

39

Periodo de un péndulo simple

Calcula el periodo y la frecuencia de un péndulo de longitud \(1{,}00\ \text{m}\) para oscilaciones pequeñas. Usa \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Datos e incógnitas

\(L=1{,}00\ \text{m}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Modelo e idea clave

Para ángulos pequeños el péndulo se aproxima a un MAS angular.

Ecuaciones

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]
\[f=\dfrac{1}{T}\]

Cálculo paso a paso

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}00}{9{,}81}}=2{,}006\ \text{s}\]
\[f=\dfrac{1}{2{,}006}=0{,}498\ \text{Hz}\]
Resultado. \(T=2{,}01\ \text{s}\) y \(f=0{,}498\ \text{Hz}\).
Revisión. Un péndulo de aproximadamente un metro tiene un periodo cercano a dos segundos, resultado conocido y razonable.
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40

Longitud de un péndulo a partir del periodo

Un péndulo simple tiene periodo \(1{,}50\ \text{s}\). Calcula su longitud con \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Datos e incógnitas

\(T=1{,}50\ \text{s}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Modelo e idea clave

Se despeja la longitud de la fórmula del periodo.

Ecuaciones

\[L=g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2\]

Cálculo paso a paso

\[L=9{,}81\left(\dfrac{1{,}50}{2\pi}\right)^2=0{,}559\ \text{m}\]
Resultado. La longitud es \(0{,}559\ \text{m}\), aproximadamente \(55{,}9\ \text{cm}\).
Revisión. Al introducir esta longitud en la fórmula del periodo se recuperan \(1{,}50\ \text{s}\).
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41

Comparación de dos longitudes

Dos péndulos oscilan en el mismo lugar. El segundo tiene una longitud nueve veces mayor que el primero. Compara sus periodos.

Datos e incógnitas

\(L_2=9L_1\), mismo \(g\).

Modelo e idea clave

El periodo es proporcional a \(\sqrt L\).

Ecuaciones

\[\dfrac{T_2}{T_1}=\sqrt{\dfrac{L_2}{L_1}}\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac{T_2}{T_1}=\sqrt9=3\]
Resultado. El segundo péndulo tiene un periodo tres veces mayor.
Revisión. La relación no es lineal con la longitud. Multiplicar \(L\) por nueve multiplica \(T\) por tres.
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42

Péndulo terrestre llevado a la Luna

Un péndulo mantiene la misma longitud al pasar de la Tierra, \(g_T=9{,}81\ \text{m/s}^2\), a la Luna, \(g_L=1{,}62\ \text{m/s}^2\). Calcula la razón entre sus periodos.

Datos e incógnitas

Misma \(L\), \(g_T=9{,}81\), \(g_L=1{,}62\ \text{m/s}^2\).

Modelo e idea clave

Con longitud fija, el periodo es inversamente proporcional a \(\sqrt g\).

Ecuaciones

\[\dfrac{T_L}{T_T}=\sqrt{\dfrac{g_T}{g_L}}\]

Cálculo paso a paso

\[\dfrac{T_L}{T_T}=\sqrt{\dfrac{9{,}81}{1{,}62}}=2{,}46\]
Resultado. En la Luna el periodo es \(2{,}46\) veces el terrestre.
Revisión. La menor gravedad produce una oscilación más lenta, por lo que el periodo debe aumentar.
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43

Amplitud lineal y velocidad máxima de un péndulo

Un péndulo de \(0{,}80\ \text{m}\) oscila con amplitud angular de \(5{,}0^\circ\). Calcula la amplitud lineal aproximada y la velocidad máxima. Usa \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Datos e incógnitas

\(L=0{,}80\ \text{m}\), \(\theta_0=5{,}0^\circ\), oscilación pequeña.

Modelo e idea clave

Para ángulos pequeños \(s\approx L\theta\), con \(\theta\) en radianes. La coordenada de arco realiza aproximadamente MAS.

Ecuaciones

\[A=L\theta_0\]
\[\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}}\]
\[v_{\max}=A\omega\]

Cálculo paso a paso

\[\theta_0=5\cdot\dfrac{\pi}{180}=0{,}08727\ \text{rad}\]
\[A=0{,}80\cdot0{,}08727=0{,}0698\ \text{m}\]
\[\omega=\sqrt{\dfrac{9{,}81}{0{,}80}}=3{,}502\ \text{rad/s}\]
\[v_{\max}=0{,}0698\cdot3{,}502=0{,}244\ \text{m/s}\]
Resultado. \(A\approx6{,}98\ \text{cm}\) y \(v_{\max}\approx0{,}244\ \text{m/s}\).
Revisión. El ángulo de \(5^\circ\) es suficientemente pequeño para que la aproximación sea muy buena.
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44

Límite de la aproximación de ángulo pequeño

Un péndulo de \(1{,}00\ \text{m}\) oscila con amplitud angular de \(30^\circ\). Estima el periodo con la fórmula de ángulo pequeño y con la primera corrección \(T\approx T_0(1+\theta_0^2/16)\).

Datos e incógnitas

\(L=1{,}00\ \text{m}\), \(\theta_0=30^\circ=0{,}5236\ \text{rad}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Modelo e idea clave

A \(30^\circ\), el movimiento ya no es exactamente armónico. La corrección permite medir el error de la fórmula elemental.

Ecuaciones

\[T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]
\[T\approx T_0\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}\right)\]

Cálculo paso a paso

\[T_0=2{,}006\ \text{s}\]
\[T\approx2{,}006\left(1+\dfrac{0{,}5236^2}{16}\right)=2{,}040\ \text{s}\]
\[\dfrac{T-T_0}{T_0}\cdot100\approx1{,}71\%\]
Resultado. La fórmula simple da \(2{,}006\ \text{s}\) y la primera corrección \(2{,}040\ \text{s}\).
Revisión. El periodo real aumenta con la amplitud. A \(30^\circ\) el error ya ronda el \(1{,}7\%\), por lo que conviene indicar que la aproximación no es exacta.
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Bloque 6. Muelle vertical, gráficas, resonancia y relación con el MCU

45

Muelle vertical y posición de equilibrio

Una masa de \(0{,}20\ \text{kg}\) cuelga de un muelle vertical de \(50\ \text{N/m}\). Calcula el alargamiento de equilibrio y el periodo de pequeñas oscilaciones. Después se baja \(3{,}0\ \text{cm}\) desde el equilibrio y se suelta. Escribe la ecuación tomando positivo hacia abajo.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}20\ \text{kg}\), \(k=50\ \text{N/m}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\), \(A=0{,}030\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

El peso desplaza la posición de equilibrio, pero no cambia la pulsación de las oscilaciones alrededor de ella.

Ecuaciones

\[k\Delta l=mg\]
\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[y=A\cos(\omega t)\]

Cálculo paso a paso

\[\Delta l=\dfrac{0{,}20\cdot9{,}81}{50}=0{,}0392\ \text{m}\]
\[\omega=\sqrt{\dfrac{50}{0{,}20}}=15{,}81\ \text{rad/s}\]
\[T=\dfrac{2\pi}{15{,}81}=0{,}397\ \text{s}\]
\[y=0{,}030\cos(15{,}81t)\ \text{m}\]
Resultado. El equilibrio queda \(3{,}92\ \text{cm}\) por debajo de la longitud natural, \(T=0{,}397\ \text{s}\) y \(y=0{,}030\cos(15{,}81t)\ \text{m}\).
Revisión. La ecuación \(y(t)\) se mide desde el equilibrio, no desde la longitud natural. Esta distinción evita sumar el peso dos veces.
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46

Longitudes extremas en un muelle vertical

Un muelle vertical se alarga \(4{,}0\ \text{cm}\) en equilibrio. La masa oscila con amplitud \(2{,}0\ \text{cm}\). Determina los alargamientos máximo y mínimo respecto a la longitud natural.

Datos e incógnitas

\(\Delta l_{eq}=4{,}0\ \text{cm}\), \(A=2{,}0\ \text{cm}\).

Modelo e idea clave

La oscilación se produce alrededor del equilibrio. Se suman o restan la amplitud y el alargamiento estático.

Ecuaciones

\[\Delta l_{\max}=\Delta l_{eq}+A\]
\[\Delta l_{\min}=\Delta l_{eq}-A\]

Cálculo paso a paso

\[\Delta l_{\max}=4{,}0+2{,}0=6{,}0\ \text{cm}\]
\[\Delta l_{\min}=4{,}0-2{,}0=2{,}0\ \text{cm}\]
Resultado. Los alargamientos extremos son \(6{,}0\ \text{cm}\) y \(2{,}0\ \text{cm}\).
Revisión. Ambos valores son positivos, por lo que el muelle permanece estirado durante toda la oscilación.
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47

Ecuación deducida de una gráfica ideal

Una gráfica muestra una amplitud de \(5{,}0\ \text{cm}\), máximos separados \(0{,}80\ \text{s}\) y paso por el equilibrio en \(t=0\) con pendiente positiva. Escribe la ecuación y calcula la velocidad inicial.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}050\ \text{m}\), \(T=0{,}80\ \text{s}\), \(x_0=0\), \(v_0>0\).

Modelo e idea clave

El paso ascendente por el equilibrio se representa con una función seno sin fase.

Ecuaciones

\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]
\[x=A\sin(\omega t)\]
\[v_0=A\omega\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}80}=2{,}5\pi\ \text{rad/s}\]
\[x=0{,}050\sin(2{,}5\pi t)\ \text{m}\]
\[v_0=0{,}050\cdot2{,}5\pi=0{,}393\ \text{m/s}\]
Resultado. \(x=0{,}050\sin(2{,}5\pi t)\ \text{m}\) y \(v_0=0{,}393\ \text{m/s}\).
Revisión. La ecuación reproduce amplitud, periodo y sentido de cruce indicados por la gráfica.
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48

Ecuación con un máximo desplazado en el tiempo

Una oscilación tiene amplitud \(0{,}070\ \text{m}\). La gráfica presenta un máximo en \(t=0{,}20\ \text{s}\) y el siguiente en \(t=1{,}00\ \text{s}\). Escribe una ecuación coseno.

Datos e incógnitas

\(A=0{,}070\ \text{m}\), máximos en \(0{,}20\) y \(1{,}00\ \text{s}\).

Modelo e idea clave

La separación entre máximos consecutivos es el periodo. Un coseno alcanza su máximo cuando el argumento es cero.

Ecuaciones

\[T=1{,}00-0{,}20\]
\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]
\[x=A\cos[\omega(t-t_{\max})]\]

Cálculo paso a paso

\[T=0{,}80\ \text{s},\qquad \omega=\dfrac{2\pi}{0{,}80}=2{,}5\pi\ \text{rad/s}\]
\[x=0{,}070\cos[2{,}5\pi(t-0{,}20)]\ \text{m}\]
Resultado. Una ecuación válida es \(x=0{,}070\cos[2{,}5\pi(t-0{,}20)]\ \text{m}\).
Revisión. En \(t=0{,}20\ \text{s}\) el argumento es cero y \(x=A\). Al sumar \(0{,}80\ \text{s}\), la fase aumenta \(2\pi\) y aparece el siguiente máximo.
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49

Selección de la frecuencia de resonancia

Un sistema tiene frecuencia natural \(3{,}5\ \text{Hz}\). Se fuerza sucesivamente a \(2{,}0\), \(3{,}4\) y \(5{,}0\ \text{Hz}\). ¿Con cuál se espera mayor amplitud estacionaria si el amortiguamiento es pequeño?

Datos e incógnitas

\(f_0=3{,}5\ \text{Hz}\). Frecuencias externas \(2{,}0\), \(3{,}4\) y \(5{,}0\ \text{Hz}\).

Modelo e idea clave

La resonancia aparece cuando la frecuencia externa está próxima a la frecuencia natural.

Ecuaciones

\[f_{\text{ext}}\approx f_0\]

Cálculo paso a paso

Comparamos las diferencias.

\[|2{,}0-3{,}5|=1{,}5,\quad |3{,}4-3{,}5|=0{,}1,\quad |5{,}0-3{,}5|=1{,}5\ \text{Hz}\]
Resultado. La mayor amplitud se espera con \(f_{\text{ext}}=3{,}4\ \text{Hz}\).
Revisión. La respuesta real depende también del amortiguamiento, pero la frecuencia más próxima a \(f_0\) es la candidata clara.
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50

Proyección de un movimiento circular uniforme

Un punto gira en una circunferencia de radio \(0{,}070\ \text{m}\) con velocidad angular \(6{,}0\ \text{rad/s}\). Calcula las magnitudes del MAS que describe su proyección sobre un diámetro.

Datos e incógnitas

\(R=0{,}070\ \text{m}\), \(\omega=6{,}0\ \text{rad/s}\).

Modelo e idea clave

La proyección de un MCU sobre un diámetro es un MAS con amplitud igual al radio y la misma pulsación.

Ecuaciones

\[A=R\]
\[T=\dfrac{2\pi}{\omega}\]
\[v_{\max}=A\omega\]
\[a_{\max}=A\omega^2\]

Cálculo paso a paso

\[A=0{,}070\ \text{m}\]
\[T=\dfrac{2\pi}{6}=1{,}047\ \text{s}\]
\[v_{\max}=0{,}070\cdot6=0{,}420\ \text{m/s}\]
\[a_{\max}=0{,}070\cdot6^2=2{,}52\ \text{m/s}^2\]
Resultado. \(A=0{,}070\ \text{m}\), \(T=1{,}047\ \text{s}\), \(v_{\max}=0{,}420\ \text{m/s}\) y \(a_{\max}=2{,}52\ \text{m/s}^2\).
Revisión. Las dimensiones son correctas y la pulsación coincide con la del movimiento circular de origen.
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Bloque 7. Problemas tipo examen PAU/EBAU

51

Problema tipo examen con ecuación, dinámica y energía

Una masa de \(0{,}30\ \text{kg}\) realiza el movimiento \(x=0{,}080\cos(5t+\pi/3)\ \text{m}\). Calcula posición, velocidad y aceleración iniciales, constante del muelle y energía mecánica.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}30\ \text{kg}\), \(A=0{,}080\ \text{m}\), \(\omega=5\ \text{rad/s}\), \(\varphi_0=\pi/3\).

Modelo e idea clave

La ecuación proporciona la cinemática. La relación \(k=m\omega^2\) conecta con la dinámica y la energía.

Ecuaciones

\[x_0=A\cos\varphi_0\]
\[v_0=-A\omega\sin\varphi_0\]
\[a_0=-\omega^2x_0\]
\[k=m\omega^2\]
\[E=\dfrac12kA^2\]

Cálculo paso a paso

\[x_0=0{,}080\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0{,}040\ \text{m}\]
\[v_0=-0{,}080\cdot5\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-0{,}346\ \text{m/s}\]
\[a_0=-25\cdot0{,}040=-1{,}00\ \text{m/s}^2\]
\[k=0{,}30\cdot25=7{,}50\ \text{N/m}\]
\[E=\dfrac12\cdot7{,}50\cdot0{,}080^2=0{,}0240\ \text{J}\]
Resultado. \(x_0=0{,}040\ \text{m}\), \(v_0=-0{,}346\ \text{m/s}\), \(a_0=-1{,}00\ \text{m/s}^2\), \(k=7{,}50\ \text{N/m}\) y \(E=0{,}0240\ \text{J}\).
Revisión. La aceleración tiene signo opuesto a la posición. Además, \(K_0+U_0\) reproduce la energía total.
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52

Problema tipo examen desde periodo y amplitud

Una masa de \(0{,}40\ \text{kg}\) unida a un muelle oscila con periodo \(0{,}50\ \text{s}\) y amplitud \(0{,}060\ \text{m}\). Calcula \(k\), energía total y rapidez en \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Datos e incógnitas

\(m=0{,}40\ \text{kg}\), \(T=0{,}50\ \text{s}\), \(A=0{,}060\ \text{m}\), \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

Del periodo se obtiene \(\omega\), después \(k\). La rapidez se halla sin calcular el tiempo.

Ecuaciones

\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]
\[k=m\omega^2\]
\[E=\dfrac12kA^2\]
\[|v|=\omega\sqrt{A^2-x^2}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}50}=4\pi=12{,}57\ \text{rad/s}\]
\[k=0{,}40\cdot(12{,}57)^2=63{,}17\ \text{N/m}\]
\[E=\dfrac12\cdot63{,}17\cdot0{,}060^2=0{,}1137\ \text{J}\]
\[|v|=12{,}57\sqrt{0{,}060^2-0{,}030^2}=0{,}653\ \text{m/s}\]
Resultado. \(k=63{,}17\ \text{N/m}\), \(E=0{,}1137\ \text{J}\) y \(|v|=0{,}653\ \text{m/s}\).
Revisión. Como \(|x|=A/2\), la rapidez debe ser \(v_{\max}\sqrt3/2\). Con \(v_{\max}=A\omega=0{,}754\ \text{m/s}\), se obtiene el mismo valor.
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53

Problema tipo examen con muelle vertical

Una masa de \(0{,}25\ \text{kg}\) alarga un muelle vertical \(5{,}0\ \text{cm}\) en equilibrio. Se baja otros \(4{,}0\ \text{cm}\) y se suelta. Usa \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\). Calcula \(k\), periodo, posición y velocidad a los \(0{,}10\ \text{s}\), tomando positivo hacia abajo desde el equilibrio.

Datos e incógnitas

\(m=0{,}25\ \text{kg}\), \(\Delta l=0{,}050\ \text{m}\), \(A=0{,}040\ \text{m}\), \(t=0{,}10\ \text{s}\).

Modelo e idea clave

El alargamiento estático permite hallar \(k\). La oscilación posterior se describe alrededor del equilibrio.

Ecuaciones

\[k\Delta l=mg\]
\[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[y=A\cos(\omega t)\]
\[v=-A\omega\sin(\omega t)\]

Cálculo paso a paso

\[k=\dfrac{0{,}25\cdot9{,}8}{0{,}050}=49\ \text{N/m}\]
\[\omega=\sqrt{\dfrac{49}{0{,}25}}=14\ \text{rad/s},\qquad T=\dfrac{2\pi}{14}=0{,}449\ \text{s}\]
\[y(0{,}10)=0{,}040\cos(1{,}4)=6{,}80\cdot10^{-3}\ \text{m}\]
\[v(0{,}10)=-0{,}040\cdot14\sin(1{,}4)=-0{,}552\ \text{m/s}\]
Resultado. \(k=49\ \text{N/m}\), \(T=0{,}449\ \text{s}\), \(y=6{,}80\ \text{mm}\) y \(v=-0{,}552\ \text{m/s}\).
Revisión. La posición aún es ligeramente inferior al equilibrio, pero la velocidad es negativa, de modo que la masa está subiendo hacia él y está próxima a cruzarlo.
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54

Problema tipo examen con condiciones iniciales no elementales

Un MAS tiene \(\omega=8{,}0\ \text{rad/s}\). En \(t=0\), \(x_0=-0{,}030\ \text{m}\) y \(v_0=+0{,}40\ \text{m/s}\). Halla amplitud, fase en una ecuación coseno y el primer instante en que cruza el equilibrio moviéndose en sentido positivo.

Datos e incógnitas

\(\omega=8{,}0\ \text{rad/s}\), \(x_0=-0{,}030\ \text{m}\), \(v_0=+0{,}40\ \text{m/s}\).

Modelo e idea clave

La amplitud se obtiene sin fase. Para el cruce positivo, en una función coseno la fase debe llegar a \(3\pi/2\).

Ecuaciones

\[A=\sqrt{x_0^2+\left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2}\]
\[x_0=A\cos\varphi_0\]
\[v_0=-A\omega\sin\varphi_0\]

Cálculo paso a paso

\[A=\sqrt{0{,}030^2+\left(\dfrac{0{,}40}{8}\right)^2}=0{,}0583\ \text{m}\]
\[\cos\varphi_0=-0{,}5145,\qquad \sin\varphi_0=-0{,}8575\]
\[\varphi_0=4{,}172\ \text{rad}\]
\[x=0{,}0583\cos(8t+4{,}172)\]

El siguiente cruce positivo corresponde a \(8t+\varphi_0=3\pi/2\).

\[t=\dfrac{3\pi/2-4{,}172}{8}=0{,}0676\ \text{s}\]
Resultado. \(A=0{,}0583\ \text{m}\), \(\varphi_0=4{,}172\ \text{rad}\) y el primer cruce positivo ocurre en \(0{,}0676\ \text{s}\).
Revisión. La fase inicial está en el tercer cuadrante, donde \(x<0\) y \(v>0\). El resultado temporal es menor que un cuarto de periodo, coherente con la cercanía al equilibrio.
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55

Problema tipo examen de energía, posición y fuerza

Un muelle de \(120\ \text{N/m}\) almacena una energía total de \(0{,}216\ \text{J}\). La masa es \(0{,}30\ \text{kg}\). Calcula amplitud y, en los puntos donde la energía potencial es la cuarta parte de la total, posición, fuerza, energía cinética y rapidez.

Datos e incógnitas

\(k=120\ \text{N/m}\), \(E=0{,}216\ \text{J}\), \(m=0{,}30\ \text{kg}\), \(U=E/4\).

Modelo e idea clave

La amplitud fija la energía total. Como \(U\propto x^2\), una cuarta parte de energía potencial corresponde a la mitad de la amplitud.

Ecuaciones

\[A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\]
\[U=\dfrac12kx^2\]
\[F=-kx\]
\[K=E-U\]
\[|v|=\sqrt{\dfrac{2K}{m}}\]

Cálculo paso a paso

\[A=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}216}{120}}=0{,}060\ \text{m}\]
\[U=0{,}054\ \text{J}\Rightarrow |x|=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}054}{120}}=0{,}030\ \text{m}\]
\[|F|=120\cdot0{,}030=3{,}60\ \text{N}\]
\[K=0{,}216-0{,}054=0{,}162\ \text{J}\]
\[|v|=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}162}{0{,}30}}=1{,}04\ \text{m/s}\]
Resultado. \(A=0{,}060\ \text{m}\). En \(x=\pm0{,}030\ \text{m}\), \(|F|=3{,}60\ \text{N}\), \(K=0{,}162\ \text{J}\) y \(|v|=1{,}04\ \text{m/s}\).
Revisión. Hay dos posiciones y dos sentidos posibles. Fuerza y posición tienen signos opuestos, mientras que energía y rapidez son iguales en ambos puntos.
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56

Problema tipo examen para medir la gravedad con un péndulo

En un planeta, un péndulo de \(0{,}90\ \text{m}\) tarda \(38{,}0\ \text{s}\) en realizar \(20\) oscilaciones pequeñas. Calcula la gravedad. Si la amplitud angular es \(4{,}0^\circ\), estima la velocidad máxima.

Datos e incógnitas

\(L=0{,}90\ \text{m}\), \(20T=38{,}0\ \text{s}\), \(\theta_0=4{,}0^\circ\).

Modelo e idea clave

El periodo medido permite despejar \(g\). La amplitud lineal de arco es \(A\approx L\theta_0\).

Ecuaciones

\[T=\dfrac{38{,}0}{20}\]
\[g=\dfrac{4\pi^2L}{T^2}\]
\[v_{\max}=\dfrac{2\pi}{T}L\theta_0\]

Cálculo paso a paso

\[T=1{,}90\ \text{s}\]
\[g=\dfrac{4\pi^2\cdot0{,}90}{1{,}90^2}=9{,}84\ \text{m/s}^2\]
\[\theta_0=4\cdot\dfrac{\pi}{180}=0{,}06981\ \text{rad}\]
\[A=0{,}90\cdot0{,}06981=0{,}0628\ \text{m}\]
\[v_{\max}=\dfrac{2\pi}{1{,}90}\cdot0{,}0628=0{,}208\ \text{m/s}\]
Resultado. \(g=9{,}84\ \text{m/s}^2\) y \(v_{\max}\approx0{,}208\ \text{m/s}\).
Revisión. El valor de \(g\) es próximo al terrestre. La amplitud de \(4^\circ\) justifica la aproximación armónica.
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57

Comparación energética de dos osciladores

Dos osciladores tienen la misma masa y la misma energía total. Sus pulsaciones son \(\omega_1=5\ \text{rad/s}\) y \(\omega_2=10\ \text{rad/s}\). Si \(A_1=0{,}080\ \text{m}\), calcula \(A_2\) y compara velocidades y aceleraciones máximas.

Datos e incógnitas

Misma \(m\), misma \(E\), \(\omega_2=2\omega_1\), \(A_1=0{,}080\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

Con energía y masa iguales, \(\omega^2A^2\) es constante. La velocidad máxima depende de \(\omega A\).

Ecuaciones

\[\dfrac12m\omega_1^2A_1^2=\dfrac12m\omega_2^2A_2^2\]
\[v_{\max}=\omega A\]
\[a_{\max}=\omega^2A\]

Cálculo paso a paso

\[A_2=A_1\dfrac{\omega_1}{\omega_2}=0{,}080\cdot\dfrac{5}{10}=0{,}040\ \text{m}\]
\[v_{\max,1}=5\cdot0{,}080=0{,}40\ \text{m/s}\]
\[v_{\max,2}=10\cdot0{,}040=0{,}40\ \text{m/s}\]
\[\dfrac{a_{\max,2}}{a_{\max,1}}=\dfrac{\omega_2v_{\max,2}}{\omega_1v_{\max,1}}=2\]
Resultado. \(A_2=0{,}040\ \text{m}\). Las velocidades máximas son iguales y la aceleración máxima del segundo es doble.
Revisión. La igualdad de energía y masa obliga a que \(v_{\max}=\sqrt{2E/m}\) sea la misma en ambos sistemas.
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58

Problema global de examen desde dos valores máximos

Un oscilador pasa por el equilibrio con rapidez \(0{,}90\ \text{m/s}\) y su aceleración máxima es \(18\ \text{m/s}^2\). La masa es \(0{,}50\ \text{kg}\). Calcula pulsación, amplitud, periodo, constante elástica, energía y una ecuación si en \(t=0\) cruza el equilibrio en sentido positivo. Calcula además la velocidad al pasar por \(x=0{,}027\ \text{m}\) en sentido positivo.

Datos e incógnitas

\(v_{\max}=0{,}90\ \text{m/s}\), \(a_{\max}=18\ \text{m/s}^2\), \(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(x=0{,}027\ \text{m}\).

Modelo e idea clave

Las relaciones entre máximos permiten obtener \(\omega\) y \(A\) sin conocer previamente el muelle.

Ecuaciones

\[\omega=\dfrac{a_{\max}}{v_{\max}}\]
\[A=\dfrac{v_{\max}}{\omega}\]
\[k=m\omega^2\]
\[E=\dfrac12mv_{\max}^2\]
\[v=\omega\sqrt{A^2-x^2}\]

Cálculo paso a paso

\[\omega=\dfrac{18}{0{,}90}=20\ \text{rad/s}\]
\[A=\dfrac{0{,}90}{20}=0{,}045\ \text{m}\]
\[T=\dfrac{2\pi}{20}=0{,}314\ \text{s}\]
\[k=0{,}50\cdot20^2=200\ \text{N/m}\]
\[E=\dfrac12\cdot0{,}50\cdot0{,}90^2=0{,}2025\ \text{J}\]
\[x=0{,}045\sin(20t)\ \text{m}\]
\[v=20\sqrt{0{,}045^2-0{,}027^2}=0{,}720\ \text{m/s}\]
Resultado. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(A=0{,}045\ \text{m}\), \(T=0{,}314\ \text{s}\), \(k=200\ \text{N/m}\), \(E=0{,}2025\ \text{J}\), \(x=0{,}045\sin(20t)\) y \(v=+0{,}720\ \text{m/s}\) en el punto indicado.
Revisión. Se verifica \(A\omega=0{,}90\ \text{m/s}\) y \(A\omega^2=18\ \text{m/s}^2\). La velocidad calculada es menor que la máxima y su signo coincide con el sentido pedido.
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Errores frecuentes

Confundir amplitud y elongación

La amplitud es constante para un MAS ideal. La elongación cambia con el tiempo y puede ser positiva, negativa o cero.

Usar grados dentro del coseno temporal

La fase se trabaja normalmente en radianes. La pulsación en rad/s exige que \(\omega t+\varphi_0\) esté en radianes.

Elegir la fase solo con la posición

Una misma posición se alcanza dos veces por periodo. El signo de la velocidad distingue en qué tramo está el móvil.

Poner \(a=-a_{\max}\) siempre

El signo de la aceleración depende de \(x\). La relación completa es \(a=-\omega^2x\).

Sumar el peso en la ecuación del muelle vertical

Si la coordenada se mide desde el equilibrio, el peso ya ha quedado compensado por el alargamiento estático.

Aplicar el péndulo simple a cualquier ángulo

La fórmula \(T=2\pi\sqrt{L/g}\) es una aproximación de pequeña amplitud.

10 ejercicios propuestos

  1. Un MAS tiene \(A=0{,}075\ \text{m}\) y \(T=0{,}60\ \text{s}\). Parte de \(+A\). Escribe \(x(t)\), \(v(t)\) y \(a(t)\).
  2. La ecuación es \(x=0{,}040\sin(12t-\pi/6)\). Calcula posición y velocidad iniciales.
  3. Un oscilador tiene \(v_{\max}=1{,}50\ \text{m/s}\) y \(a_{\max}=30\ \text{m/s}^2\). Halla \(A\), \(\omega\) y \(T\).
  4. Una masa de \(0{,}35\ \text{kg}\) oscila en un muelle de \(140\ \text{N/m}\) con amplitud \(5{,}0\ \text{cm}\). Calcula periodo y energía.
  5. En un MAS de amplitud \(8{,}0\ \text{cm}\), ¿en qué posiciones la energía cinética es igual a tres veces la potencial?
  6. Un muelle vertical de \(80\ \text{N/m}\) sostiene una masa de \(0{,}40\ \text{kg}\). Calcula alargamiento de equilibrio y periodo.
  7. Un péndulo de \(0{,}64\ \text{m}\) oscila en la Tierra. Calcula periodo y número de oscilaciones en un minuto.
  8. Una partícula está en \(x=0{,}030\ \text{m}\), con \(A=0{,}050\ \text{m}\) y \(\omega=10\ \text{rad/s}\). Calcula los dos valores posibles de la velocidad.
  9. Un sistema parte del equilibrio en sentido negativo con \(A=0{,}060\ \text{m}\) y \(f=2{,}5\ \text{Hz}\). Escribe una ecuación y calcula el primer instante en que llega a \(-A\).
  10. Dos péndulos tienen periodos \(1{,}20\) y \(1{,}80\ \text{s}\) en el mismo lugar. Calcula la razón de sus longitudes.

Resultados de los ejercicios propuestos

  1. \(\omega=10{,}47\ \text{rad/s}\), \(x=0{,}075\cos(10{,}47t)\), \(v=-0{,}785\sin(10{,}47t)\), \(a=-8{,}22\cos(10{,}47t)\), en SI.
  2. \(x_0=-0{,}020\ \text{m}\), \(v_0=0{,}416\ \text{m/s}\).
  3. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(A=0{,}075\ \text{m}\), \(T=0{,}314\ \text{s}\).
  4. \(T=0{,}314\ \text{s}\), \(E=0{,}175\ \text{J}\).
  5. \(x=\pm A/2=\pm0{,}040\ \text{m}\).
  6. \(\Delta l=0{,}0491\ \text{m}\), \(T=0{,}444\ \text{s}\).
  7. \(T=1{,}605\ \text{s}\), aproximadamente \(37{,}4\) oscilaciones en un minuto.
  8. \(v=\pm0{,}400\ \text{m/s}\).
  9. \(x=-0{,}060\sin(5\pi t)\), primer extremo negativo en \(t=0{,}10\ \text{s}\).
  10. \(L_2/L_1=(T_2/T_1)^2=2{,}25\).

Simulacro final

Cuestión 1

Una partícula cumple \(x=0{,}060\cos(8t-\pi/4)\). Determina periodo, posición y velocidad iniciales, aceleración en \(t=0\) y primer paso por el equilibrio.

Cuestión 2

Una masa de \(0{,}50\ \text{kg}\) unida a un muelle oscila con amplitud \(0{,}080\ \text{m}\) y energía \(0{,}32\ \text{J}\). Calcula \(k\), \(\omega\), periodo y rapidez en \(x=0{,}040\ \text{m}\).

Cuestión 3

Un muelle vertical se alarga \(6{,}0\ \text{cm}\) al colgar una masa. Se desplaza otros \(3{,}0\ \text{cm}\) y se suelta. Expresa el periodo en función de \(g\) y del alargamiento estático y escribe la ecuación medida desde el equilibrio.

Cuestión 4

Un péndulo de longitud desconocida realiza \(40\) oscilaciones en \(72\ \text{s}\). Calcula la longitud y explica si el periodo cambiaría al duplicar la masa.

En una corrección tipo PAU se valora identificar el modelo, escribir las ecuaciones antes de sustituir, utilizar unidades SI, conservar los signos y justificar la interpretación física final.

Diagnóstico final

Nivel básico consolidado

Calculas \(T\), \(f\), \(\omega\), \(v_{\max}\) y \(a_{\max}\), e interpretas extremos y equilibrio.

Nivel medio consolidado

Determinas fases, resuelves condiciones iniciales y utilizas correctamente la relación entre velocidad y posición.

Nivel alto consolidado

Resuelves problemas de energía, muelle vertical y péndulo, y explicas las aproximaciones utilizadas.

Nivel examen

Combinas ecuación, dinámica y energía, revisas signos y unidades y justificas cada resultado sin depender de una fórmula aislada.

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Preguntas frecuentes

¿Todo movimiento periódico es armónico simple?

No. Para que sea MAS debe cumplirse que la aceleración sea proporcional a la elongación y de sentido contrario, \(a=-\omega^2x\).

¿La velocidad máxima aparece en los extremos?

No. En los extremos la velocidad es cero. La rapidez máxima aparece al pasar por el equilibrio.

¿El periodo de un muelle depende de la amplitud?

En el modelo ideal de Hooke, no. Depende de la masa y de la constante elástica. A amplitudes muy grandes un muelle real puede dejar de comportarse linealmente.

¿El periodo de un péndulo depende de la masa?

No. En la aproximación de pequeña amplitud depende de la longitud y de la gravedad.

¿Cuándo conviene usar energía?

Cuando se relacionan amplitud, posición y rapidez sin pedir el instante. La energía evita determinar la fase y suele reducir el número de pasos.

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