Movimiento armónico simple de 2.º de Bachillerato

Vamos con ello. Una partícula oscila con amplitud de \(8{,}0\ \text{cm}\), periodo de \(0{,}50\ \text{s}\) y parte del extremo positivo. Escribe la ecuación y calcula su posición al cabo de \(0{,}125\ \text{s}\).

Lo que sabemos. \(A=0{,}080\ \text{m}\), \(T=0{,}50\ \text{s}\), \(x(0)=A\). Se pide \(\omega\), \(x(t)\) y \(x(0{,}125)\).

Cómo lo voy a plantear. Al comenzar en el extremo positivo con velocidad nula se usa una función coseno sin fase inicial.

Hacemos la cuenta

Aquí no hace falta introducir una fase por costumbre. Si el móvil parte de +A y está en reposo, el coseno ya cuenta exactamente esa historia.

La pregunta. Dada la ecuación \(x=0{,}060\cos(5\pi t+\pi/3)\), identifica amplitud, pulsación, periodo, frecuencia y fase inicial.

Lectura del enunciado. Ecuación en unidades SI. Se piden \(A\), \(\omega\), \(T\), \(f\) y \(\varphi_0\).

La decisión. Se compara directamente con \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).

Sustitución

Así queda. \(A=6{,}0\ \text{cm}\), \(\omega=5\pi\ \text{rad/s}\), \(T=0{,}40\ \text{s}\), \(f=2{,}5\ \text{Hz}\) y \(\varphi_0=\pi/3\).

Situación. Un cuerpo realiza \(30\) oscilaciones completas en \(12\ \text{s}\). Calcula frecuencia, periodo y pulsación.

Datos ya en SI. \(N=30\), \(\Delta t=12\ \text{s}\). Se piden \(f\), \(T\) y \(\omega\).

Qué modelo encaja. La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo.

Cálculo

Conclusión. \(f=2{,}5\ \text{Hz}\), \(T=0{,}40\ \text{s}\) y \(\omega=15{,}71\ \text{rad/s}\).

Enunciado. Un oscilador tiene amplitud \(0{,}12\ \text{m}\) y frecuencia \(3{,}0\ \text{Hz}\). Calcula la velocidad máxima y la aceleración máxima.

Punto de partida. \(A=0{,}12\ \text{m}\), \(f=3{,}0\ \text{Hz}\). Se piden \(v_{\max}\) y \(a_{\max}\).

Idea física. Los máximos de velocidad y aceleración dependen de la amplitud y de la pulsación.

Desarrollo

Valor pedido. \(v_{\max}=2{,}26\ \text{m/s}\) y \(a_{\max}=42{,}64\ \text{m/s}^2\).

Vamos con ello. El movimiento viene dado por \(x=0{,}050\sin(2\pi t/0{,}80)\). Calcula posición y velocidad en \(t=0{,}10\ \text{s}\).

Información útil. \(A=0{,}050\ \text{m}\), \(T=0{,}80\ \text{s}\), \(t=0{,}10\ \text{s}\).

Camino corto. Se deriva la posición para obtener la velocidad. La fase en ese instante es \(\pi/4\).

Operaciones

Si has elegido seno, deriva seno. Cambiar a coseno a mitad del ejercicio suele ser la manera más rápida de perder un signo.

Resultado físico. \(x=3{,}54\ \text{cm}\) y \(v=0{,}278\ \text{m/s}\), en sentido positivo.

La pregunta. Un oscilador de amplitud \(6{,}0\ \text{cm}\) alcanza una velocidad máxima de \(1{,}20\ \text{m/s}\). Calcula pulsación, periodo y frecuencia.

Situamos el problema. \(A=0{,}060\ \text{m}\), \(v_{\max}=1{,}20\ \text{m/s}\).

Por qué esta relación. En el equilibrio la rapidez es máxima y vale \(A\omega\).

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(T=0{,}314\ \text{s}\) y \(f=3{,}18\ \text{Hz}\).

Situación. La amplitud de un MAS es \(0{,}080\ \text{m}\) y su aceleración máxima vale \(32\ \text{m/s}^2\). Calcula pulsación, frecuencia y velocidad máxima.

Lo que sabemos. \(A=0{,}080\ \text{m}\), \(a_{\max}=32\ \text{m/s}^2\).

Cómo lo voy a plantear. En los extremos \(|a|\) es máximo y vale \(A\omega^2\).

Hacemos la cuenta

Respuesta. \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(f=3{,}18\ \text{Hz}\) y \(v_{\max}=1{,}60\ \text{m/s}\).

Enunciado. Un móvil cumple \(x=A\cos\theta\). En cierto instante está en \(x=A/2\) y se mueve en sentido positivo. Determina una fase posible, la velocidad y la aceleración.

Lectura del enunciado. \(x=A/2\), \(v>0\). Se piden \(\theta\), \(v\) y \(a\) en función de \(A\) y \(\omega\).

La decisión. El signo de la velocidad selecciona el cuadrante correcto. Como \(v=-A\omega\sin\theta\), para que \(v>0\) debe cumplirse \(\sin\theta<0\).

Sustitución

En una misma posición hay dos movimientos posibles. La rapidez coincide; el signo de la velocidad depende de si el móvil va o vuelve.

Vamos con ello. Un oscilador tiene periodo \(1{,}20\ \text{s}\). Parte del extremo positivo. ¿Cuánto tarda por primera vez en llegar al equilibrio?

Datos ya en SI. \(T=1{,}20\ \text{s}\). Se pide el primer tiempo hasta \(x=0\).

Qué modelo encaja. Del extremo al equilibrio se recorre un cuarto de oscilación.

Cálculo

Conclusión. Tarda \(0{,}300\ \text{s}\).

La pregunta. Una partícula de amplitud \(6{,}0\ \text{cm}\) parte de \(+A\). Calcula la distancia total recorrida durante \(1{,}75\) periodos.

Punto de partida. \(A=0{,}060\ \text{m}\), tiempo \(1{,}75T\). Se pide distancia, no desplazamiento.

Idea física. En un periodo completo recorre \(4A\). En tres cuartos de periodo adicionales recorre \(3A\).

Desarrollo

Valor pedido. La distancia total es \(0{,}420\ \text{m}\).

Situación. La elongación es \(x=0{,}10\cos(4t-\pi/6)\ \text{m}\). Calcula \(x\), \(v\) y \(a\) en \(t=0{,}50\ \text{s}\).

Información útil. \(A=0{,}10\ \text{m}\), \(\omega=4\ \text{rad/s}\), \(\varphi_0=-\pi/6\), \(t=0{,}50\ \text{s}\).

Camino corto

Se evalúan la función y sus dos primeras derivadas en la misma fase.

Operaciones

Resultado físico. \(x=9{,}43\ \text{mm}\), \(v=-0{,}398\ \text{m/s}\) y \(a=-0{,}151\ \text{m/s}^2\).

Enunciado. Un móvil parte de \(+A\) y tiene periodo \(2{,}0\ \text{s}\). Determina los instantes del primer periodo en los que pasa por el equilibrio.

Situamos el problema. \(x=A\cos(\omega t)\), \(T=2{,}0\ \text{s}\), \(0\le t<T\).

Por qué esta relación

El coseno se anula en las fases \(\pi/2\) y \(3\pi/2\).

Cuenta ordenada

No memorices una lista de tiempos. Busca primero qué fases hacen cero al coseno y después selecciona las que caen dentro del intervalo pedido.

Lo que entregaría. Pasa por el equilibrio en \(t=0{,}50\ \text{s}\) y \(t=1{,}50\ \text{s}\).

Vamos con ello. La ecuación es \(x=0{,}040\sin(10t)\ \text{m}\). Calcula el primer instante en que \(x=0{,}020\ \text{m}\) y el móvil se mueve en sentido positivo.

Lo que sabemos. \(A=0{,}040\ \text{m}\), \(\omega=10\ \text{rad/s}\), \(x=A/2\), \(v>0\).

Cómo lo voy a plantear

En el primer cuadrante seno y coseno son positivos, por lo que la velocidad también lo es.

Hacemos la cuenta

Respuesta. El primer instante es \(t=0{,}0524\ \text{s}\).

La pregunta. Determina el desfase entre las magnitudes \(x\), \(v\) y \(a\) en un MAS.

Lectura del enunciado. Se parte de \(x=A\cos\theta\). Se pide comparar las fases de \(v\) y \(a\).

La decisión

Derivar una función sinusoidal desplaza su fase un cuarto de ciclo. Además, \(a=-\omega^2x\).

Sustitución

Así queda. Posición y velocidad están desfasadas un cuarto de periodo. Posición y aceleración están en oposición de fase.

Situación. En cierto instante un móvil tiene \(x=0{,}030\ \text{m}\), \(v=0{,}240\ \text{m/s}\) y amplitud \(A=0{,}050\ \text{m}\). Calcula la pulsación y la aceleración.

Datos ya en SI. \(x=0{,}030\ \text{m}\), \(v=0{,}240\ \text{m/s}\), \(A=0{,}050\ \text{m}\).

Qué modelo encaja

La relación sin tiempo \(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\) permite hallar \(\omega\) directamente.

Cálculo

Esta relación elimina el tiempo. Es la opción limpia cuando el enunciado da posición y rapidez, pero no pregunta en qué instante ocurre.

Enunciado. En un instante \(x=0{,}050\ \text{m}\) y \(a=-2{,}0\ \text{m/s}^2\). La amplitud es \(0{,}080\ \text{m}\). Calcula la pulsación y el módulo de la velocidad.

Punto de partida. \(x=0{,}050\ \text{m}\), \(a=-2{,}0\ \text{m/s}^2\), \(A=0{,}080\ \text{m}\).

Idea física

Primero se usa \(a=-\omega^2x\). Después se aplica la relación entre velocidad y posición.

Desarrollo

Valor pedido. \(\omega=6{,}32\ \text{rad/s}\) y \(|v|=0{,}395\ \text{m/s}\).

Vamos con ello. Un móvil parte de \(+A\). Calcula su velocidad media durante el primer sexto de periodo si \(A=0{,}12\ \text{m}\) y \(T=1{,}20\ \text{s}\).

Información útil. \(x(0)=A\), \(A=0{,}12\ \text{m}\), \(T=1{,}20\ \text{s}\), \(\Delta t=T/6\).

Camino corto

La velocidad media depende del desplazamiento, no de la distancia recorrida.

Operaciones

Resultado físico. La velocidad media es \(-0{,}300\ \text{m/s}\).

La pregunta. Una partícula parte de un extremo, tiene amplitud \(0{,}10\ \text{m}\) y periodo \(1{,}0\ \text{s}\). Calcula su rapidez media durante el primer medio periodo.

Situamos el problema. \(A=0{,}10\ \text{m}\), \(T=1{,}0\ \text{s}\), intervalo \(T/2\).

Por qué esta relación

Durante medio periodo va de un extremo al opuesto y recorre una distancia \(2A\).

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. La rapidez media es \(0{,}40\ \text{m/s}\).

Situación. Un oscilador de frecuencia \(2{,}0\ \text{Hz}\) parte de un extremo. ¿Cuántas veces atraviesa el equilibrio en \(5{,}0\ \text{s}\)?

Lo que sabemos. \(f=2{,}0\ \text{Hz}\), \(t=5{,}0\ \text{s}\).

Cómo lo voy a plantear

Cada oscilación completa contiene dos pasos por el equilibrio.

Hacemos la cuenta

Respuesta. Atraviesa el equilibrio \(20\) veces.

Enunciado. Un MAS tiene fase inicial \(\pi/4\), frecuencia \(4{,}0\ \text{Hz}\) y amplitud \(A\). Calcula la fase reducida y la elongación en \(t=0{,}30\ \text{s}\), usando coseno.

Lectura del enunciado. \(\varphi_0=\pi/4\), \(f=4{,}0\ \text{Hz}\), \(t=0{,}30\ \text{s}\).

La decisión

Las fases que difieren en múltiplos de \(2\pi\) representan el mismo estado.

Sustitución

Así queda. La fase reducida es \(13\pi/20\) y la elongación vale aproximadamente \(-0{,}454A\).

Vamos con ello. Una masa de \(0{,}50\ \text{kg}\) está unida a un muelle de constante \(200\ \text{N/m}\). Calcula pulsación, periodo y frecuencia.

Datos ya en SI. \(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(k=200\ \text{N/m}\).

Qué modelo encaja

El sistema ideal masa-muelle realiza MAS alrededor de su posición de equilibrio.

Cálculo

Antes de sustituir, mira la razón k/m: sus unidades son s⁻². Esa comprobación detecta enseguida si masa o constante han quedado mal convertidas.

Último vistazo. La unidad \(k/m\) es \(\text{s}^{-2}\), por lo que su raíz tiene unidad \(\text{s}^{-1}\).

La pregunta. Una masa de \(0{,}30\ \text{kg}\) oscila con periodo \(0{,}60\ \text{s}\). Calcula la constante elástica.

Punto de partida. \(m=0{,}30\ \text{kg}\), \(T=0{,}60\ \text{s}\). Se pide \(k\).

Idea física

Se despeja \(k\) de la expresión del periodo del sistema masa-muelle.

Desarrollo

Valor pedido. La constante elástica es \(k=32{,}9\ \text{N/m}\).

Situación. Un muelle de constante \(80\ \text{N/m}\) oscila con frecuencia \(2{,}0\ \text{Hz}\). Calcula la masa unida al muelle.

Información útil. \(k=80\ \text{N/m}\), \(f=2{,}0\ \text{Hz}\).

Camino corto

La pulsación se obtiene de la frecuencia y se iguala a \(\sqrt{k/m}\).

Operaciones

Resultado físico. La masa es \(m=0{,}507\ \text{kg}\).

Enunciado. Una masa de \(0{,}40\ \text{kg}\) está unida a un muelle de constante \(100\ \text{N/m}\). Calcula fuerza recuperadora y aceleración cuando \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Situamos el problema. \(m=0{,}40\ \text{kg}\), \(k=100\ \text{N/m}\), \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Por qué esta relación

La fuerza de Hooke se opone a la elongación. Después se aplica la segunda ley de Newton.

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. \(F=-3{,}0\ \text{N}\) y \(a=-7{,}5\ \text{m/s}^2\).

Vamos con ello. Un muelle de constante \(150\ \text{N/m}\) oscila con amplitud \(6{,}0\ \text{cm}\). Calcula el módulo máximo de la fuerza recuperadora.

Lo que sabemos. \(k=150\ \text{N/m}\), \(A=0{,}060\ \text{m}\).

Cómo lo voy a plantear

La fuerza tiene módulo máximo en los extremos, donde \(|x|=A\).

Hacemos la cuenta

Respuesta. El módulo máximo de la fuerza es \(9{,}0\ \text{N}\).

La pregunta. Una masa de \(0{,}75\ \text{kg}\) unida a un muelle de \(48\ \text{N/m}\) se comprime \(12\ \text{cm}\) y se suelta desde el reposo. Escribe la ecuación tomando positiva la compresión inicial y calcula la velocidad máxima.

Lectura del enunciado. \(m=0{,}75\ \text{kg}\), \(k=48\ \text{N/m}\), \(A=0{,}12\ \text{m}\), \(x(0)=A\), \(v(0)=0\).

La decisión

Al soltarse desde un extremo conviene usar coseno con fase cero.

Sustitución

Así queda. \(x=0{,}12\cos(8t)\ \text{m}\) y \(v_{\max}=0{,}96\ \text{m/s}\).

Situación. Una masa de \(0{,}25\ \text{kg}\) está unida a un muelle de \(25\ \text{N/m}\). En \(t=0\) pasa por el equilibrio con velocidad \(+0{,}60\ \text{m/s}\). Escribe la ecuación del movimiento.

Datos ya en SI. \(m=0{,}25\ \text{kg}\), \(k=25\ \text{N/m}\), \(x_0=0\), \(v_0=+0{,}60\ \text{m/s}\).

Qué modelo encaja

Al pasar por el equilibrio en sentido positivo resulta natural usar \(x=A\sin(\omega t)\).

Cálculo

Cruzar el equilibrio en sentido positivo es casi una invitación a usar seno. Elegir bien la función ahorra una fase que no aporta nada.

Conclusión. La ecuación es \(x=0{,}060\sin(10t)\ \text{m}\).

Último vistazo. En \(t=0\), \(x=0\) y \(v=A\omega=+0{,}60\ \text{m/s}\).

Enunciado. Una masa de \(0{,}20\ \text{kg}\) unida a un muelle de \(50\ \text{N/m}\) se encuentra en \(x=+4{,}0\ \text{cm}\) con velocidad nula en \(t=0\). Escribe la ecuación.

Punto de partida. \(m=0{,}20\ \text{kg}\), \(k=50\ \text{N/m}\), \(A=0{,}040\ \text{m}\).

Idea física

La condición \(x_0=A\), \(v_0=0\) fija una ecuación coseno sin fase.

Desarrollo

Valor pedido. \(x=0{,}040\cos(15{,}81t)\ \text{m}\).

Vamos con ello. Un sistema masa-muelle tiene \(m=0{,}50\ \text{kg}\) y \(k=50\ \text{N/m}\). En \(t=0\), \(x_0=0{,}030\ \text{m}\) y \(v_0=-0{,}40\ \text{m/s}\). Escribe \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).

Información útil. \(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(k=50\ \text{N/m}\), \(x_0=0{,}030\ \text{m}\), \(v_0=-0{,}40\ \text{m/s}\).

Camino corto

Las condiciones iniciales determinan amplitud y fase. Se usan \(x_0=A\cos\varphi_0\) y \(v_0=-A\omega\sin\varphi_0\).

Operaciones

La posición por sí sola no fija el cuadrante. El signo de v es el dato que decide entre las dos fases compatibles con el mismo coseno.

La pregunta. Una masa \(m\) oscila con periodo \(0{,}40\ \text{s}\). Se sustituye por otra masa \(4m\) sin cambiar el muelle. Calcula el nuevo periodo.

Situamos el problema. \(T_1=0{,}40\ \text{s}\), \(m_2=4m_1\), mismo \(k\).

Por qué esta relación

El periodo del muelle es proporcional a la raíz cuadrada de la masa.

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. El nuevo periodo es \(0{,}80\ \text{s}\).

Situación. Una masa de \(0{,}50\ \text{kg}\) realiza MAS con \(\omega=12\ \text{rad/s}\) y amplitud \(0{,}040\ \text{m}\). Calcula la energía mecánica.

Lo que sabemos. \(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(\omega=12\ \text{rad/s}\), \(A=0{,}040\ \text{m}\).

Cómo lo voy a plantear

La energía total permanece constante y puede expresarse con \(m\), \(\omega\) y \(A\).

Hacemos la cuenta

Respuesta. La energía mecánica es \(5{,}76\cdot10^{-2}\ \text{J}\).

Enunciado. Un bloque de \(0{,}50\ \text{kg}\) oscila unido a un muelle de \(200\ \text{N/m}\) con amplitud \(0{,}050\ \text{m}\). Calcula \(U\), \(K\) y la rapidez cuando \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Lectura del enunciado. \(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(k=200\ \text{N/m}\), \(A=0{,}050\ \text{m}\), \(x=0{,}030\ \text{m}\).

La decisión

La energía total se fija por la amplitud. La diferencia entre total y potencial es cinética.

Sustitución

Así queda. \(U=0{,}090\ \text{J}\), \(K=0{,}160\ \text{J}\) y \(|v|=0{,}800\ \text{m/s}\).

Tiene sentido porque… Se cumple \(U+K=0{,}250\ \text{J}=E\). El signo de la velocidad no puede conocerse solo con la posición.

Vamos con ello. ¿En qué posiciones de un MAS son iguales la energía cinética y la potencial elástica?

Datos ya en SI. Amplitud \(A\). Se pide \(x\) cuando \(K=U\).

Qué modelo encaja

Si \(K=U\), cada una representa la mitad de la energía total.

Cálculo

Cuando las dos energías son iguales, cada una vale la mitad del total. Desde ahí sale la posición sin necesidad de hallar el tiempo.

La pregunta. Un oscilador tiene velocidad máxima \(1{,}50\ \text{m/s}\). Calcula su rapidez cuando \(|x|=0{,}75A\).

Punto de partida. \(v_{\max}=1{,}50\ \text{m/s}\), \(|x|/A=0{,}75\).

Idea física

Se usa la relación entre rapidez y posición, dividiéndola por \(v_{\max}=A\omega\).

Desarrollo

Valor pedido. La rapidez es \(0{,}992\ \text{m/s}\).

Situación. Determina las posiciones en las que \(K=3U\).

Información útil. Amplitud \(A\). Se pide \(x\).

Camino corto

Como \(E=K+U\), la condición implica \(E=4U\).

Operaciones

Resultado físico. \(K=3U\) en \(x=\pm A/2\).

Control. En esas posiciones \(U=E/4\) y \(K=3E/4\), por lo que la condición se cumple.

Enunciado. En el mismo sistema masa-muelle se duplica la amplitud. ¿Cómo cambian energía total, velocidad máxima y aceleración máxima?

Situamos el problema. Mismo \(m\), mismo \(k\) y por tanto misma \(\omega\). \(A_2=2A_1\).

Por qué esta relación

Se comparan las dependencias de cada magnitud con la amplitud.

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. La energía se cuadruplica. La velocidad máxima y la aceleración máxima se duplican.

Vamos con ello. Un oscilador unido a un muelle de \(300\ \text{N/m}\) alcanza una fuerza recuperadora máxima de \(12\ \text{N}\). Calcula la amplitud y la energía total.

Lo que sabemos. \(k=300\ \text{N/m}\), \(F_{\max}=12\ \text{N}\).

Cómo lo voy a plantear

En el extremo \(F_{\max}=kA\) y toda la energía es potencial elástica.

Hacemos la cuenta

Respuesta. \(A=4{,}0\ \text{cm}\) y \(E=0{,}240\ \text{J}\).

La pregunta. Una masa de \(0{,}20\ \text{kg}\) oscila con frecuencia \(2{,}0\ \text{Hz}\) y energía mecánica \(0{,}18\ \text{J}\). Calcula amplitud y velocidad máxima.

Lectura del enunciado. \(m=0{,}20\ \text{kg}\), \(f=2{,}0\ \text{Hz}\), \(E=0{,}18\ \text{J}\).

La decisión

Se expresa la energía como \(E=\frac12m\omega^2A^2\).

Sustitución

Conviene expresar k como mω² antes de operar. Así conectas energía y frecuencia sin introducir una constante intermedia que no te piden.

Situación. Calcula el periodo y la frecuencia de un péndulo de longitud \(1{,}00\ \text{m}\) para oscilaciones pequeñas. Usa \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Datos ya en SI. \(L=1{,}00\ \text{m}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Qué modelo encaja

Para ángulos pequeños el péndulo se aproxima a un MAS angular.

Cálculo

Conclusión. \(T=2{,}01\ \text{s}\) y \(f=0{,}498\ \text{Hz}\).

Enunciado. Un péndulo simple tiene periodo \(1{,}50\ \text{s}\). Calcula su longitud con \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Punto de partida. \(T=1{,}50\ \text{s}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Idea física

Se despeja la longitud de la fórmula del periodo.

Desarrollo

Valor pedido. La longitud es \(0{,}559\ \text{m}\), aproximadamente \(55{,}9\ \text{cm}\).

Vamos con ello. Dos péndulos oscilan en el mismo lugar. El segundo tiene una longitud nueve veces mayor que el primero. Compara sus periodos.

Información útil. \(L_2=9L_1\), mismo \(g\).

Camino corto

El periodo es proporcional a \(\sqrt L\).

Operaciones

Resultado físico. El segundo péndulo tiene un periodo tres veces mayor.

La pregunta. Un péndulo mantiene la misma longitud al pasar de la Tierra, \(g_T=9{,}81\ \text{m/s}^2\), a la Luna, \(g_L=1{,}62\ \text{m/s}^2\). Calcula la razón entre sus periodos.

Situamos el problema. Misma \(L\), \(g_T=9{,}81\), \(g_L=1{,}62\ \text{m/s}^2\).

Por qué esta relación

Con longitud fija, el periodo es inversamente proporcional a \(\sqrt g\).

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. En la Luna el periodo es \(2{,}46\) veces el terrestre.

Situación. Un péndulo de \(0{,}80\ \text{m}\) oscila con amplitud angular de \(5{,}0^\circ\). Calcula la amplitud lineal aproximada y la velocidad máxima. Usa \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

Lo que sabemos. \(L=0{,}80\ \text{m}\), \(\theta_0=5{,}0^\circ\), oscilación pequeña.

Cómo lo voy a plantear

Para ángulos pequeños \(s\approx L\theta\), con \(\theta\) en radianes. La coordenada de arco realiza aproximadamente MAS.

Hacemos la cuenta

Respuesta. \(A\approx6{,}98\ \text{cm}\) y \(v_{\max}\approx0{,}244\ \text{m/s}\).

Lectura física. El ángulo de \(5^\circ\) es suficientemente pequeño para que la aproximación sea muy buena.

Enunciado. Un péndulo de \(1{,}00\ \text{m}\) oscila con amplitud angular de \(30^\circ\). Estima el periodo con la fórmula de ángulo pequeño y con la primera corrección \(T\approx T_0(1+\theta_0^2/16)\).

Lectura del enunciado. \(L=1{,}00\ \text{m}\), \(\theta_0=30^\circ=0{,}5236\ \text{rad}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\).

La decisión

A \(30^\circ\), el movimiento ya no es exactamente armónico. La corrección permite medir el error de la fórmula elemental.

Sustitución

El modelo no falla de repente al superar un ángulo concreto; pierde precisión de forma gradual. Por eso hay que declarar la aproximación.

Vamos con ello. Una masa de \(0{,}20\ \text{kg}\) cuelga de un muelle vertical de \(50\ \text{N/m}\). Calcula el alargamiento de equilibrio y el periodo de pequeñas oscilaciones. Después se baja \(3{,}0\ \text{cm}\) desde el equilibrio y se suelta. Escribe la ecuación tomando positivo hacia abajo.

Datos ya en SI. \(m=0{,}20\ \text{kg}\), \(k=50\ \text{N/m}\), \(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\), \(A=0{,}030\ \text{m}\).

Qué modelo encaja

El peso desplaza la posición de equilibrio, pero no cambia la pulsación de las oscilaciones alrededor de ella.

Cálculo

El peso fija dónde está el equilibrio, pero no aparece en la ecuación si medimos y desde ese punto. Mezclar ambos orígenes duplica el efecto de mg.

La pregunta. Un muelle vertical se alarga \(4{,}0\ \text{cm}\) en equilibrio. La masa oscila con amplitud \(2{,}0\ \text{cm}\). Determina los alargamientos máximo y mínimo respecto a la longitud natural.

Punto de partida. \(\Delta l_{eq}=4{,}0\ \text{cm}\), \(A=2{,}0\ \text{cm}\).

Idea física

La oscilación se produce alrededor del equilibrio. Se suman o restan la amplitud y el alargamiento estático.

Desarrollo

Valor pedido. Los alargamientos extremos son \(6{,}0\ \text{cm}\) y \(2{,}0\ \text{cm}\).

Situación. Una gráfica muestra una amplitud de \(5{,}0\ \text{cm}\), máximos separados \(0{,}80\ \text{s}\) y paso por el equilibrio en \(t=0\) con pendiente positiva. Escribe la ecuación y calcula la velocidad inicial.

Información útil. \(A=0{,}050\ \text{m}\), \(T=0{,}80\ \text{s}\), \(x_0=0\), \(v_0>0\).

Camino corto

El paso ascendente por el equilibrio se representa con una función seno sin fase.

Operaciones

Enunciado. Una oscilación tiene amplitud \(0{,}070\ \text{m}\). La gráfica presenta un máximo en \(t=0{,}20\ \text{s}\) y el siguiente en \(t=1{,}00\ \text{s}\). Escribe una ecuación coseno.

Situamos el problema. \(A=0{,}070\ \text{m}\), máximos en \(0{,}20\) y \(1{,}00\ \text{s}\).

Por qué esta relación

La separación entre máximos consecutivos es el periodo. Un coseno alcanza su máximo cuando el argumento es cero.

Cuenta ordenada

Lo que entregaría. Una ecuación válida es \(x=0{,}070\cos[2{,}5\pi(t-0{,}20)]\ \text{m}\).

Vamos con ello. Un sistema tiene frecuencia natural \(3{,}5\ \text{Hz}\). Se fuerza sucesivamente a \(2{,}0\), \(3{,}4\) y \(5{,}0\ \text{Hz}\). ¿Con cuál se espera mayor amplitud estacionaria si el amortiguamiento es pequeño?

Lo que sabemos. \(f_0=3{,}5\ \text{Hz}\). Frecuencias externas \(2{,}0\), \(3{,}4\) y \(5{,}0\ \text{Hz}\).

Cómo lo voy a plantear

La resonancia aparece cuando la frecuencia externa está próxima a la frecuencia natural.

Hacemos la cuenta

Respuesta. La mayor amplitud se espera con \(f_{\text{ext}}=3{,}4\ \text{Hz}\).

La pregunta. Un punto gira en una circunferencia de radio \(0{,}070\ \text{m}\) con velocidad angular \(6{,}0\ \text{rad/s}\). Calcula las magnitudes del MAS que describe su proyección sobre un diámetro.

Lectura del enunciado. \(R=0{,}070\ \text{m}\), \(\omega=6{,}0\ \text{rad/s}\).

La decisión

La proyección de un MCU sobre un diámetro es un MAS con amplitud igual al radio y la misma pulsación.

Sustitución

La proyección ayuda a entender la fase; no convierte al cuerpo oscilante en una partícula que realmente gira en una circunferencia.

Situación. Una masa de \(0{,}30\ \text{kg}\) realiza el movimiento \(x=0{,}080\cos(5t+\pi/3)\ \text{m}\). Calcula posición, velocidad y aceleración iniciales, constante del muelle y energía mecánica.

Datos ya en SI

\(m=0{,}30\ \text{kg}\), \(A=0{,}080\ \text{m}\), \(\omega=5\ \text{rad/s}\), \(\varphi_0=\pi/3\).

Qué modelo encaja

La ecuación proporciona la cinemática. La relación \(k=m\omega^2\) conecta con la dinámica y la energía.

Cálculo

Enunciado. Una masa de \(0{,}40\ \text{kg}\) unida a un muelle oscila con periodo \(0{,}50\ \text{s}\) y amplitud \(0{,}060\ \text{m}\). Calcula \(k\), energía total y rapidez en \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Punto de partida

\(m=0{,}40\ \text{kg}\), \(T=0{,}50\ \text{s}\), \(A=0{,}060\ \text{m}\), \(x=0{,}030\ \text{m}\).

Idea física

Del periodo se obtiene \(\omega\), después \(k\). La rapidez se halla sin calcular el tiempo.

Desarrollo

Vamos con ello. Una masa de \(0{,}25\ \text{kg}\) alarga un muelle vertical \(5{,}0\ \text{cm}\) en equilibrio. Se baja otros \(4{,}0\ \text{cm}\) y se suelta. Usa \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\). Calcula \(k\), periodo, posición y velocidad a los \(0{,}10\ \text{s}\), tomando positivo hacia abajo desde el equilibrio.

Información útil

\(m=0{,}25\ \text{kg}\), \(\Delta l=0{,}050\ \text{m}\), \(A=0{,}040\ \text{m}\), \(t=0{,}10\ \text{s}\).

Camino corto

El alargamiento estático permite hallar \(k\). La oscilación posterior se describe alrededor del equilibrio.

Operaciones

La pregunta. Un MAS tiene \(\omega=8{,}0\ \text{rad/s}\). En \(t=0\), \(x_0=-0{,}030\ \text{m}\) y \(v_0=+0{,}40\ \text{m/s}\). Halla amplitud, fase en una ecuación coseno y el primer instante en que cruza el equilibrio moviéndose en sentido positivo.

Situamos el problema

\(\omega=8{,}0\ \text{rad/s}\), \(x_0=-0{,}030\ \text{m}\), \(v_0=+0{,}40\ \text{m/s}\).

Por qué esta relación

La amplitud se obtiene sin fase. Para el cruce positivo, en una función coseno la fase debe llegar a \(3\pi/2\).

Cuenta ordenada

Este es un buen ejercicio para hacer un pequeño croquis del círculo de fases. Evita escoger el cuadrante solo con la calculadora.

Situación. Un muelle de \(120\ \text{N/m}\) almacena una energía total de \(0{,}216\ \text{J}\). La masa es \(0{,}30\ \text{kg}\). Calcula amplitud y, en los puntos donde la energía potencial es la cuarta parte de la total, posición, fuerza, energía cinética y rapidez.

Lo que sabemos

\(k=120\ \text{N/m}\), \(E=0{,}216\ \text{J}\), \(m=0{,}30\ \text{kg}\), \(U=E/4\).

Cómo lo voy a plantear

La amplitud fija la energía total. Como \(U\propto x^2\), una cuarta parte de energía potencial corresponde a la mitad de la amplitud.

Hacemos la cuenta

Enunciado. En un planeta, un péndulo de \(0{,}90\ \text{m}\) tarda \(38{,}0\ \text{s}\) en realizar \(20\) oscilaciones pequeñas. Calcula la gravedad. Si la amplitud angular es \(4{,}0^\circ\), estima la velocidad máxima.

Lectura del enunciado

\(L=0{,}90\ \text{m}\), \(20T=38{,}0\ \text{s}\), \(\theta_0=4{,}0^\circ\).

La decisión

El periodo medido permite despejar \(g\). La amplitud lineal de arco es \(A\approx L\theta_0\).

Sustitución

Vamos con ello. Dos osciladores tienen la misma masa y la misma energía total. Sus pulsaciones son \(\omega_1=5\ \text{rad/s}\) y \(\omega_2=10\ \text{rad/s}\). Si \(A_1=0{,}080\ \text{m}\), calcula \(A_2\) y compara velocidades y aceleraciones máximas.

Datos ya en SI

Misma \(m\), misma \(E\), \(\omega_2=2\omega_1\), \(A_1=0{,}080\ \text{m}\).

Qué modelo encaja

Con energía y masa iguales, \(\omega^2A^2\) es constante. La velocidad máxima depende de \(\omega A\).

Cálculo

La pregunta. Un oscilador pasa por el equilibrio con rapidez \(0{,}90\ \text{m/s}\) y su aceleración máxima es \(18\ \text{m/s}^2\). La masa es \(0{,}50\ \text{kg}\). Calcula pulsación, amplitud, periodo, constante elástica, energía y una ecuación si en \(t=0\) cruza el equilibrio en sentido positivo. Calcula además la velocidad al pasar por \(x=0{,}027\ \text{m}\) en sentido positivo.

Punto de partida

\(v_{\max}=0{,}90\ \text{m/s}\), \(a_{\max}=18\ \text{m/s}^2\), \(m=0{,}50\ \text{kg}\), \(x=0{,}027\ \text{m}\).

Idea física

Las relaciones entre máximos permiten obtener \(\omega\) y \(A\) sin conocer previamente el muelle.

Desarrollo

En un problema largo, las dos magnitudes máximas son la puerta de entrada: primero ω y A; todo lo demás cae después por relaciones conocidas.