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Campo gravitatorio de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU
Física · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU
Antes de buscar una fórmula, hay que decidir desde dónde se mide la distancia y si el problema pide campo, energía u órbita. Este cuaderno acompaña ese razonamiento con 70 problemas resueltos, 35 dibujos, 8 propuestos y un simulacro final.
En gravitación, el error serio suele ocurrir antes de la calculadora: se usa la altura en lugar de la distancia al centro, se confunden campo y potencial o se lleva una fórmula de órbita a un movimiento radial.
El cuaderno comparativo de los tres campos sirve para reconocer el modelo cuando todavía hay dudas. Aquí la atención se queda en la gravitación y avanza, sin saltos, hasta Kepler, satélites, transferencias y velocidad de escape.
Los primeros problemas abren el razonamiento completo. Después se recortan pasos ya dominados y se da más espacio a lo que cambia de verdad: el signo de una energía, la condición orbital o la lectura de una gráfica.
Resumen del campo gravitatorio
Campo
Es una magnitud vectorial. Para una masa puntual, \(\vec g=-GM\vec r/r^3\). Apunta hacia la masa que lo crea.
Potencial
Es una magnitud escalar. Con cero en el infinito, \(V=-GM/r\). Para varias masas, se suman las contribuciones con su signo.
Energía
La energía potencial de una masa \(m\) es \(U=mV=-GMm/r\). El trabajo del campo cumple \(W_c=-\Delta U\).
Órbitas
En una órbita circular, \(v=\sqrt{GM/r}\), \(T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}\) y \(E=-GMm/(2r)\).
En todos los problemas exteriores, la distancia \(r\) se mide desde el centro del astro. Si el enunciado proporciona una altura \(h\), debe utilizarse \(r=R+h\).
Constantes y unidades
| Magnitud | Símbolo | Valor | Unidad |
|---|---|---|---|
| Constante de gravitación | \(G\) | \(6{,}674\cdot10^{-11}\) | \(\mathrm{N\,m^2/kg^2}\) |
| Masa terrestre | \(M_T\) | \(5{,}972\cdot10^{24}\) | kg |
| Radio terrestre | \(R_T\) | \(6{,}371\cdot10^6\) | m |
| Masa lunar | \(M_L\) | \(7{,}342\cdot10^{22}\) | kg |
| Radio lunar | \(R_L\) | \(1{,}7374\cdot10^6\) | m |
| Masa solar | \(M_S\) | \(1{,}9885\cdot10^{30}\) | kg |
| Unidad astronómica | UA | \(1{,}496\cdot10^{11}\) | m |
Antes de sustituir, pasa los kilómetros a metros y las horas o los días a segundos. En las ecuaciones orbitales, un error de unidades puede quedar elevado al cuadrado o al cubo y alterar por completo el resultado.
Ley de gravitación universal
Dos masas puntuales se atraen con fuerzas de igual módulo y sentidos opuestos. Para cuerpos esféricos con distribución simétrica, la masa puede considerarse concentrada en el centro cuando se estudian puntos exteriores.
La fuerza es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. No debe confundirse la masa, medida en kilogramos, con el peso, que es una fuerza medida en newtons.
Campo gravitatorio
La intensidad del campo en un punto es la fuerza por unidad de masa de prueba.
Las unidades \(\mathrm{N/kg}\) y \(\mathrm{m/s^2}\) son equivalentes. El signo menos de la expresión vectorial indica que el campo apunta hacia la masa.
En la superficie
\(g_0=GM/R^2\). Si se conocen \(g_0\) y \(R\), puede hallarse la masa del planeta.
A una altura h
\(g_h=GM/(R+h)^2\). La altura no puede sustituirse directamente como distancia al centro.
Principio de superposición
Cuando actúan varias masas, el campo total es la suma vectorial de los campos individuales. El potencial, en cambio, se suma de forma escalar.
En una línea conviene fijar un eje y asignar signos a los campos. En el plano, se calculan componentes. La simetría permite anticipar cancelaciones antes de realizar operaciones.
Potencial y energía potencial
El potencial es negativo cuando se toma cero en el infinito. Al alejar una masa, el potencial y la energía potencial aumentan, es decir, se hacen menos negativos.
El campo puede ser nulo en un punto por cancelación vectorial y, sin embargo, el potencial no ser cero. Es una distinción habitual en los exámenes.
Trabajo y conservación de la energía
El trabajo gravitatorio no depende del camino seguido. Cerca de la superficie, cuando la altura es muy pequeña frente al radio terrestre, \(\Delta U\approx mgh\). Para grandes alturas debe usarse la expresión exacta.
Órbitas circulares
En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona exactamente la aceleración centrípeta.
Al subir de órbita, la velocidad circular disminuye, pero la energía mecánica aumenta porque se hace menos negativa.
Leyes de Kepler y satélites
Si varios cuerpos orbitan la misma masa central, la tercera ley establece
Un satélite geoestacionario debe tener el periodo de rotación sidérea terrestre, moverse en una órbita circular ecuatorial y hacerlo en el mismo sentido que la rotación. Un satélite con el mismo periodo pero en otro plano es geosíncrono, no geoestacionario.
Velocidad de escape
La velocidad de escape mínima se obtiene imponiendo energía mecánica total nula.
No depende de la masa del objeto lanzado. En un mismo radio cumple \(v_e=\sqrt{2}\,v_{orb}\).
Cambios de órbita
Para comparar dos órbitas circulares basta con utilizar sus energías mecánicas.
Una transferencia real suele realizarse mediante impulsos que colocan al satélite en una órbita elíptica intermedia. La diferencia entre las energías de dos órbitas circulares no equivale, por sí sola, al combustible necesario para realizar una maniobra concreta.
Gráficas de campo, potencial y energía
| Magnitud | Expresión exterior | Signo | Comportamiento al aumentar r |
|---|---|---|---|
| Módulo del campo | \(g=GM/r^2\) | Positivo como módulo | Disminuye rápidamente hacia cero |
| Potencial | \(V=-GM/r\) | Negativo | Aumenta hacia cero |
| Energía potencial | \(U=-GMm/r\) | Negativo | Aumenta hacia cero |
| Energía orbital circular | \(E=-GMm/(2r)\) | Negativo | Aumenta hacia cero |
En dirección radial, \(\vec g=-dV/dr\,\hat r\). La pendiente del potencial determina el campo. Un potencial casi horizontal corresponde a un campo débil.
Método para resolver problemas de campo gravitatorio
- Dibuja la situación y fija el centro o los ejes de referencia.
- Convierte todas las distancias al Sistema Internacional.
- Distingue radio, altura y distancia entre centros.
- Decide si la magnitud buscada es vectorial o escalar.
- En superposición, estudia primero direcciones y sentidos.
- En órbitas circulares, iguala gravedad y aceleración centrípeta.
- En desplazamientos radiales, valora si conviene trabajo o conservación de la energía.
- Comprueba signo, unidades, orden de magnitud y comportamiento límite.
Una revisión rápida suele detectar los errores principales. El campo debe disminuir al aumentar la distancia, el potencial exterior debe ser negativo y una órbita más alta debe tener menor velocidad circular y mayor periodo.
70 problemas resueltos, del campo a las órbitas
Los ejercicios avanzan desde la fuerza gravitatoria y la superposición hasta problemas completos de potencial, energía, órbitas, leyes de Kepler, transferencias y escape.
Bloque 1. Fuerza, campo y gravedad superficial
Fuerza gravitatoria entre dos masas
Dos cuerpos de masas \(1200\ \mathrm{kg}\) y \(800\ \mathrm{kg}\) están separados \(2{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula el módulo de la fuerza gravitatoria entre ambos.
Geometría del problema
\(m_1=1200\ \mathrm{kg}\), \(m_2=800\ \mathrm{kg}\), \(r=2{,}50\ \mathrm{m}\). Se pide \(F\).
Decisión previa
Los cuerpos se consideran puntuales. La interacción es atractiva y actúa sobre la recta que une sus centros.
Expresión que conecta los datos
Sustituimos
\[F=6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{1200\cdot800}{(2{,}50)^2}\]
\[F=1{,}03\cdot10^{-5}\ \mathrm{N}\]
Campo terrestre a 1200 km de altura
Punto de partida. Calcula la intensidad del campo gravitatorio terrestre a \(1200\ \mathrm{km}\) sobre la superficie.
Distancias relevantes
\(h=1{,}20\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(M_T=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\). Se pide \(g\).
Qué debe compararse
La distancia que entra en la ley del campo se mide desde el centro de la Tierra, no desde la superficie.
Relaciones necesarias
\[r=6{,}371\cdot10^6+1{,}20\cdot10^6=7{,}571\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[g=6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{5{,}972\cdot10^{24}}{(7{,}571\cdot10^6)^2}=6{,}95\ \mathrm{N/kg}\]
Peso de una sonda en Marte
Situación. Una sonda de \(450\ \mathrm{kg}\) se encuentra en la superficie de Marte. Calcula la gravedad marciana y el peso de la sonda.
\(m=450\ \mathrm{kg}\), \(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Qué debe ocurrir
Primero se calcula el campo creado por Marte en su superficie. Después se aplica \(P=mg\).
Herramienta matemática
Cerramos la cuenta
\[g_M=6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{6{,}417\cdot10^{23}}{(3{,}3895\cdot10^6)^2}=3{,}73\ \mathrm{N/kg}\]
\[P=450\cdot3{,}73=1{,}68\cdot10^3\ \mathrm{N}\]
Campo a una distancia 2,5 veces el radio terrestre
¿Cuánto vale el campo gravitatorio terrestre a una distancia del centro igual a \(2{,}5R_T\)?
Dato decisivo
\(r=2{,}5R_T\), \(g_0=9{,}82\ \mathrm{N/kg}\). Se pide \(g(r)\).
El campo varía con el inverso del cuadrado de la distancia. Resulta más rápido trabajar con una razón.
Resolución breve
\[g=g_0\dfrac{R_T^2}{(2{,}5R_T)^2}=\dfrac{9{,}82}{6{,}25}\]
\[g=1{,}57\ \mathrm{N/kg}\]
Altura a la que el peso es el 60 %
Problema. Calcula la altura sobre la Tierra a la que un cuerpo pesa el \(60\,\%\) de lo que pesa en la superficie.
La ley no usa la altura sobre la superficie, sino la distancia completa al centro: r = R + h. Conviene escribirla antes de sustituir.
Antes de empezar
\(g_h=0{,}60g_0\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Se pide \(h\).
El camino más directo
La masa del cuerpo se simplifica. Se relacionan directamente los campos en la superficie y a la altura buscada.
Desarrollo
\[0{,}60=\dfrac{R_T^2}{(R_T+h)^2}\]
\[R_T+h=\dfrac{R_T}{\sqrt{0{,}60}}\]
\[h=R_T\left(\dfrac1{\sqrt{0{,}60}}-1\right)=1{,}85\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
Masa de un planeta a partir de g y R
Caso propuesto. En la superficie de un planeta, \(g=7{,}20\ \mathrm{N/kg}\) y su radio es \(4{,}80\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Determina su masa.
Geometría del problema
\(g=7{,}20\ \mathrm{N/kg}\), \(R=4{,}80\cdot10^6\ \mathrm{m}\). Se pide \(M\).
Decisión previa
La gravedad superficial permite despejar directamente la masa del planeta.
Expresión que conecta los datos
Sustituimos
\[M=\dfrac{7{,}20(4{,}80\cdot10^6)^2}{6{,}674\cdot10^{-11}}\]
\[M=2{,}49\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
Densidad media de un planeta
Un planeta esférico tiene radio \(7{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\) y gravedad superficial \(12{,}5\ \mathrm{N/kg}\). Calcula su masa y su densidad media.
Distancias relevantes
\(R=7{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(g=12{,}5\ \mathrm{N/kg}\). Se piden \(M\) y \(\rho\).
Qué debe compararse
Primero se obtiene la masa mediante el campo superficial. Después se divide por el volumen de la esfera.
Relaciones necesarias
\[M=\dfrac{12{,}5(7{,}00\cdot10^6)^2}{6{,}674\cdot10^{-11}}=9{,}18\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
\[\rho=\dfrac{9{,}18\cdot10^{24}}{\frac43\pi(7{,}00\cdot10^6)^3}=6{,}39\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\]
Peso en la Tierra y en la Luna
Qué se pide. Una persona tiene masa \(72\ \mathrm{kg}\). Calcula su peso en la Tierra y en la Luna y compara ambos valores.
Radios y masas
\(m=72\ \mathrm{kg}\), \(g_T=9{,}82\ \mathrm{N/kg}\), \(g_L=1{,}62\ \mathrm{N/kg}\).
Primero, la distancia al centro
El peso es una fuerza y depende del campo local. La masa no cambia.
Cuenta
\[P_T=72\cdot9{,}82=707\ \mathrm{N}\]
\[P_L=72\cdot1{,}62=117\ \mathrm{N}\]
\[\dfrac{P_L}{P_T}=0{,}165\]
Aproximación del campo a baja altura
Objetivo. Compara el valor exacto de \(g\) a \(100\ \mathrm{km}\) de altura con la aproximación \(g\approx g_0(1-2h/R_T)\).
\(h=1{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(g_0=9{,}82\ \mathrm{N/kg}\).
La aproximación procede del desarrollo para \(h\ll R_T\). Se comparan ambos resultados y su diferencia relativa.
\[g_{ex}=9{,}52\ \mathrm{N/kg}\]
\[g_{ap}=9{,}51\ \mathrm{N/kg}\]
\[\text{diferencia relativa}\approx0{,}075\,\%\]
Bloque 2. Superposición, simetría y puntos de equilibrio
Campo y potencial en el punto medio
Dos masas iguales de \(5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(2{,}0\ \mathrm{km}\). Calcula el campo y el potencial gravitatorio en el punto medio.
Que el campo se anule no significa que el potencial sea cero. El primero es vectorial; el segundo, escalar, y aquí las dos aportaciones son negativas.
\(M_1=M_2=5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\), distancia a cada masa \(r=1000\ \mathrm{m}\).
El campo es vectorial y los dos campos se cancelan. El potencial es escalar y las dos contribuciones negativas se suman.
\[\vec g=0\]
\[V=-2G\dfrac{M}{r}=-2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{5{,}0\cdot10^{12}}{1000}\]
\[V=-0{,}667\ \mathrm{J/kg}\]
Punto donde se anula el campo entre dos masas
Pregunta. Dos masas \(M_1=9{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) y \(M_2=4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(10\ \mathrm{km}\). Halla el punto de la recta que las une donde el campo es nulo.
Punto de partida
Se coloca \(M_1\) en \(x=0\), \(M_2\) en \(x=10\ \mathrm{km}\) y el punto a distancia \(x\) de \(M_1\).
Entre las masas, los campos tienen sentidos opuestos. El punto debe quedar más cerca de la masa menor.
La ley que usamos
Hasta el valor final
\[\dfrac{\sqrt{M_1}}{x}=\dfrac{\sqrt{M_2}}{d-x}\]
\[\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{10-x}\]
\[3(10-x)=2x\Rightarrow x=6{,}0\ \mathrm{km}\]
Campo y potencial en un punto interior
Con las masas del ejercicio anterior, calcula el campo y el potencial en el punto situado a \(4{,}0\ \mathrm{km}\) de \(M_1\).
Dibujo y datos
\(r_1=4000\ \mathrm{m}\), \(r_2=6000\ \mathrm{m}\).
Qué magnitudes intervienen
El campo de \(M_1\) apunta hacia la izquierda y el de \(M_2\) hacia la derecha. El potencial se suma con signo negativo.
Relación física
Sustitución
\[g_1=3{,}75\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2},\qquad g_2=7{,}42\cdot10^{-6}\ \mathrm{m/s^2}\]
\[g=3{,}01\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\ \text{hacia }M_1\]
\[V=-0{,}195\ \mathrm{J/kg}\]
Superposición vectorial en el plano
Una masa \(3{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) está en \((0,0)\), otra de \(4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) en \((3000,0)\ \mathrm{m}\) y el punto \(P\) en \((0,4000)\ \mathrm{m}\). Calcula \(\vec g(P)\) y \(V(P)\).
Las distancias son \(r_1=4000\ \mathrm{m}\) y \(r_2=5000\ \mathrm{m}\).
Cada vector campo apunta desde \(P\) hacia la masa que lo crea. Se suman componentes cartesianas.
Una relación basta
Cuenta directa
\[\vec g_1=(0,-1{,}25\cdot10^{-5})\ \mathrm{m/s^2}\]
\[\vec g_2=(6{,}41\cdot10^{-6},-8{,}54\cdot10^{-6})\ \mathrm{m/s^2}\]
\[\vec g=(6{,}41\cdot10^{-6},-2{,}11\cdot10^{-5})\ \mathrm{m/s^2}\]
\[|\vec g|=2{,}20\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2},\qquad V=-0{,}103\ \mathrm{J/kg}\]
Tres masas en los vértices de un cuadrado
Punto de partida. Tres masas iguales de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan tres vértices de un cuadrado de lado \(2000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el cuarto vértice.
Información útil
Dos masas están a distancia \(a\) y una a distancia \(a\sqrt{2}\).
La elección importante
Por simetría, las componentes horizontal y vertical tienen el mismo módulo y apuntan hacia el interior del cuadrado.
Fórmula
Resultado numérico
\[g_x=g_y=-4{,}52\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\]
\[|\vec g|=\sqrt{g_x^2+g_y^2}=6{,}39\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\]
Campo en el vértice de un triángulo equilátero
Situación. Dos masas iguales de \(6{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están en los extremos de la base de un triángulo equilátero de lado \(3000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el tercer vértice.
Masas, radios y unidades
Cada masa produce un campo de módulo \(g_1=GM/a^2\).
Qué magnitudes se relacionan
Las componentes horizontales se cancelan y las verticales, dirigidas hacia la base, se suman.
Ecuaciones
Cuentas
\[g=2\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot6{,}0\cdot10^{12}}{(3000)^2}\sin60^\circ\]
\[g=7{,}71\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\]
Campo y potencial en el centro de un triángulo
Tres masas iguales de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan los vértices de un triángulo equilátero de lado \(6000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en su centro.
La distancia del centro a cada vértice es \(r=a/\sqrt{3}\).
Los tres vectores campo se cancelan por simetría. El potencial suma tres contribuciones iguales.
\[r=\dfrac{6000}{\sqrt{3}}=3464\ \mathrm{m}\]
\[V=-3\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{2{,}0\cdot10^{12}}{3464}=-0{,}116\ \mathrm{J/kg}\]
Trabajo en un campo creado por dos masas
Problema. Dos masas \(8{,}0\cdot10^{13}\ \mathrm{kg}\) y \(2{,}0\cdot10^{13}\ \mathrm{kg}\) están en \(x=0\) y \(x=10\ \mathrm{km}\). Calcula el trabajo del campo al mover una masa de \(500\ \mathrm{kg}\) desde \(x=3\ \mathrm{km}\) hasta \(x=7\ \mathrm{km}\).
Magnitudes conocidas
\(m=500\ \mathrm{kg}\). Se necesitan los potenciales inicial y final.
El trabajo del campo depende solo de los extremos porque el campo gravitatorio es conservativo.
Modelo
Operación
\[V_i=-1{,}971\ \mathrm{J/kg},\qquad V_f=-1{,}208\ \mathrm{J/kg}\]
\[W_c=500(-1{,}971+1{,}208)=-3{,}81\cdot10^2\ \mathrm{J}\]
¿Puede anularse el potencial gravitatorio?
Caso propuesto. Varias masas positivas crean un campo gravitatorio. Razona si puede existir un punto finito en el que el potencial total sea cero tomando \(V=0\) en el infinito.
Con masas positivas, cada término del potencial gravitatorio es negativo. No pueden cancelarse en un punto finito.
Para cada masa positiva, \(V_i=-GM_i/r_i\).
El potencial es escalar. Todas las contribuciones de masas positivas tienen signo negativo.
Para cualquier punto finito, todas las distancias \(r_i\) son positivas y cada término es negativo.
Por tanto, \(V<0\) en todo punto finito y solo tiende a cero cuando todas las distancias tienden a infinito.
Punto de campo nulo entre la Tierra y la Luna
Ignorando la rotación del sistema, calcula el punto de la línea Tierra-Luna donde los campos gravitatorios se anulan. Usa \(d=3{,}844\cdot10^8\ \mathrm{m}\).
Este cálculo anula el campo gravitatorio en un modelo estático. No es todavía un punto de Lagrange: faltan la rotación del sistema y la fuerza centrífuga aparente.
Distancias relevantes
\(M_T=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\), \(M_L=7{,}342\cdot10^{22}\ \mathrm{kg}\).
Qué debe compararse
Entre ambos astros los campos tienen sentidos opuestos. Se igualan sus módulos.
Relaciones necesarias
\[x=\dfrac{d\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}}\]
\[x=3{,}460\cdot10^8\ \mathrm{m}\]
\[d-x=3{,}84\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
Fuerza neta sobre una masa situada entre otras dos
Qué se pide. Una masa de \(1000\ \mathrm{kg}\) está a \(4000\ \mathrm{m}\) de una masa de \(5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) situada a su izquierda y a \(6000\ \mathrm{m}\) de otra de \(8{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) situada a su derecha. Calcula la fuerza neta.
Antes de empezar
Las dos fuerzas son colineales y de sentidos opuestos.
El camino más directo
Se calculan por separado los módulos y se resta la menor de la mayor.
Desarrollo
\[F_{izq}=2{,}09\cdot10^{-2}\ \mathrm{N}\]
\[F_{der}=1{,}48\cdot10^{-2}\ \mathrm{N}\]
\[F_{net}=6{,}03\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\ \text{hacia la izquierda}\]
Cuatro masas en un cuadrado
Objetivo. Cuatro masas iguales de \(3{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(4000\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en el centro.
La distancia del centro a cada vértice es \(r=a/\sqrt{2}\).
Los cuatro campos se cancelan por simetría. El potencial suma cuatro términos iguales.
\[r=2828\ \mathrm{m}\]
\[V=-4\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{3{,}0\cdot10^{12}}{2828}=-0{,}283\ \mathrm{J/kg}\]
Fuerza vectorial sobre una masa de prueba
Una masa de \(5{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) está en \((0,0)\), otra de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) en \((3000,0)\ \mathrm{m}\), y una masa de prueba de \(200\ \mathrm{kg}\) en \((0,4000)\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza resultante.
Lo que sabemos
La fuerza es \(\vec F=m\vec g\). Las distancias son \(4000\ \mathrm{m}\) y \(5000\ \mathrm{m}\).
Cómo lo planteamos
Se calcula primero el campo total por componentes y después se multiplica por la masa de prueba.
Cálculo
\[\vec g=(3{,}20\cdot10^{-6}\hat\imath-2{,}51\cdot10^{-5}\hat\jmath)\ \mathrm{m/s^2}\]
\[\vec F=(6{,}41\cdot10^{-4}\hat\imath-5{,}03\cdot10^{-3}\hat\jmath)\ \mathrm{N}\]
\[|\vec F|=5{,}07\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\]
Bloque 3. Potencial, trabajo y conservación de la energía
Potencial terrestre a 2000 km de altura
Pregunta. Calcula el potencial gravitatorio creado por la Tierra a \(2000\ \mathrm{km}\) de altura.
Radios y masas
\(h=2{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(r=R_T+h=8{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Primero, la distancia al centro
El potencial es energía potencial por unidad de masa y se toma cero en el infinito.
Cuenta
\[V=-6{,}674\cdot10^{-11}\dfrac{5{,}972\cdot10^{24}}{8{,}371\cdot10^6}\]
\[V=-4{,}76\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\]
Energía para elevar una carga hasta 1000 km
Calcula el aumento de energía potencial al elevar lentamente una carga de \(250\ \mathrm{kg}\) desde la superficie terrestre hasta \(1000\ \mathrm{km}\) de altura.
Energías y signos
\(m=250\ \mathrm{kg}\), \(r_i=R_T\), \(r_f=R_T+1{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Balance físico
En un traslado lento, la energía aportada por el agente externo coincide con el aumento de energía potencial.
Despeje
\[\Delta U=6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot250\left(\dfrac1{6{,}371\cdot10^6}-\dfrac1{7{,}371\cdot10^6}\right)\]
\[\Delta U=2{,}12\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Trabajo del campo durante una caída radial
Una masa de \(600\ \mathrm{kg}\) cae desde \(2000\ \mathrm{km}\) hasta \(500\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula el trabajo realizado por el campo gravitatorio.
Masas, radios y unidades
\(r_i=R_T+2{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(r_f=R_T+5{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\).
El trabajo del campo es el opuesto de la variación de energía potencial.
Ecuaciones
Cuentas
\[W_c=6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot600\left(\dfrac1{6{,}871\cdot10^6}-\dfrac1{8{,}371\cdot10^6}\right)\]
\[W_c=6{,}24\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Velocidad de caída desde una distancia 3R
Punto de partida. Un objeto parte del reposo a una distancia \(3R_T\) del centro terrestre y cae radialmente hasta la superficie. Despreciando la atmósfera, calcula su velocidad de llegada.
\(r_i=3R_T\), \(r_f=R_T\), \(v_i=0\).
Qué magnitudes intervienen
Se conserva la energía mecánica. La masa del objeto se simplifica.
Relación física
\[v_f=\sqrt{2GM_T\left(\dfrac1{R_T}-\dfrac1{3R_T}\right)}\]
\[v_f=9{,}13\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad para alcanzar una altura igual al radio terrestre
Situación. ¿Con qué velocidad mínima debe lanzarse verticalmente un cuerpo desde la superficie para llegar con velocidad nula a una distancia \(2R_T\) del centro?
El valor coincide con la rapidez de una órbita circular rasante, pero el movimiento no: aquí el lanzamiento es radial y termina deteniéndose.
\(r_i=R_T\), \(r_f=2R_T\), \(v_f=0\).
La conservación manda
La energía cinética inicial se transforma en aumento de energía potencial.
Energía mecánica
\[v_0=\sqrt{\dfrac{GM_T}{R_T}}\]
\[v_0=7{,}91\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Lanzamiento desde la Luna hasta 3R
Calcula la velocidad inicial necesaria para que un cuerpo lanzado desde la superficie lunar alcance una distancia máxima \(3R_L\) del centro.
Distancias relevantes
\(M_L=7{,}342\cdot10^{22}\ \mathrm{kg}\), \(R_L=1{,}7374\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Qué debe compararse
Se aplica conservación de la energía entre la superficie y el punto de velocidad nula.
\[v_0=1{,}94\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Energía total y tipo de trayectoria
Problema. Un vehículo de \(1200\ \mathrm{kg}\) se mueve a \(9{,}0\ \mathrm{km/s}\) a \(500\ \mathrm{km}\) de altura sobre la Tierra. Calcula sus energías cinética, potencial y total e indica si está gravitatoriamente ligado.
Magnitudes conocidas
\(m=1200\ \mathrm{kg}\), \(v=9000\ \mathrm{m/s}\), \(r=R_T+5{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\).
El signo de la energía mecánica específica permite decidir si la trayectoria es ligada.
Modelo
Operación
\[K=4{,}86\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-6{,}96\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-2{,}10\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Comprobación de escape a una distancia 2R
Caso propuesto. Un cuerpo se encuentra a \(2R_T\) del centro terrestre con velocidad \(6{,}0\ \mathrm{km/s}\). Determina si puede escapar.
\(r=2R_T\), \(v=6000\ \mathrm{m/s}\).
Qué buscamos
Se compara la velocidad dada con la velocidad de escape local o, de forma equivalente, se calcula la energía específica.
La ecuación que conecta ambos
\[v_e=7{,}91\ \mathrm{km/s}\]
\[\varepsilon=-1{,}33\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\]
Relación numérica entre campo y potencial
Calcula la variación del potencial terrestre entre la superficie y un punto \(10\ \mathrm{km}\) más alto. Compara \(\Delta V/\Delta r\) con el valor del campo en el punto medio.
\(\Delta r=1{,}00\cdot10^4\ \mathrm{m}\).
En dirección radial, el campo cumple \(\vec g=-dV/dr\,\hat r\). Para un intervalo pequeño, el cociente incremental aproxima la derivada.
\[\Delta V=9{,}8041\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}\]
\[\dfrac{\Delta V}{\Delta r}=9{,}8041\ \mathrm{m/s^2}\]
\[g\left(R_T+\dfrac{\Delta r}{2}\right)=9{,}8041\ \mathrm{m/s^2}\]
Validez de la aproximación mgh
Qué se pide. Una masa de \(80\ \mathrm{kg}\) se eleva \(50\ \mathrm{m}\) cerca de la superficie terrestre. Compara el incremento exacto de energía potencial con \(mgh\).
La expresión mgh es una aproximación local. Cuando la altura deja de ser pequeña frente al radio del planeta, hay que volver a −GMm/r.
\(m=80\ \mathrm{kg}\), \(h=50\ \mathrm{m}\).
La expresión \(mgh\) supone que el campo es prácticamente constante durante el ascenso.
\[\Delta U_{ex}=39277{,}8\ \mathrm{J}\]
\[\Delta U_{ap}=39278{,}1\ \mathrm{J}\]
\[\text{diferencia relativa}=7{,}85\cdot10^{-4}\,\%\]
Bloque 4. Órbitas circulares y energía orbital
Velocidad y periodo de una órbita baja
Objetivo. Un satélite describe una órbita circular a \(400\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula su velocidad y su periodo.
Distancias relevantes
\(h=4{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\), \(r=R_T+h=6{,}771\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
La gravedad proporciona la aceleración centrípeta.
Relaciones necesarias
\[v=7{,}67\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[T=5{,}545\cdot10^3\ \mathrm{s}=92{,}4\ \mathrm{min}\]
Órbita terrestre a 1200 km
Calcula la velocidad y el periodo de un satélite en órbita circular a \(1200\ \mathrm{km}\) de altura.
\(r=7{,}571\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Qué debe compararse
Al aumentar el radio orbital, la velocidad disminuye y el periodo aumenta.
Relaciones necesarias
\[v=7{,}26\ \mathrm{km/s}\]
\[T=6{,}556\cdot10^3\ \mathrm{s}=109{,}3\ \mathrm{min}\]
Radio orbital a partir del periodo
Pregunta. Un satélite terrestre tiene un periodo de \(2{,}50\ \mathrm{h}\). Calcula el radio de la órbita y la altura sobre la superficie.
En la tercera ley de Kepler entra el radio de la órbita medido desde el centro, no la altura sobre la superficie.
Dato decisivo
\(T=2{,}50\cdot3600=9000\ \mathrm{s}\).
Se despeja el radio en la expresión del periodo orbital.
\[r=9{,}35\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[h=9{,}35\cdot10^6-6{,}371\cdot10^6=2{,}98\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
Masa de un planeta mediante una órbita
Un satélite describe una órbita circular de radio \(1{,}20\cdot10^7\ \mathrm{m}\) en \(4{,}00\ \mathrm{h}\). Calcula la masa del planeta.
Información útil
\(r=1{,}20\cdot10^7\ \mathrm{m}\), \(T=14400\ \mathrm{s}\).
La elección importante
La tercera ley de Kepler para una masa central dominante permite despejar \(M\).
Resultado numérico
\[M=\dfrac{4\pi^2(1{,}20\cdot10^7)^3}{6{,}674\cdot10^{-11}(14400)^2}\]
\[M=4{,}93\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
Masa terrestre a partir de la órbita lunar
Usa el radio medio de la órbita lunar \(3{,}844\cdot10^8\ \mathrm{m}\) y el periodo \(27{,}32\ \mathrm{días}\) para estimar la masa de la Tierra.
\(T=27{,}32\cdot86400=2{,}360\cdot10^6\ \mathrm{s}\).
Se trata la Tierra como masa central y la órbita lunar como aproximadamente circular.
Herramienta matemática
Cerramos la cuenta
\[M_T\approx6{,}03\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
Energías de un satélite en órbita circular
Punto de partida. Un satélite de \(800\ \mathrm{kg}\) orbita la Tierra a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula sus energías cinética, potencial y mecánica.
\(m=800\ \mathrm{kg}\), \(r=7{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Qué magnitudes se relacionan
En una órbita circular se cumplen relaciones directas entre las tres energías.
Ecuaciones
\[K=2{,}16\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-4{,}33\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-2{,}16\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Demostración numérica de K igual a |U|/2
Situación. Un satélite de \(500\ \mathrm{kg}\) describe una órbita circular a \(600\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula \(K\) y \(U\) y comprueba su relación.
\(r=R_T+6{,}00\cdot10^5=6{,}971\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
La fuerza gravitatoria es centrípeta, de donde \(mv^2=GM_Tm/r\).
\[K=1{,}43\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-2{,}86\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[\dfrac{K}{|U|}=0{,}500\]
Momento angular orbital
Un satélite de \(650\ \mathrm{kg}\) se mueve en una órbita circular a \(900\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula su velocidad y el módulo de su momento angular respecto al centro terrestre.
Geometría del problema
\(m=650\ \mathrm{kg}\), \(r=7{,}271\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Decisión previa
En una órbita circular, \(\vec r\) y \(\vec v\) son perpendiculares.
Sustituimos
\[v=7{,}40\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[L=650\cdot7{,}40\cdot10^3\cdot7{,}271\cdot10^6=3{,}50\cdot10^{13}\ \mathrm{kg\,m^2/s}\]
Aceleración centrípeta y campo gravitatorio
Problema. Un satélite orbita a \(1500\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula su velocidad y comprueba que la aceleración centrípeta coincide con el campo gravitatorio local.
\(r=R_T+1{,}50\cdot10^6=7{,}871\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
La igualdad entre ambas aceleraciones es precisamente la condición de órbita circular.
\[v=7{,}12\ \mathrm{km/s}\]
\[a_c=6{,}434\ \mathrm{m/s^2}\]
\[g=6{,}434\ \mathrm{m/s^2}\]
Satélite alrededor de Marte
Caso propuesto. Calcula la velocidad y el periodo de un satélite circular a \(400\ \mathrm{km}\) sobre Marte.
\(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(r=3{,}7895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Condición de órbita
Se aplican las ecuaciones orbitales con los datos de Marte.
Dinámica circular
\[v=3{,}36\ \mathrm{km/s}\]
\[T=7{,}082\cdot10^3\ \mathrm{s}=118{,}0\ \mathrm{min}\]
Órbita baja alrededor de la Luna
Un satélite se encuentra a \(100\ \mathrm{km}\) sobre la superficie lunar. Calcula su velocidad y su periodo.
Lo que sabemos
\(r=R_L+1{,}00\cdot10^5=1{,}8374\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Cómo lo planteamos
Se considera la Luna esférica y la órbita circular.
\[v=1{,}63\ \mathrm{km/s}\]
\[T=7{,}069\cdot10^3\ \mathrm{s}=117{,}8\ \mathrm{min}\]
Cambio de radio de R a 2R
Qué se pide. Compara la velocidad y el periodo de dos órbitas circulares de radios \(R\) y \(2R\) alrededor del mismo planeta.
Se piden las razones \(v_2/v_1\) y \(T_2/T_1\).
Para una misma masa central, \(v\propto r^{-1/2}\) y \(T\propto r^{3/2}\).
\[\dfrac{v_2}{v_1}=0{,}707\]
\[\dfrac{T_2}{T_1}=2{,}83\]
Comparación de órbitas con r₂ = 3r₁
Objetivo. Dos satélites orbitan el mismo planeta con radios \(r_1\) y \(r_2=3r_1\). Calcula las razones de velocidades y periodos.
\(r_2/r_1=3\).
Se aplican las leyes de escala orbital.
\[\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac1{\sqrt{3}}=0{,}577\]
\[\dfrac{T_2}{T_1}=3\sqrt{3}=5{,}20\]
Energía para elevar una órbita circular
Un satélite de \(1200\ \mathrm{kg}\) pasa de una órbita circular a \(500\ \mathrm{km}\) de altura a otra circular a \(2000\ \mathrm{km}\). Calcula el aumento de energía mecánica.
\(r_1=R_T+5{,}00\cdot10^5\ \mathrm{m}\), \(r_2=R_T+2{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
La energía total de una órbita circular es \(-GMm/(2r)\).
La ley que usamos
\[\Delta E=6{,}24\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Primer impulso de una transferencia elíptica
Pregunta. Un satélite de \(900\ \mathrm{kg}\) pasa desde una órbita circular de \(300\ \mathrm{km}\) a una elipse de transferencia cuyo apogeo está a \(2000\ \mathrm{km}\). Calcula la energía aportada y el incremento de velocidad en el primer impulso.
Aquí se pide solo el primer impulso de la transferencia. La maniobra completa necesita un segundo impulso al llegar a la órbita exterior.
Lo que sabemos
\(r_1=R_T+300\ \mathrm{km}\), \(r_2=R_T+2000\ \mathrm{km}\). El semieje de la elipse es \(a=(r_1+r_2)/2\).
La energía específica de una órbita elíptica es \(-GM/(2a)\). La velocidad en el perigeo se obtiene con la ecuación vis-viva.
Cálculo
\[\Delta E_1=E_{tr}-E_{circ}=3{,}04\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
\[\Delta v_1=v_p-v_{circ}=4{,}25\cdot10^2\ \mathrm{m/s}\]
Bloque 5. Kepler, satélites estacionarios y escape
Tercera ley de Kepler sin datos absolutos
El radio orbital de un satélite se multiplica por cuatro alrededor del mismo planeta. ¿Por qué factor cambia el periodo?
\(r_2=4r_1\).
La tercera ley de Kepler establece \(T^2\propto r^3\).
\[\dfrac{T_2}{T_1}=4^{3/2}=8\]
Periodo orbital de Venus
La distancia media de Venus al Sol es \(0{,}723\) veces la distancia Tierra-Sol. Estima su periodo orbital en días suponiendo órbitas circulares.
Radios y masas
\(a_V/a_T=0{,}723\), \(T_T=365{,}25\ \mathrm{días}\).
Primero, la distancia al centro
Para dos planetas que orbitan el mismo astro se cumple \(T^2/a^3=\text{constante}\).
Cuenta
\[T_V=365{,}25(0{,}723)^{3/2}=224{,}5\ \mathrm{días}\]
Órbita areostacionaria
Punto de partida. Calcula el radio y la altura de una órbita estacionaria alrededor de Marte. Usa el periodo de rotación marciano \(24{,}6229\ \mathrm{h}\).
Magnitudes conocidas
\(T=24{,}6229\cdot3600\ \mathrm{s}\), \(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Para permanecer sobre el mismo meridiano, la órbita debe ser circular, ecuatorial, directa y tener el mismo periodo que la rotación.
Modelo
Operación
\[r=2{,}043\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[h=1{,}704\cdot10^7\ \mathrm{m}=17040\ \mathrm{km}\]
Órbita geoestacionaria con día sidéreo
Situación. Calcula el radio, la altura y la velocidad de un satélite geoestacionario usando el día sidéreo terrestre \(T=86164\ \mathrm{s}\).
Compartir el periodo no basta: para verse fija desde el suelo, la órbita debe ser circular, ecuatorial y en el mismo sentido que gira la Tierra.
\(T=86164\ \mathrm{s}\), \(R_T=6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
Primero, la distancia al centro
La órbita geoestacionaria es una órbita geosíncrona circular, ecuatorial y en el sentido de rotación terrestre.
\[r=4{,}216\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[h=3{,}579\cdot10^7\ \mathrm{m}=35792\ \mathrm{km}\]
\[v=3{,}075\ \mathrm{km/s}\]
Velocidad de escape de Marte
Calcula la velocidad de escape desde la superficie de Marte.
Dato decisivo
\(M_M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\), \(R_M=3{,}3895\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
La velocidad mínima corresponde a llegar al infinito con velocidad final nula.
Resolución breve
\[v_e=5{,}03\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad de escape desde 500 km de altura
Problema. Calcula la velocidad de escape terrestre desde un punto situado a \(500\ \mathrm{km}\) de altura.
\(r=R_T+5{,}00\cdot10^5=6{,}871\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
La expresión de escape depende de la distancia al centro desde la que parte el objeto.
Ecuación útil
En números
\[v_e=1{,}077\cdot10^4\ \mathrm{m/s}=10{,}77\ \mathrm{km/s}\]
Impulso ideal para escapar desde una órbita
Caso propuesto. Un satélite se mueve en una órbita circular terrestre a \(400\ \mathrm{km}\) de altura. ¿Qué incremento tangencial instantáneo de velocidad necesita, idealmente, para alcanzar la velocidad de escape en ese punto?
\(r=R_T+400\ \mathrm{km}\).
Cómo lo planteamos
En el mismo radio, la velocidad de escape es \(\sqrt{2}\) veces la circular.
\[v_c=7{,}67\ \mathrm{km/s}\]
\[v_e=10{,}85\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v=3{,}18\ \mathrm{km/s}\]
Relación general entre velocidad orbital y de escape
Demuestra la relación entre la velocidad de escape y la velocidad circular en un mismo radio.
Se comparan las dos expresiones para una misma masa central y un mismo \(r\).
La velocidad circular procede del equilibrio centrípeto y la de escape de la energía total nula.
\[\dfrac{v_e}{v_c}=\sqrt{2}\]
Velocidad de escape del Sol a la distancia terrestre
Qué se pide. Calcula la velocidad de escape del campo solar a una distancia de \(1\ \mathrm{UA}\).
La velocidad de escape solar en la órbita terrestre no es el impulso que habría que dar desde la superficie de la Tierra; son modelos distintos.
\(M_S=1{,}9885\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}\), \(r=1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\).
Se calcula la velocidad necesaria para que la energía específica respecto al Sol sea nula.
Una relación basta
Cuenta directa
\[v_e=4{,}21\cdot10^4\ \mathrm{m/s}=42{,}1\ \mathrm{km/s}\]
Bloque 6. Problemas completos tipo PAU/EBAU
Planeta extrasolar a partir de radio y gravedad
Objetivo. Un exoplaneta tiene radio \(1{,}50R_T\) y gravedad superficial \(18{,}0\ \mathrm{N/kg}\). Calcula su masa en kilogramos y en masas terrestres, y su velocidad de escape.
\(R=1{,}50R_T=9{,}557\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(g=18{,}0\ \mathrm{N/kg}\).
La elección importante
La masa se obtiene de la gravedad superficial. Después puede usarse \(v_e=\sqrt{2gR}\), equivalente a la fórmula con \(GM\).
Fórmula
\[M=2{,}46\cdot10^{25}\ \mathrm{kg}=4{,}12M_T\]
\[v_e=1{,}85\cdot10^4\ \mathrm{m/s}=18{,}5\ \mathrm{km/s}\]
Problema completo de órbita y cambio de energía
Un planeta tiene masa \(4M_T\) y radio \(1{,}20R_T\). Un satélite de \(700\ \mathrm{kg}\) orbita a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula velocidad, periodo y energía mecánica. Después determina la energía necesaria para llevarlo a una órbita circular a \(5000\ \mathrm{km}\) de altura.
Una órbita más alta lleva menos rapidez, aunque su energía mecánica sea mayor, es decir, menos negativa.
Masas, radios y unidades
\(M=4M_T\), \(R=1{,}20R_T\), \(m=700\ \mathrm{kg}\), \(r_1=R+1000\ \mathrm{km}\), \(r_2=R+5000\ \mathrm{km}\).
Qué magnitudes se relacionan
Primero se resuelve la órbita inicial. Después se comparan las energías mecánicas de las dos órbitas circulares.
Cuentas
\[v_1=13{,}58\ \mathrm{km/s}\]
\[T_1=4{,}000\cdot10^3\ \mathrm{s}=66{,}7\ \mathrm{min}\]
\[E_1=-6{,}45\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[\Delta E=2{,}04\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Campo, potencial y trabajo con dos masas
Pregunta. Una masa de \(6{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) está en \((-3000,0)\ \mathrm{m}\) y otra de \(2{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) en \((4000,0)\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en el origen. Después determina el trabajo del campo al trasladar una masa de \(100\ \mathrm{kg}\) desde el origen hasta el punto \((0,3000)\ \mathrm{m}\).
Escala y unidades
En el origen, las dos contribuciones al campo son colineales y de sentidos opuestos. Para el trabajo se necesitan los potenciales inicial y final.
El campo se suma vectorialmente. El potencial se suma como escalar y el trabajo del campo depende únicamente de los extremos.
Modelo elegido
En el origen
\[g_1=4{,}449\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{hacia la izquierda}\]
\[g_2=8{,}343\cdot10^{-6}\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{hacia la derecha}\]
\[\vec g_P=-3{,}615\cdot10^{-5}\,\hat\imath\ \mathrm{m/s^2}\]
\[V_P=-G\left(\dfrac{6{,}0\cdot10^{12}}{3000}+\dfrac{2{,}0\cdot10^{12}}{4000}\right)=-0{,}16685\ \mathrm{J/kg}\]
En \(Q=(0,3000)\ \mathrm{m}\), las distancias son \(4243\ \mathrm{m}\) y \(5000\ \mathrm{m}\)
\[V_Q=-0{,}12108\ \mathrm{J/kg}\]
\[W_c=100(-0{,}16685+0{,}12108)=-4{,}58\ \mathrm{J}\]
Punto de campo nulo, potencial y estabilidad
Dos masas de \(9{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) y \(4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(10\ \mathrm{km}\). Calcula el punto interior donde el campo se anula, el potencial en ese punto y razona si el equilibrio de una masa de prueba sería estable.
Sea \(x\) la distancia desde la masa mayor. La distancia a la menor es \(d-x\).
Entre las masas, los campos tienen sentidos opuestos. El potencial no se anula porque las dos aportaciones son negativas.
\[\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{10000-x}\]
\[x=6000\ \mathrm{m},\qquad d-x=4000\ \mathrm{m}\]
\[V=-6{,}674\cdot10^{-11}\left(\dfrac{9{,}0\cdot10^{12}}{6000}+\dfrac{4{,}0\cdot10^{12}}{4000}\right)\]
\[V=-0{,}16685\ \mathrm{J/kg}\]
Si la masa se desplaza ligeramente hacia una de las masas, la atracción de la masa más próxima aumenta y la aleja todavía más del punto de equilibrio.
Radio, masa y densidad de un planeta con datos indirectos
La gravedad superficial de un planeta es \(8{,}0\ \mathrm{m/s^2}\). Un satélite describe una órbita circular a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura con velocidad \(5{,}77\ \mathrm{km/s}\). Calcula el radio, la masa y la densidad media del planeta.
Masas, radios y unidades
\(g_0=8{,}0\ \mathrm{m/s^2}\), \(h=1{,}00\cdot10^6\ \mathrm{m}\), \(v=5{,}77\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\).
Qué magnitudes se relacionan
La misma cantidad \(GM\) aparece en la gravedad superficial y en la condición de órbita circular.
Cuentas
Al eliminar \(GM\)
\[g_0R^2=v^2(R+h)\]
\[R=\dfrac{v^2+\sqrt{v^4+4g_0v^2h}}{2g_0}=4{,}995\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[M=\dfrac{g_0R^2}{G}=2{,}99\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\]
\[\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=5{,}73\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\]
Altura donde la gravedad se reduce a la mitad
Punto de partida. Calcula la altura sobre la Tierra a la que el campo gravitatorio vale la mitad que en la superficie. Si un satélite describe allí una órbita circular, calcula su velocidad y su periodo.
Qué conocemos
\(g(r)=g_0/2\), \(r=R_T+h\).
La gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia al centro. Una vez obtenido el radio, se aplican las ecuaciones orbitales.
La ecuación que conecta ambos
Cálculo final
\[r=\sqrt2\,R_T\]
\[h=(\sqrt2-1)R_T=2{,}64\cdot10^6\ \mathrm{m}\]
\[v=6{,}65\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[T=8{,}512\cdot10^3\ \mathrm{s}=141{,}9\ \mathrm{min}\]
Lanzamiento radial, altura máxima y velocidad de regreso
Situación. Un cuerpo se lanza verticalmente desde la superficie terrestre con velocidad \(9{,}00\ \mathrm{km/s}\). Despreciando la atmósfera, calcula la altura máxima y la velocidad que tendrá al regresar a \(1000\ \mathrm{km}\) de altura.
\(v_0=9000\ \mathrm{m/s}\), \(r_0=R_T\). En la altura máxima, \(v=0\).
Comprobación previa
La energía mecánica se conserva durante todo el movimiento radial. En un mismo radio, el módulo de la velocidad es igual durante la subida y la bajada.
Modelo elegido
\[\dfrac1{r_{max}}=\dfrac1{R_T}-\dfrac{v_0^2}{2GM_T}\]
\[r_{max}=1{,}807\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[h_{max}=r_{max}-R_T=1{,}170\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
Para \(r=R_T+1000\ \mathrm{km}\)
\[v=\sqrt{v_0^2+2GM_T\left(\dfrac1r-\dfrac1{R_T}\right)}=8{,}00\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
Caída desde cuatro radios terrestres
Una cápsula de \(250\ \mathrm{kg}\) parte del reposo a una distancia \(4R_T\) del centro terrestre y cae radialmente hasta la superficie. Calcula su velocidad de llegada y el trabajo realizado por el campo.
Situamos los cuerpos
\(r_i=4R_T\), \(r_f=R_T\), \(v_i=0\), \(m=250\ \mathrm{kg}\).
Sentidos del campo
La pérdida de energía potencial se transforma en energía cinética. El trabajo del campo coincide con el aumento de energía cinética.
\[v_f=\sqrt{\dfrac{3GM_T}{2R_T}}=9{,}69\cdot10^3\ \mathrm{m/s}\]
\[W_c=\frac12\cdot250\cdot(9{,}687\cdot10^3)^2=1{,}17\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Órbita completa con energías y momento angular
Problema. Un satélite de \(1200\ \mathrm{kg}\) describe una órbita circular a \(800\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula velocidad, periodo, energía cinética, energía potencial, energía mecánica y momento angular respecto al centro terrestre.
Situamos los cuerpos
\(m=1200\ \mathrm{kg}\), \(r=R_T+8{,}00\cdot10^5=7{,}171\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
En una órbita circular, la gravedad proporciona la aceleración centrípeta y permite obtener relaciones directas entre las energías.
Relación entre magnitudes
\[v=7{,}455\ \mathrm{km/s},\qquad T=6044\ \mathrm{s}=100{,}7\ \mathrm{min}\]
\[K=3{,}33\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[U=-6{,}67\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-3{,}33\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[L=6{,}42\cdot10^{13}\ \mathrm{kg\,m^2/s}\]
Satélite geoestacionario con energía orbital
Caso propuesto. Un satélite geoestacionario de \(1500\ \mathrm{kg}\) utiliza el día sidéreo terrestre \(T=86164\ \mathrm{s}\). Calcula el radio orbital, la altura, la velocidad y sus tres energías.
\(m=1500\ \mathrm{kg}\), \(T=86164\ \mathrm{s}\).
Qué debe ocurrir
El periodo fija el radio. La condición geoestacionaria exige además órbita circular, ecuatorial y directa.
Herramienta matemática
\[r=4{,}216\cdot10^7\ \mathrm{m},\qquad h=3{,}579\cdot10^7\ \mathrm{m}\]
\[v=3{,}075\ \mathrm{km/s}\]
\[K=7{,}09\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
\[U=-1{,}418\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[E=-7{,}09\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Comparación completa de dos órbitas terrestres
Un satélite de \(900\ \mathrm{kg}\) pasa de una órbita circular a \(500\ \mathrm{km}\) de altura a otra a \(2000\ \mathrm{km}\). Compara velocidades, periodos y energías mecánicas, y calcula el aumento de energía.
Geometría del problema
\(r_1=R_T+500\ \mathrm{km}\), \(r_2=R_T+2000\ \mathrm{km}\), \(m=900\ \mathrm{kg}\).
Decisión previa
Una órbita más alta tiene menor velocidad, mayor periodo y mayor energía mecánica, aunque esta siga siendo negativa.
Sustituimos
\[v_1=7{,}616\ \mathrm{km/s},\qquad T_1=94{,}47\ \mathrm{min}\]
\[v_2=6{,}900\ \mathrm{km/s},\qquad T_2=127{,}04\ \mathrm{min}\]
\[E_1=-2{,}610\cdot10^{10}\ \mathrm{J},\qquad E_2=-2{,}143\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
\[\Delta E=E_2-E_1=4{,}68\cdot10^9\ \mathrm{J}\]
Transferencia de Hohmann completa
Qué se pide. Calcula los dos incrementos de velocidad, el incremento total y el tiempo de transferencia ideal para pasar de una órbita terrestre circular a \(300\ \mathrm{km}\) de altura a otra a \(2000\ \mathrm{km}\).
Una transferencia de Hohmann se cierra con dos cambios de velocidad. Dar solo uno deja al satélite en una elipse, no en la nueva órbita circular.
\(r_1=R_T+300\ \mathrm{km}\), \(r_2=R_T+2000\ \mathrm{km}\), \(a=(r_1+r_2)/2\).
El primer impulso convierte la órbita circular baja en una elipse de transferencia. El segundo impulso, aplicado en el apogeo, circulariza la órbita alta.
Una relación basta
Cuenta directa
\[v_{c1}=7{,}730\ \mathrm{km/s},\qquad v_p=8{,}155\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v_1=0{,}425\ \mathrm{km/s}\]
\[v_a=6{,}499\ \mathrm{km/s},\qquad v_{c2}=6{,}900\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v_2=0{,}402\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v_{total}=0{,}827\ \mathrm{km/s}\]
\[t_{tr}=\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM_T}}=3246\ \mathrm{s}=54{,}1\ \mathrm{min}\]
Escape desde una órbita circular
Objetivo. Un satélite de \(1000\ \mathrm{kg}\) describe una órbita circular terrestre a \(700\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula el incremento tangencial mínimo de velocidad y la energía ideal que debe recibir para escapar.
\(m=1000\ \mathrm{kg}\), \(r=R_T+700\ \mathrm{km}\).
En el mismo punto, la velocidad de escape es \(\sqrt2\) veces la circular. La energía mínima aportada eleva la energía mecánica desde su valor orbital negativo hasta cero.
Modelo físico
\[v_c=7{,}508\ \mathrm{km/s}\]
\[v_e=10{,}618\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta v=3{,}110\ \mathrm{km/s}\]
\[\Delta E=2{,}82\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\]
Interpretación conjunta de las gráficas gravitatorias
Para la Tierra, compara el campo \(g\), el potencial \(V\), la energía potencial de una masa de \(500\ \mathrm{kg}\) y la energía mecánica de una órbita circular en los radios \(R_T\), \(2R_T\) y \(4R_T\). Explica la forma de sus gráficas.
En la gráfica, fija primero dónde has tomado V = 0. Con el convenio habitual, el potencial es negativo y se acerca a cero desde abajo.
\(m=500\ \mathrm{kg}\). Se estudian tres distancias al centro.
El campo decrece como \(1/r^2\), mientras que el potencial, la energía potencial y la energía orbital circular varían como \(1/r\).
| Radio | g | V | U para 500 kg | E circular |
|---|---|---|---|---|
| \(R_T\) | \(9{,}82\ \mathrm{m/s^2}\) | \(-6{,}26\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\) | \(-3{,}13\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\) | \(-1{,}56\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\) |
| \(2R_T\) | \(2{,}45\ \mathrm{m/s^2}\) | \(-3{,}13\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\) | \(-1{,}56\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\) | \(-7{,}82\cdot10^9\ \mathrm{J}\) |
| \(4R_T\) | \(0{,}614\ \mathrm{m/s^2}\) | \(-1{,}56\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}\) | \(-7{,}82\cdot10^9\ \mathrm{J}\) | \(-3{,}91\cdot10^9\ \mathrm{J}\) |
Errores frecuentes
Usar h en lugar de R+h
La ley gravitatoria utiliza la distancia al centro. Una altura de \(500\ \mathrm{km}\) no significa \(r=500\ \mathrm{km}\).
Sumar campos como escalares
El campo es vectorial. Deben estudiarse dirección y sentido antes de sumar módulos.
Confundir campo y potencial
El campo puede anularse por simetría mientras el potencial sigue siendo negativo.
Olvidar el signo de U
Con cero en el infinito, \(U=-GMm/r\). Una energía más alta puede seguir siendo negativa.
Aplicar mgh a grandes alturas
La expresión \(mgh\) solo es una aproximación local. Para satélites debe usarse el potencial exacto.
Usar solo energía potencial en una órbita
Un satélite circular también tiene energía cinética. Su energía total es \(-GMm/(2r)\).
Confundir periodo y altura
Primero se obtiene el radio orbital con Kepler y después se resta el radio del planeta.
Suponer que una órbita más alta es más rápida
En órbita circular ocurre lo contrario. Al aumentar \(r\), la velocidad disminuye.
8 ejercicios propuestos
- Calcula la altura sobre la Tierra a la que el campo vale \(0{,}49g_0\).
- Un planeta tiene radio \(5{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m}\) y velocidad de escape \(8{,}0\ \mathrm{km/s}\). Halla su masa.
- Determina el radio y la altura de una órbita terrestre circular de periodo \(3{,}0\ \mathrm{h}\).
- Calcula el aumento de energía potencial de una masa de \(100\ \mathrm{kg}\) al pasar de la superficie terrestre a \(500\ \mathrm{km}\) de altura.
- Un satélite orbita la Luna a \(200\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula velocidad y periodo.
- Dos masas \(16\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) y \(9\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) están separadas \(5\ \mathrm{km}\). Halla el punto interior donde se anula el campo.
- Cuatro masas de \(4{,}0\cdot10^{12}\ \mathrm{kg}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(3000\ \mathrm{m}\). Calcula el potencial en el centro.
- Un satélite de \(500\ \mathrm{kg}\) orbita la Tierra a \(800\ \mathrm{km}\). Calcula \(K\), \(U\) y \(E\).
Resultados de los ejercicios propuestos
- \(h\approx2{,}73\cdot10^6\ \mathrm{m}=2730\ \mathrm{km}\).
- \(M\approx2{,}40\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\).
- \(r\approx1{,}056\cdot10^7\ \mathrm{m}\), \(h\approx4{,}19\cdot10^6\ \mathrm{m}\).
- \(\Delta U\approx4{,}55\cdot10^8\ \mathrm{J}\).
- \(v\approx1{,}59\ \mathrm{km/s}\), \(T\approx127{,}6\ \mathrm{min}\).
- \(2{,}857\ \mathrm{km}\) desde la masa mayor y \(2{,}143\ \mathrm{km}\) desde la menor.
- \(V\approx-0{,}503\ \mathrm{J/kg}\).
- \(K\approx1{,}39\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\), \(U\approx-2{,}78\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\), \(E\approx-1{,}39\cdot10^{10}\ \mathrm{J}\).
Simulacro final de campo gravitatorio
Problema 1. Campo y potencial
Dos masas \(M\) y \(4M\) están separadas una distancia \(d\). Determina el punto interior donde el campo es nulo y calcula el potencial en ese punto. Explica por qué el potencial no se anula.
Problema 2. Satélite terrestre
Un satélite de masa \(m\) orbita a una altura \(h\). Obtén velocidad, periodo, energías cinética, potencial y total. Después calcula la energía necesaria para trasladarlo a una órbita circular de radio doble.
Problema 3. Lanzamiento radial
Un cuerpo se lanza desde la superficie de un planeta de masa \(M\) y radio \(R\). Deduce la velocidad necesaria para alcanzar una altura \(R\) y compárala con la velocidad de escape.
Problema 4. Datos orbitales
Un satélite tiene periodo \(T\) y radio orbital \(r\). Deduce la masa del planeta. Si además se conoce su radio \(R\), calcula la gravedad superficial y la velocidad de escape.
En la corrección se valora el esquema, la distancia utilizada, la elección de magnitudes vectoriales o escalares, el planteamiento, las unidades y la interpretación del signo de la energía.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre campo gravitatorio y fuerza?
El campo es la fuerza por unidad de masa. Depende de la masa que crea el campo y del punto estudiado. La fuerza sobre un cuerpo se obtiene con \(\vec F=m\vec g\).
¿Por qué el potencial gravitatorio es negativo?
Porque se toma cero en el infinito y hay que aportar energía para separar una masa del astro hasta una distancia infinita.
¿Puede ser cero el campo y no ser cero el potencial?
Sí. El campo es vectorial y puede cancelarse. El potencial es escalar y las contribuciones de masas positivas son negativas.
¿Por qué un satélite no cae sobre la Tierra?
Está cayendo continuamente, pero su velocidad tangencial hace que la superficie terrestre se curve bajo su trayectoria al mismo ritmo.
¿Una órbita más alta tiene más o menos energía?
Tiene mayor energía mecánica, aunque su velocidad circular sea menor. La energía es menos negativa.
¿La velocidad de escape depende de la masa del objeto?
No. La masa se simplifica al aplicar conservación de la energía.
¿Cuándo puede usarse mgh?
Cuando el cambio de altura es pequeño frente al radio del planeta y el campo puede considerarse constante.
¿Qué distingue a un satélite geoestacionario?
Además de tener el periodo de rotación terrestre, su órbita debe ser circular, ecuatorial y directa.
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