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Campo eléctrico 2 Bachillerato PAU/EBAU: fuerza, intensidad, potencial y ejercicios resueltos
Física · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU
Campo eléctrico 2 Bachillerato PAU/EBAU: fuerza, intensidad, potencial y ejercicios resueltos
Teoría completa, fórmulas organizadas, 70 ejercicios resueltos paso a paso, dibujos técnicos, 8 propuestos y un simulacro final sobre ley de Coulomb, campo, potencial, energía, trabajo y movimiento de cargas.
El campo eléctrico exige distinguir desde el principio qué magnitudes son vectoriales y cuáles son escalares. La fuerza y el campo necesitan dirección y sentido. El potencial y la energía potencial se suman algebraicamente y conservan el signo de las cargas.
La selección general de campos gravitatorio, eléctrico y magnético ofrece un repaso comparativo. En esta página se desarrolla con mayor profundidad el campo eléctrico de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU.
Los problemas incorporan esquemas siempre que la geometría, los signos o el movimiento de las cargas lo requieren. En cada solución se separan datos, planteamiento, ecuaciones, cálculo, resultado y revisión.
Resumen del tema
Fuerza
Dos cargas puntuales interactúan según \(F=k|q_1q_2|/r^2\). El signo de las cargas decide si se atraen o se repelen.
Campo
El campo es fuerza por unidad de carga positiva de prueba. Es vectorial y se suma por componentes.
Potencial
El potencial es escalar. Para una carga puntual, \(V=kQ/r\), con el signo de la carga fuente.
Energía y trabajo
La energía potencial cumple \(U=qV\) y el trabajo del campo es \(W_e=-\Delta U\).
Fuerza y campo contienen dirección y sentido. Potencial y energía potencial no. Esta diferencia determina el método de casi todos los problemas.
Constantes y unidades
| Magnitud | Símbolo | Valor | Unidad |
|---|---|---|---|
| Constante eléctrica | \(k\) | \(8{,}99\cdot10^9\) | \(\mathrm{N\,m^2/C^2}\) |
| Permitividad del vacío | \(\varepsilon_0\) | \(8{,}854\cdot10^{-12}\) | \(\mathrm{C^2/(N\,m^2)}\) |
| Carga elemental | \(e\) | \(1{,}602\cdot10^{-19}\) | C |
| Masa del electrón | \(m_e\) | \(9{,}109\cdot10^{-31}\) | kg |
| Masa del protón | \(m_p\) | \(1{,}673\cdot10^{-27}\) | kg |
| Campo eléctrico | \(E\) | 1 N/C | 1 V/m |
Convierte microculombios y nanoculombios a culombios antes de sustituir. Las distancias deben estar en metros.
Ley de Coulomb
La fórmula proporciona el módulo. La dirección está en la recta que une las cargas y el sentido depende de sus signos.
Campo eléctrico
El campo se define con una carga positiva de prueba. Sale de una carga positiva y entra hacia una carga negativa.
Principio de superposición
En una recta pueden utilizarse signos. En el plano, lo más seguro es calcular componentes cartesianas.
Líneas de campo y superficies equipotenciales
Las líneas de campo no se cortan y el vector campo es tangente a ellas. Las superficies equipotenciales son perpendiculares al campo.
Potencial y energía potencial
El potencial es escalar. El signo de la energía potencial depende del producto de las cargas.
Trabajo y conservación de la energía
El campo electrostático es conservativo. El trabajo depende de los extremos y no del camino.
Campo uniforme y placas paralelas
Entre placas ideales, el campo se considera constante. Una partícula que entra perpendicularmente al campo describe una trayectoria parabólica.
Conductores en equilibrio electrostático
En el interior del material conductor, el campo es nulo. Toda la superficie está al mismo potencial y el exceso de carga se distribuye en la superficie.
Gráficas de campo y potencial
Para una carga puntual, el módulo del campo varía como \(1/r^2\) y el potencial como \(1/r\). El campo es el opuesto del gradiente del potencial.
Método para resolver problemas
- Dibuja las cargas, los puntos y las distancias.
- Convierte todas las unidades al Sistema Internacional.
- Decide si se pide una magnitud vectorial o escalar.
- Fija ejes y sentidos positivos si hay vectores.
- Calcula cada contribución por separado.
- Suma campos o fuerzas por componentes y potenciales con signo.
- En movimiento de cargas, conecta electricidad con dinámica, cinemática o energía.
- Revisa signo, unidad, dirección y orden de magnitud.
70 ejercicios resueltos paso a paso
La colección avanza desde la ley de Coulomb hasta problemas completos de campo, potencial, energía, placas paralelas, conductores y movimiento de partículas.
Bloque 1. Ley de Coulomb y fuerza eléctrica
Fuerza entre dos cargas positivas
Enunciado. Dos cargas \(q_1=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) y \(q_2=3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) están separadas \(0{,}30\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza eléctrica.
Datos e incógnitas
\(q_1=2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(q_2=3{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(r=0{,}30\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La ley de Coulomb proporciona el módulo. Como las cargas tienen el mismo signo, la fuerza es repulsiva.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F=8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30^2}=0{,}599\ \mathrm{N}\]
Fuerza atractiva entre cargas opuestas
Enunciado. Calcula la fuerza entre \(q_1=4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(q_2=-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), separadas \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
\(q_1=4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(q_2=-2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}20\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Las cargas de signo contrario se atraen. La fórmula se aplica al módulo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F=8{,}99\cdot10^9\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}\cdot2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2}=1{,}80\ \mathrm{N}\]
Distancia a partir de la fuerza
Enunciado. Dos cargas de \(5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se repelen con una fuerza de \(2{,}50\ \mathrm{N}\). Calcula la distancia.
Datos e incógnitas
\(q_1=5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(q_2=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(F=2{,}50\ \mathrm{N}\).
Planteamiento físico
Se despeja la distancia de la ley de Coulomb.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=\sqrt{8{,}99\cdot10^9\dfrac{5{,}0\cdot10^{-6}\cdot2{,}0\cdot10^{-6}}{2{,}50}}=0{,}190\ \mathrm{m}\]
Carga desconocida
Enunciado. Una carga \(q_1=3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está a \(0{,}50\ \mathrm{m}\) de otra carga. La fuerza tiene módulo \(0{,}216\ \mathrm{N}\). Calcula el módulo de la segunda carga.
Datos e incógnitas
\(q_1=3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}50\ \mathrm{m}\), \(F=0{,}216\ \mathrm{N}\).
Planteamiento físico
La ley de Coulomb permite despejar el módulo de la carga desconocida.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[|q_2|=\dfrac{0{,}216\cdot0{,}50^2}{8{,}99\cdot10^9\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}=2{,}00\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\]
Efecto de duplicar la distancia
Enunciado. Dos cargas mantienen sus valores y duplican la separación. Determina cómo cambia la fuerza.
Datos e incógnitas
\(r_2=2r_1\).
Planteamiento físico
La fuerza eléctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{F_2}{F_1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\]
Efecto de triplicar una carga
Enunciado. Se triplica una de las cargas y se mantiene fija la distancia. ¿Cómo cambia la fuerza?
Datos e incógnitas
\(q_2\to3q_2\).
Planteamiento físico
La fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F_2=3F_1\]
Fuerza sobre una carga situada en el eje x
Enunciado. Una carga \(+6{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra carga \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza sobre la segunda.
Datos e incógnitas
\(q_1=+6{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(q_2=-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(r=0{,}40\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
La fuerza es atractiva y apunta hacia la carga positiva, es decir, hacia la izquierda.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F=8{,}99\cdot10^9\dfrac{6{,}0\cdot10^{-6}\cdot2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}40^2}=0{,}674\ \mathrm{N}\]
Fuerza total sobre una carga entre otras dos
Enunciado. Una carga \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está entre una carga \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\), situada \(0{,}20\ \mathrm{m}\) a su izquierda, y otra \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\), situada \(0{,}30\ \mathrm{m}\) a su derecha. Calcula la fuerza total.
Datos e incógnitas
Las dos fuerzas sobre la carga central apuntan hacia la derecha.
Planteamiento físico
La carga izquierda la repele y la derecha la atrae. Los módulos se suman.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F_1=0{,}899\ \mathrm{N},\qquad F_2=0{,}300\ \mathrm{N}\]\[F_T=1{,}20\ \mathrm{N}\]
Punto de equilibrio entre dos cargas positivas
Enunciado. Dos cargas \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(+9{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Localiza el punto interior donde una carga positiva de prueba estaría en equilibrio.
Datos e incógnitas
Sea \(x\) la distancia desde la carga de \(4{,}0\ \mu\mathrm{C}\).
Planteamiento físico
En el punto interior, las fuerzas son opuestas. Se igualan sus módulos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{0{,}50-x}\Rightarrow 1-2x=3x\Rightarrow x=0{,}20\ \mathrm{m}\]
Fuerza resultante en un triángulo rectángulo
Enunciado. Una carga de prueba \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \((0,0{,}40)\ \mathrm{m}\). Hay una carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en el origen y otra \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \((0{,}30,0)\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza resultante.
Datos e incógnitas
Las distancias son \(0{,}40\ \mathrm{m}\) y \(0{,}50\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se calculan las dos fuerzas y se descompone la correspondiente al triángulo 3-4-5.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F_1=0{,}337\ \mathrm{N},\qquad F_2=0{,}288\ \mathrm{N}\]\[F_{2x}=-0{,}6F_2=-0{,}173\ \mathrm{N},\quad F_{2y}=0{,}8F_2=0{,}230\ \mathrm{N}\]\[\vec F=(-0{,}173\,\hat\imath+0{,}567\,\hat\jmath)\ \mathrm{N}\]\[|\vec F|=0{,}593\ \mathrm{N}\]
Bloque 2. Campo eléctrico y superposición
Campo creado por una carga positiva
Enunciado. Calcula el campo eléctrico creado por \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) a \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
\(Q=+4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}20\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El campo de una carga positiva apunta radialmente hacia fuera.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=8{,}99\cdot10^9\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2}=8{,}99\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Campo creado por una carga negativa
Enunciado. Una carga \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) crea campo a \(0{,}30\ \mathrm{m}\). Calcula módulo y sentido.
Datos e incógnitas
\(Q=-2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}30\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El módulo se calcula con el valor absoluto y el sentido apunta hacia la carga negativa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30^2}=2{,}00\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Fuerza a partir del campo
Enunciado. En un punto hay un campo de \(3000\ \mathrm{N/C}\). Calcula la fuerza sobre una carga \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\).
Datos e incógnitas
\(E=3000\ \mathrm{N/C}\), \(q=+5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
Planteamiento físico
Para una carga positiva, fuerza y campo tienen el mismo sentido.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F=5{,}0\cdot10^{-6}\cdot3000=1{,}50\cdot10^{-2}\ \mathrm{N}\]
Fuerza sobre una carga negativa
Enunciado. Un campo uniforme de \(800\ \mathrm{N/C}\) apunta hacia la derecha. Calcula la fuerza sobre \(q=-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\).
Datos e incógnitas
\(E=800\ \mathrm{N/C}\), \(q=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
Planteamiento físico
La fuerza sobre una carga negativa tiene sentido contrario al campo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F_x=-3{,}0\cdot10^{-6}\cdot800=-2{,}40\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\]
Distancia para un campo dado
Enunciado. ¿A qué distancia de una carga \(+8{,}0\ \mu\mathrm{C}\) el campo vale \(2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\)?
Datos e incógnitas
\(Q=8{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(E=2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\).
Planteamiento físico
Se despeja la distancia en la expresión del campo puntual.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[r=\sqrt{\dfrac{8{,}99\cdot10^9\cdot8{,}0\cdot10^{-6}}{2{,}0\cdot10^5}}=0{,}600\ \mathrm{m}\]
Campo en el punto medio de dos cargas iguales
Enunciado. Dos cargas positivas iguales están separadas \(0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el punto medio.
Datos e incógnitas
Las distancias y los módulos de las cargas son iguales.
Planteamiento físico
Los campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_1=E_2,\qquad \vec E_1=-\vec E_2\]
Campo en el punto medio de un dipolo
Enunciado. Dos cargas \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el punto medio.
Datos e incógnitas
Cada carga está a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) del punto.
Planteamiento físico
Entre cargas opuestas, los dos campos apuntan desde la positiva hacia la negativa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_T=2\cdot8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2}=8{,}99\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Suma de campos en la misma dirección
Enunciado. En un punto actúan \(E_1=2000\ \mathrm{N/C}\) y \(E_2=5000\ \mathrm{N/C}\), ambos hacia la derecha.
Datos e incógnitas
Los dos vectores son colineales y del mismo sentido.
Planteamiento físico
Se suman los módulos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_T=2000+5000=7000\ \mathrm{N/C}\]
Suma de campos opuestos
Enunciado. En un punto, \(E_1=9000\ \mathrm{N/C}\) apunta a la derecha y \(E_2=4000\ \mathrm{N/C}\) a la izquierda.
Datos e incógnitas
Se toma la derecha como sentido positivo.
Planteamiento físico
Se suman algebraicamente las componentes.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_x=5000\ \mathrm{N/C}\]
Campo con componentes perpendiculares
Enunciado. Un campo tiene componentes \(E_x=3000\ \mathrm{N/C}\) y \(E_y=4000\ \mathrm{N/C}\). Calcula módulo y ángulo.
Datos e incógnitas
Las componentes son perpendiculares.
Planteamiento físico
Se usa Pitágoras y la tangente del ángulo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=5000\ \mathrm{N/C},\qquad \theta=\arctan(4/3)=53{,}1^\circ\]
Campo de dos cargas alineadas
Enunciado. Una carga \(+6{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en \(x=0{,}20\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
Las distancias son \(0{,}20\ \mathrm{m}\) y \(0{,}40\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Los dos campos apuntan hacia la derecha.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_1=1{,}35\cdot10^6\ \mathrm{N/C},\qquad E_2=1{,}12\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]\[E_T=1{,}46\cdot10^6\ \mathrm{N/C}\]
Punto de campo nulo con cargas opuestas desiguales
Enunciado. Una carga \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). Localiza el punto donde el campo se anula.
Datos e incógnitas
El punto no puede estar entre las cargas porque allí los campos se suman.
Planteamiento físico
Se busca a la derecha de la carga de menor módulo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{x-0{,}60}\Rightarrow 2x-1{,}20=x\Rightarrow x=1{,}20\ \mathrm{m}\]
Tres cargas iguales en un triángulo equilátero
Enunciado. Tres cargas positivas iguales ocupan los vértices de un triángulo equilátero. Calcula el campo en su centro.
Datos e incógnitas
El centro está a la misma distancia de las tres cargas.
Planteamiento físico
Los tres campos tienen igual módulo y direcciones separadas \(120^\circ\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
Por simetría, las componentes se cancelan exactamente.
Cuatro cargas iguales en un cuadrado
Enunciado. Cuatro cargas positivas iguales ocupan los vértices de un cuadrado. Determina el campo en el centro.
Datos e incógnitas
La distancia del centro a cada vértice es la misma.
Planteamiento físico
Cada campo tiene otro de igual módulo y sentido opuesto.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
Las parejas de vértices opuestos cancelan sus contribuciones.
Campo resultante de dos cargas en ejes perpendiculares
Enunciado. Una carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \((0{,}30,0)\ \mathrm{m}\) y otra \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \((0,0{,}40)\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el origen.
Datos e incógnitas
El primer campo apunta a la izquierda y el segundo hacia arriba.
Planteamiento físico
Se calculan las componentes y se obtiene la resultante.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_x=-2{,}00\cdot10^5\ \mathrm{N/C},\qquad E_y=1{,}69\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]\[E=2{,}61\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Bloque 3. Potencial, energía y trabajo
Campo sobre el eje de un dipolo
Enunciado. Un dipolo tiene \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=-0{,}10\ \mathrm{m}\) y \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=+0{,}10\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en \(x=0{,}30\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
Las distancias son \(0{,}40\ \mathrm{m}\) y \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El campo de la positiva apunta a la derecha y el de la negativa a la izquierda.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_x=1{,}69\cdot10^5-6{,}74\cdot10^5=-5{,}06\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Potencial creado por una carga positiva
Enunciado. Calcula el potencial creado por \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) a \(0{,}25\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
\(Q=5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}25\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El potencial es escalar y conserva el signo de la carga fuente.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=8{,}99\cdot10^9\dfrac{5{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}25}=1{,}80\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Potencial creado por una carga negativa
Enunciado. Calcula el potencial creado por \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) a \(0{,}40\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
\(Q=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}40\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se sustituye la carga con su signo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=8{,}99\cdot10^9\dfrac{-3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}40}=-6{,}74\cdot10^4\ \mathrm{V}\]
Potencial nulo en el punto medio de un dipolo
Enunciado. Dos cargas \(+Q\) y \(-Q\) están separadas. Calcula el potencial en el punto medio.
Datos e incógnitas
Las distancias a las dos cargas son iguales.
Planteamiento físico
Los potenciales se suman algebraicamente.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=0\]
Potencial en el centro de un cuadrado
Enunciado. Cuatro cargas \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula el potencial en el centro.
Datos e incógnitas
La distancia al centro es \(r=a/\sqrt2=0{,}283\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
El potencial suma cuatro contribuciones iguales.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=4\cdot8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}2828}=2{,}54\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Potencial debido a dos cargas de signo contrario
Enunciado. Un punto está a \(0{,}30\ \mathrm{m}\) de \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula el potencial.
Datos e incógnitas
Las contribuciones se suman con signo.
Planteamiento físico
El potencial es escalar.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=8{,}99\cdot10^9\left(\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30}-\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20}\right)=3{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V}\]
Energía potencial de dos cargas positivas
Enunciado. Dos cargas \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula la energía potencial.
Datos e incógnitas
\(q_1q_2>0\).
Planteamiento físico
La energía potencial es positiva para cargas del mismo signo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[U=8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}50}=0{,}108\ \mathrm{J}\]
Energía potencial de cargas opuestas
Enunciado. Calcula la energía potencial de \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) separadas \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
\(q_1q_2<0\).
Planteamiento físico
La energía potencial resulta negativa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[U=8{,}99\cdot10^9\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}\cdot(-1{,}0\cdot10^{-6})}{0{,}20}=-0{,}180\ \mathrm{J}\]
Trabajo eléctrico entre dos potenciales
Enunciado. Una carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se desplaza desde \(V_A=500\ \mathrm{V}\) hasta \(V_B=100\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo del campo.
Datos e incógnitas
\(q=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(V_A-V_B=400\ \mathrm{V}\).
Planteamiento físico
El trabajo del campo es \(q(V_A-V_B)\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[W_e=2{,}0\cdot10^{-6}(500-100)=8{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}\]
Trabajo externo en un desplazamiento cuasiestático
Enunciado. Una carga \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se mueve lentamente desde \(-200\ \mathrm{V}\) hasta \(400\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo externo.
Datos e incógnitas
\(\Delta V=600\ \mathrm{V}\), \(q=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
Planteamiento físico
En un traslado lento, el trabajo externo coincide con \(\Delta U=q\Delta V\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[W_{ext}=-3{,}0\cdot10^{-6}\cdot600=-1{,}80\cdot10^{-3}\ \mathrm{J}\]
Velocidad de un electrón acelerado por una diferencia de potencial
Enunciado. Un electrón parte del reposo y atraviesa una diferencia de potencial de \(250\ \mathrm{V}\). Calcula su velocidad no relativista.
Datos e incógnitas
\(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\), \(m_e=9{,}109\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}\).
Planteamiento físico
La disminución de energía potencial se transforma en energía cinética.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=\sqrt{\dfrac{2e\Delta V}{m_e}}=9{,}38\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad de un protón acelerado
Enunciado. Un protón parte del reposo y atraviesa \(1500\ \mathrm{V}\). Calcula su velocidad.
Datos e incógnitas
\(m_p=1{,}673\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\).
Planteamiento físico
Se aplica conservación de la energía.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=\sqrt{\dfrac{2e\cdot1500}{m_p}}=5{,}36\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]
Caída eléctrica hacia una carga negativa
Enunciado. Una partícula de masa \(0{,}010\ \mathrm{kg}\) y carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) parte del reposo a \(0{,}40\ \mathrm{m}\) de una carga fija \(-5{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula su velocidad al llegar a \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
El movimiento es atractivo y se desprecia cualquier otra interacción.
Planteamiento físico
La disminución de energía potencial se transforma en cinética.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta K=8{,}99\cdot10^9\cdot10^{-11}(5-2{,}5)=0{,}2248\ \mathrm{J}\]\[v=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}2248}{0{,}010}}=6{,}70\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad mínima para escapar de una atracción eléctrica
Enunciado. Una partícula de carga \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y masa \(2{,}0\ \mathrm{g}\) está a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de una carga fija \(-8{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula la velocidad mínima de escape.
Datos e incógnitas
En el límite de escape, la energía final en el infinito es cero.
Planteamiento físico
La energía cinética inicial debe compensar el módulo de la energía potencial.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v_e=\sqrt{\dfrac{2k|Qq|}{mr}}=19{,}0\ \mathrm{m/s}\]
Trabajo en una trayectoria cerrada
Enunciado. Una carga recorre una trayectoria cerrada en un campo electrostático y vuelve al punto inicial. Calcula el trabajo total del campo.
Datos e incógnitas
El punto inicial y final coinciden.
Planteamiento físico
El campo electrostático es conservativo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta U=0\Rightarrow W_e=0\]
Bloque 4. Campo uniforme y movimiento de cargas
Campo a partir de la pendiente del potencial
Enunciado. El potencial disminuye linealmente \(600\ \mathrm{V}\) al avanzar \(0{,}030\ \mathrm{m}\) en el eje x. Calcula el campo.
Datos e incógnitas
\(\Delta V=-600\ \mathrm{V}\), \(\Delta x=0{,}030\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En una dimensión, \(E_x=-\Delta V/\Delta x\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_x=-\dfrac{-600}{0{,}030}=2{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\]
Campo entre placas a partir de la diferencia de potencial
Enunciado. Dos placas paralelas están separadas \(0{,}040\ \mathrm{m}\) y mantienen una diferencia de potencial de \(1200\ \mathrm{V}\). Calcula el campo ideal.
Datos e incógnitas
\(d=0{,}040\ \mathrm{m}\), \(|\Delta V|=1200\ \mathrm{V}\).
Planteamiento físico
Entre placas ideales, el campo es uniforme.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=\dfrac{1200}{0{,}040}=3{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\]
Fuerza sobre un electrón entre placas
Enunciado. Un electrón se encuentra en un campo uniforme de \(2{,}50\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Calcula la fuerza.
Datos e incógnitas
\(|q|=e\).
Planteamiento físico
La fuerza tiene sentido contrario al campo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[F=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot2{,}50\cdot10^4=4{,}01\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}\]
Aceleración de un protón
Enunciado. Un protón está en un campo uniforme de \(5{,}0\cdot10^3\ \mathrm{N/C}\). Calcula su aceleración.
Datos e incógnitas
\(q=e\), \(m=m_p\).
Planteamiento físico
Se combinan la fuerza eléctrica y la segunda ley de Newton.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[a=\dfrac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^3}{1{,}673\cdot10^{-27}}=4{,}79\cdot10^{11}\ \mathrm{m/s^2}\]
Electrón acelerado a lo largo de un campo uniforme
Enunciado. Un electrón parte del reposo y recorre \(0{,}020\ \mathrm{m}\) en sentido contrario a un campo de \(1{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\). Calcula su rapidez final.
Datos e incógnitas
La diferencia de potencial en módulo es \(Ed=200\ \mathrm{V}\).
Planteamiento físico
La energía eléctrica se transforma en cinética.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=\sqrt{\dfrac{2eEd}{m_e}}=8{,}39\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\]
Ion doblemente cargado entre placas
Enunciado. Un ion de carga \(+2e\) y masa \(6{,}64\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\) parte del reposo en un campo de \(4{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\) y recorre \(0{,}050\ \mathrm{m}\). Calcula su velocidad.
Datos e incógnitas
\(q=2e\), \(\Delta V=Ed=2000\ \mathrm{V}\).
Planteamiento físico
La energía cinética ganada es \(q\Delta V\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=\sqrt{\dfrac{2(2e)(4{,}0\cdot10^4)(0{,}050)}{6{,}64\cdot10^{-27}}}=4{,}39\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]
Movimiento paralelo al campo
Enunciado. Un protón entra con \(v_0=2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\) en el sentido de un campo \(E=1000\ \mathrm{N/C}\). Calcula velocidad y desplazamiento tras \(2{,}0\ \mu\mathrm{s}\).
Datos e incógnitas
El movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado.
Planteamiento físico
Primero se calcula la aceleración y después se aplican las ecuaciones cinemáticas.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[a=9{,}58\cdot10^{10}\ \mathrm{m/s^2}\]\[v=3{,}92\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]\[x=0{,}592\ \mathrm{m}\]
Distancia de frenado de un protón
Enunciado. Un protón entra con \(3{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\) en sentido contrario a un campo de \(2000\ \mathrm{N/C}\). Calcula la distancia hasta detenerse.
Datos e incógnitas
La aceleración es opuesta a la velocidad.
Planteamiento físico
Se usa \(v^2=v_0^2+2a\Delta x\) con \(v=0\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[|a|=1{,}92\cdot10^{11}\ \mathrm{m/s^2}\]\[d=0{,}235\ \mathrm{m}\]
Desviación de un electrón en un campo transversal
Enunciado. Un electrón entra horizontalmente con \(4{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\) en una región de longitud \(0{,}080\ \mathrm{m}\) con campo vertical de \(100\ \mathrm{N/C}\). Calcula la desviación y el ángulo de salida.
Datos e incógnitas
El movimiento horizontal es uniforme y el vertical uniformemente acelerado.
Planteamiento físico
El electrón acelera en sentido opuesto al campo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[t=2{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{s}\]\[a_y=-1{,}76\cdot10^{13}\ \mathrm{m/s^2}\]\[y=-3{,}52\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}\]\[\theta=5{,}03^\circ\]
Campo máximo para que un electrón no choque con una placa
Enunciado. Un electrón entra por el centro entre dos placas separadas \(0{,}020\ \mathrm{m}\), con velocidad horizontal \(5{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\). La longitud de las placas es \(0{,}050\ \mathrm{m}\). Calcula el campo máximo para no tocar una placa.
Datos e incógnitas
La desviación máxima permitida es \(0{,}010\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
Se impone que la desviación al salir sea igual a la mitad de la separación.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=\dfrac{2ym_ev^2}{eL^2}=1{,}14\cdot10^3\ \mathrm{V/m}\]
Equilibrio de una gota cargada
Enunciado. Una gota de masa \(2{,}0\cdot10^{-12}\ \mathrm{kg}\) queda suspendida en un campo vertical hacia arriba de \(4{,}0\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Calcula su carga.
Datos e incógnitas
El peso apunta hacia abajo.
Planteamiento físico
La fuerza eléctrica debe equilibrar el peso y apuntar hacia arriba, por lo que la carga es positiva.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[q=\dfrac{mg}{E}=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-12}\cdot9{,}81}{4{,}0\cdot10^4}=4{,}91\cdot10^{-16}\ \mathrm{C}\]
Gota con carga negativa
Enunciado. Una gota de masa \(4{,}0\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) tiene carga \(-5e\). Calcula el campo necesario para mantenerla en equilibrio.
Datos e incógnitas
La fuerza eléctrica debe apuntar hacia arriba.
Planteamiento físico
Como la carga es negativa, el campo debe apuntar hacia abajo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=\dfrac{4{,}0\cdot10^{-15}\cdot9{,}81}{5\cdot1{,}602\cdot10^{-19}}=4{,}90\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\]
Trabajo en un desplazamiento paralelo al campo
Enunciado. Una carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se desplaza \(0{,}050\ \mathrm{m}\) en el sentido de un campo de \(2000\ \mathrm{N/C}\). Calcula \(\Delta V\), \(\Delta U\) y el trabajo del campo.
Datos e incógnitas
El desplazamiento es paralelo al campo.
Planteamiento físico
El potencial disminuye al avanzar en el sentido de E.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\Delta V=-100\ \mathrm{V}\]\[\Delta U=-3{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}\]\[W_e=3{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}\]
Ecuación de la trayectoria en un campo transversal
Enunciado. Un protón entra horizontalmente con \(v_0=1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\) en un campo vertical de \(500\ \mathrm{N/C}\). Calcula la desviación cuando \(x=0{,}10\ \mathrm{m}\).
Datos e incógnitas
La velocidad inicial vertical es cero.
Planteamiento físico
Se elimina el tiempo entre \(x=v_0t\) e \(y=\frac12at^2\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[y=\dfrac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot500}{2\cdot1{,}673\cdot10^{-27}\cdot(10^5)^2}(0{,}10)^2=2{,}39\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}\]
Tiempo de tránsito y desviación de un protón
Enunciado. Un protón atraviesa una región de longitud \(0{,}12\ \mathrm{m}\) con velocidad horizontal \(6{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\) y campo vertical \(800\ \mathrm{N/C}\). Calcula tiempo y desviación.
Datos e incógnitas
La velocidad horizontal se considera constante.
Planteamiento físico
Se calcula primero el tiempo de vuelo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[t=2{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{s}\]\[y=1{,}53\cdot10^{-5}\ \mathrm{m}\]
Bloque 5. Problemas completos tipo PAU/EBAU
Comparación de desviaciones de electrón y protón
Enunciado. Un electrón y un protón entran con la misma rapidez en el mismo campo transversal. Compara sus desviaciones.
Datos e incógnitas
Tienen cargas de igual módulo y masas muy diferentes.
Planteamiento físico
Para la misma geometría, \(y\propto |q|/m\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[\dfrac{y_e}{y_p}\approx1836\]
Campo y potencial de una esfera conductora
Enunciado. Una esfera conductora de radio \(0{,}10\ \mathrm{m}\) posee carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula campo y potencial en la superficie.
Datos e incógnitas
Para puntos exteriores, la esfera se comporta como una carga puntual situada en el centro.
Planteamiento físico
Se usan las expresiones de carga puntual con \(r=R\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E(R)=2{,}70\cdot10^6\ \mathrm{N/C}\]\[V(R)=2{,}70\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Trabajo dentro de una esfera conductora
Enunciado. Una carga de prueba se desplaza entre dos puntos interiores de una esfera conductora en equilibrio electrostático. Calcula el trabajo del campo.
Datos e incógnitas
En todo el interior conductor, \(E=0\) y el potencial es constante.
Planteamiento físico
No existe diferencia de potencial entre los puntos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V_A=V_B\Rightarrow W_e=0\]
Problema completo entre placas
Enunciado. Un electrón parte del reposo entre placas separadas \(0{,}030\ \mathrm{m}\) con diferencia de potencial \(600\ \mathrm{V}\). Calcula campo, fuerza, aceleración y velocidad al llegar a la placa positiva.
Datos e incógnitas
El campo se considera uniforme y se desprecia la gravedad.
Planteamiento físico
Se combinan campo uniforme, fuerza, dinámica y energía.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E=2{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\]\[F=3{,}20\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}\]\[a=3{,}52\cdot10^{15}\ \mathrm{m/s^2}\]\[v=1{,}45\cdot10^7\ \mathrm{m/s}\]
Campo y potencial en un vértice de un triángulo
Enunciado. Una carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(A=(0,0)\), otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(B=(0{,}30,0)\ \mathrm{m}\), y el punto \(P=(0,0{,}40)\ \mathrm{m}\). Calcula el potencial y el campo eléctrico en P.
Datos e incógnitas
Las distancias son \(AP=0{,}40\ \mathrm{m}\) y \(BP=0{,}50\ \mathrm{m}\). El triángulo es 3-4-5.
Planteamiento físico
El potencial se suma escalarmente. Para el campo, \(\vec E_1\) apunta hacia arriba y \(\vec E_2\) desde P hacia la carga negativa.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V_P=3{,}15\cdot10^4\ \mathrm{V}\]\[\vec E_1=(0\,\hat\imath+1{,}69\cdot10^5\,\hat\jmath)\ \mathrm{N/C}\]\[\vec E_2=(4{,}32\cdot10^4\,\hat\imath-5{,}75\cdot10^4\,\hat\jmath)\ \mathrm{N/C}\]\[\vec E=(4{,}32\cdot10^4\,\hat\imath+1{,}11\cdot10^5\,\hat\jmath)\ \mathrm{N/C}\]\[|\vec E|=1{,}19\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Centro de un cuadrado con cargas alternas
Enunciado. Cuatro cargas de igual módulo ocupan los vértices de un cuadrado con signos alternos \(+,-,+,-\). Calcula campo y potencial en el centro.
Datos e incógnitas
Las cargas del mismo signo ocupan vértices opuestos y las de signo contrario quedan en vértices contiguos.
Planteamiento físico
El potencial se anula por suma algebraica. Los campos también se cancelan por simetría central.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=0,\qquad \vec E=0\]
Punto de campo nulo y potencial en ese punto
Enunciado. Dos cargas \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(+9{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula el punto de campo nulo y el potencial allí.
Datos e incógnitas
El punto de campo nulo está a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de la carga menor y \(0{,}30\ \mathrm{m}\) de la mayor.
Planteamiento físico
Después de hallar el punto, se suman los potenciales.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[V=8{,}99\cdot10^9(2{,}0\cdot10^{-5}+3{,}0\cdot10^{-5})=4{,}50\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Punto de potencial nulo entre cargas opuestas
Enunciado. Una carga \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}60\ \mathrm{m}\). Calcula el punto interior donde el potencial es cero.
Datos e incógnitas
Sea \(x\) la distancia desde la carga positiva.
Planteamiento físico
El potencial se anula cuando las contribuciones tienen igual módulo.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[4(0{,}60-x)=2x\Rightarrow x=0{,}40\ \mathrm{m}\]
Trabajo debido a dos cargas fuente
Enunciado. Dos cargas fijas \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) crean potenciales \(V_A=2{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V}\) y \(V_B=-5{,}0\cdot10^3\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo del campo al mover \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) de A a B.
Datos e incógnitas
\(q=4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
Planteamiento físico
El trabajo depende solo de los potenciales de los extremos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[W_e=4{,}0\cdot10^{-6}(2{,}0\cdot10^4+5{,}0\cdot10^3)=0{,}100\ \mathrm{J}\]
Punto de retorno de una carga positiva
Enunciado. Una partícula \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\), de masa \(2{,}0\ \mathrm{g}\), se lanza desde \(0{,}50\ \mathrm{m}\) hacia una carga fija \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) con \(v_0=6{,}0\ \mathrm{m/s}\). Calcula la distancia mínima.
Datos e incógnitas
En el punto más próximo, la velocidad es cero.
Planteamiento físico
Se conserva la energía mecánica.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[0{,}036+0{,}0899=\dfrac{0{,}04495}{r_{min}}\Rightarrow r_{min}=0{,}357\ \mathrm{m}\]
Órbita circular clásica de un electrón
Enunciado. En el modelo clásico, un electrón describe una órbita circular de radio \(5{,}29\cdot10^{-11}\ \mathrm{m}\) alrededor de un protón. Calcula su velocidad y periodo.
Datos e incógnitas
La fuerza eléctrica actúa como fuerza centrípeta.
Planteamiento físico
Se igualan Coulomb y centrípeta.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[v=\sqrt{\dfrac{ke^2}{m_er}}=2{,}19\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\]\[T=1{,}52\cdot10^{-16}\ \mathrm{s}\]
Carga cuantizada en una experiencia tipo Millikan
Enunciado. Una gota de masa \(7{,}35\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) queda suspendida en un campo de \(3{,}00\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Calcula el módulo de su carga y exprésalo en múltiplos de e.
Datos e incógnitas
El campo se orienta para que la fuerza eléctrica sea ascendente.
Planteamiento físico
En equilibrio, \(|q|E=mg\).
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[|q|=\dfrac{7{,}35\cdot10^{-15}\cdot9{,}81}{3{,}00\cdot10^4}=2{,}40\cdot10^{-18}\ \mathrm{C}\]\[\dfrac{|q|}{e}=15{,}0\]
Deflexión completa de un electrón entre placas
Enunciado. Un electrón entra por el centro de placas de longitud \(0{,}060\ \mathrm{m}\), separadas \(0{,}020\ \mathrm{m}\), con \(v_x=5{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\). La diferencia de potencial es \(2{,}0\ \mathrm{V}\). Calcula si choca y el ángulo de salida.
Datos e incógnitas
\(E=\Delta V/d=100\ \mathrm{V/m}\).
Planteamiento físico
Se calcula la desviación al final y se compara con la semiseparación de 1 cm.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[t=1{,}20\cdot10^{-8}\ \mathrm{s}\]\[y=1{,}27\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}\]\[v_y=2{,}11\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]\[\theta=2{,}42^\circ\]
Interpretación de las gráficas de E y V
Enunciado. Compara cómo varían el campo y el potencial de una carga positiva al duplicar y cuadruplicar la distancia.
Datos e incógnitas
\(E\propto1/r^2\) y \(V\propto1/r\).
Planteamiento físico
Se aplican razones de escala.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
El campo decrece más deprisa que el potencial.
Problema completo tipo PAU con dos cargas
Enunciado. Dos cargas \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están en \(x=0\) y \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). En \(P\), situado en \(x=0{,}20\ \mathrm{m}\), calcula campo, potencial, fuerza sobre \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y trabajo para llevarla desde P hasta el infinito.
Datos e incógnitas
Las distancias a P son \(0{,}20\ \mathrm{m}\) y \(0{,}40\ \mathrm{m}\).
Planteamiento físico
En P, los dos campos apuntan a la derecha. El potencial se suma con signos.
Ecuaciones
Cálculo paso a paso
\[E_P=9{,}55\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]\[V_P=1{,}57\cdot10^5\ \mathrm{V}\]\[F=qE=1{,}91\ \mathrm{N}\]\[W_e=q(V_P-0)=0{,}315\ \mathrm{J}\]
Errores frecuentes
Usar r en lugar de r²
Fuerza y campo dependen de \(1/r^2\). Potencial y energía potencial dependen de \(1/r\).
Olvidar el signo de la carga
En potencial y energía se sustituye con signo. En fuerza y campo, el signo determina el sentido.
Sumar vectores como números
En el plano hay que trabajar con componentes o aprovechar la simetría.
Confundir campo y fuerza
El campo pertenece al punto del espacio. La fuerza depende además de la carga colocada allí.
Interpretar mal el trabajo
El trabajo del campo es \(-\Delta U\). El trabajo externo cuasiestático es \(+\Delta U\).
Usar la altura o el lado equivocado
En triángulos y cuadrados conviene calcular la distancia real antes de aplicar la fórmula.
Olvidar el signo del electrón
La fuerza y la aceleración de un electrón son opuestas al campo.
No comprobar el resultado
La dirección, el signo del potencial y el orden de magnitud permiten detectar muchos errores.
8 ejercicios propuestos
- Dos cargas \(+3\ \mu\mathrm{C}\) y \(-5\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}25\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza.
- Halla el campo a \(0{,}40\ \mathrm{m}\) de una carga \(-6\ \mu\mathrm{C}\).
- Dos cargas positivas \(+Q\) y \(+4Q\) están separadas \(0{,}60\ \mathrm{m}\). Localiza el punto interior de campo nulo.
- Calcula el potencial en el centro de un cuadrado de lado \(0{,}20\ \mathrm{m}\) con cuatro cargas \(+1\ \mu\mathrm{C}\).
- Una carga \(+2\ \mu\mathrm{C}\) se mueve de \(300\ \mathrm{V}\) a \(-200\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo del campo.
- Un electrón atraviesa \(500\ \mathrm{V}\) partiendo del reposo. Calcula su velocidad.
- Dos placas separadas \(3\ \mathrm{cm}\) mantienen \(900\ \mathrm{V}\). Calcula el campo y la fuerza sobre un protón.
- Una gota de masa \(5\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) posee carga \(-4e\). Calcula el campo vertical necesario para mantenerla suspendida.
Resultados de los ejercicios propuestos
- \(F=2{,}16\ \mathrm{N}\), atractiva.
- \(E=3{,}37\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\), hacia la carga.
- A \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de la carga Q.
- \(V=2{,}54\cdot10^5\ \mathrm{V}\).
- \(W_e=1{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{J}\).
- \(v=1{,}33\cdot10^7\ \mathrm{m/s}\).
- \(E=3{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\), \(F=4{,}81\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}\).
- \(E=7{,}65\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\), dirigido hacia abajo.
Simulacro final
Problema 1
Dos cargas \(+5\ \mu\mathrm{C}\) y \(-2\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula campo y potencial en un punto situado a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de la primera y entre ambas.
Problema 2
Un protón entra perpendicularmente en un campo uniforme entre placas. Determina su trayectoria, desviación y energía al salir.
Problema 3
Cuatro cargas ocupan los vértices de un cuadrado. Calcula campo, potencial y trabajo sobre una carga de prueba en el centro.
Problema 4
Una partícula positiva se lanza hacia otra carga positiva. Calcula la distancia mínima mediante conservación de la energía.
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Solicitar informaciónPreguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre campo y fuerza?
El campo describe la influencia eléctrica en un punto. La fuerza es la interacción concreta sobre una carga colocada allí y cumple \(\vec F=q\vec E\).
¿Cuándo aparece r²?
En la ley de Coulomb y en el campo de una carga puntual. En potencial y energía potencial aparece r.
¿El campo puede ser cero y el potencial no?
Sí. Ocurre, por ejemplo, en el punto medio de dos cargas positivas iguales.
¿El potencial puede ser cero y el campo no?
Sí. En el punto medio de un dipolo los potenciales se cancelan y los campos se suman.
¿Qué sentido tiene la fuerza sobre un electrón?
Es contrario al campo eléctrico porque la carga del electrón es negativa.
¿Sirve para PAU/EBAU?
Sí. Incluye teoría, dibujos, problemas graduados, situaciones completas y un simulacro final.
José María · Marlu Educativa · Revisión completa 25 de julio de 2026
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