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Campo eléctrico 2 Bachillerato PAU/EBAU: fuerza, intensidad, potencial y ejercicios resueltos
Física · 2.º de Bachillerato · PAU/EBAU
Campo eléctrico: del dibujo al resultado
Si el dibujo está bien, la cuenta suele ordenarse sola. Este cuaderno enseña a decidir qué vector sumar, cuándo trabajar con potencial y cuándo la simetría permite usar la ley de Gauss. Incluye 75 problemas resueltos, 82 dibujos, 10 propuestos y un simulacro final.
En campo eléctrico, el tropiezo casi nunca está en la calculadora. Suele aparecer antes: una distancia mal medida, un vector dibujado al revés o un signo trasladado sin pensar.
El cuaderno comparativo de campos ayuda a escoger modelo cuando todavía se confunden gravitación, electricidad y magnetismo. Aquí nos quedamos solo con el caso eléctrico y avanzamos desde cargas puntuales hasta potencial, energía, placas, conductores, flujo y ley de Gauss.
Al principio se muestran todos los pasos. Más adelante se abrevia la aritmética que ya está entrenada y se dedica el espacio a la decisión nueva: la simetría, la energía o el convenio de signos.
Resumen del tema
Fuerza
Dos cargas puntuales interactúan según \(F=k|q_1q_2|/r^2\). El signo de las cargas decide si se atraen o se repelen.
Campo
El campo es fuerza por unidad de carga positiva de prueba. Es vectorial y se suma por componentes.
Potencial
El potencial es escalar. Para una carga puntual, \(V=kQ/r\), con el signo de la carga fuente.
Energía y trabajo
La energía potencial cumple \(U=qV\) y el trabajo del campo es \(W_e=-\Delta U\).
Flujo
Relaciona un campo con una superficie orientada. El ángulo siempre se mide respecto a la normal.
Ley de Gauss
Conecta el flujo de una superficie cerrada con la carga neta que queda dentro.
Fuerza y campo contienen dirección y sentido. Potencial y energía potencial no. Esta diferencia determina el método de casi todos los problemas.
Constantes y unidades
| Magnitud | Símbolo | Valor | Unidad |
|---|---|---|---|
| Constante eléctrica | \(k\) | \(8{,}99\cdot10^9\) | \(\mathrm{N\,m^2/C^2}\) |
| Permitividad del vacío | \(\varepsilon_0\) | \(8{,}854\cdot10^{-12}\) | \(\mathrm{C^2/(N\,m^2)}\) |
| Carga elemental | \(e\) | \(1{,}602\cdot10^{-19}\) | C |
| Masa del electrón | \(m_e\) | \(9{,}109\cdot10^{-31}\) | kg |
| Masa del protón | \(m_p\) | \(1{,}673\cdot10^{-27}\) | kg |
| Campo eléctrico | \(E\) | 1 N/C | 1 V/m |
Convierte microculombios y nanoculombios a culombios antes de sustituir. Las distancias deben estar en metros.
Ley de Coulomb
La fórmula proporciona el módulo. La dirección está en la recta que une las cargas y el sentido depende de sus signos.
Campo eléctrico
El campo se define con una carga positiva de prueba. Sale de una carga positiva y entra hacia una carga negativa.
Principio de superposición
En una recta pueden utilizarse signos. En el plano, lo más seguro es calcular componentes cartesianas.
Flujo eléctrico y ley de Gauss
El flujo mide cómo atraviesa el campo una superficie. El ángulo se toma con la normal, no con el plano: una superficie perpendicular al campo recibe flujo máximo; una superficie paralela, flujo nulo.
Superficie abierta
Si el campo es uniforme y la superficie plana, \(\Phi_E=EA\cos\theta\).
Superficie cerrada
Solo cuenta la carga encerrada. Las cargas exteriores pueden alterar el campo local, pero no el flujo neto.
Cuándo simplifica el cálculo
Es especialmente útil con simetría esférica, cilíndrica o plana, porque el módulo de E puede salir de la integral.
Cuándo conviene otro camino
Con unas pocas cargas puntuales y geometría irregular suele ser más limpio sumar campos por componentes.
La ley de Gauss siempre se cumple. Lo que exige simetría no es la ley, sino usarla para despejar el campo de forma directa.
Líneas de campo y superficies equipotenciales
Las líneas de campo no se cortan y el vector campo es tangente a ellas. Las superficies equipotenciales son perpendiculares al campo.
Potencial y energía potencial
El potencial es escalar. El signo de la energía potencial depende del producto de las cargas.
Trabajo y conservación de la energía
El campo electrostático es conservativo. El trabajo depende de los extremos y no del camino.
Campo uniforme y placas paralelas
Entre placas ideales, el campo se considera constante. Una partícula que entra perpendicularmente al campo describe una trayectoria parabólica.
Conductores en equilibrio electrostático
En el interior del material conductor, el campo es nulo. Toda la superficie está al mismo potencial y el exceso de carga se distribuye en la superficie.
Gráficas de campo y potencial
Para una carga puntual, el módulo del campo varía como \(1/r^2\) y el potencial como \(1/r\). El campo es el opuesto del gradiente del potencial.
Método para resolver problemas
- Dibuja las cargas, los puntos y las distancias.
- Convierte todas las unidades al Sistema Internacional.
- Decide si se pide una magnitud vectorial o escalar.
- Fija ejes y sentidos positivos si hay vectores.
- Calcula cada contribución por separado.
- Si la carga forma una distribución continua con simetría suficiente, valora la ley de Gauss antes de integrar o sumar.
- Suma campos o fuerzas por componentes y potenciales con signo.
- En movimiento de cargas, conecta electricidad con dinámica, cinemática o energía.
- Revisa signo, unidad, dirección y orden de magnitud.
75 ejercicios resueltos paso a paso
La colección avanza desde la ley de Coulomb hasta el flujo, la ley de Gauss y los problemas completos de campo, potencial, energía, placas, conductores y movimiento de partículas. Todos los modelos y sus dibujos son de elaboración propia.
Bloque 1. Ley de Coulomb y fuerza eléctrica
Fuerza entre dos cargas positivas
Pregunta. Dos cargas \(q_1=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) y \(q_2=3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) están separadas \(0{,}30\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza eléctrica.
Lo que sabemos
\(q_1=2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(q_2=3{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(r=0{,}30\ \mathrm{m}\).
Cómo lo planteamos
La ley de Coulomb proporciona el módulo. Como las cargas tienen el mismo signo, la fuerza es repulsiva.
Cálculo
\[F=8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30^2}=0{,}599\ \mathrm{N}\]
Fuerza atractiva entre cargas opuestas
Objetivo. Calcula la fuerza entre \(q_1=4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(q_2=-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), separadas \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Información útil
\(q_1=4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(q_2=-2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}20\ \mathrm{m}\).
La elección importante
Las cargas de signo contrario se atraen. La fórmula se aplica al módulo.
Fórmula
Resultado numérico
\[F=8{,}99\cdot10^9\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}\cdot2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2}=1{,}80\ \mathrm{N}\]
Distancia a partir de la fuerza
Situación. Dos cargas de \(5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se repelen con una fuerza de \(2{,}50\ \mathrm{N}\). Calcula la distancia.
Información útil
\(q_1=5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(q_2=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(F=2{,}50\ \mathrm{N}\).
La elección importante
Se despeja la distancia de la ley de Coulomb.
Fórmula
Resultado numérico
\[r=\sqrt{8{,}99\cdot10^9\dfrac{5{,}0\cdot10^{-6}\cdot2{,}0\cdot10^{-6}}{2{,}50}}=0{,}190\ \mathrm{m}\]
Carga desconocida
Caso propuesto. Una carga \(q_1=3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está a \(0{,}50\ \mathrm{m}\) de otra carga. La fuerza tiene módulo \(0{,}216\ \mathrm{N}\). Calcula el módulo de la segunda carga.
Ubicamos los datos
\(q_1=3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}50\ \mathrm{m}\), \(F=0{,}216\ \mathrm{N}\).
El signo decide el sentido
La ley de Coulomb permite despejar el módulo de la carga desconocida.
Cuenta
\[|q_2|=\dfrac{0{,}216\cdot0{,}50^2}{8{,}99\cdot10^9\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}=2{,}00\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\]
Efecto de duplicar la distancia
Dos cargas mantienen sus valores y duplican la separación. Determina cómo cambia la fuerza.
\(r_2=2r_1\).
La fuerza eléctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
\[\dfrac{F_2}{F_1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\]
Efecto de triplicar una carga
Punto de partida. Se triplica una de las cargas y se mantiene fija la distancia. ¿Cómo cambia la fuerza?
\(q_2\to3q_2\).
La fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas.
\[F_2=3F_1\]
Fuerza sobre una carga situada en el eje x
Una carga \(+6{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra carga \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza sobre la segunda.
Distancias y signos
\(q_1=+6{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(q_2=-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(r=0{,}40\ \mathrm{m}\).
Qué debe compararse
La fuerza es atractiva y apunta hacia la carga positiva, es decir, hacia la izquierda.
Relaciones necesarias
\[F=8{,}99\cdot10^9\dfrac{6{,}0\cdot10^{-6}\cdot2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}40^2}=0{,}674\ \mathrm{N}\]
Fuerza total sobre una carga entre otras dos
Qué se pide. Una carga \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está entre una carga \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\), situada \(0{,}20\ \mathrm{m}\) a su izquierda, y otra \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\), situada \(0{,}30\ \mathrm{m}\) a su derecha. Calcula la fuerza total.
Las dos fuerzas sobre la carga central apuntan hacia la derecha.
La idea física
La carga izquierda la repele y la derecha la atrae. Los módulos se suman.
Ecuación útil
En números
\[F_1=0{,}899\ \mathrm{N},\qquad F_2=0{,}300\ \mathrm{N}\]\[F_T=1{,}20\ \mathrm{N}\]
Punto de equilibrio entre dos cargas positivas
Dos cargas \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(+9{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Localiza el punto interior donde una carga positiva de prueba estaría en equilibrio.
Aquí merece la pena detenerse antes de escribir una ecuación: entre las dos cargas los campos apuntan en sentidos opuestos; fuera del segmento, no.
Escala y unidades
Sea \(x\) la distancia desde la carga de \(4{,}0\ \mu\mathrm{C}\).
Comprobación previa
En el punto interior, las fuerzas son opuestas. Se igualan sus módulos.
Modelo elegido
\[\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{0{,}50-x}\Rightarrow 1-2x=3x\Rightarrow x=0{,}20\ \mathrm{m}\]
Fuerza resultante en un triángulo rectángulo
Problema. Una carga de prueba \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \((0,0{,}40)\ \mathrm{m}\). Hay una carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en el origen y otra \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \((0{,}30,0)\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza resultante.
Escala y unidades
Las distancias son \(0{,}40\ \mathrm{m}\) y \(0{,}50\ \mathrm{m}\).
Comprobación previa
Se calculan las dos fuerzas y se descompone la correspondiente al triángulo 3-4-5.
Modelo elegido
\[F_1=0{,}337\ \mathrm{N},\qquad F_2=0{,}288\ \mathrm{N}\]\[F_{2x}=-0{,}6F_2=-0{,}173\ \mathrm{N},\quad F_{2y}=0{,}8F_2=0{,}230\ \mathrm{N}\]\[\vec F=(-0{,}173\,\hat\imath+0{,}567\,\hat\jmath)\ \mathrm{N}\]\[|\vec F|=0{,}593\ \mathrm{N}\]
Bloque 2. Campo eléctrico y superposición
Campo creado por una carga positiva
El cálculo. Calcula el campo eléctrico creado por \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) a \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Datos y unidades
\(Q=+4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}20\ \mathrm{m}\).
El campo de una carga positiva apunta radialmente hacia fuera.
Modelo físico
Aplicación numérica
\[E=8{,}99\cdot10^9\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2}=8{,}99\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Campo creado por una carga negativa
Una carga \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) crea campo a \(0{,}30\ \mathrm{m}\). Calcula módulo y sentido.
Dato decisivo
\(Q=-2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}30\ \mathrm{m}\).
El módulo se calcula con el valor absoluto y el sentido apunta hacia la carga negativa.
Resolución breve
\[E=8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30^2}=2{,}00\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Fuerza a partir del campo
Pregunta. En un punto hay un campo de \(3000\ \mathrm{N/C}\). Calcula la fuerza sobre una carga \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\).
Antes de empezar
\(E=3000\ \mathrm{N/C}\), \(q=+5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
El camino más directo
Para una carga positiva, fuerza y campo tienen el mismo sentido.
Desarrollo
\[F=5{,}0\cdot10^{-6}\cdot3000=1{,}50\cdot10^{-2}\ \mathrm{N}\]
Fuerza sobre una carga negativa
Objetivo. Un campo uniforme de \(800\ \mathrm{N/C}\) apunta hacia la derecha. Calcula la fuerza sobre \(q=-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\).
Antes de empezar
\(E=800\ \mathrm{N/C}\), \(q=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
El camino más directo
La fuerza sobre una carga negativa tiene sentido contrario al campo.
Desarrollo
\[F_x=-3{,}0\cdot10^{-6}\cdot800=-2{,}40\cdot10^{-3}\ \mathrm{N}\]
Distancia para un campo dado
Situación. ¿A qué distancia de una carga \(+8{,}0\ \mu\mathrm{C}\) el campo vale \(2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\)?
Lo que sabemos
\(Q=8{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(E=2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\).
Cómo lo planteamos
Se despeja la distancia en la expresión del campo puntual.
Cálculo
\[r=\sqrt{\dfrac{8{,}99\cdot10^9\cdot8{,}0\cdot10^{-6}}{2{,}0\cdot10^5}}=0{,}600\ \mathrm{m}\]
Campo en el punto medio de dos cargas iguales
Caso propuesto. Dos cargas positivas iguales están separadas \(0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el punto medio.
Las distancias y los módulos de las cargas son iguales.
Los campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos.
\[E_1=E_2,\qquad \vec E_1=-\vec E_2\]
Campo en el punto medio de un dipolo
Dos cargas \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el punto medio.
Dato decisivo
Cada carga está a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) del punto.
Entre cargas opuestas, los dos campos apuntan desde la positiva hacia la negativa.
Resolución breve
\[E_T=2\cdot8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2}=8{,}99\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Suma de campos en la misma dirección
Punto de partida. En un punto actúan \(E_1=2000\ \mathrm{N/C}\) y \(E_2=5000\ \mathrm{N/C}\), ambos hacia la derecha.
Los dos vectores son colineales y del mismo sentido.
Se suman los módulos.
\[E_T=2000+5000=7000\ \mathrm{N/C}\]
Suma de campos opuestos
En un punto, \(E_1=9000\ \mathrm{N/C}\) apunta a la derecha y \(E_2=4000\ \mathrm{N/C}\) a la izquierda.
Se toma la derecha como sentido positivo.
Se suman algebraicamente las componentes.
\[E_x=5000\ \mathrm{N/C}\]
Campo con componentes perpendiculares
Qué se pide. Un campo tiene componentes \(E_x=3000\ \mathrm{N/C}\) y \(E_y=4000\ \mathrm{N/C}\). Calcula módulo y ángulo.
Las componentes son perpendiculares.
Se usa Pitágoras y la tangente del ángulo.
\[E=5000\ \mathrm{N/C},\qquad \theta=\arctan(4/3)=53{,}1^\circ\]
Campo de dos cargas alineadas
Una carga \(+6{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en \(x=0{,}20\ \mathrm{m}\).
Las distancias son \(0{,}20\ \mathrm{m}\) y \(0{,}40\ \mathrm{m}\).
La idea física
Los dos campos apuntan hacia la derecha.
Ecuación útil
En números
\[E_1=1{,}35\cdot10^6\ \mathrm{N/C},\qquad E_2=1{,}12\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]\[E_T=1{,}46\cdot10^6\ \mathrm{N/C}\]
Punto de campo nulo con cargas opuestas desiguales
Problema. Una carga \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). Localiza el punto donde el campo se anula.
No busques el punto nulo entre las cargas. En esa zona, al ser de signo contrario, los dos campos llevan el mismo sentido.
Qué conocemos
El punto no puede estar entre las cargas porque allí los campos se suman.
Qué buscamos
Se busca a la derecha de la carga de menor módulo.
La ecuación que conecta ambos
Cálculo final
\[\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{x-0{,}60}\Rightarrow 2x-1{,}20=x\Rightarrow x=1{,}20\ \mathrm{m}\]
Tres cargas iguales en un triángulo equilátero
El cálculo. Tres cargas positivas iguales ocupan los vértices de un triángulo equilátero. Calcula el campo en su centro.
El centro está a la misma distancia de las tres cargas.
Los tres campos tienen igual módulo y direcciones separadas \(120^\circ\).
Por simetría, las componentes se cancelan exactamente.
Cuatro cargas iguales en un cuadrado
Cuatro cargas positivas iguales ocupan los vértices de un cuadrado. Determina el campo en el centro.
Antes de sumar cuatro vectores, mira la simetría. Si el dibujo está bien hecho, gran parte del cálculo desaparece.
La distancia del centro a cada vértice es la misma.
Cada campo tiene otro de igual módulo y sentido opuesto.
Las parejas de vértices opuestos cancelan sus contribuciones.
Campo resultante de dos cargas en ejes perpendiculares
Pregunta. Una carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \((0{,}30,0)\ \mathrm{m}\) y otra \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \((0,0{,}40)\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en el origen.
Situamos las cargas
El primer campo apunta a la izquierda y el segundo hacia arriba.
Se calculan las componentes y se obtiene la resultante.
Relación entre magnitudes
\[E_x=-2{,}00\cdot10^5\ \mathrm{N/C},\qquad E_y=1{,}69\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]\[E=2{,}61\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Campo sobre el eje de un dipolo
Objetivo. Un dipolo tiene \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=-0{,}10\ \mathrm{m}\) y \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=+0{,}10\ \mathrm{m}\). Calcula el campo en \(x=0{,}30\ \mathrm{m}\).
Las distancias son \(0{,}40\ \mathrm{m}\) y \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
El signo decide el sentido
El campo de la positiva apunta a la derecha y el de la negativa a la izquierda.
\[E_x=1{,}69\cdot10^5-6{,}74\cdot10^5=-5{,}06\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Bloque 3. Potencial, energía y trabajo
Potencial creado por una carga positiva
Situación. Calcula el potencial creado por \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) a \(0{,}25\ \mathrm{m}\).
Situamos las cargas
\(Q=5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}25\ \mathrm{m}\).
Sentidos y signos
El potencial es escalar y conserva el signo de la carga fuente.
Relación entre magnitudes
\[V=8{,}99\cdot10^9\dfrac{5{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}25}=1{,}80\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Potencial creado por una carga negativa
Caso propuesto. Calcula el potencial creado por \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) a \(0{,}40\ \mathrm{m}\).
Escala y unidades
\(Q=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(r=0{,}40\ \mathrm{m}\).
Comprobación previa
Se sustituye la carga con su signo.
\[V=8{,}99\cdot10^9\dfrac{-3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}40}=-6{,}74\cdot10^4\ \mathrm{V}\]
Potencial nulo en el punto medio de un dipolo
Dos cargas \(+Q\) y \(-Q\) están separadas. Calcula el potencial en el punto medio.
Las distancias a las dos cargas son iguales.
Los potenciales se suman algebraicamente.
\[V=0\]
Potencial en el centro de un cuadrado
Punto de partida. Cuatro cargas \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(0{,}40\ \mathrm{m}\). Calcula el potencial en el centro.
La distancia al centro es \(r=a/\sqrt2=0{,}283\ \mathrm{m}\).
El potencial suma cuatro contribuciones iguales.
La ley que usamos
\[V=4\cdot8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}2828}=2{,}54\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Potencial debido a dos cargas de signo contrario
Un punto está a \(0{,}30\ \mathrm{m}\) de \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula el potencial.
Las contribuciones se suman con signo.
Qué debe ocurrir
El potencial es escalar.
Herramienta matemática
\[V=8{,}99\cdot10^9\left(\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30}-\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20}\right)=3{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V}\]
Energía potencial de dos cargas positivas
Qué se pide. Dos cargas \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula la energía potencial.
Magnitudes conocidas
\(q_1q_2>0\).
Qué magnitudes se relacionan
La energía potencial es positiva para cargas del mismo signo.
Cuentas
\[U=8{,}99\cdot10^9\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}50}=0{,}108\ \mathrm{J}\]
Energía potencial de cargas opuestas
Calcula la energía potencial de \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) separadas \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
Energías y signos
\(q_1q_2<0\).
La energía potencial resulta negativa.
Conservación de la energía
Despeje
\[U=8{,}99\cdot10^9\dfrac{4{,}0\cdot10^{-6}\cdot(-1{,}0\cdot10^{-6})}{0{,}20}=-0{,}180\ \mathrm{J}\]
Trabajo eléctrico entre dos potenciales
Problema. Una carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se desplaza desde \(V_A=500\ \mathrm{V}\) hasta \(V_B=100\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo del campo.
\(q=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\), \(V_A-V_B=400\ \mathrm{V}\).
La elección importante
El trabajo del campo es \(q(V_A-V_B)\).
Fórmula
\[W_e=2{,}0\cdot10^{-6}(500-100)=8{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}\]
Trabajo externo en un desplazamiento cuasiestático
El cálculo. Una carga \(-3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se mueve lentamente desde \(-200\ \mathrm{V}\) hasta \(400\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo externo.
Información útil
\(\Delta V=600\ \mathrm{V}\), \(q=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
La elección importante
En un traslado lento, el trabajo externo coincide con \(\Delta U=q\Delta V\).
Fórmula
\[W_{ext}=-3{,}0\cdot10^{-6}\cdot600=-1{,}80\cdot10^{-3}\ \mathrm{J}\]
Velocidad de un electrón acelerado por una diferencia de potencial
Un electrón parte del reposo y atraviesa una diferencia de potencial de \(250\ \mathrm{V}\). Calcula su velocidad no relativista.
Usaremos el módulo de la diferencia de potencial para obtener la rapidez. El signo ya se ha tenido en cuenta al decidir hacia dónde se acelera el electrón.
Datos que entran
\(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\), \(m_e=9{,}109\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}\).
Primero, el planteamiento
La disminución de energía potencial se transforma en energía cinética.
Operación
\[v=\sqrt{\dfrac{2e\Delta V}{m_e}}=9{,}38\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad de un protón acelerado
Pregunta. Un protón parte del reposo y atraviesa \(1500\ \mathrm{V}\). Calcula su velocidad.
Magnitudes conocidas
\(m_p=1{,}673\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\).
Se aplica conservación de la energía.
Ecuaciones
Cuentas
\[v=\sqrt{\dfrac{2e\cdot1500}{m_p}}=5{,}36\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]
Caída eléctrica hacia una carga negativa
Objetivo. Una partícula de masa \(0{,}010\ \mathrm{kg}\) y carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) parte del reposo a \(0{,}40\ \mathrm{m}\) de una carga fija \(-5{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula su velocidad al llegar a \(0{,}20\ \mathrm{m}\).
El movimiento es atractivo y se desprecia cualquier otra interacción.
El signo decide el sentido
La disminución de energía potencial se transforma en cinética.
\[\Delta K=8{,}99\cdot10^9\cdot10^{-11}(5-2{,}5)=0{,}2248\ \mathrm{J}\]\[v=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}2248}{0{,}010}}=6{,}70\ \mathrm{m/s}\]
Velocidad mínima para escapar de una atracción eléctrica
Situación. Una partícula de carga \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y masa \(2{,}0\ \mathrm{g}\) está a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de una carga fija \(-8{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula la velocidad mínima de escape.
Situamos las cargas
En el límite de escape, la energía final en el infinito es cero.
Sentidos y signos
La energía cinética inicial debe compensar el módulo de la energía potencial.
Relación entre magnitudes
\[v_e=\sqrt{\dfrac{2k|Qq|}{mr}}=19{,}0\ \mathrm{m/s}\]
Trabajo en una trayectoria cerrada
Caso propuesto. Una carga recorre una trayectoria cerrada en un campo electrostático y vuelve al punto inicial. Calcula el trabajo total del campo.
El punto inicial y final coinciden.
El campo electrostático es conservativo.
\[\Delta U=0\Rightarrow W_e=0\]
Bloque 4. Campo uniforme y movimiento de cargas
Campo a partir de la pendiente del potencial
El potencial disminuye linealmente \(600\ \mathrm{V}\) al avanzar \(0{,}030\ \mathrm{m}\) en el eje x. Calcula el campo.
\(\Delta V=-600\ \mathrm{V}\), \(\Delta x=0{,}030\ \mathrm{m}\).
En una dimensión, \(E_x=-\Delta V/\Delta x\).
Una relación basta
Cuenta directa
\[E_x=-\dfrac{-600}{0{,}030}=2{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\]
Campo entre placas a partir de la diferencia de potencial
Punto de partida. Dos placas paralelas están separadas \(0{,}040\ \mathrm{m}\) y mantienen una diferencia de potencial de \(1200\ \mathrm{V}\). Calcula el campo ideal.
\(d=0{,}040\ \mathrm{m}\), \(|\Delta V|=1200\ \mathrm{V}\).
Comprobación previa
Entre placas ideales, el campo es uniforme.
Modelo elegido
\[E=\dfrac{1200}{0{,}040}=3{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\]
Fuerza sobre un electrón entre placas
Un electrón se encuentra en un campo uniforme de \(2{,}50\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Calcula la fuerza.
\(|q|=e\).
Lectura del dibujo
La fuerza tiene sentido contrario al campo.
La relación que basta
\[F=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot2{,}50\cdot10^4=4{,}01\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}\]
Aceleración de un protón
Qué se pide. Un protón está en un campo uniforme de \(5{,}0\cdot10^3\ \mathrm{N/C}\). Calcula su aceleración.
Dibujo y datos
\(q=e\), \(m=m_p\).
Qué magnitudes intervienen
Se combinan la fuerza eléctrica y la segunda ley de Newton.
Sustitución
\[a=\dfrac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^3}{1{,}673\cdot10^{-27}}=4{,}79\cdot10^{11}\ \mathrm{m/s^2}\]
Electrón acelerado a lo largo de un campo uniforme
Un electrón parte del reposo y recorre \(0{,}020\ \mathrm{m}\) en sentido contrario a un campo de \(1{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\). Calcula su rapidez final.
La diferencia de potencial en módulo es \(Ed=200\ \mathrm{V}\).
La energía eléctrica se transforma en cinética.
Una relación basta
Cuenta directa
\[v=\sqrt{\dfrac{2eEd}{m_e}}=8{,}39\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\]
Ion doblemente cargado entre placas
Problema. Un ion de carga \(+2e\) y masa \(6{,}64\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\) parte del reposo en un campo de \(4{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\) y recorre \(0{,}050\ \mathrm{m}\). Calcula su velocidad.
\(q=2e\), \(\Delta V=Ed=2000\ \mathrm{V}\).
Qué magnitudes se relacionan
La energía cinética ganada es \(q\Delta V\).
Ecuaciones
\[v=\sqrt{\dfrac{2(2e)(4{,}0\cdot10^4)(0{,}050)}{6{,}64\cdot10^{-27}}}=4{,}39\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]
Movimiento paralelo al campo
El cálculo. Un protón entra con \(v_0=2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\) en el sentido de un campo \(E=1000\ \mathrm{N/C}\). Calcula velocidad y desplazamiento tras \(2{,}0\ \mu\mathrm{s}\).
Punto de partida
El movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado.
Primero se calcula la aceleración y después se aplican las ecuaciones cinemáticas.
La ley que usamos
\[a=9{,}58\cdot10^{10}\ \mathrm{m/s^2}\]\[v=3{,}92\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]\[x=0{,}592\ \mathrm{m}\]
Distancia de frenado de un protón
Un protón entra con \(3{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\) en sentido contrario a un campo de \(2000\ \mathrm{N/C}\). Calcula la distancia hasta detenerse.
Carga, masa y velocidad
La aceleración es opuesta a la velocidad.
Movimiento en cada eje
Se usa \(v^2=v_0^2+2a\Delta x\) con \(v=0\).
Sustituimos
\[|a|=1{,}92\cdot10^{11}\ \mathrm{m/s^2}\]\[d=0{,}235\ \mathrm{m}\]
Desviación de un electrón en un campo transversal
Pregunta. Un electrón entra horizontalmente con \(4{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\) en una región de longitud \(0{,}080\ \mathrm{m}\) con campo vertical de \(100\ \mathrm{N/C}\). Calcula la desviación y el ángulo de salida.
Separamos los movimientos: horizontal uniforme y vertical acelerado. Mezclarlos desde el principio solo complica la cuenta.
Punto de partida
El movimiento horizontal es uniforme y el vertical uniformemente acelerado.
El electrón acelera en sentido opuesto al campo.
La ley que usamos
Hasta el valor final
\[t=2{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{s}\]\[a_y=-1{,}76\cdot10^{13}\ \mathrm{m/s^2}\]\[y=-3{,}52\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}\]\[\theta=5{,}03^\circ\]
Campo máximo para que un electrón no choque con una placa
Objetivo. Un electrón entra por el centro entre dos placas separadas \(0{,}020\ \mathrm{m}\), con velocidad horizontal \(5{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\). La longitud de las placas es \(0{,}050\ \mathrm{m}\). Calcula el campo máximo para no tocar una placa.
La desviación máxima permitida es \(0{,}010\ \mathrm{m}\).
Qué debe compararse
Se impone que la desviación al salir sea igual a la mitad de la separación.
Relaciones necesarias
\[E=\dfrac{2ym_ev^2}{eL^2}=1{,}14\cdot10^3\ \mathrm{V/m}\]
Equilibrio de una gota cargada
Situación. Una gota de masa \(2{,}0\cdot10^{-12}\ \mathrm{kg}\) queda suspendida en un campo vertical hacia arriba de \(4{,}0\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Calcula su carga.
El peso apunta hacia abajo.
La fuerza eléctrica debe equilibrar el peso y apuntar hacia arriba, por lo que la carga es positiva.
Una relación basta
\[q=\dfrac{mg}{E}=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-12}\cdot9{,}81}{4{,}0\cdot10^4}=4{,}91\cdot10^{-16}\ \mathrm{C}\]
Gota con carga negativa
Caso propuesto. Una gota de masa \(4{,}0\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) tiene carga \(-5e\). Calcula el campo necesario para mantenerla en equilibrio.
Qué conocemos
La fuerza eléctrica debe apuntar hacia arriba.
Qué buscamos
Como la carga es negativa, el campo debe apuntar hacia abajo.
Cálculo final
\[E=\dfrac{4{,}0\cdot10^{-15}\cdot9{,}81}{5\cdot1{,}602\cdot10^{-19}}=4{,}90\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\]
Trabajo en un desplazamiento paralelo al campo
Una carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) se desplaza \(0{,}050\ \mathrm{m}\) en el sentido de un campo de \(2000\ \mathrm{N/C}\). Calcula \(\Delta V\), \(\Delta U\) y el trabajo del campo.
Carga, masa y velocidad
El desplazamiento es paralelo al campo.
El potencial disminuye al avanzar en el sentido de E.
Ecuaciones del movimiento
Sustituimos
\[\Delta V=-100\ \mathrm{V}\]\[\Delta U=-3{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}\]\[W_e=3{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}\]
Ecuación de la trayectoria en un campo transversal
Punto de partida. Un protón entra horizontalmente con \(v_0=1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\) en un campo vertical de \(500\ \mathrm{N/C}\). Calcula la desviación cuando \(x=0{,}10\ \mathrm{m}\).
La velocidad inicial vertical es cero.
Movimiento en cada eje
Se elimina el tiempo entre \(x=v_0t\) e \(y=\frac12at^2\).
Ecuaciones del movimiento
\[y=\dfrac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot500}{2\cdot1{,}673\cdot10^{-27}\cdot(10^5)^2}(0{,}10)^2=2{,}39\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}\]
Tiempo de tránsito y desviación de un protón
Un protón atraviesa una región de longitud \(0{,}12\ \mathrm{m}\) con velocidad horizontal \(6{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\) y campo vertical \(800\ \mathrm{N/C}\). Calcula tiempo y desviación.
Punto de partida
La velocidad horizontal se considera constante.
Se calcula primero el tiempo de vuelo.
La ley que usamos
\[t=2{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{s}\]\[y=1{,}53\cdot10^{-5}\ \mathrm{m}\]
Bloque 5. Problemas completos tipo PAU/EBAU
Comparación de desviaciones de electrón y protón
Dos partículas, un mismo campo. Un electrón y un protón entran con la misma rapidez en un mismo campo transversal y recorren la misma longitud dentro de él. Compara sus desviaciones.
Geometría del problema
Tienen cargas de igual módulo y masas muy diferentes.
Decisión previa
Para la misma geometría, \(y\propto |q|/m\).
Sustituimos
\[\dfrac{y_e}{y_p}\approx1836\]
Campo y potencial de una esfera conductora
Sobre la superficie. Una esfera conductora de radio \(0{,}10\ \mathrm{m}\) posee carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula el campo inmediatamente fuera de la superficie y el potencial en ella.
Dentro del conductor en equilibrio el campo es nulo; eso no obliga a que el potencial sea cero.
Geometría del problema
Para puntos exteriores, la esfera se comporta como una carga puntual situada en el centro.
Se usan las expresiones de carga puntual con \(r=R\).
Expresión que conecta los datos
Sustituimos
\[E(R)=2{,}70\cdot10^6\ \mathrm{N/C}\]\[V(R)=2{,}70\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Trabajo dentro de una esfera conductora
Una carga de prueba se desplaza entre dos puntos del material de una esfera conductora maciza en equilibrio electrostático. Calcula el trabajo del campo.
En todo el interior conductor, \(E=0\) y el potencial es constante.
La elección importante
No existe diferencia de potencial entre los puntos.
Fórmula
\[V_A=V_B\Rightarrow W_e=0\]
Problema completo entre placas
El cálculo. Un electrón parte del reposo entre placas separadas \(0{,}030\ \mathrm{m}\) con diferencia de potencial \(600\ \mathrm{V}\). Calcula campo, fuerza, aceleración y velocidad al llegar a la placa positiva.
Este ejercicio reúne casi todo el bloque. Decide primero el sentido del campo y de la fuerza; después, la cuenta sale en cadena.
Antes de empezar
El campo se considera uniforme y se desprecia la gravedad.
Se combinan campo uniforme, fuerza, dinámica y energía.
Desarrollo
\[E=2{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\]\[F=3{,}20\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}\]\[a=3{,}52\cdot10^{15}\ \mathrm{m/s^2}\]\[v=1{,}45\cdot10^7\ \mathrm{m/s}\]
Campo y potencial en un vértice de un triángulo
Una carga \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(A=(0,0)\), otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(B=(0{,}30,0)\ \mathrm{m}\), y el punto \(P=(0,0{,}40)\ \mathrm{m}\). Calcula el potencial y el campo eléctrico en P.
Las distancias son \(AP=0{,}40\ \mathrm{m}\) y \(BP=0{,}50\ \mathrm{m}\). El triángulo es 3-4-5.
Qué debe ocurrir
El potencial se suma escalarmente. Para el campo, \(\vec E_1\) apunta hacia arriba y \(\vec E_2\) desde P hacia la carga negativa.
Herramienta matemática
\[V_P=3{,}15\cdot10^4\ \mathrm{V}\]\[\vec E_1=(0\,\hat\imath+1{,}69\cdot10^5\,\hat\jmath)\ \mathrm{N/C}\]\[\vec E_2=(4{,}32\cdot10^4\,\hat\imath-5{,}75\cdot10^4\,\hat\jmath)\ \mathrm{N/C}\]\[\vec E=(4{,}32\cdot10^4\,\hat\imath+1{,}11\cdot10^5\,\hat\jmath)\ \mathrm{N/C}\]\[|\vec E|=1{,}19\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]
Centro de un cuadrado con cargas alternas
Pregunta. Cuatro cargas de igual módulo ocupan los vértices de un cuadrado con signos alternos \(+,-,+,-\). Calcula campo y potencial en el centro.
Las cargas del mismo signo ocupan vértices opuestos y las de signo contrario quedan en vértices contiguos.
El potencial se anula por suma algebraica. Los campos también se cancelan por simetría central.
\[V=0,\qquad \vec E=0\]
Punto de campo nulo y potencial en ese punto
Objetivo. Dos cargas \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(+9{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula el punto de campo nulo y el potencial allí.
El punto de campo nulo está a \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de la carga menor y \(0{,}30\ \mathrm{m}\) de la mayor.
Después de hallar el punto, se suman los potenciales.
Herramienta matemática
Cerramos la cuenta
\[V=8{,}99\cdot10^9(2{,}0\cdot10^{-5}+3{,}0\cdot10^{-5})=4{,}50\cdot10^5\ \mathrm{V}\]
Punto de potencial nulo entre cargas opuestas
Situación. Una carga \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}60\ \mathrm{m}\). Calcula el punto interior donde el potencial es cero.
Sea \(x\) la distancia desde la carga positiva.
El potencial se anula cuando las contribuciones tienen igual módulo.
Una relación basta
\[4(0{,}60-x)=2x\Rightarrow x=0{,}40\ \mathrm{m}\]
Trabajo debido a dos cargas fuente
Caso propuesto. Dos cargas fijas \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) crean potenciales \(V_A=2{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V}\) y \(V_B=-5{,}0\cdot10^3\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo del campo al mover \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) de A a B.
Ubicamos los datos
\(q=4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
El signo decide el sentido
El trabajo depende solo de los potenciales de los extremos.
Cuenta
\[W_e=4{,}0\cdot10^{-6}(2{,}0\cdot10^4+5{,}0\cdot10^3)=0{,}100\ \mathrm{J}\]
Punto de retorno de una carga positiva
Una partícula \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\), de masa \(2{,}0\ \mathrm{g}\), se lanza desde \(0{,}50\ \mathrm{m}\) hacia una carga fija \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) con \(v_0=6{,}0\ \mathrm{m/s}\). Calcula la distancia mínima.
En el punto de retorno la velocidad se anula, pero la fuerza eléctrica no tiene por qué hacerlo.
Escala y unidades
En el punto más próximo, la velocidad es cero.
Se conserva la energía mecánica.
Modelo elegido
\[0{,}036+0{,}0899=\dfrac{0{,}04495}{r_{min}}\Rightarrow r_{min}=0{,}357\ \mathrm{m}\]
Órbita circular clásica de un electrón
Punto de partida. En el modelo clásico, un electrón describe una órbita circular de radio \(5{,}29\cdot10^{-11}\ \mathrm{m}\) alrededor de un protón. Calcula su velocidad y periodo.
La fuerza eléctrica actúa como fuerza centrípeta.
Comprobación previa
Se igualan Coulomb y centrípeta.
Modelo elegido
\[v=\sqrt{\dfrac{ke^2}{m_er}}=2{,}19\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\]\[T=1{,}52\cdot10^{-16}\ \mathrm{s}\]
Carga cuantizada en una experiencia tipo Millikan
Una gota de masa \(7{,}35\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) queda suspendida en un campo de \(3{,}00\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Calcula el módulo de su carga y exprésalo en múltiplos de e.
Magnitudes conocidas
El campo se orienta para que la fuerza eléctrica sea ascendente.
Qué magnitudes se relacionan
En equilibrio, \(|q|E=mg\).
Cuentas
\[|q|=\dfrac{7{,}35\cdot10^{-15}\cdot9{,}81}{3{,}00\cdot10^4}=2{,}40\cdot10^{-18}\ \mathrm{C}\]\[\dfrac{|q|}{e}=15{,}0\]
Deflexión completa de un electrón entre placas
Qué se pide. Un electrón entra por el centro de placas de longitud \(0{,}060\ \mathrm{m}\), separadas \(0{,}020\ \mathrm{m}\), con \(v_x=5{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\). La diferencia de potencial es \(2{,}0\ \mathrm{V}\). Calcula si choca y el ángulo de salida.
Punto de partida
\(E=\Delta V/d=100\ \mathrm{V/m}\).
Se calcula la desviación al final y se compara con la semiseparación de 1 cm.
La ley que usamos
Hasta el valor final
\[t=1{,}20\cdot10^{-8}\ \mathrm{s}\]\[y=1{,}27\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}\]\[v_y=2{,}11\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\]\[\theta=2{,}42^\circ\]
Interpretación de las gráficas de E y V
Compara cómo varían el campo y el potencial de una carga positiva al duplicar y cuadruplicar la distancia.
\(E\propto1/r^2\) y \(V\propto1/r\).
Se aplican razones de escala.
El campo decrece más deprisa que el potencial.
Modelo tipo PAU de elaboración propia: dos cargas
Problema. Dos cargas \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y \(-1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) están en \(x=0\) y \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). En \(P\), situado en \(x=0{,}20\ \mathrm{m}\), calcula campo, potencial, fuerza sobre \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) y trabajo para llevarla desde P hasta el infinito.
En una respuesta PAU, el dibujo y el convenio de signos forman parte de la solución; no son un adorno.
Situamos las cargas
Las distancias a P son \(0{,}20\ \mathrm{m}\) y \(0{,}40\ \mathrm{m}\).
Sentidos y signos
En P, los dos campos apuntan a la derecha. El potencial se suma con signos.
\[E_P=9{,}55\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\]\[V_P=1{,}57\cdot10^5\ \mathrm{V}\]\[F=qE=1{,}91\ \mathrm{N}\]\[W_e=q(V_P-0)=0{,}315\ \mathrm{J}\]
Bloque 6. Flujo eléctrico y ley de Gauss
Flujo a través de una superficie plana
El cálculo. Un campo uniforme de \(3{,}0\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\) atraviesa una superficie plana de \(2{,}0\cdot10^{-2}\ \mathrm{m^2}\). El campo forma \(60^\circ\) con la normal. Calcula el flujo.
El ángulo del flujo se mide con la normal. Si se toma con el plano, seno y coseno quedan intercambiados.
Superficie y normal
\(E=3{,}0\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\), \(A=2{,}0\cdot10^{-2}\ \mathrm{m^2}\) y \(\theta=60^\circ\).
Simetría disponible
El campo es uniforme y la superficie plana, de modo que basta proyectar el vector superficie sobre E.
Ley de Gauss
\[\Phi_E=3{,}0\cdot10^4\cdot2{,}0\cdot10^{-2}\cdot\cos60^\circ=3{,}0\cdot10^2\ \mathrm{N\,m^2/C}\]
Flujo neto de una carga encerrada
Una superficie cerrada encierra una carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula el flujo eléctrico neto, aunque la carga no esté en el centro.
\(Q_{int}=2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\).
La idea física
Para el flujo total de una superficie cerrada se aplica directamente la ley de Gauss.
En números
\[\Phi_E=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{8{,}854\cdot10^{-12}}=2{,}26\cdot10^5\ \mathrm{N\,m^2/C}\]
Campo de una lámina infinita cargada
Pregunta. Una lámina aislante ideal tiene densidad superficial uniforme \(\sigma=4{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C/m^2}\). Calcula el campo a cada lado.
Gauss simplifica este problema porque la simetría mantiene constante el módulo del campo sobre la superficie elegida.
Distancias y signos
\(\sigma=4{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C/m^2}\).
Una superficie gaussiana en forma de pastilla corta la lámina y recibe flujo por sus dos tapas.
Relaciones necesarias
\[E=\dfrac{4{,}0\cdot10^{-8}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}=2{,}26\cdot10^3\ \mathrm{N/C}\]
Campo entre dos placas extensas opuestas
Objetivo. Dos placas ideales, paralelas y muy extensas tienen densidades \(+\sigma\) y \(-\sigma\), con \(\sigma=3{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C/m^2}\). Calcula el campo entre ellas y en el exterior.
\(\sigma=3{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C/m^2}\).
Qué buscamos
Se superponen los campos \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) creados por cada placa.
La ecuación que conecta ambos
\[E_{interior}=\dfrac{3{,}0\cdot10^{-8}}{8{,}854\cdot10^{-12}}=3{,}39\cdot10^3\ \mathrm{N/C}\]
Campo de un hilo largo con carga uniforme
Situación. Un hilo rectilíneo muy largo tiene densidad lineal \(\lambda=2{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C/m}\). Calcula el campo a \(0{,}050\ \mathrm{m}\).
Distancias y signos
\(\lambda=2{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C/m}\) y \(r=0{,}050\ \mathrm{m}\).
Qué debe compararse
Se usa un cilindro gaussiano coaxial. Solo aporta flujo la superficie lateral.
Relaciones necesarias
\[E=\dfrac{2{,}0\cdot10^{-8}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}050}=7{,}19\cdot10^3\ \mathrm{N/C}\]
Errores frecuentes
Usar r en lugar de r²
Fuerza y campo dependen de \(1/r^2\). Potencial y energía potencial dependen de \(1/r\).
Olvidar el signo de la carga
En potencial y energía se sustituye con signo. En fuerza y campo, el signo determina el sentido.
Sumar vectores como números
En el plano hay que trabajar con componentes o aprovechar la simetría.
Confundir campo y fuerza
El campo pertenece al punto del espacio. La fuerza depende además de la carga colocada allí.
Interpretar mal el trabajo
El trabajo del campo es \(-\Delta U\). El trabajo externo cuasiestático es \(+\Delta U\).
Usar la altura o el lado equivocado
En triángulos y cuadrados conviene calcular la distancia real antes de aplicar la fórmula.
Olvidar el signo del electrón
La fuerza y la aceleración de un electrón son opuestas al campo.
No comprobar el resultado
La dirección, el signo del potencial y el orden de magnitud permiten detectar muchos errores.
Medir el ángulo con el plano
En el flujo, el coseno utiliza el ángulo entre el campo y la normal a la superficie.
Intentar despejar E sin simetría
La ley de Gauss es general, pero solo permite sacar E de la integral cuando la geometría mantiene su módulo y orientación de forma controlada.
10 ejercicios propuestos
- Dos cargas \(+3\ \mu\mathrm{C}\) y \(-5\ \mu\mathrm{C}\) están separadas \(0{,}25\ \mathrm{m}\). Calcula la fuerza.
- Halla el campo a \(0{,}40\ \mathrm{m}\) de una carga \(-6\ \mu\mathrm{C}\).
- Dos cargas positivas \(+Q\) y \(+4Q\) están separadas \(0{,}60\ \mathrm{m}\). Localiza el punto interior de campo nulo.
- Calcula el potencial en el centro de un cuadrado de lado \(0{,}20\ \mathrm{m}\) con cuatro cargas \(+1\ \mu\mathrm{C}\).
- Una carga \(+2\ \mu\mathrm{C}\) se mueve de \(300\ \mathrm{V}\) a \(-200\ \mathrm{V}\). Calcula el trabajo del campo.
- Un electrón atraviesa \(500\ \mathrm{V}\) partiendo del reposo. Calcula su velocidad.
- Dos placas separadas \(3\ \mathrm{cm}\) mantienen \(900\ \mathrm{V}\). Calcula el campo y la fuerza sobre un protón.
- Una gota de masa \(5\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) posee carga \(-4e\). Calcula el campo vertical necesario para mantenerla suspendida.
- Un campo uniforme de \(2{,}5\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\) atraviesa una superficie de \(1{,}2\cdot10^{-2}\ \mathrm{m^2}\) y forma \(30^\circ\) con la normal. Calcula el flujo.
- Una superficie cerrada encierra una carga neta de \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Calcula el flujo neto y explica si cambia al desplazar la carga dentro de la superficie.
Resultados de los ejercicios propuestos
- \(F=2{,}16\ \mathrm{N}\), atractiva.
- \(E=3{,}37\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\), hacia la carga.
- A \(0{,}20\ \mathrm{m}\) de la carga Q.
- \(V=2{,}54\cdot10^5\ \mathrm{V}\).
- \(W_e=1{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{J}\).
- \(v=1{,}33\cdot10^7\ \mathrm{m/s}\).
- \(E=3{,}0\cdot10^4\ \mathrm{V/m}\), \(F=4{,}81\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}\).
- \(E=7{,}65\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\), dirigido hacia abajo.
- \(\Phi_E\approx2{,}60\cdot10^2\ \mathrm{N\,m^2/C}\).
- \(\Phi_E\approx3{,}39\cdot10^5\ \mathrm{N\,m^2/C}\); no cambia mientras la carga siga encerrada.
Hoja de seguimiento
Úsala después de los propuestos. No basta con marcar un acierto: anota qué decisión te hizo perder tiempo y vuelve al mismo tipo de problema unos días después.
| Parte | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error que no repetiré |
|---|---|---|---|---|
| Coulomb y fuerza | □ | □ | □ | |
| Campo y superposición | □ | □ | □ | |
| Potencial, energía y trabajo | □ | □ | □ | |
| Placas y movimiento | □ | □ | □ | |
| Conductores | □ | □ | □ | |
| Flujo y Gauss | □ | □ | □ |
Simulacro tipo PAU de elaboración propia
Tiempo orientativo: 90 minutos. Puntuación: 2 puntos por problema. Escribe el dibujo, el convenio de signos, la ley empleada y la respuesta con unidades.
Problema 1 · Dos cargas en una recta
Una carga \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) está en \(x=0\) y otra \(-2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) en \(x=0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula el campo y el potencial en \(P\), situado en \(x=0{,}20\ \mathrm{m}\). Indica el sentido del campo.
Problema 2 · Partícula entre placas
Un protón entra por el centro de dos placas con velocidad horizontal \(4{,}0\cdot10^5\ \mathrm{m/s}\). Las placas miden \(0{,}080\ \mathrm{m}\), están separadas \(0{,}040\ \mathrm{m}\) y crean un campo vertical uniforme de \(500\ \mathrm{N/C}\). Calcula el tiempo dentro del campo, la desviación, el ángulo de salida y el aumento de energía cinética.
Problema 3 · Simetría en un cuadrado
Cuatro cargas de igual módulo \(Q=2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) ocupan los vértices de un cuadrado de lado \(0{,}30\ \mathrm{m}\), con signos alternos. Razona el campo y el potencial en el centro y calcula el trabajo del campo al llevar una carga \(+1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) desde el centro hasta el infinito.
Problema 4 · Punto de retorno
Una partícula de carga \(+0{,}50\ \mu\mathrm{C}\) y masa \(1{,}5\ \mathrm{g}\) se lanza con \(4{,}0\ \mathrm{m/s}\), desde \(0{,}60\ \mathrm{m}\), hacia una carga fija \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Halla la distancia mínima y explica por qué invierte el movimiento.
Problema 5 · Conductor y ley de Gauss
Una esfera conductora maciza de radio \(0{,}080\ \mathrm{m}\) posee carga \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\). Obtén \(E\) y \(V\) en \(r=0{,}040\ \mathrm{m}\), justo fuera de la superficie y en \(r=0{,}20\ \mathrm{m}\). Calcula también el flujo de las tres superficies gaussianas.
Resultados para corregir. 1) \(\vec E=1{,}32\cdot10^6\ \mathrm{N/C}\) hacia la derecha y \(V=1{,}65\cdot10^5\ \mathrm{V}\). 2) \(t=2{,}00\cdot10^{-7}\ \mathrm{s}\), \(y=9{,}58\cdot10^{-4}\ \mathrm{m}\), \(\theta=1{,}37^\circ\) y \(\Delta K=7{,}67\cdot10^{-20}\ \mathrm{J}\). 3) \(\vec E=0\), \(V=0\) y \(W_e=0\). 4) \(r_{min}=0{,}428\ \mathrm{m}\). 5) \(E=0\), \(V=2{,}25\cdot10^5\ \mathrm{V}\) y \(\Phi=0\) en \(r=0{,}040\ \mathrm{m}\); justo fuera, \(E=2{,}81\cdot10^6\ \mathrm{N/C}\), \(V=2{,}25\cdot10^5\ \mathrm{V}\) y \(\Phi=2{,}26\cdot10^5\ \mathrm{N\,m^2/C}\); en \(r=0{,}20\ \mathrm{m}\), \(E=4{,}50\cdot10^5\ \mathrm{N/C}\), \(V=8{,}99\cdot10^4\ \mathrm{V}\) y el mismo flujo saliente.
Criterio de autocorrección. Reserva 2 puntos por ejercicio: 0,4 por el dibujo y los signos; 0,4 por elegir la relación física; 0,6 por el desarrollo; 0,4 por unidades, dirección y precisión; 0,2 por la comprobación final.
Biblioteca Marlu Educativa · Física
Qué estudiar después
Si quieres comprobar si distingues bien los modelos, termina con el examen de Física. Para reforzar la analogía entre campos, continúa con gravitación; si el siguiente paso son cargas en movimiento, corrientes e inducción, pasa al cuaderno magnético.
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Si necesitas ordenar el tema, corregir planteamientos o preparar una prueba concreta, en Marlu Educativa trabajamos cada problema con dibujo, decisión física, cálculo y revisión.
Consultar clases de FísicaPreguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre campo y fuerza?
El campo describe la influencia eléctrica en un punto. La fuerza es la interacción concreta sobre una carga colocada allí y cumple \(\vec F=q\vec E\).
¿Cuándo aparece r²?
En la ley de Coulomb y en el campo de una carga puntual. En potencial y energía potencial aparece r.
¿El campo puede ser cero y el potencial no?
Sí. Ocurre, por ejemplo, en el punto medio de dos cargas positivas iguales.
¿El potencial puede ser cero y el campo no?
Sí. En el punto medio de un dipolo los potenciales se cancelan y los campos se suman.
¿Qué sentido tiene la fuerza sobre un electrón?
Es contrario al campo eléctrico porque la carga del electrón es negativa.
¿Sirve para PAU/EBAU?
Sí. Incluye teoría, dibujos, problemas graduados, situaciones completas y un simulacro final.