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Campo gravitatorio eléctrico y magnético PAU/EBAU 2026 ejercicios resueltos paso a paso

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Campos gravitatorio, eléctrico y magnético PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso

Los campos gravitatorio, eléctrico y magnético forman uno de los bloques más importantes de Física de 2 Bachillerato y PAU/EBAU. En apariencia son temas distintos, pero comparten una idea común: una masa, una carga o una corriente crean una región del espacio en la que otros cuerpos pueden sentir una fuerza.

En este recurso trabajamos ejercicios tipo examen de campo gravitatorio, campo eléctrico y campo magnético con explicación paso a paso. La intención no es poner fórmulas sueltas, sino enseñar a decidir qué modelo físico se usa, qué distancia hay que tomar, qué unidades deben convertirse al Sistema Internacional y qué sentido físico tiene el resultado.

El bloque está organizado en tres partes. Primero campo gravitatorio, después campo eléctrico y finalmente campo magnético. Dentro de cada parte aparecen ejercicios recurrentes de PAU/EBAU: satélites, órbitas, velocidad de escape, energía de puesta en órbita, campo y potencial de cargas, puntos donde se anula el campo o el potencial, partículas aceleradas, fuerza magnética, hilos conductores y selectores de velocidad.

Material elaborado por José María para Marlu Educativa como apoyo para alumnos que preparan Física PAU/EBAU y necesitan ver problemas resueltos de forma clara, ordenada y realista.

Campo gravitatorio

Masas, planetas, satélites, órbitas, energía potencial, periodo, velocidad orbital y velocidad de escape.

Campo eléctrico

Cargas, campo, potencial, energía eléctrica, trabajo, superposición y puntos de equilibrio.

Campo magnético

Cargas en movimiento, conductores, hilos, fuerza magnética, radio de giro y sentido vectorial.

Índice clicable de ejercicios

  1. Ejercicio 1. Campo gravitatorio creado por la Tierra
  2. Ejercicio 2. Satélite en órbita circular
  3. Ejercicio 3. Energía mecánica y velocidad de escape
  4. Ejercicio 4. Campo gravitatorio reducido a la cuarta parte
  5. Ejercicio 5. Órbita geoestacionaria
  6. Ejercicio 6. Energía necesaria para poner un satélite en órbita
  7. Ejercicio 7. Campo eléctrico creado por dos cargas
  8. Ejercicio 8. Potencial eléctrico y trabajo
  9. Ejercicio 9. Punto donde se anula el campo eléctrico
  10. Ejercicio 10. Campo y potencial en el punto medio entre dos cargas
  11. Ejercicio 11. Puntos donde el potencial eléctrico es cero
  12. Ejercicio 12. Campo eléctrico vectorial con componentes
  13. Ejercicio 13. Campo eléctrico uniforme, diferencia de potencial y trabajo
  14. Ejercicio 14. Carga en campo magnético uniforme
  15. Ejercicio 15. Radio de la trayectoria de un protón
  16. Ejercicio 16. Fuerza magnética sobre un conductor
  17. Ejercicio 17. Campo magnético creado por un hilo rectilíneo
  18. Ejercicio 18. Selector de velocidades
  19. Ejercicio 19. Protón acelerado y entrada en campo magnético
  20. Ejercicio 20. Electrón acelerado y entrada en campo magnético
  21. Ejercicio 21. Fuerza entre dos conductores paralelos
  22. Ejercicio 22. Campo magnético creado por dos hilos

Fórmulas básicas que conviene dominar

Campo gravitatorio

\[ F_g=G\frac{Mm}{r^2} \]
\[ g=G\frac{M}{r^2} \]
\[ E_p=-G\frac{Mm}{r} \]
\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]
\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]
\[ v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

Campo eléctrico

\[ E=K\frac{|q|}{r^2} \]
\[ V=K\frac{q}{r} \]
\[ \Delta E_p=q\Delta V \]
\[ W_{\text{campo}}=-\Delta E_p=-q\Delta V \]

Campo magnético

\[ F=qvB\sin \alpha \]
\[ F=ILB\sin \alpha \]
\[ r=\frac{mv}{|q|B} \]
\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d} \]

Idea clave. En estos temas no basta con saber la fórmula. Hay que fijarse en la distancia que se usa, el signo de las cargas, el sentido del campo, si la fuerza es atractiva o repulsiva, si el movimiento es rectilíneo o circular y si el problema se resuelve por dinámica o por energía.

Campo gravitatorio PAU/EBAU

En campo gravitatorio, casi todos los errores vienen de usar mal la distancia. La distancia \(r\) siempre se mide desde el centro del planeta, no desde la superficie. Si aparece una altura, hay que sumar el radio del planeta.

Ejercicio 1. Campo gravitatorio creado por la Tierra

Un cuerpo de masa \(1200\ \mathrm{kg}\) se encuentra a \(400\ \mathrm{km}\) de altura sobre la superficie terrestre. Calcula el campo gravitatorio, la fuerza gravitatoria y la energía potencial gravitatoria.

Datos

\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2} \]
\[ M_T=5{,}98\cdot10^{24}\ \mathrm{kg} \]
\[ R_T=6{,}37\cdot10^6\ \mathrm{m} \]

Primer paso. Calculamos la distancia al centro de la Tierra

No usamos solo la altura. Hay que sumar el radio terrestre.

\[ r=R_T+h \]
\[ r=6{,}37\cdot10^6+4{,}00\cdot10^5=6{,}77\cdot10^6\ \mathrm{m} \]

Segundo paso. Campo gravitatorio

\[ g=G\frac{M_T}{r^2} \]
\[ g=6{,}67\cdot10^{-11}\frac{5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}77\cdot10^6)^2} \]
\[ g=8{,}70\ \mathrm{m/s^2} \]

Tercer paso. Fuerza gravitatoria

\[ F=m\cdot g \]
\[ F=1200\cdot8{,}70=1{,}04\cdot10^4\ \mathrm{N} \]

Cuarto paso. Energía potencial

\[ E_p=-G\frac{M_Tm}{r} \]
\[ E_p=-6{,}67\cdot10^{-11}\frac{5{,}98\cdot10^{24}\cdot1200}{6{,}77\cdot10^6} \]
\[ E_p=-7{,}07\cdot10^{10}\ \mathrm{J} \]

Resultado.

\[ g=8{,}70\ \mathrm{m/s^2} \]
\[ F=1{,}04\cdot10^4\ \mathrm{N} \]
\[ E_p=-7{,}07\cdot10^{10}\ \mathrm{J} \]

El campo es menor que en la superficie porque el cuerpo está más lejos del centro de la Tierra. La energía potencial sale negativa porque se toma cero en el infinito.

Ejercicio 2. Satélite en órbita circular

Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de \(700\ \mathrm{km}\). Calcula su velocidad orbital y el periodo de revolución.

Primer paso. Distancia orbital

\[ r=R_T+h \]
\[ r=6{,}37\cdot10^6+7{,}00\cdot10^5=7{,}07\cdot10^6\ \mathrm{m} \]

Segundo paso. Velocidad orbital

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta.

\[ G\frac{M_Tm}{r^2}=m\frac{v^2}{r} \]
\[ v=\sqrt{\frac{GM_T}{r}} \]
\[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{7{,}07\cdot10^6}} \]
\[ v=7{,}51\cdot10^3\ \mathrm{m/s} \]

Tercer paso. Periodo

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]
\[ T=\frac{2\pi\cdot7{,}07\cdot10^6}{7{,}51\cdot10^3} \]
\[ T=5{,}91\cdot10^3\ \mathrm{s} \]
\[ T=98{,}6\ \mathrm{min} \]

Resultado.

\[ v=7{,}51\cdot10^3\ \mathrm{m/s} \]
\[ T=5{,}91\cdot10^3\ \mathrm{s}=98{,}6\ \mathrm{min} \]

El orden de magnitud es coherente. Un satélite en órbita baja se mueve a varios kilómetros por segundo y tarda algo más de hora y media en completar una vuelta.

Ejercicio 3. Energía mecánica y velocidad de escape

Calcula la velocidad de escape desde la superficie terrestre.

Primer paso. Planteamos la idea física

La velocidad de escape es la velocidad mínima para que un cuerpo pueda llegar al infinito con velocidad final nula. Por conservación de la energía:

\[ \frac{1}{2}mv_e^2-G\frac{M_Tm}{R_T}=0 \]

Segundo paso. Despejamos

\[ \frac{1}{2}v_e^2=\frac{GM_T}{R_T} \]
\[ v_e=\sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ v_e=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^6}} \]
\[ v_e=1{,}12\cdot10^4\ \mathrm{m/s} \]

Resultado.

\[ v_e=1{,}12\cdot10^4\ \mathrm{m/s} \]

Es decir, aproximadamente \(11{,}2\ \mathrm{km/s}\).

La masa del cuerpo se simplifica. La velocidad de escape no depende de la masa del objeto, sino de la masa y radio del planeta.

Ejercicio 4. Campo gravitatorio reducido a la cuarta parte

¿A qué altura sobre la superficie terrestre el campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor en la superficie?

Primer paso. Campo en la superficie

\[ g_0=G\frac{M_T}{R_T^2} \]

Segundo paso. Campo a una altura \(h\)

\[ g_h=G\frac{M_T}{(R_T+h)^2} \]

Tercer paso. Imponemos la condición

\[ g_h=\frac{g_0}{4} \]
\[ G\frac{M_T}{(R_T+h)^2}=\frac{1}{4}G\frac{M_T}{R_T^2} \]

Se simplifican \(G\) y \(M_T\).

\[ \frac{1}{(R_T+h)^2}=\frac{1}{4R_T^2} \]

Cuarto paso. Resolvemos

\[ (R_T+h)^2=4R_T^2 \]
\[ R_T+h=2R_T \]
\[ h=R_T \]
\[ h=6{,}37\cdot10^6\ \mathrm{m} \]

Resultado.

\[ h=6{,}37\cdot10^6\ \mathrm{m}=6370\ \mathrm{km} \]

El resultado tiene sentido. Para que el campo sea la cuarta parte, la distancia al centro debe duplicarse, porque el campo gravitatorio depende de \(1/r^2\).

Ejercicio 5. Órbita geoestacionaria

Un satélite geoestacionario tiene un periodo de \(24\ \mathrm{h}\). Calcula el radio de su órbita y la altura sobre la superficie terrestre.

Primer paso. Pasamos el periodo a segundos

\[ T=24\cdot3600=86400\ \mathrm{s} \]

Segundo paso. Relacionamos periodo y radio orbital

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}} \]

Despejamos \(r\).

\[ r^3=\frac{GM_TT^2}{4\pi^2} \]
\[ r=\sqrt[3]{\frac{GM_TT^2}{4\pi^2}} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ r=\sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot86400^2}{4\pi^2}} \]
\[ r=4{,}22\cdot10^7\ \mathrm{m} \]

Cuarto paso. Calculamos la altura

\[ h=r-R_T \]
\[ h=4{,}22\cdot10^7-6{,}37\cdot10^6 \]
\[ h=3{,}58\cdot10^7\ \mathrm{m} \]

Resultado.

\[ r=4{,}22\cdot10^7\ \mathrm{m} \]
\[ h=3{,}58\cdot10^7\ \mathrm{m} \]

La altura es aproximadamente \(35800\ \mathrm{km}\).

Es un resultado clásico. Un satélite geoestacionario está mucho más alto que un satélite de órbita baja.

Ejercicio 6. Energía necesaria para poner un satélite en órbita

Un satélite de masa \(1000\ \mathrm{kg}\) se lanza desde la superficie terrestre y se coloca en una órbita circular a \(300\ \mathrm{km}\) de altura. Calcula la energía mínima que hay que aportar, despreciando rozamientos y rotación terrestre.

Primer paso. Energía inicial en la superficie

Al inicio consideramos el satélite en reposo sobre la superficie.

\[ E_i=-G\frac{M_Tm}{R_T} \]

Segundo paso. Energía total en una órbita circular

\[ E_f=-G\frac{M_Tm}{2r} \]

donde

\[ r=R_T+h=6{,}37\cdot10^6+3{,}00\cdot10^5=6{,}67\cdot10^6\ \mathrm{m} \]

Tercer paso. Energía que hay que aportar

\[ \Delta E=E_f-E_i \]
\[ \Delta E=-G\frac{M_Tm}{2r}+G\frac{M_Tm}{R_T} \]
\[ \Delta E=GM_Tm\left(\frac{1}{R_T}-\frac{1}{2r}\right) \]

Cuarto paso. Sustituimos

\[ \Delta E=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot1000 \left(\frac{1}{6{,}37\cdot10^6}-\frac{1}{2\cdot6{,}67\cdot10^6}\right) \]
\[ \Delta E=3{,}27\cdot10^{10}\ \mathrm{J} \]

Resultado.

\[ \Delta E=3{,}27\cdot10^{10}\ \mathrm{J} \]

Este ejercicio es muy típico porque mezcla energía potencial gravitatoria, energía mecánica orbital y radio orbital. Es frecuente fallar por no usar \(E=-GMm/(2r)\) en la órbita circular.

Campo eléctrico PAU/EBAU

En campo eléctrico hay que separar dos cosas. El campo eléctrico es vectorial y tiene dirección y sentido. El potencial eléctrico es escalar y se suma con signo. Esta diferencia es clave en los problemas de cargas.

Ejercicio 7. Campo eléctrico creado por dos cargas

Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje X. La carga \(q_1=4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) está en \(x=0\) y la carga \(q_2=-2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) está en \(x=0{,}60\ \mathrm{m}\). Calcula el campo eléctrico en el punto \(P\), situado en \(x=0{,}20\ \mathrm{m}\).

Dato

\[ K=9{,}0\cdot10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} \]

Primer paso. Campo creado por \(q_1\)

\[ r_1=0{,}20\ \mathrm{m} \]
\[ E_1=K\frac{|q_1|}{r_1^2} \]
\[ E_1=9{,}0\cdot10^9\frac{4{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20^2} \]
\[ E_1=9{,}00\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Como \(q_1\) es positiva, el campo en \(P\) se aleja de ella. Apunta hacia la derecha.

Segundo paso. Campo creado por \(q_2\)

\[ r_2=0{,}60-0{,}20=0{,}40\ \mathrm{m} \]
\[ E_2=K\frac{|q_2|}{r_2^2} \]
\[ E_2=9{,}0\cdot10^9\frac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}40^2} \]
\[ E_2=1{,}125\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Como \(q_2\) es negativa, el campo en \(P\) apunta hacia la carga negativa. También apunta hacia la derecha.

Tercer paso. Campo total

\[ E=E_1+E_2 \]
\[ E=9{,}00\cdot10^5+1{,}125\cdot10^5=1{,}0125\cdot10^6\ \mathrm{N/C} \]

Resultado.

\[ E=1{,}01\cdot10^6\ \mathrm{N/C} \]

El campo apunta hacia la derecha.

Error típico. En campo eléctrico no basta con calcular módulos. Hay que estudiar el sentido de cada campo antes de sumar.

Ejercicio 8. Potencial eléctrico y trabajo

Una carga puntual \(Q=5{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) crea un campo eléctrico. Una carga \(q=-2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) se desplaza desde \(A\), situado a \(0{,}20\ \mathrm{m}\), hasta \(B\), situado a \(0{,}50\ \mathrm{m}\). Calcula la variación de energía potencial y el trabajo realizado por el campo.

Primer paso. Potenciales en \(A\) y \(B\)

\[ V=K\frac{Q}{r} \]
\[ V_A=9{,}0\cdot10^9\frac{5{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}20}=2{,}25\cdot10^5\ \mathrm{V} \]
\[ V_B=9{,}0\cdot10^9\frac{5{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}50}=9{,}00\cdot10^4\ \mathrm{V} \]

Segundo paso. Variación de potencial

\[ \Delta V=V_B-V_A \]
\[ \Delta V=9{,}00\cdot10^4-2{,}25\cdot10^5=-1{,}35\cdot10^5\ \mathrm{V} \]

Tercer paso. Variación de energía potencial

\[ \Delta E_p=q\Delta V \]
\[ \Delta E_p=(-2{,}0\cdot10^{-6})(-1{,}35\cdot10^5)=0{,}27\ \mathrm{J} \]

Cuarto paso. Trabajo del campo

\[ W_{\text{campo}}=-\Delta E_p \]
\[ W_{\text{campo}}=-0{,}27\ \mathrm{J} \]

Resultado.

\[ \Delta E_p=0{,}27\ \mathrm{J} \]
\[ W_{\text{campo}}=-0{,}27\ \mathrm{J} \]

El signo tiene sentido. La carga es negativa y se aleja de una carga positiva. El campo eléctrico no favorece espontáneamente ese desplazamiento.

Ejercicio 9. Punto donde se anula el campo eléctrico

Dos cargas positivas \(q_1=9{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) y \(q_2=4{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) están separadas \(1{,}0\ \mathrm{m}\). Halla el punto de la recta que las une donde el campo eléctrico total es nulo.

Primer paso. Situamos el punto

Colocamos \(q_1\) en \(x=0\) y \(q_2\) en \(x=1\). Como las dos cargas son positivas, el punto donde se anula el campo estará entre ambas.

Llamamos \(x\) a la distancia desde \(q_1\) hasta el punto. La distancia hasta \(q_2\) será \(1-x\).

Segundo paso. Igualamos los módulos

\[ K\frac{q_1}{x^2}=K\frac{q_2}{(1-x)^2} \]

Se simplifica \(K\).

\[ \frac{9}{x^2}=\frac{4}{(1-x)^2} \]

Tercer paso. Tomamos raíz

\[ \frac{3}{x}=\frac{2}{1-x} \]
\[ 3(1-x)=2x \]
\[ 3-3x=2x \]
\[ x=\frac{3}{5}=0{,}60\ \mathrm{m} \]

Resultado.

\[ x=0{,}60\ \mathrm{m} \]

El campo se anula a \(0{,}60\ \mathrm{m}\) de la carga \(q_1\) y a \(0{,}40\ \mathrm{m}\) de la carga \(q_2\).

El punto queda más cerca de la carga menor, porque para compensar el campo de una carga menor hay que estar más cerca de ella.

Ejercicio 10. Campo y potencial en el punto medio entre dos cargas

Dos cargas iguales \(q_1=q_2=3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) están separadas \(0{,}60\ \mathrm{m}\). Calcula el campo eléctrico y el potencial eléctrico en el punto medio del segmento que las une.

Primer paso. Distancia desde cada carga al punto medio

\[ r=0{,}30\ \mathrm{m} \]

Segundo paso. Campo eléctrico en el punto medio

Las dos cargas son iguales y positivas. En el punto medio, los campos tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos.

\[ E_1=E_2 \]
\[ E_{\text{total}}=0 \]

Tercer paso. Potencial eléctrico

El potencial es escalar. Se suma con signo, pero aquí las dos cargas son positivas.

\[ V=K\frac{q_1}{r}+K\frac{q_2}{r} \]
\[ V=2K\frac{q}{r} \]
\[ V=2\cdot9{,}0\cdot10^9\frac{3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30} \]
\[ V=1{,}80\cdot10^5\ \mathrm{V} \]

Resultado.

\[ E_{\text{total}}=0 \]
\[ V=1{,}80\cdot10^5\ \mathrm{V} \]

Error típico. Que el campo se anule no significa que el potencial sea cero. El campo es vectorial y el potencial es escalar.

Ejercicio 11. Puntos donde el potencial eléctrico es cero

Dos cargas puntuales están sobre el eje X. La carga \(q_1=+6{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) está en \(x=0\) y la carga \(q_2=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) está en \(x=0{,}90\ \mathrm{m}\). Halla los puntos del eje X donde el potencial eléctrico total es cero.

Primer paso. Planteamos el potencial total

\[ V=K\frac{q_1}{r_1}+K\frac{q_2}{r_2} \]

Como queremos \(V=0\), se puede simplificar \(K\).

Segundo paso. Punto entre las cargas

Si el punto está entre las cargas, llamamos \(x\) a la distancia desde \(q_1\). Entonces la distancia a \(q_2\) es \(0{,}90-x\).

\[ \frac{6}{x}-\frac{3}{0{,}90-x}=0 \]
\[ \frac{6}{x}=\frac{3}{0{,}90-x} \]
\[ 6(0{,}90-x)=3x \]
\[ 5{,}40-6x=3x \]
\[ x=0{,}60\ \mathrm{m} \]

Tercer paso. Punto a la derecha de \(q_2\)

Si el punto está a la derecha de \(q_2\), entonces las distancias son \(x\) y \(x-0{,}90\).

\[ \frac{6}{x}-\frac{3}{x-0{,}90}=0 \]
\[ \frac{6}{x}=\frac{3}{x-0{,}90} \]
\[ 6(x-0{,}90)=3x \]
\[ 6x-5{,}40=3x \]
\[ x=1{,}80\ \mathrm{m} \]

Resultado.

\[ x=0{,}60\ \mathrm{m} \]
\[ x=1{,}80\ \mathrm{m} \]

Este ejercicio es muy útil porque distingue potencial de campo. Para el potencial se suman valores escalares con signo.

Ejercicio 12. Campo eléctrico vectorial con componentes

Una carga \(q_1=+2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) está situada en \((0,0)\) y una carga \(q_2=-3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) está situada en \((0{,}40,0)\), con las coordenadas en metros. Calcula el campo eléctrico en el punto \(P=(0,0{,}30)\).

Primer paso. Campo creado por \(q_1\)

La distancia de \(q_1\) a \(P\) es \(0{,}30\ \mathrm{m}\).

\[ E_1=K\frac{|q_1|}{r_1^2} \]
\[ E_1=9{,}0\cdot10^9\frac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}30^2}=2{,}00\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Como \(q_1\) es positiva, el campo en \(P\) apunta hacia arriba.

\[ \vec E_1=(0,\ 2{,}00\cdot10^5) \]

Segundo paso. Campo creado por \(q_2\)

La distancia entre \(q_2\) y \(P\) es

\[ r_2=\sqrt{0{,}40^2+0{,}30^2}=0{,}50\ \mathrm{m} \]
\[ E_2=9{,}0\cdot10^9\frac{3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}50^2}=1{,}08\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Como \(q_2\) es negativa, el campo en \(P\) apunta hacia la carga \(q_2\). La dirección tiene componentes proporcionales a \(0{,}40\) y \(-0{,}30\).

\[ \cos\alpha=\frac{0{,}40}{0{,}50}=0{,}8 \]
\[ \sin\alpha=\frac{0{,}30}{0{,}50}=0{,}6 \]
\[ E_{2x}=1{,}08\cdot10^5\cdot0{,}8=8{,}64\cdot10^4 \]
\[ E_{2y}=-1{,}08\cdot10^5\cdot0{,}6=-6{,}48\cdot10^4 \]

Tercer paso. Sumamos componentes

\[ E_x=8{,}64\cdot10^4\ \mathrm{N/C} \]
\[ E_y=2{,}00\cdot10^5-6{,}48\cdot10^4=1{,}352\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Cuarto paso. Módulo del campo total

\[ E=\sqrt{E_x^2+E_y^2} \]
\[ E=\sqrt{(8{,}64\cdot10^4)^2+(1{,}352\cdot10^5)^2} \]
\[ E=1{,}61\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Resultado.

\[ \vec E=(8{,}64\cdot10^4,\ 1{,}352\cdot10^5)\ \mathrm{N/C} \]
\[ E=1{,}61\cdot10^5\ \mathrm{N/C} \]

Este ejercicio es muy representativo porque obliga a trabajar con componentes. Cuando las cargas no están en la misma recta, no se pueden sumar los módulos directamente.

Ejercicio 13. Campo eléctrico uniforme, diferencia de potencial y trabajo

En una región hay un campo eléctrico uniforme de módulo \(E=1{,}5\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\). Dos puntos \(A\) y \(B\) están separados \(6{,}0\ \mathrm{cm}\) en la dirección del campo. Una carga \(q=3{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{C}\) se desplaza desde \(A\) hasta \(B\) en el sentido del campo. Calcula la diferencia de potencial \(V_B-V_A\), la variación de energía potencial y el trabajo realizado por el campo.

Primer paso. Pasamos la distancia al Sistema Internacional

\[ d=6{,}0\ \mathrm{cm}=0{,}060\ \mathrm{m} \]

Segundo paso. Diferencia de potencial

En el sentido del campo eléctrico, el potencial disminuye.

\[ V_B-V_A=-Ed \]
\[ V_B-V_A=-1{,}5\cdot10^4\cdot0{,}060 \]
\[ V_B-V_A=-900\ \mathrm{V} \]

Tercer paso. Variación de energía potencial

\[ \Delta E_p=q\Delta V \]
\[ \Delta E_p=3{,}0\cdot10^{-6}\cdot(-900) \]
\[ \Delta E_p=-2{,}7\cdot10^{-3}\ \mathrm{J} \]

Cuarto paso. Trabajo realizado por el campo

\[ W_{\text{campo}}=-\Delta E_p \]
\[ W_{\text{campo}}=2{,}7\cdot10^{-3}\ \mathrm{J} \]

Resultado.

\[ V_B-V_A=-900\ \mathrm{V} \]
\[ \Delta E_p=-2{,}7\cdot10^{-3}\ \mathrm{J} \]
\[ W_{\text{campo}}=2{,}7\cdot10^{-3}\ \mathrm{J} \]

El trabajo del campo es positivo porque la carga positiva se mueve en el sentido del campo. La energía potencial disminuye.

Campo magnético PAU/EBAU

En campo magnético aparece una idea distinta. El campo magnético no actúa sobre cargas en reposo, sino sobre cargas en movimiento o corrientes eléctricas. Además, la fuerza magnética suele ser perpendicular a la velocidad y al campo.

Ejercicio 14. Carga en campo magnético uniforme

Un protón entra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de intensidad \(B=0{,}30\ \mathrm{T}\) con velocidad \(v=2{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\). Calcula la fuerza magnética.

Dato

\[ q_p=1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{C} \]

Primer paso. Fórmula de la fuerza magnética

\[ F=qvB\sin\alpha \]

Como entra perpendicularmente, \(\alpha=90^\circ\) y \(\sin90^\circ=1\).

\[ F=qvB \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ F=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}0\cdot10^6\cdot0{,}30 \]
\[ F=9{,}6\cdot10^{-14}\ \mathrm{N} \]

Resultado.

\[ F=9{,}6\cdot10^{-14}\ \mathrm{N} \]

La fuerza magnética no cambia el módulo de la velocidad si siempre es perpendicular a ella. Cambia la dirección del movimiento.

Ejercicio 15. Radio de la trayectoria de un protón

Un protón entra perpendicularmente en un campo magnético uniforme \(B=0{,}30\ \mathrm{T}\) con velocidad \(v=2{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\). Calcula el radio de la trayectoria circular.

Datos

\[ q_p=1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{C} \]
\[ m_p=1{,}67\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg} \]

Primer paso. La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta

\[ qvB=m\frac{v^2}{r} \]

Segundo paso. Despejamos el radio

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ r=\frac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2{,}0\cdot10^6}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}30} \]
\[ r=6{,}96\cdot10^{-2}\ \mathrm{m} \]

Resultado.

\[ r=6{,}96\cdot10^{-2}\ \mathrm{m} \]

El radio es aproximadamente \(6{,}96\ \mathrm{cm}\).

Error típico. En movimiento circular dentro de un campo magnético, la fuerza magnética se iguala a la fuerza centrípeta \(mv^2/r\).

Ejercicio 16. Fuerza magnética sobre un conductor

Un conductor rectilíneo de longitud \(0{,}40\ \mathrm{m}\) transporta una corriente de \(5{,}0\ \mathrm{A}\) y se encuentra perpendicular a un campo magnético uniforme de \(0{,}20\ \mathrm{T}\). Calcula la fuerza magnética sobre el conductor.

Primer paso. Fórmula

\[ F=ILB\sin\alpha \]

Como el conductor está perpendicular al campo, \(\sin90^\circ=1\).

\[ F=ILB \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ F=5{,}0\cdot0{,}40\cdot0{,}20 \]
\[ F=0{,}40\ \mathrm{N} \]

Resultado.

\[ F=0{,}40\ \mathrm{N} \]

Si el conductor fuese paralelo al campo, la fuerza sería cero, porque \(\sin0^\circ=0\).

Ejercicio 17. Campo magnético creado por un hilo rectilíneo

Un hilo rectilíneo muy largo transporta una corriente de \(8{,}0\ \mathrm{A}\). Calcula el campo magnético a \(4{,}0\ \mathrm{cm}\) del hilo.

Dato

\[ \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A} \]

Primer paso. Pasamos la distancia a metros

\[ 4{,}0\ \mathrm{cm}=0{,}040\ \mathrm{m} \]

Segundo paso. Fórmula del campo creado por un hilo

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ B=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot8{,}0}{2\pi\cdot0{,}040} \]
\[ B=4{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{T} \]

Resultado.

\[ B=4{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{T} \]

El campo disminuye al alejarnos del hilo. La dependencia es inversamente proporcional a la distancia.

Ejercicio 18. Selector de velocidades

Una partícula cargada atraviesa una región donde hay un campo eléctrico \(E=3{,}0\cdot10^4\ \mathrm{N/C}\) y un campo magnético \(B=0{,}20\ \mathrm{T}\), perpendiculares entre sí. Calcula la velocidad que debe llevar para pasar sin desviarse.

Primer paso. Condición de no desviación

Para que la partícula no se desvíe, la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben tener el mismo módulo y sentidos opuestos.

\[ F_e=F_m \]
\[ qE=qvB \]

Segundo paso. Simplificamos la carga

\[ E=vB \]
\[ v=\frac{E}{B} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ v=\frac{3{,}0\cdot10^4}{0{,}20} \]
\[ v=1{,}5\cdot10^5\ \mathrm{m/s} \]

Resultado.

\[ v=1{,}5\cdot10^5\ \mathrm{m/s} \]

En un selector de velocidades, solo las partículas con esa velocidad pasan sin desviarse. La carga se simplifica, por eso la velocidad no depende del valor de \(q\).

Ejercicio 19. Protón acelerado y entrada en campo magnético

Un protón se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de \(2000\ \mathrm{V}\). Después entra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de \(0{,}10\ \mathrm{T}\). Calcula la velocidad con la que entra en el campo y el radio de la trayectoria circular.

Datos

\[ q_p=1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{C} \]
\[ m_p=1{,}67\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg} \]

Primer paso. Energía eléctrica transformada en energía cinética

\[ q\Delta V=\frac{1}{2}mv^2 \]

Segundo paso. Despejamos la velocidad

\[ v=\sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ v=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2000}{1{,}67\cdot10^{-27}}} \]
\[ v=6{,}19\cdot10^5\ \mathrm{m/s} \]

Cuarto paso. Radio en el campo magnético

\[ r=\frac{mv}{qB} \]
\[ r=\frac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot6{,}19\cdot10^5}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}10} \]
\[ r=6{,}46\cdot10^{-2}\ \mathrm{m} \]

Resultado.

\[ v=6{,}19\cdot10^5\ \mathrm{m/s} \]
\[ r=6{,}46\cdot10^{-2}\ \mathrm{m} \]

El radio de la trayectoria es aproximadamente \(6{,}46\ \mathrm{cm}\).

Este problema une campo eléctrico y campo magnético. Primero se usa energía eléctrica para obtener la velocidad, y después la fuerza magnética para calcular el radio.

Ejercicio 20. Electrón acelerado y entrada en campo magnético

Un electrón se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de \(500\ \mathrm{V}\). Después entra perpendicularmente en un campo magnético y describe una circunferencia de radio \(5{,}0\ \mathrm{cm}\). Calcula su velocidad y el módulo del campo magnético.

Datos

\[ |q_e|=1{,}6\cdot10^{-19}\ \mathrm{C} \]
\[ m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg} \]

Primer paso. Energía eléctrica transformada en cinética

\[ q\Delta V=\frac{1}{2}mv^2 \]

Segundo paso. Despejamos la velocidad

\[ v=\sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}} \]
\[ v=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500}{9{,}11\cdot10^{-31}}} \]
\[ v=1{,}33\cdot10^7\ \mathrm{m/s} \]

Tercer paso. Usamos el radio de la trayectoria

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

Despejamos \(B\).

\[ B=\frac{mv}{qr} \]

Cuarto paso. Sustituimos

\[ B=\frac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}33\cdot10^7}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}050} \]
\[ B=1{,}51\cdot10^{-3}\ \mathrm{T} \]

Resultado.

\[ v=1{,}33\cdot10^7\ \mathrm{m/s} \]
\[ B=1{,}51\cdot10^{-3}\ \mathrm{T} \]

Error típico. Este ejercicio mezcla dos partes. Primero energía eléctrica para hallar la velocidad. Después campo magnético para hallar \(B\). Si se intenta usar directamente \(qvB\) sin conocer \(v\), falta información.

Ejercicio 21. Fuerza entre dos conductores paralelos

Dos conductores rectilíneos, largos y paralelos, separados \(0{,}10\ \mathrm{m}\), transportan corrientes \(I_1=6{,}0\ \mathrm{A}\) e \(I_2=4{,}0\ \mathrm{A}\) en el mismo sentido. Calcula la fuerza magnética por unidad de longitud y di si es atractiva o repulsiva.

Dato

\[ \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A} \]

Primer paso. Fórmula de la fuerza por unidad de longitud

\[ \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ \frac{F}{L}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot6{,}0\cdot4{,}0}{2\pi\cdot0{,}10} \]
\[ \frac{F}{L}=4{,}8\cdot10^{-5}\ \mathrm{N/m} \]

Tercer paso. Sentido de la fuerza

Dos corrientes paralelas en el mismo sentido se atraen.

Resultado.

\[ \frac{F}{L}=4{,}8\cdot10^{-5}\ \mathrm{N/m} \]

La fuerza es atractiva.

Este ejercicio es muy recurrente porque une campo magnético creado por corrientes y fuerza entre conductores.

Ejercicio 22. Campo magnético creado por dos hilos

Dos hilos rectilíneos, largos y paralelos, están separados \(0{,}20\ \mathrm{m}\). Por ambos circula una corriente de \(10\ \mathrm{A}\), pero en sentidos contrarios. Calcula el campo magnético en el punto medio entre los dos hilos.

Dato

\[ \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A} \]

Primer paso. Distancia desde cada hilo al punto medio

\[ r=0{,}10\ \mathrm{m} \]

Segundo paso. Campo creado por cada hilo

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
\[ B_1=B_2=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10}{2\pi\cdot0{,}10} \]
\[ B_1=B_2=2{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{T} \]

Tercer paso. Sentido de los campos

Como las corrientes van en sentidos contrarios, en el punto medio los campos magnéticos tienen el mismo sentido. Por tanto, se suman.

\[ B_{\text{total}}=B_1+B_2 \]
\[ B_{\text{total}}=2{,}0\cdot10^{-5}+2{,}0\cdot10^{-5}=4{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{T} \]

Resultado.

\[ B_{\text{total}}=4{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{T} \]

Error típico. En problemas con dos hilos no basta con calcular el módulo. Hay que decidir si los campos en el punto se suman o se restan según el sentido de las corrientes.

Errores frecuentes en campos físicos PAU/EBAU

  • Usar la altura en lugar de la distancia al centro de la Tierra en campo gravitatorio.
  • Olvidar que la energía potencial gravitatoria es negativa si se toma cero en el infinito.
  • No usar \(E=-GMm/(2r)\) para la energía mecánica de una órbita circular.
  • Sumar campos eléctricos sin estudiar el sentido de cada uno.
  • No distinguir entre campo eléctrico nulo y potencial eléctrico nulo.
  • Confundir campo eléctrico, potencial eléctrico y energía potencial eléctrica.
  • Usar mal los signos de las cargas en problemas de potencial y trabajo.
  • No aplicar conservación de la energía cuando una partícula se acelera con una diferencia de potencial.
  • Aplicar fuerza magnética a una carga en reposo.
  • Olvidar el factor \(\sin\alpha\) en fuerza magnética.
  • No convertir centímetros, kilómetros, microculombios o días al Sistema Internacional.
  • Confundir fuerza magnética con fuerza centrípeta en partículas que describen circunferencias.
  • Equivocarse en el sentido del campo magnético creado por hilos paralelos.

Cómo estudiar campo gravitatorio, eléctrico y magnético

La forma más eficaz de estudiar campos no es memorizar una lista de fórmulas. Conviene reconocer el modelo físico. Si hay masas, se trabaja con gravitación. Si hay cargas en reposo, aparece campo eléctrico y potencial. Si hay cargas en movimiento o corrientes, aparece campo magnético.

  • Primero campo gravitatorio, fuerza, energía y órbitas.
  • Después campo eléctrico, potencial y trabajo.
  • Luego superposición de campos creados por varias cargas.
  • Más tarde campo magnético sobre cargas móviles.
  • Después fuerza magnética sobre conductores.
  • Finalmente problemas mixtos de energía eléctrica y movimiento en campo magnético.

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