Enunciado. Una radiación tiene una longitud de onda de 500 nm. Calcula su frecuencia y la energía de cada fotón en julios y electronvoltios.

Datos e incógnitas. \(\lambda=500\ \text{nm}=5{,}00\cdot10^{-7}\ \text{m}\). Se pide \(f\) y \(E\).

Modelo e idea clave. La luz se propaga en el vacío con velocidad \(c\). Cada fotón transporta una energía proporcional a la frecuencia.

Ecuaciones.

Resultado. \(f=6{,}00\cdot10^{14}\ \text{Hz}\) y \(E=3{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}48\ \text{eV}\).

Revisión. Una longitud de onda visible debe dar una frecuencia del orden de \(10^{14}\ \text{Hz}\) y una energía de unos pocos electronvoltios.

Enunciado. Una fuente emite radiación de frecuencia 7,50·10^14 Hz. Calcula la longitud de onda y la energía de sus fotones.

Datos e incógnitas. \(f=7{,}50\cdot10^{14}\ \text{Hz}\). Se pide \(\lambda\) y \(E\).

Modelo e idea clave. La longitud de onda disminuye cuando aumenta la frecuencia. La relación entre ambas es \(c=\lambda f\).

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda\approx400\ \text{nm}\) y \(E\approx4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}=3{,}10\ \text{eV}\).

Revisión. La radiación de 400 nm está en la zona violeta del espectro visible, coherente con una energía algo mayor que la del ejercicio anterior.

Enunciado. Un láser de 450 nm tiene una potencia de 5,0 mW y funciona durante 2,0 s. Calcula cuántos fotones emite.

Datos e incógnitas. \(\lambda=450\ \text{nm}\), \(P=5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{W}\), \(t=2{,}0\ \text{s}\). Se pide \(N\).

Modelo e idea clave. La energía total emitida es \(Pt\). Al dividirla entre la energía de un fotón obtenemos el número de fotones.

Ecuaciones.

Resultado. El láser emite aproximadamente \(2{,}3\cdot10^{16}\) fotones.

Revisión. Aunque la energía total es pequeña, la energía de cada fotón es extremadamente pequeña. Por eso el número de fotones es enorme.

Enunciado. Un metal tiene una función de trabajo de 2,20 eV y se ilumina con luz de 350 nm. Calcula la energía cinética máxima de los fotoelectrones y el potencial de frenado.

Datos e incógnitas. \(\phi=2{,}20\ \text{eV}\), \(\lambda=350\ \text{nm}\). Se pide \(K_{\max}\) y \(V_f\).

Modelo e idea clave. Einstein interpretó el efecto fotoeléctrico como una colisión entre un fotón y un electrón. La energía sobrante tras vencer la función de trabajo se convierte en energía cinética.

Ecuaciones.

Resultado. \(K_{\max}=1{,}34\ \text{eV}=2{,}15\cdot10^{-19}\ \text{J}\) y \(V_f=1{,}34\ \text{V}\).

Revisión. La energía del fotón supera la función de trabajo, por lo que hay emisión. Si no la superara, no saldrían electrones aunque aumentase la intensidad.

Enunciado. La función de trabajo de un metal es 3,00 eV. Calcula la frecuencia umbral y la longitud de onda máxima capaz de producir efecto fotoeléctrico.

Datos e incógnitas. \(\phi=3{,}00\ \text{eV}=4{,}806\cdot10^{-19}\ \text{J}\). Se pide \(f_0\) y \(\lambda_0\).

Modelo e idea clave. En el umbral, el electrón sale sin energía cinética. Toda la energía del fotón se emplea en vencer la función de trabajo.

Ecuaciones.

Resultado. \(f_0=7{,}25\cdot10^{14}\ \text{Hz}\) y \(\lambda_0=413\ \text{nm}\).

Revisión. Las radiaciones con \(\lambda<413\ \text{nm}\) tienen más energía y pueden producir emisión. Las de mayor longitud de onda no llegan al umbral.

Enunciado. Al iluminar un metal con radiación de 250 nm se mide un potencial de frenado de 1,80 V. Calcula la función de trabajo del metal.

Datos e incógnitas. \(\lambda=250\ \text{nm}\), \(V_f=1{,}80\ \text{V}\). Se pide \(\phi\).

Modelo e idea clave. La energía cinética máxima se obtiene directamente del potencial de frenado. Después se despeja la función de trabajo en la ecuación de Einstein.

Ecuaciones.

Resultado. \(\phi=3{,}16\ \text{eV}=5{,}06\cdot10^{-19}\ \text{J}\).

Revisión. La función de trabajo queda por debajo de la energía del fotón, como debe ocurrir cuando hay emisión fotoeléctrica.

Enunciado. Un metal de función de trabajo 2,00 eV se ilumina con radiación de frecuencia 9,00·10^14 Hz. Calcula la velocidad máxima de los electrones emitidos.

Datos e incógnitas. \(\phi=2{,}00\ \text{eV}\), \(f=9{,}00\cdot10^{14}\ \text{Hz}\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}\). Se pide \(v_{\max}\).

Modelo e idea clave. La energía cinética máxima se calcula con la ecuación fotoeléctrica y después se iguala a la expresión clásica \(mv^2/2\).

Ecuaciones.

Resultado. \(v_{\max}\approx7{,}8\cdot10^5\ \text{m/s}\).

Revisión. La velocidad es mucho menor que \(c\), por lo que la expresión clásica de la energía cinética es suficiente.

Enunciado. Calcula la energía en keV y el momento lineal de un fotón de rayos X de longitud de onda 0,100 nm.

Datos e incógnitas. \(\lambda=0{,}100\ \text{nm}=1{,}00\cdot10^{-10}\ \text{m}\). Se pide \(E\) y \(p\).

Modelo e idea clave. Un fotón no tiene masa en reposo, pero sí energía y momento. Para radiación electromagnética se cumple \(E=pc\).

Ecuaciones.

Resultado. \(E=12{,}4\ \text{keV}\) y \(p=6{,}63\cdot10^{-24}\ \text{kg·m/s}\).

Revisión. Los rayos X tienen longitudes de onda mucho menores que la luz visible y, por tanto, energías mucho mayores.

Enunciado. Un electrón se mueve a 2,00·10^6 m/s. Calcula su longitud de onda asociada.

Datos e incógnitas. \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}\), \(v=2{,}00\cdot10^6\ \text{m/s}\). Se pide \(\lambda\).

Modelo e idea clave. A velocidades pequeñas frente a \(c\), el momento es \(p=m_ev\). La hipótesis de De Broglie asigna a la partícula una onda de longitud \(\lambda=h/p\).

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda=3{,}64\cdot10^{-10}\ \text{m}=0{,}364\ \text{nm}\).

Revisión. La longitud de onda es comparable con las distancias interatómicas, por eso los electrones pueden producir difracción en cristales.

Enunciado. Calcula la longitud de onda de De Broglie de un protón con energía cinética de 1,00 MeV.

Datos e incógnitas. \(K=1{,}00\ \text{MeV}=1{,}602\cdot10^{-13}\ \text{J}\), \(m_p=1{,}673\cdot10^{-27}\ \text{kg}\).

Modelo e idea clave. La energía es pequeña frente a la energía en reposo del protón, 938 MeV. Puede usarse la relación clásica \(K=p^2/(2m)\).

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda=2{,}86\cdot10^{-14}\ \text{m}=28{,}6\ \text{fm}\).

Revisión. El tamaño obtenido es del orden nuclear. La aproximación no relativista es válida porque la velocidad resulta aproximadamente \(0{,}046c\).

Enunciado. Un electrón parte del reposo y se acelera mediante una diferencia de potencial de 150 V. Calcula su longitud de onda de De Broglie.

Datos e incógnitas. \(V=150\ \text{V}\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}\). Se pide \(\lambda\).

Modelo e idea clave. La energía eléctrica ganada es \(eV\). Al igualarla a la energía cinética se obtiene directamente el momento.

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda=0{,}100\ \text{nm}\).

Revisión. Este valor explica por qué los electrones acelerados pueden usarse para estudiar estructuras mucho más pequeñas que las observables con luz visible.

Enunciado. Un neutrón se mueve a 2200 m/s. Calcula su longitud de onda de De Broglie.

Datos e incógnitas. \(m_n=1{,}675\cdot10^{-27}\ \text{kg}\), \(v=2200\ \text{m/s}\).

Modelo e idea clave. El neutrón es no relativista. Su momento se calcula como \(mv\).

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda=0{,}180\ \text{nm}\).

Revisión. La longitud de onda vuelve a ser comparable con separaciones atómicas. Por eso la difracción de neutrones es útil para estudiar sólidos.

Enunciado. La posición de un electrón se conoce con una incertidumbre de 0,100 nm. Estima la incertidumbre mínima en su velocidad.

Datos e incógnitas. \(\Delta x=0{,}100\ \text{nm}=1{,}00\cdot10^{-10}\ \text{m}\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}\).

Modelo e idea clave. La relación de Heisenberg fija un límite inferior al producto de las incertidumbres. No es una limitación del aparato, sino del estado cuántico.

Ecuaciones.

Resultado. \(\Delta v_{\min}\approx5{,}8\cdot10^5\ \text{m/s}\).

Revisión. Al localizar mucho al electrón, la incertidumbre en su momento aumenta. El valor es grande, coherente con el comportamiento cuántico de partículas ligeras.

Enunciado. Un estado excitado dura aproximadamente 1,0·10^-8 s. Estima la incertidumbre mínima de su energía.

Datos e incógnitas. \(\Delta t=1{,}0\cdot10^{-8}\ \text{s}\). Se pide \(\Delta E_{\min}\).

Modelo e idea clave. Los estados de vida muy corta no tienen una energía perfectamente definida. La relación tiempo-energía permite estimar la anchura natural.

Ecuaciones.

Resultado. \(\Delta E_{\min}=5{,}27\cdot10^{-27}\ \text{J}=3{,}29\cdot10^{-8}\ \text{eV}\).

Revisión. Una vida más corta produciría una anchura energética mayor. La relación expresa un límite de orden de magnitud.

Enunciado. Calcula la longitud de onda emitida cuando un electrón del átomo de hidrógeno pasa del nivel n=3 al nivel n=2.

Datos e incógnitas. \(n_i=3\), \(n_f=2\), \(R_H=1{,}097\cdot10^7\ \text{m}^{-1}\).

Modelo e idea clave. La transición termina en \(n=2\), por lo que pertenece a la serie de Balmer. Se usa la fórmula de Rydberg.

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda\approx656\ \text{nm}\).

Revisión. La línea está en la zona roja del visible y corresponde a la conocida línea H alfa.

Enunciado. Un átomo de hidrógeno en el estado fundamental absorbe un fotón de 12,09 eV. Determina el nivel final.

Datos e incógnitas. \(E_1=-13{,}6\ \text{eV}\), \(E_{\text{fotón}}=12{,}09\ \text{eV}\).

Modelo e idea clave. La energía final del electrón es la energía inicial más la energía absorbida. Después se compara con \(E_n=-13{,}6/n^2\).

Ecuaciones.

Resultado. El electrón pasa al nivel \(n=3\).

Revisión. La diferencia exacta entre \(n=1\) y \(n=3\) es \(13{,}6(1-1/9)=12{,}09\ \text{eV}\), por lo que el resultado encaja.

Enunciado. Calcula la energía mínima y la longitud de onda máxima necesarias para ionizar un átomo de hidrógeno que está en n=2.

Datos e incógnitas. \(n=2\). Se pide \(E_{\text{ion}}\) y \(\lambda_{\max}\).

Modelo e idea clave. Ionizar significa llevar el electrón desde su nivel ligado hasta \(E=0\). Desde \(n=2\), su energía es \(-13{,}6/4\ \text{eV}\).

Ecuaciones.

Resultado. \(E_{\text{ion}}=3{,}40\ \text{eV}\) y \(\lambda_{\max}\approx365\ \text{nm}\).

Revisión. Una longitud de onda menor aporta más energía y también ioniza. Una longitud mayor no alcanza el umbral.

Enunciado. Una línea del espectro del hidrógeno tiene longitud de onda 486,1 nm y termina en n=2. Determina el nivel inicial.

Datos e incógnitas. \(\lambda=486{,}1\ \text{nm}\), \(n_f=2\). Se pide \(n_i\).

Modelo e idea clave. Se despeja el nivel inicial en la fórmula de Rydberg. El resultado debe ser un número entero.

Ecuaciones.

Resultado. La transición es \(n=4\rightarrow n=2\).

Revisión. El nivel inicial es entero y mayor que el final, condición necesaria para una emisión.

Enunciado. Una nave se mueve a 0,80c respecto de la Tierra. En la nave transcurren 5,0 s entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar de la nave. ¿Qué intervalo mide un observador terrestre?

Datos e incógnitas. \(v=0{,}80c\), \(\Delta t_0=5{,}0\ \text{s}\). Se pide \(\Delta t\).

Modelo e idea clave. El tiempo propio se mide en el sistema donde los dos sucesos ocurren en el mismo lugar. Para el observador terrestre, el reloj móvil marcha más despacio.

Ecuaciones.

Resultado. El observador terrestre mide \(\Delta t=8{,}3\ \text{s}\).

Revisión. El intervalo dilatado debe ser mayor que el tiempo propio. El resultado cumple esa condición.

Enunciado. Un muón tiene una vida media propia de 2,20 μs y se mueve a 0,980c. Calcula su vida media medida en el laboratorio y la distancia media que recorre.

Datos e incógnitas. \(\tau_0=2{,}20\ \mu\text{s}\), \(v=0{,}980c\). Se pide \(\tau\) y \(d\).

Modelo e idea clave. La vida propia se dilata en el laboratorio. La distancia se calcula con la vida dilatada, no con la propia.

Ecuaciones.

Resultado. \(\tau=11{,}1\ \mu\text{s}\) y \(d\approx3{,}25\ \text{km}\).

Revisión. Sin dilatación temporal recorrería solo unos 646 m. La relatividad explica que muchos muones creados en la atmósfera alcancen la superficie.

Enunciado. Una nave tiene una longitud propia de 120 m. ¿Qué longitud mide un observador para el que la nave se mueve a 0,60c?

Datos e incógnitas. \(L_0=120\ \text{m}\), \(v=0{,}60c\). Se pide \(L\).

Modelo e idea clave. La longitud propia se mide en el sistema en reposo con el objeto. La longitud paralela al movimiento se contrae.

Ecuaciones.

Resultado. El observador mide \(L=96\ \text{m}\).

Revisión. La longitud medida debe ser menor que la propia. No se contraen las dimensiones perpendiculares al movimiento.

Enunciado. Un electrón posee una energía cinética de 1,00 MeV. Calcula su factor de Lorentz y su velocidad.

Datos e incógnitas. \(K=1{,}00\ \text{MeV}\), \(m_ec^2=0{,}511\ \text{MeV}\). Se pide \(\gamma\) y \(v\).

Modelo e idea clave. La energía cinética es comparable e incluso mayor que la energía en reposo del electrón. La mecánica clásica no es válida.

Ecuaciones.

Resultado. \(\gamma=2{,}96\) y \(v=0{,}941c\approx2{,}82\cdot10^8\ \text{m/s}\).

Revisión. La velocidad sigue siendo menor que \(c\). La fórmula clásica daría una velocidad imposible superior a la de la luz.

Enunciado. Calcula la energía equivalente a una masa de 1,00 g mediante la relación masa-energía.

Datos e incógnitas. \(m=1{,}00\ \text{g}=1{,}00\cdot10^{-3}\ \text{kg}\). Se pide \(E_0\).

Modelo e idea clave. La energía en reposo representa la energía asociada a la masa. No significa que cualquier proceso convierta toda la masa en energía.

Ecuaciones.

Resultado. \(E_0=8{,}99\cdot10^{13}\ \text{J}\).

Revisión. El valor es enorme porque \(c^2\) es un factor muy grande. En procesos nucleares solo se transforma una pequeña fracción de la masa total.

Enunciado. Para el isótopo carbono-14, determina el número de protones, neutrones y electrones de un átomo neutro. Escribe además qué cambia respecto del carbono-12.

Datos e incógnitas. \(A=14\), \(Z=6\). Se pide \(p\), \(n\) y \(e^-\).

Modelo e idea clave. El número atómico \(Z\) fija los protones. El número másico \(A\) es protones más neutrones. En un átomo neutro, electrones y protones coinciden.

Ecuaciones.

Resultado. Carbono-14 tiene 6 protones, 8 neutrones y 6 electrones.

Revisión. Los isótopos de un mismo elemento tienen igual \(Z\) y distinto número de neutrones. Por eso conservan su identidad química.

Enunciado. Calcula el defecto de masa, la energía de enlace total y la energía de enlace por nucleón del helio-4. Usa masas atómicas \(m_H=1{,}007825\ u\), \(m_n=1{,}008665\ u\) y \(m_{He}=4{,}002603\ u\).

Datos e incógnitas. \(Z=2\), \(N=2\). Se pide \(\Delta m\), \(E_b\) y \(E_b/A\).

Modelo e idea clave. Al usar masas atómicas se emplea la masa del átomo de hidrógeno, de modo que las masas electrónicas se compensan.

Ecuaciones.

Resultado. \(\Delta m=0{,}03038\ u\), \(E_b=28{,}30\ \text{MeV}\) y \(E_b/A=7{,}07\ \text{MeV/nucleón}\).

Revisión. La masa del núcleo ligado es menor que la suma de las masas de sus nucleones separados. Esa diferencia aparece como energía de enlace.

Enunciado. Calcula la energía de enlace por nucleón del hierro-56 con \(m_H=1{,}007825\ u\), \(m_n=1{,}008665\ u\) y \(m_{Fe}=55{,}934936\ u\).

Datos e incógnitas. \(Z=26\), \(N=30\), \(A=56\).

Modelo e idea clave. El hierro se encuentra cerca del máximo de la curva de energía de enlace por nucleón. Por eso es un núcleo muy estable.

Ecuaciones.

Resultado. \(E_b/A=8{,}79\ \text{MeV/nucleón}\).

Revisión. El valor supera al del helio-4. Los núcleos próximos al hierro tienen una elevada estabilidad media.

Enunciado. Calcula la energía de enlace del deuterio usando \(m_H=1{,}007825\ u\), \(m_n=1{,}008665\ u\) y \(m_D=2{,}014102\ u\).

Datos e incógnitas. \(Z=1\), \(N=1\), \(A=2\).

Modelo e idea clave. El deuterio está formado por un protón y un neutrón. El defecto de masa permite medir la energía necesaria para separarlos.

Ecuaciones.

Resultado. \(E_b=2{,}225\ \text{MeV}\) y \(E_b/A=1{,}11\ \text{MeV/nucleón}\).

Revisión. El deuterio está ligado, pero mucho menos fuertemente por nucleón que el helio o el hierro.

Enunciado. El uranio-238 se desintegra en torio-234 y una partícula alfa. Calcula la energía liberada usando \(m_U=238{,}050788\ u\), \(m_{Th}=234{,}043601\ u\) y \(m_\alpha=4{,}002603\ u\).

Datos e incógnitas. \(^{238}_{92}U\rightarrow{}^{234}_{90}Th+{}^{4}_{2}He\). Se pide \(Q\).

Modelo e idea clave. La energía liberada es la disminución de masa del sistema. Como las masas atómicas conservan el número total de electrones, pueden usarse directamente.

Ecuaciones.

Resultado. La desintegración libera \(Q\approx4{,}27\ \text{MeV}\).

Revisión. El valor positivo confirma que el proceso puede producirse espontáneamente. La mayor parte de la energía cinética la recibe la partícula alfa.

Enunciado. Una muestra radiactiva tiene una masa inicial de 160 mg y un periodo de semidesintegración de 8,0 días. ¿Qué masa queda después de 24 días?

Datos e incógnitas. \(m_0=160\ \text{mg}\), \(T_{1/2}=8{,}0\ \text{d}\), \(t=24\ \text{d}\). Se pide \(m\).

Modelo e idea clave. La masa de núcleos radiactivos disminuye en la misma proporción que el número de núcleos. En 24 días transcurren tres semividas.

Ecuaciones.

Resultado. Quedan \(20\ \text{mg}\) de sustancia radiactiva.

Revisión. La sucesión es 160, 80, 40 y 20 mg. Cada semivida reduce a la mitad la cantidad anterior.

Enunciado. Una fuente tiene una actividad inicial de 800 Bq y un periodo de semidesintegración de 5,0 h. Calcula su actividad al cabo de 15 h.

Datos e incógnitas. \(A_0=800\ \text{Bq}\), \(T_{1/2}=5{,}0\ \text{h}\), \(t=15\ \text{h}\).

Modelo e idea clave. La actividad es proporcional al número de núcleos no desintegrados. Sigue la misma ley exponencial.

Ecuaciones.

Resultado. La actividad final es \(100\ \text{Bq}\).

Revisión. Un becquerel equivale a una desintegración por segundo. La actividad disminuye, pero nunca se hace exactamente cero en el modelo exponencial.

Enunciado. Tras 18 días queda el 12,5 % de una muestra radiactiva. Calcula su periodo de semidesintegración.

Datos e incógnitas. \(N/N_0=0{,}125=1/8\), \(t=18\ \text{d}\). Se pide \(T_{1/2}\).

Modelo e idea clave. El 12,5 % equivale a haber dividido la cantidad inicial entre ocho, es decir, a tres semividas.

Ecuaciones.

Resultado. \(T_{1/2}=6{,}0\ \text{días}\).

Revisión. En 6, 12 y 18 días queda respectivamente la mitad, la cuarta parte y la octava parte.

Enunciado. Un radioisótopo tiene un periodo de semidesintegración de 30,0 años. Calcula su constante de desintegración en s^-1.

Datos e incógnitas. \(T_{1/2}=30{,}0\ \text{años}\). Se pide \(\lambda\) en \(\text{s}^{-1}\).

Modelo e idea clave. La constante de desintegración es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo. Debe expresarse en la unidad inversa del tiempo utilizado.

Ecuaciones.

Resultado. \(\lambda=7{,}32\cdot10^{-10}\ \text{s}^{-1}\).

Revisión. Un periodo largo corresponde a una constante pequeña, porque la probabilidad de desintegración por segundo es baja.

Enunciado. Una muestra orgánica conserva el 25,0 % del carbono-14 que tendría un organismo vivo. Estima su antigüedad usando \(T_{1/2}=5730\) años.

Datos e incógnitas. \(N/N_0=0{,}250=1/4\), \(T_{1/2}=5730\ \text{años}\).

Modelo e idea clave. Conservar una cuarta parte significa que han transcurrido dos semividas.

Ecuaciones.

Resultado. La antigüedad estimada es \(1{,}146\cdot10^4\ \text{años}\).

Revisión. La datación supone que la proporción inicial era comparable a la de un organismo vivo y que la muestra no se ha contaminado.

Enunciado. Una fuente tiene una actividad de 3,70·10^5 Bq y un periodo de semidesintegración de 2,00 h. Calcula el número de núcleos radiactivos presentes.

Datos e incógnitas. \(A=3{,}70\cdot10^5\ \text{Bq}\), \(T_{1/2}=2{,}00\ \text{h}=7200\ \text{s}\). Se pide \(N\).

Modelo e idea clave. La actividad instantánea es \(A=\lambda N\). Primero se obtiene la constante de desintegración.

Ecuaciones.

Resultado. La muestra contiene aproximadamente \(3{,}84\cdot10^9\) núcleos radiactivos.

Revisión. La unidad queda adimensional porque \(\text{s}^{-1}/\text{s}^{-1}\) se simplifica. El número de núcleos puede ser enorme aunque la masa sea muy pequeña.

Enunciado. Completa las transformaciones nucleares del radio-226 por emisión alfa, del carbono-14 por emisión beta menos y de un núcleo excitado por emisión gamma.

Datos e incógnitas. Se pide identificar el núcleo hijo y justificar los cambios en número másico y número atómico.

Modelo e idea clave. En una emisión alfa salen dos protones y dos neutrones. En beta menos, un neutrón se transforma en protón. En gamma solo se libera energía.

Ecuaciones.

Resultado. Alfa reduce \(A\) en 4 y \(Z\) en 2. Beta menos mantiene \(A\) y aumenta \(Z\) en 1. Gamma no modifica ninguno.

Revisión. En todas las ecuaciones se conservan la carga eléctrica y el número total de nucleones.

Enunciado. Calcula la energía disponible en la desintegración beta menos del carbono-14 usando masas atómicas \(m(^{14}C)=14{,}003242\ u\) y \(m(^{14}N)=14{,}003074\ u\).

Datos e incógnitas. \({}^{14}_{6}C\rightarrow{}^{14}_{7}N+e^-+\bar{\nu}_e\). Se pide \(Q\).

Modelo e idea clave. Para una desintegración beta menos, usando masas atómicas, la energía disponible se obtiene con la diferencia entre la masa del átomo padre y la del átomo hijo.

Ecuaciones.

Resultado. \(Q\approx0{,}156\ \text{MeV}\).

Revisión. La energía no aparece toda en el electrón. Se reparte entre el electrón, el antineutrino y el retroceso del núcleo hijo, lo que explica el espectro continuo beta.

Enunciado. Calcula la energía liberada en \({}^{2}_{1}H+{}^{3}_{1}H\rightarrow{}^{4}_{2}He+{}^{1}_{0}n\). Usa \(m_D=2{,}014102\ u\), \(m_T=3{,}016049\ u\), \(m_{He}=4{,}002603\ u\) y \(m_n=1{,}008665\ u\).

Datos e incógnitas. Se pide el valor \(Q\) de la reacción.

Modelo e idea clave. La masa total de los productos es menor que la de los reactivos. La diferencia se transforma en energía cinética.

Ecuaciones.

Resultado. Cada reacción libera aproximadamente \(17{,}6\ \text{MeV}\).

Revisión. La fusión de núcleos ligeros libera energía porque los productos tienen mayor energía de enlace por nucleón.

Enunciado. Supón que cada fisión de un núcleo de uranio-235 libera 200 MeV. Calcula la energía que produciría la fisión completa de 1,00 g de uranio-235.

Datos e incógnitas. \(m=1{,}00\ \text{g}\), \(M=235\ \text{g/mol}\), \(E_f=200\ \text{MeV}\).

Modelo e idea clave. Primero se calcula el número de núcleos y después se multiplica por la energía liberada en cada fisión.

Ecuaciones.

Resultado. \(E_{\text{total}}\approx8{,}2\cdot10^{10}\ \text{J}\), equivalente a unos \(2{,}28\cdot10^4\ \text{kWh}\).

Revisión. Es un valor ideal. En una central real no se fisiona todo el material y la conversión de energía térmica en eléctrica tiene un rendimiento limitado.

Enunciado. Comprueba la carga eléctrica del protón y del neutrón usando la composición \(uud\) y \(udd\), con \(q_u=+2e/3\) y \(q_d=-e/3\).

Datos e incógnitas. Se pide sumar las cargas de los quarks constituyentes.

Modelo e idea clave. Los protones y neutrones son bariones formados por tres quarks. La carga total es la suma algebraica de las cargas de esos quarks.

Ecuaciones.

Resultado. El protón tiene carga \(+e\) y el neutrón carga nula.

Revisión. El cálculo reproduce las cargas observadas. Que el neutrón sea neutro no significa que carezca de estructura interna.

Enunciado. Comprueba la conservación de la carga, el número bariónico y el número leptónico en \(n\rightarrow p+e^-+\bar{\nu}_e\).

Datos e incógnitas. Se comparan los números cuánticos antes y después de la reacción.

Modelo e idea clave. Las interacciones fundamentales respetan leyes de conservación. El antineutrino es imprescindible para conservar energía, momento y número leptónico.

Ecuaciones.

Resultado. La reacción conserva carga eléctrica, número bariónico y número leptónico.

Revisión. A nivel de quarks, un quark \(d\) se transforma en \(u\) mediante la interacción débil, convirtiendo el neutrón \(udd\) en protón \(uud\).

Enunciado. Un metal tiene una longitud de onda umbral de 540 nm. Se ilumina primero con radiación de 360 nm y después con radiación de 650 nm. Calcula la función de trabajo del metal y determina, en cada caso, si se emiten fotoelectrones. Cuando exista emisión, calcula la energía cinética máxima y el potencial de frenado.

Datos e incógnitas. \(\lambda_0=540\ \text{nm}\), \(\lambda_1=360\ \text{nm}\), \(\lambda_2=650\ \text{nm}\). Se pide \(\phi\), la existencia de emisión, \(K_{\max}\) y \(V_f\).

Modelo e idea clave. La longitud de onda umbral corresponde a la energía mínima capaz de extraer electrones. Habrá emisión únicamente cuando la energía del fotón sea mayor o igual que la función de trabajo.

Ecuaciones.

Resultado. \(\phi\approx2{,}30\ \text{eV}\). La radiación de 360 nm produce fotoelectrones con \(K_{\max}\approx1{,}15\ \text{eV}\) y \(V_f\approx1{,}15\ \text{V}\). La radiación de 650 nm no produce emisión.

Revisión. La radiación de menor longitud de onda tiene mayor energía. La conclusión puede anticiparse comparando cada longitud de onda con la umbral.

Enunciado. Un láser de 633 nm emite con una potencia de 4,0 mW durante 30 s. Calcula el número de fotones emitidos. Si una célula fotoeléctrica transforma en electrones útiles el 2,5 % de los fotones incidentes, calcula cuántos electrones se obtienen.

Datos e incógnitas. \(\lambda=633\ \text{nm}\), \(P=4{,}0\cdot10^{-3}\ \text{W}\), \(t=30\ \text{s}\), \(\eta=0{,}025\). Se pide \(N_\gamma\) y \(N_e\).

Modelo e idea clave. La energía total del haz es \(Pt\). Al dividirla entre la energía de un fotón se obtiene el número de fotones. El rendimiento indica la fracción que genera electrones útiles.

Ecuaciones.

Resultado. El láser emite aproximadamente \(3{,}82\cdot10^{17}\) fotones y se obtienen \(9{,}56\cdot10^{15}\) electrones útiles.

Revisión. El número de electrones debe ser menor que el de fotones porque el rendimiento es del 2,5 %. La potencia pequeña no impide que el número de fotones sea enorme.

Enunciado. Un electrón parte del reposo y se acelera mediante una diferencia de potencial de 150 V. Calcula su velocidad y su longitud de onda de De Broglie. Comprueba si es razonable usar mecánica clásica.

Datos e incógnitas. \(V=150\ \text{V}\), \(m_e=9{,}109\cdot10^{-31}\ \text{kg}\), \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}\). Se pide \(v\), \(\lambda\) y la validez del modelo clásico.

Modelo e idea clave. La energía eléctrica se transforma en energía cinética. Si la velocidad obtenida es pequeña frente a \(c\), puede utilizarse \(K=mv^2/2\).

Ecuaciones.

Resultado. \(v\approx7{,}26\cdot10^6\ \text{m/s}\) y \(\lambda\approx1{,}00\cdot10^{-10}\ \text{m}=0{,}100\ \text{nm}\).

Revisión. La velocidad es solo el 2,42 % de \(c\), por lo que la aproximación clásica es adecuada. La longitud de onda es comparable con distancias atómicas.

Enunciado. Un electrón del átomo de hidrógeno pasa del nivel \(n=4\) al nivel \(n=2\). Calcula la energía del fotón emitido en eV y J, su longitud de onda e indica en qué zona del espectro se encuentra.

Datos e incógnitas. \(E_n=-13{,}6/n^2\ \text{eV}\), \(n_i=4\), \(n_f=2\). Se pide \(E_\gamma\), \(\lambda\) y la zona espectral.

Modelo e idea clave. Al descender a un nivel de menor energía, el átomo emite un fotón cuya energía es la diferencia entre los niveles.

Ecuaciones.

Resultado. \(E_\gamma=2{,}55\ \text{eV}=4{,}09\cdot10^{-19}\ \text{J}\) y \(\lambda\approx486\ \text{nm}\). Es una línea visible azul verdosa de la serie de Balmer.

Revisión. La transición termina en \(n=2\), por lo que pertenece a Balmer. Una longitud de onda de 486 nm debe situarse dentro del visible.

Enunciado. Un electrón está localizado en una región de anchura \(1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}\). Estima la incertidumbre mínima de su velocidad y la energía cinética asociada a esa incertidumbre.

Datos e incógnitas. \(\Delta x=1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}\). Se pide \(\Delta v_{\min}\) y \(K\).

Modelo e idea clave. El principio de incertidumbre fija un límite inferior para el producto \(\Delta x\Delta p\). Para un electrón no relativista, \(\Delta p=m_e\Delta v\).

Ecuaciones.

Resultado. \(\Delta v_{\min}\approx5{,}79\cdot10^5\ \text{m/s}\) y la energía cinética asociada es aproximadamente \(0{,}953\ \text{eV}\).

Revisión. Cuanto más estrecha es la región de confinamiento, mayor debe ser la incertidumbre en el momento. La velocidad sigue siendo pequeña frente a \(c\).

Enunciado. Un muón tiene una vida propia de \(2{,}20\ \mu\text{s}\) y se mueve respecto a la Tierra con velocidad \(0{,}998c\). Calcula su vida media observada desde la Tierra y la distancia media que puede recorrer. Compara con el valor que se obtendría sin relatividad.

Datos e incógnitas. \(\tau_0=2{,}20\cdot10^{-6}\ \text{s}\), \(v=0{,}998c\). Se pide \(\gamma\), \(\tau\), \(d\) y la comparación clásica.

Modelo e idea clave. La vida propia se mide en el sistema del muón. Para la Tierra, el intervalo temporal está dilatado.

Ecuaciones.

Resultado. Desde la Tierra, \(\tau\approx34{,}8\ \mu\text{s}\) y el muón puede recorrer aproximadamente \(10{,}4\ \text{km}\), frente a solo \(0{,}658\ \text{km}\) sin relatividad.

Revisión. La dilatación temporal explica por qué muchos muones producidos en la alta atmósfera alcanzan la superficie terrestre.

Enunciado. Un protón tiene una energía cinética de 1,50 GeV. Considera que su energía en reposo es 0,938 GeV. Calcula el factor de Lorentz, su velocidad y su momento relativista.

Datos e incógnitas. \(K=1{,}50\ \text{GeV}\), \(E_0=m_pc^2=0{,}938\ \text{GeV}\). Se pide \(\gamma\), \(v\) y \(p\).

Modelo e idea clave. La energía cinética es comparable con la energía en reposo, por lo que no puede utilizarse la expresión clásica.

Ecuaciones.

Resultado. \(\gamma\approx2{,}60\), \(v\approx0{,}923c\) y \(p\approx2{,}25\ \text{GeV}/c\).

Revisión. La velocidad permanece por debajo de \(c\), aunque la energía cinética sea mayor que la energía en reposo. El momento debe calcularse con la relación relativista.

Enunciado. Calcula el defecto de masa, la energía de enlace y la energía de enlace por nucleón del litio-7. Usa \(m_H=1{,}007825\ u\), \(m_n=1{,}008665\ u\) y \(m(^{7}Li)=7{,}016004\ u\).

Datos e incógnitas. Para \(^{7}_{3}Li\), \(Z=3\), \(N=4\), \(A=7\). Se pide \(\Delta m\), \(E_b\) y \(E_b/A\).

Modelo e idea clave. Al usar masa atómica del litio se emplea también la masa del átomo de hidrógeno, de modo que las masas de los electrones quedan compensadas.

Ecuaciones.

Resultado. \(\Delta m=0{,}042131\ u\), \(E_b\approx39{,}25\ \text{MeV}\) y \(E_b/A\approx5{,}61\ \text{MeV/nucleón}\).

Revisión. La energía de enlace total es positiva porque representa la energía necesaria para separar el núcleo. Su valor por nucleón es inferior al de núcleos cercanos al hierro.

Enunciado. Una muestra radiactiva tiene una actividad inicial de 9600 Bq y un periodo de semidesintegración de 8,0 h. Calcula el tiempo necesario para que la actividad disminuya hasta 1200 Bq y el número de núcleos radiactivos que quedan entonces.

Datos e incógnitas. \(A_0=9600\ \text{Bq}\), \(A=1200\ \text{Bq}\), \(T_{1/2}=8{,}0\ \text{h}\). Se pide \(t\) y \(N\).

Modelo e idea clave. La actividad y el número de núcleos siguen la misma ley exponencial. Cuando la razón es una potencia exacta de dos, el número de semividas se obtiene directamente.

Ecuaciones.

Resultado. Se necesitan \(24{,}0\ \text{h}\) y en ese instante quedan aproximadamente \(4{,}99\cdot10^7\) núcleos radiactivos.

Revisión. Tras tres semividas la actividad debe ser la octava parte de la inicial. La unidad de \(A/\lambda\) es el número de núcleos.

Enunciado. Considera la reacción \({}^{235}_{92}U+{}^{1}_{0}n\rightarrow{}^{141}_{56}Ba+{}^{92}_{36}Kr+3{}^{1}_{0}n\). Comprueba la conservación de \(A\) y \(Z\) y calcula la energía liberada. Usa \(m_U=235{,}043930\ u\), \(m_{Ba}=140{,}914411\ u\), \(m_{Kr}=91{,}926156\ u\) y \(m_n=1{,}008665\ u\).

Datos e incógnitas. Se pide verificar la reacción y calcular \(Q\) en MeV y J.

Modelo e idea clave. Una reacción nuclear debe conservar el número total de nucleones y la carga. La disminución de masa se transforma en energía cinética de los productos y radiación.

Ecuaciones.

Resultado. La reacción conserva \(A\) y \(Z\) y libera aproximadamente \(173{,}3\ \text{MeV}=2{,}78\cdot10^{-11}\ \text{J}\) por fisión.

Revisión. El valor \(Q\) es positivo porque la masa de los productos es menor. El resultado está en el orden habitual de centenares de MeV por fisión.