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Funciones y límites 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso
Marlu Educativa · Matemáticas I · 1.º de Bachillerato
Funciones y límites 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso
Una guía exigente y clara para trabajar dominios, composición, función inversa, límites, continuidad y asíntotas sin saltarse las condiciones que justifican cada resultado.
El bloque de funciones y límites es uno de los más importantes de 1º Bachillerato. Aquí se construye la base para entender continuidad, asíntotas, derivadas y, más adelante, el estudio completo de funciones. Cuando un alumno domina este tema, Matemáticas empieza a tener más orden.
En este recurso trabajamos ejercicios resueltos de funciones y límites paso a paso, con un nivel exigente pero explicado de forma clara. El objetivo no es memorizar recetas, sino aprender a mirar cada ejercicio y decidir qué condición hay que aplicar: dominio, composición, función inversa, límite lateral, continuidad, indeterminación, asíntota o parámetro.
Es un bloque pensado para estudiar de verdad. Cada ejercicio tiene planteamiento, cálculo y revisión del resultado. La idea es que el alumno pueda usarlo antes de un examen, para repasar desde lo básico hasta problemas más completos.
Si necesitas trabajar estas ideas con seguimiento, puedes hacerlo también en nuestras clases online de Matemáticas de Bachillerato.
Material elaborado por José María para Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que quieren preparar Matemáticas con método, claridad y ejercicios bien resueltos.
Qué se trabaja aquí. La guía cubre el nivel de Matemáticas I: dominio, composición, inversa, variación media, límites iniciales, continuidad y asíntotas. Al final aparece también un primer ejercicio de derivabilidad en un punto, porque es la continuación natural del tema en 1.º. Las técnicas de derivación, el estudio completo de funciones y los problemas PAU/EBAU se dejan para 2.º de Bachillerato. Para dar ese paso sin repetir lo mismo, puede continuarse con límites y continuidad de 2.º de Bachillerato.
Dominio, composición, función inversa, restricciones y lectura algebraica.
Límites laterales, indeterminaciones, raíces, infinito y número e.
Funciones a trozos, parámetros, asíntotas y conexión entre piezas.
Una forma práctica de trabajar el tema
- Si estás empezando el tema, trabaja primero los ejercicios 1 a 9.
- Si tienes examen de límites, céntrate en los ejercicios 10 a 18.
- Si te cuestan las asíntotas, trabaja con calma los ejercicios 19 y 20.
- Para terminar con ejercicios de examen, quedan los ejercicios 21 a 26.
Idea clave. En funciones y límites, casi siempre el error aparece antes de calcular. Hay que detectar primero qué tipo de función tenemos, qué valores están prohibidos, qué indeterminación aparece y qué condición pide el enunciado.
Dominios, composición e inversa
Estos ejercicios forman la base del bloque. Antes de estudiar límites, continuidad o asíntotas, conviene saber dónde existe una función y cómo se transforma al componerla con otra.
Ejercicio 1. Dominio de una función racional
Halla el dominio de la función
Primer paso. Localizamos el problema
Es una función racional. El denominador no puede valer cero.
Segundo paso. Factorizamos
Tercer paso. Escribimos el dominio
Resultado.
La función existe para todos los números reales salvo para \(x=-2\) y \(x=2\), porque ahí el denominador se anula.
Ejercicio 2. Dominio con raíz cuadrada
Halla el dominio de
Primer paso. Condición de la raíz
En una raíz cuadrada, el radicando debe ser mayor o igual que cero.
Segundo paso. Resolvemos la desigualdad
Al dividir entre \(-2\), cambia el sentido de la desigualdad.
Resultado.
El extremo \(5/2\) entra porque la raíz de cero existe.
Ejercicio 3. Dominio con raíz en el denominador
Halla el dominio de
Primer paso. Condición doble
La raíz debe existir y además está en el denominador. Por tanto, el radicando no puede ser cero.
Segundo paso. Resolvemos
Resultado.
Error típico. Aquí no vale \(x\geq4\). En \(x=4\), el denominador sería cero.
Ejercicio 4. Dominio combinado con raíz y fracción
Halla el dominio de
Primer paso. Condición de la raíz
Segundo paso. Condición del denominador
Tercer paso. Cruzamos las condiciones
La condición de la raíz deja \(x\geq -1\). El valor \(-3\) ya no estaba permitido por esa condición, pero \(3\) sí estaba dentro y debemos quitarlo.
Resultado.
En dominios mixtos conviene resolver cada condición por separado y después unirlas con cuidado.
Ejercicio 5. Dominio con logaritmo
Halla el dominio de
Primer paso. Condición del logaritmo
El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo.
Segundo paso. Factorizamos
Tercer paso. Estudiamos el signo
El producto es positivo fuera de las raíces.
Resultado.
Error típico. En logaritmos no vale que el argumento sea cero. Debe ser mayor que cero.
Ejercicio 6. Composición de funciones
Dadas
calcula \((f\circ g)(x)\) y \((g\circ f)(x)\).
Primer paso. Calculamos \(f\circ g\)
Segundo paso. Calculamos \(g\circ f\)
Resultado.
Error típico. El orden importa. En general, \(f\circ g\) y \(g\circ f\) no dan lo mismo.
Ejercicio 7. Composición y dominio
Dadas
calcula \((f\circ g)(x)\) y su dominio.
Primer paso. Componemos
Segundo paso. Dominio de la composición
La raíz exige
Esta desigualdad se cumple fuera del intervalo entre las raíces.
Resultado.
La composición puede cambiar el dominio. No basta con sustituir, también hay que revisar dónde existe la nueva función.
Ejercicio 8. Función inversa racional
Calcula la función inversa de
Primer paso. Escribimos \(y=f(x)\)
Segundo paso. Intercambiamos \(x\) e \(y\)
Tercer paso. Despejamos \(y\)
Resultado.
En una inversa racional, el paso delicado suele ser agrupar bien los términos con \(y\).
Ejercicio 9. Comprobación de funciones inversas
Comprueba que
son funciones inversas.
Primer paso. Calculamos \(f(g(x))\)
Segundo paso. Calculamos \(g(f(x))\)
Resultado.
Por tanto, \(f\) y \(g\) son inversas.
Para comprobar dos inversas, las dos composiciones deben devolver la función identidad.
Límites laterales y continuidad
En 1º Bachillerato es fundamental entender que una función puede tener un límite en un punto y, aun así, no ser continua. También puede ocurrir que los límites laterales no coincidan.
Ejercicio 10. Límite lateral en función a trozos
Calcula los límites laterales de la función en \(x=1\).
Primer paso. Límite por la izquierda
Para \(x<1\), usamos \(2x+1\).
Segundo paso. Límite por la derecha
Para \(x>1\), usamos \(x^2+3\).
Tercer paso. Conclusión
Resultado.
Como los límites laterales son distintos, no existe el límite de \(f(x)\) cuando \(x\to1\).
Error típico. Para que exista el límite en un punto, los dos límites laterales deben coincidir.
Ejercicio 11. Continuidad en un punto
Estudia la continuidad en \(x=2\).
Primer paso. Límite por la izquierda
Segundo paso. Límite por la derecha
Tercer paso. Valor de la función
Cuarto paso. Conclusión
Resultado.
La función no es continua en \(x=2\), porque el límite vale \(3\), pero el valor de la función es \(5\).
Esta es una discontinuidad evitable. Bastaría redefinir \(f(2)=3\) para que la función fuese continua en ese punto.
Ejercicio 12. Continuidad con parámetro
Halla \(a\) para que la función sea continua en \(x=3\).
Primer paso. Límite por la izquierda
Segundo paso. Límite por la derecha
Tercer paso. Igualamos para que haya continuidad
Resultado.
El parámetro se ajusta para que los dos trozos se encuentren exactamente en el punto de unión.
Límites con indeterminaciones
Estos ejercicios son los que más aparecen en exámenes. La clave es reconocer la indeterminación y escoger la técnica correcta: factorizar, usar el conjugado, dividir por la potencia dominante o transformar hacia el número \(e\).
Ejercicio 13. Límite racional con indeterminación 0/0
Calcula
Primer paso. Sustituimos para ver la forma
Aparece una indeterminación. Hay que transformar.
Segundo paso. Factorizamos
Tercer paso. Simplificamos
Cuarto paso. Calculamos el límite
Resultado.
Se simplifica porque estamos calculando el comportamiento cerca de \(x=2\), no el valor exacto en \(x=2\).
Ejercicio 14. Límite con raíces y conjugado
Calcula
Primer paso. Comprobamos la indeterminación
Segundo paso. Multiplicamos por el conjugado
Tercer paso. Simplificamos y calculamos
Resultado.
Error típico. Cuando hay una raíz y aparece \(0/0\), el conjugado suele ser la herramienta más limpia.
Ejercicio 15. Límite racional en infinito
Calcula
Primer paso. Miramos los grados
Numerador y denominador tienen grado 2. En estos casos manda el cociente de los coeficientes principales.
Segundo paso. Dividimos entre \(x^2\)
Tercer paso. Calculamos el límite
Resultado.
En límites racionales en infinito, los términos de menor grado desaparecen frente a los de mayor grado.
Ejercicio 16. Límite infinito menos infinito con raíces
Calcula
Primer paso. Identificamos la forma
Cuando \(x\to+\infty\), aparece una indeterminación del tipo \(+\infty-\infty\).
Segundo paso. Multiplicamos por el conjugado
Tercer paso. Dividimos entre \(x\)
Cuarto paso. Calculamos
Resultado.
En expresiones con raíz y resta de infinitos, el conjugado permite eliminar la indeterminación.
Ejercicio 17. Límite tipo número e
Calcula
Primer paso. Reconocemos el patrón
Sabemos que
La forma general es
Segundo paso. Aplicamos con \(k=3\)
Resultado.
Este límite aparece mucho porque conecta sucesiones, crecimiento y funciones exponenciales.
Ejercicio 18. Límite con parámetro para que exista
Halla \(a\) para que exista el límite finito
Primer paso. Detectamos el problema
El denominador se anula en \(x=2\). Para que el límite pueda ser finito, el numerador también debe anularse en \(x=2\).
Segundo paso. Imponemos la condición
Tercer paso. Comprobamos
Con \(a=3\), queda
Resultado.
Con ese valor, el límite existe y vale \(1\).
El parámetro se elige para que desaparezca la discontinuidad infinita y quede una expresión simplificable.
Asíntotas y problemas completos
Las asíntotas son una aplicación directa de límites. En 1º Bachillerato conviene aprender a detectarlas con orden: verticales, horizontales y oblicuas.
Ejercicio 19. Asíntotas de una función racional
Estudia las asíntotas de
Primer paso. Asíntota vertical
La asíntota vertical aparece donde el denominador se anula y el numerador no.
Como \(2\cdot3+1=7\neq0\), hay asíntota vertical en
Segundo paso. Asíntota horizontal
Numerador y denominador tienen el mismo grado. La asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales.
Resultado.
es asíntota vertical.
es asíntota horizontal.
Este tipo de función racional es muy habitual para estudiar límites y asíntotas sin hacer cálculos largos.
Ejercicio 20. Asíntota oblicua
Halla la asíntota oblicua de
Primer paso. Observamos los grados
El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1. Como la diferencia de grados es 1, puede haber asíntota oblicua.
Segundo paso. Dividimos polinomios
Dividimos:
Por tanto,
Tercer paso. Tomamos el comportamiento en infinito
Por tanto, la asíntota oblicua es
Resultado.
La división de polinomios deja separada la parte principal de la función y el término que se hace cero en infinito.
Ejercicio 21. Función a trozos continua y derivable
Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=1\).
Primero comprobamos la continuidad
Los dos trozos tienen que llegar al mismo valor cuando \(x=1\).
Después igualamos las derivadas laterales
La derivada del primer trozo es \(a\). En el segundo trozo tenemos
Al sustituir \(x=1\), la derivada por la derecha vale
Para que no haya un cambio brusco de pendiente, ambas derivadas deben coincidir. Por tanto,
Por último calculamos \(b\)
Resultado.
El orden importa. Primero se asegura la continuidad y después se igualan las pendientes. Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable, pero nunca puede ser derivable allí si antes falla la continuidad.
Ejercicio 22. Problema completo de funciones y límites
Estudia dominio, continuidad y asíntotas de la función
Primer paso. Dominio
El denominador no puede ser cero.
Segundo paso. Continuidad
Una función racional es continua en todo su dominio. Por tanto, \(f\) es continua en todos los reales salvo en \(x=2\).
Tercer paso. Asíntota vertical
En \(x=2\), el denominador se anula. El numerador vale
Por tanto, hay asíntota vertical en
Cuarto paso. Asíntota oblicua
Dividimos polinomios:
Entonces
Como
la asíntota oblicua es
Resultado.
es asíntota vertical.
es asíntota oblicua.
Este ejercicio junta varias ideas del tema: dominio, continuidad, discontinuidad y asíntotas.
Ejercicios con el nivel habitual de un examen de 1.º
En 1.º de Bachillerato cada centro prepara sus propios controles, pero hay formas de preguntar que se repiten bastante. Los cuatro ejercicios siguientes obligan a interpretar, calcular y justificar el resultado, que es lo que suele marcar la diferencia en un examen.
Ejercicio 23. Tasa de variación media y recta secante
Sea \(f(x)=x^2-3x+1\). Calcula la tasa de variación media en el intervalo \([1,4]\) y halla la ecuación de la recta secante que une los puntos de la gráfica con abscisas \(1\) y \(4\).
Primer paso. Calculamos los valores de la función
Los puntos de la gráfica son \(A(1,-1)\) y \(B(4,5)\).
Segundo paso. Tasa de variación media
La tasa de variación media es la pendiente de la recta secante.
Tercer paso. Ecuación de la secante
Usamos la pendiente \(m=2\) y el punto \(A(1,-1)\):
Resultado.
La comprobación es inmediata: la recta \(y=2x-3\) pasa por \(A(1,-1)\) y por \(B(4,5)\).
Ejercicio 24. Lectura gráfica de límites y continuidad
La gráfica corresponde a una función definida a trozos. Estudia el límite y la continuidad en \(x=1\) y en \(x=3\).
Primer punto. Comportamiento en \(x=1\)
Los límites laterales coinciden, por lo que \(\lim_{x\to1}f(x)=3\). Sin embargo, el punto relleno muestra que \(f(1)=4\).
Conclusión en \(x=1\).
Existe el límite, pero no coincide con el valor de la función. Hay una discontinuidad evitable.
Segundo punto. Comportamiento en \(x=3\)
Los límites laterales son distintos. Por tanto, no existe el límite bilateral en \(x=3\).
Conclusión en \(x=3\).
La función presenta una discontinuidad de salto.
Ejercicio 25. Parámetros en un límite evitable
Halla \(a\) y \(b\) para que
Primer paso. El numerador también debe anularse
Como el denominador tiende a cero, para obtener un límite finito el numerador debe valer cero en \(x=1\):
Segundo paso. Factorizamos usando esa relación
Para \(x\neq1\), la fracción queda
Tercer paso. Imponemos que el límite valga \(4\)
Resultado.
Con esos valores, \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\), y el límite de \(x+3\) cuando \(x\to1\) es \(4\).
Ejercicio 26. Continuidad en dos puntos con parámetros
Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua en todo \(\mathbb{R}\).
Cada expresión es polinómica, así que dentro de cada intervalo no hay ningún problema de continuidad. Los únicos puntos que hay que estudiar son aquellos en los que cambia la fórmula: \(x=1\) y \(x=2\).
Empezamos por \(x=2\)
En ese punto deben coincidir el valor del tramo central y el límite del tramo situado a la derecha.
Ahora ajustamos la unión en \(x=1\)
Como ya sabemos que \(b=4\), sustituimos ese valor.
Comprobamos los dos empalmes
Resultado.
Empezar por \(x=2\) ahorra cuentas. Esa condición proporciona \(b\) directamente. Después, al estudiar la unión en \(x=1\), solo queda una incógnita.
Errores frecuentes en funciones y límites de 1 Bachillerato
- Olvidar excluir los valores que anulan un denominador.
- Incluir un extremo que no debe entrar cuando hay una raíz en el denominador.
- Confundir una raíz cuadrada con un logaritmo al estudiar el dominio.
- Componer funciones en el orden contrario.
- Calcular una inversa sin intercambiar antes \(x\) e \(y\).
- Decir que existe un límite cuando los límites laterales son distintos.
- Confundir límite en un punto con valor de la función en ese punto.
- Aplicar una técnica de límites sin mirar primero la indeterminación.
- No usar el conjugado en límites con raíces.
- No dividir por la potencia dominante en límites racionales en infinito.
- Confundir asíntota vertical con un punto donde la función simplemente no está definida.
- Dar por continua una función a trozos sin comprobar cada punto de unión.
- Estudiar la derivabilidad sin haber comprobado antes la continuidad.
Cómo estudiar funciones y límites para un examen
- Empieza por dominios de funciones racionales, raíces y logaritmos.
- Después practica composición de funciones y función inversa.
- Luego trabaja límites laterales y continuidad en funciones a trozos.
- Después pasa a límites con indeterminaciones sencillas.
- Más tarde estudia límites en infinito y asíntotas.
- Por último, practica ejercicios con parámetros y problemas completos.
Este orden evita estudiar de forma desordenada. Muchos alumnos se bloquean porque intentan resolver límites antes de entender bien el dominio o la continuidad de una función.
Artículo elaborado por José María para Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que preparan Matemáticas con ejercicios resueltos y explicación paso a paso.