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Funciones y límites 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

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Clase de matemáticas Marlu Educativa

Funciones y límites 1 Bachillerato ejercicios resueltos paso a paso

El bloque de funciones y límites es uno de los más importantes de 1º Bachillerato. Aquí se construye la base para entender continuidad, asíntotas, derivadas y, más adelante, el estudio completo de funciones. Cuando un alumno domina este tema, Matemáticas empieza a tener más orden.

En este recurso trabajamos ejercicios resueltos de funciones y límites paso a paso, con un nivel exigente pero explicado de forma clara. El objetivo no es memorizar recetas, sino aprender a mirar cada ejercicio y decidir qué condición hay que aplicar: dominio, composición, función inversa, límite lateral, continuidad, indeterminación, asíntota o parámetro.

Es un bloque pensado para estudiar de verdad. Cada ejercicio tiene planteamiento, cálculo y revisión del resultado. La idea es que el alumno pueda usarlo antes de un examen, para repasar desde lo básico hasta problemas más completos.

Material elaborado por José María para Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que quieren preparar Matemáticas con método, claridad y ejercicios bien resueltos.

Funciones

Dominio, composición, función inversa, restricciones y lectura algebraica.

Límites

Límites laterales, indeterminaciones, raíces, infinito y número e.

Continuidad

Funciones a trozos, parámetros, asíntotas y conexión entre piezas.

Índice clicable de ejercicios

  1. Ejercicio 1. Dominio de una función racional
  2. Ejercicio 2. Dominio con raíz cuadrada
  3. Ejercicio 3. Dominio con raíz en el denominador
  4. Ejercicio 4. Dominio combinado con raíz y fracción
  5. Ejercicio 5. Dominio con logaritmo
  6. Ejercicio 6. Composición de funciones
  7. Ejercicio 7. Composición y dominio
  8. Ejercicio 8. Función inversa racional
  9. Ejercicio 9. Comprobación de funciones inversas
  10. Ejercicio 10. Límite lateral en función a trozos
  11. Ejercicio 11. Continuidad en un punto
  12. Ejercicio 12. Continuidad con parámetro
  13. Ejercicio 13. Límite racional con indeterminación 0/0
  14. Ejercicio 14. Límite con raíces y conjugado
  15. Ejercicio 15. Límite racional en infinito
  16. Ejercicio 16. Límite infinito menos infinito con raíces
  17. Ejercicio 17. Límite tipo número e
  18. Ejercicio 18. Límite con parámetro para que exista
  19. Ejercicio 19. Asíntotas de una función racional
  20. Ejercicio 20. Asíntota oblicua
  21. Ejercicio 21. Función a trozos continua y derivable
  22. Ejercicio 22. Problema completo de funciones y límites

Cómo usar este recurso

  • Si estás empezando el tema, trabaja primero los ejercicios 1 a 9.
  • Si tienes examen de límites, céntrate en los ejercicios 10 a 18.
  • Si te cuestan las asíntotas, trabaja con calma los ejercicios 19 y 20.
  • Si quieres nivel alto de examen, termina con los ejercicios 21 y 22.

Idea clave. En funciones y límites, casi siempre el error aparece antes de calcular. Hay que detectar primero qué tipo de función tenemos, qué valores están prohibidos, qué indeterminación aparece y qué condición pide el enunciado.

Dominios, composición e inversa

Estos ejercicios forman la base del bloque. Antes de estudiar límites, continuidad o asíntotas, conviene saber dónde existe una función y cómo se transforma al componerla con otra.

Ejercicio 1. Dominio de una función racional

Halla el dominio de la función

\[ f(x)=\frac{2x+3}{x^2-4} \]

Primer paso. Localizamos el problema

Es una función racional. El denominador no puede valer cero.

\[ x^2-4=0 \]

Segundo paso. Factorizamos

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
\[ (x-2)(x+2)=0 \]
\[ x=2,\quad x=-2 \]

Tercer paso. Escribimos el dominio

Resultado.

\[ Dom(f)=\mathbb{R}-\{-2,2\} \]

La función existe para todos los números reales salvo para \(x=-2\) y \(x=2\), porque ahí el denominador se anula.

Ejercicio 2. Dominio con raíz cuadrada

Halla el dominio de

\[ f(x)=\sqrt{5-2x} \]

Primer paso. Condición de la raíz

En una raíz cuadrada, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

\[ 5-2x\geq0 \]

Segundo paso. Resolvemos la desigualdad

\[ -2x\geq -5 \]

Al dividir entre \(-2\), cambia el sentido de la desigualdad.

\[ x\leq \frac{5}{2} \]

Resultado.

\[ Dom(f)=\left(-\infty,\frac{5}{2}\right] \]

El extremo \(5/2\) entra porque la raíz de cero existe.

Ejercicio 3. Dominio con raíz en el denominador

Halla el dominio de

\[ f(x)=\frac{3}{\sqrt{x-4}} \]

Primer paso. Condición doble

La raíz debe existir y además está en el denominador. Por tanto, el radicando no puede ser cero.

\[ x-4>0 \]

Segundo paso. Resolvemos

\[ x>4 \]

Resultado.

\[ Dom(f)=(4,+\infty) \]

Error típico. Aquí no vale \(x\geq4\). En \(x=4\), el denominador sería cero.

Ejercicio 4. Dominio combinado con raíz y fracción

Halla el dominio de

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2-9} \]

Primer paso. Condición de la raíz

\[ x+1\geq0 \]
\[ x\geq -1 \]

Segundo paso. Condición del denominador

\[ x^2-9\neq0 \]
\[ (x-3)(x+3)\neq0 \]
\[ x\neq3,\quad x\neq -3 \]

Tercer paso. Cruzamos las condiciones

La condición de la raíz deja \(x\geq -1\). El valor \(-3\) ya no estaba permitido por esa condición, pero \(3\) sí estaba dentro y debemos quitarlo.

Resultado.

\[ Dom(f)=[-1,3)\cup(3,+\infty) \]

En dominios mixtos conviene resolver cada condición por separado y después unirlas con cuidado.

Ejercicio 5. Dominio con logaritmo

Halla el dominio de

\[ f(x)=\ln(x^2-5x+6) \]

Primer paso. Condición del logaritmo

El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo.

\[ x^2-5x+6>0 \]

Segundo paso. Factorizamos

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
\[ (x-2)(x-3)>0 \]

Tercer paso. Estudiamos el signo

El producto es positivo fuera de las raíces.

\[ x<2 \quad \text{o} \quad x>3 \]

Resultado.

\[ Dom(f)=(-\infty,2)\cup(3,+\infty) \]

Error típico. En logaritmos no vale que el argumento sea cero. Debe ser mayor que cero.

Ejercicio 6. Composición de funciones

Dadas

\[ f(x)=2x-1,\quad g(x)=x^2+3 \]

calcula \((f\circ g)(x)\) y \((g\circ f)(x)\).

Primer paso. Calculamos \(f\circ g\)

\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
\[ f(g(x))=2(x^2+3)-1 \]
\[ f(g(x))=2x^2+6-1=2x^2+5 \]

Segundo paso. Calculamos \(g\circ f\)

\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)) \]
\[ g(f(x))=(2x-1)^2+3 \]
\[ g(f(x))=4x^2-4x+1+3 \]
\[ g(f(x))=4x^2-4x+4 \]

Resultado.

\[ (f\circ g)(x)=2x^2+5 \]
\[ (g\circ f)(x)=4x^2-4x+4 \]

Error típico. El orden importa. En general, \(f\circ g\) y \(g\circ f\) no dan lo mismo.

Ejercicio 7. Composición y dominio

Dadas

\[ f(x)=\sqrt{x-2},\quad g(x)=x^2+1 \]

calcula \((f\circ g)(x)\) y su dominio.

Primer paso. Componemos

\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
\[ f(g(x))=\sqrt{(x^2+1)-2} \]
\[ f(g(x))=\sqrt{x^2-1} \]

Segundo paso. Dominio de la composición

La raíz exige

\[ x^2-1\geq0 \]
\[ (x-1)(x+1)\geq0 \]

Esta desigualdad se cumple fuera del intervalo entre las raíces.

\[ x\leq -1 \quad \text{o} \quad x\geq1 \]

Resultado.

\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1} \]
\[ Dom(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \]

La composición puede cambiar el dominio. No basta con sustituir, también hay que revisar dónde existe la nueva función.

Ejercicio 8. Función inversa racional

Calcula la función inversa de

\[ f(x)=\frac{3x-2}{x+1} \]

Primer paso. Escribimos \(y=f(x)\)

\[ y=\frac{3x-2}{x+1} \]

Segundo paso. Intercambiamos \(x\) e \(y\)

\[ x=\frac{3y-2}{y+1} \]

Tercer paso. Despejamos \(y\)

\[ x(y+1)=3y-2 \]
\[ xy+x=3y-2 \]
\[ xy-3y=-2-x \]
\[ y(x-3)=-(x+2) \]
\[ y=\frac{x+2}{3-x} \]

Resultado.

\[ f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3-x} \]

En una inversa racional, el paso delicado suele ser agrupar bien los términos con \(y\).

Ejercicio 9. Comprobación de funciones inversas

Comprueba que

\[ f(x)=2x+5,\quad g(x)=\frac{x-5}{2} \]

son funciones inversas.

Primer paso. Calculamos \(f(g(x))\)

\[ f(g(x))=2\left(\frac{x-5}{2}\right)+5 \]
\[ f(g(x))=x-5+5=x \]

Segundo paso. Calculamos \(g(f(x))\)

\[ g(f(x))=\frac{(2x+5)-5}{2} \]
\[ g(f(x))=\frac{2x}{2}=x \]

Resultado.

\[ f(g(x))=x,\quad g(f(x))=x \]

Por tanto, \(f\) y \(g\) son inversas.

Para comprobar dos inversas, las dos composiciones deben devolver la función identidad.

Límites laterales y continuidad

En 1º Bachillerato es fundamental entender que una función puede tener un límite en un punto y, aun así, no ser continua. También puede ocurrir que los límites laterales no coincidan.

Ejercicio 10. Límite lateral en función a trozos

Calcula los límites laterales de la función en \(x=1\).

\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<1\\ x^2+3 & \text{si } x>1 \end{cases} \]

Primer paso. Límite por la izquierda

Para \(x<1\), usamos \(2x+1\).

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2x+1) \]
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2\cdot1+1=3 \]

Segundo paso. Límite por la derecha

Para \(x>1\), usamos \(x^2+3\).

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x^2+3) \]
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1^2+3=4 \]

Tercer paso. Conclusión

Resultado.

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=4 \]

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite de \(f(x)\) cuando \(x\to1\).

Error típico. Para que exista el límite en un punto, los dos límites laterales deben coincidir.

Ejercicio 11. Continuidad en un punto

Estudia la continuidad en \(x=2\).

\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{si } x<2\\ 5 & \text{si } x=2\\ 2x-1 & \text{si } x>2 \end{cases} \]

Primer paso. Límite por la izquierda

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=2+1=3 \]

Segundo paso. Límite por la derecha

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=2\cdot2-1=3 \]

Tercer paso. Valor de la función

\[ f(2)=5 \]

Cuarto paso. Conclusión

Resultado.

La función no es continua en \(x=2\), porque el límite vale \(3\), pero el valor de la función es \(5\).

\[ \lim_{x\to2}f(x)=3\neq f(2) \]

Esta es una discontinuidad evitable. Bastaría redefinir \(f(2)=3\) para que la función fuese continua en ese punto.

Ejercicio 12. Continuidad con parámetro

Halla \(a\) para que la función sea continua en \(x=3\).

\[ f(x)= \begin{cases} ax-1 & \text{si } x<3\\ x^2-4 & \text{si } x\geq3 \end{cases} \]

Primer paso. Límite por la izquierda

\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=3a-1 \]

Segundo paso. Límite por la derecha

\[ \lim_{x\to3^+}f(x)=3^2-4=5 \]

Tercer paso. Igualamos para que haya continuidad

\[ 3a-1=5 \]
\[ 3a=6 \]
\[ a=2 \]

Resultado.

\[ a=2 \]

El parámetro se ajusta para que los dos trozos se encuentren exactamente en el punto de unión.

Límites con indeterminaciones

Estos ejercicios son los que más aparecen en exámenes. La clave es reconocer la indeterminación y escoger la técnica correcta: factorizar, usar el conjugado, dividir por la potencia dominante o transformar hacia el número \(e\).

Ejercicio 13. Límite racional con indeterminación 0/0

Calcula

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} \]

Primer paso. Sustituimos para ver la forma

\[ \frac{2^2-4}{2-2}=\frac{0}{0} \]

Aparece una indeterminación. Hay que transformar.

Segundo paso. Factorizamos

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \]

Tercer paso. Simplificamos

\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]

Cuarto paso. Calculamos el límite

\[ \lim_{x\to2}(x+2)=4 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4 \]

Se simplifica porque estamos calculando el comportamiento cerca de \(x=2\), no el valor exacto en \(x=2\).

Ejercicio 14. Límite con raíces y conjugado

Calcula

\[ \lim_{x\to5}\frac{x-5}{\sqrt{x+4}-3} \]

Primer paso. Comprobamos la indeterminación

\[ \frac{5-5}{\sqrt{9}-3}=\frac{0}{0} \]

Segundo paso. Multiplicamos por el conjugado

\[ \frac{x-5}{\sqrt{x+4}-3}\cdot \frac{\sqrt{x+4}+3}{\sqrt{x+4}+3} \]
\[ = \frac{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)}{(x+4)-9} \]
\[ = \frac{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)}{x-5} \]

Tercer paso. Simplificamos y calculamos

\[ \lim_{x\to5}(\sqrt{x+4}+3) \]
\[ =\sqrt{9}+3=6 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to5}\frac{x-5}{\sqrt{x+4}-3}=6 \]

Error típico. Cuando hay una raíz y aparece \(0/0\), el conjugado suele ser la herramienta más limpia.

Ejercicio 15. Límite racional en infinito

Calcula

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+5x-7} \]

Primer paso. Miramos los grados

Numerador y denominador tienen grado 2. En estos casos manda el cociente de los coeficientes principales.

Segundo paso. Dividimos entre \(x^2\)

\[ \frac{4x^2-3x+1}{2x^2+5x-7} = \frac{4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}} \]

Tercer paso. Calculamos el límite

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}} = \frac{4}{2}=2 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+5x-7}=2 \]

En límites racionales en infinito, los términos de menor grado desaparecen frente a los de mayor grado.

Ejercicio 16. Límite infinito menos infinito con raíces

Calcula

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right) \]

Primer paso. Identificamos la forma

Cuando \(x\to+\infty\), aparece una indeterminación del tipo \(+\infty-\infty\).

Segundo paso. Multiplicamos por el conjugado

\[ \sqrt{x^2+6x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+6x}-x)(\sqrt{x^2+6x}+x)}{\sqrt{x^2+6x}+x} \]
\[ = \frac{x^2+6x-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x} \]
\[ = \frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x} \]

Tercer paso. Dividimos entre \(x\)

\[ \frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x} = \frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1} \]

Cuarto paso. Calculamos

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1} = \frac{6}{1+1}=3 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=3 \]

En expresiones con raíz y resta de infinitos, el conjugado permite eliminar la indeterminación.

Ejercicio 17. Límite tipo número e

Calcula

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x \]

Primer paso. Reconocemos el patrón

Sabemos que

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e \]

La forma general es

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k \]

Segundo paso. Aplicamos con \(k=3\)

Resultado.

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^3 \]

Este límite aparece mucho porque conecta sucesiones, crecimiento y funciones exponenciales.

Ejercicio 18. Límite con parámetro para que exista

Halla \(a\) para que exista el límite finito

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-ax+2}{x-2} \]

Primer paso. Detectamos el problema

El denominador se anula en \(x=2\). Para que el límite pueda ser finito, el numerador también debe anularse en \(x=2\).

Segundo paso. Imponemos la condición

\[ 2^2-a\cdot2+2=0 \]
\[ 4-2a+2=0 \]
\[ 6-2a=0 \]
\[ a=3 \]

Tercer paso. Comprobamos

Con \(a=3\), queda

\[ \frac{x^2-3x+2}{x-2} = \frac{(x-1)(x-2)}{x-2} \]
\[ \lim_{x\to2}(x-1)=1 \]

Resultado.

\[ a=3 \]

Con ese valor, el límite existe y vale \(1\).

El parámetro se elige para que desaparezca la discontinuidad infinita y quede una expresión simplificable.

Asíntotas y problemas completos

Las asíntotas son una aplicación directa de límites. En 1º Bachillerato conviene aprender a detectarlas con orden: verticales, horizontales y oblicuas.

Ejercicio 19. Asíntotas de una función racional

Estudia las asíntotas de

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3} \]

Primer paso. Asíntota vertical

La asíntota vertical aparece donde el denominador se anula y el numerador no.

\[ x-3=0 \]
\[ x=3 \]

Como \(2\cdot3+1=7\neq0\), hay asíntota vertical en

\[ x=3 \]

Segundo paso. Asíntota horizontal

Numerador y denominador tienen el mismo grado. La asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales.

\[ y=\frac{2}{1}=2 \]

Resultado.

\[ x=3 \]

es asíntota vertical.

\[ y=2 \]

es asíntota horizontal.

Este tipo de función racional es muy habitual para estudiar límites y asíntotas sin hacer cálculos largos.

Ejercicio 20. Asíntota oblicua

Halla la asíntota oblicua de

\[ f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x+1} \]

Primer paso. Observamos los grados

El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1. Como la diferencia de grados es 1, puede haber asíntota oblicua.

Segundo paso. Dividimos polinomios

\[ \frac{x^2+2x+3}{x+1} \]

Dividimos:

\[ x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2 \]

Por tanto,

\[ f(x)=x+1+\frac{2}{x+1} \]

Tercer paso. Tomamos el comportamiento en infinito

\[ \frac{2}{x+1}\to0 \]

Por tanto, la asíntota oblicua es

Resultado.

\[ y=x+1 \]

La división de polinomios deja separada la parte principal de la función y el término que se hace cero en infinito.

Ejercicio 21. Función a trozos continua y derivable

Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=1\).

\[ f(x)= \begin{cases} ax+b & \text{si } x<1\\ x^2+2x & \text{si } x\geq1 \end{cases} \]

Primer paso. Condición de continuidad

Para que sea continua en \(x=1\), los dos trozos deben coincidir.

\[ a\cdot1+b=1^2+2\cdot1 \]
\[ a+b=3 \]

Segundo paso. Condición de derivabilidad

Derivamos cada trozo.

\[ (ax+b)'=a \]
\[ (x^2+2x)'=2x+2 \]

En \(x=1\), la derivada del segundo trozo vale

\[ 2\cdot1+2=4 \]

Para que sea derivable:

\[ a=4 \]

Tercer paso. Calculamos \(b\)

\[ a+b=3 \]
\[ 4+b=3 \]
\[ b=-1 \]

Resultado.

\[ a=4,\quad b=-1 \]

Idea importante. Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua. Por eso se imponen dos condiciones.

Ejercicio 22. Problema completo de funciones y límites

Estudia dominio, continuidad y asíntotas de la función

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-2} \]

Primer paso. Dominio

El denominador no puede ser cero.

\[ x-2\neq0 \]
\[ x\neq2 \]
\[ Dom(f)=\mathbb{R}-\{2\} \]

Segundo paso. Continuidad

Una función racional es continua en todo su dominio. Por tanto, \(f\) es continua en todos los reales salvo en \(x=2\).

Tercer paso. Asíntota vertical

En \(x=2\), el denominador se anula. El numerador vale

\[ 2^2-1=3\neq0 \]

Por tanto, hay asíntota vertical en

\[ x=2 \]

Cuarto paso. Asíntota oblicua

Dividimos polinomios:

\[ \frac{x^2-1}{x-2} \]
\[ x^2-1=(x-2)(x+2)+3 \]

Entonces

\[ f(x)=x+2+\frac{3}{x-2} \]

Como

\[ \frac{3}{x-2}\to0 \]

la asíntota oblicua es

\[ y=x+2 \]

Resultado.

\[ Dom(f)=\mathbb{R}-\{2\} \]
\[ x=2 \]

es asíntota vertical.

\[ y=x+2 \]

es asíntota oblicua.

Este ejercicio junta varias ideas del tema: dominio, continuidad, discontinuidad y asíntotas.

Errores frecuentes en funciones y límites de 1 Bachillerato

  • Olvidar excluir los valores que anulan un denominador.
  • Incluir un extremo que no debe entrar cuando hay una raíz en el denominador.
  • Confundir una raíz cuadrada con un logaritmo al estudiar el dominio.
  • Componer funciones en el orden contrario.
  • Calcular una inversa sin intercambiar antes \(x\) e \(y\).
  • Decir que existe un límite cuando los límites laterales son distintos.
  • Confundir límite en un punto con valor de la función en ese punto.
  • Aplicar una técnica de límites sin mirar primero la indeterminación.
  • No usar el conjugado en límites con raíces.
  • No dividir por la potencia dominante en límites racionales en infinito.
  • Confundir asíntota vertical con un punto donde la función simplemente no está definida.
  • Olvidar que la derivabilidad exige continuidad previa.

Cómo estudiar funciones y límites para un examen

  • Empieza por dominios de funciones racionales, raíces y logaritmos.
  • Después practica composición de funciones y función inversa.
  • Luego trabaja límites laterales y continuidad en funciones a trozos.
  • Después pasa a límites con indeterminaciones sencillas.
  • Más tarde estudia límites en infinito y asíntotas.
  • Por último, practica ejercicios con parámetros y problemas completos.

Este orden evita estudiar de forma desordenada. Muchos alumnos se bloquean porque intentan resolver límites antes de entender bien el dominio o la continuidad de una función.

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