Matemáticas, PAU y EBAU

Ejercicios de limites resueltos variados PAU/EBAU resueltos

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Límites 2 Bachillerato PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso

Los límites son uno de los bloques que más se notan cuando un alumno entiende Matemáticas II de verdad. No basta con sustituir y esperar que salga. Hay que reconocer la indeterminación, elegir el método adecuado y saber cuándo conviene factorizar, racionalizar, usar equivalencias, aplicar L’Hôpital, tomar logaritmos o transformar una expresión para que aparezca el número \(e\).

En esta guía trabajamos límites de 2 Bachillerato y PAU/EBAU 2026 paso a paso, con ejercicios variados y explicación clara. Hay límites algebraicos, límites con raíces, límites trigonométricos, límites con exponenciales, límites con logaritmos, límites con parámetro y ejercicios de continuidad y derivabilidad.

Este recurso forma parte del bloque de Matemáticas II PAU/EBAU de Marlu Educativa. Puedes completar el repaso con las guías de integrales-pau-ebau-2026-resueltas , y geometría 3D PAU/EBAU 2026 resuelta paso a paso.

Índice de ejercicios de límites

  1. Límite directo y continuidad básica
  2. Indeterminación 0/0 con factorización
  3. Indeterminación 0/0 con raíces y racionalización
  4. Límite en infinito con cociente de polinomios
  5. Límite infinito menos infinito con radicales
  6. Límite trigonométrico tipo seno partido x
  7. Límite con número e de forma clásica
  8. Límite exponencial que lleva al número e
  9. Límite con logaritmos y equivalencias
  10. Límite donde conviene tomar logaritmos
  11. Límite con L’Hôpital 0/0
  12. Límite con L’Hôpital infinito/infinito
  13. Límite con parámetro para que valga 3
  14. Límite con parámetro y continuidad
  15. Derivabilidad de una función definida a trozos
  16. Problema completo tipo PAU/EBAU con límite, continuidad y derivabilidad

Idea clave para no perderse con límites

Antes de empezar un límite conviene sustituir mentalmente y mirar qué ocurre. Si sale un número real, el límite suele estar resuelto. Si aparece una indeterminación, hay que identificarla. No todas se resuelven igual.

  • \(0/0\) suele pedir factorizar, racionalizar, equivalencias o L’Hôpital.
  • \(\infty/\infty\) suele pedir comparar grados o aplicar L’Hôpital.
  • \(\infty-\infty\) suele pedir operar o racionalizar.
  • \(1^\infty\) suele llevar al número \(e\) y muchas veces conviene tomar logaritmos.
  • \(0\cdot\infty\) suele transformarse en cociente.
  • En funciones a trozos hay que estudiar límites laterales.
  • Para derivabilidad, primero debe haber continuidad.

Error típico. Aplicar L’Hôpital sin comprobar la indeterminación. L’Hôpital solo se usa directamente en formas \(0/0\) o \(\infty/\infty\). Si aparece otra forma, primero hay que transformarla.

Ejercicio 1. Límite directo y continuidad básica

Calcula

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) \]

Primer paso. Sustituimos directamente

Es un polinomio, y los polinomios son continuos en todos los números reales.

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1)=3\cdot2^2-5\cdot2+1 \]
\[ =12-10+1=3 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1)=3 \]

No todos los límites necesitan técnicas largas. Si la función es continua en el punto, se sustituye y se calcula.

Ejercicio 2. Indeterminación 0/0 con factorización

Calcula

\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} \]

Primer paso. Sustituimos

\[ \frac{2^2-4}{2-2}=\frac{0}{0} \]

Aparece una indeterminación \(0/0\). Hay que transformar la expresión.

Segundo paso. Factorizamos

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \]

Para \(x\neq2\), se puede simplificar \(x-2\).

\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]

Tercer paso. Calculamos el límite

\[ \lim_{x\to 2}(x+2)=4 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4 \]

Este es uno de los patrones más frecuentes. Si aparece \(0/0\) con polinomios, lo primero suele ser factorizar.

Ejercicio 3. Indeterminación 0/0 con raíces y racionalización

Calcula

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \]

Primer paso. Sustituimos

\[ \frac{\sqrt{0+4}-2}{0}=\frac{0}{0} \]

Aparece \(0/0\). Como hay una raíz, lo natural es racionalizar.

Segundo paso. Multiplicamos por el conjugado

\[ \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} \]
\[ =\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} \]
\[ =\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} \]

Simplificamos \(x\).

\[ =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \]

Tercer paso. Calculamos el límite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{1}{4} \]

Error típico. Cuando aparece una resta con raíz, normalmente hay que multiplicar por el conjugado. No se puede simplificar la raíz de cualquier manera.

Ejercicio 4. Límite en infinito con cociente de polinomios

Calcula

\[ \lim_{x\to \infty}\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4} \]

Primer paso. Observamos los grados

El numerador y el denominador tienen el mismo grado. En este caso el límite es el cociente de los coeficientes principales.

\[ \frac{3x^2}{2x^2}\to \frac{3}{2} \]

Segundo paso. Dividimos entre \(x^2\)

\[ \frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4} = \frac{3-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}} \]

Tercer paso. Hacemos tender \(x\) a infinito

\[ \frac{3-0+0}{2+0-0}=\frac{3}{2} \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to \infty}\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4}=\frac{3}{2} \]

En cocientes de polinomios en infinito manda el grado. Es una de las comprobaciones más rápidas.

Ejercicio 5. Límite infinito menos infinito con radicales

Calcula

\[ \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) \]

Primer paso. Detectamos la indeterminación

Al crecer \(x\), tanto \(\sqrt{x^2+3x}\) como \(x\) tienden a infinito. Aparece una forma \(\infty-\infty\).

Segundo paso. Racionalizamos

\[ \sqrt{x^2+3x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x} \]
\[ =\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} \]
\[ =\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} \]

Tercer paso. Sacamos factor \(x\) en el denominador

\[ \sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}} \]
\[ \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x} \]
\[ =\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \]

Cuarto paso. Calculamos el límite

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2} \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\frac{3}{2} \]

Ejercicio 6. Límite trigonométrico tipo seno partido x

Calcula

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x} \]

Primer paso. Usamos el límite fundamental

\[ \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 \]

Segundo paso. Preparamos la expresión

Queremos que abajo aparezca \(5x\). Multiplicamos y dividimos por 5.

\[ \frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x} \]

Tercer paso. Calculamos

\[ \lim_{x\to0}5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}=5\cdot1=5 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}=5 \]

Error típico. El límite fundamental es \(\frac{\sin u}{u}\), no \(\frac{\sin(5x)}{x}\) directamente. Hay que ajustar el argumento.

Ejercicio 7. Límite con número e de forma clásica

Calcula

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x \]

Primer paso. Reconocemos la forma

Sabemos que

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e \]

En este caso aparece \(3/x\), así que el resultado será una potencia de \(e\).

Segundo paso. Transformamos

\[ \left(1+\frac{3}{x}\right)^x = \left[\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^3 \]

Tercer paso. Calculamos el límite

\[ \lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^3=e^3 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^3 \]

Este tipo de límite es de alta frecuencia. Cuando aparece algo parecido a \(1+\frac{k}{x}\) elevado a \(x\), suele aparecer el número \(e\).

Ejercicio 8. Límite exponencial que lleva al número e

Calcula

\[ \lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x} \]

Primer paso. Reconocemos la forma

Cuando \(x\to0\), la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito. Tenemos una forma \(1^\infty\).

Segundo paso. Usamos el patrón del número e

Sabemos que

\[ \lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e \]

Tomamos \(u=2x\). Entonces \(x=u/2\) y

\[ \frac{1}{x}=\frac{2}{u} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ (1+2x)^{1/x}=(1+u)^{2/u} \]
\[ \lim_{u\to0}(1+u)^{2/u}=e^2 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}=e^2 \]

Ejercicio 9. Límite con logaritmos y equivalencias

Calcula

\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x} \]

Primer paso. Reconocemos el límite fundamental

Para valores pequeños de \(u\), se cumple que

\[ \ln(1+u)\sim u \]

Segundo paso. Aplicamos la equivalencia

Tomamos \(u=4x\). Entonces

\[ \ln(1+4x)\sim4x \]

Tercer paso. Calculamos

\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{4x}{x}=4 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4 \]

Este límite también puede resolverse con L’Hôpital, pero la equivalencia \(\ln(1+u)\sim u\) es más rápida si se domina bien.

Ejercicio 10. Límite donde conviene tomar logaritmos

Calcula

\[ \lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/\sqrt{x}} \]

Primer paso. Identificamos la forma

Cuando \(x\to0^+\), la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito. Es una forma \(1^\infty\). En estos casos suele ser útil tomar logaritmos.

Llamamos

\[ L=\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/\sqrt{x}} \]

Segundo paso. Tomamos logaritmos

\[ \ln L=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}} \]

Tercer paso. Usamos equivalencia

Como \(\ln(1+x)\sim x\), queda

\[ \ln L=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{\sqrt{x}} \]
\[ \ln L=\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0 \]

Cuarto paso. Volvemos del logaritmo

\[ \ln L=0 \Longrightarrow L=e^0=1 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/\sqrt{x}}=1 \]

Error típico. No toda forma \(1^\infty\) da automáticamente \(e\). Hay que estudiar el exponente y la velocidad con la que la base se acerca a 1.

Ejercicio 11. Límite con L’Hôpital 0/0

Calcula

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x} \]

Primer paso. Comprobamos la indeterminación

\[ \frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0} \]

Podemos aplicar L’Hôpital.

Segundo paso. Derivamos numerador y denominador

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{1} \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ \lim_{x\to0}e^x=e^0=1 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 \]

Ejercicio 12. Límite con L’Hôpital infinito/infinito

Calcula

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} \]

Primer paso. Comprobamos la indeterminación

Cuando \(x\to\infty\), tanto \(\ln x\) como \(x\) tienden a infinito.

\[ \frac{\ln x}{x}\to\frac{\infty}{\infty} \]

Podemos aplicar L’Hôpital.

Segundo paso. Derivamos numerador y denominador

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} \]

Tercer paso. Calculamos

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \]

Resultado.

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0 \]

Este límite resume una idea importante. El logaritmo crece mucho más despacio que \(x\).

Ejercicio 13. Límite con parámetro para que valga 3

Halla \(a\) para que se cumpla

\[ \lim_{x\to1}\frac{x^2+ax-2}{x-1}=3 \]

Primer paso. Evitamos que el límite sea infinito

El denominador tiende a 0. Para que el límite sea finito, el numerador también debe anularse en \(x=1\).

\[ 1^2+a\cdot1-2=0 \]
\[ a-1=0 \]
\[ a=1 \]

Segundo paso. Comprobamos el límite con \(a=1\)

\[ \frac{x^2+x-2}{x-1} \]

Factorizamos el numerador.

\[ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \]
\[ \frac{x^2+x-2}{x-1}=x+2 \]

Tercer paso. Calculamos

\[ \lim_{x\to1}(x+2)=3 \]

Resultado.

\[ a=1 \]

Este tipo de ejercicio es muy típico. Cuando piden que un límite valga un número concreto, primero hay que forzar que desaparezca la indeterminación.

Ejercicio 14. Límite con parámetro y continuidad

Halla \(a\) para que la función sea continua en \(x=2\).

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x\neq2\\ a, & x=2 \end{cases} \]

Primer paso. Calculamos el límite cuando \(x\to2\)

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} \]

Factorizamos.

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2 \]
\[ \lim_{x\to2}(x+2)=4 \]

Segundo paso. Imponemos continuidad

Para que sea continua en \(x=2\), debe cumplirse

\[ f(2)=\lim_{x\to2}f(x) \]
\[ a=4 \]

Resultado.

\[ a=4 \]

Ejercicio 15. Derivabilidad de una función definida a trozos

Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=1\).

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+a, & x\le1\\ bx+1, & x>1 \end{cases} \]

Primer paso. Condición de continuidad

Para que sea continua en \(x=1\), los valores de los dos trozos deben coincidir.

\[ 1^2+a=b\cdot1+1 \]
\[ 1+a=b+1 \]
\[ a=b \]

Segundo paso. Condición de derivabilidad

Derivamos cada trozo.

\[ f_1(x)=x^2+a \Longrightarrow f_1'(x)=2x \]
\[ f_2(x)=bx+1 \Longrightarrow f_2'(x)=b \]

Para que sea derivable en \(x=1\), las derivadas laterales deben coincidir.

\[ f_1'(1)=f_2'(1) \]
\[ 2=b \]

Tercer paso. Calculamos \(a\)

Como antes teníamos \(a=b\), queda

\[ a=2 \]

Resultado.

\[ a=2,\quad b=2 \]

Error típico. Una función no puede ser derivable si antes no es continua. En funciones a trozos siempre se comprueba primero continuidad y después derivabilidad.

Ejercicio 16. Problema completo tipo PAU/EBAU con límite, continuidad y derivabilidad

Sea la función

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2+ax-2}{x-1}, & x<1\\ bx+1, & x\ge1 \end{cases} \]

Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en \(x=1\) y la derivada por la derecha en \(x=1\) sea igual a 3.

Primer paso. Forzamos que el límite por la izquierda sea finito

El denominador del primer trozo se anula en \(x=1\). Para que el límite por la izquierda sea finito, el numerador también debe anularse.

\[ 1^2+a\cdot1-2=0 \]
\[ a-1=0 \]
\[ a=1 \]

Segundo paso. Calculamos el límite por la izquierda

Con \(a=1\), el primer trozo queda

\[ \frac{x^2+x-2}{x-1} \]

Factorizamos.

\[ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \]
\[ \frac{x^2+x-2}{x-1}=x+2 \]
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3 \]

Tercer paso. Imponemos continuidad

Como el segundo trozo se usa para \(x\ge1\), tenemos

\[ f(1)=b\cdot1+1=b+1 \]

Para que haya continuidad

\[ b+1=3 \]
\[ b=2 \]

Cuarto paso. Revisamos la condición de derivada por la derecha

El segundo trozo es \(bx+1\). Su derivada es

\[ f_+'(1)=b \]

Con \(b=2\), la derivada por la derecha vale 2, no 3.

\[ f_+'(1)=2 \]

Quinto paso. Conclusión

La continuidad obliga a \(b=2\), pero la condición de derivada por la derecha igual a 3 obligaría a \(b=3\). No pueden cumplirse las dos condiciones a la vez.

Resultado.

No existen valores de \(a\) y \(b\) que hagan que se cumplan las dos condiciones a la vez.

Este ejercicio es muy útil porque no todos los problemas con parámetros tienen solución. A veces las condiciones se contradicen, y detectarlo también forma parte del razonamiento correcto.

Errores frecuentes en límites de 2 Bachillerato

  • Aplicar L’Hôpital sin comprobar antes que hay \(0/0\) o \(\infty/\infty\).
  • No factorizar antes de simplificar.
  • Olvidar racionalizar cuando aparece una raíz con resta.
  • Tratar todas las formas \(1^\infty\) como si dieran \(e\) directamente.
  • No tomar logaritmos en límites de potencias complicadas.
  • No estudiar límites laterales en funciones a trozos.
  • Intentar estudiar derivabilidad sin comprobar continuidad.
  • Confundir el valor de la función con el límite de la función.

Cómo estudiar límites para PAU/EBAU

La forma más eficaz de estudiar límites no es hacer ejercicios al azar. Conviene agruparlos por tipo de indeterminación. Así el alumno aprende a reconocer el método antes de empezar a calcular.

  • Primero límites directos y continuidad básica.
  • Después indeterminaciones \(0/0\) con factorización.
  • Luego límites con raíces y racionalización.
  • Más tarde límites en infinito.
  • Después límites trigonométricos fundamentales.
  • Luego límites con número \(e\) y potencias.
  • Después límites con logaritmos.
  • Más tarde L’Hôpital.
  • Finalmente límites con parámetro, continuidad y derivabilidad.

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Preguntas frecuentes sobre límites PAU/EBAU

Qué límites suelen aparecer en PAU/EBAU

Suelen aparecer límites con indeterminaciones \(0/0\), \(\infty/\infty\), \(\infty-\infty\), límites con raíces, límites trigonométricos, límites con número \(e\), L’Hôpital, límites con parámetros y ejercicios de continuidad y derivabilidad.

Cuándo se puede usar L’Hôpital

Se puede usar directamente cuando el límite presenta una indeterminación del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\). Si aparece otra indeterminación, primero hay que transformarla.

Cuándo aparece el número e en límites

Suele aparecer en formas del tipo \(1^\infty\), especialmente cuando la base se aproxima a 1 y el exponente crece sin límite.

Por qué a veces hay que tomar logaritmos

Tomar logaritmos ayuda cuando la variable aparece en la base y en el exponente. Permite transformar una potencia complicada en un producto o cociente más manejable.

Qué relación hay entre continuidad y derivabilidad

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Por eso, en funciones a trozos, primero se comprueba continuidad y después derivabilidad.

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Artículo elaborado por Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que preparan Matemáticas II PAU/EBAU.

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