Matemáticas, PAU y EBAU

Geometría 3D PAU/EBAU 2026 resueltos paso a paso

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Estudiante saturada con los apuntes

Geometría 3D PAU/EBAU 2026 resuelta paso a paso

La geometría 3D es uno de los bloques de Matemáticas II que más bloqueos genera en Bachillerato. Muchos alumnos saben calcular derivadas o integrales, pero cuando aparecen rectas, planos, vectores, posiciones relativas, distancias y ángulos en el espacio, pierden seguridad porque no ven claro qué objeto tienen delante.

En esta guía trabajamos geometría 3D PAU/EBAU 2026 paso a paso, con ejercicios tipo examen y explicación razonada. El objetivo no es memorizar fórmulas sueltas, sino aprender a reconocer cuándo usar producto escalar, producto vectorial, producto mixto, ecuaciones paramétricas, ecuaciones de planos, distancias o ángulos.

Este recurso forma parte del bloque de Matemáticas II PAU/EBAU de Marlu Educativa. Puedes completar el repaso con nuestro examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso, la guía de derivadas PAU/EBAU 2026 resueltas y la guía de integrales PAU/EBAU 2026 resueltas.

Qué vas a encontrar en esta guía

  • Rectas en forma paramétrica
  • Planos a partir de punto y vector normal
  • Planos a partir de tres puntos
  • Posición relativa de rectas
  • Posición relativa de recta y plano
  • Posición relativa de planos
  • Distancia de un punto a un plano
  • Distancia de un punto a una recta
  • Distancia entre rectas que se cruzan
  • Ángulo entre rectas
  • Ángulo entre recta y plano
  • Ángulo entre planos
  • Producto escalar, producto vectorial y producto mixto
  • Problema completo tipo examen PAU/EBAU
  • Errores frecuentes en geometría 3D

Idea clave para no perderse en geometría 3D

En geometría del espacio el primer paso no es calcular. El primer paso es identificar qué representa cada elemento. Una recta necesita un punto y un vector director. Un plano puede venir dado por un punto y un vector normal, o por un punto y dos vectores directores. Si esa lectura inicial falla, todo el ejercicio se complica.

Antes de empezar conviene hacerse estas preguntas.

  • ¿Tengo una recta, un plano o varios objetos?
  • ¿La recta está en forma paramétrica, continua o implícita?
  • ¿El plano viene con ecuación general o debo construirlo?
  • ¿Necesito un vector director, un vector normal o dos vectores del plano?
  • ¿Me preguntan posición relativa, distancia o ángulo?
  • ¿Tengo que usar producto escalar, vectorial o mixto?
  • ¿El resultado tiene sentido geométrico?

En PAU/EBAU se premia mucho el orden. Si escribes los puntos, los vectores y el modelo correcto, el ejercicio se vuelve mucho más manejable.

Fórmulas básicas que conviene dominar

La geometría 3D no se debe estudiar como una lista de fórmulas aisladas. Hay que entender qué mide cada expresión.

Recta en forma paramétrica

\[ r:\ (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c) \]

También se puede escribir como

\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases} \]

Plano con vector normal

\[ \pi:\ Ax+By+Cz+D=0 \]

El vector normal del plano es

\[ \vec n=(A,B,C) \]

Producto escalar

\[ \vec u\cdot \vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \]
\[ \vec u\cdot \vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha \]

Producto vectorial

\[ \vec u\times \vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \]

Producto mixto

\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=\vec u\cdot(\vec v\times \vec w) \]

Distancia punto plano

\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

Distancia punto recta

\[ d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times \vec v|}{|\vec v|} \]

Distancia entre rectas que se cruzan

\[ d(r,s)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]|}{|\vec u\times \vec v|} \]

Error típico. En geometría 3D muchas veces se confunde vector director con vector normal. El vector director va con la recta. El vector normal es perpendicular al plano.

Ejercicio 1. Recta en forma paramétrica

Escribe la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \(A(1,-2,3)\) y tiene vector director \(\vec v=(2,1,-1)\).

Primer paso. Recordamos la forma de una recta en el espacio

\[ r:\ (x,y,z)=A+t\vec v \]

Como el punto es \(A(1,-2,3)\) y el vector director es \(\vec v=(2,1,-1)\), sustituimos directamente.

\[ r:\ (x,y,z)=(1,-2,3)+t(2,1,-1) \]

Segundo paso. Escribimos las ecuaciones paramétricas

\[ \begin{cases} x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t \end{cases} \]

Resultado.

\[ r:\ \begin{cases} x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t \end{cases} \]

Este ejercicio es básico, pero es la puerta de entrada a casi toda la geometría 3D. Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director.

Ejercicio 2. Plano a partir de un punto y un vector normal

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto \(P(2,-1,3)\) y tiene vector normal \(\vec n=(1,2,-1)\).

Primer paso. Usamos la ecuación punto normal

Si un plano tiene vector normal \(\vec n=(A,B,C)\) y pasa por \(P(x_0,y_0,z_0)\), se cumple

\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]

Segundo paso. Sustituimos los datos

\[ 1(x-2)+2(y+1)-1(z-3)=0 \]

Tercer paso. Simplificamos

\[ x-2+2y+2-z+3=0 \]
\[ x+2y-z+3=0 \]

Resultado.

\[ \pi:\ x+2y-z+3=0 \]

La comprobación es rápida. Si sustituimos \(P(2,-1,3)\), queda \(2+2(-1)-3+3=0\), por tanto el punto pertenece al plano.

Ejercicio 3. Plano que pasa por tres puntos

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,1)\) y \(C(2,-1,4)\).

Primer paso. Construimos dos vectores del plano

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1) \]
\[ \overrightarrow{AC}=C-A=(2-1,-1-0,4-2)=(1,-1,2) \]

Segundo paso. Calculamos un vector normal con el producto vectorial

\[ \vec n=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \]
\[ \vec n= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \vec n=(1\cdot2-(-1)(-1),\ -[2\cdot2-(-1)\cdot1],\ 2(-1)-1\cdot1) \]
\[ \vec n=(2-1,\ -(4+1),\ -2-1) \]
\[ \vec n=(1,-5,-3) \]

Tercer paso. Usamos el punto \(A(1,0,2)\)

\[ 1(x-1)-5(y-0)-3(z-2)=0 \]
\[ x-1-5y-3z+6=0 \]
\[ x-5y-3z+5=0 \]

Resultado.

\[ \pi:\ x-5y-3z+5=0 \]

Error típico. Para construir un plano con tres puntos no se hace una recta. Primero se forman dos vectores del plano y después se obtiene un vector normal con el producto vectorial.

Ejercicio 4. Posición relativa de una recta y un plano

Estudia la posición relativa de la recta

\[ r:\ \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t \end{cases} \]

y el plano

\[ \pi:\ x+y-z+1=0 \]

Primer paso. Sustituimos la recta en el plano

Para saber si la recta corta al plano, está contenida en él o es paralela, sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano.

\[ (1+t)+(2-t)-(3+2t)+1=0 \]

Segundo paso. Simplificamos

\[ 1+t+2-t-3-2t+1=0 \]
\[ 1-2t=0 \]
\[ t=\frac{1}{2} \]

Tercer paso. Calculamos el punto de corte

\[ x=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \]
\[ y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \]
\[ z=3+2\cdot\frac{1}{2}=4 \]

Resultado.

La recta corta al plano en el punto

\[ P\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},4\right) \]

Cuando al sustituir aparece un único valor de \(t\), la recta corta al plano en un punto. Si apareciera una identidad, estaría contenida. Si apareciera una contradicción, sería paralela al plano.

Ejercicio 5. Posición relativa de dos rectas

Estudia la posición relativa de las rectas

\[ r:\ \begin{cases} x=1+t\\ y=2+t\\ z=1-t \end{cases} \]
\[ s:\ \begin{cases} x=3+2\lambda\\ y=4+2\lambda\\ z=-1-2\lambda \end{cases} \]

Primer paso. Comparamos los vectores directores

La recta \(r\) tiene vector director

\[ \vec u=(1,1,-1) \]

La recta \(s\) tiene vector director

\[ \vec v=(2,2,-2) \]

Observamos que

\[ \vec v=2\vec u \]

Por tanto, las rectas son paralelas o coincidentes.

Segundo paso. Comprobamos si un punto de una recta pertenece a la otra

Tomamos el punto de \(r\) cuando \(t=0\).

\[ A=(1,2,1) \]

Comprobamos si puede pertenecer a \(s\).

\[ 1=3+2\lambda \]
\[ 2\lambda=-2 \]
\[ \lambda=-1 \]

Probamos en la segunda coordenada.

\[ y=4+2(-1)=2 \]

Probamos en la tercera coordenada.

\[ z=-1-2(-1)=1 \]

Coincide.

Resultado.

Las rectas son coincidentes.

Error típico. Que los vectores directores sean proporcionales no significa automáticamente que las rectas sean la misma. Primero sabemos que son paralelas o coincidentes. Después hay que comprobar un punto.

Ejercicio 6. Distancia de un punto a un plano

Calcula la distancia del punto \(P(2,-1,4)\) al plano

\[ \pi:\ 2x-y+2z-3=0 \]

Primer paso. Usamos la fórmula de distancia punto plano

\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

En este caso

\[ A=2,\quad B=-1,\quad C=2,\quad D=-3 \]

Segundo paso. Sustituimos el punto

\[ d=\frac{|2\cdot2+(-1)(-1)+2\cdot4-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} \]
\[ d=\frac{|4+1+8-3|}{\sqrt{4+1+4}} \]
\[ d=\frac{10}{3} \]

Resultado.

\[ d(P,\pi)=\frac{10}{3} \]

La distancia siempre es positiva. Por eso aparece valor absoluto en el numerador.

Ejercicio 7. Distancia de un punto a una recta

Calcula la distancia del punto \(P(2,1,3)\) a la recta

\[ r:\ (x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,2) \]

Primer paso. Identificamos un punto de la recta y su vector director

Un punto de la recta es

\[ A=(1,0,2) \]

El vector director es

\[ \vec v=(2,-1,2) \]

Segundo paso. Formamos el vector \(\overrightarrow{AP}\)

\[ \overrightarrow{AP}=P-A=(2-1,1-0,3-2) \]
\[ \overrightarrow{AP}=(1,1,1) \]

Tercer paso. Aplicamos la fórmula

\[ d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times \vec v|}{|\vec v|} \]

Cuarto paso. Calculamos el producto vectorial

\[ \overrightarrow{AP}\times \vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \overrightarrow{AP}\times \vec v=(1\cdot2-1(-1),\ -[1\cdot2-1\cdot2],\ 1(-1)-1\cdot2) \]
\[ \overrightarrow{AP}\times \vec v=(3,0,-3) \]

Quinto paso. Calculamos módulos

\[ |\overrightarrow{AP}\times \vec v|=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2 \]
\[ |\vec v|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3 \]

Sexto paso. Dividimos

\[ d(P,r)=\frac{3\sqrt2}{3}=\sqrt2 \]

Resultado.

\[ d(P,r)=\sqrt2 \]

Error típico. Para distancia punto recta no se usa la fórmula de distancia punto plano. Se necesita el producto vectorial entre \(\overrightarrow{AP}\) y el vector director de la recta.

Ejercicio 8. Distancia entre dos rectas que se cruzan

Calcula la distancia entre las rectas

\[ r:\ (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,0) \]
\[ s:\ (x,y,z)=(0,1,1)+\lambda(1,0,1) \]

Primer paso. Identificamos puntos y vectores directores

Tomamos

\[ A=(1,0,0),\quad \vec u=(1,1,0) \]
\[ B=(0,1,1),\quad \vec v=(1,0,1) \]

Segundo paso. Formamos el vector \(\overrightarrow{AB}\)

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,1-0,1-0) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(-1,1,1) \]

Tercer paso. Usamos la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan

\[ d(r,s)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]|}{|\vec u\times \vec v|} \]

Cuarto paso. Calculamos el producto vectorial

\[ \vec u\times \vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \vec u\times \vec v=(1,-1,-1) \]
\[ |\vec u\times \vec v|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt3 \]

Quinto paso. Calculamos el producto mixto

\[ [\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=\overrightarrow{AB}\cdot(\vec u\times \vec v) \]
\[ [\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=(-1,1,1)\cdot(1,-1,-1) \]
\[ [\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=-1-1-1=-3 \]

Sexto paso. Calculamos la distancia

\[ d(r,s)=\frac{|-3|}{\sqrt3} \]
\[ d(r,s)=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3 \]

Resultado.

\[ d(r,s)=\sqrt3 \]

Esta fórmula mide la altura del paralelepípedo formado por los tres vectores. Por eso aparecen el producto mixto y el producto vectorial.

Ejercicio 9. Ángulo entre dos rectas

Calcula el ángulo entre las rectas con vectores directores

\[ \vec u=(1,2,2),\quad \vec v=(2,0,1) \]

Primer paso. Usamos el producto escalar

\[ \cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|} \]

Tomamos valor absoluto porque normalmente se pide el ángulo agudo entre rectas.

Segundo paso. Calculamos el producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1 \]
\[ \vec u\cdot\vec v=4 \]

Tercer paso. Calculamos los módulos

\[ |\vec u|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3 \]
\[ |\vec v|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt5 \]

Cuarto paso. Calculamos el ángulo

\[ \cos\alpha=\frac{4}{3\sqrt5} \]
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt5}\right) \]
\[ \alpha\approx 53{,}4^\circ \]

Resultado.

\[ \alpha\approx 53{,}4^\circ \]

Error típico. Para ángulo entre rectas se usan los vectores directores, no puntos de las rectas.

Ejercicio 10. Ángulo entre una recta y un plano

Calcula el ángulo que forma la recta de vector director \(\vec v=(2,1,2)\) con el plano

\[ \pi:\ x-2y+2z+1=0 \]

Primer paso. Identificamos el vector normal del plano

\[ \vec n=(1,-2,2) \]

Segundo paso. Usamos la fórmula del ángulo recta plano

Si \(\alpha\) es el ángulo entre la recta y el plano, entonces

\[ \sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} \]

Tercer paso. Calculamos el producto escalar

\[ \vec v\cdot\vec n=2\cdot1+1(-2)+2\cdot2 \]
\[ \vec v\cdot\vec n=2-2+4=4 \]

Cuarto paso. Calculamos los módulos

\[ |\vec v|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3 \]
\[ |\vec n|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3 \]

Quinto paso. Calculamos el ángulo

\[ \sin\alpha=\frac{4}{9} \]
\[ \alpha=\arcsin\left(\frac{4}{9}\right) \]
\[ \alpha\approx 26{,}4^\circ \]

Resultado.

\[ \alpha\approx 26{,}4^\circ \]

Error típico. El ángulo entre recta y plano no se calcula igual que el ángulo entre dos vectores directores. Se usa el vector director de la recta y el vector normal del plano, pero aparece seno, no coseno.

Ejercicio 11. Ángulo entre dos planos

Calcula el ángulo entre los planos

\[ \pi_1:\ x+2y-2z+1=0 \]
\[ \pi_2:\ 2x-y+2z-3=0 \]

Primer paso. Identificamos los vectores normales

\[ \vec n_1=(1,2,-2) \]
\[ \vec n_2=(2,-1,2) \]

Segundo paso. Usamos la fórmula

El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus vectores normales.

\[ \cos\alpha=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} \]

Tercer paso. Calculamos el producto escalar

\[ \vec n_1\cdot\vec n_2=1\cdot2+2(-1)+(-2)2 \]
\[ \vec n_1\cdot\vec n_2=2-2-4=-4 \]

Tomamos valor absoluto.

\[ |\vec n_1\cdot\vec n_2|=4 \]

Cuarto paso. Calculamos los módulos

\[ |\vec n_1|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3 \]
\[ |\vec n_2|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3 \]

Quinto paso. Calculamos el ángulo

\[ \cos\alpha=\frac{4}{9} \]
\[ \alpha=\arccos\left(\frac{4}{9}\right) \]
\[ \alpha\approx 63{,}6^\circ \]

Resultado.

\[ \alpha\approx 63{,}6^\circ \]

En ángulos entre planos se trabaja con vectores normales. Es una de las ideas más importantes de geometría 3D.

Ejercicio 12. Producto escalar, vectorial y mixto

Sean los vectores

\[ \vec u=(1,2,0),\quad \vec v=(2,-1,1),\quad \vec w=(0,1,3) \]

Calcula \(\vec u\cdot\vec v\), \(\vec u\times\vec v\) y el producto mixto \([\vec u,\vec v,\vec w]\).

Primer paso. Producto escalar

\[ \vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2(-1)+0\cdot1 \]
\[ \vec u\cdot\vec v=2-2+0=0 \]

Como el producto escalar es cero, \(\vec u\) y \(\vec v\) son perpendiculares.

Segundo paso. Producto vectorial

\[ \vec u\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & 0\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \vec u\times\vec v=(2\cdot1-0(-1),\ -[1\cdot1-0\cdot2],\ 1(-1)-2\cdot2) \]
\[ \vec u\times\vec v=(2,-1,-5) \]

Tercer paso. Producto mixto

\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=(2,-1,-5)\cdot(0,1,3) \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=2\cdot0+(-1)\cdot1+(-5)\cdot3 \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=-16 \]

Resultado.

\[ \vec u\cdot\vec v=0 \]
\[ \vec u\times\vec v=(2,-1,-5) \]
\[ [\vec u,\vec v,\vec w]=-16 \]

El producto escalar ayuda con perpendicularidad y ángulos. El producto vectorial ayuda a encontrar normales y áreas. El producto mixto ayuda con volúmenes y distancias entre rectas que se cruzan.

Ejercicio 13. Problema completo tipo examen PAU/EBAU

Sean los puntos \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,1)\), \(C(2,-1,4)\) y el punto \(P(2,2,0)\).

Se pide

  • Hallar el plano \(\pi\) que pasa por \(A\), \(B\) y \(C\)
  • Calcular la distancia de \(P\) al plano \(\pi\)
  • Calcular el ángulo entre la recta \(AB\) y el plano \(\pi\)

Primer paso. Hallamos dos vectores del plano

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,1-0,1-2)=(2,1,-1) \]
\[ \overrightarrow{AC}=C-A=(2-1,-1-0,4-2)=(1,-1,2) \]

Segundo paso. Calculamos el vector normal del plano

\[ \vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \]
\[ \vec n= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \vec n=(1,-5,-3) \]

Tercer paso. Escribimos el plano usando el punto \(A\)

\[ 1(x-1)-5(y-0)-3(z-2)=0 \]
\[ x-1-5y-3z+6=0 \]
\[ \pi:\ x-5y-3z+5=0 \]

Cuarto paso. Calculamos la distancia de \(P\) al plano

\[ d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{|1\cdot2-5\cdot2-3\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-3)^2}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{|2-10+0+5|}{\sqrt{1+25+9}} \]
\[ d(P,\pi)=\frac{3}{\sqrt{35}} \]

Quinto paso. Calculamos el ángulo entre la recta \(AB\) y el plano

El vector director de la recta \(AB\) es

\[ \vec v=\overrightarrow{AB}=(2,1,-1) \]

El vector normal del plano es

\[ \vec n=(1,-5,-3) \]

El ángulo \(\alpha\) entre una recta y un plano cumple

\[ \sin\alpha=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} \]

Pero como \(\vec v\) está contenido en el plano, debe salir ángulo cero. Lo comprobamos.

\[ \vec v\cdot\vec n=(2,1,-1)\cdot(1,-5,-3) \]
\[ \vec v\cdot\vec n=2-5+3=0 \]
\[ \sin\alpha=0 \]
\[ \alpha=0^\circ \]

Resultado.

\[ \pi:\ x-5y-3z+5=0 \]
\[ d(P,\pi)=\frac{3}{\sqrt{35}} \]
\[ \alpha=0^\circ \]

El resultado del ángulo tiene sentido. La recta \(AB\) está formada con dos puntos del plano, por tanto pertenece al plano y el ángulo entre la recta y el plano es cero.

Errores frecuentes en geometría 3D PAU/EBAU

  • Confundir vector director de una recta con vector normal de un plano.
  • Usar la altura o una distancia visual sin construir primero los vectores adecuados.
  • Olvidar comprobar si dos rectas paralelas son coincidentes o solo paralelas.
  • No distinguir rectas secantes, paralelas y rectas que se cruzan.
  • Usar producto escalar cuando el ejercicio pide un vector normal mediante producto vectorial.
  • Olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia.
  • Calcular el ángulo entre recta y plano con coseno en lugar de seno.
  • No pasar por una comprobación sencilla del resultado.
  • No escribir con claridad qué punto y qué vector se están usando.
  • Perder signos al calcular determinantes o productos vectoriales.

Cómo estudiar geometría 3D para PAU/EBAU

La geometría del espacio se estudia mejor por bloques. Intentar hacer ejercicios mezclados desde el principio suele generar confusión, porque el alumno no sabe si debe usar una ecuación de plano, un producto vectorial, un producto escalar o una fórmula de distancia.

  • Primero rectas en forma paramétrica.
  • Después planos con punto y normal.
  • Luego planos construidos a partir de tres puntos.
  • Después posiciones relativas de rectas, planos y recta plano.
  • Más tarde distancias punto plano y punto recta.
  • Luego distancia entre rectas que se cruzan.
  • Finalmente ángulos y problemas completos tipo examen.

Ese orden permite entender la geometría 3D como un sistema. Primero se construyen los objetos, después se comparan y por último se miden distancias y ángulos.

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En Marlu Educativa trabajamos geometría 3D con explicación paso a paso, ejercicios tipo examen y revisión de errores frecuentes. La clave no es memorizar muchas fórmulas, sino aprender a reconocer el objeto geométrico, elegir el método adecuado y justificar cada paso.

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Preguntas frecuentes sobre geometría 3D PAU/EBAU

Qué suele entrar de geometría 3D en PAU/EBAU

Suelen aparecer rectas, planos, posiciones relativas, distancias, ángulos, producto escalar, producto vectorial y producto mixto. También son frecuentes los problemas completos donde hay que construir un plano y después calcular una distancia o un ángulo.

Qué diferencia hay entre vector director y vector normal

El vector director indica la dirección de una recta. El vector normal es perpendicular a un plano. Confundirlos es uno de los errores más habituales en geometría del espacio.

Cuándo se usa el producto escalar

El producto escalar se usa sobre todo para estudiar perpendicularidad y calcular ángulos entre vectores, rectas o planos.

Cuándo se usa el producto vectorial

El producto vectorial se usa para obtener un vector perpendicular a dos vectores dados. Es muy útil para hallar planos y para calcular distancias punto recta.

Cuándo se usa el producto mixto

El producto mixto aparece en problemas de volumen y en la distancia entre rectas que se cruzan. Mide el volumen orientado del paralelepípedo formado por tres vectores.

Cómo saber si dos rectas se cruzan

Dos rectas se cruzan cuando no son paralelas y no tienen ningún punto común. En el espacio puede ocurrir que dos rectas no sean paralelas y aun así no se corten.

Qué es lo más difícil de geometría 3D

Lo más difícil suele ser interpretar el enunciado y elegir el método. Si el alumno identifica bien puntos, vectores, rectas y planos, los cálculos suelen ser mucho más manejables.

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Artículo elaborado por Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que preparan Matemáticas II PAU/EBAU.

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