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Derivadas PAU/EBAU resueltas paso a paso
Derivadas PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso
Las derivadas son uno de los bloques más importantes de Matemáticas II en Bachillerato y en la PAU/EBAU. No basta con saber derivar de memoria. En un examen real hay que leer bien la función, decidir qué herramienta usar, estudiar signos, justificar crecimiento, encontrar extremos y escribir el resultado con orden.
En esta guía resolvemos ejercicios tipo de derivadas PAU/EBAU paso a paso, con especial atención a los errores que más puntos hacen perder. Trabajaremos recta tangente, crecimiento y extremos, continuidad y derivabilidad con parámetros, optimización, logaritmos, exponenciales, trigonométricas inversas, secante, cosecante, límites con L'Hôpital y una función del tipo \(y=f(x)^x\).
Este recurso forma parte del bloque de preparación de Matemáticas II PAU/EBAU de Marlu Educativa. Si quieres ver un examen completo, puedes consultar también nuestro examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso.
Qué vas a encontrar en esta guía
- Definición de derivada en un punto mediante el cociente incremental
- Recta tangente a una función
- Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos
- Continuidad y derivabilidad con parámetros \(a\) y \(b\)
- Optimización con enunciado real
- Funciones con logaritmo neperiano
- Funciones con exponencial
- Derivada de una función del tipo \(y=f(x)^x\)
- Derivadas de arcsen, arccos, arctg, secante, cosecante y cotangente
- Ejercicios avanzados donde intervienen dominio, regla de la cadena y simplificación algebraica
- Límites con L'Hôpital
- Errores frecuentes en derivadas PAU/EBAU
Idea clave para no perderse con derivadas
Muchos alumnos saben derivar funciones sueltas, pero se bloquean cuando el ejercicio mezcla varias cosas. Eso es normal. En PAU/EBAU las derivadas no aparecen solo como una operación mecánica. Aparecen dentro de problemas donde hay que interpretar.
La rutina que conviene automatizar es esta.
- Primero se identifica el dominio de la función si el ejercicio lo necesita.
- Después se calcula la derivada con calma, sin saltarse signos ni paréntesis.
- Luego se iguala \(f'(x)=0\) cuando buscamos extremos o cambios de crecimiento.
- Se estudia el signo de \(f'(x)\) en intervalos.
- Finalmente se interpreta el resultado con una frase clara.
Si \(f'(x)>0\), la función crece. Si \(f'(x)<0\), decrece. Si la derivada cambia de positiva a negativa, aparece un máximo. Si cambia de negativa a positiva, aparece un mínimo.
Qué significa la derivada en un punto
Sea \(f\) una función definida alrededor de \(x=a\). La derivada de \(f\) en ese punto se define mediante el límite del cociente incremental
El número \(h\) representa un pequeño incremento de la variable. Mientras \(h\neq0\), el cociente mide la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos \((a,f(a))\) y \((a+h,f(a+h))\). Cuando \(h\) tiende a cero, el segundo punto se acerca al primero y, si el límite existe y es finito, las pendientes de las secantes se aproximan a la pendiente de la recta tangente.
Interpretación. \(f'(a)\) es la pendiente de la tangente a la gráfica en \(x=a\). También expresa la tasa de variación instantánea de la función en ese punto.
Ejemplo 1. Una potencia sencilla
Calculamos la derivada de \(f(x)=x^2\) en \(a=3\) sin utilizar todavía la regla de la potencia.
Resultado. \(f'(3)=6\). La pendiente de la recta tangente a la parábola en \(x=3\) es \(6\).
Ejemplo 2. Un polinomio de segundo grado
Sea \(f(x)=x^2+2x+3\). Calculamos \(f'(1)\) desde la definición.
Resultado. \(f'(1)=4\). Este ejemplo obliga a desarrollar el cuadrado y a agrupar bien todos los términos antes de simplificar.
Ejemplo 3. Una función con raíz
Sea \(f(x)=\sqrt{x+3}\). Calculamos la derivada en \(a=1\).
El numerador no se puede simplificar directamente. Multiplicamos por el conjugado.
Resultado. \(f'(1)=\frac14\). En las funciones con raíz, racionalizar permite eliminar la indeterminación.
Ejemplo 4. Una función racional sencilla
Sea \(f(x)=\frac{1}{x+3}\). Calculamos la derivada en \(a=1\).
Resultado. \(f'(1)=-\frac1{16}\). Para simplificar correctamente hay que reducir primero la diferencia de fracciones a un único cociente.
Ejemplo 5. Una función racional de nivel PAU
Sea \(f(x)=\frac{x^2+1}{x+3}\). Calculamos la derivada en \(a=1\) utilizando únicamente la definición.
Resultado. \(f'(1)=\frac38\). Aquí se combinan el desarrollo de un polinomio y la reducción de una diferencia de fracciones.
Error frecuente. No se sustituye \(h=0\) al principio, porque aparecería \(0/0\). Primero se simplifica el cociente para \(h\neq0\) y después se calcula el límite.
Fórmulas de derivadas que conviene dominar
Estas fórmulas aparecen continuamente en Matemáticas II. Conviene entender qué función desempeña cada una y reconocer enseguida cuándo hay que aplicarla.
Cuando \(u=u(x)\), el factor \(u'\) es imprescindible. Es la regla de la cadena: primero se deriva la función exterior y después se multiplica por la derivada de la función interior.
En funciones reales también hay que respetar el dominio. Por ejemplo, \(\ln u\) exige \(u>0\), el cociente exige \(v\neq0\) y la fórmula de la derivada de \(\sqrt{u}\) se utiliza en puntos donde \(u>0\). En arcsen y arccos debe cumplirse \(|u|\leq1\), y la fórmula de la derivada ordinaria requiere \(|u|<1\).
Error típico. Muchos fallos no vienen de no saber la fórmula, sino de aplicarla sin paréntesis. En derivadas de cocientes, productos o funciones compuestas, un signo mal colocado puede arrastrar todo el ejercicio.
Ejercicio 1. Recta tangente a una función
Halla la ecuación de la recta tangente a la función
en el punto de abscisa \(x=1\).
Primer paso. Calculamos el punto de tangencia
La abscisa ya la conocemos. Falta la ordenada.
El punto de tangencia es \((1,0)\).
Segundo paso. Calculamos la derivada
La pendiente de la tangente en \(x=1\) es
Tercer paso. Usamos la ecuación punto pendiente
Sustituimos \(m=-3\), \(x_0=1\), \(y_0=0\).
Resultado. La recta tangente es \(y=-3x+3\).
La comprobación rápida es sencilla. La recta pasa por \(x=1\), \(y=0\), y su pendiente coincide con la derivada de la función en ese punto.
Ejercicio 2. Crecimiento, decrecimiento y extremos
Estudia el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos de la función
Primer paso. Derivamos
Segundo paso. Igualamos la derivada a cero
Por tanto, los puntos críticos son
Tercer paso. Estudiamos el signo de la derivada
Los intervalos son
Si \(x=0\)
Si \(x=2\)
Si \(x=4\)
La función crece en \((-\infty,1)\), decrece en \((1,3)\) y vuelve a crecer en \((3,+\infty)\).
En \(x=1\), la derivada pasa de positiva a negativa. Hay un máximo relativo.
En \(x=3\), la derivada pasa de negativa a positiva. Hay un mínimo relativo.
Resultado. La función crece en \((-\infty,1)\) y \((3,+\infty)\), decrece en \((1,3)\), tiene un máximo relativo en \((1,5)\) y un mínimo relativo en \((3,1)\).
Este tipo de ejercicio es habitual en la PAU/EBAU porque combina cálculo, estudio de signos e interpretación. Si falta una de esas tres partes, la respuesta queda incompleta.
Ejercicio 3. Hallar a y b para que una función sea continua y derivable
Determina los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=1\).
Nos piden que la función sea continua y derivable en \(x=1\). Esto significa dos cosas. Primero debe ser continua. Después deben coincidir las derivadas laterales.
Primer paso. Condición de continuidad
Por la izquierda usamos la primera rama.
Por la derecha usamos la segunda rama.
Como \(\ln1=0\) y \(e^0=1\), queda
Para que sea continua, ambos valores deben coincidir.
Segundo paso. Condición de derivabilidad
Por la izquierda, la función es \(f(x)=ax+b\), luego su derivada es
Por la derecha, derivamos
Para derivar \(x^2\ln x\), usamos la regla del producto.
Además,
Por tanto, la derivada de la segunda rama es
Calculamos en \(x=1\).
Para que sea derivable, las derivadas laterales deben coincidir.
Tercer paso. Calculamos b
Usamos la ecuación de continuidad.
Sustituimos \(a=2\).
Resultado. Para que la función sea continua y derivable en \(x=1\), debe cumplirse \(a=2\) y \(b=-1\).
Comprobación. Con \(a=2\) y \(b=-1\), la rama izquierda vale \(2x-1\). En \(x=1\), da \(1\), igual que la rama derecha. Además, su derivada vale \(2\), igual que la derivada de \(x^2\ln x+e^{x-1}\) en \(x=1\). Por tanto, continuidad y derivabilidad quedan verificadas.
Error típico PAU/EBAU. En estos ejercicios no basta con hallar \(a\) y \(b\) de cualquier manera. Hay que escribir claramente la condición de continuidad y la condición de derivabilidad. Si el razonamiento no aparece, se pierden puntos aunque el resultado final sea correcto.
Ejercicio 4. Optimización con enunciado real
Se quiere construir un rectángulo de perímetro \(40\) m. Determina las dimensiones que hacen máxima su área.
Primer paso. Planteamos las variables
Llamamos \(x\) a un lado del rectángulo y \(y\) al otro.
Como las longitudes deben ser positivas, trabajamos con \(0<x<20\).
Segundo paso. Escribimos el área en función de una sola variable
El área del rectángulo es
Sustituimos \(y=20-x\).
Tercer paso. Derivamos e igualamos a cero
Cuarto paso. Calculamos la otra dimensión
Como \(A''(x)=-2<0\), la función es cóncava hacia abajo y el punto crítico corresponde a un máximo.
Resultado. El área máxima es \(100\ \text{m}^2\) y se obtiene con un rectángulo de \(10\) m por \(10\) m. Es decir, con un cuadrado.
En problemas de optimización, el error habitual es derivar antes de haber escrito bien la función que se quiere maximizar o minimizar. Primero se plantea. Luego se deriva.
Para practicar otros modelos clásicos de examen, puedes continuar con estos problemas de optimización de 2.º de Bachillerato resueltos con derivadas.
Ejercicio 5. Función con logaritmo neperiano
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Primer paso. Dominio
Como aparece \(\ln x\), necesitamos \(x>0\). Por tanto, el dominio es
Segundo paso. Derivamos
Tenemos un producto \(x\ln x\).
Entonces
Tercer paso. Igualamos la derivada a cero
Cuarto paso. Estudiamos el signo
Si \(0<x<1\), entonces \(\ln x<0\), por tanto la función decrece.
Si \(x>1\), entonces \(\ln x>0\), por tanto la función crece.
La derivada pasa de negativa a positiva en \(x=1\), luego hay un mínimo relativo.
Resultado. La función decrece en \((0,1)\), crece en \((1,+\infty)\) y tiene un mínimo relativo en \((1,-1)\).
Este ejercicio reúne tres ideas importantes: el dominio impuesto por el logaritmo, la derivada de un producto y el estudio del signo de \(\ln x\).
Ejercicio 6. Función con exponencial
Halla los extremos relativos de la función
Primer paso. Derivamos con la regla del producto
Segundo paso. Sacamos factor común
Tercer paso. Igualamos a cero
La exponencial \(e^{-x}\) nunca vale cero. Por tanto, los puntos críticos son
Cuarto paso. Estudiamos el signo
Como \(e^{-x}\) siempre es positivo, el signo depende de \(x(2-x)\).
En \((-\infty,0)\), la derivada es negativa.
En \((0,2)\), la derivada es positiva.
En \((2,+\infty)\), la derivada es negativa.
En \(x=0\), la derivada pasa de negativa a positiva. Hay un mínimo relativo.
En \(x=2\), la derivada pasa de positiva a negativa. Hay un máximo relativo.
Resultado. La función tiene un mínimo relativo en \((0,0)\) y un máximo relativo en \(\left(2,\frac{4}{e^2}\right)\).
Es un buen ejercicio de preparación para la PAU/EBAU porque obliga a combinar producto, exponencial, factorización y signo de la derivada.
Ejercicio 7. Derivada de una función del tipo \(y=f(x)^x\)
Este es un caso de nivel alto. No se resuelve como una potencia normal ni como una exponencial simple. Cuando la base depende de \(x\) y el exponente también depende de \(x\), conviene usar logaritmos.
Deriva la función
Primer paso. Tomamos logaritmos
Usamos la propiedad del logaritmo.
Segundo paso. Derivamos implícitamente
Tercer paso. Despejamos \(y'\)
Como \(y=(x^2+1)^x\), sustituimos.
Resultado.
Atención. No se puede derivar \((x^2+1)^x\) como si fuera simplemente \(x^n\). Tampoco se puede derivar como si fuera solo \(e^x\). Es una función con base variable y exponente variable, por eso usamos derivación logarítmica.
Fórmula general para \(y=f(x)^x\)
Si \(f(x)>0\), podemos derivar
tomando logaritmos.
Derivamos.
Multiplicamos por \(y\).
Esta fórmula no hace falta memorizarla si entiendes el procedimiento. Lo importante es reconocer cuándo hay que usar logaritmos.
Ejercicios 8, 9 y 10. Trigonometría de nivel avanzado
Este bloque completa el formulario habitual con tres casos menos mecánicos. En ellos no basta con recordar una derivada: hay que controlar el dominio, aplicar la regla de la cadena y simplificar antes de dar el resultado.
Ejercicio 8. Una función con arctg y cociente
Deriva la función
Primer paso. Identificamos la función interior
Aplicamos la regla del cociente.
Segundo paso. Aplicamos la derivada de arctg
El denominador parece complicado, pero se reduce a un cuadrado perfecto.
Resultado. \(f'(x)=\frac{2}{x^2+1}\), con \(x\neq0\). La simplificación final es sencilla, pero solo aparece si se trabaja el denominador con orden.
Ejercicio 9. Arcsen con estudio previo del dominio
Estudia el dominio y deriva la función
Primer paso. Estudiamos el dominio
El argumento de arcsen debe estar comprendido entre \(-1\) y \(1\).
Como ambos miembros son no negativos, podemos elevar al cuadrado, manteniendo la condición \(x\neq-1\).
Por tanto, el dominio de \(g\) es \([0,+\infty)\).
Segundo paso. Derivamos para \(x>0\)
Resultado. El dominio es \([0,+\infty)\) y \(g'(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}\) para \(x>0\). En \(x=0\) la función está definida, pero no tiene derivada finita.
Ejercicio 10. Secante, cosecante y cotangente
Deriva y simplifica
El dominio original exige \(\sin x\neq0\) y \(\cos x\neq0\). Por tanto, \(x\neq k\pi/2\), con \(k\in\mathbb Z\).
Primer paso. Derivamos el producto
Segundo paso. Derivamos el logaritmo
Tomamos \(v(x)=\operatorname{cosec}x-\cot x\).
Tercer paso. Reunimos los términos
Resultado. \(h'(x)=\sec x+x\sec x\tan x+\operatorname{cosec}x\), para \(x\neq k\pi/2\). La clave está en factorizar \(v'(x)\) antes de simplificar el cociente logarítmico.
Límites con L'Hôpital en PAU/EBAU
Los límites aparecen con frecuencia junto al bloque de derivadas. Cuando se obtiene una indeterminación del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\), puede utilizarse la regla de L'Hôpital si está incluida en el temario y en el criterio de corrección aplicable.
Idea clave. L'Hôpital no se aplica porque sí. Primero hay que comprobar la indeterminación. Si al sustituir no aparece \(0/0\) o \(\infty/\infty\), no se debe usar directamente.
Límite 1. Logaritmo neperiano cerca de 1
Calcula
Sustituimos.
Tenemos una indeterminación \(0/0\). Aplicamos L'Hôpital.
Resultado.
Límite 2. Exponencial y desarrollo inicial
Calcula
Sustituimos.
Aplicamos L'Hôpital una primera vez.
Volvemos a sustituir.
Sigue habiendo indeterminación. Aplicamos L'Hôpital una segunda vez.
Sustituimos.
Resultado.
Límite 3. Logaritmo y diferencia de cuadrados
Calcula
Sustituimos.
Aplicamos L'Hôpital.
Sustituimos.
Resultado.
También podría hacerse factorizando \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) y usando el límite anterior. En PAU/EBAU conviene conocer varias formas, porque no siempre el camino más largo es el más seguro.
Límite 4. Producto \(x\ln x\)
Calcula
Cuando \(x\to0^+\), se cumple que \(x\to0\) y \(\ln x\to-\infty\). Aparece una indeterminación del tipo \(0\cdot(-\infty)\).
No podemos aplicar L'Hôpital directamente porque no tenemos un cociente. Transformamos el producto.
Ahora tenemos una indeterminación del tipo \(\frac{-\infty}{+\infty}\).
Aplicamos L'Hôpital.
Simplificamos.
Por tanto
Resultado.
Esta selección de límites permite repasar continuidad, derivadas, logaritmos, exponenciales e indeterminaciones. No son ejercicios largos, pero distinguen con claridad entre aplicar una receta y comprender el procedimiento.
Errores frecuentes en derivadas PAU/EBAU
- Olvidar el dominio en funciones con logaritmos, raíces o cocientes.
- Confundir \(f(x)=0\) con \(f'(x)=0\).
- No estudiar el signo de la derivada después de hallar los puntos críticos.
- Derivar productos como si fueran sumas.
- Perder signos en la derivada de un cociente.
- Olvidar el dominio al derivar arcsen, arccos o expresiones con secante y cosecante.
- Cambiar el signo de las derivadas de cosecante o cotangente.
- Aplicar L'Hôpital sin comprobar antes la indeterminación.
- Empezar la derivabilidad sin haber comprobado antes la continuidad.
- No interpretar el resultado con una frase final clara.
Cómo estudiar derivadas para PAU/EBAU
La forma más eficaz de estudiar derivadas no es hacer veinte ejercicios al azar. Es entrenar tipos de ejercicio. Primero funciones polinómicas. Después racionales. Luego logaritmos y exponenciales. Finalmente problemas con parámetro, optimización, límites y funciones más exigentes.
- Dominar derivadas básicas y compuestas.
- Practicar rectas tangentes hasta hacerlas sin dudar.
- Trabajar crecimiento, decrecimiento y extremos con tabla de signos.
- Hacer problemas de optimización con dibujo o esquema previo.
- Revisar funciones con \(\ln x\) y \(e^x\), porque suelen mezclar varias reglas.
- Entrenar continuidad y derivabilidad con parámetros \(a\) y \(b\).
- Practicar límites con indeterminaciones y L'Hôpital.
- Entrenar algún ejercicio de nivel alto, como \(y=f(x)^x\), para ganar seguridad.
Si estás preparando Matemáticas II, también puedes repasar el bloque completo con nuestro examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso, donde aparecen derivadas, integrales, álgebra, geometría y probabilidad.
Clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU/EBAU
En Marlu Educativa trabajamos las derivadas con explicación paso a paso, ejercicios tipo examen y revisión de errores. La idea no es que el alumno memorice una lista de fórmulas, sino que aprenda a leer el ejercicio, elegir el método correcto y justificar cada paso con seguridad.
Si necesitas preparar Matemáticas II PAU/EBAU, reforzar derivadas, integrales, funciones, sistemas, límites o probabilidad, puedes consultar nuestras clases online de Matemáticas para Bachillerato y PAU.
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Preguntas frecuentes sobre derivadas PAU/EBAU
Qué ejercicios de derivadas suelen aparecer en PAU/EBAU
Los más habituales son recta tangente, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, optimización, continuidad y derivabilidad, representación de funciones, límites y problemas donde aparecen logaritmos o exponenciales.
Qué es lo que más puntos hace perder en derivadas
Los errores más frecuentes son olvidar el dominio, derivar mal una función compuesta, no estudiar el signo de la derivada, no comprobar la continuidad en funciones a trozos y no interpretar el resultado.
Cómo sé si una función tiene máximo o mínimo
Primero se calcula \(f'(x)\), después se resuelve \(f'(x)=0\) y luego se estudia el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos. Si la derivada pasa de positiva a negativa, hay máximo. Si pasa de negativa a positiva, hay mínimo.
Qué se hace primero en continuidad y derivabilidad
Primero se comprueba la continuidad. Si una función no es continua en un punto, no puede ser derivable en ese punto. Después se igualan las derivadas laterales.
Cuándo puedo usar L'Hôpital
Se puede usar cuando el límite presenta una indeterminación del tipo \(0/0\) o \(\infty/\infty\), siempre que el criterio del curso lo permita. Antes de aplicarlo hay que sustituir y comprobar la indeterminación.
Por qué se usan logaritmos para derivar \(y=f(x)^x\)
Porque la base y el exponente dependen de \(x\). No es una potencia normal ni una exponencial simple. Tomar logaritmos permite bajar el exponente y aplicar derivación implícita.
También puede ayudarte
Esta guía ofrece una visión general del bloque de derivadas. Para profundizar en la lectura de la primera y la segunda derivada, el recurso específico de monotonía y curvatura amplía las tablas de signos, la concavidad y los puntos de inflexión sin repetir el planteamiento completo de esta página.