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Integrales PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso y áreas entre funciones

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Integrales PAU/EBAU 2026 resueltas paso a paso

Las integrales son uno de los bloques que más dudas generan en Matemáticas II. Muchos alumnos saben hacer una integral inmediata, pero se bloquean cuando aparece un cambio de variable, una integración por partes, una racional con logaritmo o arcotangente, una raíz, una integral trigonométrica o un área entre funciones.

En esta guía trabajamos integrales PAU/EBAU 2026 paso a paso, con ejercicios tipo examen y explicación clara. La idea no es hacer una lista de fórmulas sin sentido, sino aprender a reconocer qué técnica pide cada integral y cómo escribir el procedimiento para no perder puntos.

Este recurso funciona como pieza hija del bloque de Matemáticas II PAU/EBAU de Marlu Educativa. Puedes completar el repaso con nuestro examen tipo Matemáticas II PAU/EBAU 2026 resuelto paso a paso.

Qué vas a encontrar en esta guía

  • Integrales inmediatas básicas
  • Integrales con logaritmo
  • Integrales con arcotangente
  • Integrales con raíces sencillas
  • Integrales por cambio de variable
  • Integración por partes
  • Integrales racionales con raíces simples
  • Integrales racionales con raíces múltiples
  • Integrales trigonométricas típicas
  • Teorema fundamental del cálculo
  • Áreas entre recta y parábola
  • Área entre funciones más elaboradas con exponenciales
  • Errores frecuentes en integrales PAU/EBAU

Idea clave para no perderse con integrales

En integrales el primer problema no suele ser calcular. El primer problema es elegir el método. Un alumno puede saber derivar bien y aun así equivocarse en integrales porque intenta aplicar una fórmula que no corresponde.

Antes de empezar conviene hacerse estas preguntas.

  • ¿Es una integral inmediata?
  • ¿Aparece una función y su derivada multiplicando?
  • ¿Hay un producto que sugiera integración por partes?
  • ¿Es una fracción racional que se puede descomponer?
  • ¿Aparece una forma tipo \(\frac{u'}{u}\) que lleva a logaritmo?
  • ¿Aparece una forma tipo \(\frac{1}{1+x^2}\) que lleva a arcotangente?
  • ¿Es una integral definida y tengo que aplicar el teorema fundamental?
  • ¿Estoy calculando área y debo tener cuidado con el signo?

En PAU/EBAU no basta con encontrar una primitiva. Si el ejercicio es de área, hay que mirar qué función va por encima. Si la función cambia de signo, hay que separar intervalos. Si se aplica cambio de variable o partes, hay que escribirlo con claridad.

Fórmulas básicas que conviene dominar

No se trata de memorizar sin entender. Se trata de reconocer patrones.

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1 \]
\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C \]
\[ \int e^x\,dx=e^x+C \]
\[ \int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C \]
\[ \int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C \]
\[ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C \]
\[ \int \cos x\,dx=\sin x+C \]
\[ \int \sin x\,dx=-\cos x+C \]

Error típico. La constante \(C\) se olvida muchas veces en integrales indefinidas. En una integral definida no se escribe \(C\), pero en una primitiva general sí debe aparecer.

Ejercicio 1. Integrales inmediatas básicas

Calcula las siguientes integrales.

\[ \int (3x^2-4x+5)\,dx \]

Primer paso. Integramos término a término

\[ \int 3x^2\,dx=x^3 \]
\[ \int -4x\,dx=-2x^2 \]
\[ \int 5\,dx=5x \]

Segundo paso. Juntamos el resultado

\[ \int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C \]

Resultado.

\[ \int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C \]

Este tipo de integral es básica, pero es importante hacerla limpia porque aparece dentro de ejercicios más largos.

Ejercicio 2. Integral tipo logaritmo

Calcula

\[ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx \]

Primer paso. Reconocemos la estructura

En el denominador aparece \(x^2+3\). Su derivada es \(2x\), que aparece en el numerador. Por tanto, estamos ante una integral del tipo

\[ \int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C \]

Segundo paso. Elegimos el cambio mental

\[ u=x^2+3 \]
\[ u'=2x \]

Tercer paso. Integramos

\[ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx=\ln|x^2+3|+C \]

Como \(x^2+3>0\) para todo \(x\), se puede escribir también sin valor absoluto.

Resultado.

\[ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx=\ln(x^2+3)+C \]

Este patrón es de altísima frecuencia. Cuando ves una fracción y el numerador se parece a la derivada del denominador, piensa en logaritmo.

Ejercicio 3. Integral tipo arcotangente

Calcula

\[ \int \frac{1}{x^2+4}\,dx \]

Primer paso. Reconocemos la forma

Sabemos que

\[ \int \frac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan t+C \]

Pero aquí tenemos \(x^2+4\). Hay que prepararlo.

Segundo paso. Sacamos factor común en el denominador

\[ x^2+4=4\left(\frac{x^2}{4}+1\right)=4\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2+1\right) \]

Entonces

\[ \int \frac{1}{x^2+4}\,dx=\int \frac{1}{4\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)}\,dx \]

Tercer paso. Usamos la fórmula general

La fórmula útil es

\[ \int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C \]

Aquí \(a=2\).

Resultado.

\[ \int \frac{1}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C \]

Error típico. Muchos alumnos ponen directamente \(\arctan x\). Falta el ajuste del \(4\). Esa constante es justo la diferencia entre un resultado correcto y uno incompleto.

Ejercicio 4. Integral con raíz sencilla

Calcula

\[ \int \sqrt{x+1}\,dx \]

Primer paso. Escribimos la raíz como potencia

\[ \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2} \]

Segundo paso. Integramos como potencia compuesta

Como la derivada de \(x+1\) es \(1\), la integral es directa.

\[ \int (x+1)^{1/2}\,dx=\frac{(x+1)^{3/2}}{3/2}+C \]
\[ \frac{1}{3/2}=\frac{2}{3} \]

Resultado.

\[ \int \sqrt{x+1}\,dx=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C \]

Este tipo de integral parece sencilla, pero conviene escribir la raíz como potencia para evitar errores.

Ejercicio 5. Cambio de variable

Calcula

\[ \int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx \]

Primer paso. Reconocemos el cambio

Dentro de la raíz aparece \(x^2+1\). Su derivada es \(2x\), que aparece multiplicando. Eso indica cambio de variable.

\[ u=x^2+1 \]
\[ du=2x\,dx \]

Segundo paso. Sustituimos

\[ \int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx=\int \sqrt{u}\,du \]
\[ \int \sqrt{u}\,du=\int u^{1/2}\,du \]

Tercer paso. Integramos

\[ \int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}u^{3/2}+C \]

Cuarto paso. Volvemos a la variable original

\[ \frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}+C \]

Resultado.

\[ \int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx=\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}+C \]

Este ejercicio es muy típico porque enseña la idea principal del cambio de variable. Dentro aparece una función y fuera aparece su derivada.

Ejercicio 6. Integración por partes

Calcula

\[ \int x e^x\,dx \]

Primer paso. Recordamos la fórmula

\[ \int u\,dv=u v-\int v\,du \]

Segundo paso. Elegimos \(u\) y \(dv\)

Tomamos

\[ u=x,\quad dv=e^x\,dx \]

Entonces

\[ du=dx,\quad v=e^x \]

Tercer paso. Aplicamos la fórmula

\[ \int x e^x\,dx=x e^x-\int e^x\,dx \]
\[ \int x e^x\,dx=x e^x-e^x+C \]

Resultado.

\[ \int x e^x\,dx=e^x(x-1)+C \]

Error típico. En integración por partes, la elección de \(u\) es clave. En productos con polinomio por exponencial, suele convenir tomar como \(u\) el polinomio.

Ejercicio 7. Integral por partes con logaritmo

Calcula

\[ \int \ln x\,dx \]

Primer paso. Vemos la trampa

Aunque parezca que no hay producto, podemos escribir

\[ \int \ln x\,dx=\int 1\cdot \ln x\,dx \]

Segundo paso. Elegimos \(u\) y \(dv\)

Tomamos

\[ u=\ln x,\quad dv=dx \]

Entonces

\[ du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=x \]

Tercer paso. Aplicamos partes

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx \]
\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-\int 1\,dx \]
\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C \]

Resultado.

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C \]

Esta integral es muy habitual como ejemplo de partes porque no parece un producto, pero realmente se resuelve tratándola como \(1\cdot\ln x\).

Ejercicio 8. Integral racional con raíces simples

Calcula

\[ \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx \]

Primer paso. Factorizamos el denominador

\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]

Segundo paso. Descomponemos en fracciones simples

Buscamos \(A\) y \(B\) tales que

\[ \frac{3x+5}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} \]

Multiplicamos por \((x-1)(x+1)\).

\[ 3x+5=A(x+1)+B(x-1) \]

Desarrollamos.

\[ 3x+5=Ax+A+Bx-B \]
\[ 3x+5=(A+B)x+(A-B) \]

Igualamos coeficientes.

\[ A+B=3 \]
\[ A-B=5 \]

Sumamos las ecuaciones.

\[ 2A=8 \]
\[ A=4 \]

Entonces

\[ 4+B=3 \]
\[ B=-1 \]

Tercer paso. Integramos

\[ \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx= \int \left(\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\,dx \]
\[ =4\ln|x-1|-\ln|x+1|+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{3x+5}{x^2-1}\,dx=4\ln|x-1|-\ln|x+1|+C \]

Este ejercicio es muy útil para PAU/EBAU porque junta factorización, fracciones simples y logaritmos.

Ejercicio 9. Integral racional con raíz múltiple

Calcula

\[ \int \frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx \]

Primer paso. Planteamos fracciones simples

Como el denominador tiene una raíz doble, escribimos

\[ \frac{2x+3}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2} \]

Multiplicamos por \((x-1)^2\).

\[ 2x+3=A(x-1)+B \]

Desarrollamos.

\[ 2x+3=Ax-A+B \]
\[ 2x+3=Ax+(B-A) \]

Igualamos coeficientes.

\[ A=2 \]
\[ B-A=3 \]

Como \(A=2\), queda

\[ B-2=3 \]
\[ B=5 \]

Segundo paso. Integramos

\[ \int \frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx= \int \left(\frac{2}{x-1}+\frac{5}{(x-1)^2}\right)\,dx \]

La primera integral da logaritmo.

\[ \int \frac{2}{x-1}\,dx=2\ln|x-1| \]

La segunda se escribe como potencia.

\[ \int \frac{5}{(x-1)^2}\,dx=\int 5(x-1)^{-2}\,dx \]
\[ \int 5(x-1)^{-2}\,dx=-\frac{5}{x-1} \]

Resultado.

\[ \int \frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx=2\ln|x-1|-\frac{5}{x-1}+C \]

Error típico. Si aparece \((x-1)^2\), no basta con poner solo \(\frac{A}{x-1}\). Hay que incluir también \(\frac{B}{(x-1)^2}\).

Ejercicio 10. Integral racional con logaritmo y arcotangente

Calcula

\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx \]

Primer paso. Observamos el denominador

El denominador es

\[ x^2+2x+2 \]

Su derivada es

\[ 2x+2=2(x+1) \]

El numerador es \(x+1\), justo la mitad de la derivada del denominador.

Segundo paso. Aplicamos el patrón logarítmico

\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx= \frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,dx \]
\[ =\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx= \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+C \]

Ahora vemos un caso parecido pero con arcotangente.

Calcula

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx \]

Tercer paso. Completamos el cuadrado

\[ x^2+2x+2=(x+1)^2+1 \]

Entonces

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx= \int \frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx \]

Cuarto paso. Usamos arcotangente

\[ \int \frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx=\arctan(x+1)+C \]

Resultado.

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+2}\,dx=\arctan(x+1)+C \]

Este bloque es importante porque enseña dos salidas distintas. Si aparece la derivada del denominador, suele salir logaritmo. Si aparece un cuadrado más uno, aparece arcotangente.

Ejercicio 11. Integral trigonométrica típica

Calcula

\[ \int \sin x \cos x\,dx \]

Primer método. Cambio de variable

Tomamos

\[ u=\sin x \]
\[ du=\cos x\,dx \]

Entonces

\[ \int \sin x\cos x\,dx=\int u\,du \]
\[ \int u\,du=\frac{u^2}{2}+C \]

Volvemos a \(x\).

\[ \frac{u^2}{2}+C=\frac{\sin^2 x}{2}+C \]

Resultado.

\[ \int \sin x\cos x\,dx=\frac{\sin^2 x}{2}+C \]

También podría resolverse con \(u=\cos x\), obteniendo una expresión equivalente.

Ejercicio 12. Teorema fundamental del cálculo

Calcula la derivada de la función

\[ F(x)=\int_1^x (t^3+2t)\,dt \]

Primer paso. Reconocemos el teorema fundamental

Si

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt \]

entonces

\[ F'(x)=f(x) \]

Segundo paso. Aplicamos el resultado

En este caso,

\[ f(t)=t^3+2t \]

Por tanto,

\[ F'(x)=x^3+2x \]

Resultado.

\[ F'(x)=x^3+2x \]

Atención. No hace falta calcular primero la integral completa si solo piden \(F'(x)\). El teorema fundamental permite derivar directamente.

Ejercicio 13. Teorema fundamental con límite superior compuesto

Calcula la derivada de

\[ F(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{1+t^3}\,dt \]

Primer paso. Vemos que el límite superior no es \(x\)

Ahora el límite superior es \(x^2\). Por tanto, hay que aplicar la regla de la cadena.

Si

\[ F(x)=\int_a^{g(x)} f(t)\,dt \]

entonces

\[ F'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \]

Segundo paso. Identificamos cada parte

\[ f(t)=\sqrt{1+t^3} \]
\[ g(x)=x^2 \]
\[ g'(x)=2x \]

Tercer paso. Sustituimos

\[ F'(x)=\sqrt{1+(x^2)^3}\cdot 2x \]
\[ F'(x)=2x\sqrt{1+x^6} \]

Resultado.

\[ F'(x)=2x\sqrt{1+x^6} \]

Este ejercicio es muy bueno para PAU/EBAU porque mezcla teorema fundamental y regla de la cadena. Es corto, pero exige entender lo que se está haciendo.

Ejercicio 14. Integral definida y área bajo una curva

Calcula

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,dx \]

Primer paso. Hallamos una primitiva

\[ \int (x^2+1)\,dx=\frac{x^3}{3}+x \]

Segundo paso. Aplicamos los límites

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2 \]
\[ =\left(\frac{2^3}{3}+2\right)-\left(\frac{0^3}{3}+0\right) \]
\[ =\frac{8}{3}+2=\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=\frac{14}{3} \]

Resultado.

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,dx=\frac{14}{3} \]

Como \(x^2+1\) es positiva, esta integral definida coincide con el área bajo la curva entre \(x=0\) y \(x=2\).

Ejercicio 15. Área entre una recta y una parábola

Calcula el área encerrada entre la recta

\[ y=x+2 \]

y la parábola

\[ y=x^2 \]

Primer paso. Hallamos los puntos de corte

Igualamos ambas funciones.

\[ x^2=x+2 \]
\[ x^2-x-2=0 \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \]

Por tanto, los puntos de corte tienen abscisas

\[ x=-1,\quad x=2 \]

Segundo paso. Vemos qué función está por encima

Tomamos un punto intermedio, por ejemplo \(x=0\).

Recta.

\[ 0+2=2 \]

Parábola.

\[ 0^2=0 \]

La recta está por encima de la parábola en el intervalo \([-1,2]\).

Tercer paso. Planteamos el área

\[ A=\int_{-1}^{2} \left[(x+2)-x^2\right]\,dx \]
\[ A=\int_{-1}^{2} (-x^2+x+2)\,dx \]

Cuarto paso. Integramos

\[ \int (-x^2+x+2)\,dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x \]

Aplicamos los límites.

\[ A=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2} \]

Valor en \(x=2\).

\[ -\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2}+2\cdot2=-\frac{8}{3}+2+4 \]
\[ -\frac{8}{3}+6=\frac{10}{3} \]

Valor en \(x=-1\).

\[ -\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}+2(-1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \]
\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6}=-\frac{7}{6} \]

Restamos.

\[ A=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right) \]
\[ A=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2} \]

Resultado.

\[ A=\frac{9}{2} \]

Error típico. En áreas entre funciones no se integra sin más. Primero hay que saber qué función está por encima. Si se cambia el orden, puede salir un área negativa.

Ejercicio 16. Área entre una función exponencial y una recta

Calcula el área encerrada entre las funciones

\[ f(x)=e^x \]

y

\[ g(x)=1+x \]

en el intervalo \([0,1]\).

Primer paso. Vemos qué función está por encima

En \(x=0\), ambas funciones valen \(1\).

\[ e^0=1,\quad 1+0=1 \]

En \(x=1\), tenemos

\[ e^1=e,\quad 1+1=2 \]

Como \(e>2\), la función \(e^x\) queda por encima de \(1+x\) en el intervalo \([0,1]\).

Segundo paso. Planteamos el área

\[ A=\int_0^1 \left(e^x-(1+x)\right)\,dx \]
\[ A=\int_0^1 (e^x-1-x)\,dx \]

Tercer paso. Integramos

\[ \int (e^x-1-x)\,dx=e^x-x-\frac{x^2}{2} \]

Cuarto paso. Aplicamos límites

\[ A=\left[e^x-x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \]

Valor en \(x=1\).

\[ e^1-1-\frac{1^2}{2}=e-1-\frac{1}{2}=e-\frac{3}{2} \]

Valor en \(x=0\).

\[ e^0-0-\frac{0^2}{2}=1 \]

Restamos.

\[ A=e-\frac{3}{2}-1=e-\frac{5}{2} \]

Resultado.

\[ A=e-\frac{5}{2} \]

Este ejercicio es muy útil porque mezcla exponenciales, integral definida y área entre funciones. Además exige interpretar cuál está por encima antes de integrar.

Ejercicio 17. Área cuando la función cambia de signo

Calcula el área comprendida entre la función

\[ f(x)=x^2-1 \]

y el eje \(X\) en el intervalo \([0,2]\).

Primer paso. Buscamos dónde corta al eje X

\[ x^2-1=0 \]
\[ (x-1)(x+1)=0 \]

En el intervalo \([0,2]\), el corte importante es

\[ x=1 \]

Segundo paso. Estudiamos el signo

En \([0,1]\), por ejemplo en \(x=0\),

\[ f(0)=0^2-1=-1 \]

La función es negativa.

En \([1,2]\), por ejemplo en \(x=2\),

\[ f(2)=2^2-1=3 \]

La función es positiva.

Tercer paso. Planteamos el área separando intervalos

Como el área no puede ser negativa, escribimos

\[ A=-\int_0^1 (x^2-1)\,dx+\int_1^2 (x^2-1)\,dx \]

Cuarto paso. Integramos

Una primitiva es

\[ \int (x^2-1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x \]

Primer tramo.

\[ \int_0^1 (x^2-1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1 \]
\[ =\left(\frac{1}{3}-1\right)-0=-\frac{2}{3} \]

Como el área en ese tramo es positiva, tomamos

\[ -\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3} \]

Segundo tramo.

\[ \int_1^2 (x^2-1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 \]
\[ =\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right) \]
\[ =\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3} \]

Quinto paso. Sumamos las áreas

\[ A=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2 \]

Resultado.

\[ A=2 \]

Error típico PAU/EBAU. Si una función cambia de signo, la integral definida puede compensar áreas positivas y negativas. Para calcular área real, hay que separar los tramos.

Errores frecuentes en integrales PAU/EBAU

  • Olvidar la constante \(C\) en integrales indefinidas.
  • Aplicar cambio de variable sin que aparezca la derivada de la función interior.
  • Elegir mal \(u\) en integración por partes.
  • No descomponer bien una fracción racional.
  • Olvidar el valor absoluto en logaritmos como \(\ln|x-a|\).
  • Confundir una integral tipo logaritmo con una tipo arcotangente.
  • Calcular un área sin mirar qué función está por encima.
  • No separar intervalos cuando una función cambia de signo.
  • No aplicar la regla de la cadena en el teorema fundamental con límite superior compuesto.

Cómo estudiar integrales para PAU/EBAU

La forma más eficaz de estudiar integrales no es hacer ejercicios al azar. Conviene agrupar por técnicas y aprender a reconocer el tipo de integral antes de empezar.

  • Primero integrales inmediatas y potencias.
  • Después integrales tipo \(\frac{u'}{u}\), que llevan a logaritmo.
  • Luego integrales tipo arcotangente.
  • Después cambio de variable.
  • Más tarde integración por partes.
  • Luego racionales con raíces simples y múltiples.
  • Finalmente integrales definidas, teorema fundamental y áreas.

Ese orden evita estudiar de forma caótica. Muchos bloqueos aparecen porque el alumno intenta resolver una integral por fuerza, sin reconocer antes el patrón.

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Preguntas frecuentes sobre integrales PAU/EBAU

Qué integrales suelen aparecer en PAU/EBAU

Suelen aparecer integrales inmediatas, cambio de variable, integración por partes, racionales sencillas, integrales con logaritmos, arcotangente, exponenciales, trigonométricas, integrales definidas y áreas entre funciones.

Qué diferencia hay entre integral definida e indefinida

La integral indefinida busca una familia de primitivas y lleva constante \(C\). La integral definida calcula un valor numérico entre dos límites y no lleva constante \(C\).

Cuándo aparece un logaritmo en una integral

Suele aparecer cuando tenemos una fracción del tipo \(\frac{u'}{u}\). En ese caso, la integral es \(\ln|u|+C\).

Cuándo aparece una arcotangente

Suele aparecer cuando tenemos una expresión relacionada con \(\frac{1}{1+x^2}\) o con \(\frac{1}{x^2+a^2}\).

Qué es lo más importante en áreas entre funciones

Lo más importante es saber qué función está por encima y cuáles son los puntos de corte. Si la función cambia de signo o las curvas se cruzan, hay que separar intervalos.

En qué ayuda el teorema fundamental del cálculo

Permite relacionar derivadas e integrales. Si \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), entonces \(F'(x)=f(x)\). Si el límite superior es \(g(x)\), hay que multiplicar por \(g'(x)\).

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Artículo elaborado por Marlu Educativa como recurso de apoyo para alumnos de Bachillerato que preparan Matemáticas II PAU/EBAU.

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