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Fracciones algebraicas 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso

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Fracciones algebraicas 3 ESO y 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso

Las fracciones algebraicas son uno de los temas donde más alumnos empiezan a perder seguridad antes de Bachillerato. El problema casi nunca es una única cuenta. Lo que suele fallar es la base de álgebra, la factorización y la simplificación.

En este recurso vamos a trabajar desde cero simplificación, operaciones, productos, divisiones, ecuaciones racionales sencillas y errores típicos reales de examen.

Todo está explicado paso a paso, con muchos ejercicios resueltos y con ejemplos similares a los que suelen aparecer en clase, refuerzo y controles.

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Índice del recurso

1. Qué son las fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una expresión donde aparecen polinomios en el numerador o en el denominador.

Ejemplos:

\[ \frac{x+2}{x-5} \] \[ \frac{3x^2-1}{2x+7} \] \[ \frac{x^2-9}{x^2-4x+4} \]

La idea clave es que el denominador nunca puede valer cero.

Antes de empezar operaciones largas conviene revisar:

  • factor común
  • productos notables
  • factorización
  • signos
  • operaciones con polinomios

Muchos errores aparecen por no dominar esos bloques previos.

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2. Dominio básico de una fracción algebraica

El dominio son los valores que puede tomar la variable.

En fracciones algebraicas:

\[ \text{denominador}\neq0 \]

Ejercicio 1

Halla el dominio de:

\[ f(x)=\frac{3}{x-4} \]

El denominador no puede ser cero.

\[ x-4\neq0 \] \[ x\neq4 \]

Dominio:

\[ D=\mathbb{R}-\{4\} \]

Ejercicio 2

Halla el dominio de:

\[ f(x)=\frac{x+1}{x^2-9} \]
\[ x^2-9\neq0 \] \[ (x-3)(x+3)\neq0 \] \[ x\neq3 \] \[ x\neq-3 \]

Dominio:

\[ D=\mathbb{R}-\{-3,3\} \]

Ejercicio 3

Halla el dominio de:

\[ f(x)=\frac{2x-5}{x^2+x-6} \]

Factorizamos:

\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2) \]

El denominador no puede valer cero.

\[ x\neq-3 \] \[ x\neq2 \]

Dominio:

\[ D=\mathbb{R}-\{-3,2\} \]

Error típico

Muchos alumnos simplifican antes de estudiar el dominio y pierden valores prohibidos.

El dominio se estudia siempre con la expresión original.

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3. Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar fracciones algebraicas hay que:

  1. factorizar numerador y denominador
  2. buscar factores comunes
  3. simplificar solo factores completos

Ejercicio 4

Simplifica:

\[ \frac{6x}{3} \]
\[ \frac{6x}{3}=2x \]

Ejercicio 5

Simplifica:

\[ \frac{4x^2}{2x} \]
\[ \frac{4x^2}{2x}=2x \]

Ejercicio 6

Simplifica:

\[ \frac{x^2-9}{x-3} \]

Factorizamos:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \] \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \]

Simplificamos:

\[ x+3 \]

Con:

\[ x\neq3 \]

Ejercicio 7

Simplifica:

\[ \frac{x^2+5x}{x} \]

Sacamos factor común:

\[ x(x+5) \] \[ \frac{x(x+5)}{x} \] \[ x+5 \]

Con:

\[ x\neq0 \]

Ejercicio 8

Simplifica:

\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x} \]

Factorizamos:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \] \[ x^2-2x=x(x-2) \] \[ \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} \]

Simplificamos:

\[ \frac{x+2}{x} \]

Condiciones:

\[ x\neq0 \] \[ x\neq2 \]

Nunca se simplifican términos separados.

Por ejemplo:

\[ \frac{x+2}{x} \]

NO puede simplificarse tachando las \(x\).

Refuerzo online de álgebra y fracciones algebraicas

En Marlu Educativa trabajamos este tipo de ejercicios paso a paso utilizando pizarra digital compartida. El alumno puede escribir al mismo tiempo que el profesor y corregir errores justo cuando aparecen.

Muchos alumnos utilizan tableta o iPad con lápiz para trabajar funciones, ecuaciones y álgebra de forma mucho más cómoda.

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4. Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar o restar:

  1. buscar denominador común
  2. transformar las fracciones
  3. operar numeradores
  4. simplificar si se puede

Ejercicio 9

Calcula:

\[ \frac{x}{3}+\frac{2x}{3} \]

Tienen el mismo denominador.

\[ \frac{x+2x}{3} \] \[ \frac{3x}{3} \] \[ x \]

Ejercicio 10

Calcula:

\[ \frac{x}{2}+\frac{1}{2} \]
\[ \frac{x+1}{2} \]

Ejercicio 11

Calcula:

\[ \frac{x}{4}+\frac{3}{2} \]

Mínimo común denominador:

\[ 4 \] \[ \frac{x}{4}+\frac{6}{4} \] \[ \frac{x+6}{4} \]

Ejercicio 12

Calcula:

\[ \frac{x}{x+1}+\frac{2}{x+1} \]
\[ \frac{x+2}{x+1} \]

Ejercicio 13

Calcula:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2} \]

Denominador común:

\[ x(x+2) \] \[ \frac{x+2+x}{x(x+2)} \] \[ \frac{2x+2}{x(x+2)} \] \[ \frac{2(x+1)}{x(x+2)} \]

Ejercicio 14

Calcula:

\[ \frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1} \]

Denominador común:

\[ (x-1)(x+1) \] \[ \frac{3(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{x+5}{(x-1)(x+1)} \]

Condiciones:

\[ x\neq1 \] \[ x\neq-1 \]

Ejercicio 15

Calcula y simplifica:

\[ \frac{x}{x-2}+\frac{4}{x^2-4} \]

Factorizamos:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]

Denominador común:

\[ (x-2)(x+2) \] \[ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{4}{(x-2)(x+2)} \] \[ \frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x+2)} \]

No se puede simplificar más.

Condiciones:

\[ x\neq2 \] \[ x\neq-2 \]

Ejercicio 16

Calcula:

\[ \frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x+1} \]

Factorizamos:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \] \[ \frac{2x}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x+1} \]

Denominador común:

\[ (x-1)(x+1) \] \[ \frac{2x-(x-1)}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{2x-x+1}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \]

Simplificamos:

\[ \frac{1}{x-1} \]

Condiciones originales:

\[ x\neq1 \] \[ x\neq-1 \]

Error frecuente en sumas

Este error aparece muchísimo:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{2}{2x+2} \]

Eso está mal. Las fracciones algebraicas se suman con denominador común, igual que las fracciones numéricas.

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5. Multiplicación y división de fracciones algebraicas

La multiplicación suele ser más sencilla que la suma, pero exige factorizar antes de multiplicar para poder simplificar.

Regla:

\[ \frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D} \]

En la división, se multiplica por la inversa:

\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C} \]

Ejercicio 17

Calcula:

\[ \frac{3x}{5}\cdot\frac{10}{x} \]
\[ \frac{3x\cdot10}{5x} \] \[ \frac{30x}{5x} \] \[ 6 \]

Condición:

\[ x\neq0 \]

Ejercicio 18

Calcula:

\[ \frac{x^2-9}{x+3}\cdot\frac{2}{x-3} \]

Factorizamos:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \] \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}\cdot\frac{2}{x-3} \]

Simplificamos:

\[ 2 \]

Condiciones:

\[ x\neq-3 \] \[ x\neq3 \]

Ejercicio 19

Calcula:

\[ \frac{x^2-4}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2} \]
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \] \[ \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}\cdot\frac{x}{x+2} \]

Simplificamos \(x+2\) y una \(x\):

\[ \frac{x-2}{x} \]

Condiciones:

\[ x\neq0 \] \[ x\neq-2 \]

Ejercicio 20

Calcula:

\[ \frac{x+1}{x-2}:\frac{x^2-1}{x-2} \]

Multiplicamos por la inversa:

\[ \frac{x+1}{x-2}\cdot\frac{x-2}{x^2-1} \]

Factorizamos:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \] \[ \frac{x+1}{x-2}\cdot\frac{x-2}{(x-1)(x+1)} \]

Simplificamos:

\[ \frac{1}{x-1} \]

Condiciones:

\[ x\neq2 \] \[ x\neq1 \] \[ x\neq-1 \]

Ejercicio 21

Calcula:

\[ \frac{x^2-6x+9}{x^2-9}:\frac{x-3}{x+3} \]

Factorizamos:

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \] \[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]

Escribimos la división como producto por la inversa:

\[ \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x-3} \]

Simplificamos todos los factores comunes.

\[ 1 \]

Condiciones:

\[ x\neq3 \] \[ x\neq-3 \]

En multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas, casi siempre conviene no desarrollar. Es mejor factorizar y simplificar.

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6. Ecuaciones racionales sencillas

Una ecuación racional es una ecuación en la que aparecen fracciones algebraicas.

El método general es:

  1. estudiar los valores prohibidos
  2. eliminar denominadores multiplicando por el mínimo común denominador
  3. resolver la ecuación resultante
  4. comprobar que las soluciones no anulan ningún denominador

Ejercicio 22

Resuelve:

\[ \frac{x}{3}=5 \]
\[ x=15 \]

Ejercicio 23

Resuelve:

\[ \frac{x+1}{2}=4 \]
\[ x+1=8 \] \[ x=7 \]

Ejercicio 24

Resuelve:

\[ \frac{2}{x}=1 \]

Condición:

\[ x\neq0 \] \[ 2=x \] \[ x=2 \]

Ejercicio 25

Resuelve:

\[ \frac{x+3}{x}=2 \]

Condición:

\[ x\neq0 \]

Multiplicamos por \(x\):

\[ x+3=2x \] \[ 3=x \] \[ x=3 \]

Ejercicio 26

Resuelve:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{2}=1 \]

Condición:

\[ x\neq0 \]

Multiplicamos todo por \(2x\):

\[ 2+x=2x \] \[ 2=x \] \[ x=2 \]

Ejercicio 27

Resuelve:

\[ \frac{3}{x-1}=2 \]

Condición:

\[ x\neq1 \] \[ 3=2(x-1) \] \[ 3=2x-2 \] \[ 5=2x \] \[ x=\frac{5}{2} \]

Ejercicio 28

Resuelve:

\[ \frac{x}{x+2}=3 \]

Condición:

\[ x\neq-2 \] \[ x=3(x+2) \] \[ x=3x+6 \] \[ -2x=6 \] \[ x=-3 \]

La solución es válida porque no anula el denominador.

Ejercicio 29

Resuelve:

\[ \frac{2}{x-3}+\frac{1}{x+3}=1 \]

Condiciones:

\[ x\neq3 \] \[ x\neq-3 \]

Denominador común:

\[ (x-3)(x+3) \]

Multiplicamos toda la ecuación por \((x-3)(x+3)\):

\[ 2(x+3)+(x-3)=(x-3)(x+3) \] \[ 2x+6+x-3=x^2-9 \] \[ 3x+3=x^2-9 \] \[ x^2-3x-12=0 \] \[ x=\frac{3\pm\sqrt{9+48}}{2} \] \[ x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2} \]

Las dos soluciones son válidas porque no son \(3\) ni \(-3\).

Ejercicio 30

Resuelve:

\[ \frac{x+1}{x-2}=1 \]

Condición:

\[ x\neq2 \] \[ x+1=x-2 \]

Restamos \(x\) en ambos lados:

\[ 1=-2 \]

Esto es imposible.

La ecuación no tiene solución.

Error típico en ecuaciones racionales

No basta con resolver. Hay que comprobar que la solución no anula ningún denominador.

Si una solución hace que aparezca división entre cero, se descarta.

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7. Errores frecuentes en fracciones algebraicas

Simplificar términos

No se puede tachar una \(x\) si no es factor común completo.

Olvidar el dominio

El denominador nunca puede ser cero.

Factorizar mal

Los productos notables deben reconocerse con seguridad.

Sumar denominadores

Las fracciones se suman con denominador común.

Dividir sin invertir

En una división de fracciones hay que multiplicar por la inversa.

No comprobar soluciones

En ecuaciones racionales, una solución puede ser prohibida.

Ejemplo de error muy común

Incorrecto:

\[ \frac{x+5}{x}=5 \]

No se puede tachar la \(x\), porque \(x+5\) es una suma.

Correcto:

\[ \frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x} \]

Cuando un alumno empieza a trabajar bien fracciones algebraicas, normalmente mejora también en ecuaciones, funciones racionales, dominio y Bachillerato. Es un tema pequeño en apariencia, pero muy importante como puente.

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8. Simulacro tipo examen

Intenta resolver estos ejercicios en limpio antes de mirar la solución. Están ordenados de menor a mayor dificultad.

Ejercicio 31

Halla el dominio:

\[ f(x)=\frac{x+2}{x-7} \]
\[ x-7\neq0 \] \[ x\neq7 \] \[ D=\mathbb{R}-\{7\} \]

Ejercicio 32

Simplifica:

\[ \frac{x^2-16}{x-4} \]
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \] \[ \frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4 \]

Con:

\[ x\neq4 \]

Ejercicio 33

Simplifica:

\[ \frac{x^2+3x}{x^2} \]
\[ x^2+3x=x(x+3) \] \[ \frac{x(x+3)}{x^2} \] \[ \frac{x+3}{x} \]

Con:

\[ x\neq0 \]

Ejercicio 34

Calcula:

\[ \frac{1}{x}+\frac{2}{x} \]
\[ \frac{3}{x} \]

Con:

\[ x\neq0 \]

Ejercicio 35

Calcula:

\[ \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1} \]

Denominador común:

\[ x(x+1) \] \[ \frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)} \] \[ \frac{2x+2+3x}{x(x+1)} \] \[ \frac{5x+2}{x(x+1)} \]

Condiciones:

\[ x\neq0 \] \[ x\neq-1 \]

Ejercicio 36

Calcula:

\[ \frac{x^2-1}{x+1}\cdot\frac{3}{x-1} \]
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \] \[ \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\cdot\frac{3}{x-1} \] \[ 3 \]

Condiciones:

\[ x\neq-1 \] \[ x\neq1 \]

Ejercicio 37

Calcula:

\[ \frac{x^2-4x+4}{x^2-4}:\frac{x-2}{x+2} \]
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2 \] \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \] \[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x-2} \] \[ 1 \]

Condiciones:

\[ x\neq2 \] \[ x\neq-2 \]

Ejercicio 38

Resuelve:

\[ \frac{x+2}{3}=5 \]
\[ x+2=15 \] \[ x=13 \]

Ejercicio 39

Resuelve:

\[ \frac{5}{x}=2 \]
\[ x\neq0 \] \[ 5=2x \] \[ x=\frac{5}{2} \]

Ejercicio 40

Resuelve:

\[ \frac{x}{x-1}=2 \]
\[ x\neq1 \] \[ x=2(x-1) \] \[ x=2x-2 \] \[ x=2 \]

¿Se atascan las fracciones algebraicas?

Es normal. Este tema mezcla muchos bloques a la vez: álgebra, factorización, productos notables, ecuaciones y dominio. Por eso conviene trabajarlo con orden.

En Marlu Educativa ayudamos a preparar Matemáticas de ESO y Bachillerato con ejercicios guiados, pizarra compartida y explicación paso a paso.

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9. Recursos relacionados para seguir avanzando

Las fracciones algebraicas conectan directamente con otros bloques importantes de Matemáticas. Para avanzar con seguridad, conviene reforzar estos recursos.

Álgebra 2 ESO

Base necesaria para entender letras, expresiones algebraicas, monomios y polinomios.

Ver álgebra 2 ESO

Polinomios y factorización

Imprescindible para simplificar fracciones algebraicas y trabajar productos notables.

Ver polinomios

Ecuaciones ESO Bachillerato PAU

Las ecuaciones racionales se entienden mucho mejor si antes se dominan las ecuaciones básicas.

Ver ecuaciones

Funciones y gráficas ESO

Las fracciones algebraicas aparecen después en funciones racionales y dominio de funciones.

Ver funciones ESO

Funciones 4 ESO y 1 Bachillerato

Recurso puente para estudiar dominio, racionales, raíces, cortes y representación gráfica.

Ver funciones avanzadas

Sistemas de ecuaciones

Otro bloque clave para reforzar álgebra y preparar bien 4 ESO y Bachillerato.

Ver sistemas

Recursos educativos

Más ejercicios y explicaciones de Matemáticas, Física y Química preparados por Marlu Educativa.

Ver recursos educativos

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