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Representación de funciones 2 Bachillerato ejercicios resueltos con derivadas y asíntotas
Representación de funciones 2 Bachillerato: ejercicios resueltos paso a paso
Recurso avanzado de Matemáticas de 2 Bachillerato para aprender a representar funciones con dominio, cortes con los ejes, simetrías, límites, asíntotas, derivadas, crecimiento, decrecimiento, extremos, concavidad, puntos de inflexión y dibujo final.
Trabajamos funciones de nivel alto como \(\frac{e^x}{x}\), \(\frac{\ln x}{x}\), \(x^2e^x\), funciones racionales, logarítmicas, exponenciales y combinaciones habituales en exámenes de Bachillerato y preparación PAU.
Biblioteca Marlu Educativa. Este recurso está pensado para el momento en que derivar ya no basta: hay que ordenar la información y convertirla en una gráfica que no contradiga ninguno de los cálculos.
El Método Marlu comienza por el dominio y el comportamiento límite. Después entran las derivadas. Ese orden evita el error más frecuente de este tema: hacer muchas cuentas correctas y terminar con un dibujo imposible.
Aquí se desarrolla la representación completa. Los monográficos de límites, derivadas, monotonía y optimización conservan su propio espacio para practicar cada herramienta con más profundidad.
Índice de estudio
1. Método completo para representar funciones
Para representar una función de 2 Bachillerato conviene seguir siempre el mismo orden. No es una cuestión estética: el orden evita errores y permite que la gráfica final tenga sentido.
- Dominio
- Cortes con los ejes
- Simetrías si son evidentes
- Límites en puntos problemáticos y en infinito
- Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas
- Primera derivada
- Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos
- Segunda derivada
- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
- Tabla de valores si hace falta
- Dibujo final coherente
Una observación antes de empezar. Antes de derivar, mira el dominio y las asíntotas. Muchas gráficas se entienden ya desde ahí. La derivada confirma y precisa el comportamiento, pero no debe ser el primer paso automático.
Esquema general de una función con asíntota vertical y horizontal. Las ramas deben aproximarse a las rectas sin confundirlas con los ejes.
2. Derivadas que vas a usar
En este tipo de funciones aparecen derivadas de exponenciales, logaritmos, potencias, cocientes y productos.
Exponencial
\[ (e^x)'=e^x \]Logaritmo
\[ (\ln x)'=\frac{1}{x} \]Potencia
\[ (x^n)'=nx^{n-1} \]Producto
\[ (uv)'=u'v+uv' \]Cociente
\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \]Cadena
\[ \bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\,g'(x) \]Cuando hay composición, se multiplica por la derivada de dentro.
Ejercicio rápido 1
Deriva:
\[ f(x)=x^2e^x \]Es un producto:
\[ u=x^2,\quad v=e^x \] \[ u'=2x,\quad v'=e^x \] \[ f'(x)=2xe^x+x^2e^x \] \[ f'(x)=e^x(x^2+2x) \] \[ f'(x)=e^x x(x+2) \]Ejercicio rápido 2
Deriva:
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x} \]3. Límites y asíntotas
Las asíntotas indican cómo se comporta la función cerca de valores prohibidos o cuando \(x\) tiende a infinito.
Asíntota vertical
Suele aparecer cuando el denominador se anula y la función se dispara.
\[ x=a \]Asíntota horizontal
Aparece si la función se acerca a un valor fijo cuando \(x\) tiende a infinito.
\[ y=b \]Asíntota oblicua
Aparece cuando la función se acerca a una recta inclinada.
\[ y=mx+n \]En funciones con \(e^x\), hay que recordar que \(e^x\) tiende a 0 cuando \(x\to-\infty\), pero crece sin límite cuando \(x\to+\infty\).
En funciones con \(\ln x\), el dominio empieza en \(x>0\), y \(\ln x\to-\infty\) cuando \(x\to0^+\).
4. Representar \(f(x)=\frac{e^x}{x}\)
Esta función es muy buena para practicar dominio, asíntota vertical, asíntota horizontal por la izquierda, derivada por cociente y extremo relativo.
Estudio completo
Función:
\[ f(x)=\frac{e^x}{x} \]Dominio
El denominador no puede ser cero.
\[ D=\mathbb{R}-\{0\} \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\) porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
No hay corte con el eje \(x\), porque \(e^x\) nunca vale cero.
Asíntotas
En \(x=0\):
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x}{x}=-\infty \] \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{x}=+\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\) y el cociente tiende a 0.
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x}=0 \]Asíntota horizontal por la izquierda:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to+\infty\), la función crece sin límite.
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2} \] \[ f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2} \]Como \(e^x>0\) y \(x^2>0\), el signo depende de \(x-1\).
\[ f'(x)<0\quad si\quad x<1 \] \[ f'(x)>0\quad si\quad x>1 \]Teniendo en cuenta que \(x=0\) no pertenece al dominio:
\[ decrece\ en\ (-\infty,0)\cup(0,1) \] \[ crece\ en\ (1,+\infty) \]Extremo relativo
\[ f'(x)=0 \] \[ x=1 \] \[ f(1)=e \]Hay un mínimo relativo en:
\[ (1,e) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=e^x\frac{x-1}{x^2} \]Derivando se obtiene:
\[ f''(x)=\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3} \]Como \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\), el signo depende de \(x^3\).
\[ f''(x)<0\quad si\quad x<0 \] \[ f''(x)>0\quad si\quad x>0 \]Cóncava hacia abajo en \((-\infty,0)\) y hacia arriba en \((0,+\infty)\). No hay punto de inflexión porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
5. Representar \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\)
Esta función es clásica porque combina logaritmo, dominio restringido, asíntota vertical, asíntota horizontal y un máximo relativo muy importante.
Estudio completo
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x} \]Dominio
El logaritmo exige:
\[ x>0 \]Además, el denominador \(x\) no puede ser cero, pero eso ya queda excluido.
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
Corte con el eje \(x\):
\[ \frac{\ln x}{x}=0 \] \[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Asíntotas
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x}=-\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to+\infty\), el logaritmo crece mucho más despacio que \(x\).
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 \]Asíntota horizontal:
\[ y=0 \]Derivada primera
\[ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2} \] \[ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} \]Como \(x^2>0\), el signo depende de \(1-\ln x\).
\[ 1-\ln x=0 \] \[ \ln x=1 \] \[ x=e \]Crecimiento:
\[ crece\ en\ (0,e) \] \[ decrece\ en\ (e,+\infty) \]Máximo relativo
\[ f(e)=\frac{\ln e}{e} \] \[ f(e)=\frac{1}{e} \]Máximo relativo:
\[ (e,\frac{1}{e}) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} \]Derivando:
\[ f''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3} \]Punto de inflexión:
\[ 2\ln x-3=0 \] \[ \ln x=\frac{3}{2} \] \[ x=e^{3/2} \]El punto de inflexión es:
\[ \left(e^{3/2},\frac{3}{2e^{3/2}}\right) \]La función es cóncava hacia abajo en \((0,e^{3/2})\) y convexa —o cóncava hacia arriba— en \((e^{3/2},+\infty)\).
6. Representar \(f(x)=x^2e^x\)
Esta función no tiene asíntotas verticales, pero es muy interesante porque mezcla potencia y exponencial. Es perfecta para practicar producto, crecimiento, extremos y concavidad.
Estudio completo
\[ f(x)=x^2e^x \]Dominio
\[ D=\mathbb{R} \]Cortes con los ejes
\[ x^2e^x=0 \]Como \(e^x\neq0\), entonces:
\[ x^2=0 \] \[ x=0 \]Corte con ambos ejes:
\[ (0,0) \]Límites
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2e^x=+\infty \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\) más rápido de lo que crece \(x^2\).
\[ \lim_{x\to-\infty}x^2e^x=0 \]Asíntota horizontal por la izquierda:
\[ y=0 \]Derivada primera
\[ f'(x)=2xe^x+x^2e^x \] \[ f'(x)=e^x(x^2+2x) \] \[ f'(x)=e^x x(x+2) \]Como \(e^x>0\), el signo depende de:
\[ x(x+2) \]Puntos críticos:
\[ x=-2,\quad x=0 \]Signo:
\[ f'(x)>0\quad en\quad (-\infty,-2) \] \[ f'(x)<0\quad en\quad (-2,0) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (0,+\infty) \]Extremos
\[ f(-2)=(-2)^2e^{-2}=\frac{4}{e^2} \]Máximo relativo:
\[ (-2,\frac{4}{e^2}) \] \[ f(0)=0 \]Mínimo relativo:
\[ (0,0) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=e^x(x^2+2x) \] \[ f''(x)=e^x(x^2+2x)+e^x(2x+2) \] \[ f''(x)=e^x(x^2+4x+2) \]Puntos de inflexión:
\[ x^2+4x+2=0 \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} \] \[ x=-2\pm\sqrt{2} \]En ambos valores cambia el signo de \(f''\). Las coordenadas de los puntos de inflexión son:
\[ \left(-2-\sqrt2,(6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}\right),\qquad \left(-2+\sqrt2,(6-4\sqrt2)e^{-2+\sqrt2}\right) \]La función es convexa en \(( -\infty,-2-\sqrt2)\cup(-2+\sqrt2,+\infty)\) y cóncava hacia abajo en \((-2-\sqrt2,-2+\sqrt2)\).
7. Funciones con exponenciales, logaritmos y productos mixtos
En 2 Bachillerato aparecen con frecuencia funciones donde se mezclan exponenciales, logaritmos, potencias y cocientes. No son funciones para resolver de memoria. Hay que leerlas con método.
Las más habituales son de este estilo:
\[ f(x)=e^x\ln x \] \[ f(x)=x\ln x \] \[ f(x)=\frac{e^x}{x^2} \] \[ f(x)=\frac{\ln x}{x^2} \] \[ f(x)=x^2\ln x \]La clave está en no precipitarse. Primero dominio, después límites, luego derivadas y por último dibujo.
En estas funciones hay dos ideas que conviene recordar siempre.
El logaritmo manda en el dominio:
\[ \ln x\quad exige\quad x>0 \]La exponencial siempre es positiva:
\[ e^x>0 \]Esto simplifica muchísimo el estudio del signo de la derivada.
Ejercicio 4
Representa de forma razonada:
\[ f(x)=e^x\ln x \]Dominio
El logaritmo exige:
\[ x>0 \]Por tanto:
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
Corte con el eje \(x\):
\[ e^x\ln x=0 \]Como \(e^x\neq0\), debe cumplirse:
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \]Corte:
\[ (1,0) \]Límites y comportamiento
Cuando \(x\to0^+\), \(\ln x\to-\infty\) y \(e^x\to1\).
\[ \lim_{x\to0^+}e^x\ln x=-\infty \]Por tanto, \(x=0\) es una asíntota vertical por la derecha.
Cuando \(x\to+\infty\), tanto \(e^x\) como \(\ln x\) crecen.
\[ \lim_{x\to+\infty}e^x\ln x=+\infty \]Derivada primera
Aplicamos la regla del producto:
\[ f'(x)=(e^x)'\ln x+e^x(\ln x)' \] \[ f'(x)=e^x\ln x+e^x\frac{1}{x} \] \[ f'(x)=e^x\left(\ln x+\frac{1}{x}\right) \] \[ f'(x)=\frac{e^x(x\ln x+1)}{x} \]Como \(e^x>0\) y \(x>0\), el signo depende de:
\[ x\ln x+1 \]La ecuación \(x\ln x+1=0\) no necesita resolverse: la función \(x\ln x\) alcanza su mínimo \(-\frac{1}{e}\), de modo que \(x\ln x+1\ge 1-\frac{1}{e}>0\).
En \(0
En \(x>1\), \(\ln x>0\), luego:
La función es creciente en todo su dominio:
Como \(e^x>0\) y \(x^2>0\), el cambio de curvatura se estudia con \(x^2\ln x+2x-1\). Esta expresión es estrictamente creciente en \((0,+\infty)\) y tiene una única raíz:
La función es cóncava hacia abajo en \((0,\alpha)\), convexa en \((\alpha,+\infty)\) y tiene un único punto de inflexión aproximado en \((0{,}592,-0{,}948)\).
La función parte de valores que tienden a \(-\infty\) cuando \(x\to0^+\), es creciente en todo su dominio, corta el eje \(x\) en \(x=1\) y continúa hacia \(+\infty\).
Segunda derivada y curvatura
\[
f''(x)=e^x\left(\ln x+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)
\]
Conclusión gráfica
Ejercicio 5
Estudia y representa:
\[ f(x)=x\ln x \]Dominio
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\).
Corte con el eje \(x\):
\[ x\ln x=0 \]Como \(x>0\), entonces:
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Límites
Este límite es muy importante:
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \]La función se acerca al origen, aunque \(x=0\) no pertenezca al dominio.
\[ \lim_{x\to+\infty}x\ln x=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} \] \[ f'(x)=\ln x+1 \]Punto crítico:
\[ \ln x+1=0 \] \[ \ln x=-1 \] \[ x=e^{-1} \] \[ x=\frac{1}{e} \]Crecimiento y decrecimiento
\[ f'(x)<0\quad en\quad (0,\frac{1}{e}) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (\frac{1}{e},+\infty) \]La función decrece primero y crece después.
Mínimo relativo
\[ f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\left(\frac{1}{e}\right) \] \[ f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot(-1) \] \[ f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e} \]Mínimo:
\[ \left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right) \]Segunda derivada
\[ f''(x)=\frac{1}{x} \]Como \(x>0\):
\[ f''(x)>0 \]La función es convexa en todo su dominio y no tiene punto de inflexión.
Ejercicio 6
Estudia:
\[ f(x)=\frac{e^x}{x^2} \]Dominio
El denominador no puede ser cero.
\[ D=\mathbb{R}-\{0\} \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\), porque \(x=0\) no pertenece al dominio.
No hay corte con el eje \(x\), porque \(e^x\) nunca vale cero.
Asíntotas
En \(x=0\):
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x}{x^2}=+\infty \] \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{x^2}=+\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\) y \(x^2\to+\infty\).
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x^2}=0 \]Asíntota horizontal por la izquierda:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to+\infty\):
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty \]Derivada primera
Escribimos:
\[ f(x)=e^x x^{-2} \] \[ f'(x)=e^x x^{-2}+e^x(-2)x^{-3} \] \[ f'(x)=e^x\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right) \] \[ f'(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3} \]Signo de la derivada
Como \(e^x>0\), el signo depende de:
\[ \frac{x-2}{x^3} \]Intervalos:
\[ (-\infty,0),\quad (0,2),\quad (2,+\infty) \]En \((-\infty,0)\), numerador negativo y denominador negativo, luego:
\[ f'(x)>0 \]En \((0,2)\), numerador negativo y denominador positivo:
\[ f'(x)<0 \]En \((2,+\infty)\):
\[ f'(x)>0 \]Extremo relativo
\[ x=2 \] \[ f(2)=\frac{e^2}{4} \]Hay un mínimo relativo en:
\[ \left(2,\frac{e^2}{4}\right) \]Segunda derivada y curvatura
\[ f''(x)=\frac{e^x(x^2-4x+6)}{x^4} \]El trinomio \(x^2-4x+6=(x-2)^2+2\) es siempre positivo. Por tanto, la función es convexa en \(( -\infty,0)\) y en \((0,+\infty)\); no hay punto de inflexión en \(x=0\) porque ese valor no pertenece al dominio.
Conclusión gráfica
La función crece en \((-\infty,0)\). En la rama positiva decrece en \((0,2)\), desde \(+\infty\) hasta el mínimo \(\left(2,\frac{e^2}{4}\right)\), y después vuelve a crecer.
Ejercicio 7
Estudia:
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x^2} \]Dominio
El logaritmo exige:
\[ x>0 \]Por tanto:
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes con los ejes
No hay corte con el eje \(y\).
Corte con el eje \(x\):
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Límites y asíntotas
Cuando \(x\to0^+\):
\[ \ln x\to-\infty \] \[ x^2\to0^+ \] \[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x^2}=-\infty \]Asíntota vertical:
\[ x=0 \]Cuando \(x\to+\infty\), \(x^2\) crece más rápido que \(\ln x\).
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}=0 \]Asíntota horizontal:
\[ y=0 \]Derivada primera
Escribimos:
\[ f(x)=\ln x\cdot x^{-2} \] \[ f'(x)=\frac{1}{x}x^{-2}+\ln x\cdot(-2)x^{-3} \] \[ f'(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3} \] \[ f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^3} \]Como \(x>0\), \(x^3>0\). El signo depende de:
\[ 1-2\ln x \]Punto crítico:
\[ 1-2\ln x=0 \] \[ \ln x=\frac{1}{2} \] \[ x=\sqrt e \]Crecimiento y decrecimiento
\[ f'(x)>0\quad en\quad (0,\sqrt e) \] \[ f'(x)<0\quad en\quad (\sqrt e,+\infty) \]Máximo relativo
\[ f(\sqrt e)=\frac{\ln(\sqrt e)}{(\sqrt e)^2} \] \[ f(\sqrt e)=\frac{\frac{1}{2}}{e} \] \[ f(\sqrt e)=\frac{1}{2e} \]Máximo:
\[ \left(\sqrt e,\frac{1}{2e}\right) \]Segunda derivada y curvatura
\[ f''(x)=\frac{6\ln x-5}{x^4} \] \[ f''(x)=0\Longrightarrow x=e^{5/6} \]La función es cóncava hacia abajo en \((0,e^{5/6})\), convexa en \((e^{5/6},+\infty)\) y tiene un punto de inflexión en:
\[ \left(e^{5/6},\frac{5}{6e^{5/3}}\right) \]Ejercicio 8
Estudia:
\[ f(x)=x^2\ln x \]Dominio
\[ D=(0,+\infty) \]Cortes
No hay corte con el eje \(y\).
Corte con el eje \(x\):
\[ x^2\ln x=0 \]Como \(x^2>0\), debe ser:
\[ \ln x=0 \] \[ x=1 \] \[ (1,0) \]Límites
\[ \lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0 \] \[ \lim_{x\to+\infty}x^2\ln x=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=2x\ln x+x^2\frac{1}{x} \] \[ f'(x)=2x\ln x+x \] \[ f'(x)=x(2\ln x+1) \]Como \(x>0\), el signo depende de:
\[ 2\ln x+1 \]Punto crítico:
\[ 2\ln x+1=0 \] \[ \ln x=-\frac{1}{2} \] \[ x=e^{-1/2} \] \[ x=\frac{1}{\sqrt e} \]Crecimiento
\[ f'(x)<0\quad en\quad (0,\frac{1}{\sqrt e}) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (\frac{1}{\sqrt e},+\infty) \]Mínimo relativo
\[ f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)^2\ln\left(\frac{1}{\sqrt e}\right) \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)=\frac{1}{e}\left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ f\left(\frac{1}{\sqrt e}\right)=-\frac{1}{2e} \]Mínimo:
\[ \left(\frac{1}{\sqrt e},-\frac{1}{2e}\right) \]Segunda derivada
\[ f'(x)=x(2\ln x+1) \] \[ f''(x)=2\ln x+1+2 \] \[ f''(x)=2\ln x+3 \]Punto de inflexión:
\[ 2\ln x+3=0 \] \[ \ln x=-\frac{3}{2} \] \[ x=e^{-3/2} \]Punto de inflexión:
\[ \left(e^{-3/2},e^{-3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right) \] \[ \left(e^{-3/2},-\frac{3}{2e^3}\right) \]La función es cóncava hacia abajo en \((0,e^{-3/2})\) y convexa en \((e^{-3/2},+\infty)\).
Ejercicio 9
Estudia:
\[ f(x)=\frac{x}{e^x} \]Forma equivalente
\[ f(x)=xe^{-x} \]Dominio
\[ D=\mathbb{R} \]Corte con los ejes
\[ f(0)=0 \]Corte:
\[ (0,0) \]Límites
Cuando \(x\to+\infty\), la exponencial domina al numerador:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0 \]Asíntota horizontal por la derecha:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0^+\) y \(x\to-\infty\).
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^x}=-\infty \]Derivada primera
\[ f(x)=xe^{-x} \] \[ f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x}) \] \[ f'(x)=e^{-x}(1-x) \]Como \(e^{-x}>0\), el signo depende de:
\[ 1-x \] \[ f'(x)>0\quad si\quad x<1 \] \[ f'(x)<0\quad si\quad x>1 \]Máximo relativo
\[ x=1 \] \[ f(1)=\frac{1}{e} \]Máximo:
\[ (1,\frac{1}{e}) \]Segunda derivada y curvatura
\[ f''(x)=e^{-x}(x-2) \]La función es cóncava hacia abajo en \(( -\infty,2)\), convexa en \((2,+\infty)\) y tiene un punto de inflexión en:
\[ \left(2,\frac{2}{e^2}\right) \]Ejercicio 10
Estudia:
\[ f(x)=e^{-x}(x^2-1) \]Dominio
\[ D=\mathbb{R} \]Cortes con los ejes
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=e^0(0^2-1)=-1 \] \[ (0,-1) \]Cortes con el eje \(x\):
\[ e^{-x}(x^2-1)=0 \]Como \(e^{-x}\neq0\):
\[ x^2-1=0 \] \[ x=-1,\quad x=1 \] \[ (-1,0),\quad (1,0) \]Límites
\[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}(x^2-1)=0 \]Asíntota horizontal por la derecha:
\[ y=0 \]Cuando \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\) y \(x^2-1\to+\infty\).
\[ \lim_{x\to-\infty}e^{-x}(x^2-1)=+\infty \]Derivada primera
\[ f'(x)=(-e^{-x})(x^2-1)+e^{-x}(2x) \] \[ f'(x)=e^{-x}[-(x^2-1)+2x] \] \[ f'(x)=e^{-x}(-x^2+2x+1) \]Como \(e^{-x}>0\), estudiamos:
\[ -x^2+2x+1=0 \] \[ x^2-2x-1=0 \] \[ x=1\pm\sqrt2 \]Con esos valores se organizan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
\[ f'(x)<0\quad en\quad (-\infty,1-\sqrt2) \] \[ f'(x)>0\quad en\quad (1-\sqrt2,1+\sqrt2) \] \[ f'(x)<0\quad en\quad (1+\sqrt2,+\infty) \]Hay un mínimo relativo en \(x=1-\sqrt2\) y un máximo relativo en \(x=1+\sqrt2\).
Las coordenadas se obtienen sustituyendo en la función:
\[ \left(1-\sqrt2,\,2(1-\sqrt2)e^{-(1-\sqrt2)}\right) \] \[ \left(1+\sqrt2,\,2(1+\sqrt2)e^{-(1+\sqrt2)}\right) \]Segunda derivada
\[ f''(x)=e^{-x}(x^2-4x+1) \] \[ f''(x)=0\Longrightarrow x=2\pm\sqrt3 \]La curvatura cambia en ambos valores, que son las abscisas de los dos puntos de inflexión.
La función es convexa en \(( -\infty,2-\sqrt3)\cup(2+\sqrt3,+\infty)\) y cóncava hacia abajo en \((2-\sqrt3,2+\sqrt3)\). Los puntos de inflexión son:
\[ \left(2-\sqrt3,(6-4\sqrt3)e^{-(2-\sqrt3)}\right) \] \[ \left(2+\sqrt3,(6+4\sqrt3)e^{-(2+\sqrt3)}\right) \]Estas funciones no se estudian para hacer cuentas largas sin sentido. Se estudian para aprender a reconocer comportamientos: cuándo domina la exponencial, cuándo manda el logaritmo, dónde hay restricciones y cómo las derivadas construyen la gráfica.
8. Errores frecuentes al representar funciones
- Empezar derivando sin calcular el dominio. Puede introducir puntos que no pertenecen a la función y estropear toda la tabla de signos.
- Confundir los ejes con las asíntotas. Una asíntota debe justificarse mediante límites; no se decide solo mirando el denominador.
- Unir ramas separadas. Si hay una discontinuidad o una asíntota vertical, la gráfica debe respetar los distintos intervalos del dominio.
- Dar únicamente la abscisa de un extremo. En una representación completa se escriben las coordenadas \((a,f(a))\).
- Dibujar antes de contrastar los resultados. Los límites, los signos de \(f'\) y \(f''\), los cortes y las asíntotas deben contar la misma historia.
9. Ejercicios finales: simulacro de representación
Formato examen · elaboración propia
1. Función racional con asíntota oblicua
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1} \]Formato examen · elaboración propia
2. Producto de polinomio y exponencial
\[ g(x)=x^2e^{-x} \]Formato examen · elaboración propia
3. Función logarítmica
\[ h(x)=\ln x-\frac{x}{2} \]Soluciones razonadas del simulacro
Solución 1 · Función racional
El dominio es \(\mathbb R-\{1\}\). La división \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\) permite escribir \(f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}\): aparecen la asíntota vertical \(x=1\) y la oblicua \(y=x+1\).
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\]Los puntos críticos son \(x=1\pm\sqrt2\). La derivada es positiva fuera del intervalo delimitado por esos valores y negativa dentro, respetando la separación de \(x=1\). Por tanto, hay un máximo relativo en \((1-\sqrt2,2-2\sqrt2)\) y un mínimo relativo en \((1+\sqrt2,2+2\sqrt2)\).
\[f''(x)=\frac{4}{(x-1)^3}\]La curvatura cambia al cruzar la asíntota, pero no existe punto de inflexión en \(x=1\) porque la función no está definida allí. Los cortes se obtienen con \(f(0)=-1\); no hay cortes reales con el eje \(x\) porque \(x^2+1=0\) no tiene solución real.
Solución 2 · Polinomio por exponencial
El dominio es \(\mathbb R\), el único corte es \((0,0)\) y \(y=0\) es asíntota horizontal cuando \(x\to+\infty\).
\[g'(x)=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}x(2-x)\]La función decrece en \(( -\infty,0)\), crece en \((0,2)\) y vuelve a decrecer en \((2,+\infty)\). Así, \((0,0)\) es mínimo relativo y \(\left(2,\frac{4}{e^2}\right)\) es máximo relativo.
\[g''(x)=e^{-x}(x^2-4x+2)\]La función es convexa en \(( -\infty,2-\sqrt2)\cup(2+\sqrt2,+\infty)\) y cóncava hacia abajo en \((2-\sqrt2,2+\sqrt2)\). Los puntos de inflexión son \(\left(2\pm\sqrt2,(2\pm\sqrt2)^2e^{-(2\pm\sqrt2)}\right)\). Esta información, junto con los límites, fija el dibujo sin necesidad de una tabla larga.
Solución 3 · Función logarítmica
El dominio es \((0,+\infty)\) y \(x=0\) es asíntota vertical porque \(h(x)\to-\infty\) cuando \(x\to0^+\). No hay corte con el eje \(y\).
\[h'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\]La función crece en \((0,2)\) y decrece en \((2,+\infty)\); alcanza su máximo absoluto en \(\left(2,\ln2-1\right)\).
\[h(2)=\ln2-1<0\]Como incluso su valor máximo es negativo, \(h(x)<0\) en todo el dominio: la ecuación \(\ln x=\frac{x}{2}\) no tiene soluciones reales y la gráfica no corta el eje \(x\).
\[h''(x)=-\frac{1}{x^2}<0\]Es cóncava hacia abajo en todo el dominio, no tiene puntos de inflexión y tiende a \(-\infty\) tanto cuando \(x\to0^+\) como cuando \(x\to+\infty\).
Hoja breve de seguimiento
| Función | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error a evitar |
|---|---|---|---|---|
| Racional | ||||
| Exponencial | ||||
| Logarítmica |
Cuando el método todavía no sale solo
En las clases online de Matemáticas de Marlu Educativa se construye la gráfica sobre pizarra compartida: el alumno propone el siguiente paso, justifica signos y límites y corrige el dibujo mientras aún puede relacionarlo con los cálculos.
Para recuperaciones, preparación intensiva o alumnado con horario flexible, también puede valorarse la modalidad de clases online por la mañana.
Ruta del clúster de Funciones de 2.º de Bachillerato
Preguntas frecuentes sobre representación de funciones
¿Qué orden conviene seguir para representar una función?
Dominio, cortes, simetrías cuando aporten información, límites, asíntotas, primera derivada, monotonía y extremos, segunda derivada, curvatura y dibujo final. El orden puede abreviarse, pero no debe ocultar una decisión necesaria.
¿Por qué no conviene empezar derivando?
Porque el dominio y los límites separan las ramas y anticipan el comportamiento. Derivar primero puede llevar a estudiar intervalos que no pertenecen a la función o a unir ramas que una asíntota mantiene separadas.
¿Siempre hace falta una tabla de valores?
No. Si cortes, límites, asíntotas, monotonía, extremos y curvatura determinan suficientemente la forma, bastan algunos puntos de control. La tabla se usa cuando resuelve una ambigüedad real.
¿Este recurso sustituye los temas de límites y derivadas?
No. Aquí se integran esas herramientas para construir gráficas. Los recursos específicos de límites, derivadas y monotonía ofrecen práctica más extensa de cada técnica.
Biblioteca Marlu Educativa. Recurso revisado por el equipo académico y editorial de Marlu Educativa conforme al Método Marlu, con coordinación docente de José María.
Revisión matemática, técnica y editorial · 24 de agosto de 2026 · Marlu Web Ultra v1.5