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Monotonía, extremos y curvatura 2 Bachillerato PAU/EBAU: derivadas y ejercicios resueltos
Monotonía, extremos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión en 2 Bachillerato
Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.
Monotonía, extremos y curvatura forman el corazón del estudio de funciones. Aquí es donde la derivada deja de ser una cuenta mecánica y empieza a decirnos cómo se comporta una gráfica: dónde sube, dónde baja, dónde alcanza máximos o mínimos, dónde cambia la curvatura y dónde puede aparecer un punto de inflexión.
Muchos alumnos entienden la frase “derivamos e igualamos a cero”, pero luego se pierden con la tabla de signos, con la segunda derivada o con la diferencia entre máximo, mínimo e inflexión. Este recurso va justo a eso: ordenar el procedimiento y trabajarlo con ejemplos de examen.
Alcance del recurso: este bloque se centra en crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. No sustituye al recurso general de derivadas, ni al de recta tangente y normal, ni al de representación completa de funciones. Funciona como pieza intermedia clave antes de representación de funciones y optimización.
Índice del recurso
- 1. Qué estudia la monotonía y la curvatura
- 2. Primera derivada y monotonía
- 3. Máximos y mínimos relativos
- 4. Segunda derivada y curvatura
- 5. Puntos de inflexión
- 6. Método completo paso a paso
- 7. Cómo hacer tablas de signos
- 8. Criterio de primera y segunda derivada
- 9. Errores frecuentes reales
- 10. Ejercicios resueltos paso a paso
- 11. Ejercicios para practicar
- 12. Soluciones rápidas
- 13. Simulacro tipo PAU/EBAU
- 14. Qué estudiar antes y después
- 15. Preguntas frecuentes
1. Qué estudia la monotonía y la curvatura
Cuando estudiamos una función en 2 Bachillerato, no basta con sustituir valores. Queremos saber cómo se comporta la gráfica. Para eso usamos derivadas.
Monotonía
Estudia dónde la función crece y dónde decrece. Se analiza con la primera derivada \(f'(x)\).
Extremos relativos
Son máximos y mínimos locales. Normalmente aparecen cerca de los puntos donde \(f'(x)=0\) o donde la derivada no existe.
Curvatura
Estudia si la gráfica es cóncava o convexa. Se analiza con la segunda derivada \(f''(x)\).
Puntos de inflexión
Son puntos donde cambia la curvatura. Suelen buscarse entre los valores que anulan \(f''(x)\).
2. Primera derivada y monotonía
La monotonía de una función se estudia mirando el signo de la primera derivada.
La razón es sencilla: si la derivada es positiva, la pendiente de la tangente es positiva y la gráfica sube. Si la derivada es negativa, la pendiente es negativa y la gráfica baja.
| Signo de \(f'(x)\) | Comportamiento | Lectura gráfica |
|---|---|---|
| \(f'(x)>0\) | Creciente | La gráfica sube de izquierda a derecha |
| \(f'(x)\lt0\) | Decreciente | La gráfica baja de izquierda a derecha |
| \(f'(x)=0\) | Punto crítico | Puede haber máximo, mínimo o nada especial |
Ojo con esto: que \(f'(a)=0\) no garantiza que haya máximo o mínimo. Hay que mirar si el signo de la derivada cambia al pasar por \(a\).
3. Máximos y mínimos relativos
Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer. Un mínimo relativo es un punto donde la función pasa de decrecer a crecer.
Ese cambio se mira en el signo de \(f'(x)\).
| Signo de \(f'\) antes | Signo de \(f'\) después | Conclusión |
|---|---|---|
| + | - | Máximo relativo |
| - | + | Mínimo relativo |
| + | + | No hay extremo |
| - | - | No hay extremo |
4. Segunda derivada y curvatura
La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente. En 2 Bachillerato la usamos para estudiar concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Según el convenio empleado, a veces se intercambian las palabras cóncava y convexa. Para evitar ambigüedades, en el examen conviene escribir el signo de la segunda derivada y describir la forma de la gráfica.
| Signo de \(f''(x)\) | Curvatura | Imagen mental |
|---|---|---|
| \(f''(x)>0\) | Convexa | Forma de cuenco hacia arriba |
| \(f''(x)\lt0\) | Cóncava | Forma de cuenco hacia abajo |
Lo importante no es memorizar una frase suelta, sino entender que el signo de \(f''\) marca la curvatura.
5. Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia de curvatura. Es decir, pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
Los candidatos suelen salir resolviendo:
Pero, igual que antes, no basta con que \(f''(a)=0\). Hay que comprobar que la segunda derivada cambia de signo al pasar por \(a\).
6. Método completo paso a paso
Para estudiar monotonía, extremos y curvatura, el orden más seguro es este:
- Calcula el dominio. Antes de derivar, comprueba dónde existe la función.
- Calcula la primera derivada \(f'(x)\).
- Resuelve \(f'(x)=0\). Esos valores son candidatos a extremos.
- Añade puntos donde \(f'\) no exista, si pertenecen al dominio de la función.
- Haz la tabla de signos de \(f'(x)\). Así obtienes crecimiento, decrecimiento y extremos.
- Calcula la segunda derivada \(f''(x)\).
- Resuelve \(f''(x)=0\). Esos valores son candidatos a puntos de inflexión.
- Haz la tabla de signos de \(f''(x)\). Así obtienes concavidad, convexidad e inflexión.
- Calcula las coordenadas de los puntos importantes. No basta con decir \(x=2\); hay que dar \(P(2,f(2))\).
- Comprueba la coherencia. Una función que crece y luego decrece debe tener un máximo entre medias si hay continuidad y derivabilidad adecuadas.
7. Cómo hacer tablas de signos sin perderse
La tabla de signos es el centro del tema. Para hacerla bien, no hace falta probar mil números. Hay que ordenar la recta real con los puntos críticos.
Ejemplo de tabla para \(f'(x)\)
Imagina que:
Los puntos críticos son:
Dividen la recta real en tres intervalos:
| Intervalo | Signo de \(x-1\) | Signo de \(x+2\) | Signo de \(f'(x)\) | Monotonía |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | - | - | + | Crece |
| \((-2,1)\) | - | + | - | Decrece |
| \((1,+\infty)\) | + | + | + | Crece |
Por tanto, en \(x=-2\) hay máximo relativo, porque la función pasa de crecer a decrecer. En \(x=1\) hay mínimo relativo, porque pasa de decrecer a crecer.
8. Criterio de primera derivada y criterio de segunda derivada
Criterio de primera derivada
Es el más seguro para máximos y mínimos:
Criterio de segunda derivada
Si \(f'(a)=0\), podemos mirar \(f''(a)\):
Pero si:
el criterio no decide. Hay que volver a estudiar el signo de \(f'\) o analizar mejor la función.
9. Errores frecuentes reales de alumno
Confundir \(f\), \(f'\) y \(f''\)
\(f\) da valores de la función. \(f'\) estudia crecimiento y extremos. \(f''\) estudia curvatura e inflexión.
Decir extremo porque \(f'(a)=0\)
Puede haber extremo, pero hay que comprobar cambio de signo de \(f'\) o usar correctamente la segunda derivada.
Decir inflexión porque \(f''(a)=0\)
Hace falta cambio de signo de \(f''\). Si no cambia, no hay inflexión.
No calcular coordenadas
El extremo no es solo \(x=2\). El punto es \((2,f(2))\).
Olvidar el dominio
En racionales, logaritmos o raíces, el dominio cambia la tabla de signos.
No separar asíntotas o discontinuidades
Si un punto no pertenece al dominio, no puede ser extremo relativo de la función en ese punto.
Usar la segunda derivada para todo
La segunda derivada ayuda, pero no sustituye siempre a la tabla de signos.
No justificar intervalos
En PAU/EBAU no basta con poner flechas. Hay que indicar intervalos de crecimiento, decrecimiento y curvatura.
10. Ejercicios resueltos paso a paso
Los ejercicios van de polinomios sencillos a funciones racionales y exponenciales. La idea es que el método quede claro y no dependa de memorizar un caso concreto.
Ejercicio 1. Monotonía y extremos de una parábola
Enunciado. Estudia la monotonía y los extremos de:
Derivamos:
Buscamos puntos críticos:
Estudiamos el signo de \(f'\):
| Intervalo | Signo de \(f'(x)\) | Conclusión |
|---|---|---|
| \((-\infty,2)\) | - | Decrece |
| \((2,+\infty)\) | + | Crece |
Como pasa de decrecer a crecer, hay un mínimo relativo en \(x=2\).
Calculamos la coordenada:
Resultado. Decrece en \((-\infty,2)\), crece en \((2,+\infty)\) y tiene un mínimo relativo en \((2,-1)\).
Ejercicio 2. Monotonía y extremos de una cúbica
Enunciado. Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos de:
Derivamos:
Puntos críticos:
Tabla de signos:
| Intervalo | Signo de \(x\) | Signo de \(x-2\) | Signo de \(f'\) | Conclusión |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty,0)\) | - | - | + | Crece |
| \((0,2)\) | + | - | - | Decrece |
| \((2,+\infty)\) | + | + | + | Crece |
En \(x=0\), \(f'\) pasa de positivo a negativo. Hay máximo relativo.
En \(x=2\), \(f'\) pasa de negativo a positivo. Hay mínimo relativo.
Coordenadas:
Resultado. Crece en \((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\), decrece en \((0,2)\), máximo relativo en \((0,0)\) y mínimo relativo en \((2,-4)\).
Ejercicio 3. Curvatura y punto de inflexión de una cúbica
Enunciado. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de:
Calculamos la segunda derivada.
Candidatos a inflexión:
Estudiamos el signo de \(f''\):
| Intervalo | Signo de \(f''(x)\) | Curvatura |
|---|---|---|
| \((-\infty,1)\) | - | Cóncava |
| \((1,+\infty)\) | + | Convexa |
Como cambia el signo de la segunda derivada, hay punto de inflexión en \(x=1\).
Coordenada:
Resultado. Cóncava en \((-\infty,1)\), convexa en \((1,+\infty)\), punto de inflexión en \((1,-2)\).
Ejercicio 4. Estudio completo de monotonía, extremos y curvatura
Enunciado. Estudia monotonía, extremos, curvatura e inflexión de:
Primera derivada
Puntos críticos:
El signo de \(f'(x)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\) queda:
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Monotonía |
|---|---|---|
| \((-\infty,-\sqrt2)\) | - | Decrece |
| \((-\sqrt2,0)\) | + | Crece |
| \((0,\sqrt2)\) | - | Decrece |
| \((\sqrt2,+\infty)\) | + | Crece |
Conclusión de extremos:
Coordenadas:
Segunda derivada
Candidatos a inflexión:
El signo de \(f''\) es positivo fuera del intervalo y negativo dentro:
Hay cambio de curvatura en ambos valores.
Resultado. Mínimos relativos en \((-\sqrt2,-4)\) y \((\sqrt2,-4)\), máximo relativo en \((0,0)\), y puntos de inflexión en \(\left(-\sqrt{\frac23},-\frac{20}{9}\right)\) y \(\left(\sqrt{\frac23},-\frac{20}{9}\right)\).
Ejercicio 5. Función racional con dominio y asíntota
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Dominio:
Derivamos usando cociente:
Como \((x-1)^2>0\) para todo \(x\neq1\), tenemos:
Resultado. La función es decreciente en \((-\infty,1)\) y en \((1,+\infty)\).
Ejercicio 6. Racional con extremos relativos
Enunciado. Estudia la monotonía y extremos de:
Primero simplificamos:
Dominio:
Derivada:
Puntos críticos:
Además, \(x=0\) no pertenece al dominio, pero separa intervalos.
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Monotonía |
|---|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | + | Crece |
| \((-1,0)\) | - | Decrece |
| \((0,1)\) | - | Decrece |
| \((1,+\infty)\) | + | Crece |
En \(x=-1\), pasa de crecer a decrecer: máximo relativo.
En \(x=1\), pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo.
Coordenadas:
Resultado. Máximo relativo en \((-1,-2)\), mínimo relativo en \((1,2)\). Aunque visualmente pueda sorprender, en cada rama del dominio la clasificación local es correcta.
Ejercicio 7. Función con punto crítico que no es extremo
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Derivada:
Punto crítico:
Pero \(3x^2\) es positivo para todo \(x\neq0\). Por tanto:
No hay cambio de signo.
Resultado. La función es creciente en todo \(\mathbb{R}\) y no tiene máximo ni mínimo relativo en \(x=0\).
Más adelante, con la segunda derivada, veremos que \((0,0)\) es un punto de inflexión.
Ejercicio 8. Punto de inflexión sin extremo
Enunciado. Estudia la curvatura de:
Primera y segunda derivada:
Candidato a inflexión:
Signo de \(f''\):
Hay cambio de curvatura.
Resultado. La función tiene un punto de inflexión en \((0,0)\). No tiene extremo en ese punto.
Ejercicio 9. Segunda derivada no decide el extremo
Enunciado. Estudia si \(f(x)=x^4\) tiene extremo en \(x=0\).
Derivamos:
Punto crítico:
Segunda derivada:
El criterio de la segunda derivada no decide. Estudiamos el signo de \(f'\):
Pasa de decrecer a crecer.
Resultado. Hay mínimo relativo y absoluto en \((0,0)\).
Ejercicio 10. Exponencial con monotonía sencilla
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Derivamos:
Punto crítico:
Signo:
Por tanto, decrece en \((-\infty,0)\) y crece en \((0,+\infty)\). Hay mínimo relativo en \(x=0\).
Coordenada:
Resultado. Mínimo relativo en \((0,1)\).
Ejercicio 11. Logaritmo con dominio
Enunciado. Estudia la monotonía de:
Dominio:
Derivada:
Como el dominio es \(x>0\), el denominador es positivo. El signo depende de \(x-1\).
| Intervalo | Signo de \(f'\) | Monotonía |
|---|---|---|
| \((0,1)\) | - | Decrece |
| \((1,+\infty)\) | + | Crece |
Hay mínimo relativo en \(x=1\).
Resultado. Decrece en \((0,1)\), crece en \((1,+\infty)\), mínimo en \((1,1)\).
Ejercicio 12. Función con parámetro y punto crítico
Enunciado. Halla \(a\) para que \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) tenga un punto crítico en \(x=1\) y decide si es máximo, mínimo o ninguno.
Un punto crítico exige:
Derivamos:
Imponemos:
Con \(a=-3\), la derivada queda:
La derivada es no negativa a ambos lados de \(x=1\), por lo que no cambia de signo. No hay máximo ni mínimo relativo.
Además, \(f''(x)=6x-6\) cambia de signo en \(x=1\). El punto \((1,1)\) es un punto de inflexión con tangente horizontal.
Resultado. \(a=-3\) y el punto crítico \(x=1\) no es un extremo.
11. Ejercicios para practicar
Hazlos con tablas de signos. No te quedes solo en resolver \(f'(x)=0\) o \(f''(x)=0\).
Nivel 1. Monotonía y extremos
- Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos de \(f(x)=x^2-6x+5\).
- Estudia la monotonía de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
- Estudia los extremos de \(f(x)=x^4-2x^2\).
- Estudia la monotonía de \(f(x)=\frac{x-2}{x+1}\).
- Estudia crecimiento y decrecimiento de \(f(x)=x+\frac{4}{x}\).
Nivel 2. Curvatura e inflexión
- Estudia concavidad, convexidad e inflexión de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).
- Estudia la curvatura de \(f(x)=x^4-4x^2\).
- Estudia los puntos de inflexión de \(f(x)=x^5\).
- Estudia la curvatura de \(f(x)=e^x-x^2\).
- Estudia la curvatura de \(f(x)=x^3-3x\).
Nivel 3. Tipo examen
- Estudia monotonía, extremos, curvatura e inflexión de \(f(x)=x^3-3x+2\).
- Estudia monotonía y extremos de \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\).
- Halla \(a\) para que \(f(x)=x^3+ax^2-3x\) tenga un extremo relativo en \(x=1\), y clasifica el extremo.
- Estudia los intervalos de crecimiento y concavidad de \(f(x)=\ln x-x\).
- Estudia completamente \(f(x)=x^4-4x^3\) en cuanto a monotonía, extremos y curvatura.
12. Soluciones rápidas
Estas soluciones son para comprobar. En examen, lo importante es justificar con derivadas y tablas de signos.
| Ejercicio | Resultado orientativo | Clave |
|---|---|---|
| 1 | Decrece en \((-\infty,3)\), crece en \((3,+\infty)\). Mínimo en \((3,-4)\). | \(f'(x)=2x-6\) |
| 2 | Máximo en \((1,4)\) y mínimo en \((3,0)\). | \(f'(x)=3(x-1)(x-3)\) |
| 3 | Mínimos en \((-1,-1)\) y \((1,-1)\). Máximo en \((0,0)\). | \(f'(x)=4x(x-1)(x+1)\) |
| 4 | Crece en \((-\infty,-1)\) y \((-1,+\infty)\). No tiene extremos. | \(f'(x)=\frac{3}{(x+1)^2}>0\) |
| 5 | Máximo en \((-2,-4)\) y mínimo en \((2,4)\). | Separar el dominio en \(x=0\) |
| 6 | Punto de inflexión en \((2,2)\). | \(f''(x)=6x-12\) |
| 7 | Inflexiones en \(\left(\pm\sqrt{\frac23},-\frac{20}{9}\right)\). | \(f''(x)=12x^2-8\) |
| 8 | Punto de inflexión en \((0,0)\). | \(f''(x)=20x^3\) cambia de signo |
| 9 | Inflexión en \(\left(\ln2,\,2-(\ln2)^2\right)\). | \(f''(x)=e^x-2\) |
| 10 | Punto de inflexión en \((0,0)\). | \(f''(x)=6x\) |
| 11 | Máximo en \((-1,4)\), mínimo en \((1,0)\) e inflexión en \((0,2)\). | \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) |
| 12 | Máximo en \(\left(1-\sqrt2,\,2-2\sqrt2\right)\) y mínimo en \(\left(1+\sqrt2,\,2+2\sqrt2\right)\). | Dominio \(x\neq1\) |
| 13 | \(a=0\). Mínimo relativo en \((1,-2)\). | Imponer \(f'(1)=0\) y estudiar el signo |
| 14 | Crece en \((0,1)\), decrece en \((1,+\infty)\), máximo en \((1,-1)\), sin inflexión. | \(f''(x)=-1/x^2\lt0\) |
| 15 | Mínimo en \((3,-27)\). Inflexiones en \((0,0)\) y \((2,-16)\). | \(f'(x)=4x^2(x-3)\), \(f''(x)=12x(x-2)\) |
13. Simulacro tipo PAU/EBAU
Tiempo recomendado: 60 minutos.
Criterio de resolución: las respuestas deben justificarse con derivadas, puntos críticos y tablas de signos, además del resultado final.
- Estudia monotonía y extremos relativos de: \[ f(x)=x^3-6x^2+9x+1 \]
- Estudia concavidad, convexidad y puntos de inflexión de: \[ f(x)=x^4-4x^2 \]
- Estudia crecimiento, decrecimiento y extremos de: \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x} \]
- Halla el valor de \(a\) para que: \[ f(x)=x^3+ax^2+3x \] tenga un punto crítico en \(x=1\), y decide si es máximo, mínimo o ninguno.
- Estudia monotonía, extremos y curvatura de: \[ f(x)=e^x-x \]
Criterio de corrección
| Parte | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Dominio | 1 punto | Especialmente en racionales, raíces y logaritmos |
| Primera derivada | 2 puntos | Cálculo correcto y factorización |
| Monotonía | 2 puntos | Tabla de signos de \(f'\) |
| Extremos | 2 puntos | Clasificación y coordenadas |
| Segunda derivada | 1,5 puntos | Cálculo y candidatos a inflexión |
| Curvatura e inflexión | 1,5 puntos | Tabla de signos de \(f''\) y conclusión |
Diagnóstico rápido si te equivocas
Has dicho máximo o mínimo solo porque \(f'(a)=0\). Falta mirar el cambio de signo de \(f'\) o aplicar bien el criterio de segunda derivada.
Has dicho punto de inflexión solo porque \(f''(a)=0\). Falta comprobar cambio de signo de \(f''\).
Tu tabla de signos no coincide con la gráfica mental. Comprueba la factorización de la derivada; ahí suele estar el fallo.
Has olvidado coordenadas. En extremos e inflexiones hay que dar el punto completo \((a,f(a))\), no solo el valor de \(x\).
Has incluido un punto que no pertenece al dominio. En racionales y logaritmos, esto pasa mucho. Primero dominio, luego derivadas.
14. Qué estudiar antes y después
Para aprovechar bien este recurso de 2.º de Bachillerato, conviene dominar previamente el cálculo de derivadas. Después puedes continuar con la recta tangente y normal, la representación completa de funciones y los problemas de optimización.
Límites y continuidad
El dominio, las discontinuidades y los intervalos condicionan el estudio de una función. Puedes reforzar esa base en límites y continuidad de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU.
Derivabilidad con parámetros
Cuando aparezcan funciones a trozos o parámetros, conviene practicar derivabilidad con parámetros en 2.º de Bachillerato.
Recta tangente y normal
La interpretación de la derivada como pendiente se trabaja en recta tangente y normal en 2.º de Bachillerato.
Representación de funciones
El paso siguiente es la representación completa de funciones, donde se integran dominio, cortes, asíntotas, monotonía y curvatura.
Optimización
Los extremos también aparecen en los problemas de optimización de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU, donde la función se construye a partir de un enunciado.
Guía de Matemáticas II PAU/EBAU
Para organizar el bloque completo puedes consultar la guía de Matemáticas II PAU/EBAU de Castilla y León.
Biblioteca de Matemáticas
La biblioteca de recursos educativos reúne materiales de Matemáticas, Física y Química por niveles y temas.
Monotonía, extremos y curvatura son el puente entre derivar y entender una gráfica. Cuando el alumno domina las tablas de signos y sabe interpretar \(f'\) y \(f''\), la representación de funciones y la optimización dejan de ser una colección de trucos.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de Bachillerato que necesitan entender cómo se usan la primera y la segunda derivada para estudiar crecimiento, decrecimiento, extremos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
15. Preguntas frecuentes sobre monotonía, extremos y curvatura
¿Cómo se estudia la monotonía de una función?
Se estudia con la primera derivada. Si \(f'(x)>0\), la función crece. Si \(f'(x)\lt0\), la función decrece.
¿Cuándo hay un máximo relativo?
Hay un máximo relativo cuando la función pasa de crecer a decrecer. En la tabla de signos, eso se ve cuando \(f'\) cambia de positivo a negativo.
¿Cuándo hay un mínimo relativo?
Hay un mínimo relativo cuando la función pasa de decrecer a crecer. En la tabla de signos, eso se ve cuando \(f'\) cambia de negativo a positivo.
¿Para qué sirve la segunda derivada?
La segunda derivada sirve para estudiar la curvatura de la función y para ayudar a clasificar extremos en algunos casos.
¿Cuándo hay un punto de inflexión?
Hay un punto de inflexión cuando la función cambia de curvatura. Normalmente se buscan candidatos resolviendo \(f''(x)=0\), pero después hay que comprobar que \(f''\) cambia de signo.
¿Basta con que \(f'(a)=0\) para que haya extremo?
No. Que \(f'(a)=0\) solo indica un punto crítico. Para que haya extremo debe cambiar el signo de \(f'\), o debe aplicarse correctamente otro criterio válido.
¿Basta con que \(f''(a)=0\) para que haya inflexión?
No. Es necesario que la segunda derivada cambie de signo al pasar por \(a\).