Derivabilidad con parámetros 2 Bachillerato PAU/EBAU: continuidad, sistemas y ejercicios resueltos

El dominio es $\mathbb{R}$. Cada expresión es continua en su intervalo, de modo que solo hay que comprobar la unión. El segundo tramo contiene el punto, por lo que $f(1)=4$.

Para que los dos límites coincidan con el valor de la función, exigimos $a+2=4$. Así obtenemos $a=2$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Como la derivabilidad exige continuidad, empezamos igualando los valores en la unión. Después igualamos las pendientes de los tramos, que son $a$ y $2x$.

Al sustituir $a=4$ en la primera ecuación resulta $8+b=3$, luego $b=-5$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Antes de derivar, comprobamos si los parámetros pueden hacer continua la función.

La condición de continuidad sería $0=1$. No depende de $a$ ni de $b$ y es imposible. Por ello no existen valores que hagan derivable la función en el origen.

El dominio es $\mathbb{R}$. En $x=1$, el tramo derecho fija el valor 4 y la pendiente 3. El izquierdo debe llegar al mismo valor y con esa misma pendiente.

La segunda ecuación da $a=1$. En la primera queda $1+1+b=4$, por lo que $b=2$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Al sustituir $x=-1$, el cuadrado vale 1, pero la derivada del primer tramo es $2ax$ y conserva el signo del punto.

De $-2a=2$ sale $a=-1$. Entonces $-1+b=1$, luego $b=2$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Como 0 pertenece al primer tramo, $f(0)=c=2$. En la unión pedimos el mismo valor y la misma pendiente.

Al sustituir $c=2$ quedan $a+b=2$ y $2a+b=5$. Restando ambas ecuaciones obtenemos $a=3$; después $b=-1$.

El dominio es $\mathbb{R}$. El origen está en el interior del primer tramo, donde $f^{\prime }(x)=2ax+b$; así que $f^{\prime }(0)=1$ equivale a $b=1$.

La última ecuación da $4a+1=4$, luego $a=\frac{3}{4}$. En continuidad resulta $3+2+c=7$, de donde $c=2$.

El dominio es $\mathbb{R}$. En el origen, el valor pertenece al tramo central. En 1 lo da el último tramo. Comprobamos cada unión por separado.

Como $a=b$, la segunda ecuación se reduce a $2a=2$. Por tanto $a=b=1$. El enunciado solo pide continuidad, así que no añadimos ecuaciones de pendientes.

El dominio es $\mathbb{R}$. Cada tramo es polinómico y solo hay que imponer condiciones en los dos puntos de unión.

En $0$, el valor pertenece al tramo central. La continuidad da $c=b$. En $1$, el valor lo da el último tramo y la continuidad exige $a+b=3$.

Para la derivabilidad en $1$, igualamos las pendientes de las ramas, que son regulares hasta ese punto.

El sistema queda resuelto por sustitución.

El dominio es $\mathbb{R}$. Como $0<1$, el valor y la pendiente en $0$ se calculan con el polinomio.

La derivabilidad en $1$ requiere continuidad y coincidencia de las derivadas laterales.

Las tres primeras condiciones obligan a $a=2$. Entonces la pendiente izquierda en $1$ es $2\cdot 2+2=6$, mientras que la derecha es $2$. No coinciden, de modo que no existe ninguna terna que satisfaga todo el enunciado.

La raíz requiere $x\ge -1$. El dominio real de la función es $[-1,\mathrm{\infty })$, y $0$ es un punto interior de ese dominio.

En el origen, el segundo tramo da $f(0)=1$. La continuidad impone

La rama con raíz es derivable cerca de $0$, pues allí $x+1>0$. Tras imponer continuidad, sus pendientes laterales son

Por tanto, $a=4$ y, al sustituir en continuidad, $b=-3$.

El dominio es $\mathbb{R}$. La continuidad exige que ambos límites sean el valor aislado $f(3)=10$.

La condición derecha ya se cumple. Para derivar en $3$, usamos los cocientes incrementales de las ramas laterales, no la derivada de un supuesto tramo constante.

Una vez ajustada la continuidad, la pendiente izquierda es $a$, y la derecha es $2\cdot 3=6$. Así,

El dominio es $\mathbb{R}$. El valor $f(0)=0$ coincide con los dos límites para cualquier $a$, de modo que la continuidad no restringe el parámetro.

En el semieje derecho, $|x|=x$. Los cocientes incrementales en el origen son

La derivada existe si y solo si coinciden esos límites. Se obtiene $a=1$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Ahora $f(1)=a+b$ lo da el primer tramo. La continuidad compara ese valor con el límite derecho.

Ambas ramas son polinómicas y regulares hasta la unión. Con continuidad ya impuesta, las derivadas laterales son $2a$ y $2$.

El dominio es $\mathbb{R}$, pues el cociente solo se usa para $x>0$. El argumento del seno se expresa en radianes.

Continuidad. El valor $f(0)=b$ lo da la primera rama. Por la derecha,

Se ha aplicado L’Hôpital a una indeterminación $\frac{0}{0}$. Así, $b=1$.

Derivabilidad. La rama izquierda da $f_{-}^{\prime }(0)=a$. Para la derecha calculamos el cociente incremental con el valor ya ajustado $f(0)=1$.

Numerador y denominador son derivables para $h>0$, y la derivada del denominador no se anula allí. Dos aplicaciones de L’Hôpital, ambas con forma $\frac{0}{0}$, dan

Igualamos las pendientes laterales y obtenemos $a=\frac{1}{2}$, junto con $b=1$. La definición evita sustituir $x=0$ en un cociente que solo corresponde a $x>0$.

El logaritmo exige $x>0$. El dominio de la función es $(0,+\mathrm{\infty })$, y ambas ramas son derivables en sus intervalos.

En la unión, $f(1)=1$. El límite izquierdo vale $a\ln 1+b=b$, de modo que la continuidad exige $b=1$.

Las pendientes de las ramas son $\frac{a}{x}$ y $e^{x-1}$. En $x=1$, la condición es $a=1$. Con $a=b=1$, la pendiente común vale 1 y la tangente es

El dominio total es $\mathbb{R}$: el cociente solo se usa cuando $x<2$, y el punto 2 tiene su valor propio. Para $x\ne 2$,

La continuidad obliga a que los tres valores coincidan:

Una vez fijado $c=5$, calculamos con $h\ne 0$:

En el segundo límite usamos $2a+b=5$. La igualdad de pendientes da $a=1$, y entonces $b=3$, $c=5$.

El dominio es $\mathbb{R}$: en la rama izquierda, $-x>0$. Los dos límites en 0 y $f(0)$ valen 0 para cualquier $a,b$. Por tanto, la función siempre es continua en la unión.

La continuidad no asegura una pendiente finita. Para $h<0$, el cociente incremental es

Si $a\ne 0$, no tiene límite finito. Es necesario $a=0$, y entonces la derivada izquierda vale $b$. Por la derecha,

La igualdad de derivadas exige también $b=0$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Las ramas son polinomios. En la unión, las condiciones de valor y pendiente son

La segunda ecuación no se resuelve dividiendo por $a$, porque perderíamos $a=0$. Factorizamos:

Si $a=0$, la continuidad da $b=2$. Si $a=2$, da $4+b=4$, luego $b=0$. Los dos pares son $(0,2)$ y $(2,0)$.

El valor en la unión corresponde a la primera rama: $f(c)=c^2=4$. La condición $c>0$ selecciona $c=2$; la raíz $-2$ no es admisible.

La continuidad y la igualdad de pendientes se escriben, antes de sustituir, como

Como $c=2$, la segunda igualdad da $a=8$, y la primera da $b=4-8\ln 2$. El dominio total es $\mathbb{R}$: el polinomio cubre $x\le 2$, y el logaritmo solo se utiliza para $x>2$.

Los tres tramos son polinomios. Solo hay que revisar las uniones 0 y 1; el dominio es $\mathbb{R}$.

En 0, continuidad da $c=0$, e igualdad de pendientes da $b=0$. En 1, las condiciones son

Al sustituir $b=c=0$, ambas conducen a $a=2$. Por tanto, $a=2$, $b=0$, $c=0$. Tenemos cuatro condiciones, pero una resulta redundante al resolverlas; no hay contradicción por tener más ecuaciones que parámetros.

El dominio es $\mathbb{R}$. Continuidad y derivabilidad en 1 exigen

Restando ambas ecuaciones, $2a+b=0$. Así, todos los casos derivables forman la familia

Para estudiar $f^{″}(1)$, ahora analizamos la derivabilidad de $f^{\prime }$. En esta familia, $f^{\prime }$ es continua en 1. Sus pendientes laterales son $6a+2b=2a$ y 2. Coinciden exactamente cuando $a=1$, de donde $b=-2$, $c=3$.

El dominio es $\mathbb{R}$. Como $|x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)|\le x^2$, el límite de $f(x)$ en 0 es 0. La continuidad exige $a=0$.

La derivada en la unión se calcula por definición:

pues el valor absoluto del cociente es como máximo $|h|$. Para $x\ne 0$, la regla del producto y la cadena dan

Tomamos dos sucesiones, con $n\ge 1$, que tienden a 0:

Se obtiene $f^{\prime }(x_n)=-1$ y $f^{\prime }(y_n)=1$. La derivada no tiene límite en 0, aunque $f^{\prime }(0)$ sí existe. Esta ampliación distingue derivabilidad de continuidad de la función derivada.