Marlu Educativa, Matemáticas, PAU y EBAU

Derivabilidad con parámetros 2 Bachillerato PAU/EBAU: continuidad, sistemas y ejercicios resueltos

Publicado por author-avatar

Derivabilidad con parámetros en 2 Bachillerato: continuidad, sistemas y ejercicios tipo PAU/EBAU

Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.

Los ejercicios de derivabilidad con parámetros parecen, a primera vista, ejercicios de derivadas. Pero el alumno que los resuelve bien sabe que el verdadero trabajo está antes: mirar el punto de cambio, imponer continuidad, imponer derivabilidad y traducir cada condición en una ecuación.

Cuando hay un parámetro, normalmente sale una ecuación. Cuando hay dos parámetros, suele salir un sistema. Y cuando el enunciado añade una condición inicial del tipo \(f(0)=3\), \(f(1)=2\), \(f'(0)=5\) o que la tangente tenga cierta pendiente, aparece una tercera ecuación. Ahí es donde muchos alumnos se bloquean, no porque el ejercicio sea imposible, sino porque no han ordenado la información.

Frontera del recurso: este bloque se centra en derivabilidad con parámetros, especialmente en funciones a trozos. Para límites, continuidad básica y asíntotas, conviene repasar antes el recurso de límites y continuidad. Para estudio completo de gráficas, crecimiento y extremos, este recurso enlaza después con representación de funciones y optimización.

Derivabilidad Parámetros 2 Bachillerato PAU/EBAU Funciones a trozos Sistemas de ecuaciones

Si este tipo de ejercicios se te atasca, no suele ser por la derivada. Suele ser por no separar bien continuidad, derivabilidad y condiciones adicionales. En Marlu Educativa trabajamos estos problemas con orden, porque en PAU/EBAU un planteamiento limpio puede valer medio ejercicio.

Matemáticas online Bachillerato y PAU Clases online Prematrícula

Índice del recurso

1. Qué pide un ejercicio de derivabilidad con parámetros

Un ejercicio de este tipo suele darte una función definida a trozos. En uno o varios trozos aparecen parámetros, por ejemplo \(a\), \(b\), \(c\) o \(m\). El enunciado pide encontrar esos parámetros para que la función sea continua, derivable o cumpla alguna condición adicional.

\[ f(x)= \begin{cases} ax+b & \text{si } x<1\\ x^2+2 & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

El punto delicado es el punto donde cambia la definición. En este ejemplo, el punto delicado es \(x=1\). A la izquierda se usa un trozo y a la derecha se usa otro. Si el alumno no mira bien qué trozo corresponde a cada lado, el ejercicio se desordena enseguida.

Idea central: para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en ese punto. La derivabilidad es una condición más fuerte que la continuidad.

La cadena correcta

En una función a trozos con parámetros, el orden razonable es este:

\[ \text{continuidad} \longrightarrow \text{derivabilidad} \longrightarrow \text{condición adicional} \]

Si el enunciado solo pide continuidad, no hace falta derivar. Si pide derivabilidad, hay que hacer continuidad y derivabilidad. Si además da una condición inicial, habrá que añadir una ecuación más.

2. Método paso a paso

Este método sirve para la mayoría de ejercicios de derivabilidad con parámetros en 2 Bachillerato. Es muy mecánico, pero no conviene hacerlo de memoria. Conviene entender qué significa cada línea.

  1. Localiza los puntos de cambio. Son los valores de \(x\) donde la función cambia de expresión.
  2. Calcula el valor por la izquierda. Usa el trozo que corresponde a \(x
  3. Calcula el valor por la derecha o el valor de la función. Usa el trozo que corresponde a \(x\ge p\), \(x>p\) o el que indique el enunciado.
  4. Impón continuidad. Igualas los valores laterales y obtienes una ecuación.
  5. Deriva cada trozo por separado. No derives la función completa como si fuera una sola expresión.
  6. Impón derivabilidad. Igualas las derivadas laterales en el punto de cambio.
  7. Añade condiciones extra. Si aparece \(f(0)=2\), \(f'(1)=4\), una tangente o un valor inicial, eso genera otra ecuación.
  8. Resuelve el sistema. Puede ser de dos ecuaciones con dos incógnitas o de tres ecuaciones con tres incógnitas.
  9. Revisa. Sustituye los parámetros encontrados y comprueba que las condiciones se cumplen.

3. Continuidad en funciones a trozos

Para que una función sea continua en \(x=p\), debe ocurrir que el valor al que llega por la izquierda coincida con el valor al que llega por la derecha y con el valor de la función.

\[ \lim_{x\to p^-} f(x)=f(p)=\lim_{x\to p^+} f(x) \]

En funciones a trozos de examen, esto suele traducirse en igualar el trozo izquierdo y el trozo derecho en el punto de cambio.

\[ f_1(p)=f_2(p) \]

Por ejemplo:

\[ f(x)= \begin{cases} ax+1 & \text{si } x<2\\ x^2+b & \text{si } x\ge 2 \end{cases} \]

La continuidad en \(x=2\) exige:

\[ 2a+1=4+b \]

Esta es solo una ecuación. Si hay dos parámetros, todavía falta otra condición. Ahí entra la derivabilidad.

4. Derivabilidad y derivadas laterales

Para que una función sea derivable en \(x=p\), deben coincidir sus derivadas laterales:

\[ f'_-(p)=f'_+(p) \]

Esto significa derivar cada trozo por separado y luego sustituir el punto de cambio. No se deriva el resultado de la continuidad. No se deriva una igualdad que solo vale en un punto. Se derivan los trozos.

Error muy habitual: imponer continuidad, obtener una ecuación y después derivar esa ecuación. Eso no tiene sentido. La derivabilidad se impone derivando cada expresión de la función, no derivando la condición de continuidad.

Siguiendo el ejemplo anterior:

\[ f_1(x)=ax+1 \Rightarrow f_1'(x)=a \] \[ f_2(x)=x^2+b \Rightarrow f_2'(x)=2x \]

En \(x=2\):

\[ a=4 \]

Esta sería la ecuación de derivabilidad. Junto con la continuidad permite hallar \(a\) y \(b\).

5. Cuándo aparece un sistema de ecuaciones

El sistema aparece cuando hay varios parámetros y varias condiciones. No hay que tenerle miedo. En realidad, el sistema es una señal buena: significa que el ejercicio está bien planteado.

Situación Condiciones Resultado habitual
Un parámetro Solo continuidad Una ecuación con una incógnita
Dos parámetros Continuidad y derivabilidad Sistema de dos ecuaciones
Tres parámetros Continuidad, derivabilidad y condición adicional Sistema de tres ecuaciones
Dos puntos de cambio Continuidad en dos puntos, derivabilidad en uno o dos Sistema más largo

El alumno que intenta resolver todo mentalmente se pierde. El alumno que nombra cada condición como ecuación 1, ecuación 2 y ecuación 3 suele llegar bastante más lejos.

6. La tercera ecuación: condición inicial, tangente o valor añadido

En algunos ejercicios de nivel alto, el enunciado no se queda en “continua y derivable”. Añade una condición extra. Por ejemplo:

Condición de valor

\(f(0)=3\), \(f(2)=5\), \(f(-1)=0\)

Condición de pendiente

\(f'(0)=4\), o la tangente en un punto tiene pendiente 2

Condición geométrica

La tangente pasa por un punto, o la función corta al eje en cierto valor

Esta condición adicional genera otra ecuación. Si hay tres parámetros, esa tercera ecuación suele ser necesaria para cerrar el sistema.

\[ \begin{cases} \text{continuidad}\\ \text{derivabilidad}\\ \text{condición adicional} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \text{ecuación 1}\\ \text{ecuación 2}\\ \text{ecuación 3} \end{cases} \]

7. Errores frecuentes

Olvidar la continuidad

Una función no puede ser derivable en un punto si antes no es continua en ese punto. Muchos alumnos empiezan por la derivada y se saltan media solución.

Usar el tramo incorrecto

Si el punto es \(x=1\), hay que mirar qué expresión corresponde a la izquierda y cuál a la derecha. No siempre el signo \(<\), \(\le\), \(>\) o \(\ge\) está colocado igual.

Derivar la ecuación de continuidad

La derivabilidad no se obtiene derivando la igualdad de continuidad. Se obtiene derivando cada trozo de la función.

No resolver el sistema completo

Si aparecen \(a\), \(b\) y \(c\), hacen falta tres ecuaciones independientes. Si solo tienes dos, algo falta o el problema tiene infinitas soluciones.

No comprobar al final

Conviene sustituir los parámetros y comprobar continuidad y derivabilidad. Es una revisión rápida y evita errores de signo.

Confundir \(f(p)\) con el límite

El valor de la función depende del trozo que incluya el punto. El límite depende de lo que ocurre al acercarse desde ambos lados.

8. Ejercicios resueltos paso a paso

Los ejercicios están ordenados de menos a más. Primero continuidad, después derivabilidad, luego sistemas y por último condiciones adicionales con tres ecuaciones. El objetivo no es memorizar, sino ver el patrón.

Ejercicio 1. Un parámetro solo con continuidad

Enunciado. Halla \(a\) para que la función sea continua en \(x=1\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax+2 & \text{si } x<1\\ x^2+3 & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

El punto de cambio es \(x=1\).

Valor por la izquierda:

\[ f_1(1)=a\cdot1+2=a+2 \]

Valor por la derecha:

\[ f_2(1)=1^2+3=4 \]

Para continuidad:

\[ a+2=4 \] \[ a=2 \]

Resultado. \(a=2\).

Ejercicio 2. Dos parámetros: continuidad y derivabilidad

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=2\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax+b & \text{si } x<2\\ x^2-1 & \text{si } x\ge 2 \end{cases} \]

Si queremos derivabilidad, primero imponemos continuidad.

Continuidad

\[ 2a+b=2^2-1=3 \] \[ 2a+b=3 \]

Derivabilidad

Derivamos cada tramo:

\[ f_1'(x)=a \] \[ f_2'(x)=2x \]

En \(x=2\):

\[ a=4 \]

Sistema

\[ \begin{cases} 2a+b=3\\ a=4 \end{cases} \]

Sustituimos \(a=4\):

\[ 2\cdot4+b=3 \] \[ b=-5 \]

Resultado. \(a=4\), \(b=-5\).

Ejercicio 3. Derivabilidad en \(x=0\) con parámetro en el segundo tramo

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\):

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+ax & \text{si } x<0\\ bx+1 & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]

Continuidad

Por la izquierda:

\[ f_1(0)=0^2+a\cdot0=0 \]

Por la derecha:

\[ f_2(0)=b\cdot0+1=1 \]

La continuidad exigiría:

\[ 0=1 \]

Esto es imposible.

Resultado. No existen valores de \(a\) y \(b\) que hagan derivable la función en \(x=0\), porque ni siquiera puede ser continua.

Comentario de profesor. Este tipo de ejercicio es muy bueno para examen. No siempre hay solución. Hay que atreverse a decirlo cuando la continuidad da una contradicción.

Ejercicio 4. Dos parámetros con parábola y recta

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\):

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+ax+b & \text{si } x<1\\ 3x+1 & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

Continuidad

\[ 1^2+a\cdot1+b=3\cdot1+1 \] \[ 1+a+b=4 \] \[ a+b=3 \]

Derivabilidad

Derivamos los tramos:

\[ f_1'(x)=2x+a \] \[ f_2'(x)=3 \]

En \(x=1\):

\[ 2+a=3 \] \[ a=1 \]

Entonces:

\[ a+b=3 \] \[ 1+b=3 \] \[ b=2 \]

Resultado. \(a=1\), \(b=2\).

Ejercicio 5. Dos parámetros y punto de cambio negativo

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=-1\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax^2+b & \text{si } x<-1\\ 2x+3 & \text{si } x\ge -1 \end{cases} \]

Continuidad

\[ a(-1)^2+b=2(-1)+3 \] \[ a+b=1 \]

Derivabilidad

\[ f_1'(x)=2ax \] \[ f_2'(x)=2 \]

En \(x=-1\):

\[ -2a=2 \] \[ a=-1 \]

Sustituimos en continuidad:

\[ -1+b=1 \] \[ b=2 \]

Resultado. \(a=-1\), \(b=2\).

Ejercicio 6. Tres parámetros con condición inicial

Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\) y además \(f(0)=2\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax^2+bx+c & \text{si } x<1\\ x^2+3x & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

Condición inicial

Como \(0<1\), usamos el primer tramo:

\[ f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c \]

El enunciado dice \(f(0)=2\), luego:

\[ c=2 \]

Continuidad en \(x=1\)

\[ a+b+c=1^2+3\cdot1=4 \] \[ a+b+c=4 \]

Derivabilidad en \(x=1\)

\[ f_1'(x)=2ax+b \] \[ f_2'(x)=2x+3 \]

En \(x=1\):

\[ 2a+b=5 \]

Sistema

\[ \begin{cases} c=2\\ a+b+c=4\\ 2a+b=5 \end{cases} \]

Sustituimos \(c=2\):

\[ a+b+2=4 \] \[ a+b=2 \]

Resolvemos:

\[ \begin{cases} a+b=2\\ 2a+b=5 \end{cases} \]

Restamos la primera ecuación a la segunda:

\[ a=3 \]

Entonces:

\[ 3+b=2 \] \[ b=-1 \]

Resultado. \(a=3\), \(b=-1\), \(c=2\).

Ejercicio 7. Tres parámetros con \(f'(0)=1\)

Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=2\) y se cumpla \(f'(0)=1\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax^2+bx+c & \text{si } x<2\\ 4x-1 & \text{si } x\ge 2 \end{cases} \]

Condición adicional

Como \(0<2\), usamos el primer tramo.

\[ f_1'(x)=2ax+b \] \[ f'(0)=b \]

El enunciado dice \(f'(0)=1\), luego:

\[ b=1 \]

Continuidad en \(x=2\)

\[ 4a+2b+c=4\cdot2-1=7 \] \[ 4a+2b+c=7 \]

Derivabilidad en \(x=2\)

\[ f_1'(2)=4a+b \] \[ f_2'(x)=4 \]

Por derivabilidad:

\[ 4a+b=4 \]

Sistema

\[ \begin{cases} b=1\\ 4a+2b+c=7\\ 4a+b=4 \end{cases} \]

Sustituimos \(b=1\):

\[ 4a+1=4 \] \[ a=\frac34 \]

Ahora en la ecuación de continuidad:

\[ 4\cdot\frac34+2\cdot1+c=7 \] \[ 3+2+c=7 \] \[ c=2 \]

Resultado. \(a=\frac34\), \(b=1\), \(c=2\).

Ejercicio 8. Parámetros con dos puntos de cambio

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua en \(x=0\) y \(x=1\):

\[ f(x)= \begin{cases} x+a & \text{si } x<0\\ ax+b & \text{si } 0\le x<1\\ x^2+1 & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

Continuidad en \(x=0\)

Por la izquierda:

\[ f_1(0)=0+a=a \]

Por la derecha:

\[ f_2(0)=a\cdot0+b=b \]

Primera ecuación:

\[ a=b \]

Continuidad en \(x=1\)

Desde el segundo tramo:

\[ f_2(1)=a+b \]

Desde el tercer tramo:

\[ f_3(1)=1^2+1=2 \]

Segunda ecuación:

\[ a+b=2 \]

Sistema

\[ \begin{cases} a=b\\ a+b=2 \end{cases} \]

Como \(a=b\), entonces:

\[ 2a=2 \] \[ a=1 \] \[ b=1 \]

Resultado. \(a=1\), \(b=1\).

Ejercicio 9. Dos puntos de cambio y derivabilidad en uno

Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\) y \(x=1\), y derivable en \(x=1\):

\[ f(x)= \begin{cases} x+c & \text{si } x<0\\ ax+b & \text{si } 0\le x<1\\ x^2+2x & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

Continuidad en \(x=0\)

\[ c=b \]

Continuidad en \(x=1\)

\[ a+b=1^2+2\cdot1=3 \] \[ a+b=3 \]

Derivabilidad en \(x=1\)

\[ f_2'(x)=a \] \[ f_3'(x)=2x+2 \]

En \(x=1\):

\[ a=4 \]

Sistema

\[ \begin{cases} c=b\\ a+b=3\\ a=4 \end{cases} \]

Entonces:

\[ 4+b=3 \] \[ b=-1 \] \[ c=-1 \]

Resultado. \(a=4\), \(b=-1\), \(c=-1\).

Ejercicio 10. Condición de tangente con pendiente dada

Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\), cumpla \(f(0)=1\) y la pendiente de la tangente en \(x=0\) sea 2:

\[ f(x)= \begin{cases} ax^2+bx+c & \text{si } x<1\\ 2x+3 & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

Condición \(f(0)=1\)

\[ f(0)=c=1 \]

Condición de pendiente en \(x=0\)

La pendiente de la tangente es la derivada.

\[ f_1'(x)=2ax+b \] \[ f_1'(0)=b \]

Como la pendiente es 2:

\[ b=2 \]

Continuidad en \(x=1\)

\[ a+b+c=2\cdot1+3=5 \]

Sustituimos \(b=2\), \(c=1\):

\[ a+2+1=5 \] \[ a=2 \]

Derivabilidad en \(x=1\)

Comprobamos si el valor obtenido cumple derivabilidad:

\[ f_1'(1)=2a+b=2\cdot2+2=6 \] \[ f_2'(x)=2 \]

Para derivabilidad exigiríamos \(6=2\), lo cual es falso.

Resultado. No existen valores de \(a\), \(b\) y \(c\) que cumplan todas las condiciones.

Comentario. Este ejercicio es importante porque enseña que no siempre el sistema es compatible. Las condiciones pueden contradecirse.

Ejercicio 11. Tres parámetros con sistema compatible

Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\), y además \(f(0)=2\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax^2+bx+c & \text{si } x<1\\ 5x-1 & \text{si } x\ge 1 \end{cases} \]

Condición inicial

\[ f(0)=c=2 \]

Continuidad

\[ a+b+c=5\cdot1-1=4 \]

Como \(c=2\):

\[ a+b=2 \]

Derivabilidad

\[ f_1'(x)=2ax+b \] \[ f_2'(x)=5 \]

En \(x=1\):

\[ 2a+b=5 \]

Sistema

\[ \begin{cases} a+b=2\\ 2a+b=5 \end{cases} \]

Restamos:

\[ a=3 \]

Entonces:

\[ 3+b=2 \] \[ b=-1 \]

Resultado. \(a=3\), \(b=-1\), \(c=2\).

Ejercicio 12. Con raíz en un tramo y derivabilidad en el punto

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\):

\[ f(x)= \begin{cases} a\sqrt{x+1}+b & \text{si } x<0\\ x^2+2x+1 & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]

Continuidad

Por la izquierda:

\[ a\sqrt{0+1}+b=a+b \]

Por la derecha:

\[ 0^2+2\cdot0+1=1 \]

Primera ecuación:

\[ a+b=1 \]

Derivabilidad

\[ f_1'(x)=a\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \] \[ f_2'(x)=2x+2 \]

En \(x=0\):

\[ \frac{a}{2}=2 \] \[ a=4 \]

Sustituimos:

\[ 4+b=1 \] \[ b=-3 \]

Resultado. \(a=4\), \(b=-3\).

Ejercicio 13. Con valor de la función en el punto de unión

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable en \(x=3\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax+b & \text{si } x<3\\ 10 & \text{si } x=3\\ x^2+1 & \text{si } x>3 \end{cases} \]

Continuidad

Para ser continua en \(x=3\), el límite por ambos lados y el valor de la función deben ser 10.

Por la derecha:

\[ 3^2+1=10 \]

Encaja con \(f(3)=10\).

Por la izquierda:

\[ 3a+b=10 \]

Derivabilidad

\[ f_1'(x)=a \] \[ f_3'(x)=2x \]

En \(x=3\):

\[ a=6 \]

Sustituimos en continuidad:

\[ 3\cdot6+b=10 \] \[ b=-8 \]

Resultado. \(a=6\), \(b=-8\).

Ejercicio 14. Derivabilidad imposible por cúspide

Enunciado. Halla \(a\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax & \text{si } x<0\\ |x| & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]

Continuidad

Por la izquierda:

\[ a\cdot0=0 \]

Por la derecha:

\[ |0|=0 \]

La función es continua para cualquier \(a\).

Derivabilidad

Para \(x<0\):

\[ f_1'(x)=a \]

Para \(x>0\), \(|x|=x\), luego:

\[ f_2'(x)=1 \]

Imponemos derivabilidad:

\[ a=1 \]

Resultado. \(a=1\).

Comentario. Si el segundo tramo hubiera sido \(|x|\) a ambos lados sin poder ajustar la pendiente izquierda, aparecería la cúspide típica. Aquí el parámetro sí permite igualar pendientes.

Ejercicio 15. Parámetro en el punto de unión y derivada lateral

Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\):

\[ f(x)= \begin{cases} ax^2+b & \text{si } x\le 1\\ 2x+a & \text{si } x>1 \end{cases} \]

Aquí el valor en \(x=1\) pertenece al primer tramo, pero para continuidad hay que comparar igualmente ambos lados.

Continuidad

\[ a+b=2+a \] \[ b=2 \]

Derivabilidad

\[ f_1'(x)=2ax \] \[ f_2'(x)=2 \]

En \(x=1\):

\[ 2a=2 \] \[ a=1 \]

Resultado. \(a=1\), \(b=2\).

9. Ejercicios para practicar

Hazlos con el mismo orden: punto de cambio, continuidad, derivabilidad, condición adicional si existe y sistema. No saltes pasos.

Nivel 1. Continuidad

  1. Halla \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+1 & x<2\\ x^2 & x\ge2 \end{cases}\) sea continua en \(x=2\).
  2. Halla \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases} x+a & x<0\\ 3x+2 & x\ge0 \end{cases}\) sea continua en \(x=0\).
  3. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+b & x<1\\ 4 & x\ge1 \end{cases}\) sea continua en \(x=1\). ¿Hay una única solución?
  4. Estudia si puede ser continua en \(x=0\) la función \(f(x)=\begin{cases} x^2+a & x<0\\ 1 & x\ge0 \end{cases}\).
  5. Halla \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+1 & x<1\\ 5 & x\ge1 \end{cases}\) sea continua en \(x=1\).

Nivel 2. Continuidad y derivabilidad

  1. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+b & x<1\\ x^2+2 & x\ge1 \end{cases}\) sea derivable en \(x=1\).
  2. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} x^2+ax+b & x<2\\ 3x+1 & x\ge2 \end{cases}\) sea derivable en \(x=2\).
  3. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+b & x<-1\\ x+2 & x\ge-1 \end{cases}\) sea derivable en \(x=-1\).
  4. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} a\sqrt{x+4}+b & x<0\\ x+2 & x\ge0 \end{cases}\) sea derivable en \(x=0\).
  5. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+b & x\le3\\ x^2-2 & x>3 \end{cases}\) sea derivable en \(x=3\).

Nivel 3. Sistemas con tres condiciones

  1. Halla \(a\), \(b\), \(c\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+bx+c & x<1\\ 4x-1 & x\ge1 \end{cases}\) sea derivable en \(x=1\) y \(f(0)=2\).
  2. Halla \(a\), \(b\), \(c\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+bx+c & x<2\\ 5x+1 & x\ge2 \end{cases}\) sea derivable en \(x=2\) y \(f'(0)=3\).
  3. Halla \(a\), \(b\), \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\), \(f(0)=1\) y \(f'(0)=2\), si el tramo izquierdo es \(ax^2+bx+c\) y el derecho es \(x^2+2x+1\).
  4. Construye una función a trozos con dos parámetros que sea continua pero no derivable en \(x=1\).
  5. Construye una función a trozos con tres parámetros que sea derivable en \(x=2\) y cumpla una condición inicial.

10. Soluciones rápidas

Estas soluciones sirven para corregir. Si un resultado no coincide, revisa primero continuidad y después derivabilidad. Casi siempre el error está ahí.

Ejercicio Resultado orientativo Clave
1\(a=\frac32\)Continuidad en \(x=2\)
2\(a=2\)Valor por la izquierda y derecha en \(0\)
3\(a+b=4\)Infinitas soluciones
4\(a=1\)Igualar con el valor del segundo tramo
5\(a=4\)\(a+1=5\)
6\(a=2\), \(b=1\)Continuidad y pendiente
7\(a=-1\), \(b=6\)Derivada izquierda igual a 3
8\(a=-\frac12\), \(b=\frac32\)Punto de cambio negativo
9\(a=4\), \(b=-6\)Derivar la raíz con cuidado
10\(a=6\), \(b=-11\)Derivabilidad en \(x=3\)
11\(a=2\), \(b=0\), \(c=2\)Tres ecuaciones
12\(a=\frac14\), \(b=3\), \(c\) según continuidadCondición \(f'(0)=3\)
13Depende de cómo se defina exactamente el punto \(x=0\)Hay que fijar bien los signos \(<\), \(\le\)
14Respuesta abiertaDebe cumplir continuidad y romper pendiente
15Respuesta abiertaDebe generar sistema compatible

11. Simulacro final tipo PAU/EBAU

Tiempo recomendado: 45 minutos.

Instrucción: no basta con dar los parámetros. Hay que justificar continuidad y derivabilidad.

  1. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\): \[ f(x)= \begin{cases} ax+b & x<1\\ x^2+2x & x\ge1 \end{cases} \]
  2. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que la función sea derivable en \(x=2\) y cumpla \(f(0)=1\): \[ f(x)= \begin{cases} ax^2+bx+c & x<2\\ 3x+4 & x\ge2 \end{cases} \]
  3. Estudia si existen valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=0\): \[ f(x)= \begin{cases} ax^2+b & x<0\\ x+1 & x\ge0 \end{cases} \]
  4. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\), derivable en \(x=1\) y cumpla \(f(0)=2\): \[ f(x)= \begin{cases} x+c & x<0\\ ax+b & 0\le x<1\\ x^2+1 & x\ge1 \end{cases} \]

Criterio de corrección

Parte Puntuación Qué se valora
Identificación del punto de cambio1 puntoSaber dónde hay que estudiar continuidad y derivabilidad
Continuidad2 puntosIgualar correctamente los valores laterales
Derivabilidad2 puntosDerivar cada tramo e igualar derivadas laterales
Condiciones adicionales2 puntosConvertir \(f(0)\), \(f'(0)\) o tangente en ecuación
Sistema y resultado2 puntosResolver sin errores de signo
Revisión1 puntoComprobar que los parámetros cumplen las condiciones

Diagnóstico rápido si te equivocas

Te falta una ecuación. Seguramente has olvidado continuidad, derivabilidad o la condición adicional del enunciado.

Te sale una contradicción. Puede ser que no haya solución. No fuerces el ejercicio. Comprueba si las condiciones son incompatibles.

Te salen infinitas soluciones. Puede faltar una condición o puede que el enunciado solo pida continuidad con demasiados parámetros.

Te cambia el resultado al revisar. Probablemente usaste mal el tramo de \(x=p\). Mira si el punto entra en el tramo izquierdo o derecho.

12. Qué estudiar antes y después

Este recurso debe quedar colocado dentro del bloque de análisis de 2 Bachillerato. No es una pieza suelta: viene después de límites y continuidad, y prepara muy bien para representación de funciones y optimización.

Antes de este recurso

Conviene repasar límites y continuidad 2 Bachillerato PAU/EBAU. Ahí se trabaja el concepto de límite, continuidad, límites laterales y discontinuidades, que son la base natural de este tema.

Recurso hermano

Después de controlar continuidad y derivabilidad con parámetros, el paso natural es representación de funciones 2 Bachillerato, donde las derivadas sirven para estudiar crecimiento, extremos y forma de la gráfica.

Página madre PAU

Este recurso debe enlazar desde Matemáticas II EBAU 2026 Castilla y León, porque la derivabilidad con parámetros forma parte del bloque de análisis que suele trabajarse en 2 Bachillerato.

Clases online

Si el alumno necesita trabajar estos ejercicios con explicación paso a paso, puede consultar Matemáticas online Bachillerato y PAU.

Biblioteca de recursos

Este post debería aparecer dentro de recursos educativos, en el bloque de Matemáticas Bachillerato y PAU.

Reserva de plaza

Para organizar clases presenciales en Salamanca u online, el enlace natural es prematrícula.

La derivabilidad con parámetros se domina cuando el alumno deja de verla como una receta. Primero continuidad, después derivadas laterales, y si aparece una condición inicial, se añade otra ecuación. Así el ejercicio deja de ser confuso y se convierte en un sistema bien planteado.

Clases online de Matemáticas Bachillerato y PAU Clases online de Matemáticas, Física y Química Prematrícula Contacto

Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de Bachillerato que necesitan entender la derivabilidad con parámetros desde el planteamiento, no solo desde la cuenta final. La clave está en traducir cada condición del enunciado en una ecuación clara.

13. Preguntas frecuentes sobre derivabilidad con parámetros

¿Qué significa que una función sea derivable en un punto?

Significa que existe la derivada en ese punto. En funciones a trozos, esto exige que coincidan las derivadas laterales. Además, la función debe ser continua en ese punto.

¿Por qué primero se estudia la continuidad?

Porque si una función no es continua en un punto, no puede ser derivable en ese punto. Por eso la continuidad es la primera condición que se impone.

¿Cuándo aparece un sistema de ecuaciones?

Aparece cuando hay varios parámetros y varias condiciones. Por ejemplo, continuidad y derivabilidad suelen dar dos ecuaciones. Si además hay una condición inicial, aparece una tercera.

¿Qué es una condición inicial en estos ejercicios?

Es una condición adicional del tipo \(f(0)=2\), \(f'(0)=3\), o una condición sobre la tangente. Sirve para generar otra ecuación.

¿Puede no existir solución?

Sí. Si las condiciones son incompatibles, el sistema puede no tener solución. En ese caso hay que decirlo con claridad y justificar dónde aparece la contradicción.

¿Estos ejercicios son importantes para PAU/EBAU?

Sí. Aunque no siempre aparecen con el mismo formato, son muy útiles para dominar continuidad, derivabilidad, funciones a trozos y planteamiento de condiciones con parámetros.

Último post
Recta tangente y normal 2 Bachillerato PAU/EBAU: ejercicios resueltos paso a paso
Back to list
Siguiente Optimización en 2 Bachillerato paso a paso: problemas tipo PAU/EBAU con derivadas