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Derivabilidad con parámetros 2 Bachillerato PAU/EBAU: continuidad, sistemas y ejercicios resueltos
Derivabilidad con parámetros en 2 Bachillerato: continuidad, sistemas y ejercicios tipo PAU/EBAU
Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.
Los ejercicios de derivabilidad con parámetros parecen, a primera vista, ejercicios de derivadas. Pero el alumno que los resuelve bien sabe que el verdadero trabajo está antes: mirar el punto de cambio, imponer continuidad, imponer derivabilidad y traducir cada condición en una ecuación.
Cuando hay un parámetro, normalmente sale una ecuación. Cuando hay dos parámetros, suele salir un sistema. Y cuando el enunciado añade una condición inicial del tipo \(f(0)=3\), \(f(1)=2\), \(f'(0)=5\) o que la tangente tenga cierta pendiente, aparece una tercera ecuación. Ahí es donde muchos alumnos se bloquean, no porque el ejercicio sea imposible, sino porque no han ordenado la información.
Esta guía se centra en la derivabilidad con parámetros, especialmente en funciones a trozos. Los límites y la continuidad básica se trabajan con más detalle en su recurso específico; el estudio completo de gráficas, crecimiento y extremos continúa después en las guías de representación de funciones y optimización.
Si este tipo de ejercicios se te atasca, no suele ser por la derivada. Suele ser por no separar bien continuidad, derivabilidad y condiciones adicionales. En Marlu Educativa trabajamos estos problemas con orden, porque en PAU/EBAU un planteamiento limpio puede valer medio ejercicio.
Índice del recurso
- 1. Qué pide un ejercicio de derivabilidad con parámetros
- 2. Método paso a paso
- 3. Continuidad en funciones a trozos
- 4. Derivabilidad y derivadas laterales
- 5. Cuándo aparece un sistema
- 6. La tercera ecuación: condición inicial
- 7. Errores frecuentes
- 8. Ejercicios resueltos paso a paso
- 9. Ejercicios para practicar
- 10. Soluciones rápidas
- 11. Simulacro final
- 12. Qué estudiar antes y después
- 13. FAQ
1. Qué pide un ejercicio de derivabilidad con parámetros
Un ejercicio de este tipo suele darte una función definida a trozos. En uno o varios trozos aparecen parámetros, por ejemplo \(a\), \(b\), \(c\) o \(m\). El enunciado pide encontrar esos parámetros para que la función sea continua, derivable o cumpla alguna condición adicional.
El punto delicado es el punto donde cambia la definición. En este ejemplo, el punto delicado es \(x=1\). A la izquierda se usa un trozo y a la derecha se usa otro. Si el alumno no mira bien qué trozo corresponde a cada lado, el ejercicio se desordena enseguida.
La cadena correcta
En una función a trozos con parámetros, el orden razonable es este:
Si el enunciado solo pide continuidad, no hace falta derivar. Si pide derivabilidad, hay que hacer continuidad y derivabilidad. Si además da una condición inicial, habrá que añadir una ecuación más.
La continuidad obliga a que los tramos se encuentren. La derivabilidad exige, además, que lleguen al punto de unión con la misma pendiente.
2. Método paso a paso
Este método sirve para la mayoría de ejercicios de derivabilidad con parámetros en 2 Bachillerato. Es muy mecánico, pero no conviene hacerlo de memoria. Conviene entender qué significa cada línea.
- Localiza los puntos de cambio. Son los valores de \(x\) donde la función cambia de expresión.
- Calcula el valor por la izquierda. Usa el trozo que corresponde a \(x
- Calcula el valor por la derecha o el valor de la función. Usa el trozo que corresponde a \(x\ge p\), \(x>p\) o el que indique el enunciado.
- Impón continuidad. Igualas los valores laterales y obtienes una ecuación.
- Deriva cada trozo por separado. No derives la función completa como si fuera una sola expresión.
- Impón derivabilidad. Igualas las derivadas laterales en el punto de cambio.
- Añade condiciones extra. Si aparece \(f(0)=2\), \(f'(1)=4\), una tangente o un valor inicial, eso genera otra ecuación.
- Resuelve el sistema. Puede ser de dos ecuaciones con dos incógnitas o de tres ecuaciones con tres incógnitas.
- Revisa. Sustituye los parámetros encontrados y comprueba que las condiciones se cumplen.
3. Continuidad en funciones a trozos
Para que una función sea continua en \(x=p\), debe ocurrir que el valor al que llega por la izquierda coincida con el valor al que llega por la derecha y con el valor de la función.
En funciones a trozos de examen, esto suele traducirse en igualar el trozo izquierdo y el trozo derecho en el punto de cambio.
Por ejemplo:
La continuidad en \(x=2\) exige:
Esta es solo una ecuación. Si hay dos parámetros, todavía falta otra condición. Ahí entra la derivabilidad.
4. Derivabilidad y derivadas laterales
Para que una función sea derivable en \(x=p\), deben coincidir sus derivadas laterales:
Esto significa derivar cada trozo por separado y luego sustituir el punto de cambio. No se deriva el resultado de la continuidad. No se deriva una igualdad que solo vale en un punto. Se derivan los trozos.
Siguiendo el ejemplo anterior:
En \(x=2\):
Esta sería la ecuación de derivabilidad. Junto con la continuidad permite hallar \(a\) y \(b\).
5. Cuándo aparece un sistema de ecuaciones
El sistema aparece cuando hay varios parámetros y varias condiciones. No hay que tenerle miedo. En realidad, el sistema es una señal buena: significa que el ejercicio está bien planteado.
| Situación | Condiciones | Resultado habitual |
|---|---|---|
| Un parámetro | Solo continuidad | Una ecuación con una incógnita |
| Dos parámetros | Continuidad y derivabilidad | Sistema de dos ecuaciones |
| Tres parámetros | Continuidad, derivabilidad y condición adicional | Sistema de tres ecuaciones |
| Dos puntos de cambio | Continuidad en dos puntos, derivabilidad en uno o dos | Sistema más largo |
El alumno que intenta resolver todo mentalmente se pierde. El alumno que nombra cada condición como ecuación 1, ecuación 2 y ecuación 3 suele llegar bastante más lejos.
6. La tercera ecuación: condición inicial, tangente o valor añadido
En algunos ejercicios de nivel alto, el enunciado no se queda en “continua y derivable”. Añade una condición extra. Por ejemplo:
Condición de valor
\(f(0)=3\), \(f(2)=5\), \(f(-1)=0\)
Condición de pendiente
\(f'(0)=4\), o la tangente en un punto tiene pendiente 2
Condición geométrica
La tangente pasa por un punto, o la función corta al eje en cierto valor
Esta condición adicional genera otra ecuación. Si hay tres parámetros, esa tercera ecuación suele ser necesaria para cerrar el sistema.
7. Errores frecuentes
Olvidar la continuidad
Una función no puede ser derivable en un punto si antes no es continua en ese punto. Muchos alumnos empiezan por la derivada y se saltan media solución.
Usar el tramo incorrecto
Si el punto es \(x=1\), hay que mirar qué expresión corresponde a la izquierda y cuál a la derecha. No siempre el signo \(<\), \(\le\), \(>\) o \(\ge\) está colocado igual.
Derivar la ecuación de continuidad
La derivabilidad no se obtiene derivando la igualdad de continuidad. Se obtiene derivando cada trozo de la función.
No resolver el sistema completo
Si aparecen \(a\), \(b\) y \(c\), hacen falta tres ecuaciones independientes. Si solo tienes dos, algo falta o el problema tiene infinitas soluciones.
No comprobar al final
Conviene sustituir los parámetros y comprobar continuidad y derivabilidad. Es una revisión rápida y evita errores de signo.
Confundir \(f(p)\) con el límite
El valor de la función depende del trozo que incluya el punto. El límite depende de lo que ocurre al acercarse desde ambos lados.
8. Ejercicios resueltos paso a paso
Los ejercicios están ordenados de menos a más. Primero continuidad, después derivabilidad, luego sistemas y por último condiciones adicionales con tres ecuaciones. El objetivo no es memorizar, sino ver el patrón.
Ejercicio 1. Un parámetro solo con continuidad
Enunciado. Halla \(a\) para que la función sea continua en \(x=1\):
El punto de cambio es \(x=1\).
Valor por la izquierda:
Valor por la derecha:
Para continuidad:
Resultado. \(a=2\).
Ejercicio 2. Dos parámetros: continuidad y derivabilidad
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=2\):
Si queremos derivabilidad, primero imponemos continuidad.
Continuidad
Derivabilidad
Derivamos cada tramo:
En \(x=2\):
Sistema
Sustituimos \(a=4\):
Resultado. \(a=4\), \(b=-5\).
Ejercicio 3. Derivabilidad en \(x=0\) con parámetro en el segundo tramo
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\):
Continuidad
Por la izquierda:
Por la derecha:
La continuidad exigiría:
Esto es imposible.
Resultado. No existen valores de \(a\) y \(b\) que hagan derivable la función en \(x=0\), porque ni siquiera puede ser continua.
Conviene detenerse aquí. No siempre existen valores de los parámetros. Si la continuidad conduce a una contradicción, esa imposibilidad es precisamente la conclusión del ejercicio.
Ejercicio 4. Dos parámetros con parábola y recta
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\):
Continuidad
Derivabilidad
Derivamos los tramos:
En \(x=1\):
Entonces:
Resultado. \(a=1\), \(b=2\).
Ejercicio 5. Dos parámetros y punto de cambio negativo
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=-1\):
Continuidad
Derivabilidad
En \(x=-1\):
Sustituimos en continuidad:
Resultado. \(a=-1\), \(b=2\).
Ejercicio 6. Tres parámetros con condición inicial
Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\) y además \(f(0)=2\):
Condición inicial
Como \(0<1\), usamos el primer tramo:
El enunciado dice \(f(0)=2\), luego:
Continuidad en \(x=1\)
Derivabilidad en \(x=1\)
En \(x=1\):
Sistema
Sustituimos \(c=2\):
Resolvemos:
Restamos la primera ecuación a la segunda:
Entonces:
Resultado. \(a=3\), \(b=-1\), \(c=2\).
Ejercicio 7. Tres parámetros con \(f'(0)=1\)
Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=2\) y se cumpla \(f'(0)=1\):
Condición adicional
Como \(0<2\), usamos el primer tramo.
El enunciado dice \(f'(0)=1\), luego:
Continuidad en \(x=2\)
Derivabilidad en \(x=2\)
Por derivabilidad:
Sistema
Sustituimos \(b=1\):
Ahora en la ecuación de continuidad:
Resultado. \(a=\frac34\), \(b=1\), \(c=2\).
Ejercicio 8. Parámetros con dos puntos de cambio
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua en \(x=0\) y \(x=1\):
Continuidad en \(x=0\)
Por la izquierda:
Por la derecha:
Primera ecuación:
Continuidad en \(x=1\)
Desde el segundo tramo:
Desde el tercer tramo:
Segunda ecuación:
Sistema
Como \(a=b\), entonces:
Resultado. \(a=1\), \(b=1\).
Ejercicio 9. Dos puntos de cambio y derivabilidad en uno
Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\) y \(x=1\), y derivable en \(x=1\):
Continuidad en \(x=0\)
Continuidad en \(x=1\)
Derivabilidad en \(x=1\)
En \(x=1\):
Sistema
Entonces:
Resultado. \(a=4\), \(b=-1\), \(c=-1\).
Ejercicio 10. Condición de tangente con pendiente dada
Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\), cumpla \(f(0)=1\) y la pendiente de la tangente en \(x=0\) sea 2:
Condición \(f(0)=1\)
Condición de pendiente en \(x=0\)
La pendiente de la tangente es la derivada.
Como la pendiente es 2:
Continuidad en \(x=1\)
Sustituimos \(b=2\), \(c=1\):
Derivabilidad en \(x=1\)
Comprobamos si el valor obtenido cumple derivabilidad:
Para derivabilidad exigiríamos \(6=2\), lo cual es falso.
Resultado. No existen valores de \(a\), \(b\) y \(c\) que cumplan todas las condiciones.
La contradicción también es un resultado. Las cuatro condiciones no son compatibles entre sí; no se debe modificar ninguna para forzar una solución.
Ejercicio 11. Tres parámetros con sistema compatible
Enunciado. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\), y además \(f(0)=2\):
Condición inicial
Continuidad
Como \(c=2\):
Derivabilidad
En \(x=1\):
Sistema
Restamos:
Entonces:
Resultado. \(a=3\), \(b=-1\), \(c=2\).
Ejercicio 12. Con raíz en un tramo y derivabilidad en el punto
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\):
Continuidad
Por la izquierda:
Por la derecha:
Primera ecuación:
Derivabilidad
En \(x=0\):
Sustituimos:
Resultado. \(a=4\), \(b=-3\).
Ejercicio 13. Con valor de la función en el punto de unión
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable en \(x=3\):
Continuidad
Para ser continua en \(x=3\), el límite por ambos lados y el valor de la función deben ser 10.
Por la derecha:
Encaja con \(f(3)=10\).
Por la izquierda:
Derivabilidad
En \(x=3\):
Sustituimos en continuidad:
Resultado. \(a=6\), \(b=-8\).
Ejercicio 14. Valor absoluto ajustado con un parámetro
Enunciado. Halla \(a\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\):
Continuidad
Por la izquierda:
Por la derecha:
La función es continua para cualquier \(a\).
Derivabilidad
Para \(x<0\):
Para \(x>0\), \(|x|=x\), luego:
Imponemos derivabilidad:
Resultado. \(a=1\).
Interpretación. En el semieje derecho se cumple \(|x|=x\). Al elegir \(a=1\), ambos tramos quedan con la misma pendiente y desaparece el cambio brusco de dirección en el origen.
Ejercicio 15. Parámetro en el punto de unión y derivada lateral
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\):
Aquí el valor en \(x=1\) pertenece al primer tramo, pero para continuidad hay que comparar igualmente ambos lados.
Continuidad
Derivabilidad
En \(x=1\):
Resultado. \(a=1\), \(b=2\).
Ejercicio 16. Caso PAU con exponencial y derivada por definición
Enunciado. Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=0\):
Continuidad
El valor de la función en el origen lo da el primer tramo:
Por la derecha:
Por continuidad:
Derivabilidad
La derivada lateral izquierda es:
Para la derivada lateral derecha hay que usar la definición, porque el segundo tramo no está definido en \(x=0\):
En las dos últimas igualdades se ha aplicado L'Hôpital, porque en ambos casos aparece una indeterminación \(0/0\).
Igualamos las derivadas laterales:
Resultado. \(a=\frac12\) y \(b=1\).
Revisión. Con estos valores, ambos límites valen 1 y las dos derivadas laterales valen \(1/2\). La función es continua y derivable en el origen.
9. Ejercicios para practicar
Hazlos con el mismo orden: punto de cambio, continuidad, derivabilidad, condición adicional si existe y sistema. No saltes pasos.
Nivel 1. Continuidad
- Halla \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+1 & x<2\\ x^2 & x\ge2 \end{cases}\) sea continua en \(x=2\).
- Halla \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases} x+a & x<0\\ 3x+2 & x\ge0 \end{cases}\) sea continua en \(x=0\).
- Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+b & x<1\\ 4 & x\ge1 \end{cases}\) sea continua en \(x=1\). ¿Hay una única solución?
- Estudia si puede ser continua en \(x=0\) la función \(f(x)=\begin{cases} x^2+a & x<0\\ 1 & x\ge0 \end{cases}\).
- Halla \(a\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+1 & x<1\\ 5 & x\ge1 \end{cases}\) sea continua en \(x=1\).
Nivel 2. Continuidad y derivabilidad
- Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+b & x<1\\ x^2+2 & x\ge1 \end{cases}\) sea derivable en \(x=1\).
- Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} x^2+ax+b & x<2\\ 3x+1 & x\ge2 \end{cases}\) sea derivable en \(x=2\).
- Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+b & x<-1\\ x+2 & x\ge-1 \end{cases}\) sea derivable en \(x=-1\).
- Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} a\sqrt{x+4}+b & x<0\\ x+2 & x\ge0 \end{cases}\) sea derivable en \(x=0\).
- Halla \(a\) y \(b\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax+b & x\le3\\ x^2-2 & x>3 \end{cases}\) sea derivable en \(x=3\).
Nivel 3. Sistemas con tres condiciones
- Halla \(a\), \(b\), \(c\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+bx+c & x<1\\ 4x-1 & x\ge1 \end{cases}\) sea derivable en \(x=1\) y \(f(0)=2\).
- Halla \(a\), \(b\), \(c\) para que \(f(x)=\begin{cases} ax^2+bx+c & x<2\\ 5x+1 & x\ge2 \end{cases}\) sea derivable en \(x=2\) y \(f'(0)=3\).
- Halla \(a\), \(b\), \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\), \(f(0)=1\) y \(f'(0)=2\), si el tramo izquierdo es \(ax^2+bx+c\) y el derecho es \(x^2+2x+1\).
- Construye una función a trozos con dos parámetros que sea continua pero no derivable en \(x=1\).
- Construye una función a trozos con tres parámetros que sea derivable en \(x=2\) y cumpla una condición inicial.
10. Soluciones rápidas
Estas soluciones sirven para corregir. Si un resultado no coincide, revisa primero continuidad y después derivabilidad. Casi siempre el error está ahí.
| Ejercicio | Resultado orientativo | Clave |
|---|---|---|
| 1 | \(a=\frac32\) | Continuidad en \(x=2\) |
| 2 | \(a=2\) | Valor por la izquierda y derecha en \(0\) |
| 3 | \(a+b=4\) | Infinitas soluciones |
| 4 | \(a=1\) | Igualar con el valor del segundo tramo |
| 5 | \(a=4\) | \(a+1=5\) |
| 6 | \(a=2\), \(b=1\) | Continuidad y pendiente |
| 7 | \(a=-1\), \(b=5\) | Derivada izquierda igual a 3 |
| 8 | \(a=-\frac12\), \(b=\frac32\) | Punto de cambio negativo |
| 9 | \(a=4\), \(b=-6\) | Derivar la raíz con cuidado |
| 10 | \(a=6\), \(b=-11\) | Derivabilidad en \(x=3\) |
| 11 | \(a=3\), \(b=-2\), \(c=2\) | Tres ecuaciones |
| 12 | \(a=\frac12\), \(b=3\), \(c=3\) | Condición \(f'(0)=3\) |
| 13 | \(b=2\), \(c=1\), \(a\in\mathbb R\) | Queda un parámetro libre |
| 14 | Respuesta abierta | Debe cumplir continuidad y romper pendiente |
| 15 | Respuesta abierta | Debe generar sistema compatible |
11. Simulacro final tipo PAU/EBAU
Tiempo recomendado: 45 minutos.
Instrucción: no basta con dar los parámetros. Hay que justificar continuidad y derivabilidad.
- Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=1\): \[ f(x)= \begin{cases} ax+b & x<1\\ x^2+2x & x\ge1 \end{cases} \]
- Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que la función sea derivable en \(x=2\) y cumpla \(f(0)=1\): \[ f(x)= \begin{cases} ax^2+bx+c & x<2\\ 3x+4 & x\ge2 \end{cases} \]
- Estudia si existen valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea derivable en \(x=0\): \[ f(x)= \begin{cases} ax^2+b & x<0\\ x+1 & x\ge0 \end{cases} \]
- Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\), derivable en \(x=1\) y cumpla \(f(0)=2\): \[ f(x)= \begin{cases} x+c & x<0\\ ax+b & 0\le x<1\\ x^2+1 & x\ge1 \end{cases} \]
Cómo valorar el simulacro
| Parte | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Identificación del punto de cambio | 1 punto | Saber dónde hay que estudiar continuidad y derivabilidad |
| Continuidad | 2 puntos | Igualar correctamente los valores laterales |
| Derivabilidad | 2 puntos | Derivar cada tramo e igualar derivadas laterales |
| Condiciones adicionales | 2 puntos | Convertir \(f(0)\), \(f'(0)\) o tangente en ecuación |
| Sistema y resultado | 2 puntos | Resolver sin errores de signo |
| Revisión | 1 punto | Comprobar que los parámetros cumplen las condiciones |
Si el resultado no cuadra
Te falta una ecuación. Seguramente has olvidado continuidad, derivabilidad o la condición adicional del enunciado.
Te sale una contradicción. Puede ser que no haya solución. No fuerces el ejercicio. Comprueba si las condiciones son incompatibles.
Te salen infinitas soluciones. Puede faltar una condición o puede que el enunciado solo pida continuidad con demasiados parámetros.
Te cambia el resultado al revisar. Probablemente usaste mal el tramo de \(x=p\). Mira si el punto entra en el tramo izquierdo o derecho.
12. Qué estudiar antes y después
La derivabilidad con parámetros se domina cuando el alumno deja de verla como una receta. Primero continuidad, después derivadas laterales, y si aparece una condición inicial, se añade otra ecuación. Así el ejercicio deja de ser confuso y se convierte en un sistema bien planteado.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de Bachillerato que necesitan entender la derivabilidad con parámetros desde el planteamiento, no solo desde la cuenta final. La clave está en traducir cada condición del enunciado en una ecuación clara.
13. Preguntas frecuentes sobre derivabilidad con parámetros
¿Qué significa que una función sea derivable en un punto?
Significa que existe la derivada en ese punto. En funciones a trozos, esto exige que coincidan las derivadas laterales. Además, la función debe ser continua en ese punto.
¿Por qué primero se estudia la continuidad?
Porque si una función no es continua en un punto, no puede ser derivable en ese punto. Por eso la continuidad es la primera condición que se impone.
¿Cuándo aparece un sistema de ecuaciones?
Aparece cuando hay varios parámetros y varias condiciones. Por ejemplo, continuidad y derivabilidad suelen dar dos ecuaciones. Si además hay una condición inicial, aparece una tercera.
¿Qué es una condición inicial en estos ejercicios?
Es una condición adicional del tipo \(f(0)=2\), \(f'(0)=3\), o una condición sobre la tangente. Sirve para generar otra ecuación.
¿Puede no existir solución?
Sí. Si las condiciones son incompatibles, el sistema puede no tener solución. En ese caso hay que decirlo con claridad y justificar dónde aparece la contradicción.
¿Estos ejercicios son importantes para PAU/EBAU?
Sí. Aunque no siempre aparecen con el mismo formato, son muy útiles para dominar continuidad, derivabilidad, funciones a trozos y planteamiento de condiciones con parámetros.