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Recta tangente y normal 2 Bachillerato PAU/EBAU: ejercicios resueltos paso a paso
Recta tangente y recta normal en 2 Bachillerato: derivadas, pendientes y ejercicios tipo PAU/EBAU
Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.
La recta tangente es uno de esos temas que parecen fáciles cuando el profesor lo hace en la pizarra, pero que se tuercen en cuanto aparece un parámetro, un punto que no está dado directamente o una condición del tipo “la tangente es paralela a esta recta”.
La idea central es sencilla: la derivada en un punto nos da la pendiente de la recta tangente. A partir de ahí, con un punto y una pendiente, se escribe la ecuación de una recta. Lo que hay que cuidar es qué punto usamos, qué pendiente tenemos y si la recta normal aparece en el ejercicio.
Frontera del recurso: este bloque se centra en recta tangente y recta normal con derivadas. No sustituye al recurso general de derivadas ni al de representación de funciones. Aquí trabajamos cálculo de pendientes, ecuaciones de rectas, tangentes paralelas, tangentes perpendiculares, tangentes por un punto exterior y recta normal.
Si la recta tangente se te atasca, casi siempre falta ordenar tres cosas: punto, pendiente y ecuación. En Marlu Educativa trabajamos estos ejercicios paso a paso, porque en PAU/EBAU suelen mezclarse con derivabilidad, parámetros, representación de funciones y optimización.
Índice del recurso
1. Qué es la recta tangente
La recta tangente a una función en un punto es la recta que toca la gráfica en ese punto y tiene la misma inclinación que la curva en ese instante. Esa inclinación se mide con la derivada.
Si el punto de tangencia es \(x=a\), el punto de la curva es:
Por tanto, para escribir la recta tangente necesitamos dos cosas:
El punto
\(P(a,f(a))\). Si el enunciado da \(x=a\), calculamos \(f(a)\). Si da un punto exterior, el trabajo cambia.
La pendiente
La pendiente de la tangente es \(f'(a)\). No es \(f(a)\). Este es un error muy común.
2. Fórmula de la recta tangente
La forma más cómoda de escribir una recta cuando conocemos un punto y una pendiente es:
En una función \(y=f(x)\), si queremos la tangente en \(x=a\), entonces:
Así que la recta tangente queda:
Ejemplo rápido
Para \(f(x)=x^2+1\), la tangente en \(x=2\):
Recta tangente:
3. Recta normal
La recta normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Si la tangente tiene pendiente \(m_t\), la normal tiene pendiente:
Siempre que \(m_t\neq0\). Si la tangente es horizontal, la normal es vertical.
| Situación | Tangente | Normal |
|---|---|---|
| \(m_t=3\) | Pendiente 3 | \(m_n=-\frac13\) |
| \(m_t=-2\) | Pendiente -2 | \(m_n=\frac12\) |
| \(m_t=0\) | Recta horizontal | Recta vertical \(x=a\) |
| Tangente vertical | No suele aparecer con funciones habituales \(y=f(x)\) | Normal horizontal |
4. Método paso a paso
Para resolver estos ejercicios sin perderse, conviene repetir siempre el mismo esquema.
- Identifica la función \(f(x)\).
- Localiza el punto de tangencia. Puede estar dado como \(x=a\), como punto \(P(a,f(a))\), o puede haber que encontrarlo.
- Calcula \(f(a)\). Este será el valor \(y\) del punto de tangencia.
- Deriva la función. Calcula \(f'(x)\).
- Calcula la pendiente de la tangente. Sustituye \(a\) en la derivada: \(m_t=f'(a)\).
- Escribe la tangente. Usa \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
- Si piden normal, calcula su pendiente. \(m_n=-1/m_t\), salvo caso horizontal.
- Escribe la normal. Usa el mismo punto \(P(a,f(a))\) y la pendiente normal.
- Revisa. Comprueba que el punto pertenece a la curva y a la recta.
5. Casos típicos de examen
La recta tangente puede aparecer de varias formas. Si reconoces el tipo de ejercicio, el planteamiento sale mucho más limpio.
| Tipo de ejercicio | Qué dato da | Qué hay que hacer |
|---|---|---|
| Tangente en \(x=a\) | Da el valor de \(x\) | Calcular \(f(a)\), \(f'(a)\) y escribir la recta |
| Tangente en un punto | Da \(P(a,b)\) | Comprobar que el punto está en la curva y usar \(a\) |
| Tangente paralela a una recta | Da una recta con pendiente conocida | Imponer \(f'(a)=m\) |
| Tangente perpendicular a una recta | Da una recta | Usar pendiente perpendicular |
| Tangente que pasa por un punto exterior | Da un punto que no está en la curva | El punto de tangencia es desconocido |
| Normal en un punto | Da \(x=a\) o el punto | Calcular pendiente tangente y luego la perpendicular |
| Parámetro para que la tangente cumpla algo | Aparece \(a\), \(b\), \(m\) o \(k\) | Convertir la condición de tangencia en una ecuación |
6. Errores frecuentes
Confundir \(f(a)\) con \(f'(a)\)
\(f(a)\) es la altura del punto. \(f'(a)\) es la pendiente. No son lo mismo.
Usar mal la fórmula de la recta
La forma \(y-y_0=m(x-x_0)\) necesita un punto y una pendiente. No basta con tener la pendiente.
Olvidar comprobar el punto
Si te dan un punto, conviene comprobar si pertenece a la curva. A veces es punto exterior.
Confundir tangente y normal
La normal no tiene la misma pendiente que la tangente. Tiene la pendiente perpendicular.
No tratar el caso \(m=0\)
Si la tangente es horizontal, la normal es vertical. No se escribe con \(m=-1/0\).
En tangentes por punto exterior, usar mal el punto
El punto exterior no es el punto de tangencia. Sirve para imponer que la recta tangente pase por él.
7. Ejercicios resueltos paso a paso
Vamos con ejercicios de dificultad creciente. Primero los directos. Después los que suelen aparecer en exámenes con paralelismo, normal, puntos exteriores y parámetros.
Ejercicio 1. Recta tangente en un punto dado por \(x=a\)
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=x^2+3x-1\) en \(x=2\).
Calculamos el punto de tangencia:
El punto es:
Derivamos:
Pendiente en \(x=2\):
Recta tangente:
Resultado. La recta tangente es \(y=7x-5\).
Ejercicio 2. Recta tangente y normal
Enunciado. Halla la recta tangente y la recta normal a \(f(x)=x^3-2x\) en \(x=1\).
Punto de tangencia:
Por tanto:
Derivada:
Pendiente tangente:
Tangente:
Pendiente normal:
Normal:
Resultado. Tangente \(y=x-2\). Normal \(y=-x\).
Ejercicio 3. Tangente horizontal
Enunciado. Halla los puntos de la curva \(f(x)=x^3-3x\) donde la tangente es horizontal.
Una tangente horizontal tiene pendiente 0.
Derivamos:
Igualamos a cero:
Calculamos los puntos:
Resultado. Los puntos son \(P(1,-2)\) y \(Q(-1,2)\).
Ejercicio 4. Tangente paralela a una recta
Enunciado. Halla los puntos de la curva \(f(x)=x^2-4x+1\) donde la tangente es paralela a la recta \(y=2x-5\).
La recta \(y=2x-5\) tiene pendiente 2. Si la tangente es paralela, debe tener la misma pendiente.
Derivamos:
Imponemos:
Calculamos el punto:
Resultado. El punto es \(P(3,-2)\).
Si además se pidiera la tangente:
Ejercicio 5. Tangente perpendicular a una recta
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=x^2+1\) que sea perpendicular a la recta \(y=-\frac12x+3\).
La recta dada tiene pendiente:
Una recta perpendicular tendrá pendiente 2, porque:
Por tanto, buscamos:
Derivamos:
Imponemos:
Punto:
Recta tangente:
Resultado. La tangente es \(y=2x\).
Ejercicio 6. Recta normal con tangente horizontal
Enunciado. Halla la recta normal a \(f(x)=x^3-3x^2+2\) en \(x=0\).
Punto:
Derivada:
Pendiente tangente:
La tangente es horizontal. Por tanto, la normal es vertical.
Resultado. La recta normal es:
Ojo. No se escribe \(m_n=-1/0\). Cuando la tangente es horizontal, la normal es vertical.
Ejercicio 7. Tangente en un punto dado explícitamente
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=x^2-2x+3\) en el punto \(P(2,3)\).
Primero comprobamos que el punto pertenece a la curva:
El punto sí pertenece.
Derivamos:
Pendiente en \(x=2\):
Recta:
Resultado. \(y=2x-1\).
Ejercicio 8. Tangente con parámetro
Enunciado. Halla \(a\) para que la recta tangente a \(f(x)=x^2+ax\) en \(x=1\) tenga pendiente 5.
La pendiente de la tangente es la derivada en \(x=1\).
Derivamos:
Imponemos la condición:
Resultado. \(a=3\).
Ejercicio 9. Parámetro para que la tangente pase por un punto
Enunciado. Halla \(a\) para que la tangente a \(f(x)=x^2+a\) en \(x=1\) pase por el punto \(Q(0,0)\).
Punto de tangencia:
Derivada:
Recta tangente:
Como debe pasar por \(Q(0,0)\), sustituimos \(x=0\), \(y=0\):
Resultado. \(a=1\).
Ejercicio 10. Tangentes desde un punto exterior
Enunciado. Halla las rectas tangentes a la parábola \(f(x)=x^2\) que pasan por el punto \(Q(0,-1)\).
El punto \(Q(0,-1)\) no está en la parábola, porque \(f(0)=0\). Por tanto, el punto de tangencia no es \(Q\).
Llamamos \(a\) a la abscisa del punto de tangencia.
Punto de tangencia:
Pendiente de la tangente:
Recta tangente en \(x=a\):
Como pasa por \(Q(0,-1)\), sustituimos:
Para \(a=1\)
Para \(a=-1\)
Resultado. Las tangentes son \(y=2x-1\) y \(y=-2x-1\).
Ejercicio 11. Tangente a una función racional
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=\frac{1}{x}\) en \(x=2\).
Punto:
Derivada:
Pendiente:
Recta tangente:
Podemos dejarla así o despejar:
Resultado. \(y=-\frac14x+1\).
Ejercicio 12. Tangente a una función con raíz
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=\sqrt{x+3}\) en \(x=1\).
Punto:
Derivada:
Pendiente:
Tangente:
Resultado. \(y-2=\frac14(x-1)\), o \(y=\frac14x+\frac74\).
Ejercicio 13. Tangente a una exponencial
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=e^x\) en \(x=0\).
Punto:
Derivada:
Pendiente:
Tangente:
Resultado. \(y=x+1\).
Ejercicio 14. Tangente a un logaritmo
Enunciado. Halla la recta tangente a \(f(x)=\ln x\) en \(x=1\).
Punto:
Derivada:
Pendiente:
Tangente:
Resultado. \(y=x-1\).
Ejercicio 15. Parámetro para que la tangente sea horizontal
Enunciado. Halla \(a\) para que la tangente a \(f(x)=x^3+ax\) en \(x=1\) sea horizontal.
Tangente horizontal significa pendiente 0.
Derivamos:
Imponemos:
Resultado. \(a=-3\).
Ejercicio 16. Punto donde la normal es paralela a una recta
Enunciado. Halla los puntos de \(f(x)=x^2\) donde la normal es paralela a la recta \(y=-\frac12x+1\).
La normal debe tener pendiente:
Si la normal tiene pendiente \(m_n=-1/m_t\), entonces:
Por tanto:
Derivada:
Imponemos:
Punto:
Resultado. El punto es \(P(1,1)\).
8. Ejercicios para practicar
Hazlos siguiendo siempre el mismo orden: punto, derivada, pendiente y recta.
Nivel 1. Tangente directa
- Halla la tangente a \(f(x)=x^2+2x\) en \(x=1\).
- Halla la tangente a \(f(x)=x^3\) en \(x=-1\).
- Halla la tangente a \(f(x)=\frac{2}{x}\) en \(x=1\).
- Halla la tangente a \(f(x)=\sqrt{x+1}\) en \(x=3\).
- Halla la tangente a \(f(x)=\ln x\) en \(x=e\).
Nivel 2. Tangente y normal
- Halla la tangente y la normal a \(f(x)=x^2-1\) en \(x=2\).
- Halla la normal a \(f(x)=x^3-3x\) en \(x=0\).
- Halla los puntos donde \(f(x)=x^3-3x^2\) tiene tangente horizontal.
- Halla los puntos donde la tangente a \(f(x)=x^2+4x\) es paralela a \(y=6x-1\).
- Halla los puntos donde la tangente a \(f(x)=x^2\) es perpendicular a \(y=-\frac14x+2\).
Nivel 3. Tipo examen
- Halla las tangentes a \(f(x)=x^2+1\) que pasan por \(Q(0,-3)\).
- Halla \(a\) para que la tangente a \(f(x)=x^2+ax+1\) en \(x=1\) tenga pendiente 4.
- Halla \(a\) para que la tangente a \(f(x)=ax^2+x\) en \(x=2\) sea paralela a \(y=5x+3\).
- Halla la recta normal a \(f(x)=e^x\) en \(x=0\).
- Halla \(a\) para que la tangente a \(f(x)=x^3+ax^2\) en \(x=1\) sea horizontal.
9. Soluciones rápidas
| Ejercicio | Resultado | Clave |
|---|---|---|
| 1 | \(y=4x-1\) | \(f'(1)=4\) |
| 2 | \(y=3x+2\) | Punto \((-1,-1)\), pendiente 3 |
| 3 | \(y=-2x+4\) | \(f'(x)=-2/x^2\) |
| 4 | \(y-2=\frac14(x-3)\) | Raíz y derivada |
| 5 | \(y-1=\frac1e(x-e)\) | \((\ln x)'=1/x\) |
| 6 | Tangente \(y=4x-5\), normal \(y-3=-\frac14(x-2)\) | Mismo punto, pendientes perpendiculares |
| 7 | \(x=0\) | Tangente horizontal, normal vertical |
| 8 | \(x=0\), \(x=2\) | \(f'(x)=3x^2-6x\) |
| 9 | \(x=1\) | \(2x+4=6\) |
| 10 | \(x=2\) | Pendiente perpendicular 4 |
| 11 | Dos tangentes | Usar punto de tangencia desconocido \(a\) |
| 12 | \(a=2\) | \(2+a=4\) |
| 13 | \(a=1\) | \(4a+1=5\) |
| 14 | \(y-1=-(x-0)\) | Normal con pendiente \(-1\) |
| 15 | \(a=-\frac32\) | \(3+2a=0\) |
10. Simulacro final tipo PAU/EBAU
Tiempo recomendado: 50 minutos.
Instrucción: justifica siempre punto de tangencia, pendiente y ecuación de la recta.
- Halla la tangente y la normal a \(f(x)=x^2-3x+2\) en \(x=2\).
- Halla los puntos donde la tangente a \(f(x)=x^3-6x\) es paralela a \(y=6x+1\).
- Halla la recta tangente a \(f(x)=\frac{x+1}{x}\) en \(x=1\).
- Halla las tangentes a \(f(x)=x^2\) que pasan por el punto \(Q(0,-4)\).
- Halla \(a\) para que la tangente a \(f(x)=x^2+ax+2\) en \(x=1\) sea perpendicular a \(y=-\frac13x+5\).
Criterio de corrección
| Parte | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Punto de tangencia | 2 puntos | Calcular correctamente \(f(a)\) |
| Derivada | 2 puntos | Derivar sin errores |
| Pendiente | 2 puntos | Usar \(f'(a)\) o la condición de paralelismo/perpendicularidad |
| Ecuación de la recta | 2 puntos | Aplicar \(y-y_0=m(x-x_0)\) |
| Normal o casos especiales | 1 punto | Usar pendiente perpendicular o recta vertical si procede |
| Revisión | 1 punto | Comprobar punto y pendiente |
Diagnóstico rápido si te equivocas
Te sale una recta que no pasa por el punto. Has usado mal \(f(a)\) o has escrito mal la ecuación punto-pendiente.
La pendiente no coincide con la derivada. Revisa \(f'(x)\) y la sustitución en \(x=a\).
La normal sale rara. Comprueba si la tangente es horizontal. En ese caso la normal es vertical.
En tangentes por punto exterior solo te sale una recta. Revisa si el punto de tangencia era desconocido. Muchas veces salen dos tangentes.
11. Qué estudiar antes y después
Este recurso debe estar dentro del bloque de análisis de 2 Bachillerato. Es una pieza específica, útil para reforzar derivadas y preparar problemas de PAU/EBAU.
Antes de este recurso
Conviene repasar límites y continuidad 2 Bachillerato PAU/EBAU, especialmente si el ejercicio mezcla tangente con continuidad o derivabilidad.
Recurso hermano
Para ejercicios con parámetros, este recurso enlaza muy bien con derivabilidad con parámetros 2 Bachillerato. Si esa URL todavía no está publicada, revisar en WordPress antes de enlazar.
Después de tangente y normal
El paso natural es representación de funciones 2 Bachillerato, donde las derivadas sirven para estudiar crecimiento, extremos, asíntotas y forma de la gráfica.
Aplicación directa
La recta tangente también aparece de forma natural en optimización 2 Bachillerato PAU/EBAU, aunque allí la derivada se usa para máximos y mínimos.
Página madre PAU
Este recurso debería enlazar desde Matemáticas II EBAU 2026 Castilla y León, dentro del bloque de análisis.
Clases online
Si el alumno necesita practicar derivadas, tangentes y problemas tipo examen, puede consultar Matemáticas online Bachillerato y PAU.
La recta tangente se domina cuando se entiende que la derivada es una pendiente. A partir de ahí, todo vuelve a lo básico: un punto, una pendiente y una recta. Lo que cambia en los ejercicios de examen es cómo te esconden esos datos.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de Bachillerato que necesitan entender la recta tangente y la recta normal desde la derivada, con ejercicios parecidos a los que aparecen en clase, exámenes y preparación PAU/EBAU.
12. Preguntas frecuentes sobre recta tangente y normal
¿Qué es la recta tangente a una función?
Es la recta que toca la gráfica en un punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Esa pendiente se calcula con la derivada.
¿Cuál es la fórmula de la recta tangente?
Si la tangente se calcula en \(x=a\), la fórmula es \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
¿Qué diferencia hay entre tangente y normal?
La tangente tiene pendiente \(f'(a)\). La normal es perpendicular a la tangente y tiene pendiente \(-1/f'(a)\), siempre que \(f'(a)\neq0\).
¿Qué pasa si la tangente es horizontal?
Si la tangente es horizontal, su pendiente es 0. En ese caso, la normal es una recta vertical de ecuación \(x=a\).
¿Cómo se resuelve una tangente paralela a una recta?
Se toma la pendiente de la recta dada y se impone \(f'(a)=m\). Después se calcula el punto de tangencia y se escribe la recta.
¿Por qué las tangentes desde un punto exterior son más difíciles?
Porque el punto dado no es el punto de tangencia. Hay que llamar \(a\) a la abscisa del punto de tangencia y construir la tangente general.