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Límites y continuidad 2 Bachillerato PAU/EBAU ejercicios resueltos paso a paso
Límites y continuidad en 2 Bachillerato y PAU/EBAU: teoría y ejercicios resueltos paso a paso
Esta guía se centra en límites, continuidad, indeterminaciones, límites laterales y primeras asíntotas. Cuando estas ideas quedan bien asentadas, resulta mucho más sencillo avanzar después hacia derivadas, crecimiento, extremos, representación de funciones y áreas.
La idea es sencilla: antes de derivar una función o representar una gráfica completa, el alumno debe saber qué ocurre cerca de un punto, qué ocurre cuando \(x\) se va al infinito y cuándo una función realmente es continua. Parece teoría, pero en examen se decide con lápiz, cuentas y mucho orden.
Índice del recurso
- Qué es un límite
- Punto de partida en 2 Bachillerato
- Valor de la función y límite
- Límites por sustitución directa
- Mapa de indeterminaciones
- Indeterminación \(0/0\)
- Factorización y simplificación
- Límites con raíces y racionalización
- Límites en infinito
- Comparación de grados
- Límites laterales
- Continuidad en un punto
- Tipos de discontinuidad
- Asíntotas
- Errores frecuentes
- Cómo localizar el error
- 35 ejercicios resueltos
- 4 modelos tipo examen
- 40 ejercicios para el alumno
- Soluciones para padres
- Simulacro final PAU/EBAU
- Recursos relacionados
- Clases online de Matemáticas
El punto de partida en 2 Bachillerato
En esta guía damos por conocidas las operaciones básicas con funciones y entramos en el trabajo propio de Matemáticas II: indeterminaciones, límites laterales, continuidad, parámetros y asíntotas. La dificultad ya no está solo en calcular, sino en decidir qué método corresponde y justificar por qué.
Qué es un límite y por qué se atasca tanto en 2 Bachillerato
Un límite estudia a qué valor se acerca una función cuando la variable \(x\) se aproxima a un número o cuando \(x\) crece sin parar. No pregunta necesariamente cuánto vale la función en ese punto. Pregunta qué tendencia tiene alrededor.
Esto se lee así: cuando \(x\) se acerca a \(a\), la función \(f(x)\) se acerca a \(L\). La palabra clave es acercarse. En clase se ve muy rápido dónde se rompe el razonamiento: muchos alumnos sustituyen, sale una indeterminación y creen que ya han terminado. No. Ahí empieza el ejercicio.
Diferencia entre valor de la función y límite
Una función puede no estar definida en \(x=a\) y, aun así, tener límite cuando \(x\) tiende a \(a\). También puede estar definida en \(a\), pero tener un límite distinto. Este detalle es fundamental en continuidad.
Valor de la función
Es \(f(a)\). Se obtiene sustituyendo exactamente \(x=a\), si la función permite hacerlo.
Límite
Es el valor al que se aproxima \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a \(a\), por la izquierda y por la derecha.
Continuidad
Exige que exista \(f(a)\), que exista el límite y que ambos coincidan.
Límites por sustitución directa
Cuando la función es polinómica, o cuando la sustitución no genera problemas, se sustituye directamente. Es el caso más limpio.
Este tipo de límite no necesita técnicas especiales. El fallo típico es complicarlo sin necesidad. Primero se intenta lo sencillo. Si sale un número real, no hay que inventar nada más.
Mapa de indeterminaciones y decisión de método
Una indeterminación no es el resultado: es una señal de que la expresión debe transformarse. Antes de operar, identifica la forma que aparece y elige una herramienta coherente.
| Forma | Primera herramienta que conviene valorar | Control final |
|---|---|---|
| \(0/0\) | Factorizar, simplificar, racionalizar o usar un límite notable | Volver a sustituir después de transformar |
| \(\infty/\infty\) | Dividir por la mayor potencia o comparar términos dominantes | Revisar el signo cuando \(x\to-\infty\) |
| \(\infty-\infty\) | Reducir a común denominador o racionalizar | No separar dos infinitos como si fueran números |
| \(0\cdot\infty\) | Convertir el producto en un cociente | Comprobar a qué lado se aproxima la variable |
| \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\) | Tomar logaritmos y estudiar el límite del exponente por el logaritmo de la base | Deshacer el logaritmo al concluir |
Indeterminación \(0/0\)
La indeterminación \(0/0\) aparece con frecuencia en funciones racionales. Significa que la sustitución directa no decide el límite. No significa que el resultado sea 0. Tampoco significa que no exista.
Aquí se factoriza, se simplifica el factor que provoca el problema y se vuelve a calcular.
Factorización y simplificación
Cuando aparece \(0/0\), el recurso más habitual es factorizar numerador y denominador. En 2 Bachillerato esto debe estar automatizado, pero no a ciegas. Primero se identifica el factor que se anula.
| Forma | Qué mirar | Ejemplo |
|---|---|---|
| Diferencia de cuadrados | \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) | \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) |
| Trinomio de segundo grado | Raíces o fórmula general | \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) |
| Factor común | Sacar el factor repetido | \(x^2+3x=x(x+3)\) |
| Ruffini | Cuando hay polinomios de grado mayor | \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) |
Límites con raíces y racionalización
Cuando aparece una raíz y la sustitución da \(0/0\), muchas veces se multiplica por el conjugado. El objetivo no es hacer magia, sino eliminar la raíz problemática.
Límites en infinito
En límites cuando \(x\to\infty\), interesa el comportamiento dominante de la función. No pesa igual \(x^3\) que \(x\), ni pesa igual \(5x^2\) que \(7\). A largo plazo manda el término de mayor grado.
En polinomios, el término de mayor grado manda. En funciones racionales, se comparan los grados de numerador y denominador.
Comparación de grados en funciones racionales
Para límites de cocientes de polinomios cuando \(x\to\infty\), se comparan los grados.
| Comparación | Resultado general | Ejemplo |
|---|---|---|
| Grado numerador menor que grado denominador | El límite es 0 | \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x^2+4}=0\) |
| Grados iguales | Cociente de coeficientes principales | \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-1}{5x^2+2}=\frac35\) |
| Grado numerador mayor que grado denominador | Hay que estudiar el signo del término dominante; para asíntotas puede requerir división | \(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x+1}=\infty\) |
Límites laterales
Para que exista \(\lim_{x\to a}f(x)\), deben existir y coincidir los límites laterales.
Si los laterales son distintos, el límite en \(a\) no existe. Esto aparece mucho en funciones definidas a trozos y en asíntotas verticales.
Continuidad en un punto
Una función es continua en \(x=a\) si se puede dibujar cerca de ese punto sin levantar el lápiz. Pero en examen no basta con decir eso. Hay que comprobar tres condiciones.
En funciones a trozos, normalmente se impone igualdad de límites laterales y luego se compara con el valor de la función en el punto.
Tipos de discontinuidad
Evitable
Existe el límite, pero la función no está definida en el punto o su valor no coincide con el límite.
De salto
Los límites laterales existen pero son distintos.
Infinita
Algún límite lateral se va a \(\infty\) o a \(-\infty\). Suele aparecer una asíntota vertical.
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
Las asíntotas describen el comportamiento de la gráfica cerca de ciertos valores o cuando \(x\) se aleja mucho. Son una conexión directa con la representación de funciones.
| Tipo | Cómo se detecta | Forma |
|---|---|---|
| Vertical | El límite lateral se va a infinito | \(x=a\) |
| Horizontal | El límite en infinito es un número real | \(y=L\) |
| Oblicua | El cociente racional tiene grado del numerador una unidad mayor que el del denominador | \(y=mx+n\) |
Errores frecuentes de alumno
Decir que \(0/0=0\)
Es uno de los errores más graves. \(0/0\) es una indeterminación. Hay que transformar la expresión.
Tachar términos sueltos
Solo se simplifican factores completos. No se puede borrar una \(x\) que está sumando.
No mirar los límites laterales
En funciones a trozos y en discontinuidades, los laterales mandan.
Confundir \(f(a)\) con el límite
El valor de la función y la tendencia alrededor del punto no siempre coinciden.
Olvidar el dominio
Antes de hablar de continuidad hay que saber dónde existe la función.
Aplicar reglas de infinito sin pensar el signo
En asíntotas verticales, el signo cambia según el lado por el que nos acerquemos.
Cómo localizar el error antes de seguir practicando
Esta tabla ayuda a localizar el fallo real. No hace falta repetir veinte ejercicios si no se sabe qué paso se está rompiendo.
| Lo que hace el alumno | Qué puede estar fallando | Cómo corregirlo |
|---|---|---|
| Sustituye y termina con \(0/0\) | No reconoce una indeterminación | Practicar factorización, conjugado y simplificación |
| Tacha letras sin criterio | No distingue términos y factores | Revisar productos notables y factorización básica |
| Falla continuidad en funciones a trozos | No calcula laterales | Separar izquierda, derecha y valor de la función |
| No encuentra asíntotas verticales | No analiza el denominador ni los signos laterales | Estudiar dominio y límites cerca de ceros del denominador |
| Confunde horizontal y oblicua | No compara grados correctamente | Hacer una tabla de casos con grados del numerador y denominador |
35 ejercicios resueltos de límites y continuidad
Los ejercicios están ordenados de menor a mayor dificultad. Algunos son directos y otros están desarrollados con más detalle. En examen no siempre hay que escribir tanto, pero para aprender conviene ver el razonamiento completo.
1 Límite polinómico directo
Calcula \(\lim_{x\to 2}(3x^2-5x+4)\).
2 Límite racional sin indeterminación
Calcula \(\lim_{x\to 1}\frac{x+3}{x^2+1}\).
3 Indeterminación \(0/0\) con diferencia de cuadrados
Calcula \(\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\).
4 Factorización de trinomio
Calcula \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\).
5 Factor común
Calcula \(\lim_{x\to 0}\frac{x^2+4x}{x}\).
6 Cubos y factorización
Calcula \(\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\).
7 Límite con raíz y conjugado
Calcula \(\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\).
8 Raíz con límite en 5
Calcula \(\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}\).
9 Límite en infinito con grados iguales
Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-3x+1}{2x^2+5}\).
10 Grado del numerador menor
Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+7}{x^2+1}\).
11 Grado del numerador mayor
Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+2}{x+1}\).
12 Límite en \(-\infty\)
Calcula \(\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-1}{x^2+4}\).
13 Límite lateral sencillo
Estudia los límites laterales de \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) en \(x=2\).
14 Límite lateral con cuadrado
Estudia \(\lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}\).
15 Continuidad de una función polinómica
Estudia la continuidad de \(f(x)=x^3-2x+1\) en \(x=0\).
16 Continuidad con función racional
Estudia la continuidad de \(f(x)=\frac{x+1}{x-3}\).
17 Discontinuidad evitable
Estudia la discontinuidad de \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\).
18 Función a trozos con continuidad
Determina \(k\) para que la función sea continua en \(x=2\):
19 Función a trozos con salto
Estudia la continuidad en \(x=0\):
20 Continuidad ajustando un parámetro
Halla \(a\) para que sea continua en \(x=1\):
21 Asíntota horizontal
Halla las asíntotas horizontales de \(f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-3}\).
22 Asíntota vertical
Halla la asíntota vertical de \(f(x)=\frac{x+1}{x-4}\).
23 Asíntota oblicua por división
Halla la asíntota oblicua de \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\).
24 Límite con valor absoluto
Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}\).
25 Límite con parámetro
Halla \(a\) para que exista \(\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax-2}{x-2}\) como número real.
26 Límite con \(a=-1\)
Calcula el límite del ejercicio anterior cuando \(a=-1\).
27 Límite trigonométrico básico
Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\).
28 Límite trigonométrico transformado
Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}\).
29 Límite exponencial notable
Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\).
30 Límite logarítmico notable
Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\).
31 Continuidad con valor definido aparte
Sea \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) si \(x\neq2\) y \(f(2)=5\). Estudia la continuidad en \(x=2\).
32 Redefinir para continuidad
¿Qué valor debería tener \(f(2)\) en el ejercicio anterior para que la función fuera continua?
33 Asíntotas de una racional completa
Estudia las asíntotas de \(f(x)=\frac{2x+1}{x-3}\).
34 Límite racional con dos factores
Calcula \(\lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}\).
35 Continuidad con parámetro en función a trozos
Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=3\):
4 modelos tipo examen que completan el bloque
Los ejercicios anteriores cubren la base del tema. Estos cuatro añaden las formas que suelen exigir un paso de decisión más fino: una resta de infinitos, un producto \(0\cdot\infty\), una potencia \(1^\infty\) y un problema que combina continuidad, parámetros y asíntota.
36 Resta de infinitos con una raíz
Calcula \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\).
37 Producto \(0\cdot\infty\)
Calcula \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\ln x\).
38 Potencia \(1^\infty\)
Calcula \(\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{3/x}\).
39 Continuidad con dos parámetros y asíntota
Halla \(a\) y \(b\) para que la función sea continua en \(x=1\) y determina la asíntota horizontal del tramo derecho:
40 ejercicios para el alumno
Hazlos sin mirar la tabla de soluciones. Escribe siempre sustitución, tipo de indeterminación si aparece, transformación usada y resultado final. En límites, el orden salva muchos puntos.
A. Sustitución directa y \(0/0\)
- \(\lim_{x\to2}(x^2+4x-1)\)
- \(\lim_{x\to -1}(3x^3+x+5)\)
- \(\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\)
- \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)
- \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{x^2+5x}{x}\)
- \(\lim_{x\to -2}\frac{x^2+5x+6}{x+2}\)
- \(\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}\)
- \(\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4}\)
- \(\lim_{x\to -3}\frac{x^2+6x+9}{x+3}\)
B. Raíces y racionalización
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\)
- \(\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}\)
- \(\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\)
- \(\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x-3}\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{16+x}-4}{x}\)
- \(\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+3x}-2}{x}\)
C. Infinito, grados y asíntotas
- \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}\)
- \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x+7}{x^2+1}\)
- \(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-1}{x+2}\)
- \(\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^3+x}{2x^2-1}\)
- Halla la asíntota horizontal de \(\frac{5x^2+1}{2x^2-3}\)
- Halla la asíntota vertical de \(\frac{x+2}{x-1}\)
- Halla las asíntotas de \(\frac{3x+1}{x+4}\)
- Halla la asíntota oblicua de \(\frac{x^2+2x+3}{x+1}\)
- Estudia los laterales de \(\frac{1}{x+2}\) en \(x=-2\)
- Estudia los laterales de \(\frac{1}{(x-3)^2}\) en \(x=3\)
D. Continuidad y parámetros
- Estudia la continuidad de \(\frac{x+1}{x-5}\)
- Estudia la continuidad de \(\frac{x^2-4}{x-2}\) en \(x=2\)
- Redefine \(f(2)\) para que \(\frac{x^2-4}{x-2}\) sea continua en \(x=2\)
- Halla \(a\) para que \(f(x)=ax+1\) si \(x<2\), \(f(x)=x^2\) si \(x\ge2\), sea continua
- Halla \(k\) para que \(f(x)=x+k\) si \(x<1\), \(f(x)=3x-1\) si \(x\ge1\), sea continua
- Estudia la continuidad de \(f(x)=|x|/x\) en \(x=0\)
- Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}\)
- Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\)
- Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x}\)
- Halla \(a\) para que exista \(\lim_{x\to1}\frac{x^2+ax-2}{x-1}\) como número real
Soluciones para padres
Esta tabla permite corregir de forma rápida. Aun así, en estos ejercicios conviene mirar el procedimiento, no solo el resultado. Un resultado correcto con una simplificación mal hecha puede esconder un fallo importante.
| Nº | Resultado | Qué conviene revisar |
|---|---|---|
| 1 | \(11\) | Sustitución directa |
| 2 | \(1\) | Sustitución directa |
| 3 | \(6\) | Diferencia de cuadrados |
| 4 | \(2\) | Factorizar \(x^2-1\) |
| 5 | \(4\) | Factorizar numerador y denominador |
| 6 | \(5\) | Sacar factor común |
| 7 | \(1\) | Trinomio \((x+2)(x+3)\) |
| 8 | \(3\) | Cubo menos uno |
| 9 | \(8\) | Diferencia de cuadrados |
| 10 | \(0\) | Queda \(x+3\) |
| 11 | \(\frac12\) | Conjugado |
| 12 | \(\frac14\) | Conjugado |
| 13 | \(\frac16\) | Conjugado |
| 14 | \(\frac16\) | Conjugado |
| 15 | \(\frac14\) | Conjugado |
| 16 | \(1\) | Conjugado con \(1+2x\) |
| 17 | \(\frac16\) | Conjugado |
| 18 | \(\frac18\) | Conjugado |
| 19 | \(\frac16\) | Conjugado |
| 20 | \(\frac34\) | Conjugado |
| 21 | \(3\) | Grados iguales |
| 22 | \(0\) | Denominador de mayor grado |
| 23 | \(\infty\) | Numerador de mayor grado |
| 24 | \(-\infty\) | Comportamiento \(2x\) |
| 25 | \(y=\frac52\) | Horizontal por grados iguales |
| 26 | \(x=1\) | Vertical por denominador cero |
| 27 | \(x=-4\), \(y=3\) | Vertical y horizontal |
| 28 | \(y=x+1\) | División de polinomios |
| 29 | No existe, laterales \(-\infty\) y \(\infty\) | Signo del denominador |
| 30 | \(\infty\) | Cuadrado siempre positivo |
| 31 | Continua en \(\mathbb{R}-\{5\}\) | Racional |
| 32 | Evitable en \(x=2\) | El límite existe, la función original no |
| 33 | \(f(2)=4\) | Redefinir con el límite |
| 34 | \(a=\frac32\) | Igualar laterales en \(x=2\) |
| 35 | \(k=1\) | Igualar en \(x=1\) |
| 36 | No continua en \(x=0\) | La función ni siquiera está definida en 0 y los laterales difieren |
| 37 | \(5\) | Límite notable trigonométrico |
| 38 | \(2\) | Límite notable exponencial |
| 39 | \(4\) | Límite notable logarítmico |
| 40 | \(a=1\) | El numerador debe anularse en \(x=1\) |
Simulacro final PAU/EBAU de límites y continuidad
- Calcula \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
- Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).
- Calcula \(\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2-3}{2x^2+x}\).
- Estudia los límites laterales de \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) en \(x=1\).
- Halla la asíntota horizontal de \(f(x)=\frac{3x^2+1}{x^2-4}\).
- Halla la asíntota oblicua de \(f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x+1}\).
- Estudia la continuidad de \(f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\) en \(x=3\).
- Redefine \(f(3)\) para que la función anterior sea continua.
- Halla \(a\) para que \(f(x)=ax+2\) si \(x<1\), \(f(x)=x^2+3\) si \(x\ge1\), sea continua en \(x=1\).
- Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}{x}\).
Solución del simulacro
| Nº | Resultado | Clave del ejercicio |
|---|---|---|
| 1 | \(4\) | Factorizar \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) |
| 2 | \(\frac12\) | Multiplicar por el conjugado |
| 3 | \(\frac52\) | Grados iguales |
| 4 | Izquierda \(-\infty\), derecha \(\infty\) | No existe el límite; asíntota vertical \(x=1\) |
| 5 | \(y=3\) | Cociente de coeficientes principales |
| 6 | \(y=x+2\) | División: \(\frac{x^2+3x+1}{x+1}=x+2-\frac1{x+1}\) |
| 7 | Discontinuidad evitable | El límite existe pero la función no está definida en \(x=3\) |
| 8 | \(f(3)=6\) | Porque \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) |
| 9 | \(a=2\) | Izquierda \(a+2\), derecha \(4\), luego \(a+2=4\) |
| 10 | \(4\) | \(\frac{\sin(4x)}{x}=4\frac{\sin(4x)}{4x}\) |
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Resumen final
Los límites y la continuidad son el puente natural entre las funciones de cursos anteriores y el análisis completo de 2 Bachillerato. Si un alumno domina sustitución, \(0/0\), factorización, racionalización, infinito, laterales, continuidad y asíntotas, llega a derivadas y representación de funciones con mucha más seguridad.
No hace falta aprenderlo todo de memoria. Hace falta ordenar el razonamiento: mirar dominio, sustituir, identificar la indeterminación, transformar con cuidado, calcular laterales si procede y cerrar con una conclusión clara. Esa es la diferencia entre hacer cuentas y resolver un ejercicio de PAU/EBAU con criterio.