Blog
Discusión de sistemas con parámetros 2 Bachillerato: Rouché-Frobenius, Gauss y ejercicios resueltos
Discusión de sistemas con parámetros en 2 Bachillerato: teorema de Rouché-Frobenius y ejercicios resueltos
Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II, Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II y preparación PAU/EBAU.
La discusión de sistemas con parámetros es uno de los temas donde más se nota si un alumno entiende el álgebra o solo está haciendo cuentas. Aquí no basta con resolver. Primero hay que decidir qué tipo de sistema tenemos según el valor del parámetro.
Un mismo sistema puede tener solución única para casi todos los valores, infinitas soluciones para un valor concreto y ninguna solución para otro. Y eso, aunque al principio parezca raro, se ordena muy bien usando matrices, rangos y el teorema de Rouché-Frobenius.
Frontera del recurso: este bloque se centra en discutir sistemas con parámetros. Para operaciones con matrices, determinantes, matriz inversa o regla de Cramer, conviene tener recursos específicos enlazados. Aquí el objetivo es clasificar el sistema como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible, y resolver en los casos que proceda.
Si este tema se te cruza, normalmente no es por multiplicar mal una matriz. El bloqueo suele venir de no saber qué mirar: matriz de coeficientes, matriz ampliada, rango, número de incógnitas y valores problemáticos del parámetro. En Marlu Educativa lo trabajamos con ese orden, sin saltos raros.
Índice del recurso
- 1. Qué significa discutir un sistema
- 2. Tipos de sistemas
- 3. Matriz de coeficientes y matriz ampliada
- 4. Teorema de Rouché-Frobenius
- 5. Método paso a paso
- 6. Caso con determinante de la matriz de coeficientes
- 7. Discusión por Gauss
- 8. Cuándo usar Cramer
- 9. Errores frecuentes
- 10. Ejercicios resueltos
- 11. Ejercicios para practicar
- 12. Soluciones rápidas
- 13. Simulacro tipo examen
- 14. Qué estudiar antes y después
- 15. FAQ
1. Qué significa discutir un sistema
Discutir un sistema no significa resolverlo directamente. Significa estudiar cuántas soluciones tiene según los valores de un parámetro.
Por ejemplo, si aparece un sistema con un parámetro \(a\), el ejercicio puede pedir:
Eso quiere decir que tenemos que contestar algo de este estilo:
Para ciertos valores
El sistema tiene solución única. Es compatible determinado.
Para algún valor concreto
El sistema tiene infinitas soluciones. Es compatible indeterminado.
Para otro valor concreto
El sistema no tiene solución. Es incompatible.
2. Tipos de sistemas
En Bachillerato usamos tres nombres básicos. Conviene dominarlos porque aparecen continuamente en la corrección de estos ejercicios.
| Nombre | Abreviatura | Número de soluciones | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Sistema compatible determinado | SCD | Una única solución | Las ecuaciones se cruzan en un único punto, o el sistema queda completamente determinado |
| Sistema compatible indeterminado | SCI | Infinitas soluciones | Hay una o más variables libres |
| Sistema incompatible | SI | Ninguna solución | Aparece una contradicción, como \(0=5\) |
La discusión sirve precisamente para decidir en cuál de estos tres casos estamos.
3. Matriz de coeficientes y matriz ampliada
Un sistema lineal se puede escribir con matrices. Si el sistema es:
La matriz de coeficientes es:
La matriz ampliada añade la columna de términos independientes:
4. Teorema de Rouché-Frobenius
El teorema de Rouché-Frobenius es la herramienta principal para discutir sistemas lineales. Dicho de forma clara, compara el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada.
Sea \(n\) el número de incógnitas. Entonces:
| Condición | Tipo de sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=n\) | SCD | Una única solución |
\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)| SCI |
Infinitas soluciones |
|
| \(\operatorname{rg}(A)\neq\operatorname{rg}(A^*)\) | SI | No tiene solución |
Este teorema es sencillo de decir, pero en los ejercicios con parámetros hay que aplicarlo con cuidado. Primero se estudian los valores que hacen que el determinante se anule o que el rango pueda cambiar. Después se analiza cada caso.
5. Método paso a paso para discutir sistemas con parámetros
- Escribe la matriz de coeficientes \(A\) y la matriz ampliada \(A^*\).
- Cuenta el número de incógnitas \(n\). En 2 Bachillerato suele ser 2 o 3.
- Si \(A\) es cuadrada, calcula \(|A|\). Es el camino más rápido en muchos ejercicios PAU.
- Estudia los valores que anulan el determinante. Son los valores problemáticos del parámetro.
- Para \(|A|\neq0\), concluye SCD. Si la matriz de coeficientes es cuadrada y su determinante no se anula, el rango es máximo.
- Para cada valor problemático, sustituye el parámetro en el sistema o en las matrices.
- Calcula rangos de \(A\) y \(A^*\), normalmente por Gauss o menores.
- Aplica Rouché-Frobenius y clasifica como SCD, SCI o SI.
- Resuelve si lo piden. Para SCD puedes usar Cramer, inversa o Gauss. Para SCI, deja parámetros libres.
- Revisa el resultado. La clasificación debe cubrir todos los valores del parámetro.
6. Caso con determinante de la matriz de coeficientes
En muchos ejercicios de 2 Bachillerato aparece un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y un parámetro. Si la matriz de coeficientes es cuadrada, el determinante manda mucho.
Como \(A^*\) no puede tener rango mayor que 3 en un sistema de 3 ecuaciones, resulta:
Y por tanto:
Esto significa que para todos los valores del parámetro que no anulen el determinante, el sistema tiene solución única.
7. Discusión por Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema mediante operaciones elementales hasta obtener una forma escalonada. Es muy útil cuando el sistema no es cuadrado, cuando el determinante no es cómodo o cuando queremos ver contradicciones directamente.
Las señales típicas son:
Fila nula
Una fila tipo \(0=0\) no aporta ecuación nueva. Puede indicar infinitas soluciones si faltan ecuaciones independientes.
Contradicción
Una fila tipo \(0=5\) indica sistema incompatible.
Pivotes suficientes
Si hay tantos pivotes como incógnitas, el sistema queda determinado.
En sistemas con parámetros, Gauss se hace con cuidado porque no podemos dividir por una expresión que puede ser cero sin estudiarlo antes.
8. Cuándo usar Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas cuadrados con solución única. No es el método para discutir todos los casos, sino para resolver cuando ya sabemos que el sistema es compatible determinado.
Si \(|A|=0\), Cramer no se puede aplicar para dar solución única. En ese caso hay que discutir por rangos.
| Situación | ¿Cramer? | Qué hacer |
|---|---|---|
| \(|A|\neq0\) | Sí | Resolver SCD si lo piden |
| \(|A|=0\) | No para solución única | Comparar rangos de \(A\) y \(A^*\) |
| Sistema rectangular | No directamente | Usar Gauss o rangos |
9. Errores frecuentes
Decir SCD solo porque hay tres ecuaciones
El número de ecuaciones no garantiza solución única. Lo que decide es el rango.
No estudiar los valores que anulan el determinante
Son justo los valores interesantes. Para el resto suele haber SCD, pero esos hay que revisarlos.
Confundir \(A\) y \(A^*\)
La matriz ampliada incluye la columna de términos independientes. Esa columna puede cambiar el rango.
Dividir por una expresión con parámetro
No se puede dividir por \(a-1\) sin separar el caso \(a=1\).
Usar Cramer cuando \(|A|=0\)
Cramer exige determinante no nulo. Si el determinante se anula, hay que discutir.
No resolver el caso SCI correctamente
Si hay infinitas soluciones, hay que dejar una variable libre y expresar las demás en función de ella.
10. Ejercicios resueltos de discusión de sistemas
Vamos con ejercicios de dificultad creciente. Primero uno de 2 incógnitas para ver la idea. Después sistemas de 3 incógnitas con parámetros, determinantes, rangos y casos especiales.
Ejercicio 1. Sistema 2x2 con parámetro básico
Enunciado. Discute el sistema según los valores de \(a\):
Matriz de coeficientes:
Determinante:
Caso 1. \(a\neq1\)
Si \(a\neq1\), entonces \(|A|\neq0\). Por tanto:
Como hay 2 incógnitas:
Caso 2. \(a=1\)
Sustituimos:
Las ecuaciones tienen el mismo lado izquierdo pero distinto término independiente. Es contradicción.
Resultado. Si \(a\neq1\), SCD. Si \(a=1\), SI.
Ejercicio 2. Sistema 2x2 con infinitas soluciones
Enunciado. Discute según \(a\):
Si \(a=0\), la segunda ecuación queda:
Luego para \(a=0\), el sistema es incompatible.
Si \(a\neq0\), la segunda ecuación puede dividirse por \(a\):
Comparamos con la primera:
Para que sean la misma ecuación:
Conclusión
Si \(a=2\), las dos ecuaciones son equivalentes:
Si \(a\neq0\) y \(a\neq2\), las rectas son paralelas distintas:
Resultado. \(a=2\), SCI. \(a=0\), SI. \(a\neq0,2\), SI.
Comentario. Este sistema nunca es SCD porque las dos ecuaciones tienen coeficientes proporcionales cuando \(a\neq0\).
Ejercicio 3. Sistema 3x3 con determinante sencillo
Enunciado. Discute según \(a\):
Matriz de coeficientes:
Calculamos el determinante. Para esta matriz simétrica se obtiene:
Caso general
Si:
entonces \(|A|\neq0\), luego:
Caso \(a=1\)
El sistema queda:
Solo hay una ecuación independiente con tres incógnitas.
Por Rouché-Frobenius:
Caso \(a=-2\)
El sistema queda:
Sumamos las tres ecuaciones:
Aparece contradicción, luego:
Resultado. Si \(a\neq1,-2\), SCD. Si \(a=1\), SCI. Si \(a=-2\), SI.
Ejercicio 4. Sistema triangular con parámetro
Enunciado. Discute y resuelve cuando sea posible:
El sistema está casi triangular. La última ecuación manda mucho.
Caso \(a\neq1\)
Si \(a\neq1\), entonces:
Después:
Y finalmente:
Hay solución única:
Caso \(a=1\)
La última ecuación queda:
Contradicción.
Resultado. Si \(a\neq1\), SCD. Si \(a=1\), SI.
Ejercicio 5. Sistema con un parámetro en términos independientes
Enunciado. Discute según \(a\):
Observamos que la tercera ecuación puede compararse con las dos primeras.
Sumamos la primera y la segunda:
Pero la tercera ecuación dice:
Caso \(a=3\)
La tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras. Hay dos ecuaciones independientes y tres incógnitas.
Por tanto:
Caso \(a\neq3\)
La tercera ecuación contradice lo que se deduce de las dos primeras.
Por tanto:
Resultado. Si \(a=3\), SCI. Si \(a\neq3\), SI.
Comentario. Este tipo de ejercicio es muy elegante porque el parámetro no aparece en los coeficientes, sino en los términos independientes. Ahí el determinante de \(A\) no siempre es lo más rápido.
Ejercicio 6. Sistema 3x3 con parámetro y resolución por Cramer
Enunciado. Discute y resuelve para \(a=0\):
Matriz de coeficientes:
Calculamos el determinante:
Discusión
Si \(a\neq1,-1\), entonces \(|A|\neq0\), luego el sistema es SCD.
Habría que estudiar aparte \(a=1\) y \(a=-1\). Si el ejercicio completo lo pide, se sustituyen esos valores y se comparan rangos.
Resolución para \(a=0\)
Como \(a=0\) no anula el determinante, el sistema es SCD.
Sustituimos \(a=0\):
De la tercera ecuación:
De la primera:
En la segunda:
Entonces:
Resultado para \(a=0\). \((x,y,z)=(1,1,1)\).
Ejercicio 7. Discusión completa por Gauss
Enunciado. Discute según \(a\):
Restamos la primera ecuación a la segunda y a la tercera:
Caso \(a\neq1\)
Podemos despejar:
Y después \(x\) se obtiene de la primera ecuación:
Hay solución única:
Caso \(a=1\)
Las ecuaciones restadas quedan:
Hay contradicción.
Resultado. Si \(a\neq1\), SCD. Si \(a=1\), SI.
Ejercicio 8. Caso con SCI para un valor especial
Enunciado. Discute según \(a\):
La segunda ecuación es el doble de la primera, así que no aporta información nueva.
Comparamos la primera y la tercera:
Restamos:
Caso \(a\neq1\)
Entonces:
La primera ecuación queda:
Hay una variable libre. Por tanto:
Caso \(a=1\)
La tercera ecuación coincide con la primera. Seguimos teniendo una única ecuación independiente:
También hay infinitas soluciones:
Resultado. Para todo valor de \(a\), el sistema es SCI, aunque la forma de las soluciones cambia según \(a=1\) o \(a\neq1\).
Ejercicio 9. Sistema con parámetro y clasificación SCD, SCI, SI
Enunciado. Discute según \(a\):
Restamos la primera ecuación a la segunda:
Restamos la primera a la tercera:
Caso \(a\neq1\)
Entonces:
En la primera ecuación:
Hay solución única:
Caso \(a=1\)
El sistema queda:
Una ecuación independiente y tres incógnitas:
Resultado. Si \(a\neq1\), SCD. Si \(a=1\), SCI.
Ejercicio 10. Discusión con matriz ampliada que cambia el rango
Enunciado. Discute según \(a\):
Las tres ecuaciones tienen los mismos coeficientes proporcionales. La matriz de coeficientes tiene rango 1.
Para que el sistema sea compatible, los términos independientes deben mantener la misma proporción.
La tercera ecuación debería ser el triple de la primera:
Pero el sistema tiene:
Caso \(a=3\)
Todo es proporcional:
Por tanto:
Caso \(a\neq3\)
Los coeficientes son proporcionales, pero los términos independientes no:
Por tanto:
Resultado. Si \(a=3\), SCI. Si \(a\neq3\), SI.
11. Ejercicios para practicar
Hazlos escribiendo siempre los casos. En discusión de sistemas, un resultado sin casos casi nunca está completo.
Nivel 1. Parámetro básico
- Discute \(\begin{cases} x+y=1\\ ax+y=3 \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} x+ay=2\\ 2x+2ay=4 \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} ax+y=1\\ x+ay=1 \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} x+y=2\\ ax+ay=a \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} x+y+z=1\\ x+y+az=1 \end{cases}\).
Nivel 2. Sistemas 3x3
- Discute \(\begin{cases} ax+y+z=1\\ x+ay+z=1\\ x+y+az=1 \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} x+y+z=1\\ x+ay+z=2\\ x+y+az=3 \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ x-y+az=0 \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} ax+y=1\\ x+ay=2\\ x+y=a \end{cases}\).
- Discute \(\begin{cases} x+y+z=1\\ x-y+z=2\\ 2x+2z=a \end{cases}\).
Nivel 3. Tipo PAU/EBAU
- Discute y resuelve cuando sea compatible \(\begin{cases} x+y+z=1\\ x+ay+z=a\\ x+y+az=a^2 \end{cases}\).
- Discute el sistema cuya matriz de coeficientes tiene determinante \((a-2)^2(a+1)\) y estudia los casos \(a=2\), \(a=-1\).
- Construye un sistema con parámetro que sea SCD salvo para \(a=1\), y que para \(a=1\) sea SI.
- Construye un sistema con parámetro que sea SCI para un valor concreto y SCD para el resto.
- Discute un sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas usando rangos.
12. Soluciones rápidas
Estas soluciones sirven para comprobar. En un examen, no basta con poner la clasificación; hay que justificar los rangos o las contradicciones.
| Ejercicio | Resultado orientativo | Clave |
|---|---|---|
| 1 | SCD si \(a\neq1\). SI si \(a=1\) | Determinante \(1-a\) |
| 2 | SCI para todos los valores compatibles según términos independientes | Ecuaciones proporcionales |
| 3 | Mirar \(a^2-1\) | Valores problemáticos \(a=1\), \(a=-1\) |
| 4 | Depende de \(a\), revisar proporcionalidad | Coeficientes y término independiente |
| 5 | Generalmente SCI | Dos ecuaciones con tres incógnitas |
| 6 | SCD si \(a\neq1,-2\). Casos especiales aparte | Determinante \((a-1)^2(a+2)\) |
| 7 | SCD si \(a\neq1\). SI si \(a=1\) | Restas entre ecuaciones |
| 8 | Depende de \(a\) y del rango de la ampliada | Segunda ecuación múltiplo de la primera |
| 9 | Usar rangos, puede ser sistema sobredeterminado | 3 ecuaciones, 2 incógnitas |
| 10 | SCI si \(a=3\), SI si \(a\neq3\) | Tercera ecuación como suma de las dos primeras |
| 11 | Estudiar \(a=1\) y otros valores problemáticos | Rouché-Frobenius |
| 12 | No basta con \(|A|=0\) | Hay que comparar rangos en \(a=2\), \(a=-1\) |
| 13 | Respuesta abierta | Crear contradicción para \(a=1\) |
| 14 | Respuesta abierta | Hacer que baje el rango sin contradicción |
| 15 | Usar \(A\) y \(A^*\) | Rangos en sistema rectangular |
13. Simulacro tipo examen
Tiempo recomendado: 60 minutos.
Instrucción: en todos los apartados hay que justificar con determinantes, rangos o reducción de Gauss.
- Discute según \(a\): \[ \begin{cases} ax+y+z=1\\ x+ay+z=1\\ x+y+az=1 \end{cases} \]
- Discute y resuelve para \(a=2\): \[ \begin{cases} x+y+z=3\\ x+ay+z=4\\ x+y+az=5 \end{cases} \]
- Discute según \(a\): \[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ 3x+3y+3z=a \end{cases} \]
- Estudia para qué valores de \(a\) el sistema es compatible: \[ \begin{cases} x+y=1\\ 2x+2y=2\\ ax+ay=3 \end{cases} \]
- Da un ejemplo de sistema con parámetro que sea SCD para casi todos los valores y SCI para un valor concreto.
Criterio de corrección
| Parte | Puntuación | Qué se valora |
|---|---|---|
| Matrices \(A\) y \(A^*\) | 2 puntos | Planteamiento correcto |
| Determinante o Gauss | 2 puntos | Encontrar valores problemáticos |
| Casos | 2 puntos | No olvidar ningún valor del parámetro |
| Rangos | 2 puntos | Aplicar correctamente Rouché-Frobenius |
| Resolución cuando proceda | 1 punto | Resolver SCD o SCI si lo piden |
| Conclusión final | 1 punto | Clasificación clara SCD, SCI, SI |
Diagnóstico rápido si te equivocas
Te sale SCD para todos los valores. Revisa si has estudiado los valores que anulan el determinante. En muchos ejercicios, ahí está la trampa.
No sabes si es SCI o SI. Compara el rango de \(A\) y el rango de \(A^*\). Si son iguales y menores que el número de incógnitas, SCI. Si son distintos, SI.
Has dividido por \(a-1\). Entonces debes estudiar aparte \(a=1\). Si no lo haces, la discusión queda incompleta.
Usaste Cramer con determinante cero. Ese es el fallo. Cramer solo sirve cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula.
14. Qué estudiar antes y después
Este recurso debe ir colocado en el clúster de Álgebra de 2 Bachillerato. No debe quedar aislado en el blog. La discusión de sistemas con parámetros necesita matrices, determinantes, rangos, Gauss y, en algunos casos, Cramer.
Antes de este recurso
Conviene dominar operaciones con matrices y cálculo de rangos. Si existe el recurso de matrices 2 Bachillerato, enlazar aquí. Si no está publicado todavía, dejar como pendiente de comprobar en WordPress: matrices 2 Bachillerato PAU/EBAU.
Determinantes
La discusión con parámetros suele empezar por el determinante de la matriz de coeficientes. Enlazar al recurso de determinantes 2 Bachillerato si está publicado. Si no, pendiente de comprobar en WordPress.
Regla de Cramer
Cramer se usa para resolver sistemas compatibles determinados, no para discutir todos los casos. Enlazar a regla de Cramer y sistemas si existe. Si no, pendiente de comprobar en WordPress.
Página madre PAU
Este recurso debería enlazar desde Matemáticas II EBAU 2026 Castilla y León, dentro del bloque de álgebra.
Clases online
Si el alumno necesita trabajar sistemas con parámetros con acompañamiento, puede consultar Matemáticas online Bachillerato y PAU.
Biblioteca de recursos
Este post debe aparecer en recursos educativos, dentro de Matemáticas de Bachillerato y PAU/EBAU.
La discusión de sistemas con parámetros no se aprende haciendo una cuenta suelta. Se aprende entendiendo qué papel tienen los rangos, por qué la matriz ampliada puede cambiar la compatibilidad y cuándo Cramer deja de servir. Cuando ese orden entra, el tema se vuelve mucho más manejable.
Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de Bachillerato que necesitan entender la discusión de sistemas con parámetros desde la base: matrices, rangos, Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y clasificación SCD, SCI, SI.
15. Preguntas frecuentes sobre discusión de sistemas
¿Qué significa discutir un sistema?
Significa estudiar cuántas soluciones tiene según los valores de un parámetro. No es solo resolver, sino clasificar el sistema como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
¿Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius?
Dice que un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada. Si ese rango común es igual al número de incógnitas, hay solución única. Si es menor, hay infinitas soluciones.
¿Cuándo un sistema es SCD?
Un sistema es compatible determinado cuando \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=n\), siendo \(n\) el número de incógnitas.
¿Cuándo un sistema es SCI?
Un sistema es compatible indeterminado cuando \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)
¿Cuándo un sistema es incompatible?
Un sistema es incompatible cuando \(\operatorname{rg}(A)\neq\operatorname{rg}(A^*)\). Eso significa que aparece una contradicción y no existe solución.
¿Cuándo puedo usar la regla de Cramer?
Se puede usar Cramer cuando el sistema es cuadrado y el determinante de la matriz de coeficientes no es cero. Es decir, cuando el sistema tiene solución única.
¿Por qué hay que estudiar aparte los valores que anulan el determinante?
Porque en esos valores el rango de la matriz de coeficientes puede bajar. Ahí pueden aparecer infinitas soluciones o ninguna solución.