Intersección de dos intervalos

Calcula [−3, 4) ∩ (1, 6] y representa mentalmente qué extremos se incluyen.

1. La intersección contiene solo los números que pertenecen a los dos intervalos.
2. Deben ser mayores que 1 y, a la vez, menores que 4.
3. El 1 no se incluye porque el segundo intervalo es abierto; el 4 tampoco, porque el primero es abierto.

Comprobación: 2 pertenece a ambos intervalos; 1 y 4 no pertenecen a la intersección.

Operación combinada con potencias de diez

Calcula 6 · 10⁻⁴ · 3 · 10⁷9 · 10².

1. Agrupamos los números: 6 · 39 = 2.
2. Con las potencias: 10⁻⁴⁺⁷⁻² = 10¹.
3. Multiplicamos: 2 · 10 = 20.

Idea clave: al dividir potencias de la misma base se resta el exponente del denominador.

Simplificar antes de sumar

Simplifica $\sqrt{180}$ − 2$\sqrt{20}$ + $\sqrt{45}$.

1. Extraemos cuadrados perfectos: $\sqrt{180}$ = $\sqrt{36·5}$ = 6$\sqrt{5}$.
2. Del mismo modo, $\sqrt{20}$ = 2$\sqrt{5}$ y $\sqrt{45}$ = 3$\sqrt{5}$.
3. Sustituimos y reducimos los radicales semejantes:
   6$\sqrt{5}$ − 4$\sqrt{5}$ + 3$\sqrt{5}$= (6 − 4 + 3)$\sqrt{5}$= 5$\sqrt{5}$
   Ver la operación completa

   6$\sqrt{5}$ − 2 · 2$\sqrt{5}$ + 3$\sqrt{5}$ = (6 − 4 + 3)$\sqrt{5}$ = 5$\sqrt{5}$

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

Error habitual: $\sqrt{180}$ no es $\sqrt{36}$ + $\sqrt{5}$. La raíz de una suma no se separa.

Denominador con una diferencia

Racionaliza 5$\sqrt{3}$ − 1.

1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{3}$ + 1.
2. Abajo aparece una diferencia de cuadrados: ($\sqrt{3}$ − 1)($\sqrt{3}$ + 1) = 3 − 1 = 2.
3. Arriba queda 5($\sqrt{3}$ + 1).

Comprobación: el resultado ya no tiene radicales en el denominador.

Exponentes negativos y bases relacionadas

Calcula 2⁻³ · 4²8⁻¹.

1. Expresamos todo en base 2: 4² = 2⁴ y 8⁻¹ = 2⁻³.
2. El numerador es 2⁻³⁺⁴ = 2.
3. Dividimos: 2¹⁻⁽⁻³⁾ = 2⁴.

Comprobación directa: (18 · 16) · 8 = 2 · 8 = 16.

Dos logaritmos inmediatos

Calcula log(0,001) y log₂(32).

1. Por convenio, log sin base indicada es de base 10.
2. Como 0,001 = 10⁻³, se tiene log(0,001) = −3.
3. Como 32 = 2⁵, se tiene log₂(32) = 5.

Lectura útil: un logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar la base.

Igualar bases

Resuelve 2^x−1 = 16.

1. Escribimos 16 como potencia de 2: 16 = 2⁴.
2. Si las bases son iguales, igualamos exponentes: x − 1 = 4.
3. Despejamos: x = 5.

Comprobación: 2⁵⁻¹ = 2⁴ = 16.

Dos variaciones sucesivas

Un ordenador cuesta 800 €. Sube un 15 % y después se rebaja un 10 %. Halla el precio final y la variación total.

1. Aplicamos la subida: 800 · 1,15 = 920 €.
2. La rebaja se calcula sobre 920 €: 920 · 0,90 = 828 €.
3. La variación total es 828 − 800 = 28 €, que representa 28800 · 100 = 3,5 %.

Atención: subir un 15 % y bajar un 10 % no equivale a subir un 5 %, porque cambia la cantidad de referencia.

Error relativo de una medida

Una longitud se expresa como (7,40 ± 0,05) m. Calcula el error relativo máximo porcentual.

1. El error absoluto máximo es 0,05 m.
2. Dividimos por el valor medido: 0,057,40 ≈ 0,00676.
3. Pasamos a porcentaje: 0,00676 · 100 ≈ 0,68 %.

Interpretación: el posible error representa menos del 1 % de la medida.

Máquinas y tiempo de trabajo

Ocho máquinas iguales completan un pedido en 15 horas. ¿Cuánto tardarán doce máquinas al mismo ritmo?

1. Más máquinas implican menos tiempo: es una proporcionalidad inversa.
2. El producto máquinas · horas permanece constante: 8 · 15 = 120.
3. Para 12 máquinas: t = 12012 = 10.

Comprobación: al aumentar un 50 % el número de máquinas, el tiempo pasa a dos tercios: 15 · 23 = 10.

Desarrollar y reducir

Simplifica (2x − 3)² − (x + 1)(x − 1).

1. Aplicamos el cuadrado de una diferencia: (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9.
2. El segundo producto es una diferencia de cuadrados: (x + 1)(x − 1) = x² − 1.
3. Restamos todo el segundo polinomio: 4x² − 12x + 9 − x² + 1.

Error habitual: olvidar cambiar el signo de los dos términos del segundo polinomio.

Trinomio de segundo grado

Factoriza x² − 9x + 20.

1. Buscamos dos números cuyo producto sea 20 y cuya suma sea −9.
2. Esos números son −4 y −5.
3. Construimos los factores: (x − 4)(x − 5).

Comprobación: al multiplicar obtenemos x² − 5x − 4x + 20.

Factorización completa

Factoriza 2x³ − 8x² + 6x.

1. Extraemos el factor común máximo: 2x(x² − 4x + 3).
2. En el trinomio buscamos dos números que multipliquen 3 y sumen −4: −1 y −3.
3. Factorizamos el trinomio como (x − 1)(x − 3).

Comprobación: los ceros del polinomio son 0, 1 y 3.

Factorizar un polinomio de tercer grado

Factoriza x³ − 4x² + x + 6 y halla sus raíces.

1. Probamos divisores de 6. Para x = 2, el valor es 8 − 16 + 2 + 6 = 0; por tanto, x − 2 es factor.
2. Ruffini con 2 y coeficientes 1, −4, 1, 6 produce el cociente x² − 2x − 3.
3. El cociente se factoriza como (x − 3)(x + 1).

Comprobación: las tres raíces anulan el polinomio original.

Cociente y resto con Ruffini

Divide 2x³ + 3x² − 5x + 6 entre x + 2.

1. Como el divisor es x + 2, usamos −2 en Ruffini.
2. Con los coeficientes 2, 3, −5, 6 obtenemos 2, −1, −3 y resto 12.
3. El cociente toma los tres primeros resultados como coeficientes.

Teorema del resto: P(−2) = 12, exactamente el resto obtenido.

Simplificar respetando el dominio

Simplifica x² − 9x² − 3x.

1. Factorizamos: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) y x² − 3x = x(x − 3).
2. El denominador original se anula en x = 0 y x = 3; ambos valores quedan excluidos.
3. Para los demás valores podemos cancelar el factor x − 3.

Importante: simplificar un factor no recupera el valor que ya estaba prohibido en la expresión inicial.

Suma con distinto denominador

Suma 2x + 3x + 1.

1. Los valores x = 0 y x = −1 están excluidos.
2. El denominador común es x(x + 1).
3. El numerador queda 2(x + 1) + 3x = 5x + 2.

Comprobación rápida: para x = 1, ambos miembros valen 72.

Evaluar un polinomio con un valor negativo

Sea P(x) = x³ + 2x² − 5x − 6. Calcula P(−2).

1. Sustituimos con paréntesis: P(−2) = (−2)³ + 2(−2)² − 5(−2) − 6.
2. Calculamos cada término: −8 + 8 + 10 − 6.
3. Sumamos: 4.

Error habitual: (−2)² es 4, no −4.

Determinar un parámetro

Halla k para que x − 2 sea factor de P(x) = x³ + kx − 6.

1. Si x − 2 es factor, entonces P(2) = 0.
2. Sustituimos: 2³ + 2k − 6 = 0.
3. Queda 2 + 2k = 0, de donde k = −1.

Comprobación: con k = −1, P(2) = 8 − 2 − 6 = 0.

Dimensiones de un rectángulo

El largo de un rectángulo mide 3 m más que el ancho y su perímetro es 34 m. Halla sus dimensiones y su área.

1. Llamamos x al ancho; el largo es x + 3.
2. Planteamos 2x + 2(x + 3) = 34.
3. Resolviendo: 4x + 6 = 34, así que x = 7. El largo mide 10.
4. El área es 7 · 10 = 70.

Comprobación: 2 · 7 + 2 · 10 = 34 m.

Paréntesis a ambos lados

Resuelve 3(2x − 5) − 2(x + 1) = 11.

1. Quitamos paréntesis: 6x − 15 − 2x − 2 = 11.
2. Reducimos: 4x − 17 = 11.
3. Sumamos 17 y dividimos entre 4: x = 284 = 7.

Comprobación: 3 · 9 − 2 · 8 = 27 − 16 = 11.

Eliminar denominadores

Resuelve x − 13 + x + 22 = 6.

1. El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6.
2. Multiplicamos toda la ecuación por 6: 2(x − 1) + 3(x + 2) = 36.
3. Desarrollamos: 2x − 2 + 3x + 6 = 36; por tanto, 5x = 32.

Comprobación: 5,43 + 8,42 = 1,8 + 4,2 = 6.

Ecuación completa

Resuelve 2x² − 5x − 3 = 0.

1. Identificamos a = 2, b = −5 y c = −3.
2. El discriminante es (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 49.
3. Aplicamos la fórmula y separamos las dos posibilidades:
   x = 5 ± $\sqrt{49}$4 = 5 ± 74x₁ = 5 + 74 = 3x₂ = 5 − 74 = −12
   Ver la sustitución completa

   x = −(−5) ± $\sqrt{{(-5)}^2-4·2·(-3)}$2 · 2 = 5 ± 74

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

Comprobación: ambos valores anulan la ecuación original.

Diferencia de cuadrados

Resuelve x² − 49 = 0.

1. Pasamos 49 al otro miembro: x² = 49.
2. Al extraer la raíz cuadrada debemos considerar los dos signos.
3. También puede factorizarse como (x − 7)(x + 7) = 0.

Comprobación: 7² y (−7)² valen 49.

Cambio de variable

Resuelve x⁴ − 5x² + 4 = 0.

1. Hacemos y = x². Queda y² − 5y + 4 = 0.
2. Factorizamos: (y − 1)(y − 4) = 0; por tanto, y = 1 o y = 4.
3. Volvemos a x: x² = 1 o x² = 4.

Control: una ecuación de cuarto grado puede tener hasta cuatro soluciones reales; aquí aparecen cuatro.

Restricciones y denominador común

Resuelve 1x − 2 + 1x + 2 = 12.

1. Restricciones: x ≠ 2 y x ≠ −2.
2. Multiplicamos toda la ecuación por 2(x − 2)(x + 2):
   2(x + 2) + 2(x − 2)= x² − 4
   Ver cómo se eliminan los denominadores

   2(x − 2)(x + 2) · [1x − 2 + 1x + 2] = 2(x − 2)(x + 2) · 12

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

3. Simplificamos:
   4x = x² − 4x² − 4x − 4 = 0
4. La fórmula de segundo grado da x = 2 ± 2$\sqrt{2}$; ninguna solución está excluida.

Obligatorio: las restricciones se escriben antes de eliminar denominadores.

Comprobar las soluciones obtenidas

Resuelve $\sqrt{x+5}$ = x − 1.

1. El segundo miembro debe ser no negativo, así que x ≥ 1.
2. Elevamos al cuadrado: x + 5 = (x − 1)² = x² − 2x + 1.
3. Ordenamos: x² − 3x − 4 = 0 = (x − 4)(x + 1).
4. Los candidatos son 4 y −1, pero −1 no cumple x ≥ 1.

Comprobación: $\sqrt{9}$ = 3 y 4 − 1 = 3.

Expresar el segundo miembro con la misma base

Resuelve 3^2x−1 = 27.

1. Escribimos 27 = 3³.
2. Igualamos exponentes: 2x − 1 = 3.
3. Entonces 2x = 4 y x = 2.

Comprobación: 3^2·2−1 = 3³ = 27.

Pasar de forma logarítmica a exponencial

Resuelve log₂(x − 1) = 3.

1. El argumento debe ser positivo: x − 1 > 0.
2. La igualdad equivale a x − 1 = 2³.
3. Por tanto, x = 9, que cumple el dominio.

Comprobación: log₂(8) = 3.

Dos posibilidades

Resuelve |3x − 6| = 12.

1. Si una expresión tiene valor absoluto 12, puede valer 12 o −12.
2. Primer caso: 3x − 6 = 12, de donde x = 6.
3. Segundo caso: 3x − 6 = −12, de donde x = −2.

Comprobación: |18 − 6| = 12 y |−6 − 6| = 12.

Cambio de sentido al dividir por un negativo

Resuelve 5 − 2x ≥ 11.

1. Restamos 5: −2x ≥ 6.
2. Dividimos entre −2 y cambiamos el sentido de la desigualdad.
3. Obtenemos x ≤ −3.

Comprobación: x = −4 cumple; x = 0 no cumple.

Entradas de adulto y de menor

Se venden 30 entradas. Las de menor cuestan 6 € y las de adulto 10 €. La recaudación es 228 €. ¿Cuántas se venden de cada tipo?

1. Sea x el número de entradas de menor; las de adulto son 30 − x.
2. Planteamos 6x + 10(30 − x) = 228.
3. Resolviendo: 6x + 300 − 10x = 228; −4x = −72; x = 18.
4. Las entradas de adulto son 30 − 18 = 12.

Comprobación: 18 · 6 + 12 · 10 = 108 + 120 = 228 €.

Sistema lineal básico

Resuelve el sistema x + y = 9; 2x − y = 6.

1. De la primera ecuación despejamos y = 9 − x.
2. Sustituimos en la segunda: 2x − (9 − x) = 6.
3. Queda 3x = 15, así que x = 5; entonces y = 4.

Comprobación: 5 + 4 = 9 y 2 · 5 − 4 = 6.

Eliminar una incógnita

Resuelve 3x + 2y = 16; 2x − 2y = 4.

1. Sumamos las ecuaciones para eliminar y: 5x = 20.
2. Obtenemos x = 4.
3. Sustituimos en la segunda: 8 − 2y = 4; por tanto, y = 2.

Comprobación: 12 + 4 = 16 y 8 − 4 = 4.

Recta y circunferencia

Resuelve y = x + 1; x² + y² = 25.

1. Sustituimos y: x² + (x + 1)² = 25.
2. Desarrollamos: 2x² + 2x − 24 = 0; dividimos entre 2: x² + x − 12 = 0.
3. Factorizamos: (x + 4)(x − 3) = 0.
4. Si x = 3, y = 4; si x = −4, y = −3.

Interpretación: la recta corta la circunferencia en dos puntos.

Dos ecuaciones equivalentes

Clasifica y resuelve 2x + 4y = 6; x + 2y = 3.

1. Multiplicando la segunda ecuación por 2 obtenemos exactamente la primera.
2. Las dos representan la misma recta, no dos condiciones distintas.
3. Hay infinitas soluciones: cualquier punto que cumpla x + 2y = 3.

Ejemplos: (3, 0), (1, 1) y (−1, 2) son soluciones.

Clasificar según k

Estudia el sistema x + y = 4; 2x + 2y = k.

1. El primer miembro de la segunda ecuación es el doble del primero.
2. Para que también sea la misma ecuación, su término independiente debe ser 2 · 4 = 8.
3. Si k = 8, las rectas coinciden; si k ≠ 8, son paralelas distintas.

Lectura gráfica: coincidentes frente a paralelas.

Preparar una disolución

¿Cuántos litros de disolución al 20 % y al 50 % hay que mezclar para obtener 30 L al 40 %?

1. Sean x los litros al 20 % e y los litros al 50 %. Entonces x + y = 30.
2. La cantidad de soluto cumple 0,20x + 0,50y = 0,40 · 30 = 12.
3. Sustituimos x = 30 − y: 6 − 0,20y + 0,50y = 12.
4. 0,30y = 6; luego y = 20 y x = 10.

Comprobación: 2 L + 10 L = 12 L de soluto.

Relacionar presente y futuro

Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Dentro de ocho años tendrá el doble. Halla sus edades actuales.

1. Llamamos x a la edad del hijo; la del padre es 3x.
2. Dentro de ocho años: 3x + 8 = 2(x + 8).
3. Resolviendo: 3x + 8 = 2x + 16, así que x = 8.

Comprobación: dentro de ocho años tendrán 16 y 32; 32 es el doble de 16.

Dos grifos llenando un depósito

Un grifo llena un depósito en 6 h y otro en 4 h. ¿Cuánto tardan juntos?

1. En una hora, el primero llena 16 del depósito y el segundo 14.
2. Juntos llenan 16 + 14 = 212 + 312 = 512 por hora.
3. El tiempo para llenar una unidad es el inverso: 125 h = 2,4 h.
4. 0,4 h son 0,4 · 60 = 24 minutos.

Control razonable: juntos deben tardar menos que el grifo más rápido, que tarda 4 horas.

Un sistema a partir de relaciones

Tres números suman 12. El primero es una unidad mayor que el segundo y el tercero es una unidad menor que el doble del segundo. Hállalos.

1. Escribimos x + y + z = 12, x = y + 1 y z = 2y − 1.
2. Sustituimos en la suma: (y + 1) + y + (2y − 1) = 12.
3. Queda 4y = 12, luego y = 3.
4. Entonces x = 4 y z = 5.

Comprobación: suman 12 y respetan las dos relaciones.

Punto de corte de dos rectas

Halla algebraicamente el punto de corte de y = 2x − 1 e y = −x + 5.

1. En el punto de corte, las dos expresiones de y son iguales.
2. Planteamos 2x − 1 = −x + 5.
3. Entonces 3x = 6 y x = 2.
4. Sustituimos: y = 2 · 2 − 1 = 3.

Comprobación: −2 + 5 también vale 3.

Función racional

Halla el dominio de f(x) = 2x + 1x² − 9.

1. Una fracción no existe cuando su denominador vale cero.
2. Resolvemos x² − 9 = 0, es decir, (x − 3)(x + 3) = 0.
3. Excluimos x = 3 y x = −3.

Observación: el numerador no impone restricciones.

Raíz cuadrada

Halla el dominio de g(x) = $\sqrt{7-x}$.

1. El radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero.
2. Planteamos 7 − x ≥ 0.
3. Despejando obtenemos x ≤ 7.

Comprobación: para x = 7 la raíz vale 0; para x = 8 no es real.

Ecuación a partir de dos puntos

Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(5, 11).

1. La pendiente es m = 11 − 35 − 1 = 84 = 2.
2. Usamos y = mx + n y el punto A: 3 = 2 · 1 + n.
3. Así, n = 1.

Comprobación: para x = 5 se obtiene y = 11.

Recta paralela por un punto

Halla la recta paralela a 3x − 2y = 6 que pasa por (2, −1).

1. Las rectas paralelas en forma general conservan los coeficientes de x e y: 3x − 2y = c.
2. Sustituimos el punto: 3 · 2 − 2(−1) = c.
3. Entonces c = 8.

Comprobación: ambas rectas tienen pendiente 32.

Coste de un servicio

Una compañía cobra 18 € fijos y 0,12 € por minuto. Escribe la función de coste y calcula una factura de 250 minutos.

1. Si m es el número de minutos, la parte variable cuesta 0,12m.
2. Sumamos la cuota fija: C(m) = 18 + 0,12m.
3. Para 250 minutos: C(250) = 18 + 0,12 · 250 = 18 + 30.

Interpretación: 18 es la ordenada en el origen y 0,12 la pendiente.

Vértice y cortes con los ejes

Estudia los elementos principales de f(x) = x² − 6x + 5.

1. El eje de simetría es x = −b2a = 62 = 3.
2. f(3) = 9 − 18 + 5 = −4; el vértice es (3, −4) y es un mínimo.
3. Para los cortes con el eje X: x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5), de modo que x = 1 y 5.
4. El corte con el eje Y es f(0) = 5.

Control gráfico: la parábola abre hacia arriba porque a = 1 > 0.

Recta y parábola

Halla los puntos de corte de y = x² − 4 e y = 2x.

1. Igualamos: x² − 4 = 2x.
2. Resolvemos la ecuación resultante:
   x² − 2x − 4 = 0x = 2 ± $\sqrt{20}$2x = 1 ± $\sqrt{5}$
   Ver la operación completa

   x = 2 ± $\sqrt{{(-2)}^2-4·1·(-4)}$2 · 1 = 2 ± $\sqrt{20}$2 = 1 ± $\sqrt{5}$

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

3. Como y = 2x, los valores de y son 2 ± 2$\sqrt{5}$.

Interpretación: hay dos puntos porque la ecuación resultante tiene dos raíces reales.

Tarifa de aparcamiento

Un aparcamiento cobra 2 € por hora durante las dos primeras horas y, después, 1,20 € por cada hora adicional. Escribe C(t) y calcula el coste de 5 h.

1. Para 0 ≤ t ≤ 2: C(t) = 2t.
2. Para t > 2: ya se han pagado 4 €, y se añade 1,20(t − 2).
3. C(5) = 4 + 1,20 · 3 = 7,60.

Continuidad: las dos expresiones dan 4 € cuando t = 2.

Evolución de una población

Una colonia tiene 400 bacterias y aumenta un 50 % cada hora. ¿Cuántas habrá tras 4 horas?

1. Un aumento del 50 % corresponde al factor 1,50.
2. El modelo es P(t) = 400 · 1,5^t.
3. P(4) = 400 · 1,5⁴ = 400 · 5,0625.

Atención: el 50 % se aplica cada hora sobre la población ya aumentada.

Término y suma

En una progresión aritmética, a₁ = 7 y la diferencia es 4. Halla a₂₀ y la suma de los 20 primeros términos.

1. a₂₀ = a₁ + 19d = 7 + 19 · 4 = 83.
2. Usamos S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀)2.
3. S₂₀ = 20(7 + 83)2 = 10 · 90.

Comprobación: la media del primer y último término es 45; 20 · 45 = 900.

Hipotenusa de un triángulo rectángulo

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa.

1. Aplicamos h² = 9² + 12².
2. h² = 81 + 144 = 225.
3. Como una longitud es positiva, h = $\sqrt{225}$ = 15.

Comprobación: 9, 12 y 15 son 3 veces la terna pitagórica 3, 4 y 5.

Altura mediante sombras

Una persona de 1,75 m proyecta una sombra de 1,40 m. En el mismo instante, un edificio proyecta una sombra de 12 m. Halla su altura.

1. Los rayos solares forman triángulos semejantes, así que las razones entre altura y sombra son iguales.
2. h12 = 1,751,40.
3. h = 12 · 1,751,40 = 15.

Control: la razón 1,751,40 es 1,25; la altura debe ser 1,25 veces la sombra.

Sector circular

Calcula el área de un sector circular de radio 6 cm y ángulo central 120°.

1. El círculo completo tiene área π · 6² = 36π cm².
2. El sector ocupa 120360 = 13 del círculo.
3. Su área es 36π · 13 = 12π.

Comprobación: 120° es exactamente la tercera parte de 360°.

Cono: generatriz, área lateral y volumen

Un cono recto tiene radio 3 cm y altura 4 cm. Calcula su generatriz, área lateral y volumen.

1. La generatriz es la hipotenusa: g = $\sqrt{3^2+4^2}$ = 5 cm.
2. Área lateral: A_L = πrg = π · 3 · 5 = 15π cm².
3. Volumen: V = 13πr²h = 13π · 9 · 4 = 12π cm³.

Unidades: el área se expresa en cm² y el volumen en cm³.

Distancia y punto medio

Dados A(−2, 3) y B(4, −5), calcula la distancia AB y el punto medio.

1. Las diferencias son 4 − (−2) = 6 y −5 − 3 = −8.
2. Calculamos la distancia:
   AB = $\sqrt{6^2+{(-8)}^2}$= $\sqrt{100}$ = 10
3. Calculamos cada coordenada del punto medio:
   x_M = −2 + 42 = 1y_M = 3 − 52 = −1M = (1, −1)
   Ver el punto medio en una sola expresión

   M = (−2 + 42, 3 − 52) = (1, −1)

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

Comprobación: del punto medio a cada extremo hay un vector de componentes (3, −4), de módulo 5.

Longitud e inclinación de un cable

Un cable salva un desnivel vertical de 24 m y un avance horizontal de 32 m. Calcula su longitud y el ángulo que forma con la horizontal.

1. La longitud es la hipotenusa: L = $\sqrt{{24}^2+{32}^2}$ = $\sqrt{1600}$ = 40 m.
2. Para el ángulo α, tan α = 2432 = 0,75.
3. α = arctan(0,75) ≈ 36,87°.

Control: como el desnivel es menor que el avance, el ángulo debe ser menor que 45°.

Altura de una torre

Desde un punto situado a 30 m de una torre se observa la parte alta con un ángulo de 42°. Los ojos están a 1,60 m del suelo. Halla la altura de la torre.

1. La diferencia de altura entre los ojos y la cima es h₁ = 30 tan 42°.
2. h₁ ≈ 30 · 0,9004 = 27,01 m.
3. Sumamos la altura de los ojos: h ≈ 27,01 + 1,60 = 28,61 m.

Error habitual: detenerse en 27,01 m y olvidar que el ángulo se midió desde la altura de los ojos.

Triángulo con dos lados y el ángulo comprendido

Dos lados de un triángulo miden 8 cm y 11 cm, y forman un ángulo de 60°. Calcula el tercer lado y el área.

1. Aplicamos el teorema del coseno:
   c² = 8² + 11²− 2 · 8 · 11 · cos 60°c² = 64 + 121 − 88 = 97
   Ver el teorema del coseno en una línea

   c² = 8² + 11² − 2 · 8 · 11 · cos 60° = 97

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

2. Como una longitud es positiva, c = $\sqrt{97}$ ≈ 9,85 cm.
3. Calculamos el área:
   A = 12 · 8 · 11 · sen 60°= 44 · $\sqrt{3}$2= 22$\sqrt{3}$
   Ver el cálculo del área en una línea

   A = 12 · 8 · 11 · sen 60° = 44 · $\sqrt{3}$2 = 22$\sqrt{3}$

   Desliza horizontalmente si fuera necesario.

Control: el tercer lado cumple |11 − 8| < $\sqrt{97}$ < 11 + 8.

Media, mediana y moda

Calcula la media, la mediana y la moda de 2, 4, 4, 5, 7, 8.

1. La suma es 2 + 4 + 4 + 5 + 7 + 8 = 30; hay 6 datos. Media = 306 = 5.
2. Al haber un número par de datos, la mediana es la media de los dos centrales: 4 + 52 = 4,5.
3. El valor que más se repite es 4.

Control: la media queda dentro del recorrido, entre 2 y 8.

Datos agrupados por valores

Los valores 0, 1, 2 y 3 tienen frecuencias 2, 5, 7 y 6. Calcula el total, la media, la mediana y la moda.

1. Total: N = 2 + 5 + 7 + 6 = 20.
2. Suma ponderada: 0 · 2 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 6 = 37; media = 3720 = 1,85.
3. Las posiciones 10.ª y 11.ª caen en el valor 2; la mediana es 2.
4. La frecuencia mayor es 7, correspondiente al valor 2; la moda es 2.

Comprobación: las frecuencias acumuladas son 2, 7, 14 y 20.

Varianza y desviación típica

Calcula la varianza poblacional y la desviación típica de 1, 3, 5 y 7.

1. La media es 1 + 3 + 5 + 74 = 4.
2. Los cuadrados de las desviaciones son 9, 1, 1 y 9; suman 20.
3. Varianza = 204 = 5.
4. Desviación típica = $\sqrt{5}$ ≈ 2,24.

Atención: aquí se considera la población completa, por eso se divide entre 4.

Rango intercuartílico

Halla los cuartiles y el rango intercuartílico de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

1. La mediana es Q₂ = 4 + 52 = 4,5.
2. En la mitad inferior, Q₁ = 2 + 32 = 2,5.
3. En la mitad superior, Q₃ = 6 + 72 = 6,5.
4. Rango intercuartílico = Q₃ − Q₁ = 4.

Interpretación: el 50 % central de los datos se extiende entre 2,5 y 6,5.

Suceso complementario

Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que no sea azul.

1. Hay 5 + 3 + 2 = 10 bolas.
2. No azules hay 5 rojas + 2 verdes = 7.
3. P(no azul) = 710.

Otra vía: 1 − P(azul) = 1 − 310 = 710.

Dos extracciones sin reemplazamiento

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen dos sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de que ambas sean rojas.

1. En la primera extracción, P(roja) = 58.
2. Si ha salido roja, quedan 4 rojas entre 7 bolas: P(roja en la segunda | roja en la primera) = 47.
3. Multiplicamos las probabilidades del camino: 58 · 47 = 2056.

Atención: sin reemplazamiento cambian tanto el numerador como el denominador.

Dos idiomas en una clase

En una clase de 30 alumnos, 18 estudian Matemáticas de refuerzo, 16 Inglés y 6 ninguna de las dos. Calcula cuántos cursan ambas, P(ambas) y P(Inglés | Matemáticas).

1. La unión reúne 30 − 6 = 24 alumnos.
2. Usamos 24 = 18 + 16 − intersección; por tanto, la intersección es 10.
3. P(ambas) = 1030 = 13.
4. P(Inglés | Matemáticas) = 1018 = 59.

Códigos sin repetición

¿Cuántos códigos de cuatro cifras distintas pueden formarse con los dígitos del 0 al 9 si el código sí puede comenzar por cero?

1. Para la primera posición hay 10 opciones.
2. Elegida la primera cifra, quedan 9 para la segunda, 8 para la tercera y 7 para la cuarta.
3. Por el principio multiplicativo: 10 · 9 · 8 · 7.

Lectura precisa: son códigos, no números de cuatro cifras; por eso se admite el cero inicial.

Elegir entre dos planes

El plan A cuesta 10 € al mes más 0,15 € por unidad consumida. El plan B cuesta 22 € más 0,05 € por unidad. ¿Cuándo cuestan lo mismo y cuál conviene en cada tramo?

1. Modelos: A(x) = 10 + 0,15x y B(x) = 22 + 0,05x.
2. Igualamos: 10 + 0,15x = 22 + 0,05x.
3. 0,10x = 12; luego x = 120.
4. Antes de 120 unidades conviene A por su cuota fija menor; después conviene B por su menor precio unitario.

Comprobación: A(120) = 10 + 18 = 28 y B(120) = 22 + 6 = 28.

Mayor área con perímetro fijo

Un rectángulo tiene perímetro 40 m. Expresa el área en función de un lado y determina las dimensiones que producen el área máxima.

1. Si un lado mide x, del semiperímetro se obtiene el otro: 20 − x.
2. A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x, con 0 < x < 20.
3. La parábola abre hacia abajo. Su vértice está en x = −202(−1) = 10.
4. El otro lado también mide 10 y A(10) = 100.

Control: 2 · 10 + 2 · 10 = 40 m.

Planificar una ruta con un mapa

En un mapa a escala 1:25 000, una ruta mide 7,2 cm. Calcula la distancia real y el tiempo a 4,5 km·h⁻¹.

1. Un centímetro representa 25 000 cm = 250 m.
2. 7,2 cm representan 7,2 · 250 = 1800 m = 1,8 km.
3. Tiempo = distanciavelocidad = 1,84,5 = 0,4 h.
4. 0,4 · 60 = 24 minutos.

Unidades: antes de dividir, distancia y velocidad deben estar expresadas con la misma unidad de longitud.

Interpretar una encuesta

En una encuesta a 400 estudiantes, el 60 % practica deporte. De ellos, el 35 % practica natación. ¿Cuántos nadan y qué porcentaje representan sobre el total?

1. Practican deporte 400 · 0,60 = 240 estudiantes.
2. Nadan el 35 % de 240: 240 · 0,35 = 84.
3. Sobre el total representan 84400 · 100 = 21 %.

Comprobación: 60 % · 35 % = 0,60 · 0,35 = 0,21 = 21 %.